初中数学常考的知识点待定系数法
初中数学十大思想方法-待定系数法
初中数学思想方法——待定系数法在数学问题中，若得知所求结果具有某种确定的形式，则可设定一些尚待确定的系数(或参数)来表示这样的结果，这些待确定的系数(或参数)，称作待定系数。
然后根据已知条件，选用恰当的方法，来确定这些系数，这种解决问题的方法叫待定系数法。
待定系数法是数学中的基本方法之一。
它渗透于初中数学教材的各个部分，在全国各地中考中有着广泛应用。
应用待定系数法解题以多项式的恒等知识为理论基础，通常有三种方法：比较系数法；代入特殊值法；消除待定系数法。
比较系数法通过比较等式两端项的系数而得到方程（组），从而使问题获解。
例如：“已知x2-3=（1-A）·x2＋Bx＋C，求A，B，C的值”，解答此题，并不困难，只需将右式与左式的多项式中对应项的系数加以比较后，就可得到A，B，C的值。
这里的A，B，C就是有待于确定的系数。
代入特殊值法通过代入特殊值而得到方程（组），从而使问题获解。
例如：“点（2，﹣3）在正比例函数图象上，求此正比例函数”，解答此题，只需设定正比例函数为y=kx，将（2，﹣3）代入即可得到k的值，从而求得正比例函数解析式。
这里的k就是有待于确定的系数。
消除待定系数法通过设定待定参数，把相关变量用它表示，代入所求，从而使问题获解。
例如：“已知b2a3=，求a ba b-+的值”，解答此题，只需设定b2=ka3=，则a=3k b=2k，，代入a ba b-+即可求解。
这里的k就是消除的待定参数。
应用待定系数法解题的一般步骤是：（1）确定所求问题的待定系数，建立条件与结果含有待定的系数的恒等式；（2）根据恒等式列出含有待定的系数的方程（组）；（3）解方程（组）或消去待定系数，从而使问题得到解决。
在初中阶段和中考中应用待定系数法解题常常使用在代数式变型、分式求值、因式分解、求函数解析式、求解规律性问题、几何问题等方面。
下面通过2011年和2012年全国各地中考的实例探讨其应用。
一.待定系数法在代数式变型中的应用：在应用待定系数法解有关代数式变型的问题中，根据右式与左式多项式中对应项的系数相等的原理列出方程（组），解出方程（组）即可求得答案。
因式分解的常用方法(基本公式法,分拆法,配方法,换元法,待定系数法)
因式分解方法归纳总结第一部分：方法介绍初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法.本讲及下一讲在中学数学教材基础上，进一步着重换元法，待定系数法的介绍.、提公因式法.：ma+mb=m(a+b)、运用公式法.(1) (a+b)(a -b) = a 2-b2 ---------- a 2-b2=(a+b)(a -b);, 2 2, 2 2 , 2,2(2) (a ± b) = a ± 2ab+b ----------------- a ± 2ab+b =(a ± b);(3) (a+b)(a 2-ab+b2) =a 3+b3------ a 3+b3=(a+b)(a 2-ab+b2);2 2、33 3 3 2 2、(4) (a -b)(a +ab+b ) = a -b -------------- a -b =(a -b)(a +ab+b ).F面再补充两个常用的公式：(5) a 2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c) 2;3,3 3 2,2 2(6) a +b +c -3abc=(a+b+c)(a +b +c -ab-bc-ca);例.已知a, b, c是ABC的三边，且a2 b2 c2则ABC的形状是()(二)分组后能直接运用公式ab bc ca,A.直角三角形B等腰三角形C等边三角形D等腰直角三角形解: a2 b2 c2 ab bc ca 2 2 22a 2b 2c 2ab 2bc 2ca(a b)2 2 2(b c) (c a)三、，分组分解法例 2、分解因式：2ax 10ay 5by解法一：第、二项为一组；第三、四项为一组。
解:原式=(2ax 10ay) (5by bx)= 2a(x 5y) b(x 5y)=(x 5y)(2a b)bx解法二：第一、四项为一组；第二、三项为一组。
原式=(2ax bx) ( 10ay 5by) =x(2a b)5y(2a b) =(2a b)(x 5y)练习：分解因式1、a2 ab ac bc 2、xy x y 1例3、分解因式：x2 y2 ax ay分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。
选修第5节待定系数法(初中数学培优)
数学思想方法谈（5）待定系数法待定系数法是一种常用的数学方法。
对于某些数学问题，如果已知所求结果具有某种确定的形式，则可引进一些尚待确定的系数来表示这种结果，通过已知条件建立起给定的算式和结果之间的恒等式，得到以待定系数为元的方程或方程组，解之即得待定的系数。
广泛应用于多项式的因式分解，恒等变形，以及求函数的解析式和曲线的方程等。
该方法的主要过程是将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。
然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，从而使问题得到解决。
例如，在关于x 的二次三项式中，当1x =时，其值为0；当3x =-时，其值为0；当2x =时，其值为10，求这个二次三项式。
这就是一种最简单的待定系数法！~~~~例1 .分解因式22231415xxy y x y +-++-.练习：分解因式432435x x x x -+++.举一反三: 是否存在常数,p q ,使得42x px q ++能被225x x ++整除？如果存在，求出p和q 的值；如果不存在，请说明理由.例 2. 已知多项式32x bx cx d +++的系数都是整数。
若bd cd +是奇数，证明这个多项式不能分解为两个整系数多项式的乘积.待定系数法不仅可以帮助我们分解因式，对于任意“半已知”结果的数学问题，都可以采用，使上述“半已知”变为已知。
例3.已知m 为任意常数，请问不管m 为任何值，关于x 和y 的二元一次方程：(32)(21)510m x m y m -+++-=是否存在定解？例4.已知12x y ≤+≤和134x y -≤-≤，求43x y -的范围。
初中数学重点梳理：待定系数法
待定系数法知识定位待定系数法是一种求未知数的方法。
将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。
对于某些数学问题，如果已知所求结果具有某种确定的形式，则可引进一些尚待确定的系数来表示这种结果，通过已知条件建立起给定的算式和结果之间的恒等式，得到以待定系数为元的方程或方程组，解之即得待定的系数。
广泛应用于多项式的因式分解，求函数的解析式和曲线的方程等。
知识梳理知识梳理1：待定系数法在多项式除法中的应用多项式除多项式时，其结果的形式我们往往是可以判断出的，在这种情况下，我们可以先假设出最后的结果（当然也是含未知数的），转化为等式再进行计算。
知识梳理2：待定系数法在因式分解中的应用在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程(或方程组)，解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法．知识梳理3：待定系数法在解方程中的应用在解一些复杂方程时，如果能够判断出方程的部分根，或者有方程根的一些限制条件；在这种情况下，采用待定系数的方法去解方程，往往可以有意想不到的效果。
