江苏省南通市通州区、启东市2021届高三第一学期第一次质量检测数学试卷
江苏启东中学2020-2021学年度第一学期高三数学检测试卷
2020/2021学年度第一学期质量检测试卷 高三数学 2020.09一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知命题:p x R ∃∈，使sin x =；命题:q x R ∀∈，都有210x x ++>.给出下列结论：①命题“p q ∧”是真命题 ②命题“p q ∧⌝”是假命题 ③命题“p q ⌝∨”是真命题 ④命题“p q ⌝∨⌝”是假命题其中正确的是 （ ） A ．①②③B ．②③C ．②④D ．③④2.设)2,4(=a ，),6(y b =，且//，则=y （ ） A ．3 B ．12 C ．12- D ．3-3.将函数()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位，所得的图象对应的函数解析式是 ( )A 、sin2y x =B 、cos2y x =C 、 2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D 、sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭4．已知集合P={65|<<-x x }，Q={065|2≤--x x x }，则P ⋂Q=____( )A 、{61|<<-x x }B 、{61|≤≤-x x }C 、{61|<≤-x x } D 、{61|≤<-x x }5.已知P 为抛物线C ：24y x 上一点，F 为C 的焦点，若4PF ，则ΔOPF 的面积为 ( )B. 3C. 46. f(x)与g(x)是定义在R 上的两个可导函数，若f(x)，g(x)满足，则f(x)与g(x)满足 ( )A ．f(x)＝g(x)B ．f(x)＝g(x)＝0C ．f(x)－g(x)为常数函数D ．f(x)＋g(x)为常数函数7．已知正四面体ABCD ，则AB 与平面BCD 所成角的余弦值为（ ）A.12 B. 23 C. 138．设锐角△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c ＝1，A ＝2C ，则△ABC 周长的取值范围为 （ ） A ．（0，2）B ．（0，3]C ．（2，3）D ．（2，3]二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9． 在100件产品中，有98件合格品，2件不合格品．从这100件产品中任意抽出3件，则下列结论正确的有 （ ）A ．抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法有12298C C 种 B ．抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法有12299C C 种 C ．抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有2212988129C C C C +种 D ．抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有3310098C C -种10．已知曲线C 1：y ＝2sin x ，C 2：2sin(2)3y x π=+，则 （ ）A ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平行移动6π个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，级坐标不变，再把得到的曲线向右平行移动56π个单位长度，得到曲线C 2 C ．把C 1向左平行移动3π个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到曲线C 2 D ．把C 1向左平行移动6π个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到曲线C 211.若函数()f x 对∀a ，b ∈R ，同时满足：（1）当a ＋b ＝0时有()()0f a f b +=；（2）当a ＋b ＞0时有()()0f a f b +>，则称()f x 为Ω函数．下列函数中是Ω函数的有 （ ）A ．()e e x x f x -=+B ．()e e x x f x -=-C ．()sin f x x x =-D ．00()10x f x x x=⎧⎪=⎨-≠⎪⎩，，12. 已知ABC ∆中，1=AB ,4=AC ,13=BC ,D 在BC 上，AD 为BAC ∠的角平分线，E 为AC 中点.下列结论正确的是 （ ）A.3=BEB.ABC ∆的面积为13C.534=AD D.P 在ABE ∆的外接圆上，则PE PB 2+的最大值为72三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，计20分13．设函数f （x ）（a ＞0且a ≠1），若f （2）＝4，则f （﹣2020）＝ 14.函数f (x )＝ln(－2x －3)的单调递减区间为______________15．已知集合2{|10},{|20}A x mx B x Z x x =-==∈+≤，若A B A =，则满足条件的实数m 的值为____ 。
