作两圆外公切线的原理
两圆公切线
怎样确定两圆的内公切线和外公切线答：首先应弄清公切线、内公切线和外公切线等概念．和两个圆都相切的直线，叫做两圆的公切线．两个圆在公切线同旁时，这样的公切线叫做外公切线图1(1)．两个圆在公切线6d22aeae8db846b70d2b475bba1b063c两旁时，这样的公切线叫做内公切线图1(2)．根据定义可以分清什么是两圆的内公切线，什么是两圆的外公切线．由于两圆的位置不同，这两圆的公切线条数也不相同．下面分别讨论．(1)当两圆外离时，可以作两条外公切线和两条内公切线，故共有4条公切线；(2)当两圆外切时，可以作两条外公切线和1条内公切线，故共有3条公切线；(3)当两圆相交时，可以作两条外公切线，而无法作出内公切线，故共有2条公切线；(4)当两圆内切时，只可作1条外公切线，而无法作两圆的内公切线，故共有1条公切线；(5)当两圆内含时，没有公切线．反过来，若两圆有4条、3条、2条、1条、没有公切线时，也可判定两圆的位置关系分别是外离、外切、相交、内切、内含．介绍两圆相外离时公切线的作法如下．作两圆的公切线，关键是作出切点，解决问题的方法是把它转化为过一点作圆的切线问题．可以想像把两圆中较小的一个圆的半径逐渐变小，最后成为一个点的情况；与小圆半径变小的同时，大圆的半径也相应地变小相等的长度，可结合画图，得到作相离两圆的外公切线转化为过圆外一点作圆(辅助圆)的切线．所以得出要先作出和大圆同心，并且半径等于两半径之差的辅助圆．如图2所示，画两个圆的公切线时，总是以较大的圆的圆心为圆心，先画一个辅助圆．如果是画外公切线．那么辅助圆的半径等于两圆半径的差；如果要画的是内公切线，那么辅助圆的半径等于两圆半径的和．辅助圆画好后，再从较小的圆的圆心作辅助圆的切线，连结切点和较大圆的圆心的线段，使之与较大圆相交于一点(画外公切线时要延长)，然后过这交点画辅助圆的切线的平行线，就得到要画的公切线．总之，画外公切线和画内公切线的方法是一样的，只是辅助圆的半径不同．当两圆外切、两圆相交时两圆外公切线的作法与两圆外离时的作法基本相同．想一想两圆外切时内公切线的作法(过切点作两圆连心线的垂线)．1421-1638-9529-3184。
《两圆的公切线》课件-02
圆的外公切线长为 ，内公切线长
为 ，连心线与外公切线的夹角
为 ，连心线与内公切线夹角的
正弦值是
.
By 杜小二
引伸：如图，两圆 轮叠靠墙旁，已知 A
两轮的半径分别是 R和r（R＞r），求 它们与墙的切点A B 与B间的距离.
O1 O2
2.如图，已知两圆外切于点P，AB是 By杜小二
两圆的外公切线，A、B为切点.连结
⑴求证：AD·GB=HD·EB；
⑵若CD=6，GF=1，
求 EB 的值. GB
E
A
GF
O1 B O2
C HD
By 杜小二
第九讲
圆与圆的位置关系
之两圆的公切线
有关公切线的基本图形和主要结论： By 杜小二
1.当两圆的公切线条数分别是1，2，3，4条
时，这两圆的位置关系分别是 .
2.两个解题图：
A B
E
AE
O1
O2
O1
O2
B
By 杜小二
1.已知⊙O1的半径4cm， ⊙O2的半径 1cm，两圆的圆心距为6cm，那么两
PA、PB，则△是怎样的三角形？试
证明你的结论。
B A
O1 P O2
引伸1.上题条件不变.
By 杜小二
⑴延长AP 交⊙O1于C，连结BC，试 证明BC2=PC·AC；
⑵过C作CD切⊙O2于D，则CD与BC 有怎样的大小关系，试证明.