知识梳理3：待定系数法在代数式恒等变形中的应用 知识梳理4：待定系数法在求函数解析式中的应用例题精讲【试题来源】【题目】已知多项式56423+-+x x x ，除式为12+x ，求它们相除所得到的商式和余式。
【答案】【解析】【知识点】待定系数法 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3【试题来源】【题目】已知r qx px x x ++++464234能被39323+++x x x 整除，求p,q,r 之值.【答案】【解析】【知识点】待定系数法 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3【试题来源】【题目】把多项式x 3－x 2+2x+2表示为关于x －1的降幂排列形式. 【答案】x 3－x 2+2x+2=(x －1)3+2(x －1)2+3(x －1)+4. 【解析】用待定系数法：设x 3－x 2+2x+2=a(x －1)3+b(x －1)2+c(x －1)+d 把右边展开，合并同类项（把同类项对齐）， 得 x 3－x 2+2x+2=ax 3－3ax 2+3ax －a +bx 2－2bx+b +cx －c +d 用恒等式的性质，比较同类项系数，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+-=+--=+-=2223131d c b a c b a b a a 解这个方程组，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====4321d c b a∴x 3－x 2+2x+2=(x －1)3+2(x －1)2+3(x －1)+4. 本题也可用换元法： 设x －1=y, 那么x=y+1.把左边关于x 的多项式化为关于y 的多项式，最后再把y 换成x －1.【知识点】待定系数法 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3【试题来源】【题目】已知：4310252323-+-++-x x x cbx x ax 的值是恒为常数求：a, b, c 的值.【答案】a = 1 b = 1.5 c = -2 【解析】【知识点】待定系数法 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】3【试题来源】【题目】分解因式：.310434422-+---y x y xy x【答案】【解析】【知识点】待定系数法【适用场合】当堂练习题【难度系数】3【试题来源】【题目】m为何值时，6522-++-ymxyx能够分解因式，并分解之.【答案】【解析】【知识点】待定系数法 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3【试题来源】【题目】已知：4x 4+ax 3+13x 2+bx+1是完全平方式.求： a 和b 的值.【答案】解得⎪⎩⎪⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧-==⎩⎨⎧-=-=⎩⎨⎧==172174 172174612612b a b a b a b a －或或或.【解析】设4x 4+ax 3+13x 2+bx+1＝（2x 2+mx±1）2（设待定的系数，要尽可能少.）右边展开，合并同类项，得4x 4+ax 3+13x 2+bx+1＝4x 4+4mx 3+(m 2±4)x 2±2mx+1. 比较左右两边同类项系数，得方程组⎪⎩⎪⎨⎧==+=m b m m a 213442； 或⎪⎩⎪⎨⎧-==-=m b m ma 213442.解得⎪⎩⎪⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧-==⎩⎨⎧-=-=⎩⎨⎧==172174 172174612612b a b a b a b a －或或或.【知识点】待定系数法 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3【试题来源】【题目】推导一元三次方程根与系数的关系. 【答案】见解析【解析】设方程ax 3+bx 2+cx+d=0(a≠0)的三个根分别为x 1, x 2, x 3.原方程化为x 3+02=++adx a c x a b . ∵x 1, x 2, x 3是方程的三个根. ∴x 3+=++adx a c x a b 2(x －x 1) (x －x 2) (x －x 3). 把右边展开，合并同类项，得 x 3+=++adx a c x a b 2=x 3－( x 1+x 2+x 3)x 2+(x 1x 2+x 1x 3+x 2x 3)x －x 1x 2x 3. 比较左右同类项的系数，得 一元三次方程根与系数的关系是： x 1+x 2+x 3=－a b ， x 1x 2+x 1x 3+x 2x 3＝a c ， x 1x 2x 3＝－ad.【知识点】待定系数法 【适用场合】课后两周练习 【难度系数】3【试题来源】【题目】已知：x 3+px+q 能被（x －a ）2整除.求证：4p 3+27q 2=0. 【答案】见解析 【解析】证明：设x 3+px+q ＝（x －a ）2（x+b ）. x 3+px+q=x 3+(b －2a)x 2+(a 2－2ab)x+a 2b.⎪⎩⎪⎨⎧==-=-③②①q b a p ab a a b 22202 由①得b=2a ， 代入②和③得 ⎪⎩⎪⎨⎧=-=3223aq ap∴4p 3+27q 2＝4（－3a 2）3+27(2a 3)2=4×（－27a 6）+27×（4a 6）=0. （证毕）.【知识点】待定系数法 【适用场合】课后一个月练习 【难度系数】3【试题来源】【题目】已知：f (x)=x 2+bx+c 是g (x)=x 4 +6x 2＋25的因式，也是q (x)=3x 4+4x 2+28x+5的因式.求：f (1)的值. 【答案】f (1)=4【解析】∵g (x),q (x)都能被f (x)整除,它们的和、差、倍也能被f (x)整除.为了消去四次项，设3g (x)－q (x)＝kf (x), (k 为正整数). 即14x 2－28x+70＝k (x 2+bx+c) 14（x 2－2x+5）＝k (x 2+bx+c) ∴k=14, b=－2, c=5. 即f (x)=x 2－2x+5. ∴f (1)=4 . 【知识点】待定系数法 【适用场合】阶段测验 【难度系数】4【试题来源】【题目】已知：23)2)(3(22++-+=+-+-x Cx B x A x x x x x ， 求：A ，B ，C 的值.【答案】A ＝－31. B ＝158. C ＝54. 【解析】去分母，得x 2－x+2=A(x －3)(x+2)+Bx(x+2)+Cx(x －3).根据恒等式定义（选择x 的适当值，可直接求出A ，B ，C 的值），当x=0时， 2＝－6A. ∴A ＝－31. 当x=3时， 8＝15B. ∴B ＝158.当x=－2时， 8＝10C. ∴C ＝54.【知识点】待定系数法 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】3【试题来源】【题目】分解因式：x 2+3xy+2y 2+4x+5y+3．【答案】原式=(x+2y+3)(x+y+1)．【解析】由于(x 2+3xy+2y 2)=(x+2y)(x+y)，若原式可以分解因式，那么它的两个一次项一定是x+2y+m 和x ＋y ＋n 的形式，应用待定系数法即可求出m 和n ，使问题得到解决． 