江苏省南通市通州区、启东市2021届高三第一学期第一次质量检测数学试卷
2021届高三第一次质量检测数学一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.函数f(x)=√3—x +√x 的定义域为 ( )A. (1,3]B. [1,3]C. (-∞,1)D. [3,+∞)2.已知a,b,c,d ∈R ，则下列命题正确的是 ( )A.若a>b,n ∈N +，则a n > b nB.若a>b,c<d ，则a-c>b-dC.若a>b,c>d ，则ac>bdD.若a>b ，则1a <1b3.集合M={yly=8x+1,x ∈N,y ∈N}的非空子集个数是 ( ) A.3 B. 7 C.15 D.314.已知a=(12)−13,b= log 132 ,c=(13)12，则a,b,c 的大小关系是 ( ) A. a<b<c B. b<a<c C. c<a<b D. b<c<a 5.函数f(x)= (x —1x )cosx 在其定义域上的图象大致是 ( )6.函数f(x)=lnx — 2x —1x 的单调减区间为 ( )A. (1,+∞)B. (0,1)C. (—12,1)D. (-∞,— 12)和(1, +∞) 7.某种物体放在空气中冷却，如果原来的温度是θ1℃，空气的温度是θ0℃,那么t min后物体的温度θ(单位: ℃)满足: θ=θ0+(θ1-θ0)e−0.2t.若将物体放在15 ℃的空气中从62℃分别冷却到45 ℃和30℃所用时间为t1，t2，则t2−t1，的值为(取ln2=0.7，e=2.718... ) ( )A.-72B.-27C.72D,278.已知函数f(x)=lnx+ax ，∀m,n∈[1,2], m≠n时，都有f(m+1)−f(n−1)m−n>0，则实数a的取值范围是( )A. (一∞,1)B. (一∞,1]C. (一∞,2)D. (一∞,2]二、多项选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.9.下列命题正确的是( )A.“a>1”是“a2>1”的充分不必要条件B.“M>N”是“1gM>1gN”的必要不充分条件C.命题“∀x∈R，x2+1<0”的否定是“∃x∈R，使得x2+1<0”D.设函数f(x)的导数为f"(x)，则“f"(x0)=0”是“f(x)在x=x0处取得极值”的充要条件10.设a>b>0，则下列不等式一定成立的是( )A.ab −ba<0 B.2020a−b>1 C.2aba+b<√ab D.a b>b a11.定义在R上的奇函数f(x)满足f(1-x)=f(1+x)，则A.函数f(x)的图象关于原点对称B.函数f(x)的图象关于直线x=1对称C.函数f(x)是周期函数且对于任意x∈R，f(x+2)= f(x)成立D.当x∈(0,1]时，f(x)=e x-1，则函数f(x)在区间[1 + 4k,3+ 4k](k∈Z)上单调递减(其中e为自然对数的底数)12.已知函数f(x)=x n+4x n(n为正整数)，则下列判断正确的是( )A.函数f(x)始终为奇函数B.当n为偶数时，函数f(x)的最小值为4C.当n为奇数时，函数f(x)的极小值为4D.当n=1时，函数y= f(x)的图象关于直线y=2x对称三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数f(x)=[1x,0<x<12(x−1),x≥1,若f(a)= f(a+1),则实数a=___________14.若2s+3t=st(s>0,t>0)，则s+t 的最小值是___________15.已知偶函数f(x) (x≠0) 的导函数为f"(x)，f(e)=e，当x>0时，xf'(x)一2f(x)>0，则使f(x-1)>1e(x−1)2成立的x的取值范围是______(其中e为自然对数的底数) 16.校园内因改造施工，工人师傅用三角支架固定墙面(墙面与地面垂直) (如图)，现在一支架斜.杆长为16 dm，一端靠在墙上，另一端落在地面.