理论力学点的速度合成定理

理论力学点的速度合成定理
建立动点的绝对速度，相对速度和牵连速度之间的关系。

MM ' 绝对 绝对 M 1M ' 相对 M 1M ' 相对
MM ' MM 1M 1M '
t → t + t AB →A'B'
M → M'
成M →M →M
∆t ，
∆t →0 的 ，
lim
M M '=lim
M M +lim
M M ∆t →0
∆t →0
∆t →0
∆t
∆t
∆t
v a =v e +v r
即在任 瞬 动点的绝对速度等于其牵连速度与相对速度的矢量和，这就是点的速度合成定理。

v a —动点的绝对速度
v r —动点的相对速度 v e —动点的牵连速度，是动
系 点(牵连点)的速度
动系 ，动系 点速度 相等; 动系 动 ，v e 是 瞬 动系 与动点相 合点的速度。

r M =r O '+r 'r
r '=x 'i '+y 'j '+z 'k '
(
r M'r M =r M '
v r
= d r '
=d x 'i '+d y 'j '+d t d t d t v v r i ' j ' k '
e v =d r M '=d r
O '+x 'd i '+y 'd j '+z d t d t d t d t a =v e +v r
=d r O '+x 'd i '+y 'd j '+z 'd k '+d x 'i '+d y 'j '+d z 'k 'd t d t d t d t d t d t d t =
d r M d t
v v e
M' x' y' z'
v a
点的速度合成定理是瞬 矢量 ，共包括大小‚方向 六个元素，已知任意四个元素，就能求出其他 个。

[ ] 已知 小 ，速度 v 1， A 相对小 的速度 v 2。

求 A 的 速度。

动点: A ，动系:小 相对 动: ;相对速度v r =v 2↑ 牵连 动: ; 牵连速度v e =v 1→
绝对 动: ， 知; 绝对速度v a 的大小 方向 求。

A
出速度 四 ，
的速度大小和方向
速度合成定理 v a =v e +
v r
v =v ==a A
θ=arctan 2
v 1
瞬 ，OC⊥CA O A B 点共 。

求 动 AB的速度。

动点 A点，动系 于 。

绝对速度v a=? 求，方向//AB 相对
速度v r=? 知，方向⊥CA 牵连
速度v e=OA⋅ω=2eω，方向⊥OA
速度合成定理v a=v e+ v r，
出速度 四 。

v=v⋅tan300 a e =2 3ω
3
∴v=2 3ω(↑)
3
AB
[]
已知 OC e，R=3e，ω 速度
v r v
a
ϕ
e
[] 的 。

OA的 速度 ω，
A 动 O1
B 动。

已知OA=r，OO1=l，求 OA
O1B的 速度ω1。

B
v e=v a sinϕ=rωsinϕ
v e
2
=O1A⋅ω1=
2
O1A=ω1=22
l+r
r ω
OA A点 动点， O1B 动系。

绝对速度v=rω，方向⊥OA
a
相对速度v r= ?
牵连速度v e = ?
，方向//O1B
，方向⊥O1B
出，求 合成 动的速度 的 动点，动系和定系
动的
速度的
速度合成定理 出速度 四 。

v
a
=v
e
+v
r
速度 四 ，求出 知量。

恰 择动点 动系是求 合成 动 的关键。

动点 动系的 择原
动点 动系和定系 别属于 个 的 体，否 绝 对 相对和牵连 动中就缺少 动， 能成 合成 动
动点相对动系的相对 动 要易于 观判断。

已知绝对 动和牵连 动求 相对 动的 外
v e a sin ϕ=u
sin ϕ
v =
[ ] AB 在 r 的 定 速u ， 。

求 在 和 点 的小 M 的速度。

小 M 动点，动系 在AB ，动点的速度合成矢量 。

sin ϕ=
v e v a
u
A 动点，动系与
连， A 点速度，
v a =v e +v r
v e =v a sin θ=v sin θ
[ ]求 中OC 点C 的速度。

其中v 与θ已知， O A =a ,AC =b 。

=
v e =v sin θa
OC
OA ωv sin θv C =OC ⋅ωOC
=a +b
a
[]已知: r , 其速度 v，θ=300。

OA 在 。

求 OA
相接触的 个 体的接触点 随 间而变化，因此 体的接触点 宜 动点，否 相对 动的 就会很困难。

这 情况 ，需 择满足 条原 的非接触
点 动点。

发现， C的 是 ，若 OA动系，其相对 容易确定是 。

x
θ
C
:C点 动点,
动系 于OA 。

绝对 动: 动,
绝对速度:
相对 动: 动,
相对速度: v r
知，方向//O A
牵连 动:定 动, 牵连速度: v e
v a=v，方向→
=OC⋅ω 知，ω 求，方向⊥OC
a
e
v
出速度 四 。

速度合成定理v
a
=v
e
+v
r
e a
v=v⋅tanθ=
3e
v=OC⋅ω=r ⋅ω=2rω,
sinθ
∴ω=v e= 1 ⋅=
2r2r36r
v [ ]p1947-13AB 速度v 1向 ，CD 向 速度v 2 ， 条 的 θ，求 在 的小 M 的速度。

M 动点，AB 动 系，相对速度 牵连速度 。

D
v a =v e1+v r1
M 动点，CD 相对速度 牵连速度 。

v a =v e2+v r2
v e1+v r1=v e2+v r 2
其中
v e1=v 1,
v e2=v 2
v 1=
v 2cos θ+v r2sin θ∴v r2=(v 1-v 2cos θ)/sin θ
动点M 的绝对速度
等 向y
v =a =
=
B
D
v e1+v r1=v e2+v r2
[ ]在 A 和B 速度v =36 km/h ，A 向 ，B O R =100m 的 。

在 瞬 ， 的 S =50m,θ=30 ， 求 1 B 相对A 的速度。

2 A 相对B 的速度。

1 求B 相对于A 的速度。

r1v =2v cos 30=62.4(km/h)
B 动点，动系 连于A 。

速度矢量
v B =v a1=v e1+v r1
v e1=
v A =v B =v a1=v
， 度。

(2)求A 相对于B 的速度， A 动点，动系 连于B 。

v e2=OA ⋅
=50⋅==18(km/h)
v v
R 2v B R
v a2=v A =v
v r2==40.2(km/h)
tan ϕ=e2
=v a 218
36
=0.5
v ϕ=2634'
，A 相对B 的速度 定等于B 相对A 的速度。