点的合成运动中动点＼动系的选取原则和方法
点的合成运动(讲义).
先分析 k ' 对时间的导数: drA vA e rA dt rA rO k ' drO dk ' e (rO k ') dt dt drO e rO 因为 vO dt dk ' ' 得 同理可得 i , e k '， j '， 即 dt
＝(α r ＋ω ve ) ω vr
＝ae ω v r
利用矢量的相对导数与绝对导数之间的关系
dA dA ＝( ) r ω A dt dt
d va d ve d v r dt dt dt
中
d vr d vr ＝( ) r ＋ω v r ＝ar ＋ω vr dt dt
牵连运动方程
xo' xo' t yo' yo' t t
绝对运动方程
x x t y y t
x x t y y t
xo' xo' t yo' yo' t t
小结:
应用速度合成定理求解点的速度
1、选取动点、动系
动点、动系不能选在同一物体上 相对运动轨迹简单、直观 2、分析三种运动与三种速度（建议采用表格） 3、作速度图（绝对速度必为对角线） 4、求解（几何法；解析法）
§7-３
点的加速度合成定理
va v r ve
d va d v r d ve dt dt dt aa a r ae
说明：运动主体、运动形式
合成运动中动参考系的选取法
是 系 统 中的 同 一个 点 。
４ 动系 、 ） 定系的选取方法不是唯一的 。 选择不同的定 系。 动系都可 运 动轨 迹 十 分 明 显 、 单 且 为 已知 的 圆 ， 问题 得 以顺 利 解决 。 果 动 能 会 解 决 问 题 ， 解 决 问题 的 难 易 程 度 则 相差 较 大 。 简 使 如 但 坐 标 系 的 原 点 固结 在 凸轮 的其 它点 ， 如 在 Ｏ ， 相 对 运 动 还 是 以 例 点 其 在教学 中一定 要强调： 点、 动 动坐标 系的原点及其 坐标轴方 向选
一
其 他 坐标 系 的运 动 ． 及 此 坐 标 系 对 原 坐 标 系 的 运 动 ， 单 可 以 归 纳 变 的， 而相对运动轨迹一定是个 圆， 以 简 故 只是平移 了ｒ， ，固结在转动剐体 为 “ 点 二 系 三 运 动 ” 这就 是 合 成 运 动方 法 的基 本 思 想 。相 对 运 动 轨 上 动 参 考 系 的原 点 及 其 坐 标 轴 的方 向 与 相对 运 动 轨 迹 没 有 关 系 。但 一 ， 迹 的确 定 与动 点 、 参 考 系 选 取 有 直 接 关 系 ， 动 它是 解 题 技 巧 中 最 关 键 是 。 选取动坐标 系转动过程中任意时刻让 ｘ轴过 ０ Ｃ两点 ， 学生易想象 的 、 是 难 确 定 的 。 课 时发 现 同学 们 易 理解 动 参 考 系 做 平 动 ， 不 易 动 点 的相 对 运 动轨 迹 。 也 讲 最 ． 理解 的是 动 参 考 系做 转 动 。 此 问题 我与 本 所 老 师 一 起 进行 了探 讨 。 对 反 之 ， 选 凸 轮 上 的 点 （ 如 与 Ａ 重 合 之 点 ） 动点 ， 动 坐 标 系 若 例 为 而 例 如 ： 轮 机构 运 动如 图 １ 示 ． Ａ 凸 所 选 Ｂ杆 上 Ａ 为 动 点 ， 坐 标 系 与 Ａ 动 Ｂ秆 固 结 ， 样 ， 对 运 动 轨 迹 不 仅 难 以确 定 。 且 其 曲 率 半 径 未 这 相 而
理论力学课件 14.3 动点、动系的选择
点的速度合成定理3、动点、动系的选择
动点、动系的选择