上，则该支架斜杆与其在墙面和地面上射影所围成三角形周长的最大值为__________ dm; 现为调整支架安全性，要求前述直角三角形周长为30 dm，面积为30 dm2，则此时斜杆长度应设计为_________dm. (第一空2分，第二空3分. )四、解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. (本小题满分10分)在①A∩B=A,②A∩B≠∅,③B∈C R A这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的实数a存在，求a的取值范围;若不存在，说明理由.问题:已知集合A={x|x−ax+1<0,x∈R}，B= {x|log2(1-x)≤1,x∈R}，是否存在实数a，使得____________?注:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.18. (本小题满分12分)已知函数f(x)= x2+ax+b，a,b∈R,关于x的不等式f(x) <0的解集为(2,3).(1)求a,b的值;(2)求函数y= f(f(x))一2的所有零点之积.19. (本小题满分12分)设函数f(x)=-13x3+(k-1)x2+(k2-2k-3)x，x∈R，k∈R.(1)若函数f(x)为奇函数，求函数f(x)在区间[—3,3] 上的最值;(2)若函数f(x)在区间(0,2)内不单调，求实数k的取值范围.22. 20. (本小题满分12分)经验表明，在室温25°C下，85 °C开水冷至35 °C到40°C (温水)饮用对身体更有益.某研究人员每隔1min测量一次开水温度(如下表)，经过xmin后的温度为Y°C.现给出以下2个函数模型:①y=kx°+25(k∈R,0<a<l,x≥0);②y=k a x+25(k∈R,0<a<1,x≥0),其中a为温度衰减比例，计算公式为: a= (i∈N ).开水温度变化(1)请选择-一个恰当的函数模型描述x,y之间的关系，并求出k;(2)求a值( a保留0.01);(3)在25 °C室温下，85 °C开水至少大约放置多长时间(单位: min,保留整数)才能冷至到对身体有益温度? ( 参考数据:10.9216.6≈4,10.9221.5≈6)21. (本小题满分12分)已知函数f(x)=(x-2)lnx+x-1 .(1)求曲线y=f(x)在点P(1,f(1))处的切线方程;(2)已知x=x0是函数y=f(x)的极值点，若f(x1)=f(x2)，x1≠x2, x1,x2∈R，求证:x1+x2> 2x0(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)22. (本小题满分12分)已知函数f(x)=e x−1+ax，g(x)= bx-blnx,其中e为自然对数的底数，a, b∈R.(1)讨论函数f(x)在(0,+∞)上的单调性;(2)当a=0时，f(x)≥xg(x)对x> 0恒成立，求实数b的取值范围.。
江苏省南通等六市2021届高三第一次调研考试数学试题(word版含答案)
江苏省七市2021届高三第一次调研考试数学试题2021．2一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1．设集合A ＝{}N 26x x ∈<<，B ＝{}2log (1)2x x -<，则AB ＝A ．{}35x x ≤<B ．{}25x x <<C ．{3，4}D ．{3，4，5}2．已知2＋i 是关于x 的方程250x ax ++=的根，则实数a ＝A ．2﹣iB ．﹣4C ．2D ．43．哥隆尺是一种特殊的尺子，图1的哥隆尺可以一次性度量的长度为1，2，3，4，5，6．图2的哥隆尺不能一次性度量的长度为A ．11B ．13C ．15D ．174．医学家们为了揭示药物在人体内吸收、排出的规律，常借助恒速静脉滴注一室模型来进行描述，在该模型中，人体内药物含量x （单位：mg ）与给药时间t （单位：h ）近似满足函数关系式0(1e )kt kx k-=-，其中0k ，k 分别称为给药速率和药物消除速率（单位：mg/h ）．经测试发现，当t ＝23时，02kx k =，则该药物的消除速率k 的值约为（ln2≈0.69）A ．3100 B ．310 C ．103 D ．10035．(12)n x -的二项展开式中，奇数项的系数和为 A ．2nB ．12n - C ．(1)32n n -+ D ．(1)32n n--6．函数sin 21xy x π=-的图象大致为A B C D 7．已知点P 是△ABC 所在平面内点，有下列四个等式：甲：PA PB PC 0++=； 乙：PA (PA PB)PC (PA PB)⋅-=⋅-； 丙：PA PB PC ==； 丁：PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅． 如果只有一个等式不成立，则该等式为A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁8．