设x 2+3xy+2y 2+4x+5y+3 =(x+2y+m)(x+y+n)=x 2+3xy+2y 2+(m+n)x+(m+2n)y+mn ， 比较两边对应项的系数，则有解之得m=3，n=1．所以原式=(x+2y+3)(x+y+1)．【知识点】待定系数法【适用场合】当堂练习题【难度系数】3【试题来源】【题目】分解因式：x4-2x3-27x2-44x+7．【答案】原式=(x2-7x+1)(x2+5x+7)【解析】分析本题所给的是一元整系数多项式，根据前面讲过的求根法，若原式有有理根，则只可能是±1，±7(7的约数)，经检验，它们都不是原式的根，所以，在有理数集内，原式没有一次因式．如果原式能分解，只能分解为(x2+ax+b)(x2+cx+d)的形式．解设原式=(x2+ax+b)(x2+cx+d)=x4+(a+c)x3+(b+d+ac)x2+(ad+bc)x+bd，所以有由bd=7，先考虑b=1，d=7有所以原式=(x2-7x+1)(x2+5x+7)．说明由于因式分解的唯一性，所以对b=-1，d=-7等可以不加以考虑．本题如果b=1，d=7代入方程组后，无法确定a，c的值，就必须将bd=7的其他解代入方程组，直到求出待定系数为止．本题没有一次因式，因而无法运用求根法分解因式．但利用待定系数法，使我们找到了二次因式．由此可见，待定系数法在因式分解中也有用武之地．【知识点】待定系数法【适用场合】随堂课后练习【难度系数】4【试题来源】【题目】已知方程0412924=-+-x x x 有两根为1和2，解这个方程【答案】x 1 = 1 x 2 = 2【解析】【知识点】待定系数法【适用场合】当堂练习题【难度系数】3【试题来源】【题目】已知方程012823=+--x x x 有两个根相等，解这个方程. 【答案】【解析】【知识点】待定系数法【适用场合】当堂练习题【难度系数】3【试题来源】【题目】要使多项式))(2(2q x px x -++不含关于x 的二次项，则p 与q 的关系是（）A 相等B 互为相反数C 互为倒数D 乘积等于1【答案】A【解析】【知识点】待定系数法【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3【试题来源】【题目】已知多项式43261312x x x x m -+-+是一个完全平方式，试求常数m 的值。
初中数学常考的知识点待定系数法
初中数学常考的知识点待定系数法待定系数法在初中数学中是一个非常重要的解题方法。
它通常用于解决一元一次方程组、二次方程、代数式的展开和因式分解等问题。
接下来，我将详细介绍待定系数法的基本概念、解题步骤以及一些常见的例题。
一、待定系数法的基本概念待定系数法是通过假设未知量的值为一些系数，然后通过数学运算得到方程组的解。
在待定系数法中，我们可以假设未知量是一个常数、一个变量，甚至是一个代数式。
二、待定系数法的解题步骤1.了解问题并设定未知量：首先，我们要仔细阅读题目，理解问题的要求，并确定需要求解的未知量。
2.假设未知量：根据题目的要求，我们根据经验和数学常识假设未知量的值。
3.建立方程：根据已知条件和假设的未知量，我们可以建立方程组或方程。
4.求解方程：将方程组或方程进行化简和整理，找到未知量的值。
5.验证解：将求得的未知量的值代入原方程中验证是否满足题目要求。
6.提出结论：根据求得的解和验证的结果，给出问题的最终解答。
三、待定系数法的常见例题1.一元一次方程组例题1：已知二次方程的两个根为4和-3，求该二次方程。
解析：根据二次方程的性质，已知根x1和x2，可以得到二次方程为(x-x1)(x-x2)=0，即(x-4)(x+3)=0。
将括号中的每个因式展开，得到x^2-x(4+3)+12=0，即x^2-7x+12=0。
2.二次方程例题2：求满足方程x^2+6x=8的x的值。
解析：我们可以假设x的值为a，即x=a，代入方程中得到a^2+6a=8、将方程化简为a^2+6a-8=0。
对于这个二次方程，我们需要用待定系数法求解，设定未知量为a，设定的a是一个常数。
然后，我们将这个方程因式分解为(a-1)(a+8)=0，即a-1=0或a+8=0。
解得a=1或a=-8，即x=1或x=-83.代数式的展开和因式分解例题3：将代数式(x-2)(x+3)展开。
解析：根据分配律，我们可以得到(x-2)(x+3)=x(x+3)-2(x+3)。
初中数学待定系数法分解因式
初中数学待定系数法分解因式待定系数法作为最常用的解题方法，可以运用于因式分解、确定方程系数、解决应用问题等各种场合。
其指导作用贯穿于初中、高中甚至于大学的许多课程之中，认真学好并掌握待定系数法，必将大有裨益。
【内容综述】将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。
然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法叫做待定系数法。
本讲主要介绍待定系数法在因式分解中的作用。
同学们要仔细体会解题的技巧。
【要点讲解】这一部分中，通过一系列题目的因式分解过程，同学们要学会用待定系数法进行因式分解时的方法，步骤，技巧等。
★★例1 分解因式2x^2+3xy-y^2+x+14y-15.? ? 思路1 因为2x^2+3xy-y^2=(x-y)(2x+3y),所以设原式的分解式是(x-y+m)(2x+3y+n),后展开，利用多项式的恒等,求出m、n的值。
? ?解法1因为2x^2+3xy-y^2=(x-y)(2x+3y),所以可设2x^2+3xy-y^2+x+14y-15=(x-y+m)(2x+3y+n)=2x^2+3xy-y^2+(2m+n)x+(3m-n)y+mn? ?比较系数得2m+n=1...(1) 3m-n=14...(2) mn=-15...(3) ?由(1)(2)得m=3,n=-5,带入(3)成立。
(想想，如果不成立说明什么?)所以2x^2+3xy-y^2+x+14y-15=(x-y+3)(2x+3y-5).? ?思路2 前面同思路1，然后给x,y取特殊值，求出m,n 的值。
? ? 解法2 因为2x^2+3xy-y^2=(x-y)(2x+3y),所以设原式的分解式是(x-y+m)(2x+3y+n), 因为该式是恒等式，所以它对所有使式子有意义的x,y都成立，那么无妨令x=0,y=0,得mn=-15...(1),令x=0,y=1得mn+3m-n+1=0...(2)解①、②得m=3,n=-5或m=5/3,n=-9,带入恒等式验证知m=3,n=-5.? ?说明：本题解法中方程的个数多于未知数的个数，必须把求得的值代入多余的方程逐一检验。
初中数学常考的知识点待定系数法
初中数学常考的知识点待定系数法一、代数式1.代数式的概念和性质2.代数式的基本运算（加、减、乘、除）3.代数式的合并同类项4.代数式的因式分解5.代数式的乘法公式和因式分解公式6.代数式的分式化简二、方程和不等式1.一元一次方程的解法及应用2.一元一次不等式的解法及应用3.一元二次方程的解法及应用4.一元二次不等式的解法及应用5.线性方程组的解法及应用6.绝对值方程和绝对值不等式的解法及应用7.一元一次方程与一元一次不等式的联立解法三、函数1.函数的概念和性质2.函数的四则运算和复合运算3.一次函数的图像和性质4.二次函数的图像和性质5.幂函数的概念和性质6.指数函数的概念和性质7.对数函数的概念和性质8.函数的应用题四、图形与几何1.平面图形的名称和性质2.空间图形的名称和性质3.角的概念、角的单位和角的平分线4.相交线和平行线的判定条件5.三角形的名称和性质6.四边形的名称和性质7.圆的概念和性质8.圆相关角的性质和定理9.相似三角形的判定和性质10.圆的相关定理和性质11.平面向量的概念和性质12.向量的线性运算及应用13.平面向量的垂直和平行五、统计与概率1.调查和统计的概念和方法2.数据的整理和表示方法3.统计指标（平均数、中位数、众数、四分位数）4.图表的读取和分析5.概率的概念和基本性质6.概率算法（加法、乘法、条件概率）7.排列和组合的计算六、实数1.有理数和无理数的性质和性质2.实数的大小比较3.实数的运算规则4.实数的绝对值和导数5.实数的非负数次根的概念和性质6.实数的多次方和根的运算以上是初中数学常考的知识点，涵盖了代数、方程和不等式、函数、图形与几何、统计与概率以及实数等各个方面。
