第三讲 谓词逻辑
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第3章 谓词逻辑
【谓词公式的类型】根据公式与解释的关系，可以把谓词公式分为三种 类型：永真式、矛盾式和可满足式。 定义 3.13 若公式 A 在任何解释下均为真，则称 A 为永真式。 定义 3.14 若公式 A 在任何解释下均为假，则称 A 为矛盾式(或永假式)。 定义 3.15 若(至少)存在一个解释使公式 A 为真，则称 A 为可满足式。
例3.5 用谓词公式表示下列命题： (1) 所有人都吃饭 (2) 存在不吃饭的人 (2) 没有不吃饭的人
令 M (x) 表示： x 是人
E (x) 表示： x 吃饭 （1） x ( M ( x ) E ( x)) （2） x( M ( x) E ( x)) （3） (x( M ( x) E ( x)))
• 存在量词：表示个体变元在个体论域中取某个值 的量词称为存在量词
符号 加上一个个体变元表示。如 x, y
量词
所有的、任意的、一切的、每一个 有些、至少有一个、某一些、存在
x
x
3.2 谓词公式
定 义 3.5 设 P 是 一 个 n 元 谓 词 ， t1 , t2 ,, tn 是 项 ， 则
P(t1 , t2 ,, tn ) 构成一个谓词公式，称为原子谓词公式。
F(x): x 是奇数 H(x,y): x 大于 y L(x,y): x 比 y 聪明
定义 3.6 谓词逻辑中的合式公式定义如下： (1) 任何一个原子谓词公式都是合式公式； (2) 若 A 是合式公式，则 ( A ) 也是合式公式； (3) 若 A， 是合式公式， ( A B ) ， A B ) ， A B ) ， B 则 ( ( ( A B ) 都是合式公式； (4) 若 A 是合式公式，则 ( xA ) ， ( xA ) 也是合式公式； (5) 仅由(1)—(4)在有限步内产生的公式才是合式公式。
第三章：谓词逻辑
§3.1.1 谓词和量词
于是，用谓词的概念可将三段论做如下 的符号化： 令 H(x)表示 “x是人”， M(x)表示 “x必死”。
则三段论的三个命题表示如下： P： H(x)M(x) Q： H(张三) R： M(张三)
§3.1.1 谓词和量词
例如我们想得到 “命题”P的否定 “命 题”，应该就是“命题”P。但是，
TI(H) = TI(P(2)Q(2，2)P(3)Q(3，2)) =0110 =0
定义3.2.5 公式G称为可满足的，如果存 在解释I，使G在I下取1值，简称I满足G。 若I不满足G，则简称I弄假G。
定义3.2.6 公式G称为是恒假的(或不可满 足的)，如果不存在解释I满足G；公式G称 为恒真的，如果G的所有解释I都满足G。
是项，则f(t1, …, tn)是项； 4) 所有项都是有限次使用1)，2)，3)生成
的符号串。
定义3.2.2
若P(x1,…,xn)是n元谓词符号，t1,…,tn是 项，则P(t1,…,tn)是原子。
定义3.2.3 公式
谓词逻辑中的公式，被递归定义如下：
1) 原子是公式； 2) 若G，H是公式，则(G)，(GH)，(GH)，
§3.3.1 公式的等价和蕴涵
定义3.3.2 设G，H是公式，称G蕴涵H， 或H是G的逻辑结果，如果公式GH是恒 真的，并记以GH。
显然，对任意两个公式G，H，G蕴涵H 的充要条件是：对任意解释I，若I满足G， 则I必满足H。
同样，命题逻辑中的基本蕴涵式仍成立。
§3.3.1 公式的等价和蕴涵
证令明G：1 =H是x(GH1(x)G2M的(逻x))辑，结G2果=H。(a)，H=M(a) 张因三为)，，且设II满是足GG1 ，1GG22，，H即的I满一足个解释(I指定a为
人工智能谓词逻辑与归结原理课件
一阶谓词逻辑知识表示方法
3.问题描述
At (robot,c) At (robot,a) At (robot,a)
Holds(robot,box)
Empty(robot)
On(box,a) Table(a) Table(b)
Empty(robot)
On(box,a) Table(a) Table(b) Goto(x,y)
命题逻辑的推理
自然演绎推理