已知曲线ln y x =在A(1x ，1y )，B(2x ，2y )两点处的切线分别与曲线e x y =相切于C(3x ，3y )，D(4x ，4y )，则1234x x y y +的值为A ．1B ．2C ．52D ．174二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9．已知m ，n 是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nB ．若m ∥α，m ⊥β，则α⊥βC ．若α∥β，m ⊥α，n ⊥β，则m ∥nD ．若α⊥β，m ∥α，n ∥β，则m ⊥n 10．已知函数()sin(2)6f x x π=-，则A ．()f x 的最小正周期为πB ．将sin 2y x =的图象上所有的点向右平移6π个单位长度，可得到()f x 的图象 C ．()f x 在(6π-，3π)上单调递增 D ．点(512π-，0)是()f x 图象的一个对称中心 11．若函数32, 1()1ln , 1x x m x f x x x x ⎧--++<=⎨+-≥⎩的值域为[2，+∞)，则A ．(3)(2)f f >B ．m ≥2C ．ln 21()()2ef f > D ．(1)log (1)log (2)m m m m ++>+ 12．冬末春初，乍暖还寒，人们容易感冒发热．若发生群体性发热，则会影响到人们的身体健康，干扰正常工作生产．某大型公司规定：若任意连续7天，每天不超过5人体温高于37.3℃，则称没有发生群体性发热，下列连续7天体温高于37.3℃人数的统计特征数中，能判定该公司没有发生群体性发热的为A ．中位数为3，众数为2B ．均值小于1，中位数为1C ．均值为3，众数为4D ．均值为2三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．在正项等比数列{}n a 中，若35727a a a =，则931log i i a =∑＝ ．14．已知双曲线C 的渐近线方程为y ＝±2x ，写出双曲线C 的一个标准方程： ． 15．“康威圆定理”是英国数学家约翰·康威引以为豪的研究成果之一．定理的内容是这样 的：如图，△ABC 的三条边长分别为BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ．延长线段CA 至点A 1，使得AA 1＝a ，以此类推得到点A 2，B 1，B 2，C 1和C 2，那么这六个点共圆，这个圆称为康威圆．已知a ＝4，b ＝3，c ＝5，则由△ABC 生成的康威圆的半径为 ．16．已知在圆柱O 1O 2内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．过直线O 1O 2的平面截圆柱得到四边形ABCD ， 第15题其面积为8．若P 为圆柱底面圆弧CD 的中点，则平面PAB 与球O 的交线长为 ． 四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）已知等差数列{}n a 满足1235n n a a n ++=+． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ．若∀n N *∈，24n S λλ<-+（λ为偶数），求λ的值．18．（本小题满分12分）在①()()b a c b a c ac +--+=；②cos(A ＋B)＝sin(A ﹣B)；③tanA B2+＝sinC 这三个条件中任选两个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求b 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在△ABC ，它的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝22， ， ？注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案解答计分．19．（本小题满分12分）2019 年4 月，江苏省发布了高考综合改革实施方案，试行“3＋1＋2”高考新模式．为调研新高考模式下，某校学生选择物理或历史与性别是否有关，统计了该校高三年级800名学生的选科情况，部分数据如下表：（1）根据所给数据完成上述表格，并判断是否有99.9%的把握认为该校学生选择物理或历史与性别有关；（2）该校为了提高选择历史科目学生的数学学习兴趣，用分层抽样的方法从该类学生中抽取5人，组成数学学习小组．一段时间后，从该小组中抽取3人汇报数学学习心得．记3人中男生人数为X，求X的分布列和数学期望E(X)．20．（本小题满分12分）如图，在正六边形ABCDEF中，将△ABF沿直线BF翻折至△A′BF，使得平面A′BF ⊥平面BCDEF，O，H分别为BF和A′C的中点．（1）证明：OH∥平面A′EF；（2）求平面A′BC与平面A′DE所成锐二面角的余弦值．