初中数学的重点是建立数学基本概念和思维方法，培养数学思维和解决问题的能力。
通过充分掌握这些知识点，同学们可以更好地应对数学考试和日常学习中的数学问题。
待定系数法求二次函数解析式、二次函数与一元二次方程(解析版)-初中数学暑假自学课讲义(9年级人教版)
第09讲待定系数法求二次函数解析式、二次函数与一元二次方程【人教版】·模块一用待定系数法求二次函数解析式·模块二二次函数与一元二次方程·模块三课后作业用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：y=ax²+bx+c，已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式；（2）顶点式：y=a（x-h)²+k，已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式；（3）交点式：已知图像与x轴的交点坐标x1、x2，通常选用交点式：y=a（x-x1)（x-x2).【考点1用“一般式”求二次函数解析式】【例1.1】已知点A(1，2)、B(2，3)、C(2，1)，那么抛物线=B2+B+1可以经过的点是（）A．点A、B、C B．点A、B C．点A、C D．点B、C【答案】C【分析】先把o1，2)，o2，1)代入抛物线的解析式，求解抛物线的解析式为：=−2+ 2+1，再判断不在抛物线上，从而可得答案．【详解】解：把o1，2)，o2，1)代入抛物线的解析式，∴{++1=24+2+1=1即：{+=12+=0解得：{=−1=2,∴抛物线为：=−2+2+1,当=2时，=−4+4+1=1≠3,∴o2，3)不在抛物线=−2+2+1上，∴抛物线=B2+B+1可以经过的点是s u故选：u【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，抛物线上点的坐标特点，掌握以上知识是解题的关键．【例1.2】二次函数=B 2+B +自变量x 与函数值y 的部分对应值如下表．x …−10123…y…105212…则当=5时，y 的值为（）A ．2B ．1C ．5D ．10【答案】D【分析】先任选三组数据，利用待定系数法求出二次函数解析式，再计算当=5时的函数值.【详解】由表可知，二次函数y =B 2+B +o ≠0)的图象经过0,5,1,2,2,1，则=5++=24+2+=1，解得：=1=−4=5，∴二次函数解析式为：=2−4+5当=5时，函数值=2−4+5=52−4×5+5=10.故选：D【点睛】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用待定系数法求二次函数解析式.【例1.3】已知抛物线=B 2+B +≠0经过点（2，），（3，），（4，2），那么++的值是（）A ．2B ．3C ．4D ．【答案】A【分析】把点（2，），（3，），（4，2）代入抛物线，解三元一次方程组即可求解．【详解】解：∵抛物线=B 2+B +≠0经过点（2，），（3，），（4，2），∴4+2+=9+3+=16+4+=2，解得，=1−12=52−5=6−2，∴++=1−12+52−5+6−2=2，故选：A ．【点睛】本题主要考查二次函数与三元一次方程组的综合，掌握二次函数的代入法，解三元一次方程组的方法是解题的关键．【变式1.1】已知：二次函数=B 2+B +的图象经过点−1,0、3,0和0,3，当=2时，y 的值为__________．【答案】3【分析】根据题意可得交点式=−3+1，然后把0,3代入求出a 值，即可求出二次函数表达式．【详解】解：∵二次函数=B 2+B +的图象经过点−1,0、3,0∴抛物线的解析式为=−3+1，把0,3代入得：−3=3，解得：=−1，∴函数的解析式为=−−3+1，即=−2+2+3，∴当=2时，=−22+2×2+3=3，故答案为：3．【点睛】本题考查了求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题关键．【变式1.2】二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的表达式为（）A ．=2+2−3B ．=2−2−3C ．=−2+2−3D ．=−2−2+3【答案】B【分析】根据题意，由函数图像的对称轴及与x 轴的一个交点，则可以知道函数与x 轴的另一个交点，再根据待定系数法求解函数解析式即可．【详解】根据题意，二次函数对称轴为=1，与x 轴的一个交点为(−1,0)，则函数与x 轴的另一个交点为(3,0)，故设二次函数的表达式为=B 2+B +，函数另外两点坐标(−1,0)，(1,−4)可得方程组0=9+3+0=−+−4=++，解得方程组得=1=−2=−3，所以二次函数表达式为=2−2−3．故答案为B．【点睛】本题考查了用待定系数法求函数表达式的方法和二次函数的对称轴的问题，同时考查学生解方程组的知识，是比较常见的题目．【变式1.3】已知二次函数=B2+B+（a，b，c为常数）的部分取值如下表，该二次函数图象上有三点−4,1，−2,2，2,3，则1，2，3的大小关系是（）x-5-11y151A．1<2<3B．1<3<2C．3<1<2D．2<1<3【答案】C【分析】先根据表格数据，用待定系数法求出二次函数解析式，再把−4,1，−2,2，2,3，分别代入二次函数解板式，求出1，2，3的值，即可求解．【详解】解：把当=−5，=1，当=−1，=5，当=1，=1，代入=B2+B+，得25−5+=1−+=5++=1，解得：=−12=−2 =72，∴=−122−2+72，把−4,1，−2,2，2,3，分别代入=−122−2+72，得1=−12×−42−2×−4+72=72，2=−12×−22−2×−2+72=32，3=−12×22−2×2+72=−52，∴3<1<2，故选：C．【点睛】本题考查用待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握用待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．【考点2用“顶点式”求二次函数解析式】【例2.1】已知，二次函数的图像过点（1，18），顶点是（−1，−2），则此二次函数的表达式是（）．A．=52+10+3B．=52+10−2C．=52+10+7D．=52−10−3【答案】A【分析】设二次函数的解析式为=−ℎ2+，顶点是（−1，−2），则=+12−2，把（1，18）代入，即18=1+12−2，=5，那么=5+12−2=52+10+3．【详解】根据题意设二次函数的解析式为=+12−2，把（1，18）代入，即18=1+12−2，=5，那么=5+12−2=52+10+3，故选：A．【点睛】本题主要考查是二次函数的顶点式、一般式等知识内容，熟练掌握二次函数的顶点式y=a x−h2+k，顶点是（h，k）是解题的关键．