绝对运动：直线运动相对运动：圆周运动
牵连运动：定轴转动
动点：轮上和杆接触点动系：杆
绝对运动：圆周运动相对运动：曲线运动牵连运动：平移
选择持续接触点为动点
动点：轮心
动系：杆
绝对运动：圆周运动相对运动：圆周运动
牵连运动：平移
平底凸轮机构
绝对运动：直线运动相对运动：曲线运动
牵连运动：定轴转动
动点：轮上与板接触点动系：板
绝对运动：圆周运动相对运动：曲线运动牵连运动：平移
动点：轮心
动系：板
绝对运动：圆周运动相对运动：直线运动牵连运动：平移
动点：盘心
动系：杆
绝对运动：圆周运动相对运动：直线运动
牵连运动：定轴转动
动点：O点
动系：杆
绝对运动：直线运动相对运动：直线运动牵连运动：定轴转动动点、动系选择
点的速度合成定理。
关于《动点和动系的选择原则》
B/ y
y
A B G
aen
a0
G
v0
(a) 图 6-1
ve
G
ar
x
va
x
aa
ae
(c)
vr
(b)
解： （1）小车 G 作平动运动，可视为点并选取为动点，动系固结于荡木 AB。 （2）运动分析：绝对运动为直线运动（规律已知） ，相对运动为未知的平面曲线运动，牵连 运动为荡木 AB 的曲线平动。 （3）速度分析： 速度矢量方程
[注意] 本例的合成问题类型可归纳成：运动的物体上有一动点作相对运动。动点和动 系的选择原则是：动点取有相对运动的点，动系固结于运动物体。 本例中动点的相对运动规律及动系牵连运动规律已知， 欲求动点的绝对运动， 属于运动 的合成问题。 当牵连运动为转动时，应注意科氏加速度的存在及计算，并能熟练判定其方向。为了求 得科氏加速度 aC ，必须先进行速度分析，求出动系的牵连角速度 ωe 及动点的相对速度 v r 。 写出加速度矢量方程后，可用投影式进行定量计算。 例 6-3 图 6-3 所示机构中，曲柄 OA 绕 O 轴以角速度 匀速转动，通过滑块带动摇杆 O1B 绕 O1 轴摆动，已知曲柄长和两轴间的距离 OA=OO1=r，O1B=2r。试求当 60 时 B 点的速度和加速度。
（4）加速度分析 加速度矢量方程
n a a a e ae a r
大小 方向
√ √ √ √
√ √
？ ？
n 2
加速度图如图 6-1c 所示 （由于 ar 大小与方向未知， 故可先做假设） ， 其中 aa a0 ，ae l ，
ae l 。由于只有两个未知要素，因此问题可解。
点的合成运动中动点＼动系的选取原则和方法
点的合成运动中动点＼动系的选取原则和方法摘要系统阐述点的合成运动中动点、动系的四条选取原则及各类问题中动点和动系的选取方法,并列举实例加以分析说明。
关键词合成运动;动点;动系;选择点的合成运动是理论力学的运动学部分的重点,同时也是难点,对初学的大学生和部分青年教师来讲,都是不太容易理解和掌握的。
在合成运动理论中,首先要选定一个动点,它可以是抽象为点的刚体,也可以是运动刚体上的某一确定点。
然后选定两个坐标系:定系和动系,通常把固结在地球上的坐标系选为定系,固结在其他相对于地球运动的参考体上的坐标系选为动系。
最后再分析三种运动:绝对运动、相对运动和牵连运动。
这其中,选取合适的动点、动系最为关键,它是解题技巧中最重要的,也是难以确定的。
动点、动系选择得合适,三种运动分析就很简单,速度分析和加速度分析也就顺理成章。
选取动点、动系一般应遵循如下四条原则:1)动点与动系不能选在同一物体上。
动点相对于动系是运动的,若选在同一物体上,就没有相对运动。
2)动系固结在相对于定系运动的物体上。