自然演绎推理：从一组已知为真的事实出发，直接运 用经典逻辑推理的推理规则推出结论的过程。 基本规则 P规则：在推理的任何步骤上都可以引入前提。 T规则：在推理时，如果前面步骤有一个或多个公式永 真蕴含公式S，则可以把S引入推理中。 假言推理：若P, PQ 为真， 则Q 为真。 拒取式：若 PQ ,Q 为真，则P为假。 析取三段论：若 P, P ∨ Q 为真， 则Q 为真。
3.问题描述
……
一阶谓词逻辑知识表示方法
“猴子吃香蕉”问题的描述 3.问题描述 ……
A1 A2 A3 A4 A5 (x) (y) (z) (s) (P(x,y,z,s) P(z,y,z,Walk(x,z,s))) (x) (y) (s) (P(x,y,x,s) P(y,y,y,Carry(x,y,s))) (s) (P(b,b,b,s) R(Climb(s))) P(a,b,c,s) R(s) ∨ ANS(s)
一阶谓词逻辑知识表示方法
谓词逻辑表示法在实际人工智能系统上得到应用。 机器人行动（如图示）
1.引入谓词
Table(x): x是桌子 Empty(y): y手中为空 At(y,z): y在z附近 Holds(y,w): y拿着w On(w,x): w在x的上面
第三章 谓词逻辑与归结原理
以正向推理所得结果作为假设进 行反向推理
退出
是 还需要正向推理吗？
否
2014-4-9
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华北电力大学
概述-推理的控制策略
搜索策略
推理时，要反复用到知识库中的规则，而知识库中 的规则又很多，这样就存在着如何在知识库中寻找 可用规则的问题 为有效控制规则的选取，可以采用各种搜索策略 常用搜索策略：
归结推理方法在人工智能推理方法中有着很重 要的历史地位，是机器定理证明的主要方法
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华北电力大学
归结法的特点
归结法是一阶逻辑中，至今为止的最有效的半可 判定的算法。也是最适合计算机进行推理的逻辑 演算方法 半可判定 一阶逻辑中任意恒真公式，使用归结原理，总 可以在有限步内给以判定（证明其为永真式） 当不知道该公式是否为恒真时，使用归结原理 不能得到任何结论
(5) 上下文限制
上下文限制就是把产生式规则按它们所描述的上下文分组，在某种 上下文条件下，只能从与其相对应的那组规则中选择可应用的规则
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华北电力大学
概述-推理的控制策略
推理的控制策略
3．冲突解决策略
(6) 按匹配度排序
在不精确匹配中，为了确定两个知识模式是否可以进行匹配，需要 计算这两个模式的相似程度，当其相似度达到某个预先规定的值时，就 认为它们是可匹配的。若有几条规则均可匹配成功，则可根据它们的匹 配度来决定哪一个产生式规则可优先被应用
如专家系统、智能机器人、模式识别、自然语言理解等
推理
按照某种策略从已有事实和知识推出结论的过程。 推理是由程序实现的，
称为推理机
医疗诊断专家系统
• 知识库中存储经验及医学常识 • 数据库中存放病人的症状、化验结果等初始事实 • 利用知识库中的知识及一定的控制策略，为病人诊治疾病、开出医疗处方就 是推理过程
离散数学讲义第三章谓词逻辑.ppt
题函数。 例如 H（x），L（x,y,z）均是简单命题函数。
（P(x,y)∨L(x,y,z)） P（y, x）是一复合命题函数
在命题函数中，个体变元的取值范围称为个体域。
例4 P（x,y）表示“2 x+y=1”，若x,y的个体域为正整数集，
则总是假；
若x,y的个体域为有理数集，则y=1―2x，对任意的有理数k ， 在x= k，y =1―2k时，P（ k，1―2k）为真。
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三、量词和全总个体域
1.量词
使用前面介绍的概念，还不足以表达日常生活中 的各种命题。
例如：对于命题 “ 所有的正整数都是素数 ”
和 “ 有些正整数是素数 ” 仅用个体词和谓词是很难表达的。 量词 在命题里表示数量的词。
（1） 全称量词
“ x” x D（x），
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如“所有人都是要死的。”可表示为 x的个体域为全体人的集合。
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3.4 变元的约束