【例2.2】已知一个二次函数的图象经过点（2，2），顶点为（−1，−1），将该函数图象向右平移，当他再次经过点（2，2）时，所得抛物线表达式为（）A．=−13(−5)2+1B．=13(−5)2−1C．=−13(+4)2−10D．=3(−7)2−1【答案】B【分析】根据题意，求出平移距离，即可求出平移后抛物线的顶点坐标，设平移后，二次函数的解析式为=o−5)2−1，将（2，2）代入即可求出结论．【详解】解：由题意可知：平移前，点（2，2）关于抛物线的对称轴直线x=-1的对称点为（-4，2）向右平移后，点（-4，2）平移到（2，2）∴抛物线向右平移了2－（-4）=6个单位长度∴平移后抛物线的顶点坐标为（5，-1）设平移后，二次函数的解析式为=o−5)2−1将（2，2）代入，得2=o2−5)2−1解得：a=13∴平移后，二次函数的解析式为=13(−5)2−1故选B．【点睛】此题考查的是抛物线的平移和求抛物线解析式，根据题意求出平移距离是解题关键．【例2.3】已知二次函数图象的对称轴是直线=2，函数的最小值为3，且图象经过点−1,5，则此二次函数的解析式是_____．【答案】=292−89+359【分析】由题意可知二次函数的图象的顶点坐标为2,3，所以设其解析式为“顶点式”，再代入点−1,5，即可求出解析式．【详解】根据题意，设二次函数的解析式为=−22+3，将点−1,5代入得，5=−1−22+3，整理得：9=2，解得：=29−22+3=292−89+359，∴二次函数的解析式为：=故答案为：=292−89+359．【点睛】本题考查二次函数的解析式，解题的关键是理解题意，设出解析式的“顶点式”．【变式2.1】某二次函数的图象与函数y＝12x2﹣4x＋3的图象形状相同、开口方向一致，且顶点坐标为（﹣2，1），则该二次函数表达式为（）A．y＝12（x﹣2）2＋1B．y＝12（x﹣2）2﹣1C．y＝12（x＋2）2＋1D．y＝﹣12（x＋2）2＋1【答案】C【分析】设二次函数的解析式为=o−ℎ)2+o≠0)，根据顶点坐标为（﹣2，1）以及与函数y＝12x2﹣4x＋3的图象形状相同、开口方向一致，可确定函数的解析式．【详解】解：设二次函数的解析式为=o−ℎ)2+o≠0)，∵二次函数的图像顶点坐标为（﹣2，1），∴二次函数的解析式为=o+2)2+1，∵二次函数的图象与函数y＝12x2﹣4x＋3的图象形状相同、开口方向一致，∴二次函数的解析式为：=12(+2)2+1，故选：C．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，读懂题意，熟练掌握二次函数的几种形式是解本题的关键．【变式2.2】一个二次函数的图象的顶点坐标是2,−3，与y轴的交点是0,5，这个二次函数的解析式是（）A．=22−4+11B．=22−4+5C．=22−8+5D．=22+8+5【答案】C【分析】根据顶点坐标，可设二次函数解析式为=−22−3，然后将0,5代入解析式中，求出a的值，并将顶点式化为一般式即可得出结论．【详解】解：根据题意，设二次函数解析式为=−22−3，将0,5代入=−22−3中，得5=0−22−3解得：a=2∴二次函数解析式为=2−22−3=22−8+5故选C．【点睛】此题考查的是求二次函数解析式，掌握利用待定系数法求二次函数解析式是解题关键．【变式2.3】二次函数与y轴的交点到原点的距离为8，它的顶点坐标为(−1,2)，那么它的解析式为_________．【答案】=6(+1)2+2或=−10(+1)2+2【分析】根据二次函数的顶点坐标设出顶点式，然后根据二次函数与y轴的交点到原点的距离为8，得出二次函数经过(0,8)或(0,−8)，分别代入求解即可．【详解】解：∵二次函数的顶点坐标为(−1,2)，∴设二次函数解析式为=o+1)2+2，∵二次函数与y轴的交点到原点的距离为8，∴二次函数经过(0,8)或(0,−8)，∴8=+2或−8=+2，解得：=6或=−10，∴二次函数的解析式为=6(+1)2+2或=−10(+1)2+2，故答案为：=6(+1)2+2或=−10(+1)2+2．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数的几种形式是解本题的关键．【考点3用“交点式”求二次函数解析式】【例3.1】已知抛物线与轴交点的横坐标为−3和2，且过点(1,−8)，它对应的函数解析式为（）A．=2+−6B．=−2−+6C．=−22−2+12D．=22+ 2−12【答案】D【分析】设函数解析式为=o+3)(−2)，将点(1,−8)代入即可求得a的值，可得结果．【详解】解：设抛物线函数解析式为：=o+3)(−2)，∵抛物线经过点(1,−8)，∴−8=o1+3)(1−2)，解得：=2，∴抛物线解析式为：=2(+3)(−2)，整理得：=22+2−12，故选：D．【点睛】本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式，设出二次函数的交点式是解题的关键．【例3.2】二次函数图象如图所示，则其解析式是（）A．=−432+83+4B．=432+83+4C．=−432−83+4D．=−432+83+3【答案】A【分析】设=o+1)(−3)，把（0，4）代入求出a的值，即可得出结论．【详解】设=o+1)(−3)，把（0，4）代入得：4=－3a，解得：=−43，∴=−43(+1)(−3)，整理得：=−432+83+4．故选A．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式．在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．【变式3.1】已知抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3），则该抛物线的解析式为__________．【答案】y＝﹣x2﹣2x+3【分析】由于已知抛物线与x轴的交点坐标，则可设交点式y=a（x+3）（x-1），然后把C 点坐标代入求出a的值即可．【详解】设抛物线解析式为y=a（x+3）（x-1），把C（0，3）代入得a•3•（-1）=3，解得a=-1，所以抛物线解析式为y=-（x+3）（x-1），即y=-x2-2x+3．故答案为y=-x2-2x+3．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．【变式3.2】某二次函数的图象与x轴交于点（﹣1，0），（4，0），且它的形状与y＝﹣x2形状相同．则这个二次函数的解析式为_____．【答案】y＝﹣x2+3x+4或y＝x2﹣3x﹣4．【分析】根据图象与x轴交于点（﹣1，0），（4，0）可设两点式解答，根据形状与y＝﹣x2形状相同，可知二次项系数为﹣1或1，于是可得二次函数解析式．【详解】∵函数图象与x轴交于点（﹣1，0），（4，0），∴设解析式为y＝a（x+1）（x﹣4），又因为图象的形状与y＝﹣x2形状相同，故a＝﹣1或1，所以解析式为y＝±（x+1）（x﹣4），整理得，y＝﹣x2+3x+4或y＝x2﹣3x﹣4．故答案为y＝﹣x2+3x+4或y＝x2﹣3x﹣4．【点睛】本题考查了用待定系数法求函数解析式，由于知道二次函数图象与x轴交点，故设两点式较为简便．直线与抛物线的交点（1）y轴与抛物线y=ax²+bx+c的交点为(0,c);（2）与y轴平行的直线x=h与抛物线y=ax²+bx+c有且只有一个交点(h,ah²+bh+c).（3）抛物线与x轴的交点二次函数y=ax²+bx+c的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，就是对应一元二次方程y=ax²+bx+c的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点⇔Δ＞0⇔抛物线与x轴相交；②有一个交点（顶点在x轴上）⇔Δ=0⇔抛物线与x轴相切；③没有交点⇔Δ＜0⇔抛物线与x轴相离.