3)动点的相对运动轨迹要清楚,容易判断,从而便于确定相对速度和相对加速度的方位。
4)动点在运动过程中必须是系统中同一个确定的点。
它可以是抽象为点的刚体,也可以是运动刚体上的某一确定点。
下面针对几种不同问题,归纳出动点、动系的选取方法,并列举实例加以分析说明。
学生只要记住这些机构的特点和相应的动点、动系的选择方法,并针对具体题目应用即可。
1两物体之间通过小圆环相互连接可选小圆环为动点,动系固结在其中一运动物体上。
图1 图2如图1所示的运动机构中,小环M套在直杆OA与直角曲杆OBC上。
选小环M为动点,动系固结在绕O轴转动的直角曲杆OBC上,注意动系不能选在OA 杆上,因为OA杆相对地面不动。
则绝对运动为沿OA的直线运动,相对运动为沿BC的直线运动,牵连运动为杆OBC的定轴转动。
速度分析如图所示。
2运动机构中的不同情况一杆状构件(甲)的一端始终与另一物体(乙)的轮廓相接触。
动点、动系选取方法的讨论
动点、动系选取方法的讨论作者：翟明来源：《建材发展导向》2014年第06期摘要：正确的选择动点、动系是解决合成问题的关键，熟练掌握动点、动系的选取方法在解决运动学问题时是非常必要的。
关键词：合成运动；动点、动系；选取在大一的理论力学学习中，点的合成运动是运动学部分中相对困难的，它充分体现了理论力学学科的特点，“理论易懂，做题难”。
对初学者来说是不太容易理解和掌握的。
合成运动理论是把一个复杂的运动分解成几个简单的运动，求得简单运动后，再加以合成，是一种化繁为简解决问题的巧妙方法。
在解合成运动的题目时，首先要选取一个动点，然后选点两个坐标系：动系和定系，接着分析三种运动：绝对运动，相对运动，牵连运动。
最后根据题目要求作出速度分析和加速度分析。
其中正确的选择动点、动系是解决此类问题的关键，也是解题中最重要和难以确定的。
动点、动系选的合理，三种运动的分析就会非常的简单，接下来的速度加速度分析也就不成问题了。
所以，动点、动系正确合理的选择是解决速度合成问题的点睛之笔。
动点和动系的选择应遵循的一般原则为：（1）动点和动系不能在同一个物体上，以保证动点相对于动系运动；（2）动点相对动系的相对运动轨迹要明显，简单（直线、圆），否则将给求解带来困难。
合成运动的题目类型多种多样，动点、动系的选取方法因情况不同而有所区别，下面将针对几种不同的问题加以归纳总结。
1 两物体通过小圆环连接可选小圆环为动点，动系固结在机构中一运动的刚体上。
图1所示的机构中，小环M连接在横杆OA和直角弯杆OBC上。
很显然，要选小圆环M为动点，因为横杆OA相对于地面是静止的，所以动系不能选在OA杆上，故动系要固结在绕O轴做逆时针转动的直角弯杆OBC上。
则绝对运动为M沿OA的直线运动，相对运动为M沿BC的直线运动，牵连运动为直角弯杆OBC的定轴转动。
速度、加速度分析如图1（b）（c）所示。
2 两物体中一物体的接触点不变两物体在运动过程中有一接触点，并且有一个物体甲上的接触点始终不变，则选其为动点，动系固结于另一运动物体乙上。
第七章点的合成运动
D
1
A
M r B
C
e
A C
2
r
D 1
B M
例6 在图示平面机构中, 半径R = 15 cm的圆凸轮以匀角速度
w = 2 rad/s绕O轴转动, 带动半径r = 3 cm的小轮, 使铰接于小 轮轮心A的顶杆AB作铅垂平动, 小轮与凸轮间无相对滑动, OC = e = 6 cm。若以A为动点, 凸轮为动系, 试求图示 j = 60°, ∠OCA = 90°位置时点A的速度 。
一个动点 动点——研究点
两个参考系