B A
O1 P O2
C
D
引伸2.如图， ⊙O1与⊙O2外切于点P，By 杜小二 AB是两圆的公切线，切点为B，A.连
⑴求证：AB2=AD·BC
A
⑵如图乙,当O1 P O2
点时,结论AB2=AD·BC
圆规直尺基本作图尺规作图
a 基本作图第一节基本作图没有具体的定义。
在第一章中提到，凡是尺规作图有解的作图问题， 都可以通过执行一连串的作图公法实现。
对相对简单的问题，公法作图的步骤及作图原理一目了然，而对复杂问题，作图步骤可能多达几十步甚至上百步，全用作图公法一步步描述及画出，图形非常复杂，令人眼花缭乱，作图原理也不容易看出。
所以为了描述方便，一般将相对简单的作图归类为基本作图，复杂作图由这些基本作图叠加就行了。
一些基本作图如：（1）作一条线段等于已知线段； （2）作一个角等于已知角； （3）作已知角的角平分线； （4）过一点作已知直线的垂线； （5）作出已知两点间的任意等分点；（6）加法、减法（已知线段 a ，b ，作长度等于 a +b 、a -b 的线段）；（7）乘法、除法（已知线段 a ，b 及单位长度线段 c ，也就是 c =1，作出长度等于 ab 、a /b 的线段）； （8）开平方（已知线段 a 及单位长度线段 c ，也就是 c =1，作出长度等于 的线段）。
从上面几条可以看出，对已知量的加、减、乘、除及开方作图问题，尺规作图都可以实现，具体的“尺规作图可能性判定准则”是：如果一个给定作图问题所求未知量，能由若干个已知量的有限次有理运算及开平方运算得到，那么这个作图问题可以仅用尺规作出，否则不能仅由尺规作出。
应当指出，线段是一个量，加减法是直接对量的运算，所以作图过程不必先定义单位量的大小（当然，非要定义单位量也是可以的）；乘法是对 n 个相同量的加法，这个“n ”是一个数不是一个量，不定义单位量无法知道 n 值大小，所以乘法作图需要预先定义单位量大小；线段相除，结果是一个数，不是一个量，不定义单位量，无法知道结果数值大小，所以除法作图也需要预先定义单位量的大小； 同样开方也涉及数的运算，也需定义单位量的大小后作图才能进行。
基本作图第二节1．作线段等于已知线段已知线段 AB 和一点 C ，过 C 点求作一线段等于 AB 。
两圆的公切线()
O1
O2
B
A R
r
CO1O2源自(1)若⊙O1和⊙O2外离，则连结O1A , O2B和O1O2
∵AB切两圆于点A、B ∴O1A⊥AB，O2B⊥AB
得直角梯形O1ABO2，
过O1作O1C ⊥ O2B于C点，得矩形ABCO1 ，
在Rt△O1O2C中，O1C＝AB，O2C＝R－r
O1C2＝O1O22－O2C2
D四点，AB、CD都是⊙O1和⊙O2的外公切线，线段AB、
CD的长就是外公切线的长。图(2)中的AB、CD分别与⊙O1
和⊙O2相切于A、B、C、D四点，直线AB、CD都是⊙O1
和⊙O2的内公切线，线段AB、CD的长就是内公切线的长。
3．外公切线长的计算：
设有⊙O1和⊙O2其半径分别为r和R，AB是⊙O1和⊙O2 的外公切线、切点分别为A、B。怎样求公切线AB的长呢？
O1 C O O2
B
故只须证EF2＝AC·CB， EF是⊙O1和⊙O2的外公切线，
这就使人联想到处理外公切线求法的常用方法将其构置 在一个直角三角形中，然后用勾股定理解之。
D
F E
P
证明：
A
O1 C O O2
B
连结AD、BD，设⊙O1和⊙O2的半径分别为r、R
∵AB为⊙O直径 ∴∠ADB＝90°
∵CD⊥AB于C ∴△ACD∽△DCB
B A
P C
O1
O2
证明： 连结O1A、O2B，作O1C⊥O2B于C ∵AB切两圆于点A、B ∴O1A⊥AB，O2B⊥AB ∴ABCO1为矩形 ∴BC＝AO1，AB＝O1C ∴O2C＝r2－r1
又∵ ⊙O1与⊙O2外切于点P ∴O1O2＝r1＋r2
在Rt△O1O2C中
两圆的公切线方程求法
两圆的公切线方程求法
两圆的公切线方程可以通过以下步骤求解：
步骤1，首先，我们需要确定两个圆的方程。
假设第一个圆的方程为 (x-a1)^2 + (y-b1)^2 = r1^2，第二个圆的方程为 (x-
a2)^2 + (y-b2)^2 = r2^2，其中(a1, b1)和(a2, b2)分别为两个圆的圆心坐标，r1和r2分别为两个圆的半径。
步骤2，接下来，我们需要计算两个圆心之间的距离 d，公式为d = √((a2-a1)^2 + (b2-b1)^2)。
步骤3，然后，我们计算两个圆的半径之和 r，公式为 r = r1 + r2。
步骤4，接着，我们计算两个圆的半径之差 s，公式为 s =
|r1 r2|。
步骤5，根据r和s的大小关系，可以分为外切、内切和相离三种情况。
当d > r时，两圆相离，没有公切线；
当d = r时，两圆相切，有一条公切线；
当s < d < r时，两圆相交，有两条内公切线和两条外公切线。
步骤6，根据具体情况，我们可以使用几何方法或者代数方法
求出公切线的方程。
以内公切线为例，可以通过联立两个圆的方程
并解方程组得到公切线的方程。
综上所述，求解两圆的公切线方程需要根据具体情况进行分析，并应用几何或代数方法进行计算。
