2015年山东省莱芜市中考数学试题及解析

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山东省莱芜市2015年中考数学真题试题(含解析)

2015 年山东省莱芜市中考数学试卷一、选择题（本大题共 121．（ 3 分）（2015?莱芜）﹣小题，每题3 的相反数是（3 分））A ．3 B．﹣3C ．D ． ﹣2．（ 3 分）（2015?莱芜）将数字 2.03 ×10 ﹣3 化为小数是（）A ． 0.203 B． 0.0203 C ． 0.00203 D ． 0.0002033．（ 3 分）（2015?莱芜）以下运算正确的选项是（）2366 3 2235326A ．（﹣ a ）?a =﹣ aB ． a ÷a =aC ． a +a =aD ．（ a） =a4．（ 3 分）（2015?莱芜）要使二次根式存心义，则x 的取值范围是（）A ． xB ． xC ． xD ． x5．（ 3 分）（2015?莱芜）如图， AB ∥ CD ，EF 均分∠ AEG ，若∠ FGE=40°，那么∠ EFG 的度数为（）A ． 35°B ． 40°C ． 70°D ． 140°6．（ 3 分）（2015?莱芜）以下图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．7．（3 分）（2015?莱芜）为认识当地气温变化状况，某研究小组记录了寒假时期连续温，结果以下（单位：℃）：﹣ 6，﹣ 3，x ，2，﹣ 1， 3．若这组数据的中位数是﹣ 误的是（）A ．方差是 8B ．极差是 9C ．众数是﹣ 1D ．均匀数是﹣ 16 天的最高气1，则以下结论错8．（ 3 分）（2015?莱芜）以下几何体中，主视图和左视图都为矩形的是（）A ．B ．C ．D ．9．（ 3 分）（2015?莱芜）一个多边形除一个内角外其他内角的和为1510°，则这个多边形对角线的条数是（A ．）．．．10．（ 3 分）（2015?莱芜）甲乙两人同时从 A 地出发到 B 地，假如甲的速度v 保持不变，而乙先用v的速度抵达中点，再用2v 的速度抵达 B 地，则以下结论中正确的选项是（）A ．甲乙同时抵达B地B ．甲先抵达 B地C ．乙先抵达 B 地D ．谁先抵达 B 地与速度 v 相关11．（3 分）（2015?莱芜）如图，在矩形ABCD中， AB=2a， AD=a，矩形边上一动点 P 沿 A→B→C→D2）的路径挪动．设点 P 经过的路径长为 x，PD=y，则以下能大概反应 y 与 x 的函数关系的图象是（A．B．C．D．12．（3 分）（2015?莱芜）如图，在直角梯形ABCD中， AB∥ CD，AB⊥ BC，以 BC为直径的⊙ O与 AD 相切，点 E 为 AD的中点，以下结论正确的个数是（）（ 1） AB+CD=AD；（ 2） S△BCE=S△ABE+S△DCE；（ 3）AB?CD=；（ 4）∠ ABE=∠ DCE．A．1B．2C．3D．4二、填空题（本大题共 5 小题，每题填对得 4 分，共 20 分，请填在答题卡上）13．（4 分）（2015?莱芜）计算：﹣ | ﹣2|+ （﹣ 1）3+2﹣1= ．14．（4 分）（2015?莱芜）已知2 2．m+n=3， m﹣ n=2，则 m﹣ n =15．（4 分）（2015?莱芜）不等式组的解集为．16．（4 分）（2015?莱芜）如图，在扇形OAB中，∠ AOB=60°，扇形半径为r ，点 C 在上， CD⊥OA，垂足为D，当△OCD的面积最大时，的长为．17．（4 分）（2015?莱芜）如图，反比率函数y= （ x＞0）的图象经过点M（ 1，﹣ 1），过点M作MN⊥ x 线 l 轴，垂足为 N，在 x 轴的正半轴上取一点的对称点在此反比率函数的图象上，则P（ t ，0），过点 t=P 作直线．OM的垂线l ．若点N 对于直三、解答题（本大题共7 小题，共64 分，解答要写出必需的文字说明、证明过程或推演步骤）18．（6 分）（2015?莱芜）先化简，再求值：（1﹣），此中x=3．19．（8 分）（2015?莱芜）为认识今年初四学生的数学学习状况，某校在第一轮模拟测试后，对初四全体同学的数学成绩作了统计剖析，绘制以以下图表：请联合图表所给出的信息解答系列问题：成绩频数频次优异 45 b优异 a 0.3合格 105 0.35不合格 60 c（1）该校初四学生共有多少人？（2）求表中 a， b，c 的值，并补全条形统计图．（3）初四（一）班数学老师准备从成绩优异的甲、乙、丙、丁四名同学中随意抽取两名同学做学习经验介绍，求恰巧选中甲、乙两位同学的概率．20．（9 分）（2015?莱芜）为保护渔民的生命财富安全，我国政府在南海海疆新建了一批观察点和避风港．某日在观察点 A 处发此刻其北偏西36.9 °的 C 处有一艘渔船正在作业，同时检测到在渔船的正西 B 处有一股强台风正以每小时40 海里的速度向正东方向挪动，于是立刻通知渔船到位于A 其正东方向的避风港 D 处进行闪避．已知避风港 D 在观察点 A 的正北方向，台风中心B 在观察点的北偏西 67.5 °的方向，渔船 C 与观察点 A 相距 350 海里，台风中心的影响半径为200 海里，渔船的速度为每小时18 海里，问渔船可否顺利闪避本次台风的影响？（sin36.9 °≈ 0.6 ，tan36.9 ≈0.75 ，sin67.5 ≈0.92 ，tan67.5 ≈2.4 ）21．（9 分）（2015?莱芜）如图，△ ABC是等腰直角三角形，∠ ACB=90°，分别以AB， AC为直角边向外作等腰直角△ABD和等腰直角△ ACE， G为 BD的中点，连结CG， BE， CD， BE 与 CD交于点 F．（1）判断四边形 ACGD的形状，并说明原因．（2）求证： BE=CD， BE⊥CD．22．（ 10 分）（2015?莱芜）今年我市某企业分两次采买了一批大蒜，第一次花销40 万元，第二次花销 60 万元．已知第一次采买时每吨大蒜的价钱比昨年的均匀价钱上升了500 元，第二次采买时每吨大蒜的价钱比昨年的均匀价钱降落了500 元，第二次的采买数目是第一次采买数目的两倍．（ 1）试问昨年每吨大蒜的均匀价钱是多少元？（ 2）该企业可将大蒜加工成蒜粉或蒜片，若独自加工成蒜粉，每日可加工8 吨大蒜，每吨大蒜获利 1000 元；若独自加工成蒜片，每日可加工12 吨大蒜，每吨大蒜赢利600 元．因为出口需要，所有采买的大蒜必需在 30 天内加工完成，且加工蒜粉的大蒜数目许多于加工蒜片的大蒜数目的一半，为获取最大收益，应将多少吨大蒜加工成蒜粉？最大收益为多少？23．（ 10 分）（2015?莱芜）如图，已知AB是⊙ O的直径， C 是⊙ O上任一点（不与A， B 重合）， AB ⊥CD于 E，BF 为⊙ O的切线， OF∥ AC，连结 AF，FC， AF与 CD交于点 G，与⊙ O交于点 H，连结CH．（ 1）求证： FC是⊙ O的切线；（ 2）求证： GC=GE；（ 3）若 cos ∠ AOC= ，⊙ O的半径为r ，求 CH的长．24．（12 分）（2015?莱芜）如图，已知抛物线2y=ax +bx+c（a≠0）经过点 A（﹣ 3，2），B（ 0，﹣ 2），其对称轴为直线x= ， C（ 0，）为 y 轴上一点，直线AC与抛物线交于另一点 D．（1）求抛物线的函数表达式；（2）试在线段 AD下方的抛物线上求一点 E，使得△ ADE的面积最大，并求出最大面积；（ 3）在抛物线的对称轴上能否存在一点F，使得△ ADF是直角三角形？假如存在，求点F 的坐标；假如不存在，请说明原因．2015 年山东省莱芜市中考数学试卷参照答案与试题分析一、选择题（本大题共 12 1．（ 3 分）（2015?莱芜）﹣小题，每题3 的相反数是（3 分））A．3B ．﹣3C．D．﹣考点：相反数．专题：惯例题型．剖析：依据相反数的观点解答即可．解答：解：﹣3的相反数是3，应选： A．评论：本题考察了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前方添上“﹣”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0 的相反数是 0．2．（ 3 分）（2015?莱芜）将数字 2.03 ×10 ﹣3化为小数是（）A ． 0.203B ． 0.0203C ． 0.00203D ． 0.000203考点：科学记数法—原数．剖析：绝对值小于 1 的正数也能够利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不一样的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左侧起第一个不为零的数字前方的0 的个数所决定．﹣3解答：解： 2.03×10化为小数是0.00203 ．评论：本题考察用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，此中 1≤|a| ＜ 10，n 为由原数左侧起第一个不为零的数字前方的0 的个数所决定．3．（ 3 分）（2015?莱芜）以下运算正确的选项是（）2 3 6 6 3 2 2 3 5 3 2 6A ．（﹣ a ）?a =﹣ aB ． a ÷a=aC ． a +a =aD ．（ a ） =a考点：同底数幂的除法；归并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．剖析：依据同底数幂的除法，底数不变指数相减；同底数幂的乘法，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘，对各选项计算后利用清除法求解．解答：解：A、（﹣a2）?a3=﹣a5，故错误；63 3B、 a ÷a=a ，故错误；23 5D、正确；应选： D．评论：本题考察同底数幂的除法，同底数幂的乘法，幂的乘方很简单混杂，必定要记准法例才能做题．4．（ 3 分）（2015?莱芜）要使二次根式存心义，则x 的取值范围是（）A ． xB ． xC ． xD ． x考点：二次根式存心义的条件．剖析：二次根式的被开方数是非负数．解答：解：依题意得3﹣2x≥0，解得 x≤．应选： B．评论：本题考察了二次根式的意义和性质．观点：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数一定是非负数，不然二次根式无心义．5．（ 3 分）（2015?莱芜）如图， AB∥ CD，EF 均分∠ AEG，若∠ FGE=40°，那么∠ EFG的度数为（）A ．35°B ．40°C．70°D．140°考点：平行线的性质．剖析：先依据两直线平行同旁内角互补，求出∠的度数，而后依据两直线平行内错角相等，即可求出∠AEG的度数，而后依据角均分线的定义求出∠EFG的度数．AEF解答：解：∵ AB∥ CD，∠ FGE=40°，∴∠ AEG+∠FGE=180°，∴∠ AEG=140°，∵ EF 均分∠ AEG，∴∠ AEF= ∠AEG=70°，∵ AB∥CD，∴∠ EFG=∠AEF=70°．应选 C．评论：本题考察了平行线的性质，解题的重点是：熟记两直线平行同位角相等；两直线平行内错角相等；两直线平行同旁内角互补．6．（ 3 分）（2015?莱芜）以下图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．考点：中心对称图形；轴对称图形．剖析：依据轴对称图形与中心对称图形的观点对各选项剖析判断即可得解．解答：解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误；D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项正确．应选 D．评论：本题考察了中心对称图形与轴对称图形的观点．轴对称图形的重点是找寻对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要找寻对称中心，旋转180 度后两部分重合．7．（3 分）（2015?莱芜）为认识当地气温变化状况，某研究小组记录了寒假时期连续温，结果以下（单位：℃）：﹣ 6，﹣ 3，x，2，﹣ 1， 3．若这组数据的中位数是﹣误的是（）6 天的最高气1，则以下结论错A．方差是 8 B．极差是 9 C．众数是﹣ 1 D．均匀数是﹣ 1考点：方差；算术均匀数；中位数；众数；极差．剖析：分别计算该组数据的均匀数，众数，极差及方差后找到正确的答案即可．解答：解：依据题意可知x=﹣ 1，均匀数 =（﹣ 6﹣ 3﹣ 1﹣ 1+2+3）÷ 6=﹣ 1，∵数据﹣ 1 出现两次最多，∴众数为﹣ 1，极差 =3﹣（﹣ 6） =9，方差 = [ （﹣ 6+1）2+（﹣ 3+1）2+（﹣ 1+1）2+（2+1）2+（﹣ 1+1）2+（3+1）2]=9 ．应选 A．评论：本题考察了方差、极差、均匀数、中位数及众数的知识，属于基础题，掌握各部分的定义及计算方法是解题重点．8．（ 3 分）（2015?莱芜）以下几何体中，主视图和左视图都为矩形的是（）A．B．C．D．考点：简单几何体的三视图．剖析：分别写出各几何体的主视图和左视图，而后进行判断．解答：解：A、主视图和左视图都为圆，因此 A 选项错误；B、主视图和左视图都为矩形的，因此 B 选项正确；C、主视图和左视图都为等腰三角形，因此 C 选项错误；D、主视图为矩形，左视图为圆，因此 D 选项错误．应选 B．评论：本题考察了简单几何体的三视图：画物体的主视图的口诀为：主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等．记着常有的几何体的三视图．9．（ 3 分）（2015?莱芜）一个多边形除一个内角外其他内角的和为1510°，则这个多边形对角线的条数是（A．27B）． 35C ．44 D ．54考点：多边形内角与外角．剖析：设出题中所给的两个未知数，利用内角和公式列出相应等式，依据边数为整数求解即可，再进一步代入多边形的对角线计算方法，即可解答．解答：解：设这个内角度数为∴（ n﹣ 2）× 180°﹣ x=1510，180n=1870+x，∵ n 为正整数，∴ n=11，x，边数为n，∴=44，应选： C．评论：本题考察多边形的内角和计算公式以及多边形的对角线条数的计算方法，属于需要识记的知识．10．（ 3 分）（2015?莱芜）甲乙两人同时从 A 地出发到 B 地，假如甲的速度v 保持不变，而乙先用v的速度抵达中点，再用2v 的速度抵达 B 地，则以下结论中正确的选项是（）A ．甲乙同时抵达B地B ．甲先抵达 B地C ．乙先抵达 B 地D ．谁先抵达 B 地与速度v 相关考点：列代数式（分式）．剖析：设从A地到B地的距离为2s ，依据时间 =行程÷速度能够求出甲、乙两人同时从 A 地到 B 地所用时间，而后比较大小即可判断选择项．解答：解：设从A地到B地的距离为2s，而甲的速度v 保持不变，∴甲所用时间为，又∵乙先用v 的速度抵达中点，再用2v 的速度抵达 B 地，∴乙所用时间为，∴甲先抵达 B 地．应选： B．评论：本题主要考察了一元一次方程在实质问题中的应用，解题时第一正确理解题意，依据题意设未知数，而后利用已知条件和速度、行程、时间之间的关系即可解决问题．11．（3 分）（2015?莱芜）如图，在矩形ABCD中， AB=2a， AD=a，矩形边上一动点P 沿 A→B→C→D 2y 与 x 的函数关系的图象是（）的路径挪动．设点 P 经过的路径长为 x，PD=y，则以下能大概反应A．B．C．D．考点：动点问题的函数图象．剖析：依据题意，分三种状况：（ 1）当 0≤t ≤2a 时；（ 2）当 2a＜t ≤3a 时；（ 3）当 3a＜t ≤5a 时；而后依据直角三角形中三边的关系，判断出 y 对于 x 的函数分析式，从而判断出 y 与 x 的函数关系的图象是哪个即可．解答：解：（1）当0≤t≤2a时，22 2∵ PD=AD+AP， AP=x，∴ y=x2+a2．（ 2）当 2a＜t ≤3a 时，CP=2a+a﹣ x=3a﹣ x，22 2∵ PD=CD+CP，∴y=（3a﹣ x）2+（2a）2=x2﹣ 6ax+13a2．（3）当 3a＜t ≤5a 时，PD=2a+a+2a﹣ x=5a﹣ x，2∵ PD=y，∴y=（5a﹣ x）2=（x﹣ 5a）2，综上，可得y=∴能大概反应y 与x 的函数关系的图象是选项 D 中的图象．应选： D．评论：（ 1）本题主要考察了动点问题的函数图象，解答此类问题的重点是经过看图获守信息，并能解决生活中的实质问题，用图象解决问题时，要理清图象的含义即学会识图．（ 2）本题还考察了直角三角形的性质和应用，以及勾股定理的应用，要娴熟掌握．12．（3 分）（2015?莱芜）如图，在直角梯形ABCD中， AB∥ CD，AB⊥ BC，以相切，点 E 为 AD的中点，以下结论正确的个数是（）（ 1） AB+CD=AD；（ 2） S△BCE=S△ABE+S△DCE；BC为直径的⊙O与AD（ 3）AB?CD= ；（ 4）∠ ABE=∠ DCE．