定参考系——固连于地面
的参考系。oxyz
y
动参考系——相对于定系
有运动的参考系。oxyz
y’ x’
A’ A
Px
y’ x’
B P
三种运动 绝对运动——动点对于定参考系的运动。（点的运动） 相对运动——动点对于动参考系的运动。（点的运动）
牵连运动——动参考系对于定参考系的运动。（刚体的运动）
三种运动的速度和加速度
绝对运动的速度和加速度——动点相对于定系而言，a , aa 相对运动的速度和加速度——动点相对动系而言 r , ar 牵连运动的速度和加速度——? e, ae
二、 速度合成定理
动点: M
定系: oxyz
动系: o’x’y’z’ 固结在 运动
r
r物 体r上o（载体）
dr
两点重要结论
运动的相对性 —— 物体对于不同 的参考系, 运动各不相同。
绝对运动与相对运动都是指点的 运动；牵连运动则是刚体 的运动。
例1
已知:＝10rad/s OA＝25cm OO1＝60cm,＝60
求 ： O1B , r（ 套 筒 相 对 O1A 杆 的速度）
理论力学第八章点的合成运动和例题讲解
MM' ＝ MM1 ＋ M1M'
MM' ＝ MM1 ＋ M1M' 将上式两边同除以△t， 取△t →0时的极限，得
lim M M lim M M 1 lim M 1 M t 0 t t 0 t t 0 t
va vevr
即在任一瞬时动点的绝对速度等于其牵连速度与相对速度 的矢量和，这就是点的速度合成定理。 说明：① 点的速度合成定理适用于牵连运动（动系的运动）为
O1B的角速度1。
解：取OA杆上A点为动点，摆杆O1B 为动系，基座为静系。
绝对速度va = r ，方向 OA
相对速度vr = ? 方向//O1B 牵连速度ve = ? 方向O1B
由速度合成定理 va vevr作出速度平行四边形 如图所示。
ve vasin r
r r2 l2
r 2 r2 l2
则
1. 绝对运动：动点相对于静系的运动。 2. 相对运动：动点相对于动系的运动。 点的运动 3. 牵连运动：动系相对于静系的运动。 刚体的运动 在任意瞬时，动坐标系中与动点相重合的点叫牵连点。
绝对运动中动点的速度与加速度称绝对速度 v a 与绝对加速度 a a 相对运动中动点的速度和加速度称相对速度 v r 与相对加速度 a r
§8-2 点的速度合成定理
点的速度合成定理将建立动点的绝对速度、相对速度和牵连 速度之间的关系。
设有一动点M按一定规律沿着固连于动系O’x’y’z’ 的曲线AB 运动, 而曲线AB同时又随同动系O’x’y’z’ 相对静系Oxyz运动。
当t t+△t 时 AB A' B' ， M M' 也可看成M M１ M´
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点的合成运动中动点＼动系的选取原则和方法
摘要系统阐述点的合成运动中动点、动系的四条选取原则及各类问题中动点和动系的选取方法,并列举实例加以分析说明。
关键词合成运动;动点;动系;选择
点的合成运动是理论力学的运动学部分的重点,同时也是难点,对初学的大学生和部分青年教师来讲,都是不太容易理解和掌握的。
在合成运动理论中,首先要选定一个动点,它可以是抽象为点的刚体,也可以是运动刚体上的某一确定点。
然后选定两个坐标系:定系和动系,通常把固结在地球上的坐标系选为定系,固结在其他相对于地球运动的参考体上的坐标系选为动系。
最后再分析三种运动:绝对运动、相对运动和牵连运动。
这其中,选取合适的动点、动系最为关键,它是解题技巧中最重要的,也是难以确定的。