【考点1抛物线与x轴的交点】【例1.1】抛物线=2−4−5交轴于，两点，则B长为______．【答案】6【分析】根据抛物线y=x2-4x-5与x轴分别交于A、B两点，可以令y=0求得点A、B的坐标，从而可以求得AB的长．【详解】解：∵y=x2-4x-5，∴y=0时，x2-4x-5=0，解得，x1=-1，x2=5．∵抛物线y=x2-4x-5与x轴分别交于A、B两点，∴点A的坐标为(-1，0)，点B的坐标为(5，0)，∴AB的长为：5-(-1)=6．故答案为：6．【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点，以及数轴上两点间的距离，解题的关键是明确抛物线与x轴相交时，y=0．【例1.2】抛物线=−1+3与x轴的两个交点之间的距离是（）A．72B．2C．12D．4【答案】D【分析】先求出函数图像与x轴交点的坐标，进而即可求解．【详解】解：当=0时，−1+3=0，解得：1=−3，2=1，∴抛物线与x轴的交点坐标为−3,0和1,0，∴抛物线与x轴的两个交点之间的距离：1−−3=4，故选：D．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，解一元二次方程；正确理解题意，求出抛物线与x轴交点坐标是解题的关键．【例1.3】抛物线的部分图像如图所示，它与轴的一个交点坐标为−3,0，对称轴为=−1，则它与轴的另一个交点坐标为（）A．4,0B．3,0C．2,0D．1,0【答案】D【分析】直接根据二次函数与轴的交点关于=−1对称可得结果．【详解】解：∵抛物线与轴的一个交点坐标为−3,0，对称轴为J−1，∴−1−(−3)=2，∴−1+2=1，∴它与轴的另一个交点坐标为1,0，故选：D．【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点问题，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．【变式1.1】二次函数J2−+1的图象与坐标轴的交点有_____个．【答案】1【分析】计算自变量为0对应的函数值得到抛物线与轴的交点，再解方程2−+1=0，可判断抛物线与轴的交点，从而可判断抛物线与坐标轴的交点个数．【详解】解：当J0时，J2−+1=1，则抛物线与轴的交点坐标为0，1；当J0时，2−+1=0，方程无解；所以二次函数J2−+1的图象与坐标轴有1交点．故答案为：1．【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数JB2+B+（，，是常数，≠0）与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程是解题关键．【变式1.2】已知函数=2−6+5的部分图象（如图），满足<0的的取值范围是____．【答案】1<<5【分析】首先由图象可求得该抛物线与x轴的另一个交点的横坐标，再根据图象即可求解．【详解】解：由=2−6+5，当=0时，2−6+5=0解得：1=1,2=5∴该抛物线与x轴的交点的横坐标1，5，∵该抛物线的开口向上，∴当<0时，的取值范围是1<<5，故答案为：1<<5．【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，从图象中获取相关信息是解决本题的关键．【变式1.3】抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=1，点P，点Q是抛物线与x轴的两个交点，若点P的坐标为（3，0），则点Q的坐标为______．【答案】（-1，0）【分析】根据抛物线的对称轴结合点P的横坐标，即可求出点Q的横坐标，此题得解．【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线x=1，点P的坐标为（3，0），∴点Q的横坐标为1×2-3=-1，∴点Q的坐标为（-1，0）．故答案为：（-1，0）．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数的性质，牢记抛物线的对称性是解题的关键．【考点2用二次函数解一元二次方程】【例2.1】已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解为（）A．x1＝﹣4，x2＝2B．x1＝﹣3，x2＝﹣1C．x1＝﹣4，x2＝﹣2D．x1＝﹣2，x2＝2【答案】A【分析】关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根即为二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与x轴的交点的横坐标．【详解】解：根据图象知，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴的一个交点是（2，0），对称轴是直线x＝−1．设该抛物线与x轴的另一个交点是（x，0）．则r22=−1，解得，x＝－4，即该抛物线与x轴的另一个交点是（－4，0）．所以关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根为x1＝−4，x2＝2．故选：A．【例2.2】已知二次函数=B2+B+≠0图像上部分点横坐标、纵坐标的对应值如下表：x…01234…y…－3－4－305…请根据上表直接写出方程B2+B+=0≠0的解为______．【答案】1=−1，2=3【分析】由表格信息可知，二次函数的对称轴为=1，当=3时，函数值为零，根据函数的对称性，即可求解．【详解】解：据题意得，当=0时，=−3；当=2时，=−3，∴对称轴为=1，当=3时，=0，根据函数关于对称轴对称可知，当=−1时，=0，∴方程B2+B+=0≠0的解为1=−1，2=3，故答案为：1=−1，2=3．【点睛】本题主要考查二次函数图像与一元二次方程解的综合，掌握二次函数图像的性质解一元二次方程是解题的关键．【例2.3】已知二次函数y＝﹣x2﹣2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2﹣2x+m＝0的解为_____．【答案】x1＝﹣4，x2＝2【分析】根据图象可知，二次函数y＝﹣x2﹣2x+m的部分图象经过点（﹣4，0），把该点代入方程，求得m值；然后把m值代入关于x的一元二次方程﹣x2﹣2x+m＝0，求根即可．【详解】解：根据图象可知，二次函数y＝﹣x2﹣2x+m的部分图象经过点（﹣4，0），所以该点适合方程y＝﹣x2﹣2x+m，代入，得（﹣4）2+2×（﹣4）+m＝0解得，m＝8①把①代入一元二次方程﹣x2﹣2x+m＝0，得﹣x2﹣2x+8＝0，②解②，得x1＝﹣4，x2＝2∴关于x的一元二次方程﹣x2﹣2x+m＝0的解为x1＝﹣4，x2＝2故答案为x1＝﹣4，x2＝2．【点睛】本题考查的是关于二次函数与一元二次方程，在解题过程中，充分利用二次函数图象，求出m的值是解题关键．【变式2.1】若二次函数=B2+B+的图象如图所示，则方程B2+B+=0的解为（）A．1=0,2=3B．1=1,2=3C．1=1,2=0D．1=−1,2=3【答案】D【分析】由抛物线与x轴的交点横坐标可得方程B2+B+=0的解．【详解】解：由图象可得抛物线=B2+B+经过−1,0,3,0，∴方程B2+B+=0的解为1=−1,2=3．