A．1B．2C．3D．4考点：圆的综合题．剖析：设 DC和半圆⊙ O相切的切点为 F，连结 OF，依据切线长定理以及相像三角形的判断和性质逐项剖析即可．解答：解：设DC和半圆⊙ O相切的切点为F，∵在直角梯形ABCD中 AB∥ CD， AB⊥ BC，∴∠ ABC=∠DCB=90°，∵ AB为直径，∴ AB，CD是圆的切线，∵AD与以 AB为直径的⊙ O相切，∴ AB=AF， CD=DF，∴ AD=AE+DE=AB+CD，故①正确；如图 1，连结 OE，∵AE=DE， BO=CO，∴OE∥AB∥ CD， OE= （ AB+CD），∴OE⊥BC，∴ S△BCE= BC?OE= （ AB+CD） = （ AB+CD）?BC= =S△ABE+S△DCE，故②正确；如图 2，连结 AO， OD，∵AB∥CD，∴∠ BAD+∠ADC=180°，∵ AB，CD， AD是⊙ O的切线，∴∠ OAD+∠ EDO= （∠ BAD+∠ ADC）=90°，∴∠ AOD=90°，∴∠ AOB+∠ DOC=∠ AOB+∠BAO=90°，∴∠ BAO=∠ DOC，∴△ ABO∽△ CDO，∴，2∴AB?CD=OB?OC=BC BC= BC，故③正确，如图 1，∵ OB=OC， OE⊥ BC，∴BE=CE，∴∠ BEO=∠ CEO，∵AB∥OE∥ CD，∴∠ ABE=∠ BEO，∠ DCE=∠ OEC，∴∠ ABE=∠ DCE，故④正确，综上可知正确的个数有 4 个，应选 D．评论：本题考察了切线的判断和性质、相像三角形的判断与性质、直角三角形的判断与性质．解决本题的重点是娴熟掌握相像三角形的判断定理、性质定理，做到灵巧运用．二、填空题（本大题共 5 小题，每题填对得 4 分，共20 分，请填在答题卡上）13．（4 分）（2015?莱芜）计算：﹣ | ﹣2|+ （﹣ 1）3+2﹣1= ．考点：实数的运算；负整数指数幂．专题：计算题．剖析：原式第一项利用算术平方根定义计算，第二项利用绝对值的代数意义化简，第三项利用乘方的意义化简，最后一项利用负整数指数幂法例计算即可获取结果．解答：解：原式=3﹣2﹣1+=，故答案为：评论：本题考察了实数的运算，娴熟掌握运算法例是解本题的重点．14．（4 分）（2015?莱芜）已知2 2．m+n=3， m﹣ n=2，则 m﹣ n = 6考点：平方差公式．剖析：依据平方差公式，即可解答．2 2解答：解： m﹣ n=（ m+n）（ m﹣ n）=3×2=6．故答案为： 6．评论：本题考察了平方差公式，解决本题的重点是熟记平方差公式．15．（4 分）（2015?莱芜）不等式组的解集为﹣1≤x＜2．考点：解一元一次不等式组．剖析：先求出每个不等式的解集，依据不等式的解集找出不等式组的解集即可．解答：解：∵由①得： x≥﹣ 1，由②得： x＜ 2，∴不等式组的解集是﹣ 1≤x＜2，故答案为﹣ 1≤x＜ 2．评论：本题考察认识一元一次不等式和解一元一次不等式组的应用，解本题的重点是能依据不等式的解集找出不等式组的解集．16．（4 分）（2015?莱芜）如图，在扇形OAB中，∠ AOB=60°，扇形半径为r ，点 C 在上， CD⊥OA，垂足为D，当△OCD的面积最大的长为．时，考点：垂径定理；弧长的计算；解直角三角形．剖析：由OC=r，点C在上，CD⊥ OA，利用勾股定理可得DC的长，求出OD=时△ OCD的面积最大，∠ COA=45°时，利用弧长公示获取答案．解答：解：∵ OC=r，点C在上，CD⊥OA，∴ DC= = ，∴ S△OCD= OD? ，2 2 2 4 2 2 2 2∴ S△ OCD2= OD?（ r ﹣ OD） =﹣OD+ r OD=﹣（ OD﹣） +2∴当 OD=，即 OD= r 时△ OCD的面积最大，∴∠ OCD=45°，∴∠ COA=45°，∴的长为：=πr，故答案为：．评论：本题主要考察了扇形的面积，勾股定理，求出OD=时△ OCD的面积最大，∠COA=45°是解答本题的重点．MN 17．（4 分）（2015?莱芜）如图，反比率函数y= （ x＞0）的图象经过点M（ 1，﹣ 1），过点M作⊥ x 轴，垂足为N，在x 轴的正半轴上取一点P（ t ，0），过点P 作直线OM的垂l ．若点N 对于直线线l 的对称点在此反比率函数的图象上，则t= ．考点：反比率函数图象上点的坐标特点；坐标与图形变化- 对称．剖析：依据反比率函数图象上点的坐标特点由点 A 坐标为（ 1，﹣ 1）获取k=﹣ 1，即反比率函数分析式为y= ﹣，且ON=MN=1，则可判断△OMN为等腰直角三角形，知∠MON=45°，再利用PQ⊥OM 可获取∠ OPQ=45°，而后轴对称的性质得PN=PN′， NN′⊥PQ，因此∠NPQ=∠N′PQ=45°，于是得到 N′P⊥ x 轴，则点n′的坐标可表示为（t ，﹣），于是利用Pn=Pn′得t ﹣1=| ﹣|= ，而后解方程可获取知足条件的解答：解：如图，∵点t 的值．A 坐标为（1，﹣ 1），∴k=﹣1×1=﹣ 1，∴反比率函数分析式为 y=﹣，∵ON=MN=1，∴△ OMN为等腰直角三角形，∴∠ MON=45°，∵直线 l ⊥ OM，∴∠ OPQ=45°，∵点 N和点 N′对于直线l 对称，∴PN=PN′， NN′⊥ PQ，∴∠ N′PQ=∠OPQ=45°，∠ N′PN=90°，∴N′P⊥ x 轴，∴点 N′的坐标为（t ，﹣），∵PN=PN′，∴t ﹣ 1=| ﹣ |= ，2 1 2（不切合题意，舍去），整理得 t ﹣ t ﹣ 1=0，解得 t = ， t =∴ t 的值为．故答案为：．评论：本题考察了反比率函数的综合题，波及知识点有反比率函数图象上点的坐标特点、等腰直角三角形的性质和轴对称的性质和用求根公式法解一元二次方程等．利用对称的性质获取对于 t 的方程是解题的重点．三、解答题（本大题共7 小题，共64 分，解答要写出必需的文字说明、证明过程或推演步骤）18．（6 分）（2015?莱芜）先化简，再求值：（1﹣），此中x=3．考点：分式的化简求值．专题：计算题．剖析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法例计算，同时利用除法法例变形，约分获取最简结果，把 x 的值代入计算即可求出值．解答：解：原式=?=?=，当 x=3 时，原式 =2．评论：本题考察了分式的化简求值，娴熟掌握运算法例是解本题的重点．19．（8 分）（ 2015?莱芜）为认识今年初四学生的数学学习状况，某校在第一轮模拟测试后，对初四全体同学的数学成绩作了统计剖析，绘制以以下图表：请联合图表所给出的信息解答系列问题：成绩频数频次优异 45 b优异 a 0.3合格 105 0.35不合格 60 c（1）该校初四学生共有多少人？（2）求表中 a，b， c 的值，并补全条形统计图．（3）初四（一）班数学老师准备从成绩优异的甲、乙、丙、丁四名同学中随意抽取两名同学做学习经验介绍，求恰巧选中甲、乙两位同学的概率．考点：列表法与树状图法；频数（率）散布表；条形统计图．剖析：（1）利用合格的人数除以该组频次从而得出该校初四学生总数；（2）利用（ 1）中所求，联合频数÷总数 =频次，从而求出答案；（3）依据题意画出树状图，而后求得所有状况的总数与切合条件的状况数目；两者的比值就是其发生的概率．解答：解：（ 1）由题意可得：该校初四学生共有： 105÷0.35=300（人），答：该校初四学生共有300 人；（2）由（ 1）得： a=300×0.3=90 （人），b= =0.15 ，c= =0.2 ；以下图；（ 3）画树形图得：∴一共有 12 种状况，抽取到甲和乙的有 2 种，∴ P（抽到甲和乙）= =．评论：本题主要考察了树状图法求概率以及条形统计图的应用，依据题意利用树状图得出所有状况是解题重点．20．（9 分）（ 2015?莱芜）为保护渔民的生命财富安全，我国政府在南海海疆新建了一批观察点和避风港．某日在观察点 A 处发此刻其北偏西36.9 °的 C 处有一艘渔船正在作业，同时检测到在渔船的正西 B 处有一股强台风正以每小时40 海里的速度向正东方向挪动，于是立刻通知渔船到位于A 其正东方向的避风港 D 处进行闪避．已知避风港 D 在观察点 A 的正北方向，台风中心B 在观察点的北偏西 67.5 °的方向，渔船 C 与观察点 A 相距 350 海里，台风中心的影响半径为200 海里，渔船的速度为每小时 18 海里，问渔船可否顺利闪避本次台风的影响？（ sin36.9 °≈ 0.6 ， tan36.9 ≈0.75 ，sin67.5 ≈0.92 ，tan67.5 ≈2.4 ）考点：解直角三角形的应用 - 方向角问题．剖析：先解 Rt△ ADC，求出 CD=AC?sin∠DAC≈350×0.6=210 海里， AD= =280 海里，那么渔船到的避风港 D 地方用时间： 210÷18=11 小时．再解 Rt △ ADB，求出 BD=AD?tan∠BAD≈280×2.4=672 海里，那么 BC=BD﹣CD≈672﹣ 210=462 海里．设强台风挪动到渔船 C 后边 200 海里时所需时间为x 小时，依据追及问题的等量关系列出方程（40﹣ 18）x=462 ﹣200，解方程求出x=11 ，因为 11 ＜ 11 ，因此渔船能顺利闪避本次台风的影响．解答：解：由题意可知∠ BAD=67.5°，∠ CAD=36.9°， AC=350海里．在 Rt △ADC中，∵∠ ADC=90°，∠ DAC=36.9°，AC=350海里，∴CD=AC?sin∠DAC≈350×0.6=210 海里， AD= =280 海里．∴渔船到的避风港 D 地方用时间： 210÷18=11小时．在 Rt △ADB中，∵∠ ADB=90°，∠ BAD=67.5°，∴BD=AD?tan∠BAD≈280×2. 4=672 海里，∴BC=BD﹣CD≈672﹣ 210=462 海里．设强台风挪动到渔船 C 后边 200 海里时所需时间为x 小时，依据题意得（40﹣18） x=462﹣200，解得 x=11 ，∵11 ＜11 ，∴渔船能顺利闪避本次台风的影响．评论：本题考察认识直角三角形的应用﹣方向角问题，难度中等，求出强台风挪动到渔船C后边200海里时所需时间是解题的重点．21．（9 分）（2015?莱芜）如图，△ ABC是等腰直角三角形，∠ ACB=90°，分别以AB， AC为直角边向外作等腰直角△ABD和等腰直角△ ACE， G为 BD的中点，连结CG， BE， CD， BE 与 CD交于点 F．（1）判断四边形 ACGD的形状，并说明原因．（2）求证： BE=CD， BE⊥CD．考点：全等三角形的判断与性质；等腰直角三角形；平行四边形的判断．专题：证明题．剖析：（ 1）利用等腰直角三角形的性质易得BD=2BC，因为 G为 BD的中点，可得 BG=BC，由∠ CGB=45°，∠ADB=45得 AD∥ CG，由∠ CBD+∠ACB=180°，得 AC∥BD，得出四边形 ACGD为平行四边形；（ 2）利用全等三角形的判断证得△DAC≌△ BAE，由全等三角形的性质得BE=CD；第一证得四边形ABCE为平行四边形，再利用全等三角形的判断定理得△ BCE≌△ CAD，易得∠ CBE=∠ ACD，由∠ACB=90°，易得∠ CFB=90°，得出结论．解答：（1）解：∵△ ABC是等腰直角三角形，∠ ACB=90°，∴AB= BC，∵△ ABD和△ ACE均为等腰直角三角形，∴ BD==BC=2BC，∵G为 BD的中点，∴ BG=BD=BC，∴△ CBG为等腰直角三角形，∴∠ CGB=45°，∵∠ ADB=45°，AD∥ CG，∵∠ ABD=45°，∠ ABC=45°∴∠ CBD=90°，∵∠ ACB=90°，∴∠ CBD+∠ACB=180°，∴AC∥BD，∴四边形 ACGD为平行四边形；（2）证明：∵∠ EAB=∠ EAC+∠CAB=90°+45°=135°，∠ CAD=∠ DAB+∠BAC=90°+45°=135°，∴∠ EAB=∠ CAD，在△ DAC与△ BAE中，，∴△ DAC≌△ BAE，∴BE=CD；∵∠ EAC=∠BCA=90°， EA=AC=BC，∴四边形 ABCE为平行四边形，∴CE=AB=AD，在△ BCE与△ CAD中，，∴△ BCE≌△ CAD，∴∠ CBE=∠ ACD，∵∠ ACD+∠BCD=90°，∴∠ CBE+∠BCD=90°，∴∠ CFB=90°，即 BE⊥CD．评论：本题主要考察了等腰直角三角形的性质，平行四边形和全等三角形的判断及性质定理，综合运用各样定理是解答本题的重点．22．（ 10 分）（2015?莱芜）今年我市某企业分两次采买了一批大蒜，第一次花销40 万元，第二次花销 60 万元．已知第一次采买时每吨大蒜的价钱比昨年的均匀价钱上升了500 元，第二次采买时每吨大蒜的价钱比昨年的均匀价钱降落了500 元，第二次的采买数目是第一次采买数目的两倍．（ 1）试问昨年每吨大蒜的均匀价钱是多少元？（ 2）该企业可将大蒜加工成蒜粉或蒜片，若独自加工成蒜粉，每日可加工8 吨大蒜，每吨大蒜获利 1000 元；若独自加工成蒜片，每日可加工12 吨大蒜，每吨大蒜赢利600 元．因为出口需要，所有采买的大蒜必需在30 天内加工完成，且加工蒜粉的大蒜数目许多于加工蒜片的大蒜数目的一半，为获取最大收益，应将多少吨大蒜加工成蒜粉？最大收益为多少？考点：一元一次不等式组的应用；分式方程的应用．剖析：（ 1）设昨年每吨大蒜的均匀价钱是x 元，则第一次采买的均匀价钱为（x+500）元，第二次采买的均匀价钱为（ x﹣ 500）元，依据第二次的采买数目是第一次采买数目的两倍，据此列方程求解；（ 2）先求出今年所采买的大蒜数，依据采买的大蒜必需在30 天内加工完成，蒜粉的大蒜数目许多于加工蒜片的大蒜数目的一半，据此列不等式组求解，而后求出最大收益．解答：解：（ 1）设昨年每吨大蒜的均匀价钱是x 元，由题意得，×2= ，解得： x=3500，经查验： x=3500 是原分式方程的解，且切合题意，答：昨年每吨大蒜的均匀价钱是3500 元；（ 2）由（ 1）得，今年的大蒜数为：× 3=300（吨），设应将 m吨大蒜加工成蒜粉，则应将（300﹣ m）吨加工成蒜片，由题意得，，解得： 100≤m≤120，总收益为： 1000m+600（ 300﹣ m） =400m+180000，当 m=120时，收益最大，为 228000 元．答：应将 120 吨大蒜加工成蒜粉，最大收益为228000 元．评论：本题考察了分式方程和一元一次不等式耳朵应用，解答本题的重点是读懂题意，设出未知数，找出适合的等量关系，列方程求解．23．（ 10 分）（2015?莱芜）如图，已知 AB是⊙ O的直径， C 是⊙ O上任一点（不与 A， B 重合）， AB ⊥CD于 E，BF 为⊙ O的切线， OF∥ AC，连结 AF，FC， AF与 CD交于点 G，与⊙ O交于点 H，连结 CH．（1）求证： FC是⊙ O的切线；（2）求证： GC=GE；（3）若 cos ∠ AOC= ，⊙ O的半径为 r ，求 CH的长．考点：圆的综合题．专题：计算题．剖析：（1）第一依据OF∥ AC， OA=OC，判断出∠ BOF=∠ COF；而后依据全等三角形判断的方法，判断出△ BOF≌△ COF，推得∠ OCF=∠OBF=90°，再依据点 C 在⊙ O上，即可判断出FC是⊙ O的切线．（2）延伸 AC、BF 交点为 M．由△ BOF≌△ COF可知： BF=CF而后再证明： FM=CF，从而获取 BF=MF，因为 DC∥ BM，因此△ AEG∽△ ABF，△ AGC∽△ AFM，而后依照相像三角形的性质可证G C=GE；（ 3）因为cos ∠AOC= ，OE= ，AE= ．由勾股定理可求得EC= ． AC= ．因为EG=GC，所以EG= ．由（2）可知△AEG∽△ ABF，可求得CF=BF= ．在Rt △ABF中，由勾股定理可求得 AF=3r ．而后再证明△CFH∽△ AFC，由相像三角形的性质可求得CH的长．解答：（1）证明：∵ OF∥ AC，∴∠ BOF=∠ OAC，∠ COF=∠ OCA，∵OA=OC，∴∠ OAC=∠ OCA，∴∠ BOF=∠ COF，在△ BOF和△ COF中，，∴△ BOF≌△ COF，∴∠ OCF=∠OBF=90°，又∵点 C 在⊙ O上，∴ FC是⊙ O的切线．（ 2）以以下图：延伸AC、BF 交点为 M．由（ 1）可知：△ BOF≌△ COF，∴∠ OFB=∠ CFO， BF=CF．∵AC∥OF，∴∠ M=∠ OFB，∠ MCF=∠ CFO．∴∠ M=∠ MCF．∴CF=MF．∴BF=FM．∵ DC∥BM，∴△ AEG∽△ ABF，△ AGC∽△ AFM．∴，．∴又∵ BF=FM，∴EG=GC．（ 3）以以下图所示：∵cos∠ AOC= ，∴OE= ，AE= ．在 Rt △GOC中， EC==．在 Rt △AEC中， AC==．。