21．（本小题满分12分）已知函数22ln ()xf x x a x=--． （1）若()0f x ≥，求实数a 的取值范围；（2）若函数()f x 有两个零点1x ，2x ，证明：121x x <．22．（本小题满分12分）已知点A ，B 在椭圆22221x y a b+=(a ＞b ＞0)上，点A 在第一象限，O 为坐标原点，且OA⊥AB ．（1）若a b ＝1，直线OA 的方程为x ﹣3y ＝0，求直线OB 的斜率； （2）若△OAB 是等腰三角形（点O ，A ，B 按顺时针排列），求ba的最大值．参考答案1．C 2．B 3．C 4．A 5．C 6．D 7．B 8．B 9．BC 10．ACD 11．ABD 12．BD13．9 14．2214y x -= 15 16 17．18．19．20．21．22．。
江苏省南通市2021届高三数学上学期初调研试题含解析
江苏省南通市2021届高三数学上学期期初调研试题（含解析）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1．记全集U ＝R ，集合A ＝{}216x x ≥，集合B ＝{}22x x ≥，则U (A)B ＝A ．[4，+∞)B ．(1，4]C ．[1，4)D ．(1，4)2．已知5log 2a =，7log 2b =，20.5a c -=，则a ，b ，c 的大小关系为A ．b ＜a ＜cB ．a ＜b ＜cC ．c ＜b ＜aD ．c ＜a ＜b3．若3cos()5αβ+=，5sin()413πβ-=，α，β∈(0，2π)，则cos()4πα+＝ A ．3365- B ．3365 C ．5665 D ．1665-4．我国即将进入双航母时代，航母编队的要求是每艘航母配2~3艘驱逐舰，1~2艘核潜艇.船厂现有5艘驱逐舰和3艘核潜艇全部用来组建航母编队，则不同的组建方法种数为 A ．30 B ．60 C ．90 D ．1205．函数()2sin()f x x ωϕ=+(ω＞0，ϕ＜π)的部分图像如图所示，且()f x 的图像过A(2π，1)，B(2π，﹣1)两点，为了得到()2sin g x x ω=的图像，只需将()f x 的图像 A ．向右平移56π B ．向左平移56π C ．向左平移512π D ．向右平移512π第5题 第6题6．《易经》是中国传统文化中的精髓，上图是易轻八卦图(含乾、坤、舞、震、坎、离、良、兑八卦)，每一卦由三根线组成( -表示一根阳线，--表示一根阴线)，从八卦中任取一卦，这一卦的三根线中恰有2根阳线和1根阴线的概率为 A ．18 B ．14 C ．38 D ．127．设F 1，F 2分别为双曲线C ：22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与圆O ：222x y a +=相切，l 与C 的渐近线在第一象限内的交点是P ，若PF 2⊥x 轴，则双曲线的离心率等于AB ．2 C．．48．对于函数()y f x =，若存在区间[a ，b ]，当x ∈[a ，b ]时的值域为[ka ，kb ](k ＞0)，则称()y f x =为k 倍值函数．若()e 2xf x x =+是k 倍值函数，则实数k 的取值范围是 A ．(e ＋1，+∞) B ．(e ＋2，+∞)C ．(1e e +，+∞) D ．(2e e+，+∞) 二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9．下列说法正确的是A ．将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a 后，方差也变为原来的a 倍B ．设有一个回归方程y ＝3﹣5x ，变量x 增加1个单位时，y 平均减少5个单位C ．线性相关系数r 越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱D ．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N(1，2σ)(σ＞0)，则P(ξ＞1)＝0.5 10．已知抛物线C ：22y px =过点P(1，1)，则下列结论正确的是 A ．点P 到抛物线焦点的距离为32B ．过点P 作过抛物线焦点的直线交抛物线于点Q ，则△OPQ 的面积为532C ．过点P 与抛物线相切的直线方程为x ﹣2y ＋1＝0D ．过P 作两条斜率互为相反数的直线交抛物线于点M ，N ，则直线MN 的斜率为定值 11．在△ABC 中，已知b cosC ＋c cosB ＝2b ，且111tan A tan B sin C+=，则 A ．a ，b ，c 成等比数列B ．sinA ：sinB ：sinC ＝2：1C ．若a ＝4，则S △ABCD ．A ，B ，C 成等差数列12．已知函数()ln f x x x =，若120x x <<，则下列选项正确的是A ．