故选：D．【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系．【变式2.2】二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象回答下列问题：（1）点B的坐标为；（2）y随x的增大而减小的自变量x的取值范围为；（3）方程ax2+bx+c=0的两个根为【答案】（1）（3，0）；（2）x＞1；（3）x1=-1，x2=3【分析】（1）由图象可得：A、B到直线x=1的距离相等，根据A的坐标，即可求出B点坐标；（2）利用图象得出函数对称轴进而得出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；（3）根据方程ax2+bx+c=0，即图象与x轴交点，进而得出方程的两个根【详解】解：（1）由图象可得：A、B到直线x=1的距离相等，∵A（-1，0）∴B点坐标为：（3，0）故答案为（3，0）；（2）由图象可得：y随x的增大而减小的自变量x的取值范围是：x＞1；故答案为x＞1；（3）∵方程ax2+bx+c=0，即图象与x轴交点，∴方程ax2+bx+c=0的两个根是：x1=-1，x2=3；故答案为x1=-1，x2=3【考点3用二次函数的图象求一元二次方程的近似解】【例3.1】在求解方程B2+B+=0(≠0)时，先在平面直角坐标系中画出函数=B2+ B+的图象，观察图象与轴的两个交点，这两个交点的横坐标可以看作是方程的近似解，分析右图中的信息，方程的近似解是（）A．1=−3，2=2B．1=−3，2=3C．1=−2，2=2D．1=−2，2=3【答案】D【分析】由题意观察=B2+B+的图象，进而根据与轴的两个交点的横坐标进行分析即可.【详解】解：因为两个交点的横坐标可以看作是方程的近似解，两个交点的横坐标为：1=−2，2=3，所以方程的近似解是1=−2，2=3.故选：D.【点睛】本题考查二次函数图象与轴的交点问题，熟练掌握并结论方程思想可知与轴的两个交点的横坐标可以看作是方程B2+B+=0(≠0)的近似解进行分析.【例3.2】根据下表列出的函数=B2+B+的几组与的对应值，判断方程B2+B+ =0一个解的范围是（）3.23 3.24 3.253.26−0.37−0.110.090.28A．3<<3.23B．3.23<<3.24C．3.24<<3.25D．3.25<<3.26【答案】C【分析】根据表格数据，便可求值根的范围．【详解】解：由表格数据可知：当=3.24时，=−0.11；当=3.25，=0.09∴一个根的范围是：3.24<<3.25故选：C．【点睛】本题考查二次函数与一元二次方程根之间的关系，属于基础题，准确理解题意是解题关键．【变式3.1】根据表中二次函数=B2+B+的自变量与函数值的对应值，判断一元二次方程B2+B+=0的一个根的取值范围是（）6.17 6.18 6.196.20−0.03−0.010.020.04A．6<<6.17B．6.17<<6.18C．6.18<<6.19D．6.19<<7【答案】C【分析】根据一元二次方程B2+B+=0的根即为函数=B2+B+与轴交点的横坐标解答即可．【详解】解：∵当=6.18时，=−0.01，当=6.19时，=0.02，∴一元二次方程B2+B+=0的一个根的取值范围是6.18<<6.19，故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程的根与二次函数的关系，熟知一元二次方程B2+B+= 0的根即为函数=B2+B+与轴交点的横坐标是解答本题的关键．【变式3.2】已知二次函数y=-x2-2x+2.(1)填写下表,并在给出的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象;x……-4-3-2-1012……y…………(2)结合函数图象,直接写出方程-x2-2x+2=0的近似解(指出在哪两个连续整数之间即可).【答案】(1)见解析；（2）近似解是-3<x<-2或0<x<1.【分析】（1）计算填写表格后利用描点法画出函数图象即可；（2）观察图象，看交点的横坐标在哪两个整数之间，由此即可解答.【详解】(1)x……-4-3-2-1012……y……-6-1232-1-6……所画图象如图.(2)由图象可知,方程-x2-2x+2=0的近似解是-3<x<-2或0<x<1.【点睛】本题考查用二次函数图象的画法及利用函数图象法求一元二次方程的解，解题的关键是看函数图象与x轴交点的位置．【考点4用二次函数的图象解不等式】【例4.1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线=B2+B+<0经过点−1,0，对称轴为直线=1．若<0，则x的取值范围是（）A．<1B．<−1C．−1<<1D．<−1或>3【答案】D【分析】由抛物线的对称性求出抛物线与x轴的另一交点为3,0，根据图象可得出答案．【详解】解：∵抛物线=B2+B+<0经过点−1,0，对称轴为直线=1，∴抛物线与x轴的另一交点为3,0，由图象可知，<0时，x的取值范围是<−1或>3．故选：D．【点睛】本题考查了二次函数与x轴的交点，二次函数的性质，主要利用了二次函数的对称性，准确识图是解题的关键．【例4.2】已知二次函数=2−4+3的图象与轴交于点o1,0)，o3,0)，则当<0时，的取值范围是（）A．>1B．<3C．<1或>3D．1<<3【答案】D【分析】根据题意确定函数的开口方向，画出函数的大致图，即可确定x的取值范围.【详解】∵a=1∴函数的开口向上∵图象与轴交于点o1,0)，o3,0)∴函数的图象如下：通过图象可知，当1<<3时<0，故选D.【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数的图象与性质，有关图象性质得问题，画出大致图更加直观，能根据题意画出函数的大致图并根据图象分析是解决此题的关键.【例4.3】如图，一次函数1=B+≠0与二次函数2=B2+B+≠0的图象相交于−1，5、9，2两点，则关于的不等式B+≤B2+B+的解集为______．【答案】≤−1或≥9【分析】由求关于的不等式B+≤B2+B+的解集，即求一次函数1=B+≠0的图象在二次函数2=B2+B+≠0的图象下方时（包括交点），x的取值范围，再结合图象即可得解．【详解】解：∵求关于的不等式B+≤B2+B+的解集，即求一次函数1=B+≠0的图象在二次函数2=B2+B+≠0的图象下方时（包括交点），x的取值范围，又∵结合图象可知当≤−1和≥9时，一次函数1=B+≠0的图象在二次函数2=B2+B+≠0的图象下方，∴关于的不等式B+≤B2+B+的解集为≤−1或≥9．故答案为：≤−1或≥9．【点睛】本题考查根据交点确定不等式的解集．利用数形结合的思想是解题关键．【变式4.1】已知函数=2−6+5的部分图象（如图），满足<0的的取值范围是____．【答案】1<<5【分析】首先由图象可求得该抛物线与x轴的另一个交点的横坐标，再根据图象即可求解．【详解】解：由=2−6+5，当=0时，2−6+5=0解得：1=1,2=5∴该抛物线与x轴的交点的横坐标1，5，∵该抛物线的开口向上，∴当<0时，的取值范围是1<<5，故答案为：1<<5．【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，从图象中获取相关信息是解决本题的关键．