2015-2016年山东省莱芜市七年级(下)期末数学试卷(五四学制)(解析版)

2015-2016学年山东省莱芜市七年级（下）期末数学试卷（五四学制）一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．（3分）下列命题中，是真命题的是（）A．同位角相等B．全等的两个三角形一定是轴对称C．不相等的角不是内错角D．同旁内角互补，两直线平行2．（3分）下列事件中，是不可能事件的是（）A．买一张电影票，座位号是奇数B．射击运动员射击一次，命中9环C．明天会下雨D．度量三角形的内角和，结果是360°3．（3分）如图，直线l1∥l2，以直线l1上的点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线l1和l2于B、C两点，连接AC、BC，若∠ABC＝65°，则∠1的度数是（）A．35°B．50°C．65°D．70°4．（3分）如图，将三角形的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1＝65°，则∠2的度数为（）A．10°B．15°C．20°D．25°5．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB 于点E，且AB＝6，则△DEB的周长为（）A．4B．6C．8D．106．（3分）同一直角坐标系中，一次函数y1＝k1x+b与正比例函数y2＝k2x的图象如图所示，则当y1大于y2时，x取值范围是（）A．x＞0B．x＜0C．x＜﹣2D．x＞﹣27．（3分）甲、乙两人练习跑步，如果让乙先跑10米，甲跑5秒就追上乙；如果让乙先跑2秒，那么甲跑4秒就追上乙，若设甲、乙每秒分别跑x米，y米，下列方程组正确的是（）A．B．C．D．8．（3分）如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC于点E，∠A＝∠ABE，AC＝5，BC＝3，则BD的长为（）A．1B．1.5C．2D．2.59．（3分）从方程组中得出x与y的关系是（）A．y＝5x+1B．y＝5x+9C．y＝x﹣D．y＝x+10．（3分）已知关于x的不等式2x﹣a≥﹣3的解集如图所示，则a的值等于（）A．0B．1C．﹣1D．211．（3分）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE＝2BF．给出下列四个结论：①DE＝DF；②DB＝DC；③AD⊥BC；④AC＝3BF，其中正确的结论共有（）A．4个B．3个C．2个D．1个12．（3分）若不等式组有三个整数解，则实数a的取值范围是（）A．2≤a≤3B．2＜a≤3C．2≤a＜3D．2＜a＜3二、填空题（本大题共有5小题，每小题4分，共20分）13．（4分）一只自由飞行的小鸟，将随意地落在如图所示方格地面上（每个小方格都是边长相等的正方形），则小鸟落在阴影方格地面上的概率为．14．（4分）若3a+2b＝4，且2a﹣b＝5，则（a+b）2016的值是．15．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BD＝6，将∠C沿AD对折，使点C恰好落在AB边上的点E处，则CD的长度是．16．（4分）如果关于x的方程3x+2a＝x+8的解是正数，那么a的取值范围是．17．（4分）在△ABC中，∠ACB＝90°，D、E在AB上，且BD＝BC，AE＝AC，则∠DCE 的度数为．三、解答题（本大题共有7小题，共64分）18．（6分）解方程组：．19．（8分）解不等式组．并把解集在数轴上表示出来．．20．（9分）小明和小亮两位同学做投掷骰子（质地均匀的正方体）实验，他们共做了100次实验，实验的结果如下：（1）计算“2点朝上”的频率和“4点朝上”的频率．（2）小明说：“根据实验，一次实验中出现3点朝上的概率最大”．小亮说：“如果投掷1000次，那么出现5点朝上的次数正好是200次．”小明和小亮的说法正确吗？为什么？（3）小明投掷一枚骰子，计算小明投掷点数不小于3的概率．21．（9分）甲、乙两种商品，如果购买甲3件、乙7件共需27元，如果购买甲商品40件、乙商品50件，则可以按批发价计算，共需付189元，已知甲商品每件批发价比零售价低0.4元，乙商品每件批发价比零售价低0.5元．问甲、乙两种商品的批发价各是多少元？22．（10分）如图所示：（1）∠1＝∠3，∠4＝∠C，求证：BE平分∠ABC；（2）BE平分∠ABC，∠4＝∠C，求证：∠5＝2∠3．23．（10分）今年6月份，我市某果农收获荔枝30吨，香蕉13吨，现计划租用甲、乙两种货车共10辆将这批水果全部运往深圳，已知甲种货车可装荔枝4吨和香蕉1吨，乙种货车可装荔枝香蕉各2吨；（1）该果农安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来；（2）若甲种货车每辆要付运输费2000元，乙种货车每辆要付运输费1300元，则该果农应选择哪种方案使运费最少，最少运费是多少元？24．（12分）如图，函数y1＝k1x+b1过A（﹣2，0），B（0，1）两点．（1）求y1与x之间的函数表达式；（2）当x取何值时，0；（3）函数y2＝k2x+b2经过二、三、四象限，与x、y轴分别交于C、D两点，若△COD和△AOB全等，求y2与x之间的函数表达式．2015-2016学年山东省莱芜市七年级（下）期末数学试卷（五四学制）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．（3分）下列命题中，是真命题的是（）A．同位角相等B．全等的两个三角形一定是轴对称C．不相等的角不是内错角D．同旁内角互补，两直线平行【考点】O1：命题与定理．【解答】解：A、两直线平行，同位角相等，所以A选项为假命题；B、全等的两个三角形不一定是轴对称的，所以B选项为假命题；C、不相等的角可能为内错角，所以C选项为假命题；D、同旁内角互补，两直线平行，所以D选项为真命题．故选：D．2．（3分）下列事件中，是不可能事件的是（）A．买一张电影票，座位号是奇数B．射击运动员射击一次，命中9环C．明天会下雨D．度量三角形的内角和，结果是360°【考点】X1：随机事件．【解答】解：A、买一张电影票，座位号是奇数，是随机事件，故A选项错误；B、射击运动员射击一次，命中9环，是随机事件，故B选项错误；C、明天会下雨，是随机事件，故C选项错误；D、度量一个三角形的内角和，结果是360°，是不可能事件，故D选项正确．故选：D．3．（3分）如图，直线l1∥l2，以直线l1上的点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线l1和l2于B、C两点，连接AC、BC，若∠ABC＝65°，则∠1的度数是（）A．35°B．50°C．65°D．70°【考点】JA：平行线的性质．【解答】解：根据题意得：AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC＝65°，∵直线l1∥l2，∴∠2＝∠ABC＝65°，∵∠1+∠ACB+∠2＝180°，∴∠1＝180°﹣∠2﹣∠ACB＝180°﹣65°﹣65°＝50°．故选：B．4．（3分）如图，将三角形的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1＝65°，则∠2的度数为（）A．10°B．15°C．20°D．25°【考点】JA：平行线的性质．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠3＝∠1＝65°，∴∠2＝180°﹣∠3﹣90°＝180°﹣65°﹣90°＝25°．故选：D．5．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB 于点E，且AB＝6，则△DEB的周长为（）A．4B．6C．8D．10【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KW：等腰直角三角形．【解答】解：∵CA＝CB，∠C＝90°，AD平分∠CAB，∴△ACB为等腰直角三角形，BC＝AC＝AE，∴△ACD≌△AED，∴CD＝DE，又∵DE⊥AB于点E，∴△EDB为等腰直角三角形，DE＝EB＝CD，∴△DEB的周长＝DE+EB+DB＝CD+DB+EB＝CB+EB＝AE+EB＝AB＝6，∴周长为6．故选：B．6．（3分）同一直角坐标系中，一次函数y1＝k1x+b与正比例函数y2＝k2x的图象如图所示，则当y1大于y2时，x取值范围是（）A．x＞0B．x＜0C．x＜﹣2D．x＞﹣2【考点】FD：一次函数与一元一次不等式．【解答】解：当x＝﹣2时，两个函数的函数值是相等，当x＜﹣2时，直线y1＝k1x+b在y2＝k2x的上方，故不等式y1＞y2的解集为x＜﹣2．故选：C．7．（3分）甲、乙两人练习跑步，如果让乙先跑10米，甲跑5秒就追上乙；如果让乙先跑2秒，那么甲跑4秒就追上乙，若设甲、乙每秒分别跑x米，y米，下列方程组正确的是（）A．B．C．D．【考点】99：由实际问题抽象出二元一次方程组．【解答】解：设甲、乙每秒分别跑x米，y米，由题意知：．故选：C．8．（3分）如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC于点E，∠A＝∠ABE，AC＝5，BC＝3，则BD的长为（）A．1B．1.5C．2D．2.5【考点】KJ：等腰三角形的判定与性质．【解答】解：∵CD平分∠ACB，BE⊥CD，∴BC＝CE．又∵∠A＝∠ABE，∴AE＝BE．∴BD＝BE＝AE＝（AC﹣BC）．∵AC＝5，BC＝3，∴BD＝（5﹣3）＝1．故选：A．9．（3分）从方程组中得出x与y的关系是（）A．y＝5x+1B．y＝5x+9C．y＝x﹣D．y＝x+【考点】AF：高次方程．【解答】解：①×5得：5x＝5m2﹣5③，③﹣②得：y﹣5x＝9，y＝5x+9，故选：B．10．（3分）已知关于x的不等式2x﹣a≥﹣3的解集如图所示，则a的值等于（）A．0B．1C．﹣1D．2【考点】C4：在数轴上表示不等式的解集；C6：解一元一次不等式．【解答】解：解不等式2x﹣a≥﹣3得，x≥，∵由图可知x≥﹣1，∴＝﹣1，解得a＝1．故选：B．11．（3分）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE＝2BF．给出下列四个结论：①DE＝DF；②DB＝DC；③AD⊥BC；④AC＝3BF，其中正确的结论共有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KF：角平分线的性质．【解答】解：∵BF∥AC，∴∠C＝∠CBF，∵BC平分∠ABF，∴∠ABC＝∠CBF，∴∠C＝∠ABC，∴AB＝AC，∵AD是△ABC的角平分线，∴BD＝CD，AD⊥BC，故②③正确，在△CDE与△DBF中，，∴△CDE≌△DBF，∴DE＝DF，CE＝BF，故①正确；∵AE＝2BF，∴AC＝3BF，故④正确．故选：A．12．（3分）若不等式组有三个整数解，则实数a的取值范围是（）A．2≤a≤3B．2＜a≤3C．2≤a＜3D．2＜a＜3【考点】CC：一元一次不等式组的整数解．【解答】解：解不等式x+a≥0得：x≥﹣a，解不等式1﹣2x＞x﹣2得：x＜1，∵此不等式组有3个整数解，∴这3个整数解为﹣2，﹣1，0，∴a的取值范围是﹣3＜a≤﹣2．故选：C．二、填空题（本大题共有5小题，每小题4分，共20分）13．（4分）一只自由飞行的小鸟，将随意地落在如图所示方格地面上（每个小方格都是边长相等的正方形），则小鸟落在阴影方格地面上的概率为．【考点】X5：几何概率．【解答】解：因为所有方格面积为：S1＝25；阴影的面积为：S2＝9．所以小鸟停在小圆内（阴影部分）的概率是．14．（4分）若3a+2b＝4，且2a﹣b＝5，则（a+b）2016的值是1．【考点】98：解二元一次方程组．【解答】解：3a+2b＝4①，且2a﹣b＝5②，由②得4a﹣2b＝10③，①+③，得7a＝14，解得a＝2，把a＝2代入②，得b＝﹣1．（a+b）2016＝（2﹣1）2016＝1，故答案为：1．15．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BD＝6，将∠C沿AD对折，使点C恰好落在AB边上的点E处，则CD的长度是3．【考点】KO：含30度角的直角三角形；PB：翻折变换（折叠问题）．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BD＝6，∴DE＝3，∵△ADE是由△ACD翻折，∴DE＝CD＝3，故答案为：316．（4分）如果关于x的方程3x+2a＝x+8的解是正数，那么a的取值范围是a＜4．【考点】85：一元一次方程的解；C6：解一元一次不等式．【解答】解：方程移项合并得：2x＝﹣2a+8，解得：x＝﹣a+4，由方程的解为正数，得到﹣a+4＞0，解得：a＜4．故答案为：a＜4．17．（4分）在△ABC中，∠ACB＝90°，D、E在AB上，且BD＝BC，AE＝AC，则∠DCE 的度数为45°．【考点】KH：等腰三角形的性质．【解答】解：∵BD＝BC，AE＝AC，∴∠BCD＝∠BDC，∠AEC＝∠ACE，即∠BCE+∠DCE＝∠BDC，∠ACD+∠DCE＝∠DCE，∵∠DCE+∠BDC+∠AEC＝180°，∴∠BCE+∠DCE+∠ACD+∠DCE+∠DCE＝180°，又∠ACB＝90°，∴∠BCE+∠DCE+∠ACD＝90°，∴2∠DCE＝180°﹣90°，∴∠DCE＝45°，故答案为：45°．三、解答题（本大题共有7小题，共64分）18．（6分）解方程组：．【考点】98：解二元一次方程组．【解答】解：，由①得：a＝﹣5b+6③，把③代入②得：﹣15b+18﹣6b＝4，即b＝，把b＝代入③得：a＝，则方程组的解为．19．（8分）解不等式组．并把解集在数轴上表示出来．．【考点】C4：在数轴上表示不等式的解集；CB：解一元一次不等式组．【解答】解：不等式①去分母，得x﹣3+6≥2x+2，移项，合并得x≤1，不等式②去括号，得1﹣3x+3＜8﹣x，移项，合并得x＞﹣2，∴不等式组的解集为：﹣2＜x≤1．数轴表示为：20．（9分）小明和小亮两位同学做投掷骰子（质地均匀的正方体）实验，他们共做了100次实验，实验的结果如下：（1）计算“2点朝上”的频率和“4点朝上”的频率．（2）小明说：“根据实验，一次实验中出现3点朝上的概率最大”．小亮说：“如果投掷1000次，那么出现5点朝上的次数正好是200次．”小明和小亮的说法正确吗？为什么？（3）小明投掷一枚骰子，计算小明投掷点数不小于3的概率．【考点】X8：利用频率估计概率．【解答】解：（1）“2点朝上”的频率为＝0.15；“4点朝上”的频率为＝0.16；（2）小明的说法错误；因为只有当实验的次数足够大时，该事件发生的频率稳定在事件发生的概率附近；小亮的判断是错误的；因为事件发生具有随机性；（3）P（不小于3）＝＝．21．（9分）甲、乙两种商品，如果购买甲3件、乙7件共需27元，如果购买甲商品40件、乙商品50件，则可以按批发价计算，共需付189元，已知甲商品每件批发价比零售价低0.4元，乙商品每件批发价比零售价低0.5元．问甲、乙两种商品的批发价各是多少元？【考点】9A：二元一次方程组的应用．【解答】解：设甲商品的批发价是x元/件，乙商品的批发价是y元/件，依题意得：，解得．答：甲商品的批发价是1.6元/件，乙商品的批发价是2.5元/件．22．（10分）如图所示：（1）∠1＝∠3，∠4＝∠C，求证：BE平分∠ABC；（2）BE平分∠ABC，∠4＝∠C，求证：∠5＝2∠3．【考点】JB：平行线的判定与性质．【解答】证明：（1）∵∠4＝∠C，∴DE∥BC，∴∠3＝∠2，∵∠1＝∠3，∴∠1＝∠2，∴BE平分∠ABC；（2）∵BE平分∠ABC，∴∠1＝∠2，∵∠4＝∠C，∴DE∥BC，∴∠3＝∠2，∴∠1＝∠3，∵∠5是△BDE的外角，∴∠5＝∠1+∠3＝2∠3．23．（10分）今年6月份，我市某果农收获荔枝30吨，香蕉13吨，现计划租用甲、乙两种货车共10辆将这批水果全部运往深圳，已知甲种货车可装荔枝4吨和香蕉1吨，乙种货车可装荔枝香蕉各2吨；（1）该果农安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来；（2）若甲种货车每辆要付运输费2000元，乙种货车每辆要付运输费1300元，则该果农应选择哪种方案使运费最少，最少运费是多少元？【考点】CE：一元一次不等式组的应用．【解答】解：（1）设安排甲种货车x辆，则安排乙种货车（10﹣x）辆，依题意得解这个不等式组得∴5≤x≤7∵x是整数∴x可取5、6、7，即安排甲、乙两种货车有三种方案：①甲种货车5辆，乙种货车5辆；②甲种货车6辆，乙种货车4辆；③甲种货车7辆，乙种货车3辆．（2）方法一：由于甲种货车的运费高于乙种货车的运费，两种货车共10辆，所以当甲种货车的数量越少时，总运费就越少，故该果农应选择①运费最少，最少运费是16500元；方法二：方案①需要运费：2000×5+1300×5＝16500（元）方案②需要运费：2000×6+1300×4＝17200（元）方案③需要运费：2000×7+1300×3＝17900（元）∴该果农应选择①运费最少，最少运费是16500元．24．（12分）如图，函数y1＝k1x+b1过A（﹣2，0），B（0，1）两点．（1）求y1与x之间的函数表达式；（2）当x取何值时，0；（3）函数y2＝k2x+b2经过二、三、四象限，与x、y轴分别交于C、D两点，若△COD和△AOB全等，求y2与x之间的函数表达式．【考点】FI：一次函数综合题．【解答】解：（1）将A（﹣2，0）、B（0，1）代入y1＝k1x+b1中，得：，解得：，∴y1与x之间的函数表达式为y1＝x+1．（2）由y1＝0得：x+1＝0，解得：x＝﹣2；由y1＝得：x+1＝，解得：x＝．∵k1＝＞0，∴y1随x的增大而增大，∴当﹣2≤x＜时，0．（3）∵A（﹣2，0），B（0，1），∴在△AOB中，OA＝2，OB＝1，∠AOB＝90°，又∵在△COD中，∠COD＝90°．∴△COD和△AOB全等有两种情况：①当△COD≌△AOB时，OC＝OA＝2，OD＝OB＝1，∵函数y2＝k2x+b2经过二、三、四象限，与x、y轴分别交于C、D两点，∴C（﹣2，0），D（0，﹣1）．将C（﹣2，0）、D（0，﹣1）代入y2＝k2x+b2中，得：，解得：，∴y2与x之间的函数表达式为y2＝﹣x﹣1；②当△DOC≌△AOB时，OD＝OA＝2，OC＝OB＝1，∵函数y2＝k2x+b2经过二、三、四象限，与x、y轴分别交于C、D两点，∴C（﹣1，0），D（0，﹣2）．将C（﹣1，0）、D（0，﹣2）代入y2＝k2x+b2中，得：，解得：，∴y2与x之间的函数表达式为y2＝﹣2x﹣2．综上可知：若△COD和△AOB全等，则y2与x之间的函数表达式为y2＝﹣x﹣1或y2＝﹣2x﹣2．。