1212()()0f x f x x x -<- B ．1122()()x f x x f x +<+C ．2112()()x f x x f x <D ．当211ex x >>时，11222112()()()()x f x x f x x f x x f x +>+ 三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．高二某班共有60名学生，其中女生有20名，三好学生占全班人数的16，而且三好学生中女生占一半．现在从该班任选一名同学参加某一座谈会．则在已知没有选上女生的条件下，选上的是三好学生的概率为 ．14．曲线ln 1y x x =++的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为 ．15．已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ⋅的取值范围是 ． 16．椭圆与双曲线有相同的焦点F 1(﹣c ，0)，F 2(c ，0)，椭圆的一个短轴端点为B ，直线F 1B与双曲线的一条渐近线平行．若椭圆与双曲线的离心率分别为1e ，2e ，则12e e ＝ ；且22123e e +的最小值为 ．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）已知函数2()cos 2sin 1f x x x x =+-． （1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若(A)2f =，C ＝4π，c ＝2，求△ABC 的面积． 18．（本小题满分12分）2020年寒假是特殊的寒假，因为疫情全体学生只能在家进行网上在线学习，为了研究学生在网上学习的情况，某学校在网上随机抽取120名学生对线上教育进行调查，其中男生与女生的人数之比为11：13，其中男生30人对于线上教育满意，女生中有15名表示对线（1）完成2×2列联表，并回答能否有99%的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关”；（2）从被调查中对线上教育满意的学生中，利用分层抽样抽取8名学生，再在8名学生中抽取3名学生，作学习经验介绍，其中抽取男生的个数为ξ．求出ξ的分布列及期望值．附公式及表：22()n ad bc K -=，其中n a b c d =+++．19．（本小题满分12分）已知椭圆C 的中心在原点，其焦点与双曲线22221x y -=的焦点重合，点P(0)在椭圆C 上，动直线l ：y ＝kx ＋m 交椭圆于不同两点A ，B ，且OA OB 0⋅=(O 为坐标原点)．（1）求椭圆的方程；（2）讨论7m 2﹣12k 2是否为定值；若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 20．（本小题满分12分）已知函数2()fx x bx c =++，且()0f x ≤的解集为[﹣1，2]． （1）求函数()f x 的解析式；（2）解关于x 的不等式()2(1)mf x x m >--(m ≥0)； （3）设()31()2f x xg x +-=，若对于任意的1x ，2x ∈[﹣2，1]都有12()()g x g x M -≤，求M 的最小值． 21．（本小题满分12分）已知221()(ln )x f x a x x x -=-+． （1）讨论()f x 的单调性；（2）当a ＝1时，证明3()()2f x f x '>+对于任意的x ∈[1，2]成立． 22．（本小题满分12分）已知点P 是抛物线C 1：24y x =的准线上任意一点，过点P 作抛物线的两条切线PA 、PB ，其中A 、B 为切点．（1）证明：直线AB 过定点，并求出定点的坐标；（2）若直线AB 交椭圆C 2：22143x y +=于C 、D 两点，S 1，S 2分别是△PAB ，△PCD 的面积，求12S S 的最小值．江苏省南通市2021届高三上学期开学考试数学试题2020．9一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1．记全集U ＝R ，集合A ＝{}216x x ≥，集合B ＝{}22x x ≥，则U (A)B ＝A ．[4，+∞)B ．(1，4]C ．[1，4)D ．(1，4)答案：C解析：∵集合A ＝{}{}21644x x x x x ≥=≥≤-或，∴{}UA 44x x =-<<，又∵B ＝{}{}221x x x x ≥=≥，∴U (A)B ＝[1，4)，故选C ．2．已知5log 2a =，7log 2b =，20.5a c -=，则a ，b ，c 的大小关系为A ．b ＜a ＜cB ．a ＜b ＜cC ．c ＜b ＜aD ．