【变式4.2】一个二次函数，当自变量x＝0时，函数值y＝－1；当x＝－2与12时，y＝0（1）求这个二次函数的解析式（2）当y＞0时，x的取值范围是__________（直接写出结果）【答案】（1）=2+32−1；（2）>12或<−2【分析】（1）设二次函数为=o−1)(−2)，由题意可得，1=−2，2=12，将(0,−1)代入求解即可；（2）由（1）得=1>0，开口向上，即可求解．【详解】解：（1）设二次函数为=o−1)(−2)，由题意可得，1=−2，2=12，即二次函数为=o+2)(−12)将(0,−1)代入=o+2)(−12)得×2×(−12)=−1解得=1即=(+2)(−12)=2+32−1故答案为：=2+32−1（2）由（1）得=1>0，开口向上，由题意可得：当x＝－2与12时，y＝0∴当>12或<−2时，>0故答案为：>12或<−2【点睛】此题考查了待定系数法求解二次函数解析式，以及二次函数的性质，解题的关键是根据题意正确求得函数解析式并掌握二次函数的有关性质．【变式4.3】二次函数=B2+B+o≠0)的图象如图所示，根据图象回答下列问题：（1）写出方程B2+B+=0的根；（2）写出不等式B2+B+＜0的解集；（3）若方程B2+B+=无实数根，写出的取值范围．【答案】（1）1=0，2=2；（2）<0或>2；（3）>2【分析】（1）找到抛物线与x轴的交点，即可得出方程ax2+bx+c=0的两个根；（2）找出抛物线在x轴下方时，x的取值范围即可；（3）根据图象可以看出k取值范围．【详解】解：（1）观察图象可知，方程B2+B+=0的根，即为抛物线与轴交点的横坐标，∴1=0，2=2．（2）观察图象可知：不等式B2+B+<0的解集为<0或>2．（3）由图象可知，>2时，方程B2+B+=无实数根．【点睛】本题考查了二次函数的图象与方程和不等式的关系，求方程ax2+bx+c=0的两个根，即为抛物线与x轴的交点的横坐标；判断y＞0，y=0，y＜0时，x的取值范围，要结合开口方向，图象与x轴的交点而定；方程ax2+bx+c=k有无实数根，看顶点坐标的纵坐标即可．1．已知抛物线与二次函数=−32的的图象形状相同，开口方向相同，且顶点坐标为−1,3，它对应的函数表达式为（）A．=−3−12+3B．=3−12+3C．=3+12+3D．=−3+12+3【答案】D【分析】设此抛物线的解析式为=o−ℎ)2+，根据抛物线与二次函数=−32的的图象形状相同，开口方向相同，可知=−3，再代入顶点坐标即可．【详解】解：设此抛物线的解析式为=o−ℎ)2+，∵抛物线与二次函数=−32的的图象形状相同，开口方向相同，∴=−3，∵顶点坐标为−1,3，∴ℎ=−1，=3，∴=−3+12+3，故选D．【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．2．一个二次函数，当x＝0时，y＝﹣5；当x＝﹣1时，y＝﹣4；当x＝﹣2时，y＝5，则这个二次函数的关系式是（）A．y＝4x2+3x﹣5B．y＝2x2+x+5C．y＝2x2﹣x+5D．y＝2x2+x﹣5【答案】A【分析】设二次函数的关系式是y＝ax2+bx+c（a≠0），然后由当x＝0时，y＝﹣5；当x＝﹣1时，y＝﹣4；当x＝﹣2时，y＝5，得到a，b，c的三元一次方程组，解方程组确定a，b，c的值即可．【详解】解：设二次函数的关系式是y＝ax2+bx+c（a≠0），∵当x＝0时，y＝﹣5；当x＝﹣1时，y＝﹣4；当x＝﹣2时，y＝5，∴c＝﹣5①，a﹣b+c＝﹣4②，4a﹣2b+c＝5③，解由①②③组成的方程组得，a＝4，b＝3，c＝﹣5，所以二次函数的关系式为：y＝4x2+3x﹣5．故选：A．【点睛】本题考查了用待定系数法确定二次函数的解析式．设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），通过解方程组确定a，b，c的值．3．若二次函数=2+3+−1的图象经过原点，则的值为（）A．0B．1C．−1D．1或−1【答案】B【分析】将点0,0代入函数解析式求解即可得．【详解】解：把0,0代入=2+3+−1可得：−1=0，解得：=1，故选：B．【点睛】题目主要考查利用待定系数法确定函数解析式，熟练掌握待定系数法是解题关键．4．若二次函数=B2+B+的图象经过点−1,0，2,0，则关于x的方程B2+B+=0的解为（）A．1=−1，2=2B．1=−2，2=1C．1=1，2=2D．1=−1，2=−2【答案】A【分析】根据一元二次方程的根为二次函数与x轴的交点即可解答．【详解】解：∵=B2+B+的图象经过点−1,0，2,0，∴方程B2+B+=0的解为1=−1，2=2．故选：A．【点睛】此题考查了二次函数与一元二次方程的关系，解题的关键是正确应用两者的关系．5．若二次函数=B2+B+的部分图象如图所示，则关于的方程B2+B+=0的解为（）A．1=−2，2=3B．1=−1，2=3C．1=0，2=3D．1=1，2=3【答案】B【分析】先利用抛物线的对称性写出抛物线与轴的一个交点坐标为−1,0，然后根据抛物线与轴的交点问题可得到关于的方程B2+B+=0≠0的解．【详解】解：抛物线的对称轴为直线=1，抛物线与轴的一个交点坐标为3,0，所以抛物线与轴的一个交点坐标为−1,0，。
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初中数学常考的知识点待定系数法
待定系数法是初中数学中常考的一种解题方法，它的思想是通过设定
合适的未知数来构建方程，然后解方程求解问题。
待定系数法的应用广泛，包括代数问题、几何问题、概率问题等等。
下面我将详细介绍待定系数法
在初中数学中的常见应用。
一、代数问题
1.求一元一次方程的解
待定系数法可以用来解决一元一次方程的解的问题。
例如，求方程
7x-21=10的解。
我们设方程的解为x=a，那么方程可以表示为7a-21=10。
然后解方程，得到a=5、所以方程的解是x=5
2.求一元二次方程的解
待定系数法可以用来求解一元二次方程的解。
例如，求方程
x^2+5x+6=0的解。
我们设方程的解为x=a，那么方程可以表示为
a^2+5a+6=0。
然后解方程，得到a=-3或a=-2、所以方程的解是x=-3或
x=-2
3.求一元二次方程的系数
待定系数法还可以用来求解一元二次方程的系数。
例如，已知方程的
根为2和3，且方程的首项系数为1，我们要求方程的系数。
设方程为
ax^2+bx+c=0，代入已知根得到两个方程：a(2)^2+b(2)+c=0和
a(3)^2+b(3)+c=0。
解这两个方程，得到a=1，b=-5，c=6、所以方程为
x^2-5x+6=0。
二、几何问题
待定系数法可以用来解决几何问题的角度问题、边长问题等等。
例如：
1.角度问题
已知一条边和一个角的大小，求另一条边的长度。
设另一条边的长度
为x，那么根据三角函数的定义，可以得到一个方程。
解方程，得到x的值。
2.边长问题
已知两条边和一个角的大小，求第三条边的长度。
设第三条边的长度
为x，根据三角不等式可以得到一个方程。
解方程，得到x的值。
三、概率问题
待定系数法可以用来解决概率问题中的计数问题、排列问题等。
例如：
1.计数问题
已知有n个人，其中有m个男生和n-m个女生。
从中选出x个人，其
中至少有y个男生，求选人的方法数。
设选出的x个人中有y个男生的方
法数为C，那么根据组合的性质可以得到一个方程。
解方程，得到C的值。
2.排列问题
有n个人排成一列，其中有m个男生和n-m个女生。
求使得相邻两个
人不是男女关系的方法数。
设满足条件的方法数为C，那么根据排列的性
质可以得到一个方程。
解方程，得到C的值。
综上所述，待定系数法是初中数学中常用的解题方法之一、它的应用
范围广泛，包括代数问题、几何问题、概率问题等等。
通过设定合适的未
知数，构建方程并解方程，我们可以解决各种数学问题。