山东省莱芜市中考数学真题试题(含解析)

2015年山东省莱芜市中考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分）1．（3分）（2015•莱芜）﹣3的相反数是（）A． 3 B．﹣3 C． D．﹣2．（3分）（2015•莱芜）将数字2.03×10﹣3化为小数是（）A． 0.203 B． 0.0203 C． 0.00203 D． 0.0002033．（3分）（2015•莱芜）下列运算正确的是（）A．（﹣a2）•a3=﹣a6 B． a6÷a3=a2 C． a2+a3=a5 D．（a3）2=a64．（3分）（2015•莱芜）要使二次根式有意义，则x的取值范围是（）A． x B． x C． x D． x5．（3分）（2015•莱芜）如图，AB∥CD，EF平分∠AEG，若∠FGE=40°，那么∠EFG的度数为（）A．35° B．40° C．70° D．140°6．（3分）（2015•莱芜）下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（）A． B． C． D．7．（3分）（2015•莱芜）为了解当地气温变化情况，某研究小组记录了寒假期间连续6天的最高气温，结果如下（单位：℃）：﹣6，﹣3，x，2，﹣1，3．若这组数据的中位数是﹣1，则下列结论错误的是（）A．方差是8 B．极差是9 C．众数是﹣1 D．平均数是﹣18．（3分）（2015•莱芜）下列几何体中，主视图和左视图都为矩形的是（）A． B． C． D．9．（3分）（2015•莱芜）一个多边形除一个内角外其余内角的和为1510°，则这个多边形对角线的条数是（）A． 27 B． 35 C． 44 D． 5410．（3分）（2015•莱芜）甲乙两人同时从A地出发到B地，如果甲的速度v保持不变，而乙先用v的速度到达中点，再用2v的速度到达B地，则下列结论中正确的是（）A．甲乙同时到达B地 B．甲先到达B地C．乙先到达B地 D．谁先到达B地与速度v有关11．（3分）（2015•莱芜）如图，在矩形ABCD中，AB=2a，AD=a，矩形边上一动点P沿A→B→C→D 的路径移动．设点P经过的路径长为x，PD2=y，则下列能大致反映y与x的函数关系的图象是（）A． B． C． D．12．（3分）（2015•莱芜）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，以BC为直径的⊙O 与AD相切，点E为AD的中点，下列结论正确的个数是（）（1）AB+CD=AD；（2）S△BCE=S△ABE+S△DCE；（3）AB•CD=；（4）∠ABE=∠DCE．A． 1 B． 2 C． 3 D． 4二、填空题（本大题共5小题，每小题填对得4分，共20分，请填在答题卡上）13．（4分）（2015•莱芜）计算：﹣|﹣2|+（﹣1）3+2﹣1= ．14．（4分）（2015•莱芜）已知m+n=3，m﹣n=2，则m2﹣n2= ．15．（4分）（2015•莱芜）不等式组的解集为．16．（4分）（2015•莱芜）如图，在扇形OAB中，∠AOB=60°，扇形半径为r，点C在上，CD⊥OA，垂足为D，当△OCD的面积最大时，的长为．17．（4分）（2015•莱芜）如图，反比例函数y=（x＞0）的图象经过点M（1，﹣1），过点M作MN⊥x轴，垂足为N，在x轴的正半轴上取一点P（t，0），过点P作直线OM的垂线l．若点N关于直线l的对称点在此反比例函数的图象上，则t= ．三、解答题（本大题共7小题，共64分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）18．（6分）（2015•莱芜）先化简，再求值：（1﹣），其中x=3．19．（8分）（2015•莱芜）为了解今年初四学生的数学学习情况，某校在第一轮模拟测试后，对初四全体同学的数学成绩作了统计分析，绘制如下图表：请结合图表所给出的信息解答系列问题：成绩频数频率优秀 45 b良好 a 0.3合格 105 0.35不合格 60 c（1）该校初四学生共有多少人？（2）求表中a，b，c的值，并补全条形统计图．（3）初四（一）班数学老师准备从成绩优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中任意抽取两名同学做学习经验介绍，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．20．（9分）（2015•莱芜）为保护渔民的生命财产安全，我国政府在南海海域新建了一批观测点和避风港．某日在观测点A处发现在其北偏西36.9°的C处有一艘渔船正在作业，同时检测到在渔船的正西B处有一股强台风正以每小时40海里的速度向正东方向移动，于是马上通知渔船到位于其正东方向的避风港D处进行躲避．已知避风港D在观测点A的正北方向，台风中心B在观测点A的北偏西67.5°的方向，渔船C与观测点A相距350海里，台风中心的影响半径为200海里，渔船的速度为每小时18海里，问渔船能否顺利躲避本次台风的影响？（sin36.9°≈0.6，tan36.9≈0.75，sin67.5≈0.92，tan67.5≈2.4）21．（9分）（2015•莱芜）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，分别以AB，AC为直角边向外作等腰直角△ABD和等腰直角△ACE，G为BD的中点，连接CG，BE，CD，BE与CD交于点F．（1）判断四边形ACGD的形状，并说明理由．（2）求证：BE=CD，BE⊥CD．22．（10分）（2015•莱芜）今年我市某公司分两次采购了一批大蒜，第一次花费40万元，第二次花费60万元．已知第一次采购时每吨大蒜的价格比去年的平均价格上涨了500元，第二次采购时每吨大蒜的价格比去年的平均价格下降了500元，第二次的采购数量是第一次采购数量的两倍．（1）试问去年每吨大蒜的平均价格是多少元？（2）该公司可将大蒜加工成蒜粉或蒜片，若单独加工成蒜粉，每天可加工8吨大蒜，每吨大蒜获利1000元；若单独加工成蒜片，每天可加工12吨大蒜，每吨大蒜获利600元．由于出口需要，所有采购的大蒜必需在30天内加工完毕，且加工蒜粉的大蒜数量不少于加工蒜片的大蒜数量的一半，为获得最大利润，应将多少吨大蒜加工成蒜粉？最大利润为多少？23．（10分）（2015•莱芜）如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上任一点（不与A，B重合），AB⊥CD于E，BF为⊙O的切线，OF∥AC，连结AF，FC，AF与CD交于点G，与⊙O交于点H，连结CH．（1）求证：FC是⊙O的切线；（2）求证：GC=GE；（3）若cos∠AOC=，⊙O的半径为r，求CH的长．24．（12分）（2015•莱芜）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣3，2），B（0，﹣2），其对称轴为直线x=，C（0，）为y轴上一点，直线AC与抛物线交于另一点D．（1）求抛物线的函数表达式；（2）试在线段AD下方的抛物线上求一点E，使得△ADE的面积最大，并求出最大面积；（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点F，使得△ADF是直角三角形？如果存在，求点F的坐标；如果不存在，请说明理由．2015年山东省莱芜市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分）1．（3分）（2015•莱芜）﹣3的相反数是（）A． 3 B．﹣3 C． D．﹣考点：相反数．专题：常规题型．分析：根据相反数的概念解答即可．解答：解：﹣3的相反数是3，故选：A．点评：本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．2．（3分）（2015•莱芜）将数字2.03×10﹣3化为小数是（）A． 0.203 B． 0.0203 C． 0.00203 D． 0.000203考点：科学记数法—原数．分析：绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．解答：解：2.03×10﹣3化为小数是0.00203．故选C．点评：本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．3．（3分）（2015•莱芜）下列运算正确的是（）A．（﹣a2）•a3=﹣a6 B． a6÷a3=a2 C． a2+a3=a5 D．（a3）2=a6考点：同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．分析：根据同底数幂的除法，底数不变指数相减；同底数幂的乘法，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘，对各选项计算后利用排除法求解．解答：解：A、（﹣a2）•a3=﹣a5，故错误；B、a6÷a3=a3，故错误；C、a2•a3=a5，故错误；D、正确；故选：D．点评：本题考查同底数幂的除法，同底数幂的乘法，幂的乘方很容易混淆，一定要记准法则才能做题．4．（3分）（2015•莱芜）要使二次根式有意义，则x的取值范围是（）A． x B． x C． x D． x考点：二次根式有意义的条件．分析：二次根式的被开方数是非负数．解答：解：依题意得3﹣2x≥0，解得x≤．故选：B．点评：本题考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．5．（3分）（2015•莱芜）如图，AB∥CD，EF平分∠AEG，若∠FGE=40°，那么∠EFG的度数为（）A．35° B．40° C．70° D．140°考点：平行线的性质．分析：先根据两直线平行同旁内角互补，求出∠AEG的度数，然后根据角平分线的定义求出∠AEF的度数，然后根据两直线平行内错角相等，即可求出∠EFG的度数．解答：解：∵AB∥CD，∠FGE=40°，∴∠AEG+∠FGE=180°，∴∠AEG=140°，∵EF平分∠AEG，∴∠AEF=∠AEG=70°，∵AB∥CD，∴∠EFG=∠AEF=70°．故选C．点评：此题考查了平行线的性质，解题的关键是：熟记两直线平行同位角相等；两直线平行内错角相等；两直线平行同旁内角互补．6．（3分）（2015•莱芜）下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（）A． B． C． D．考点：中心对称图形；轴对称图形．分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．解答：解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误；D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项正确．故选D．点评：本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．7．（3分）（2015•莱芜）为了解当地气温变化情况，某研究小组记录了寒假期间连续6天的最高气温，结果如下（单位：℃）：﹣6，﹣3，x，2，﹣1，3．若这组数据的中位数是﹣1，则下列结论错误的是（）A．方差是8 B．极差是9 C．众数是﹣1 D．平均数是﹣1考点：方差；算术平均数；中位数；众数；极差．分析：分别计算该组数据的平均数，众数，极差及方差后找到正确的答案即可．解答：解：根据题意可知x=﹣1，平均数=（﹣6﹣3﹣1﹣1+2+3）÷6=﹣1，∵数据﹣1出现两次最多，∴众数为﹣1，极差=3﹣（﹣6）=9，方差=[（﹣6+1）2+（﹣3+1）2+（﹣1+1）2+（2+1）2+（﹣1+1）2+（3+1）2]=9．故选A．点评：此题考查了方差、极差、平均数、中位数及众数的知识，属于基础题，掌握各部分的定义及计算方法是解题关键．8．（3分）（2015•莱芜）下列几何体中，主视图和左视图都为矩形的是（）A． B． C． D．考点：简单几何体的三视图．分析：分别写出各几何体的主视图和左视图，然后进行判断．解答：解：A、主视图和左视图都为圆，所以A选项错误；B、主视图和左视图都为矩形的，所以B选项正确；C、主视图和左视图都为等腰三角形，所以C选项错误；D、主视图为矩形，左视图为圆，所以D选项错误．故选B．点评：本题考查了简单几何体的三视图：画物体的主视图的口诀为：主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等．记住常见的几何体的三视图．9．（3分）（2015•莱芜）一个多边形除一个内角外其余内角的和为1510°，则这个多边形对角线的条数是（）A． 27 B． 35 C． 44 D． 54考点：多边形内角与外角．分析：设出题中所给的两个未知数，利用内角和公式列出相应等式，根据边数为整数求解即可，再进一步代入多边形的对角线计算方法，即可解答．解答：解：设这个内角度数为x，边数为n，∴（n﹣2）×180°﹣x=1510，180n=1870+x，∵n为正整数，∴n=11，∴=44，故选：C．点评：此题考查多边形的内角和计算公式以及多边形的对角线条数的计算方法，属于需要识记的知识．10．（3分）（2015•莱芜）甲乙两人同时从A地出发到B地，如果甲的速度v保持不变，而乙先用v的速度到达中点，再用2v的速度到达B地，则下列结论中正确的是（）A．甲乙同时到达B地 B．甲先到达B地C．乙先到达B地 D．谁先到达B地与速度v有关考点：列代数式（分式）．分析：设从A地到B地的距离为2s，根据时间=路程÷速度可以求出甲、乙两人同时从A 地到B地所用时间，然后比较大小即可判定选择项．解答：解：设从A地到B地的距离为2s，而甲的速度v保持不变，∴甲所用时间为，又∵乙先用v的速度到达中点，再用2v的速度到达B地，∴乙所用时间为，∴甲先到达B地．故选：B．点评：此题主要考查了一元一次方程在实际问题中的应用，解题时首先正确理解题意，根据题意设未知数，然后利用已知条件和速度、路程、时间之间的关系即可解决问题．11．（3分）（2015•莱芜）如图，在矩形ABCD中，AB=2a，AD=a，矩形边上一动点P沿A→B→C→D 的路径移动．设点P经过的路径长为x，PD2=y，则下列能大致反映y与x的函数关系的图象是（）A． B． C． D．考点：动点问题的函数图象．分析：根据题意，分三种情况：（1）当0≤t≤2a时；（2）当2a＜t≤3a时；（3）当3a＜t≤5a 时；然后根据直角三角形中三边的关系，判断出y关于x的函数解析式，进而判断出y与x 的函数关系的图象是哪个即可．解答：解：（1）当0≤t≤2a时，∵PD2=AD2+AP2，AP=x，∴y=x2+a2．（2）当2a＜t≤3a时，CP=2a+a﹣x=3a﹣x，∵PD2=CD2+CP2，∴y=（3a﹣x）2+（2a）2=x2﹣6ax+13a2．（3）当3a＜t≤5a时，PD=2a+a+2a﹣x=5a﹣x，∵PD2=y，∴y=（5a﹣x）2=（x﹣5a）2，综上，可得y=∴能大致反映y与x的函数关系的图象是选项D中的图象．故选：D．点评：（1）此题主要考查了动点问题的函数图象，解答此类问题的关键是通过看图获取信息，并能解决生活中的实际问题，用图象解决问题时，要理清图象的含义即学会识图．（2）此题还考查了直角三角形的性质和应用，以及勾股定理的应用，要熟练掌握．12．（3分）（2015•莱芜）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，以BC为直径的⊙O 与AD相切，点E为AD的中点，下列结论正确的个数是（）（1）AB+CD=AD；（2）S△BCE=S△ABE+S△DCE；（3）AB•CD=；（4）∠ABE=∠DCE．A． 1 B． 2 C． 3 D． 4考点：圆的综合题．分析：设DC和半圆⊙O相切的切点为F，连接OF，根据切线长定理以及相似三角形的判定和性质逐项分析即可．解答：解：设DC和半圆⊙O相切的切点为F，∵在直角梯形ABCD中AB∥CD，AB⊥BC，∴∠ABC=∠DCB=90°，∵AB为直径，∴AB，CD是圆的切线，∵AD与以AB为直径的⊙O相切，∴AB=AF，CD=DF，∴AD=AE+DE=AB+CD，故①正确；如图1，连接OE，∵AE=DE，BO=CO，∴OE∥AB∥CD，OE=（AB+CD），∴OE⊥BC，∴S△BCE=BC•OE=（AB+CD）=（AB+CD）•BC==S△ABE+S△DCE，故②正确；如图2，连接AO，OD，∵AB∥CD，∴∠BAD+∠ADC=180°，∵AB，CD，AD是⊙O的切线，∴∠OAD+∠EDO=（∠BAD+∠ADC）=90°，∴∠AOD=90°，∴∠AOB+∠DOC=∠AOB+∠BAO=90°，∴∠BAO=∠DOC，∴△ABO∽△CDO，∴，∴AB•CD=OB•OC=BC BC=BC2，故③正确，如图1，∵OB=OC，OE⊥BC，∴BE=CE，∴∠BEO=∠CEO，∵AB∥OE∥CD，∴∠ABE=∠BEO，∠DCE=∠OEC，∴∠ABE=∠DCE，故④正确，综上可知正确的个数有4个，故选D．点评：本题考查了切线的判定和性质、相似三角形的判定与性质、直角三角形的判定与性质．解决本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理、性质定理，做到灵活运用．二、填空题（本大题共5小题，每小题填对得4分，共20分，请填在答题卡上）13．（4分）（2015•莱芜）计算：﹣|﹣2|+（﹣1）3+2﹣1= ．考点：实数的运算；负整数指数幂．专题：计算题．分析：原式第一项利用算术平方根定义计算，第二项利用绝对值的代数意义化简，第三项利用乘方的意义化简，最后一项利用负整数指数幂法则计算即可得到结果．解答：解：原式=3﹣2﹣1+=，故答案为：点评：此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．14．（4分）（2015•莱芜）已知m+n=3，m﹣n=2，则m2﹣n2= 6 ．考点：平方差公式．分析：根据平方差公式，即可解答．解答：解：m2﹣n2=（m+n）（m﹣n）=3×2=6．故答案为：6．点评：本题考查了平方差公式，解决本题的关键是熟记平方差公式．15．（4分）（2015•莱芜）不等式组的解集为﹣1≤x＜2 ．考点：解一元一次不等式组．分析：先求出每个不等式的解集，根据不等式的解集找出不等式组的解集即可．解答：解：∵由①得：x≥﹣1，由②得：x＜2，∴不等式组的解集是﹣1≤x＜2，故答案为﹣1≤x＜2．点评：本题考查了解一元一次不等式和解一元一次不等式组的应用，解此题的关键是能根据不等式的解集找出不等式组的解集．16．（4分）（2015•莱芜）如图，在扇形OAB中，∠AOB=60°，扇形半径为r，点C在上，CD⊥OA，垂足为D，当△OCD的面积最大时，的长为．考点：垂径定理；弧长的计算；解直角三角形．分析：由OC=r，点C在上，CD⊥OA，利用勾股定理可得DC的长，求出OD=时△OCD 的面积最大，∠COA=45°时，利用弧长公示得到答案．解答：解：∵OC=r，点C在上，CD⊥OA，∴DC==，∴S△OCD=OD•，∴S△OCD2=OD2•（r2﹣OD2）=﹣OD4+r2OD2=﹣（OD2﹣）2+∴当OD2=，即OD=r时△OCD的面积最大，∴∠OCD=45°，∴∠COA=45°，∴的长为：=πr，故答案为：．点评：本题主要考查了扇形的面积，勾股定理，求出OD=时△OCD的面积最大，∠COA=45°是解答此题的关键．17．（4分）（2015•莱芜）如图，反比例函数y=（x＞0）的图象经过点M（1，﹣1），过点M作MN⊥x轴，垂足为N，在x轴的正半轴上取一点P（t，0），过点P作直线OM的垂线l．若点N关于直线l的对称点在此反比例函数的图象上，则t= ．考点：反比例函数图象上点的坐标特征；坐标与图形变化-对称．分析：根据反比例函数图象上点的坐标特征由点A坐标为（1，﹣1）得到k=﹣1，即反比例函数解析式为y=﹣，且ON=MN=1，则可判断△OMN为等腰直角三角形，知∠MON=45°，再利用PQ⊥OM可得到∠OPQ=45°，然后轴对称的性质得PN=PN′，NN′⊥PQ，所以∠NPQ=∠N′PQ=45°，于是得到N′P⊥x轴，则点n′的坐标可表示为（t，﹣），于是利用Pn=Pn′得t﹣1=|﹣|=，然后解方程可得到满足条件的t的值．解答：解：如图，∵点A坐标为（1，﹣1），∴k=﹣1×1=﹣1，∴反比例函数解析式为y=﹣，∵ON=MN=1，∴△OMN为等腰直角三角形，∴∠MON=45°，∵直线l⊥OM，∴∠OPQ=45°，∵点N和点N′关于直线l对称，∴PN=PN′，NN′⊥PQ，∴∠N′PQ=∠OPQ=45°，∠N′PN=90°，∴N′P⊥x轴，∴点N′的坐标为（t，﹣），∵PN=PN′，∴t﹣1=|﹣|=，整理得t2﹣t﹣1=0，解得t1=，t2=（不符合题意，舍去），∴t的值为．故答案为：．点评：本题考查了反比例函数的综合题，涉及知识点有反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质和轴对称的性质和用求根公式法解一元二次方程等．利用对称的性质得到关于t的方程是解题的关键．三、解答题（本大题共7小题，共64分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）18．（6分）（2015•莱芜）先化简，再求值：（1﹣），其中x=3．考点：分式的化简求值．专题：计算题．分析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．解答：解：原式=•=•=，当x=3时，原式=2．点评：此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．19．（8分）（2015•莱芜）为了解今年初四学生的数学学习情况，某校在第一轮模拟测试后，对初四全体同学的数学成绩作了统计分析，绘制如下图表：请结合图表所给出的信息解答系列问题：成绩频数频率优秀 45 b良好 a 0.3合格 105 0.35不合格 60 c（1）该校初四学生共有多少人？（2）求表中a，b，c的值，并补全条形统计图．（3）初四（一）班数学老师准备从成绩优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中任意抽取两名同学做学习经验介绍，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．考点：列表法与树状图法；频数（率）分布表；条形统计图．分析：（1）利用合格的人数除以该组频率进而得出该校初四学生总数；（2）利用（1）中所求，结合频数÷总数=频率，进而求出答案；（3）根据题意画出树状图，然后求得全部情况的总数与符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．解答：解：（1）由题意可得：该校初四学生共有：105÷0.35=300（人），答：该校初四学生共有300人；（2）由（1）得：a=300×0.3=90（人），b==0.15，c==0.2；如图所示；（3）画树形图得：∴一共有12种情况，抽取到甲和乙的有2种，∴P（抽到甲和乙）==．点评：此题主要考查了树状图法求概率以及条形统计图的应用，根据题意利用树状图得出所有情况是解题关键．20．（9分）（2015•莱芜）为保护渔民的生命财产安全，我国政府在南海海域新建了一批观测点和避风港．某日在观测点A处发现在其北偏西36.9°的C处有一艘渔船正在作业，同时检测到在渔船的正西B处有一股强台风正以每小时40海里的速度向正东方向移动，于是马上通知渔船到位于其正东方向的避风港D处进行躲避．已知避风港D在观测点A的正北方向，台风中心B在观测点A的北偏西67.5°的方向，渔船C与观测点A相距350海里，台风中心的影响半径为200海里，渔船的速度为每小时18海里，问渔船能否顺利躲避本次台风的影响？（sin36.9°≈0.6，tan36.9≈0.75，sin67.5≈0.92，tan67.5≈2.4）考点：解直角三角形的应用-方向角问题．分析：先解Rt△ADC，求出CD=AC•sin∠DAC≈350×0.6=210海里，AD==280海里，那么渔船到的避风港D处所用时间：210÷18=11小时．再解Rt△ADB，求出BD=AD•tan∠BAD≈280×2.4=672海里，那么BC=BD﹣CD≈672﹣210=462海里．设强台风移动到渔船C 后面200海里时所需时间为x小时，根据追及问题的等量关系列出方程（40﹣18）x=462﹣200，解方程求出x=11，由于11＜11，所以渔船能顺利躲避本次台风的影响．解答：解：由题意可知∠BAD=67.5°，∠CAD=36.9°，AC=350海里．在Rt△ADC中，∵∠ADC=90°，∠DAC=36.9°，AC=350海里，∴CD=AC•sin∠DAC≈350×0.6=210海里，AD==280海里．∴渔船到的避风港D处所用时间：210÷18=11小时．在Rt△ADB中，∵∠ADB=90°，∠BAD=67.5°，∴BD=AD•tan∠BAD≈280×2.4=672海里，∴BC=BD﹣CD≈672﹣210=462海里．设强台风移动到渔船C后面200海里时所需时间为x小时，根据题意得（40﹣18）x=462﹣200，解得x=11，∵11＜11，∴渔船能顺利躲避本次台风的影响．点评：本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，难度中等，求出强台风移动到渔船C后面200海里时所需时间是解题的关键．21．（9分）（2015•莱芜）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，分别以AB，AC为直角边向外作等腰直角△ABD和等腰直角△ACE，G为BD的中点，连接CG，BE，CD，BE与CD交于点F．（1）判断四边形ACGD的形状，并说明理由．（2）求证：BE=CD，BE⊥CD．考点：全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；平行四边形的判定．专题：证明题．分析：（1）利用等腰直角三角形的性质易得BD=2BC，因为G为BD的中点，可得BG=BC，由∠CGB=45°，∠ADB=45得AD∥CG，由∠CBD+∠ACB=180°，得AC∥BD，得出四边形ACGD 为平行四边形；（2）利用全等三角形的判定证得△DAC≌△BAE，由全等三角形的性质得BE=CD；首先证得四边形ABCE为平行四边形，再利用全等三角形的判定定理得△BCE≌△CAD，易得∠CBE=∠ACD，由∠ACB=90°，易得∠CFB=90°，得出结论．解答：（1）解：∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，∴AB=BC，∵△ABD和△ACE均为等腰直角三角形，∴BD==BC=2BC，∵G为BD的中点，∴BG=BD=BC，∴△CBG为等腰直角三角形，∴∠CGB=45°，∵∠ADB=45°，AD∥CG，∵∠ABD=45°，∠ABC=45°∴∠CB D=90°，∵∠ACB=90°，∴∠CBD+∠ACB=180°，∴AC∥BD，∴四边形ACGD为平行四边形；（2）证明：∵∠EAB=∠EAC+∠CAB=90°+45°=135°，∠CAD=∠DAB+∠BAC=90°+45°=135°，∴∠EAB=∠CAD，在△DAC与△BAE中，，∴△DAC≌△BAE，∴BE=CD；∵∠EAC=∠BCA=90°，EA=AC=BC，∴四边形ABCE为平行四边形，∴CE=AB=AD，在△BCE与△CAD中，，∴△BCE≌△CAD，∴∠CBE=∠ACD，∵∠ACD+∠BCD=90°，∴∠CBE+∠BCD=90°，∴∠CFB=90°，即BE⊥CD．点评：本题主要考查了等腰直角三角形的性质，平行四边形和全等三角形的判定及性质定理，综合运用各种定理是解答此题的关键．22．（10分）（2015•莱芜）今年我市某公司分两次采购了一批大蒜，第一次花费40万元，第二次花费60万元．已知第一次采购时每吨大蒜的价格比去年的平均价格上涨了500元，第二次采购时每吨大蒜的价格比去年的平均价格下降了500元，第二次的采购数量是第一次采购数量的两倍．（1）试问去年每吨大蒜的平均价格是多少元？（2）该公司可将大蒜加工成蒜粉或蒜片，若单独加工成蒜粉，每天可加工8吨大蒜，每吨大蒜获利1000元；若单独加工成蒜片，每天可加工12吨大蒜，每吨大蒜获利600元．由于出口需要，所有采购的大蒜必需在30天内加工完毕，且加工蒜粉的大蒜数量不少于加工蒜片的大蒜数量的一半，为获得最大利润，应将多少吨大蒜加工成蒜粉？最大利润为多少？考点：一元一次不等式组的应用；分式方程的应用．分析：（1）设去年每吨大蒜的平均价格是x元，则第一次采购的平均价格为（x+500）元，第二次采购的平均价格为（x﹣500）元，根据第二次的采购数量是第一次采购数量的两倍，据此列方程求解；（2）先求出今年所采购的大蒜数，根据采购的大蒜必需在30天内加工完毕，蒜粉的大蒜数量不少于加工蒜片的大蒜数量的一半，据此列不等式组求解，然后求出最大利润．解答：解：（1）设去年每吨大蒜的平均价格是x元，由题意得，×2=，解得：x=3500，经检验：x=3500是原分式方程的解，且符合题意，答：去年每吨大蒜的平均价格是3500元；（2）由（1）得，今年的大蒜数为：×3=300（吨），设应将m吨大蒜加工成蒜粉，则应将（300﹣m）吨加工成蒜片，由题意得，，解得：100≤m≤120，总利润为：1000m+600（300﹣m）=400m+180000，当m=120时，利润最大，为228000元．答：应将120吨大蒜加工成蒜粉，最大利润为228000元．点评：本题考查了分式方程和一元一次不等式耳朵应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解．23．（10分）（2015•莱芜）如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上任一点（不与A，B重合），AB⊥CD于E，BF为⊙O的切线，OF∥AC，连结AF，FC，AF与CD交于点G，与⊙O交于点H，连结CH．（1）求证：FC是⊙O的切线；（2）求证：GC=GE；（3）若cos∠AOC=，⊙O的半径为r，求CH的长．考点：圆的综合题．专题：计算题．分析：（1）首先根据OF∥AC，OA=OC，判断出∠BOF=∠COF；然后根据全等三角形判定的方法，判断出△BOF≌△COF，推得∠OCF=∠OBF=90°，再根据点C在⊙O上，即可判断出FC 是⊙O的切线．（2）延长AC、BF交点为M．由△BOF≌△COF可知：BF=CF然后再证明：FM=CF，从而得到BF=MF，因为DC∥BM，所以△AEG∽△ABF，△AGC∽△AFM，然后依据相似三角形的性质可证GC=GE；（3）因为cos∠AOC=，OE=，AE=．由勾股定理可求得EC=．AC=．因为EG=GC，所以EG=．由（2）可知△AEG∽△ABF，可求得CF=BF=．在Rt△ABF中，由勾股定理可求得AF=3r．然后再证明△CFH∽△AFC，由相似三角形的性质可求得CH的长．解答：（1）证明：∵OF∥AC，∴∠BOF=∠OAC，∠COF=∠OCA，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠BOF=∠COF，在△BOF和△COF中，，∴∠OCF=∠OBF=90°，又∵点C在⊙O上，∴FC是⊙O的切线．（2）如下图：延长AC、BF交点为M．由（1）可知：△BOF≌△COF，∴∠OFB=∠CFO，BF=CF．∵AC∥OF，∴∠M=∠OFB，∠MCF=∠CFO．∴∠M=∠MCF．∴CF=MF．∴BF=FM．∵DC∥BM，∴△AEG∽△ABF，△AGC∽△AFM．∴，．∴又∵BF=FM，∴EG=GC．（3）如下图所示：∵cos∠AOC=，∴OE=，AE=．在Rt△GOC中，EC==．在Rt△AEC中，AC==．∵EG=GC，∴EG=．∴，即．∴BF=．∴CF=．在Rt△ABF中，AF===3r．∵CF是⊙O的切线，AC为弦，∴∠HCF=∠HAC．又∵∠CFH=∠AFC，∴△CFH∽△AFC．∴，即：．∴CH=．点评：本题主要考查的是圆的综合应用，同时还涉及了勾股定理，锐角三角形函数，相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，证得BF=FM是解答本题的关键．24．（12分）（2015•莱芜）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣3，2），B（0，﹣2），其对称轴为直线x=，C（0，）为y轴上一点，直线AC与抛物线交于另一点D．（1）求抛物线的函数表达式；（2）试在线段AD下方的抛物线上求一点E，使得△ADE的面积最大，并求出最大面积；（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点F，使得△ADF是直角三角形？如果存在，求点F的坐标；如果不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．专题：综合题．分析：（1）利用待定系数法求抛物线解析式；（2）作EP∥y轴交AD于P，如图1，先利用待定系数法求出直线AD的解析式为y=﹣x+，再通过解方程组得D（5，﹣2），设E（x，x2﹣x﹣2）（﹣3＜x＜5），。

