理论力学：第6章 点的合成运动

2 2 r
，
aeτ 0 ，解出 aa＝142r。所以小环 M 的加速度为 142r。
6-23 已知 O1 A O2 B l 1.5 m，且 O1A 平行于 O2 B ，题 6－23 图所示位置，
滑道 OC 的角速度=2 rad/s，角加速度 =1 rad/s2，OM = b =1 m。试求图示位置
第 6 章 点的合成运动
6-7 题 6－7 图所示曲柄滑道机构中，杆 BC 为水平，而杆 DE 保持铅直。 曲柄长 OA=10 cm，以匀角速度 = 20 rad/s 绕 O 轴转动，通过滑块 A 使杆 BC 作 往复运动。求当曲柄与水平线的交角为 = 0、30、90时，杆 BC 的速度。
·8·
由图得 vr＝ve＝b＝2 m/s， va O1 l 。
得到 O1

l
b cos 45
21
1.5
2 2
1.89 rad/s 。
（2）求加速度。动点，动坐标系的选择不变，则动点 M 的加速度图如图（c）
所示。由加速度合成定理
aa ae ar aC
即 aan aaτ aeτ aen ar aC
时 O1A 的角速度和角加速度。
M
45 45
vr
ve
va
x
ae
ane
ana
45
ar
aC
aa
（a）
（b）
（c）
题 6-23 图
解：（1）求速度。
选取 M 为动点，动坐标系固连于滑道 OC 上，则动点 M 的速度图如图（b）
所示。由速度合成定理
va＝ve＋vr
沿 OC 轴的垂直方向投影得
ve＝vacos45
6-10 题 6－10 图所示半径为 r，偏心距为 e 的圆形凸轮以匀角速度 绕固 定轴 O 转动，AB 杆长 l 其 A 端置于凸轮上，B 端以铰链支承，在图示瞬时 AB 杆恰处于水平位置，试求此时 AB 杆的角速度。
·1·
l
A
ve
B

r
va
vr
O
C
（a）
（b）
题 6-10 图
解：以 A 为动点，动系固结在偏心凸轮圆周，动点的速度图如图（b）所示。
ar
B
A
C
（a）
（b）
题 6-15 图
解：选 A 点为动点，动坐标系固连于 T 形杆 BC 上，则动点 A 的绝对运动
是杆 OA 绕 O 轴的转动，动点 A 的加速度图如图（b）所示。由加速度合成定理 aa ae ar
沿 x、y 轴方向投影得
aaτ cos 300 aan sin 300 ar
tan31 ，顺时针。
6-15 题 6－15 图所示曲柄滑道机构中，曲柄长 OA=10 cm，并绕 O 轴转动。 在某瞬时，其角速度=1 rad/s，角加速度 =1 rad/s2，∠AOB=30，求导杆上点 C 的加速度和滑块 A 在滑道上的相对加速度。
·4·

O
ae ana
aa
vr
va
vr
A
D ve
va= vBc
ve
·2·
（a）
（b）
题 6-12 图
（c）
解：（1）选 A 为动点，动坐标系固连于滑道连杆 BC 上，则动点 K 的绝对
运动是杆 OA 绕 O 轴的转动，va＝r，且 va⊥OA，动点 A 的速度图如图（b）所
示。由速度合成定理
va＝ve＋vr
沿 AC 方向投影
所示。
ve vasin ，ve＝va sin
（1）当＝0时，ve＝va sin0，得到 vBC = 0； （2）当＝30时， ve＝va sin30，得到 vBC = 100 cm/s（→）； （3）当＝60时，ve＝va sin90，得到 vBC = 200 cm/s（→）。
题 6-18 图
选取小环 M 为动点，动坐标系固连于直角曲杆 OAB 上，则动点 M 的速度
图如图（b）所示。由速度合成定理
va＝ve＋vr
由速度图中的几何关系得
va vectg30
解出 va