例1 令 P（x, y）：“ x<y ”，Q（x）：x是有理数；F（x）：
x可以表示为分数。判断下列式子那些是命题函数，那些 是命题？ P（x, y） P（x, y）∧ Q（x） Q（x） → F（x）
x(Q( x) F ( x))
例2 令H(x)：x是人;M(y):y是药;S(x，y)：x对y过敏。判断：
3.1、 3.2 谓词的概念与表示; 命题函数和量词 3.3 ~ 3.5 谓词演算的合适公式; 变元的约束 ; 谓词公式的解释 3.6 谓词演算的永真式 3.7 谓词演算的推理理论
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3.1、3.2 谓词、命题函数和量词 例 判断下述论断的正确性
“苏格拉底三段论” ： 凡人都是要死的， 苏格拉底是人， 所以苏格拉底是要死的。 类似的例子 还有许多。 例如：
第三讲 谓词逻辑
（7）有的展品，每个参观者都欣赏它。
（7′）y (Gy x (Fx H(x,y))) （8）有的展品，有的参观者欣赏它。 （8′）y (Gy x (Fx H(x,y)))
§3.2.2 关系命题的谓词表达式
准确地理解和应用关系命题形式，要注意 以下几点: 第一，关系命题中主词的前后顺序，如关 系的主动者和关系的承受者。
传递关系 反传递关系 不定传递关系
xyz(R(x,y) R(y,z)R(x,z))
xyz(R(x,y) R(y,z) R(x,z)R(x,z))
§3.2.2 关系命题的谓词表达式
关系项 全同 真包含(于) 交叉 全异 矛盾 反对 蕴涵 对称性 对称 反对称 对称 对称 对称 对称 不定对称 对称 传递性 传递 传递 不定传递 不定传递 反传递 不定传递 传递 传递
§3.2.2 关系命题的谓词表达式
第三，为了关系推理，需要确定关系项的 性质。主要有：自返性、对称性和传递性。 自返性 R(x,x) ？
自返关系 反自返关系
xR(x,x) xR(x,x) xR(x,x) xR(x,x)
不定（非）自返关系
§3.2.2 关系命题的谓词表达式
xFx
§3.4 谓词逻辑的推理规则
“引进主词假设”规则 全称量词规则
存在量词规则
量词交换规则
§3.4.1 “引进主词假设”规则
传统逻辑在处理直言命题推理时，实际上已 经隐含了“主词存在”的假设。 现代谓词逻辑，不允许有隐含的规则参与推 理和论证的过程，因此，不断定或假设主词的存 在，形式证明将无法建立。
特称命题不能表示为蕴涵式，如：
有人有一千只手。
1. x (Sx Px)，即存在一x，x是人并且x有一 千只手。
谓词逻辑_
2-2.1 命题函数
比如：L(x,y)表示“x小于y”是二元谓词， L(x,3)表示“x小于3”是一元谓词，L(2,3)表示 “2小于3”是0元谓词。
因此可以将命题看成n元谓词的一个特殊 情况。
0元谓词都是命题，命题逻辑中的简单命 题都可以用0元谓词表示。
2-2.1 命题函数
定义2：复合命题函数（compound propositional function）：
举例说明：
例1．“有些人是要死的”. 解1： 采用全体人作为个体域.
设: G(x): x是要死的. 原命题符号化成: (x)G(x)
解2： 采用全总个体域. 设: M(x): x是人; G(x):x是要死
的. 原命题符号化成: (x)(M(x) ∧G(x))
例2． “凡人都是要死的”. 解1: 采用全体人作为个体域. 设: G(x): x是要死的. 原命题符号化成: (x)G(x)
（x）P(x) is false if P(x) is false for every x in U.
2-2.2 量词
唯一存在量词（unique quantifier）： “恰好存在一个”，用符号“!”表示。
2-2.2 量词
现在对以上两个命题进行符号化，在进行符号 化之前必须确定个体域。
第一种情况．个体域D为人类集合。 设：F(x) ： x是要死的。
解2: 采用全总个体域. 设: M(x): x是人; G(x):x是要死的. 原命题符号化成: (x)(M(x) →G(x))
例3: “存在最小的自然数”。 解1: 采用全体自然数作为个体域. 设: G(x,y): x≤y; 原命题符号化成: (x)(y)G(x,y) 注意量词顺序: (y)(x)G(x,y): “没有最小的自然数”.