莱芜2014-2015学年八年级上期中数学试卷(五四学制)含解析

2014-2015 学年山东省莱芜实验中学八年级（上）期中数学试卷（五四学制）一、选择题（每题 3 分，共 36 分）1．下列各式由左边到右边的变形中，属于分解因式的是（）A． a（ x+y） =ax+ay B． x2﹣ 4x+4=x（ x﹣ 4） +4C． 10x 2﹣ 5x=5x （ 2x﹣ 1）D． x2﹣16+6x=（x+4）（ x﹣ 4） +6x2．要使分式有意义，则x 的取值范围是（）A． x≠ 1 B． x＞ 1 C ． x＜ 1 D ． x≠﹣ 13．已知一组数据 12， 5， 9，5， 14，下列说法不正确的是（）A．中位数是 9B．众数是 5 C．极差是 9 D．平均数是 84．下列多项式中，能用公式法进行因式分解的是（）A． x2﹣2xy+4y2B．C． D ． x2+4xy ﹣4y25．方程﹣3=有增根，则增根是（）A． x=6 B． x=5 C． x=3D． x=16．为了参加我市组织的“我爱家乡美”系列活动，某校准备从九年级四个班中选出一个班的 7 名学生组建舞蹈队，要求各班选出的学生身高较为整齐，且平均身高约为 1.6m．根据各班选出的学生，测量其身高，计算得到的数据如下表所示，学校应选择（）A．九（ 1）班B．九（ 2）班C．九（ 3）班D．九（ 4）班班级学生平均身高（单位：m）标准差九（ 1）班 1.570.3九（ 2）班 1.570.7九（ 3）班 1.60.3九（ 4）班 1.60.77．分解因式 a3﹣ a 的结果是（）A． a（ a2﹣ 1）B． a（ a﹣ 1）2C． a（ a+1）（ a﹣ 1）D．（ a2+a）（a﹣ 1）8．若分式的值为0，则x的值为（）A．± 2 B． 2C．﹣ 2D．09． A、 B 两地相距120km，一辆汽车以每小时的速度返回，则这辆汽车往返一次的平均速度是（A． 50B． 60C． 40D． 4860km的速度由 A 地到） km/h．B 地，又以每小时40km10．如图，长与宽分别为为（）a、b 的长方形，它的周长为14，面积为10，则a3 b+2a2b2+ab3的值A． 2560 B ． 490 C． 70D． 4911．某班七个合作学习小组人数如下：4、5、5、x、 6、 7、 8，已知这组数据的平均数是 6 ，则这组数据的中位数是（）A．5B． 5.5 C．6D． 712．某市为解决部分市民冬季集中取暖问题需铺设一条长3000 米的管道，为尽量减少施工对交通造成的影响，实施施工时“⋯”，设实际每天铺设管道x 米，则可得方程，根据此情景，题中用“⋯”表示的缺失的条件应补为（）A．每天比原计划多铺设10 米，结果延期15 天才完成B．每天比原计划少铺设10 米，结果延期15 天才完成C．每天比原计划多铺设10 米，结果提前15 天才完成D．每天比原计划少铺设10 米，结果提前15 天才完成二、填空题（每小题 4 分，共20 分）13．化简14．已知关于15．如图，在的结果是．x 的方程的解是负数，则n 的取值范围为3× 3 的正方形网格中标出了∠ 1 和∠ 2．则∠ 1+∠ 2=．．16．已知（2x﹣ 21）（ 3x﹣ 7）﹣（3x﹣7）（ x﹣13）可分解因式为（3x+a）（ x+b），其中a、b 均为整数，则a+3b=．17．跳远运动员李刚对训练效果进行测试， 6 次跳远的成绩如下：7.6 ，7.8 ，7.7 ，7.8 ， 8.0 ，7.9 （单位： m）．这六次成绩的平均数为7.8 ，方差为，如果李刚再跳两次，成绩分别为7.6 ， 8.0 ，则李刚这次跳远成绩的方差（填“变大”、“不变”或“变小” ）．三、解答题（共64 分）18．分解因式2（1） mx ﹣ 8mx+16m（2） 9（ m+n）2﹣（ m﹣ n）2．19．解下列分式方程（1）+=1（2）=﹣2．20．（ 1）化简：﹣x+1（2）先化简（﹣）÷，再选取一个即使原式有意义，又是你喜欢的数代入求值．21．如图，下列网格中，每个小正方形的边长都是1，图中“鱼”的各个顶点都在格点上．（1）把“鱼”向右平移 5 个单位长度，并画出平移后的图形．（2）写出 A、 B、 C三点平移后的对应点A′、 B′、 C′的坐标．22．甲、乙两人在相同条件下各射靶10 次，每次射靶的成绩情况如图所示：（1）请填写下表：平均数方差中位数命中9环以上（包括9 环）次数甲7乙 5.4（2）请你就下列两个不同的角度对这次测试结果进行分析：①从平均数和方差相结合看（分析谁的成绩更稳定）；②从平均数和命中9 环（包括9 环）以上次数相结合看（分析谁的潜能更大）．23．某文化用品商店用 1 000 元购进一批“晨光”套尺，很快销售一空；商店又用 1 500元购进第二批该款套尺，购进时单价是第一批的倍，所购数量比第一批多100 套．（1）求第一批套尺购进时单价是多少？（2）若商店以每套 4 元的价格将这两批套尺全部售出，可以盈利多少元？1 所示，用若干块这样的硬纸片拼成一个新的24．（ 1）有若干块长方形和正方形硬纸片如图长方形，如图 2．①用两种不同的方法，计算图 2 中长方形的面积；．②由此，你可以得出的一个等式为：（2）有若干块长方形和正方形硬纸片如图 3 所示．①请你用拼图等方法推出一个完全平方公式，画出你的拼图；②请你用拼图等方法推出 2a2+5ab+2b2因式分解的结果，画出你的拼图．2014-2015 学年山东省莱芜实验中学八年级（上）期中数学试卷（五四学制）参考答案与试题解析一、选择题（每题 3 分，共 36 分）1．下列各式由左边到右边的变形中，属于分解因式的是（）A． a（ x+y） =ax+ay B． x2﹣ 4x+4=x（ x﹣ 4） +4C． 10x 2﹣ 5x=5x （ 2x﹣ 1）D． x2﹣16+6x=（x+4）（ x﹣ 4） +6x考点：因式分解的意义．分析：根据分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式，利用排除法求解．解答：解：A、是多项式乘法，故选项错误；22B、右边不是积的形式， x ﹣ 4x+4=（ x﹣ 2），故选项错误；C、提公因式法，故选项正确；D、右边不是积的形式，故选项错误．故选： C．点评：此题考查了因式分解的意义；这类问题的关键在于能否正确应用分解因式的定义来判断．2．要使分式有意义，则x 的取值范围是（）A． x≠ 1 B． x＞ 1 C ． x＜ 1 D ． x≠﹣ 1考点：分式有意义的条件．分析：根据分式有意义的条件是分母不等于零，可得出x 的取值范围．解答：解：∵分式有意义，∴x﹣ 1≠ 0，解得： x≠1．故选 A．点评：本题考查了分式有意义的条件，属于基础题，注意掌握分式有意义分母不为零．3．已知一组数据 12， 5， 9，5， 14，下列说法不正确的是（）A．中位数是 9B．众数是 5 C．极差是 9 D．平均数是 8考点：中位数；加权平均数；众数；极差．分析：根据中位数、众数、极差、平均数的概念求解．解答：解：这组数据按照从小到大的顺序排列为：5， 5， 9， 12， 14，则中位数为 9，众数为 5，极差为： 14﹣ 5=9，平均数为：=9，故D 选项错误．故选 D．点评：本题考查了中位数、众数、极差、平均数的知识，掌握各知识点的概念是解答本题的关键．4．下列多项式中，能用公式法进行因式分解的是（）A． x2﹣2xy+4y 2B．C． D ． x2+4xy ﹣ 4y2考点：因式分解 - 运用公式法．分析：直接利用公式法分解因式判断得出即可．22解答：解：A、x﹣2xy+4y，无法分解因式，故此选项错误；B、﹣x2+ y2，可以运用平方差公式分解因式即可，故此选项正确；C、无法分解因式，故此选项错误；D、无法分解因式，故此选项错误；故选： B．点评：此题主要考查了公式法分解因式，正确掌握乘法公式的基本形式是解题关键．5．方程﹣3=有增根，则增根是（）A． x=6 B． x=5 C． x=3D． x=1考点：分式方程的增根．分析：增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母（ x﹣ 5） =0，得到 x=5 就是答案．解答：解：∵方程﹣3=有增根，∴x﹣ 5=0，解得 x=5，故选 B．点评：本题考查了分式方程的增根，让最简公分母为0 确定增根是解题的关键．6．为了参加我市组织的“我爱家乡美”系列活动，某校准备从九年级四个班中选出一个班的 7 名学生组建舞蹈队，要求各班选出的学生身高较为整齐，且平均身高约为 1.6m．根据各班选出的学生，测量其身高，计算得到的数据如下表所示，学校应选择（）A．九（ 1）班B．九（ 2）班C．九（ 3）班D．九（ 4）班班级学生平均身高（单位：m）标准差九（ 1）班 1.570.3九（ 2）班 1.570.7九（ 3）班 1.60.3九（ 4）班 1.60.7考点：方差；算术平均数；标准差．分析：根据标准差的意义，标准差越小数据越稳定，故比较标准差后可以选出身高比较整齐的班级，再根据平均身高的要求即可作出判断．解答：解：由于选的是学生身高较为整齐的，故要选取标准差小的，应从九（1）和九（ 3）里面选，再根据平均身高约为 1.6m 可知只有九（ 3）符合要求，故选：C．点评：此题主要考查了差的意义．标准差是反应一组数据离散程度最常用的一种量化形式，是表示精密确的最要指标．标准差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．7．分解因式3﹣ a 的结果是（）aA． a（ a2﹣ 1）B． a（ a﹣ 1）2C． a（ a+1）（ a﹣ 1）D．（ a2+a）（a﹣ 1）考点：提公因式法与公式法的综合运用．分析：首先提取公因式a，再利用平方差公式进行二次分解即可．解答：解： a3﹣ a=a（ a2﹣ 1） =a（ a+1）（ a﹣ 1），故选： C．点评：此题主要考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．8．若分式的值为0，则x 的值为（）A．± 2 B． 2C．﹣ 2D．0考点：分式的值为零的条件．专题：计算题．分析：分式的值为0 的条件是：（ 1）分子 =0；（ 2）分母≠ 0．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．解答：解：根据题意得x2﹣ 4=0 且 x+2≠ 0，解得 x=2．故选 B．点评：由于该类型的题易忽略分母不为0 这个条件，所以常以这个知识点来命题．9． A、 B 两地相距 120km，一辆汽车以每小时60km的速度由 A 地到 B 地，又以每小时 40km 的速度返回，则这辆汽车往返一次的平均速度是（） km/h．A． 50 B． 60C． 40D． 48考点：加权平均数．分析：平均速度的计算方法是总路程除以往返一次的总时间．解答：解：这辆汽车往返一次的平均速度====48（ km/h）．故选 D．点评：本题考查的是加权平均数的求法．本题易出现的错误是求 60，40 这两个数的平均数，对平均数的理解不正确．10．如图，长与宽分别为a、b 的长方形，它的周长为14，面积为10，则a3 b+2a2b2+ab3的值为（）A． 2560 B ． 490C． 70D． 49考点：因式分解的应用．分析：利用面积公式得到ab=10，由周长公式得到a+b=7，所以将原式因式分解得出ab（ a+ b）2解答：解：∵长与宽分别为a、 b 的长方形，它的周长为14，面积为10，∴a b=10， a+b=7，∴a3b+2a2b2+ab3=ab（ a+b）2=10× 72=490．故选： B．点评：此题考查了因式分解法的应用，熟记公式结构正确将原式分解因式是解题的关键．11．某班七个合作学习小组人数如下：4、5、5、 x、 6、7、 8，已知这组数据的平均数是6，则这组数据的中位数是（）A．5B． 5.5 C．6D． 7考点：中位数；算术平均数．分析：根据平均数的定义先求出这组数据x，再将这组数据从小到大排列，然后找出最中间的数即可．解答：解：∵ 4、 5、 5、 x、6、 7、 8 的平均数是 6，∴（ 4+5+5+x+6+7+8）÷ 7=6，解得： x=7，将这组数据从小到大排列为4、5、 5、 6、 7、 7、 8，最中间的数是 6；则这组数据的中位数是6；故选： C．点评：此题考查了中位数，掌握中位数的概念是解题的关键，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）．12．某市为解决部分市民冬季集中取暖问题需铺设一条长 3000 米的管道，为尽量减少施工对交通造成的影响，实施施工时“⋯” ，设实际每天铺设管道 x 米，则可得方程，根据此情景，题中用“⋯”表示的缺失的条件应补为（）A．每天比原计划多铺设10 米，结果延期15 天才完成B．每天比原计划少铺设10 米，结果延期15 天才完成C．每天比原计划多铺设10 米，结果提前15 天才完成D．每天比原计划少铺设10 米，结果提前15 天才完成考点：分式方程的应用．分析：工作时间=工作总量÷工作效率．那么3000÷ x 表示实际的工作时间，那么3000÷（x﹣ 10）就表示原计划的工作时间，15 就代表现在比原计划少的时间．解答：解：设实际每天铺设管道x 米，原计划每天铺设管道（x﹣ 10）米，方程，则表示实际用的时间﹣原计划用的时间=15 天，那么就说明实际每天比原计划多铺设10 米，结果提前15 天完成任务．故选 C．点评：本题主要考查了根据方程来判断缺失的条件，要注意方程所表示的意思，结合题目给出的条件得出正确的判断．二、填空题（每小题 4 分，共 20 分）13．化简的结果是m．考点：分式的混合运算．专题：计算题．分析：本题需先把（ m+1）与括号里的每一项分别进行相乘，再把所得结果相加即可求出答案．解答：解：=（ m+1）﹣ 1= m故答案为： m．点评：本题主要考查了分式的混合运算，在解题时要把（m+1）分别进行相乘是解题的关键．14．已知关于x 的方程的解是负数，则n 的取值范围为n＜ 2 且 n≠．考点：分式方程的解．分析：求出分式方程的解x=n﹣ 2，得出 n﹣ 2＜ 0，求出 n 的范围，根据分式方程得出n﹣ 2≠﹣，求出n，即可得出答案．解答：解：，解方程得： x=n﹣ 2，∵关于 x 的方程的解是负数，∴n﹣ 2＜ 0，解得： n＜ 2，又∵原方程有意义的条件为：x≠﹣，∴n﹣ 2≠﹣，即 n≠ ．故答案为： n＜ 2 且 n≠ ．点评：本题考查了分式方程的解和解一元一次不等式，关键是得出n﹣2＜ 0 和 n﹣2≠﹣，注意题目中的隐含条件2x+1≠0，不要忽略．15．如图，在3× 3 的正方形网格中标出了∠ 1 和∠ 2．则∠ 1+∠ 2= 45°．考点：特殊角的三角函数值．专题：网格型．分析：根据图形，先将角进行转化，再根据勾股定理的逆定理，求得∠ACB=90°，由等腰三角形的性质，推得∠ 1+∠ 2=45°．解答：解：连接 AC， BC．根据勾股定理， AC=BC=，AB=．∵（）2+（）2=（） 2，∴∠ ACB=90°，∠ CAB=45°．∵AD∥ CF，AD=CF，∴四边形 ADFC是平行四边形，∴AC∥ DF，∴∠ 2=∠ DAC（两直线平行，同位角相等），在 Rt △ ABD中，∠1+∠ DAB=90°（直角三角形中的两个锐角互余）；又∵∠ DAB=∠ DAC+∠CAB，∴∠ 1+∠ CAB+∠ DAC=90°，∴∠ 1+∠ DAC=45°，∴∠ 1+∠ 2=∠ 1+∠ DAC=45°．故答案为： 45°．点评：本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理．16．已知（ 2x﹣21）（ 3x﹣7）﹣（ 3x﹣7）（ x﹣13）可分解因式为（3x+a）（ x+b），其中 a、b 均为整数，则a+3b= ﹣31 ．考点：因式分解 - 提公因式法．专题：压轴题．分析：首先提取公因式 3x﹣ 7，再合并同类项即可得到a、b 的值，进而可算出a+3b 的值．解答：解：（ 2x﹣ 21）（ 3x﹣7）﹣（ 3x﹣ 7）（ x﹣ 13），=（ 3x﹣7）（ 2x﹣ 21﹣ x+13），=（ 3x﹣7）（ x﹣8）=（ 3x+a）（x+b），则a=﹣ 7，b=﹣ 8，故a+3b=﹣7﹣ 24=﹣31，故答案为：﹣ 31．点评：此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是找准公因式．17．跳远运动员李刚对训练效果进行测试， 6 次跳远的成绩如下：7.6 ，7.8 ，7.7，7.8 ， 8.0 ，7.9 （单位： m）．这六次成绩的平均数为7.8 ，方差为，如果李刚再跳两次，成绩分别为7.6 ， 8.0 ，则李刚这次跳远成绩的方差变大（填“变大” 、“不变”或“变小” ）．考点：方差．分析：根据平均数的定义先求出这组数据的平均数，再根据方差公式求出这组数据的方差，然后进行比较即可求出答案．解答：解：∵李刚再跳两次，成绩分别为7.6 ，8.0 ，∴这组数据的平均数是=7.8 ，∴这 8 次跳远成绩的方差是：S2= [2 ×（ 7.6 ﹣ 7.8 ）2+（ 7.8 ﹣ 7.8 ）2+（ 7.7 ﹣ 7.8 ）2 +（7.8 ﹣ 7.8 ）2+2×（ 8.0﹣7.8 ）2+（7.9 ﹣ 7.8 ）2]=，∵＞，∴方差变大．故答案为：变大．点评：本题考查方差的定义，一般地设n 个数据，x1，x2，⋯ x n的平均数为，则方差 S2= [（ x1 222﹣）+（x2﹣）+⋯+（x n﹣）] ，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．三、解答题（共64 分）18．分解因式（1） mx2﹣ 8mx+16m（2） 9（ m+n）2﹣（ m﹣ n）2．考点：提公因式法与公式法的综合运用．专题：计算题．分析：（1）原式提取公因式后，利用完全平方公式分解即可；（2）原式利用平方差公式分解即可．解答：解：（ 1）原式 =m（ x﹣4）2；（2）原式 =[3 （ m+n） +（ m﹣n） ][3 （m+n）﹣（ m﹣ n） ]=4 （ 2m+n）（ m+2n）．点评：此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．19．解下列分式方程（1）+=1（2）=﹣2．考点：解分式方程．专题：计算题．分析：（ 1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．解答：解：（1）去分母得：x（x+2）+3=x2﹣4，22去括号得： x +2x+3=x ﹣ 4，移项合并得： 2x=﹣ 7，解得： x=﹣3.5 ，经检验 x=﹣ 3.5 是分式方程的解；（2）去分母得： 1﹣x=﹣ 1﹣2x+4，移项合并得： x=2，经检验 x=2 是增根，分式方程无解．点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想” ，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．20．（ 1）化简：﹣x+1（2）先化简（﹣）÷，再选取一个即使原式有意义，又是你喜欢的数代入求值．考点：分式的化简求值．分析：（1）先通分进行计算即可；（2）根据运算顺序，先算括号里面的，再算除法，再取一个使分母不为0 的数代入即可．解答：解：（1）原式=﹣+==；（2）原式 =?=﹣ x﹣ 9，取x=1，原式 =﹣ x﹣9=﹣ 1﹣ 9=﹣ 10．点评：本题考查了分式的化简求值，通分是解题的关键．21．如图，下列网格中，每个小正方形的边长都是1，图中“鱼”的各个顶点都在格点上．（1）把“鱼”向右平移 5 个单位长度，并画出平移后的图形．（2）写出 A、 B、 C三点平移后的对应点A′、 B′、 C′的坐标．考点：利用平移设计图案．专题：作图题．分析：（1）将各能代表图形形状的点向右平移 5 个单位，顺次连接即可；（2）结合坐标系，可得出A′、 B′、 C′的坐标．解答：解：（1）如图所示：．（2）结合坐标系可得：A' （5， 2）， B' （ 0， 6）， C' （ 1， 0）．点评：本题考查了平移作图的知识，解答本题的关键是掌握平移的性质，注意按要求规范作图．22．甲、乙两人在相同条件下各射靶10 次，每次射靶的成绩情况如图所示：（1）请填写下表：平均数方差中位数命中 9 环以上（包括9 环）次数甲7 1.271乙7 5.47.53（2）请你就下列两个不同的角度对这次测试结果进行分析：①从平均数和方差相结合看（分析谁的成绩更稳定）；②从平均数和命中9 环（包括9 环）以上次数相结合看（分析谁的潜能更大）．考点：方差；折线统计图；加权平均数．分析：（ 1）根据平均数、方差、中位数的概念计算；（2）①从平均数和方差相结合看，方差越小的越成绩越好；②从平均数和命中9 环以上的次数相结合看，中9 环以上的次数越多的成绩越好．解答：解：（ 1）通过折线图可知：甲的环数依次是5、6、 6、 7、 7、 7、 7、8、 8、 9，则数据的方差是22×（ 7﹣222，[ （ 5﹣ 7） +2×（ 6﹣ 7） +47）+2×（ 8﹣ 7） +（ 9﹣7） ]=1.2中位数是=7，命中 9 环以上（包括9 环）的次数为1；乙的平均数是（ 2+4+6+8+7+7+8+9+9+10）=7，中位数是=7.5 ；命中 9 环以上（包括 9环）的次数为3；填表如下：平均数方差中位数命中 9 环以上（包括 9 环）次数甲7 1.271乙7 5.47.53（2）①从平均数和方差相结合看；因为二人的平均数相同，2 2但S 甲＜ S 乙，故甲的成绩好些；②从平均数和命中9 环以上的次数相结合看；因为二人的平均数相同，甲为 1 次，乙为 3 次，则乙的成绩好些．点评：本题考查平均数、方差、中位数的定义，平均数表示一组数据的平均程度．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）；方差是用来衡量一组数据波动大小的量．同时考查了折线统计图．23．某文化用品商店用 1 000 元购进一批“晨光”套尺，很快销售一空；商店又用 1 500元购进第二批该款套尺，购进时单价是第一批的倍，所购数量比第一批多100 套．（1）求第一批套尺购进时单价是多少？（2）若商店以每套 4 元的价格将这两批套尺全部售出，可以盈利多少元？考点：分式方程的应用．分析：（1）设第一批套尺购进时单价是x 元 / 套，则设第二批套尺购进时单价是x 元/ 套，根据题意可得等量关系：第二批套尺数量﹣第一批套尺数量=100 套，根据等量关系列出方程即可；（2）两批套尺得总数量×4﹣两批套尺的总进价=利润，代入数进行计算即可．解答：解：（1）设第一批套尺购进时单价是x 元 / 套．由题意得：，即，解得： x=2．经检验： x=2 是所列方程的解．答：第一批套尺购进时单价是2元/套；（2）（元）．答：商店可以盈利1900 元．点评：此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．注意要检验．24．（ 1）有若干块长方形和正方形硬纸片如图1 所示，用若干块这样的硬纸片拼成一个新的长方形，如图2．①用两种不同的方法，计算图 2 中长方形的面积；2=（ a+1）2．（2）有若干块长方形和正方形硬纸片如图 3 所示．①请你用拼图等方法推出一个完全平方公式，画出你的拼图；②请你用拼图等方法推出 2a2+5ab+2b2因式分解的结果，画出你的拼图．考点：因式分解的应用．分析：（1）要能根据所给拼图运用不同的计算面积的方法，来推导公式；（2）要能根据等式画出合适的拼图．解答：解：（1）①长方形的面积=a2+2a+1；长方形的面积=（ a+1）2；②a2+2a+1=（ a+1）2；（2）①如图，可推导出（ a+b）2 =a2+2ab+b2；②2a2+5ab+2b2=（ 2a+b）（ a+2b）．点评：本题考查运用正方形或长方形的面积计算推导相关的一些等式；的不同方法得到多项式的因式分解．运用图形的面积计算。