r cos 60
ctan30

2
3r ，所以小环 M 的速度为 2
3 r 。
（2）求加速度。动点，动坐标系的选择不变，则动点 M 的加速度图如图（c ）
l

(aan
aeτ ) sin1 cos1

2r


2r 2tan21 l

tan1

2r l
2


2 l

r 2tan31 l

r




r l
2
tan31

2r l

所以 O2

Байду номын сангаас
r 2 l


r l
2
（a）
（b）
题 6-7 图
解：（1）选滑块 A 为动点，动坐标系固连于滑道 BCDE 上，静坐标系固连
于地面上。由速度合成定理
va＝ve +vr
A 的绝对运动是半径为曲柄长的圆周运动，
va＝（OA） 且 va⊥OA 相对运动为沿 DE 的直线运动；牵连运动是滑道杆的水平运动；ve⊥DE，如图(b )
vBC＝ve＝vasin
解出 vBC＝rsin45。 （2）选 D 为动点，动坐标系固连于摆杆 O1E 上，则动点 D 的绝对运动是水
平直线运动，va＝vBC＝rsin45，动点 D 的速度图如图（c）所示。由速度合成
定理
va＝ve＋vr
沿 O1E 的垂直方向投影
ve＝vacos＝rsin45cos45
又
ve＝O1l
，所以 O1

r 2l

，方向为逆时针。
6-14 设 OA O1B r ，斜面倾角为1，O2D l ，D 点可以在斜面上滑动，A、 B 铰链连接。题 6－14 图所示位置时 OA、 O1B 铅垂，AB、 O2D 为水平，已知此 瞬时 OA 转动的角速度为，角加速度为零，试求此时 O2D 绕 O2 转动的角速度和 角加速度。
(1)
aaτ sin 300 aan cos 300 ae
(2)
其中 aan 2 OA 10cm/s2 ， aaτ OA 10cm/s2 。联立解出 ar = 3.66 cm/s2，ae = 13.66 cm/s2
由 aC＝ae，最后得到 aC = 13.66 cm/s2，ar = 3.66 cm/s2。
·5·
6-18 已知直角曲杆 OAB 和 OA 部分长为 r 以等角速度绕 O 点转动，小 环 M 套在 AB 及固定水平直杆 OC 上。试求题 6－18 图所示位置 =60时，小环 M 的速度和加速度。
30
（a）
x vr
va
ane
30
ar aa
aC
ve
ae
（b）
（c）
解：（1）求速度。
由速度合成定理，
沿 AC 方向投影 解出 va ve tan
r2 e2
va＝vr＋ve
va cos ve sin e e 。
r2 e2
所以 AB 杆的角速度为AB = e /l，方向为逆时针。
6-12 题 6－12 图所示圆盘以匀角速度 转动，通过盘面上的销钉 A 带动 滑道连杆 BC 运动，在通过连杆上的销钉 D 带动摆杆 O1E 摆动。已知 OA=r，在 图示位置时 O1D l ， 45 ，试求此瞬时摆杆 O1E 的角速度。
va＝ve＋vr
沿 x、y 轴方向投影得
0 ve vr cos1 ， va vr sin1
解出 va vetan1 rtan1 O2 l 。
所以此时
O2 D
绕
O2
转动的角速度为 O 2

r l
tan1
，逆时针。
（2）求加速度。动点，动坐标系的选择不变，则动点 D 的加速度图如图（c）
所示。由加速度合成定理
沿 x、y 轴方向投影得
aa ae ar
aan aeτ ar cos1
(1)
aaτ ar sin1 aen
(2)
aaτ 2 l
aan
22
l

2r 2tan21 l
aeτ 0
aen

a
n A
2r
由(1)、(2)得，
2
y va
ve
1
D
（b）
解：（1）求速度。
（a）
vr
x
ana
aa
D ae
ar 1
题 6-14 图
ane
（c）
·3·
选 D 点为动点，动坐标系固连于三角斜面 AB 上，则动点 D 的绝对运动是
杆 O2D 绕 O2 轴的转动，且 va⊥O2A；ve＝r ，ve⊥OA，动点 D 的速度图如图
（b）所示。由速度合成定理
·7·
其中 aan

lO21

16 3
m/s2， aeτ 1 m/s2 , aen 4 m/s2 , aC 2vr 8 m/s2 。
加速度向图示 x 方向投影有，
aan cos 45 aaτ cos 45 aeτ aC
得到 O1 10.2 rad/s2 ；O1=12 rad/s2。
所示。由加速度合成定理
即有
aa ae ar aC aa aen aeτ ar aC