希望以上步骤能够帮助你理解如
何求解两圆的公切线方程。
两圆的公切线(2)(PPT)5-3
4．范例解析：
例1 要做一个如图那个的V形架，将两个钢管托起，已知 钢管的外径分别为200mm和80mm，求V形角的度数。C O1 NhomakorabeaA
D
B O2 E P
1．内公切线的概念： 在上一讲的学习中，我们已经知道：和两个圆都相切
的直线，叫做两圆的公切线，若两个圆在公切线两旁时， 这样的公切线叫做内公切线。
当两圆外离时，有两条内公切线，当两圆外切时有一 条内公切线，两圆相交，内切或内含时无内公切线。
两圆的公切线方程
两圆的公切线方程全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：两圆的公切线方程是解析几何中的一个重要概念，它可以帮助我们研究两个圆之间的关系以及它们之间的相互作用。
在数学领域中，圆是一种几何图形，具有一定的特定形状和性质。
而两个圆之间的公切线则是指相切于这两个圆的直线，也就是同时与两个圆相切的一条直线。
通过求解两个圆的公切线方程，我们可以得到关于两圆的一些重要性质和结论，进而为我们的研究和分析提供依据。
在解析几何中，我们通常将两个圆分别表示为两个圆心分别为（a，b）和（c，d），半径分别为r1和r2的圆。
现在我们来研究两个圆之间的公切线。
对于一个与两个圆都相切的公切线，我们可以将其表示为y=kx+m，其中k为斜率，m为截距。
公切线同时与两个圆相切，意味着公切线上的任意一点都满足圆的切线条件。
圆的切线条件是指：圆心到切点的距离等于半径，即（中文维基百科“公切线”一词解释：两个圆的公共切线，相对于两个圆在共同的一个切线。
两个固定圆，存在两个现实的共同切线，并在除开这两个半径正好即的地方，圆心的连线在不发生穿插），公切线的形成条件如下：两个圆的圆心之间的距离等于两个圆半径之差或之和。
根据两个圆的圆心和半径的不同相对位置，可以分为以下几种情况：1. 两个圆外切：当两个圆外切时，它们之间存在4条公共外切线。
这些外切线的斜率以两圆心之间的连线为基准，可以通过简单的几何推导来得到。
3. 一个圆包含另一个圆：当一个圆完全包含另一个圆时，它们之间不存在公共切线。
对于两个圆外切的情况来说，两个圆之间的公切线方程可以通过如下的方法得到。
我们可以设公切线的斜率为k，截距为m。
然后，我们可以根据圆的切线条件，得到两个方程：（a-c）² + (b-d)² = (r1+r2)² （1）y = kx + m （2）将公切线方程（2）代入圆的切线条件方程（1）中，并解方程组，就可以得到两个圆外切时的公切线方程。
精选掌握求两圆内外公切线长的方法
9．若⊙O1与⊙O2外离，A、B是一条内公切线与两条外公切线的交点，则 AB的长( )
A．等于一条外公切的长。
B．等于内公切线长与外公切线长的平均数。
C．等于内公切线长与外公切线长的比例中项。
D．当且仅当两圆为等圆时等于一条外公切线的长。
10．已知：如图，两圆外切于P，直线MN与两圆分别切于M、N，过P作一直 线交两圆于A、B，
如图，作O1E∥AB交O2B的延长线于E，
两圆外离时，有两条内公切线、由圆的对称性可知这两条内公切线的长相等，且两公切线的交点在连心线上，连心线平分两内公切线的夹角。如图(1)所示：内公切线 AB ＝CD，AB与CD的交点P在连心线O1O2上，∠APO1＝∠CPO2 .
E
构成Rt△O1EO2，
A．一条外公切线长的二倍。
B．两条内公切线长的和。
C．一条外公切线长和一条内公切线长的和。
D．两条内公切线长和一条外公切长的和的一半。
9．设相离的半径分别为4cm和2cm，且它们的两条内公切线互相垂直，则内公切线的长为_______cm。
10．若两外切，内公切线和一条外公切线相交成60°的角，则小圆半径与大圆半径之比为_______ 。
解：
∴O1C＝AB＝6cm，O1A＝BC
∴O2C＝O2B＋BC＝O2B＋O1A＝8cm
分析：
例3 如图5，已知⊙O1和⊙O2的内公切线CD和外公切线AB分别与连心线O1O2相交于P、Q，
直接证明这个比例式较困难，
注意CD为内公切线，
连O1C、O2D可得O1C∥O2D，
连O1B、O2A可得O1B∥O2A，
1．两圆半径分别为8和5，若两圆共有三条公切线，那么圆心距d为( )
A．d＝3 B．3＜d＜13 C．d＝13 D．d＞13
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作两圆外公切线的原理
纸上画“两圆A和B”的外公切线作法：
（1）作AB线段的中点M点，以M为圆心，AM为半径作圆1，再以A为圆心，圆A、B之半径差为半径作圆2，则此两圆（1、2）交於点Q，连接AQ，则与圆A交于点P，过P点作垂直线，即为公切线。
（2）注意：此处圆A大于圆B，即圆2在大圆内部才能成功。
1、两个不相交的圆在公切线的同旁时，这样的公切线叫做外公切线。
2、和两圆都相切的直线，叫做两圆的公切线。
两个圆在公切线同旁时，这样的公切线叫做外公切线。
两个圆在公切线的两旁时，这样的公切线叫做内公切线。