中考数学-2015年山东省莱芜市中考数学试题及解析

2015年山东省莱芜市中考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分）﹣34．（3分）（2015•莱芜）要使二次根式有意义，则x 的取值范围是（） x5．（3分）（2015•莱芜）如图，AB ∥CD ，EF 平分∠AEG ，若∠FGE=40°，那么∠EFG 的度数为（）B7．（3分）（2015•莱芜）为了解当地气温变化情况，某研究小组记录了寒假期间连续6天的最高气温，结果如下（单位：℃）：﹣6，﹣3，x ，2，﹣1，3．若这组数据的中位数是﹣1，8．（3分）（2015•莱芜）下列几何体中，主视图和左视图都为矩形的是（）B9．（3分）（2015•莱芜）一个多边形除一个内角外其余内角的和为1510°，则这个多边形对10．（3分）（2015•莱芜）甲乙两人同时从A地出发到B地，如果甲的速度v保持不变，而乙先用v的速度到达中点，再用2v的速度到达B地，则下列结论中正确的是（）11．（3分）（2015•莱芜）如图，在矩形ABCD中，AB=2a，AD=a，矩形边上一动点P沿A→B→C→D的路径移动．设点P经过的路径长为x，PD2=y，则下列能大致反映y与x的函数关系的图象是（）B12．（3分）（2015•莱芜）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，以BC为直径的⊙O与AD相切，点E为AD的中点，下列结论正确的个数是（）（1）AB+CD=AD；（2）S△BCE=S△ABE+S△DCE；（3）AB•CD=；（4）∠ABE=∠DCE．二、填空题（本大题共5小题，每小题填对得4分，共20分，请填在答题卡上）13．（4分）（2015•莱芜）计算：﹣|﹣2|+（﹣1）3+2﹣1=．14．（4分）（2015•莱芜）已知m+n=3，m﹣n=2，则m2﹣n2=．15．（4分）（2015•莱芜）不等式组的解集为．16．（4分）（2015•莱芜）如图，在扇形OAB中，∠AOB=60°，扇形半径为r，点C在上，CD⊥OA，垂足为D，当△OCD的面积最大时，的长为．17．（4分）（2015•莱芜）如图，反比例函数y=（x＞0）的图象经过点M（1，﹣1），过点M作MN⊥x轴，垂足为N，在x轴的正半轴上取一点P（t，0），过点P作直线OM的垂线l．若点N关于直线l的对称点在此反比例函数的图象上，则t=．三、解答题（本大题共7小题，共64分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）18．（6分）（2015•莱芜）先化简，再求值：（1﹣），其中x=3．19．（8分）（2015•莱芜）为了解今年初四学生的数学学习情况，某校在第一轮模拟测试后，对初四全体同学的数学成绩作了统计分析，绘制如下图表：请结合图表所给出的信息解答系（2）求表中a，b，c的值，并补全条形统计图．（3）初四（一）班数学老师准备从成绩优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中任意抽取两名同学做学习经验介绍，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．20．（9分）（2015•莱芜）为保护渔民的生命财产安全，我国政府在南海海域新建了一批观测点和避风港．某日在观测点A处发现在其北偏西36.9°的C处有一艘渔船正在作业，同时检测到在渔船的正西B处有一股强台风正以每小时40海里的速度向正东方向移动，于是马上通知渔船到位于其正东方向的避风港D处进行躲避．已知避风港D在观测点A的正北方向，台风中心B在观测点A的北偏西67.5°的方向，渔船C与观测点A相距350海里，台风中心的影响半径为200海里，渔船的速度为每小时18海里，问渔船能否顺利躲避本次台风的影响？（sin36.9°≈0.6，tan36.9≈0.75，sin67.5≈0.92，tan67.5≈2.4）21．（9分）（2015•莱芜）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，分别以AB，AC 为直角边向外作等腰直角△ABD和等腰直角△ACE，G为BD的中点，连接CG，BE，CD，BE与CD交于点F．（1）判断四边形ACGD的形状，并说明理由．（2）求证：BE=CD，BE⊥CD．22．（10分）（2015•莱芜）今年我市某公司分两次采购了一批大蒜，第一次花费40万元，第二次花费60万元．已知第一次采购时每吨大蒜的价格比去年的平均价格上涨了500元，第二次采购时每吨大蒜的价格比去年的平均价格下降了500元，第二次的采购数量是第一次采购数量的两倍．（1）试问去年每吨大蒜的平均价格是多少元？（2）该公司可将大蒜加工成蒜粉或蒜片，若单独加工成蒜粉，每天可加工8吨大蒜，每吨大蒜获利1000元；若单独加工成蒜片，每天可加工12吨大蒜，每吨大蒜获利600元．由于出口需要，所有采购的大蒜必需在30天内加工完毕，且加工蒜粉的大蒜数量不少于加工蒜片的大蒜数量的一半，为获得最大利润，应将多少吨大蒜加工成蒜粉？最大利润为多少？23．（10分）（2015•莱芜）如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上任一点（不与A，B 重合），AB⊥CD于E，BF为⊙O的切线，OF∥AC，连结AF，FC，AF与CD交于点G，与⊙O交于点H，连结CH．（1）求证：FC是⊙O的切线；（2）求证：GC=GE；（3）若cos∠AOC=，⊙O的半径为r，求CH的长．24．（12分）（2015•莱芜）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣3，2），B（0，﹣2），其对称轴为直线x=，C（0，）为y轴上一点，直线AC与抛物线交于另一点D．（1）求抛物线的函数表达式；（2）试在线段AD下方的抛物线上求一点E，使得△ADE的面积最大，并求出最大面积；（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点F，使得△ADF是直角三角形？如果存在，求点F 的坐标；如果不存在，请说明理由．2015年山东省莱芜市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分）﹣34．（3分）（2015•莱芜）要使二次根式有意义，则x 的取值范围是（） x≤（5．（3分）（2015•莱芜）如图，AB ∥CD ，EF 平分∠AEG ，若∠FGE=40°，那么∠EFG 的度数为（）AEF=B7．（3分）（2015•莱芜）为了解当地气温变化情况，某研究小组记录了寒假期间连续6天的1，最高气温，结果如下（单位：℃）：﹣6，﹣3，x，2，﹣1，3．若这组数据的中位数是﹣B9．（3分）（2015•莱芜）一个多边形除一个内角外其余内角的和为1510°，则这个多边形对，即可解答．=4410．（3分）（2015•莱芜）甲乙两人同时从A地出发到B地，如果甲的速度v保持不变，而乙先用v的速度到达中点，再用2v的速度到达B地，则下列结论中正确的是（），又∵乙先用v，11．（3分）（2015•莱芜）如图，在矩形ABCD中，AB=2a，AD=a，矩形边上一动点P沿A→B→C→D的路径移动．设点P经过的路径长为x，PD2=y，则下列能大致反映y与x的函数关系的图象是（）B12．（3分）（2015•莱芜）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，以BC为直径的⊙O与AD相切，点E为AD的中点，下列结论正确的个数是（）（1）AB+CD=AD；（2）S△BCE=S△ABE+S△DCE；（3）AB•CD=；（4）∠ABE=∠DCE．（BC（=SEDO=（∠BC BC二、填空题（本大题共5小题，每小题填对得4分，共20分，请填在答题卡上）13．（4分）（2015•莱芜）计算：﹣|﹣2|+（﹣1）3+2﹣1=．1+=故答案为：14．（4分）（2015•莱芜）已知m+n=3，m﹣n=2，则m2﹣n2=6．15．（4分）（2015•莱芜）不等式组的解集为﹣1≤x＜2．16．（4分）（2015•莱芜）如图，在扇形OAB中，∠AOB=60°，扇形半径为r，点C在上，CD⊥OA，垂足为D，当△OCD的面积最大时，的长为．在在=，OD，OCD2=OD﹣+﹣=r的长为：π故答案为：17．（4分）（2015•莱芜）如图，反比例函数y=（x＞0）的图象经过点M（1，﹣1），过点M作MN⊥x轴，垂足为N，在x轴的正半轴上取一点P（t，0），过点P作直线OM的垂线l．若点N关于直线l的对称点在此反比例函数的图象上，则t=．﹣）|=﹣，﹣|=．故答案为：三、解答题（本大题共7小题，共64分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）18．（6分）（2015•莱芜）先化简，再求值：（1﹣），其中x=3．••，19．（8分）（2015•莱芜）为了解今年初四学生的数学学习情况，某校在第一轮模拟测试后，对初四全体同学的数学成绩作了统计分析，绘制如下图表：请结合图表所给出的信息解答系（1）该校初四学生共有多少人？（2）求表中a，b，c的值，并补全条形统计图．（3）初四（一）班数学老师准备从成绩优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中任意抽取两名同学做学习经验介绍，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．=0.15=0.2=．20．（9分）（2015•莱芜）为保护渔民的生命财产安全，我国政府在南海海域新建了一批观测点和避风港．某日在观测点A处发现在其北偏西36.9°的C处有一艘渔船正在作业，同时检测到在渔船的正西B处有一股强台风正以每小时40海里的速度向正东方向移动，于是马上通知渔船到位于其正东方向的避风港D处进行躲避．已知避风港D在观测点A的正北方向，台风中心B在观测点A的北偏西67.5°的方向，渔船C与观测点A相距350海里，台风中心的影响半径为200海里，渔船的速度为每小时18海里，问渔船能否顺利躲避本次台风的影响？（sin36.9°≈0.6，tan36.9≈0.75，sin67.5≈0.92，tan67.5≈2.4）18=11x=1111＜11AD=18=11，111121．（9分）（2015•莱芜）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，分别以AB，AC 为直角边向外作等腰直角△ABD和等腰直角△ACE，G为BD的中点，连接CG，BE，CD，BE与CD交于点F．（1）判断四边形ACGD的形状，并说明理由．（2）求证：BE=CD，BE⊥CD．BC=BC=2BC BD=BC22．（10分）（2015•莱芜）今年我市某公司分两次采购了一批大蒜，第一次花费40万元，第二次花费60万元．已知第一次采购时每吨大蒜的价格比去年的平均价格上涨了500元，第二次采购时每吨大蒜的价格比去年的平均价格下降了500元，第二次的采购数量是第一次采购数量的两倍．（1）试问去年每吨大蒜的平均价格是多少元？（2）该公司可将大蒜加工成蒜粉或蒜片，若单独加工成蒜粉，每天可加工8吨大蒜，每吨大蒜获利1000元；若单独加工成蒜片，每天可加工12吨大蒜，每吨大蒜获利600元．由于出口需要，所有采购的大蒜必需在30天内加工完毕，且加工蒜粉的大蒜数量不少于加工蒜片的大蒜数量的一半，为获得最大利润，应将多少吨大蒜加工成蒜粉？最大利润为多少？由题意得，×，）得，今年的大蒜数为：由题意得，，23．（10分）（2015•莱芜）如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上任一点（不与A，B 重合），AB⊥CD于E，BF为⊙O的切线，OF∥AC，连结AF，FC，AF与CD交于点G，与⊙O交于点H，连结CH．（1）求证：FC是⊙O的切线；（2）求证：GC=GE；（3）若cos∠AOC=，⊙O的半径为r，求CH的长．AOC=，，EC=．CF=BF=．AOC=，，AC=．，即==3r，即：24．（12分）（2015•莱芜）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣3，2），B（0，﹣2），其对称轴为直线x=，C（0，）为y轴上一点，直线AC与抛物线交于另一点D．（1）求抛物线的函数表达式；（2）试在线段AD下方的抛物线上求一点E，使得△ADE的面积最大，并求出最大面积；（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点F，使得△ADF是直角三角形？如果存在，求点F 的坐标；如果不存在，请说明理由．x+，再通过解方程组x﹣，﹣x+）﹣+x+﹣+，+3﹣+3）﹣+3+3﹣）根据题意得，解得x x）分别代入得，解得x+解方程组或x x，﹣）x+﹣（x x﹣x+•x x+）（的面积最大，最大面积为），+3﹣（）点坐标为（﹣+3点坐标为（，﹣是直角三角形，则（）±点坐标为（，）或（，﹣点的坐标为（）或（）或（，）或（，﹣。

莱芜市2015年中考数学试题(含答案)

莱芜市2015年中考数学试题(含答案)绝密★启用前试卷类型A 莱芜市2015年初中学业水平测试数学试题题号一二三总分 18 19 20 21 22 23 24 分数第I卷选择题答案栏题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案第Ⅰ卷（选择题共36分）一、选择题（本大题共12小题，每小题选对得3分，共36分。

） 1. 的倒数是 A． B． C． D． 2.下列计算结果正确的是 A． B． C． D． 3.在下列四个图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是A． B． C． D． 4.2010年4月20日晚，“支援青海玉树抗震救灾义演晚会”在莱芜市政府广场成功举行，热心企业和现场观众踊跃捐款31083.58元.将31083.58元保留两位有效数字可记为 A．3.1×106元 B．3.11×104元 C．3.1×104元 D．3.10×105元 5.如图，数轴上A、B两点分别对应实数a、b，则下列结论正确的是A． B． C． D． 6.右图所示的几何体是由一些小立方块搭成的，则这个几何体的俯视图是A. B. C. D. 7.已知反比例函数，下列结论不正确的是 A．图象必经过点(-1,2) B．y随x的增大而增大 C．图象在第二、四象限内 D．若x＞1，则y＞-2 8.已知圆锥的底面半径长为5，侧面展开后得到一个半圆，则该圆锥的母线长为 A．2.5 B．5 C．10 D．15 9.二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象不经过 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 10.已知是二元一次方程组的解，则的算术平方根为 A．4 B．2 C．2 D．±2 11.一个边长为2的正多边形的内角和是其外角和的2倍，则这个正多边形的半径是 A．2 B．3 C．1 D．12 12.在一次自行车越野赛中，甲乙两名选手行驶的路程y （千米）随时间x（分）变化的图象（全程）如图，根据图象判定下列结论不正确的是 A．甲先到达终点 B．前30分钟，甲在乙的前面 C．第48分钟时，两人第一次相遇 D．这次比赛的全程是28千米第Ⅱ卷（非选择题共84分）二、填空题（本大题共5小题，只要求填写最后结果，每小题填对得4分，共20分） 13.分解因式：． 14.有一组数据如下：2，3，a，5，6，它们的平均数是4，则这组数据的方差是． 15.某公司在年的盈利额为万元，预计年的盈利额将达到万元，若每年比上一年盈利额增长的百分率相同，那么该公司在年的盈利额为________万元． 16.在平面直角坐标系中，以点、、为顶点的三角形向上平移3个单位，得到△ （点分别为点的对应点），然后以点为中心将△ 顺时针旋转，得到△ （点分别是点的对应点），则点的坐标是 . 17.已知：，，，…，观察上面的计算过程，寻找规律并计算．三、解答题（本大题共7小题，共64分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）得分评卷人 18.（本题满分6分）先化简，再求值：，其中 . 19.（本题满分8分） 2010年5月1日，第41届世博会在上海举办，世博知识在校园迅速传播.小明同学就本班学生对世博知识的了解程度进行了一次调查统计，下图是他采集数据后绘制的两幅不完整的统计图（A：不了解，B：一般了解，C：了解较多，D：熟悉）.请你根据图中提供的信息解答以下问题：（1）求该班共有多少名学生；（2）在条形统计图中，将表示“一般了解”的部分补充完整；（3）在扇形统计图中，计算出“了解较多”部分所对应的圆心角的度数；（4）从该班中任选一人，其对世博知识的了解程度为“熟悉”的概率是多少？20.（本题满分9分） 2009年首届中国国际航空体育节在莱芜雪野举办，期间在市政府广场进行了热气球飞行表演.如图，有一热气球到达离地面高度为36米的A处时，仪器显示正前方一高楼顶部B的仰角是37°，底部C的俯角是60°.为了安全飞越高楼，气球应至少再上升多少米？（结果精确到0.1米）（参考数据：） 21.（本题满分9分）在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以BC为直径作⊙O交AB于点D. （1）求线段AD的长度；（2）点E是线段AC上的一点，试问当点E在什么位置时，直线ED与⊙O相切？请说明理由.22.（本题满分10分）为打造“书香校园”，某学校计划用不超过1900本科技类书籍和1620本人文类书籍，组建中、小型两类图书角共30个.已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本，人文类书籍50本；组建一个小型图书角需科技类书籍30本，人文类书籍60本．（1）问符合题意的组建方案有几种？请你帮学校设计出来；（2）若组建一个中型图书角的费用是860元，组建一个小型图书角的费用是570元，试说明在（1）中哪种方案费用最低？最低费用是多少元？ 23.（本题满分10分）在 ABCD中，AC、BD交于点O，过点O作直线EF、GH，分别交平行四边形的四条边于E、G、F、H四点，连结EG、GF、FH、HE. （1）如图①，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由；（2）如图②，当EF⊥GH时，四边形EGFH的形状是；（3）如图③，在（2）的条件下，若AC=BD，四边形EGFH的形状是；（4）如图④，在（3）的条件下，若AC⊥BD，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由. 24.（本题满分12分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线交轴于两点，交轴于点 . （1）求此抛物线的解析式；（2）若此抛物线的对称轴与直线交于点D，作⊙D与x轴相切，⊙D交轴于点E、F两点，求劣弧EF的长；（3）P为此抛物线在第二象限图像上的一点，PG垂直于轴，垂足为点G，试确定P点的位置，使得△PGA的面积被直线AC分为1�U2两部分.莱芜市2015年初中学业水平测试数学试题答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A C B C D D B C D B A D 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 13. ； 14. 2； 15. 220； 16. ；17.210 三、解答题（本大题共7个小题，共64分） 18.（本小题满分6分）解：原式= ...........................1分= (2)分= ………………………4分= ………………………5分当时，原式= = = ．………………………6分 19.（本小题满分8分）解：（1）5÷10％=50（人）………………………2分（2）见右图………………………4分（3）360°×=144° ………………………6分（4）．………………………8分20.（本小题满分9分）解：过A作AD⊥CB，垂足为点D．………………………1分在Rt△ADC中，∵CD=36，∠CAD=60°．∴AD= ≈20.76．......5分在Rt△ADB中，∵AD≈20.76，∠BAD=37°．∴BD= ≈20.76×0.75=15.57≈15.6（米）． (8)分答：气球应至少再上升15.6米．…………………………9分 21.（本小题满分9分）解：（1）在Rt△ACB中，∵AC=3cm，BC=4cm，∠ACB=90°，∴AB=5cm．……1分连结CD，∵BC为直径，∴∠ADC=∠BDC =90°．∵∠A=∠A，∠ADC=∠ACB，∴Rt△ADC ∽Rt△ACB．∴ ，∴ ．…………………………4分（2）当点E是AC的中点时，ED与⊙O相切．………………5分证明：连结OD，∵DE是Rt△ADC的中线．∴ED=EC，∴∠EDC=∠ECD．∵OC=OD，∴∠ODC=∠OCD．.....................7分∴∠EDO=∠EDC+∠ODC=∠ECD+∠OCD =∠ACB =90°．∴ED与⊙O相切．..............................9分 22.（本小题满分10分）解：（1）设组建中型图书角x个，则组建小型图书角为（30-x）个．..................1分由题意得..............................3分解这个不等式组得18≤x≤20．由于x只能取整数，∴x的取值是18，19，20． (5)分当x=18时，30-x=12；当x=19时，30-x=11；当x=20时，30-x=10．故有三种组建方案：方案一，组建中型图书角18个，小型图书角12个；方案二，组建中型图书角19个，小型图书角11个；方案三，组建中型图书角20个，小型图书角10个．……7分（2）方法一：由于组建一个中型图书角的费用大于组建一个小型图书角的费用，因此组建中型图书角的数量越少，费用就越低，故方案一费用最低，最低费用是860×18+570×12=22320（元）．…………………………10分方法二：①方案一的费用是：860×18+570×12=22320（元）；②方案二的费用是：860×19+570×11=22610（元）；③方案三的费用是：860×20+570×10=22900（元）故方案一费用最低，最低费用是22320元．…………………………10分 23.（本小题满分10分）解：（1）四边形EGFH是平行四边形．…………………………1分证明：∵ ABCD的对角线AC、BD交于点O．∴点O是 ABCD的对称中心．∴EO=FO，GO=HO．∴四边形EGFH是平行四边形．…………………………4分（2）菱形．…………………………5分（3）菱形．…………………………6分（4）四边形EGFH是正方形．…………………………7分∵AC=BD，∴ ABCD是矩形．又∵AC⊥BD，∴ AB CD是菱形．∴ ABCD是正方形，∴∠BOC=90°，∠GBO=∠FCO=45°．OB=OC．∵EF⊥GH ，∴∠GOF=90°．∴∠BOG=∠COF．∴△BOG≌△COF．∴OG=OF，∴GH=EF．…………9分由（1）知四边形EGFH是平行四边形，又∵EF⊥GH，EF=GH. ∴四边形EGFH是正方形．...............10分 24. （本小题满分12分）解：（1）∵抛物线经过点，，．∴ ，解得. ∴抛物线的解析式为：. ..............................3分（2）易知抛物线的对称轴是 .把x=4代入y=2x得y=8，∴点D的坐标为（4,8）．∵⊙D与x轴相切，∴⊙D的半径为8．..............................4分连结DE、DF，作DM⊥y轴，垂足为点M．在Rt△MFD中，FD=8，MD=4．∴cos∠MDF= ．∴∠MDF=60°，∴∠EDF=120°．..............................6分∴劣弧EF的长为：．..............................7分（3）设直线AC的解析式为y=kx+b. ∵直线AC经过点. ∴ ，解得.∴直线AC的解析式为：. (8)分设点，PG交直线AC于N，则点N坐标为.∵ . ∴①若PN�UGN=1�U2，则PG�UGN=3�U2，PG= GN. 即 = . 解得：m1=－3，m2=2（舍去）. 当m=－3时，= . ∴此时点P的坐标为. …………………………10分②若PN�UGN=2�U1，则PG�UGN=3�U1， PG=3GN. 即 = . 解得：，（舍去）.当时， = . ∴此时点P的坐标为 . 综上所述，当点P坐标为或时，△PGA的面积被直线AC分成1�U2两部分．…………………12分。

2015年中考数学试题及答案(Word版)