动点、动系选择得合适,三种运动分析就很简单,速度分析和加速度分析也就顺理成章。
选取动点、动系一般应遵循如下四条原则:
1)动点与动系不能选在同一物体上。
动点相对于动系是运动的,若选在同一物体上,就没有相对运动。
2)动系固结在相对于定系运动的物体上。
3)动点的相对运动轨迹要清楚,容易判断,从而便于确定相对速度和相对加速度的方位。
4)动点在运动过程中必须是系统中同一个确定的点。
它可以是抽象为点的刚体,也可以是运动刚体上的某一确定点。
下面针对几种不同问题,归纳出动点、动系的选取方法,并列举实例加以分析说明。
学生只要记住这些机构的特点和相应的动点、动系的选择方法,并针对具体题目应用即可。
1两物体之间通过小圆环相互连接
可选小圆环为动点,动系固结在其中一运动物体上。
图1 图2
如图1所示的运动机构中,小环M套在直杆OA与直角曲杆OBC上。
选小环M为动点,动系固结在绕O轴转动的直角曲杆OBC上,注意动系不能选在OA 杆上,因为OA杆相对地面不动。
则绝对运动为沿OA的直线运动,相对运动为沿BC的直线运动,牵连运动为杆OBC的定轴转动。
速度分析如图所示。
2运动机构中的不同情况
一杆状构件(甲)的一端始终与另一物体(乙)的轮廓相接触。
此时选构件甲上的接触点为动点,动系固结在构件乙上,则相对运动轨迹为乙物体的轮廓线,可以
是直线、圆周线或曲线。
如图2所示的凸轮顶杆机构。
选顶杆AB上与凸轮的接触点A为动点,动系固结在凸轮上。
绝对运动为沿AB的直线运动,牵连运动为凸轮绕O轴的转动。
学生比较难理解的是相对运动,应该强调要站在凸轮上观察动点的运动,则动点只能沿着凸轮的外边缘运动,因而相对运动轨迹只能是凸轮的轮廓线,相对速度沿轨迹的切线方向,与CA垂直,图中C为轮廓线在A点的曲率中心。
速度分析如图所示。
3运动机构通过滑块(或套筒)传递运动
滑块与一物体铰结,且可在另一物体上滑动。
此时选择滑块为动点,动系固结在带滑槽的物体上,则相对运动轨迹沿滑道。
图3图4
如图3所示的运动机构中,滑块C与CD杆铰接,并套在AB杆上。
选滑块C 为动点,动系固结在杆AB上,则绝对运动为沿CD的直线运动,相对运动为沿AB 的直线运动,牵连运动为杆AB的曲线平移。
速度分析如图所示。
4两运动物体的轮廓线相切触点的不断变化
此时接触点是随时间不断变化的。
这种情况下,不能选接触点为动点。
若接触时甲物体的轮廓线为直线,乙物体的轮廓线为圆周线,如图4所示的平底顶杆凸轮机构,选凸轮的圆心为动点,动系固结在平底顶杆上。
则站在顶杆上观察到凸轮的圆心在运动过程中,始终与顶杆平底BD保持相等的距离R,所以相对运动轨迹是一条与BD平行且距离为半径R的直线。
故相对速度、相对加速度均沿这条直线。
速度分析如图所示。
本题中还需要强调的是动系并不完全等同于与之相连的刚体,它不受特定的几何尺寸和形状的限制,它不仅包含了与之固连的刚体.而且还包含了随刚体一起运动的空间。
应该指出,动系、定系的选取方法并不是唯一的,选择不同的定系、动系都可能会使问题得到解决,但解决问题的难易程度则相差较大。
参考文献
[1]哈尔滨工业大学理论力学教研室编.理论力学(I).北京:高等教育出版社,2009.
[2]黄海明.合成运动中动参考系的选取法.科技信息.2010,2:17.
[3]陈奎孚,王建立.合成运动分析的五”相”型.邢台职业技术学院学报,2009,26:1.
[4]王晨.点的合成运动中动点和动系的选择.山西建筑,2004,30,24.。