第三讲 谓词逻辑
§3.2.2 关系命题的谓词表达式
关系命题是反映对象间关系的命题， 关系命题是反映对象间关系的命题，如：
曹丕和曹植是兄弟。 曹丕和曹植是兄弟。 有人欣赏每一件展品。 有人欣赏每一件展品。
关系命题一般包含以下一些成分： 关系命题一般包含以下一些成分： 主词：表示关系者。 主词：表示关系者。也可分为个体常项和个体 变项。 变项。 关系词 表示对象之间的关系。它是多元谓词。 关系词：表示对象之间的关系。它是多元谓词。 量词：表示关系者的外延数量。 表示关系者的外延数量。
§3.2.1 直言命题的谓词表达式
特称命题不能表示为蕴涵式， 特称命题不能表示为蕴涵式，如：
有人有一千只手。 有人有一千只手。
1. ∃x (Sx ∧Px)，即存在一 ，x是人并且 有一 是人并且x有一 ，即存在一x， 是人并且 千只手。 千只手。 后一联言支假，所以原式假。 后一联言支假，所以原式假。 2. ∃x (Sx →Px)，等值于∃x (¬Sx ∨Px)，即存在 ，等值于∃ ¬ ， 不是人， 有一千只手。 一x，或者 不是人，或者 有一千只手。 ，或者x不是人 或者x有一千只手 前一选言支真，所以原式真。 一选言支真，所以原式真。
§3.2.2 关系命题的谓词表达式
准确地理解和应用关系命题形式， 准确地理解和应用关系命题形式，要注意 以下几点: 以下几点 第一，关系命题中主词的前后顺序， 第一，关系命题中主词的前后顺序，如关 系的主动者和关系的承受者。 系的主动者和关系的承受者。
甲队（ ）打败乙队（ ）。 甲队（a）打败乙队（b）。
一切事物都是变化的（ ）。 一切事物都是变化的（F）。 有的东西是劳动创造的（ ）。 有的东西是劳动创造的（G）。 ∀x Fx ∃x Gx
§3.1 个体词、谓词和量词 个体词、
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有商品不是劳动产品。
1. x (Sx Px) 2. x (Sx Px) 3. x (Sx Px)
4. x (Sx Px)
§3.2.1 直言命题的谓词表达式
传统逻辑假设了主项存在，现代逻辑突破 了这一局限，因此，全称命题应表示为蕴涵式， 不能表示为合取式，如：
凡高考总分在700分以上者入学后均可获得一等奖学金。
关系命题是反映对象间关系的命题，如：
曹丕和曹植是兄弟。
有人欣赏每一件展品。
关系命题一般包含以下一些成分： 主词：表示关系者。也可分为个体常项和个体 变项。 关系词：表示对象之间的关系。它是多元谓词。 量词：表示关系者的外延数量。
§3.2.2 关系命题的谓词表达式
当关系命题的两个主词都是特定个体时， 关系命题的形式有两种，如：
1. x (Sx Px)，即对任一x而言，如果x是高考总分 在700分以上者，则x入学后可获得一等奖学金。 即使前件假，原式仍为真。 2. x (Sx Px)，即对任一x而言，他既是高考总分700 分以上者，又是入学后获得一等奖学金者。 如果前一个联言支假，则原式为假。
§3.2.1 直言命题的谓词表达式
如果个体词表示的是某一对象类中不确定的任 一个体，则叫做个体变项（x，y，z，…）。一元 谓词式一般地可以刻画为： Fx 个体变项所指称的对象，称作个体变项的值 。个体变项取值的范围称作个体域。 在需要时，可规定个体域为什么范围的事物。 如规定个体域为“人”，则x，y，z就表示某某人 。 不作说明，个体域一般指所有的客体。
现代逻辑导引
Introduction to Modern Logic
第三讲
谓词逻辑
个体词、谓词与量词 自然语言的谓词表达式
普遍有效性和可满足性
谓词逻辑的推理规则
带量词的关系命题推理
谓词逻辑推理有效性的判定方法
§3.1 个体词、谓词和量词
命题所反映的不对之进行分解的单个对象称为 个体。表示个体的词项，叫做个体词。表示个体的 性质或个体与个体之间关系的词项，叫做谓词。