2015年初中毕业暨升学考试试卷数学本试卷由选择题、填空题和解答题三大题组成，共28小题，满分130分，考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考点名称、考场号、座位号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡相应位置上，并认真核对条形码上的准考号、姓名是否与本人的相符；2．答选择题必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡指定的位置上，不在答题区域内的答案一律无效，不得用其他笔答题；3．考生答题必须答在答题卡上，保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破，答在试卷和草稿纸上一律无效．一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将选择题的答案用2B铅笔涂在答题卡相应位置上．．．．．．．．．1．2的相反数是A．2 B．12C．-2 D．-122．有一组数据：3，5，5，6，7，这组数据的众数为A．3 B．5 C．6 D．73．月球的半径约为1 738 000m，1 738 000这个数用科学记数法可表示为A．1.738×106B．1.738×107C．0.1738×107D．17.38×1054．若()2m=-，则有A．0＜m＜1 B．-1＜m＜0 C．-2＜m＜-1 D．-3＜m＜-2 5．小明统计了他家今年5月份打电话的次数及通话时间，并列出了频数分布表：则通话时间不超过15min的频率为A．0.1 B．0.4 C．0.5 D．0.96．若点A（a，b）在反比例函数2yx=的图像上，则代数式ab-4的值为A．0 B．-2 C．2 D．-67．如图，在△ABC 中，AB =AC ，D 为BC 中点，∠BAD =35°，则∠C 的度数为 A ．35° B ．45°C ．55°D ．60°8．若二次函数y =x 2+bx 的图像的对称轴是经过点（2，0）且平行于y 轴的直线，则关于x的方程x 2+bx =5的解为 A ．120,4x x ==B ．121,5x x ==C ．121,5x x ==-D ．121,5x x =-=9．如图，AB 为⊙O 的切线，切点为B ，连接AO ，AO 与⊙O 交于点C ，BD 为⊙O 的直径，连接CD ．若∠A =30°，⊙O 的半径为2，则图中阴影部分的面积为 A．43πB．43π-C．πD．23π10．如图，在一笔直的海岸线l 上有A 、B 两个观测站，AB =2km ，从A 测得船C 在北偏东45°的方向，从B 测得船C 在北偏东22.5°的方向，则船C 离海岸线l 的距离（即CD 的长）为 A ．4kmB．(2kmC．D．(4-km二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．把答案直接填在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 11．计算：2a a ⋅= ▲ ．12．如图，直线a ∥b ，∠1=125°，则∠2的度数为 ▲ °．DCB A（第7题）（第9题）（第10题）l13．某学校在“你最喜爱的球类运动”调查中，随机调查了若干名学生（每名学生分别选了一项球类运动），并根据调查结果绘制了如图所示的扇形统计图．已知其中最喜欢羽毛球的人数比最喜欢乒乓球的人数少6人，则该校被调查的学生总人数为 ▲ 名． 14．因式分解：224a b -= ▲ ．15．如图，转盘中8个扇形的面积都相等．任意转动转盘1次，当转盘停止转动时，指针指向大于6的数的概率为 ▲ ．16．若23a b -=，则924a b -+的值为 ▲ ．17．如图，在△ABC 中，CD 是高，CE 是中线，CE =CB ，点A 、D 关于点F 对称，过点F作FG ∥CD ，交AC 边于点G ，连接GE ．若AC =18，BC =12，则△CEG 的周长为 ▲ ．18．如图，四边形ABCD 为矩形，过点D 作对角线BD 的垂线，交BC 的延长线于点E ，取BE 的中点F ，连接DF ，DF =4．设AB =x ，AD =y ，则()224x y +-的值为 ▲ ．三、解答题：本大题共10小题，共76分．把解答过程写在答题卡相应位置上．．．．．．．．，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．作图时用2B 铅笔或黑色墨水签字笔．（第17题）GF E D CBA F EDC B A （第18题）ba（第13题）20%10%30%40%其他乒乓球篮球羽毛球（第15题）19．（本题满分5分）(052--． 20．（本题满分5分）解不等式组：()12,31 5.x x x +≥⎧⎪⎨-+⎪⎩＞21．（本题满分6分）先化简，再求值：2121122x x x x ++⎛⎫-÷⎪++⎝⎭，其中1x ．22．（本题满分6分）甲、乙两位同学同时为校文化艺术节制作彩旗．已知甲每小时比乙多做5面彩旗，甲做60面彩旗与乙做50面彩旗所用时间相等，问甲、乙每小时各做多少面彩旗？23．（本题满分8分）一个不透明的口袋中装有2个红球（记为红球1、红球2）、1个白球、1个黑球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀．（1）从中任意摸出1个球，恰好摸到红球的概率是 ▲ ；（2）先从中任意摸出1个球，再从余下的3个球中任意摸出1个球，请用列举法（画树状图或列表）求两次都摸到红球的概率．24．（本题满分8分）如图，在△ABC中，AB=AC．分别以B、C为圆心，BC长为半径在BC下方画弧，设两弧交于点D，与AB、AC的延长线分别交于点E、F，连接AD、BD、CD．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）若BC=6，∠BAC＝50︒，求 DE、 DF的长度之和（结果保留π）．25．（本题满分8分）如图，已知函数kyx=（x＞0）的图像经过点A、B，点B的坐标为（2，2）．过点A作AC⊥x轴，垂足为C，过点B作BD⊥y轴，垂足为D，AC与BD交于点F．一次函数y=ax+b的图像经过点A、D，与x轴的负半轴交于点E．（1）若AC=32OD，求a、b的值；（2）若BC∥AE，求BC的长．（第24题）F EDCBA26．（本题满分10分）如图，已知AD 是△ABC 的角平分线，⊙O 经过A 、B 、D 三点，过点B 作BE ∥AD ，交⊙O 于点E ，连接ED ．（1）求证：ED ∥AC ；（2）若BD =2CD ，设△EBD 的面积为1S ，△ADC 的面积为2S ，且2121640S S -+=，求△ABC 的面积．27．（本题满分10分）如图，已知二次函数()21y x m x m =+--（其中0＜m ＜1）的图像与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，对称轴为直线l ．设P 为对称轴l 上的点，连接P A 、PC ，P A =PC ．（1）∠ABC 的度数为 ▲ °；（2）求P 点坐标（用含m 的代数式表示）；（3）在坐标轴上是否存在点Q （与原点O 不重合），使得以Q 、B 、C 为顶点的三角形与△P AC 相似，且线段PQ 的长度最小？如果存在，求出所有满足条件的点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．（第26题）28．（本题满分10分）如图，在矩形ABCD 中，AD =a cm ，AB =b cm （a ＞b ＞4），半径为2cm的⊙O 在矩形内且与AB 、AD 均相切．现有动点P 从A 点出发，在矩形边上沿着A →B →C →D 的方向匀速移动，当点P 到达D 点时停止移动；⊙O 在矩形内部沿AD 向右匀速平移，移动到与CD 相切时立即沿原路按原速返回，当⊙O 回到出发时的位置（即再次与AB 相切）时停止移动．已知点P 与⊙O 同时开始移动，同时停止移动（即同时到达各自的终止位置）．（1）如图①，点P 从A →B →C →D ，全程共移动了 ▲ cm （用含a 、b 的代数式表示）；（2）如图①，已知点P 从A 点出发，移动2s 到达B 点，继续移动3s ，到达BC 的中点．若点P 与⊙O 的移动速度相等，求在这5s 时间内圆心O 移动的距离；（3）如图②，已知a =20，b =10．是否存在如下情形：当⊙O 到达⊙O 1的位置时（此时圆心O 1在矩形对角线BD 上），DP 与⊙O 1恰好相切？请说明理由．（第28题）（图②）（图①）2015年苏州市初中毕业暨升学考试数学试题答案一、选择题1．C 2．B 3．A 4．C 5．D6．B 7．C 8．D 9．A 10．B二、填空题11．3a12．55 13．60 14．()()22a b a b+-15．1416．3 17．27 18．16三、解答题19.解：原式＝3+5-1 ＝7．20.解：由12x+≥，解得1x≥，由()315x x-+＞，解得4x＞，∴不等式组的解集是4x＞．21.解：原式＝()21122xxx x++÷++＝()2121211x xx xx++⨯=+++．当1x===．22.解：设乙每小时做x面彩旗，则甲每小时做（x+5）面彩旗．根据题意，得60505x x=+．解这个方程，得x=25．经检验，x=25是所列方程的解．∴x+5=30．答：甲每小时做30面彩旗，乙每小时做25面彩旗．23.解：（1）1．（2）用表格列出所有可能的结果：由表格可知，共有12种可能出现的结果，并且它们都是等可能的，其中“两次都摸到红球”有2种可能．∴P（两次都摸到红球）=212=16．24.证明：（1）由作图可知BD =CD ．在△ABD 和△ACD 中，,,,AB AC BD CD AD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ABD ≌△ACD （SSS ）．∴∠BAD ＝∠CAD ，即AD 平分∠BAC ．解：（2）∵AB =AC ，∠BAC =50°，∴∠ABC ＝∠ACB=65°．∵BD = CD = BC ，∴△BDC 为等边三角形． ∴∠DBC ＝∠DCB=60°． ∴∠DBE ＝∠DCF=55°． ∵BC =6，∴BD = CD =6．∴ DE的长度= DF 的长度=556111806ππ⨯⨯=． ∴ DE、 DF 的长度之和为111111663πππ+=． 25．解：（1）∵点B （2，2）在ky x=的图像上，∴k =4，4y x=． ∵BD ⊥y 轴，∴D 点的坐标为（0，2），OD =2． ∵AC ⊥x 轴，AC =32OD ，∴AC =3，即A 点的纵坐标为3． ∵点A 在4y x=的图像上，∴A 点的坐标为（43，3）．∵一次函数y =ax +b 的图像经过点A 、D ， ∴43,3 2.a b b ⎧+=⎪⎨⎪=⎩ 解得3,42.a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩ （2）设A 点的坐标为（m ，4m），则C 点的坐标为（m ，0）． ∵BD ∥CE ，且BC ∥DE ，∴四边形BCED 为平行四边形． ∴CE = BD =2．∵BD ∥CE ，∴∠ADF =∠AEC ．∴在Rt △AFD 中，tan ∠ADF =42AF mDF m -=，在Rt △ACE 中，tan ∠AEC =42AC mEC =， ∴4422m m m -=，解得m =1．∴C 点的坐标为（1，0），BC26．证明：（1）∵AD 是△ABC 的角平分线， ∴∠BAD =∠DAC ．∵∠E=∠BAD ，∴∠E =∠DAC ． ∵BE ∥AD ，∴∠E =∠EDA ． ∴∠EDA =∠DA C ． ∴ED ∥AC ．解：（2）∵BE ∥AD ，∴∠EBD =∠ADC ．∵∠E =∠DAC ，∴△EBD ∽△ADC ，且相似比2BDk DC==． ··················· ∴2124S k S ==，即124S S =． ∵2121640S S -+=，∴222161640S S -+=，即()22420S -=．∴212S =． ∵233ABC S BC BD CD CD S CD CD CD +==== ，∴32ABC S = ． 27．解：（1）45．理由如下：令x =0，则y =-m ，C 点坐标为（0，-m ）．令y =0，则()210x m x m +--=，解得11x =-，2x m =．∵0＜m ＜1，点A 在点B 的左侧，∴B 点坐标为（m ，0）．∴OB =OC =m ．∵∠BOC ＝90°，∴△BOC 是等腰直角三角形，∠OBC ＝45°．（2）解法一：如图①，作PD ⊥y 轴，垂足为D ，设l 与x 轴交于点E ，由题意得，抛物线的对称轴为12mx -+=．设点P 坐标为（12m-+，n ）． ∵P A = PC ， ∴P A 2= PC 2，即AE 2+ PE 2=CD 2+ PD 2．∴()222211122m m n n m -+-⎛⎫⎛⎫++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．解得12m n -=．∴P 点的坐标为11,22m m -+-⎛⎫⎪⎝⎭．解法二：连接PB ．由题意得，抛物线的对称轴为12m x -+=． ∵P 在对称轴l 上，∴P A =PB ． ∵P A =PC ，∴PB =PC ．∵△BOC 是等腰直角三角形，且OB =OC ，∴P 在BC 的垂直平分线y x =-上．∴P 点即为对称轴12mx -+=与直线y x =-的交点． ∴P 点的坐标为11,22m m -+-⎛⎫⎪⎝⎭．图①图②（3）解法一：存在点Q 满足题意．∵P 点的坐标为11,22m m -+-⎛⎫⎪⎝⎭， ∴P A 2+ PC 2=AE 2+ PE 2+CD 2+ PD 2=222221111112222m m m m m m -+---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． ∵AC 2=21m +，∴P A 2+ PC 2=AC 2．∴∠APC ＝90°． ∴△P AC 是等腰直角三角形．∵以Q 、B 、C 为顶点的三角形与△P AC 相似， ∴△QBC 是等腰直角三角形．∴由题意知满足条件的点Q 的坐标为（-m ，0）或（0，m ）． ①如图①，当Q 点的坐标为（-m ，0）时，若PQ 与x 轴垂直，则12m m -+=-，解得13m =，PQ =13．若PQ 与x 轴不垂直，则22222221151521222222510m m PQ PE EQ m m m m --+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++=-+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． ∵0＜m ＜1，∴当25m =时，2PQ 取得最小值110，PQ ．＜13， ∴当25m =，即Q 点的坐标为（25-，0）时， PQ 的长度最小．②如图②，当Q 点的坐标为（0，m ）时，若PQ 与y 轴垂直，则12m m -=，解得13m =，PQ =13．若PQ 与y 轴不垂直，则22222221151521222222510m m PQ PD DQ m m m m --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+-=-+=-+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． ∵0＜m ＜1，∴当25m =时，2PQ 取得最小值110，PQ．＜13， ∴当25m =，即Q 点的坐标为（0，25）时， PQ 的长度最小．综上：当Q 点坐标为（25-，0）或（0，25）时，PQ 的长度最小．解法二：如图①，由（2）知P 为△ABC 的外接圆的圆心． ∵∠APC 与∠ABC 对应同一条弧AC ，且∠ABC ＝45°， ∴∠APC ＝2∠ABC ＝90°．下面解题步骤同解法一．28．解：（1）a +2b ．（2）∵在整个运动过程中，点P 移动的距离为()2a b +cm ，圆心O 移动的距离为()24a -cm ，由题意，得()224a b a +=-． ①∵点P 移动2s 到达B 点，即点P 用2s 移动了b cm ，点P 继续移动3s ，到达BC 的中点，即点P 用3s 移动了12a cm ．∴1223a b =． ② 由①②解得24,8.a b =⎧⎨=⎩∵点P 移动的速度与⊙O 移动的速度相等，∴⊙O 移动的速度为42b=（cm/s ）． ∴这5s 时间内圆心O 移动的距离为5×4=20（cm ）．（3）存在这种情形．解法一：设点P 移动的速度为v 1cm/s ，⊙O 移动的速度为v 2cm/s ，由题意，得()()1222021052422044v a b v a ++⨯===--．FE如图，设直线OO 1与AB 交于点E ，与CD 交于点F ，⊙O 1与AD 相切于点G ．若PD 与⊙O 1相切，切点为H ，则O 1G =O 1H ．易得△DO 1G ≌△DO 1H ，∴∠ADB =∠BDP ． ∵BC ∥AD ，∴∠ADB =∠CBD ． ∴∠BDP =∠CBD ．∴BP =DP ．设BP =x cm ，则DP =x cm ，PC =（20-x ）cm ，在Rt △PCD 中，由勾股定理，可得222PC CD PD +=，即()2222010x x -+=，解得252x =．∴此时点P 移动的距离为25451022+=（cm ）． ∵EF ∥AD ，∴△BEO 1∽△BAD ． ∴1EO BE AD BA =，即182010EO =． ∴EO 1=16cm ．∴OO 1=14cm ．①当⊙O 首次到达⊙O 1的位置时，⊙O 移动的距离为14cm ， ∴此时点P 与⊙O 移动的速度比为454521428=．∵455284≠， ∴此时PD 与⊙O 1不可能相切．②当⊙O 在返回途中到达⊙O 1的位置时，⊙O 移动的距离为2×(20-4)-14=18（cm ）， ∴此时点P 与⊙O 移动的速度比为45455218364==． ∴此时PD 与⊙O 1恰好相切．解法二：∵点P 移动的距离为452cm （见解法一）， OO 1=14cm （见解法一），1254v v =，∴⊙O 应该移动的距离为4541825⨯=（cm ）． ①当⊙O 首次到达⊙O 1的位置时，⊙O 移动的距离为14cm ≠18 cm ， ∴此时PD 与⊙O 1不可能相切．②当⊙O 在返回途中到达⊙O 1的位置时，⊙O 移动的距离为2×(20-4)-14=18（cm ），∴此时PD 与⊙O 1恰好相切．解法三：点P 移动的距离为452cm ，（见解法一） OO 1=14cm ，（见解法一）由1254v v =可设点P 的移动速度为5k cm/s ，⊙O 的移动速度为4k cm/s ， ∴点P 移动的时间为459252k k=（s ）．①当⊙O 首次到达⊙O 1的位置时，⊙O 移动的时间为1479422k k k=≠， ∴此时PD 与⊙O 1不可能相切．②当⊙O 在返回途中到达⊙O 1的位置时，⊙O 移动的时间为2(204)14942k k⨯--=， ∴此时PD 与⊙O 1恰好相切．。