有的东西是劳动创造的 （G），而有的东西不是劳动 创造的。
如果李甲是李乙的父亲， 那么李乙必是李丙的哥哥。 x Gx x Gx F(a,b)G(b,c)
§3.1 个体词、谓词和量词
量词约束的范围就是量词的辖域，约定： 紧靠量词的括号内的符号表达式是该量词的辖 域，括号外的不是； 如果紧靠量词没有括号，那么，靠近量词的不 包含逻辑联结词的表达式是该量词的辖域，其他的 则不是。
§3.2 自然语言的谓词表达式
直言命题的谓词表达式
关系命题的谓词表达式
§3.2.1 直言命题的谓词表达式
直言命题有四种：
全称肯定命题：所有S是P
全称否定命题：所有S不是P
特称肯定命题：有S是P
特称否定命题：有S不是P
§3.2.1 直言命题的谓词表达式
所有商品（S）都是劳是劳动产品。
§3.2.2 关系命题的谓词表达式
（1）每个参观者欣赏每一件展品。
（1′）x (Fx y (Gy H(x,y))) （2）每个参观者欣赏有的展品。
当关系命题的两个主词都是某类中非特定 （2）每个参观者欣赏有的展品。 个体时，关系命题的形式有八种：
（3）有的参观者欣赏每一件展品。 （4）有的参观者欣赏有的展品。 （1）每个参观者欣赏每一件展品。
（5）所有展品，对每个参观者来说，他们都欣赏。
（6）所有展品，对有的参观者来说，他欣赏。 （7）有的展品，每个参观者都欣赏它。 （8）有的展品，有的参观者欣赏它。
特称命题不能表示为蕴涵式，如：
有人有一千只手。
1. x (Sx Px)，即存在一x，x是人并且x有一 千只手。
后一联言支假，所以原式假。
2. x (Sx Px)，等值于x (Sx Px)，即存在 一x，或者x不是人，或者x有一千只手。 前一选言支真，所以原式真。
§3.2.2 关系命题的谓词表达式
（1）甲队打败乙队。 （2）乙队打败甲队。
（1）R(a,b)，读作：a和b有R关系 （2）R(b,a)，读作：b和a有R关系
§3.2.2 关系命题的谓词表达式
当关系命题的两个主词，一个是特定个体， （2）甲队打败所有对手。 另一个是某类中非特定个体时，关系命题的形 （3）有的对手打败甲队。 式有四种：
Fa：a是F。 R(a,b)：a和b有R关系。 R(a,b,c) 哥白尼是天文学家。 地球围绕太阳运行。 绍兴在杭州与宁波之间。
表示某个特定个体的个体词，叫做个体常项（ a，b，c，…）。谓词的对象只有一个，称作一元 谓词（F，G，…），两个称作二元谓词，…依此 类推，即可构成谓词公式。
§3.1 个体词、谓词和量词
x R(x,y,z) xFxGx x(Fxy(GyR(x,y)))
x (FxGx)
§3.1 个体词、谓词和量词
一切事物，它或者是有生命的，或者是没有生命的。
1. x (Fx Fx)
1´. x Fx x Fx
被量词约束了的个体变项为约束变项，不被 量词约束的个体变项为自由变项。 含有自由变项的公式是命题形式，无真假可 言。如：Fx 只含约束变项，不含自由变项的公式则是命 题。如： xFx（F：高等动物）
（4）甲队打败有的对手。 （1）x(SxR(x,a))，读作：所有S和a有R关系 （1）所有对手打败甲队。
（2）x(SxR(a,x)) ，读作：a和所有x有R关系
（3） x(SxR(x,a))，读作：有S和a有R关系 （4） x(SxR(a,x))，读作：a和有的S有R关系
§3.2.2 关系命题的谓词表达式
§3.1 个体词、谓词和量词
为了表示命题对象的数量，需要对个体变项加 以量化，即使用量词： 全称量词：，x 读作“任一x” 存在量词：， x 读作“存在x”或“至少有一x”
一切事物都是变化的（F）。 有的东西是劳动创造的（G）。 x Fx
x Gx
§3.1 个体词、谓词和量词
命题逻辑中的真值联结词（，，，， ），在谓词逻辑的命题符号化中也是必需的。 有了个体词、谓词、量词和联结词，才能将命题 符号化。