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2015年山东省莱芜市中考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分）1．（3分）（2015•衢州）﹣3的相反数是（）A．3B．﹣3 C．D．﹣2．（3分）（2015•莱芜）将数字2.03×10﹣3化为小数是（）A．0.203 B．0.0203 C．0.00203 D．0.0002033．（3分）（2015•莱芜）下列运算正确的是（）A．（﹣a2）•a3=﹣a6B．a6÷a3=a 2C．a 2+a3=a5D．（a3）2=a6 4．（3分）（2015•莱芜）要使二次根式有意义，则x的取值范围是（）A．x B．xC．xD．x5．（3分）（2015•莱芜）如图，AB∥CD，EF平分∠AEG，若∠FGE=40°，那么∠EFG的度数为（）A．35°B．40°C．70°D．140°6．（3分）（2015•莱芜）下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．7．（3分）（2015•莱芜）为了解当地气温变化情况，某研究小组记录了寒假期间连续6天的最高气温，结果如下（单位：℃）：﹣6，﹣3，x，2，﹣1，3．若这组数据的中位数是﹣1，则下列结论错误的是（）A．方差是8 B．极差是9 C．众数是﹣1 D．平均数是﹣1 8．（3分）（2015•莱芜）下列几何体中，主视图和左视图都为矩形的是（）A ．B．C．D．9．（3分）（2015•莱芜）一个多边形除一个内角外其余内角的和为1510°，则这个多边形对角线的条数是（）A．27 B．35 C．44 D．5410．（3分）（2015•莱芜）甲乙两人同时从A地出发到B地，如果甲的速度v保持不变，而乙先用v的速度到达中点，再用2v的速度到达B地，则下列结论中正确的是（）A．甲乙同时到达B地B．甲先到达B地C．乙先到达B地D．谁先到达B地与速度v有关11．（3分）（2015•莱芜）如图，在矩形ABCD中，AB=2a，AD=a，矩形边上一动点P沿A→B→C→D的路径移动．设点P经过的路径长为x，PD2=y ，则下列能大致反映y与x 的函数关系的图象是（）A．B．C．D．12．（3分）（2015•莱芜）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，以BC为直径的⊙O与AD相切，点E为AD的中点，下列结论正确的个数是（）（1）AB+CD=AD；（2）S△BCE=S△ABE+S△DCE；（3）AB•CD=；（4）∠ABE=∠DCE．A．1B．2C．3D．4二、填空题（本大题共5小题，每小题填对得4分，共20分，请填在答题卡上）13．（4分）（2015•莱芜）计算：﹣|﹣2|+（﹣1）3+2﹣1=．14．（4分）（2015•莱芜）已知m+n=3，m﹣n=2，则m2﹣n2=．15．（4分）（2015•莱芜）不等式组的解集为．16．（4分）（2015•莱芜）如图，在扇形OAB中，∠AOB=60°，扇形半径为r，点C在上，CD⊥OA，垂足为D，当△OCD的面积最大时，的长为．17．（4分）（2015•莱芜）如图，反比例函数y=（x＞0）的图象经过点M（1，﹣1），过点M作MN⊥x轴，垂足为N，在x轴的正半轴上取一点P（t，0），过点P作直线OM的垂线l．若点N关于直线l的对称点在此反比例函数的图象上，则t=．三、解答题（本大题共7小题，共64分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）18．（6分）（2015•莱芜）先化简，再求值：（1﹣），其中x=3．19．（8分）（2015•莱芜）为了解今年初四学生的数学学习情况，某校在第一轮模拟测试后，对初四全体同学的数学成绩作了统计分析，绘制如下图表：请结合图表所给出的信息解答系列问题：成绩频数频率优秀45 b良好 a 0.3合格105 0.35不合格60 c（1）该校初四学生共有多少人？（2）求表中a，b，c的值，并补全条形统计图．（3）初四（一）班数学老师准备从成绩优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中任意抽取两名同学做学习经验介绍，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．20．（9分）（2015•莱芜）为保护渔民的生命财产安全，我国政府在南海海域新建了一批观测点和避风港．某日在观测点A处发现在其北偏西36.9°的C处有一艘渔船正在作业，同时检测到在渔船的正西B处有一股强台风正以每小时40海里的速度向正东方向移动，于是马上通知渔船到位于其正东方向的避风港D处进行躲避．已知避风港D在观测点A的正北方向，台风中心B在观测点A的北偏西67.5°的方向，渔船C与观测点A相距350海里，台风中心的影响半径为200海里，渔船的速度为每小时18海里，问渔船能否顺利躲避本次台风的影响？（sin36.9°≈0.6，tan36.9≈0.75，sin67.5≈0.92，tan67.5≈2.4）21．（9分）（2015•莱芜）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，分别以AB，AC 为直角边向外作等腰直角△ABD和等腰直角△ACE，G为BD的中点，连接CG，BE，CD，BE与CD交于点F．（1）判断四边形ACGD的形状，并说明理由．（2）求证：BE=CD，BE⊥CD．22．（10分）（2015•莱芜）今年我市某公司分两次采购了一批大蒜，第一次花费40万元，第二次花费60万元．已知第一次采购时每吨大蒜的价格比去年的平均价格上涨了500元，第二次采购时每吨大蒜的价格比去年的平均价格下降了500元，第二次的采购数量是第一次采购数量的两倍．（1）试问去年每吨大蒜的平均价格是多少元？（2）该公司可将大蒜加工成蒜粉或蒜片，若单独加工成蒜粉，每天可加工8吨大蒜，每吨大蒜获利1000元；若单独加工成蒜片，每天可加工12吨大蒜，每吨大蒜获利600元．由于出口需要，所有采购的大蒜必需在30天内加工完毕，且加工蒜粉的大蒜数量不少于加工蒜片的大蒜数量的一半，为获得最大利润，应将多少吨大蒜加工成蒜粉？最大利润为多少？23．（10分）（2015•莱芜）如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上任一点（不与A，B 重合），AB⊥CD于E，BF为⊙O的切线，OF∥AC，连结AF，FC，AF与CD交于点G，与⊙O交于点H，连结CH．（1）求证：FC是⊙O的切线；（2）求证：GC=GE；（3）若cos∠AOC=，⊙O的半径为r，求CH的长．24．（12分）（2015•莱芜）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣3，2），B（0，﹣2），其对称轴为直线x=，C（0，）为y轴上一点，直线AC与抛物线交于另一点D．（1）求抛物线的函数表达式；（2）试在线段AD下方的抛物线上求一点E，使得△ADE的面积最大，并求出最大面积；（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点F，使得△ADF是直角三角形？如果存在，求点F 的坐标；如果不存在，请说明理由．2015年山东省莱芜市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分）1．（3分）（2015•衢州）﹣3的相反数是（）A．3B．﹣3 C．D．﹣考点：相反数．专题：常规题型．分析：根据相反数的概念解答即可．解答：解：﹣3的相反数是3，故选：A．点评：本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．2．（3分）（2015•莱芜）将数字2.03×10﹣3化为小数是（）A．0.203 B．0.0203 C．0.00203 D．0.000203考点：科学记数法—原数．分析：绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．解答：解：2.03×10﹣3化为小数是0.00203．故选C．点评：本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．3．（3分）（2015•莱芜）下列运算正确的是（）A．（﹣a2）•a3=﹣a6B．a6÷a3=a2C．a2+a3=a5D．（a3）2=a6考点：同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．分析：根据同底数幂的除法，底数不变指数相减；同底数幂的乘法，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘，对各选项计算后利用排除法求解．解答：解：A、（﹣a2）•a3=﹣a5，故错误；B、a6÷a3=a3，故错误；C、a2•a3=a5，故错误；D、正确；故选：D．点评：本题考查同底数幂的除法，同底数幂的乘法，幂的乘方很容易混淆，一定要记准法则才能做题．4．（3分）（2015•莱芜）要使二次根式有意义，则x的取值范围是（）A ．x B．xC．xD．x考点：二次根式有意义的条件．分析：二次根式的被开方数是非负数．解答：解：依题意得3﹣2x≥0，解得x≤．故选：B．点评：本题考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．5．（3分）（2015•莱芜）如图，AB∥CD，EF平分∠AEG，若∠FGE=40°，那么∠EFG的度数为（）A．35°B．40°C．70°D．140°考点：平行线的性质．分析：先根据两直线平行同旁内角互补，求出∠AEG的度数，然后根据角平分线的定义求出∠AEF的度数，然后根据两直线平行内错角相等，即可求出∠EFG的度数．解答：解：∵AB∥CD，∠FGE=40°，∴∠AEG+∠FGE=180°，∴∠AEG=140°，∵EF平分∠AEG，∴∠AEF=∠AEG=70°，∵AB∥CD，∴∠EFG=∠AEF=70°．故选C．点评：此题考查了平行线的性质，解题的关键是：熟记两直线平行同位角相等；两直线平行内错角相等；两直线平行同旁内角互补．6．（3分）（2015•莱芜）下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．考点：中心对称图形；轴对称图形．分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．解答：解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误；D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项正确．故选D．点评：本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．7．（3分）（2015•莱芜）为了解当地气温变化情况，某研究小组记录了寒假期间连续6天的最高气温，结果如下（单位：℃）：﹣6，﹣3，x，2，﹣1，3．若这组数据的中位数是﹣1，则下列结论错误的是（）A．方差是8 B．极差是9 C．众数是﹣1 D．平均数是﹣1考点：方差；算术平均数；中位数；众数；极差．分析：分别计算该组数据的平均数，众数，极差及方差后找到正确的答案即可．解答：解：根据题意可知x=﹣1，平均数=（﹣6﹣3﹣1﹣1+2+3）÷6=﹣1，∵数据﹣1出现两次最多，∴众数为﹣1，极差=3﹣（﹣6）=9，方差=[（﹣6+1）2+（﹣3+1）2+（﹣1+1）2+（2+1）2+（﹣1+1）2+（3+1）2]=9．故选A．点评：此题考查了方差、极差、平均数、中位数及众数的知识，属于基础题，掌握各部分的定义及计算方法是解题关键．8．（3分）（2015•莱芜）下列几何体中，主视图和左视图都为矩形的是（）A．B．C．D．考点：简单几何体的三视图．分析：分别写出各几何体的主视图和左视图，然后进行判断．解答：解：A、主视图和左视图都为圆，所以A选项错误；B、主视图和左视图都为矩形的，所以B选项正确；C、主视图和左视图都为等腰三角形，所以C选项错误；D、主视图为矩形，左视图为圆，所以D选项错误．故选B．点评：本题考查了简单几何体的三视图：画物体的主视图的口诀为：主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等．记住常见的几何体的三视图．9．（3分）（2015•莱芜）一个多边形除一个内角外其余内角的和为1510°，则这个多边形对角线的条数是（）A．27 B．35 C．44 D．54考点：多边形内角与外角．分析：设出题中所给的两个未知数，利用内角和公式列出相应等式，根据边数为整数求解即可，再进一步代入多边形的对角线计算方法，即可解答．解答：解：设这个内角度数为x，边数为n，∴（n﹣2）×180°﹣x=1510，180n=1870+x，∵n为正整数，∴n=11，∴=44，故选：C．点评：此题考查多边形的内角和计算公式以及多边形的对角线条数的计算方法，属于需要识记的知识．10．（3分）（2015•莱芜）甲乙两人同时从A地出发到B地，如果甲的速度v保持不变，而乙先用v的速度到达中点，再用2v的速度到达B地，则下列结论中正确的是（）A．甲乙同时到达B地B．甲先到达B地C．乙先到达B地D．谁先到达B地与速度v有关考点：列代数式（分式）．分析：设从A地到B地的距离为2s，根据时间=路程÷速度可以求出甲、乙两人同时从A地到B地所用时间，然后比较大小即可判定选择项．解答：解：设从A地到B地的距离为2s，而甲的速度v保持不变，∴甲所用时间为，又∵乙先用v的速度到达中点，再用2v的速度到达B地，∴乙所用时间为，∴甲先到达B地．故选：B．点评：此题主要考查了一元一次方程在实际问题中的应用，解题时首先正确理解题意，根据题意设未知数，然后利用已知条件和速度、路程、时间之间的关系即可解决问题．11．（3分）（2015•莱芜）如图，在矩形ABCD中，AB=2a，AD=a，矩形边上一动点P沿A→B→C→D的路径移动．设点P经过的路径长为x，PD2=y，则下列能大致反映y与x的函数关系的图象是（）A．B．C．D．考点：动点问题的函数图象．分析：根据题意，分三种情况：（1）当0≤t≤2a时；（2）当2a＜t≤3a时；（3）当3a＜t≤5a时；然后根据直角三角形中三边的关系，判断出y关于x的函数解析式，进而判断出y与x的函数关系的图象是哪个即可．解答：解：（1）当0≤t≤2a时，∵PD2=AD2+AP2，AP=x，∴y=x2+a2．（2）当2a＜t≤3a时，CP=2a+a﹣x=3a﹣x，∵PD2=CD2+CP2，∴y=（3a﹣x）2+（2a）2=x2﹣6ax+13a2．（3）当3a＜t≤5a时，PD=2a+a+2a﹣x=5a﹣x，∵PD2=y，∴y=（5a﹣x）2=（x﹣5a）2，综上，可得y=∴能大致反映y与x的函数关系的图象是选项D中的图象．故选：D．点评：（1）此题主要考查了动点问题的函数图象，解答此类问题的关键是通过看图获取信息，并能解决生活中的实际问题，用图象解决问题时，要理清图象的含义即学会识图．（2）此题还考查了直角三角形的性质和应用，以及勾股定理的应用，要熟练掌握．12．（3分）（2015•莱芜）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，以BC为直径的⊙O与AD相切，点E为AD的中点，下列结论正确的个数是（）（1）AB+CD=AD；（2）S△BCE=S△ABE+S△DCE；（3）AB•CD=；（4）∠ABE=∠DCE．A．1B．2C．3D．4考点：圆的综合题．分析：设DC和半圆⊙O相切的切点为F，连接OF，根据切线长定理以及相似三角形的判定和性质逐项分析即可．解答：解：设DC和半圆⊙O相切的切点为F，∵在直角梯形ABCD中AB∥CD，AB⊥BC，∴∠ABC=∠DCB=90°，∵AB为直径，∴AB，CD是圆的切线，∵AD与以AB为直径的⊙O相切，∴AB=AF，CD=DF，∴AD=AE+DE=AB+CD，故①正确；如图1，连接OE，∵AE=DE，BO=CO，∴OE∥AB∥CD，OE=（AB+CD），∴OE⊥BC，∴S△BCE=BC•OE=（AB+CD）=（AB+CD）•BC==S△ABE+S△DCE，故②正确；如图2，连接AO，OD，∵AB∥CD，∴∠BAD+∠ADC=180°，∵AB，CD，AD是⊙O的切线，∴∠OAD+∠EDO=（∠BAD+∠ADC）=90°，∴∠AOD=90°，∴∠AOB+∠DOC=∠AOB+∠BAO=90°，∴∠BAO=∠DOC，∴△ABO∽△CDO，∴，∴AB•CD=OB•OC=BC BC=BC2，故③正确，如图1，∵OB=OC，OE⊥BC，∴BE=CE，∴∠BEO=∠CEO，∵AB∥OE∥CD，∴∠ABE=∠BEO，∠DCE=∠OEC，∴∠ABE=∠DCE，故④正确，综上可知正确的个数有4个，故选D．点评：本题考查了切线的判定和性质、相似三角形的判定与性质、直角三角形的判定与性质．解决本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理、性质定理，做到灵活运用．二、填空题（本大题共5小题，每小题填对得4分，共20分，请填在答题卡上）13．（4分）（2015•莱芜）计算：﹣|﹣2|+（﹣1）3+2﹣1=．考点：实数的运算；负整数指数幂．专题：计算题．分析：原式第一项利用算术平方根定义计算，第二项利用绝对值的代数意义化简，第三项利用乘方的意义化简，最后一项利用负整数指数幂法则计算即可得到结果．解答：解：原式=3﹣2﹣1+=，故答案为：点评：此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．14．（4分）（2015•莱芜）已知m+n=3，m﹣n=2，则m2﹣n2=6．考点：平方差公式．分析：根据平方差公式，即可解答．解答：解：m2﹣n2=（m+n）（m﹣n）=3×2=6．故答案为：6．点评：本题考查了平方差公式，解决本题的关键是熟记平方差公式．15．（4分）（2015•莱芜）不等式组的解集为﹣1≤x＜2．考点：解一元一次不等式组．分析：先求出每个不等式的解集，根据不等式的解集找出不等式组的解集即可．解答：解：∵由①得：x≥﹣1，由②得：x＜2，∴不等式组的解集是﹣1≤x＜2，故答案为﹣1≤x＜2．点评：本题考查了解一元一次不等式和解一元一次不等式组的应用，解此题的关键是能根据不等式的解集找出不等式组的解集．16．（4分）（2015•莱芜）如图，在扇形OAB中，∠AOB=60°，扇形半径为r，点C在上，CD⊥OA，垂足为D，当△OCD的面积最大时，的长为．考点：垂径定理；弧长的计算；解直角三角形．分析：由OC=r，点C在上，CD⊥OA，利用勾股定理可得DC的长，求出OD=时△OCD 的面积最大，∠COA=45°时，利用弧长公示得到答案．解答：解：∵OC=r，点C在上，CD⊥OA，∴DC==，∴S△OCD=OD•，∴S△OCD2=OD2•（r2﹣OD2）=﹣OD4+r2OD2=﹣（OD2﹣）2+∴当OD2=，即OD=r时△OCD的面积最大，∴∠OCD=45°，∴∠COA=45°，∴的长为：=πr，故答案为：．点评：本题主要考查了扇形的面积，勾股定理，求出OD=时△OCD的面积最大，∠COA=45°是解答此题的关键．17．（4分）（2015•莱芜）如图，反比例函数y=（x＞0）的图象经过点M（1，﹣1），过点M作MN⊥x轴，垂足为N，在x轴的正半轴上取一点P（t，0），过点P作直线OM的垂线l．若点N关于直线l的对称点在此反比例函数的图象上，则t=．考点：反比例函数图象上点的坐标特征；坐标与图形变化-对称．分析：根据反比例函数图象上点的坐标特征由点A坐标为（1，﹣1）得到k=﹣1，即反比例函数解析式为y=﹣，且ON=MN=1，则可判断△OMN为等腰直角三角形，知∠MON=45°，再利用PQ⊥OM可得到∠OPQ=45°，然后轴对称的性质得PN=PN′，NN′⊥PQ，所以∠NPQ=∠N′PQ=45°，于是得到N′P⊥x轴，则点n′的坐标可表示为（t，﹣），于是利用Pn=Pn′得t﹣1=|﹣|=，然后解方程可得到满足条件的t的值．解答：解：如图，∵点A坐标为（1，﹣1），∴k=﹣1×1=﹣1，∴反比例函数解析式为y=﹣，∵ON=MN=1，∴△OMN为等腰直角三角形，∴∠MON=45°，∵直线l⊥OM，∴∠OPQ=45°，∵点N和点N′关于直线l对称，∴PN=PN′，NN′⊥PQ，∴∠N′PQ=∠OPQ=45°，∠N′PN=90°，∴N′P⊥x轴，∴点N′的坐标为（t，﹣），∵PN=PN′，∴t﹣1=|﹣|=，整理得t2﹣t﹣1=0，解得t1=，t2=（不符合题意，舍去），∴t的值为．故答案为：．点评：本题考查了反比例函数的综合题，涉及知识点有反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质和轴对称的性质和用求根公式法解一元二次方程等．利用对称的性质得到关于t的方程是解题的关键．三、解答题（本大题共7小题，共64分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）18．（6分）（2015•莱芜）先化简，再求值：（1﹣），其中x=3．考点：分式的化简求值．专题：计算题．分析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．解答：解：原式=•=•=，当x=3时，原式=2．点评：此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．19．（8分）（2015•莱芜）为了解今年初四学生的数学学习情况，某校在第一轮模拟测试后，对初四全体同学的数学成绩作了统计分析，绘制如下图表：请结合图表所给出的信息解答系列问题：成绩频数频率优秀45 b良好 a 0.3合格105 0.35不合格60 c（1）该校初四学生共有多少人？（2）求表中a，b，c的值，并补全条形统计图．（3）初四（一）班数学老师准备从成绩优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中任意抽取两名同学做学习经验介绍，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．考点：列表法与树状图法；频数（率）分布表；条形统计图．分析：（1）利用合格的人数除以该组频率进而得出该校初四学生总数；（2）利用（1）中所求，结合频数÷总数=频率，进而求出答案；（3）根据题意画出树状图，然后求得全部情况的总数与符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．解答：解：（1）由题意可得：该校初四学生共有：105÷0.35=300（人），答：该校初四学生共有300人；（2）由（1）得：a=300×0.3=90（人），b==0.15，c==0.2；如图所示；（3）画树形图得：∴一共有12种情况，抽取到甲和乙的有2种，∴P（抽到甲和乙）==．点评：此题主要考查了树状图法求概率以及条形统计图的应用，根据题意利用树状图得出所有情况是解题关键．20．（9分）（2015•莱芜）为保护渔民的生命财产安全，我国政府在南海海域新建了一批观测点和避风港．某日在观测点A处发现在其北偏西36.9°的C处有一艘渔船正在作业，同时检测到在渔船的正西B处有一股强台风正以每小时40海里的速度向正东方向移动，于是马上通知渔船到位于其正东方向的避风港D处进行躲避．已知避风港D在观测点A的正北方向，台风中心B在观测点A的北偏西67.5°的方向，渔船C与观测点A相距350海里，台风中心的影响半径为200海里，渔船的速度为每小时18海里，问渔船能否顺利躲避本次台风的影响？（sin36.9°≈0.6，tan36.9≈0.75，sin67.5≈0.92，tan67.5≈2.4）考点：解直角三角形的应用-方向角问题．分析：先解Rt△ADC，求出CD=AC•sin∠DAC≈350×0.6=210海里，AD==280海里，那么渔船到的避风港D处所用时间：210÷18=11小时．再解Rt△ADB，求出BD=AD•tan∠BAD≈280×2.4=672海里，那么BC=BD﹣CD≈672﹣210=462海里．设强台风移动到渔船C后面200海里时所需时间为x小时，根据追及问题的等量关系列出方程（40﹣18）x=462﹣200，解方程求出x=11，由于11＜11，所以渔船能顺利躲避本次台风的影响．解答：解：由题意可知∠BAD=67.5°，∠CAD=36.9°，AC=350海里．在Rt△ADC中，∵∠ADC=90°，∠DAC=36.9°，AC=350海里，∴CD=AC•sin∠DAC≈350×0.6=210海里，AD==280海里．∴渔船到的避风港D处所用时间：210÷18=11小时．在Rt△ADB中，∵∠ADB=90°，∠BAD=67.5°，∴BD=AD•tan∠BAD≈280×2.4=672海里，∴BC=BD﹣CD≈672﹣210=462海里．设强台风移动到渔船C后面200海里时所需时间为x小时，根据题意得（40﹣18）x=462﹣200，解得x=11，∵11＜11，∴渔船能顺利躲避本次台风的影响．点评：本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，难度中等，求出强台风移动到渔船C 后面200海里时所需时间是解题的关键．21．（9分）（2015•莱芜）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，分别以AB，AC 为直角边向外作等腰直角△ABD和等腰直角△ACE，G为BD的中点，连接CG，BE，CD，BE与CD交于点F．（1）判断四边形ACGD的形状，并说明理由．（2）求证：BE=CD，BE⊥CD．考点：全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；平行四边形的判定．专题：证明题．分析：（1）利用等腰直角三角形的性质易得BD=2BC，因为G为BD的中点，可得BG=BC，由∠CGB=45°，∠ADB=45得AD∥CG，由∠CBD+∠ACB=180°，得AC∥BD，得出四边形ACGD为平行四边形；（2）利用全等三角形的判定证得△DAC≌△BAE，由全等三角形的性质得BE=CD；首先证得四边形ABCE为平行四边形，再利用全等三角形的判定定理得△BCE≌△CAD，易得∠CBE=∠ACD，由∠ACB=90°，易得∠CFB=90°，得出结论．解答：（1）解：∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，∴AB=BC，∵△ABD和△ACE均为等腰直角三角形，∴BD==BC=2BC，∵G为BD的中点，∴BG=BD=BC，∴△CBG为等腰直角三角形，∴∠CGB=45°，∵∠ADB=45°，AD∥CG，∵∠ABD=45°，∠ABC=45°∴∠CBD=90°，∵∠ACB=90°，∴∠CBD+∠ACB=180°，∴AC∥BD，∴四边形ACGD为平行四边形；（2）证明：∵∠EAB=∠EAC+∠CAB=90°+45°=135°，∠CAD=∠DAB+∠BAC=90°+45°=135°，∴∠EAB=∠CAD，在△DAC与△BAE中，，∴△DAC≌△BAE，∴BE=CD；∵∠EAC=∠BCA=90°，EA=AC=BC，∴四边形ABCE为平行四边形，∴CE=AB=AD，在△BCE与△CAD中，，∴△BCE≌△CAD，∴∠CBE=∠ACD，∵∠ACD+∠BCD=90°，∴∠CBE+∠BCD=90°，∴∠CFB=90°，即BE⊥CD．点评：本题主要考查了等腰直角三角形的性质，平行四边形和全等三角形的判定及性质定理，综合运用各种定理是解答此题的关键．22．（10分）（2015•莱芜）今年我市某公司分两次采购了一批大蒜，第一次花费40万元，第二次花费60万元．已知第一次采购时每吨大蒜的价格比去年的平均价格上涨了500元，第二次采购时每吨大蒜的价格比去年的平均价格下降了500元，第二次的采购数量是第一次采购数量的两倍．（1）试问去年每吨大蒜的平均价格是多少元？（2）该公司可将大蒜加工成蒜粉或蒜片，若单独加工成蒜粉，每天可加工8吨大蒜，每吨大蒜获利1000元；若单独加工成蒜片，每天可加工12吨大蒜，每吨大蒜获利600元．由于出口需要，所有采购的大蒜必需在30天内加工完毕，且加工蒜粉的大蒜数量不少于加工蒜片的大蒜数量的一半，为获得最大利润，应将多少吨大蒜加工成蒜粉？最大利润为多少？考点：一元一次不等式组的应用；分式方程的应用．分析：（1）设去年每吨大蒜的平均价格是x元，则第一次采购的平均价格为（x+500）元，第二次采购的平均价格为（x﹣500）元，根据第二次的采购数量是第一次采购数量的两倍，据此列方程求解；（2）先求出今年所采购的大蒜数，根据采购的大蒜必需在30天内加工完毕，蒜粉的大蒜数量不少于加工蒜片的大蒜数量的一半，据此列不等式组求解，然后求出最大利润．解答：解：（1）设去年每吨大蒜的平均价格是x元，由题意得，×2=，解得：x=3500，经检验：x=3500是原分式方程的解，且符合题意，答：去年每吨大蒜的平均价格是3500元；（2）由（1）得，今年的大蒜数为：×3=300（吨），设应将m吨大蒜加工成蒜粉，则应将（300﹣m）吨加工成蒜片，由题意得，，解得：100≤m≤120，总利润为：1000m+600（300﹣m）=400m+180000，当m=120时，利润最大，为228000元．答：应将120吨大蒜加工成蒜粉，最大利润为228000元．点评：本题考查了分式方程和一元一次不等式耳朵应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解．23．（10分）（2015•莱芜）如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上任一点（不与A，B 重合），AB⊥CD于E，BF为⊙O的切线，OF∥AC，连结AF，FC，AF与CD交于点G，与⊙O交于点H，连结CH．（1）求证：FC是⊙O的切线；（2）求证：GC=GE；（3）若cos∠AOC=，⊙O的半径为r，求CH的长．考点：圆的综合题．专题：计算题．分析：（1）首先根据OF∥AC，OA=OC，判断出∠BOF=∠COF；然后根据全等三角形判定的方法，判断出△BOF≌△COF，推得∠OCF=∠OBF=90°，再根据点C在⊙O上，即可判断出FC是⊙O的切线．（2）延长AC、BF交点为M．由△BOF≌△COF可知：BF=CF然后再证明：FM=CF，从而得到BF=MF，因为DC∥BM，所以△AEG∽△ABF，△AGC∽△AFM，然后依据相似三角形的性质可证GC=GE；（3）因为cos∠AOC=，OE=，AE=．由勾股定理可求得EC=．AC=．因为EG=GC，所以EG=．由（2）可知△AEG∽△ABF，可求得CF=BF=．在Rt△ABF中，由勾股定理可求得AF=3r．然后再证明△CFH∽△AFC，由相似三角形的性质可求得CH的长．解答：（1）证明：∵OF∥AC，∴∠BOF=∠OAC，∠COF=∠OCA，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠BOF=∠COF，在△BOF和△COF中，，∴△BOF≌△COF，∴∠OCF=∠OBF=90°，又∵点C在⊙O上，∴FC是⊙O的切线．（2）如下图：延长AC、BF交点为M．由（1）可知：△BOF≌△COF，∴∠OFB=∠CFO，BF=CF．∵AC∥OF，∴∠M=∠OFB，∠MCF=∠CFO．∴∠M=∠MCF．∴CF=MF．∴BF=FM．∵DC∥BM，∴△AEG∽△ABF，△AGC∽△AFM．∴，．∴又∵BF=FM，∴EG=GC．（3）如下图所示：∵cos∠AOC=，∴OE=，AE=．在Rt△GOC中，EC==．在Rt△AEC中，AC==．∵EG=GC，∴EG=．∵△AEG∽△ABF，∴，即．∴BF=．∴CF=．在Rt△ABF中，AF===3r．∵CF是⊙O的切线，AC为弦，∴∠HCF=∠HAC．又∵∠CFH=∠AFC，∴△CFH∽△AFC．∴，即：．∴CH=．点评：本题主要考查的是圆的综合应用，同时还涉及了勾股定理，锐角三角形函数，相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，证得BF=FM是解答本题的关键．24．（12分）（2015•莱芜）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣3，2），B（0，﹣2），其对称轴为直线x=，C（0，）为y轴上一点，直线AC与抛物线交于另一点D．（1）求抛物线的函数表达式；（2）试在线段AD下方的抛物线上求一点E，使得△ADE的面积最大，并求出最大面积；（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点F，使得△ADF是直角三角形？如果存在，求点F 的坐标；如果不存在，请说明理由．。