c ＜a ＜b 答案：A解析：∵555log 2log 1<=，∴1a <，∴210.50.52a -->=，∴2c >，又57log 2log 2>，a b >，∴b ＜a ＜c ，故选A ．3．若3cos()5αβ+=，5sin()413πβ-=，α，β∈(0，2π)，则cos()4πα+＝ A ．3365- B ．3365 C ．5665 D ．1665-答案：C解析：∵α，β∈(0，2π)，∴αβ+∈(0，π)，4πβ-∈(4π-，4π)，∴4sin()5αβ+=，12cos()413πβ-=，∴cos()cos[()()]cos()cos()sin()444πππααββαββαβ+=+--=+-++3124556sin()451351365πβ-=⨯+⨯=，故选C ．4．我国即将进入双航母时代，航母编队的要求是每艘航母配2~3艘驱逐舰，1~2艘核潜艇.船厂现有5艘驱逐舰和3艘核潜艇全部用来组建航母编队，则不同的组建方法种数为 A ．30 B ．60 C ．90 D ．120 答案：B解析：有两种情况，①一艘航母配2搜驱逐舰和1搜核潜艇，另一艘航母配3搜驱逐舰和2搜核潜艇，②一艘航母配2搜驱逐舰和2搜核潜艇，另一艘航母配3搜驱逐舰和1搜核潜艇，2122535360C C C C +=，故选B ．5．函数()2sin()f x x ωϕ=+(ω＞0，ϕ＜π)的部分图像如图所示，且()f x 的图像过A(2π，1)，B(π，﹣1)两点，为了得到()2sin g x x ω=的图像，只需将()f x 的图像A ．向右平移56πB ．向左平移56πC ．向左平移512πD ．向右平移512π 答案：C解析：由题意知22T π=，T π=，∴ω＝2，2226k ππϕπ⨯+=+，526k ϕππ=-+， ∵ϕ＜π，∴56ϕπ=-，∴55()2sin(2)2sin 2()612f x x x ππ=-=-，故选C ．6．《易经》是中国传统文化中的精髓，上图是易轻八卦图(含乾、坤、舞、震、坎、离、良、兑八卦)，每一卦由三根线组成( -表示一根阳线，--表示一根阴线)，从八卦中任取一卦，这一卦的三根线中恰有2根阳线和1根阴线的概率为A ．18 B ．14 C ．38 D ．12 答案：C 解析：P ＝38，故选C ． 7．设F 1，F 2分别为双曲线C ：22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与圆O ：222x y a +=相切，l 与C 的渐近线在第一象限内的交点是P ，若PF 2⊥x 轴，则双曲线的离心率等于AB ．2 C．．4 答案：A解析：12tan P F F 2bc a a b c∠==，222b a =，223c a =，e =A ． 8．对于函数()y f x =，若存在区间[a ，b ]，当x ∈[a ，b ]时的值域为[ka ，kb ](k ＞0)，则称()y f x =为k 倍值函数．若()e 2xf x x =+是k 倍值函数，则实数k 的取值范围是 A ．(e ＋1，+∞) B ．(e ＋2，+∞) C ．(1e e +，+∞) D ．(2e e+，+∞) 答案：B解析：()e 2xf x x =+是单调增函数，故e 2e 2a b a ka b kb⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，故a ，b 是方程e 2xx kx +=的两个根，令()e (2)x g x k x =+-，()e (2)xg x k '=+-，当k ＞2，x ＝ln(2)k -时，()g x 有最小值为(ln(2))2(2)ln(2)0g k k k k -=----<，解得k ＞e ＋2，故选B ． 二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9．下列说法正确的是A ．将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a 后，方差也变为原来的a 倍B ．设有一个回归方程y ＝3﹣5x ，变量x 增加1个单位时，y 平均减少5个单位C ．线性相关系数r 越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱D ．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N(1，2σ)(σ＞0)，则P(ξ＞1)＝0.5 答案：BD解析：选项A ，方差变为原来的a 2倍，故A 错误；线性相关系数r 的绝对值越大，两个变量的线性相关性越强；线性相关系数r 的绝对值越接近0，线性相关性越弱，由此可见C 错误，故选BD ． 10．已知抛物线C ：22y px =过点P(1，1)，则下列结论正确的是 A ．点P 到抛物线焦点的距离为32B ．过点P 作过抛物线焦点的直线交抛物线于点Q ，则△OPQ 的面积为532C ．过点P 与抛物线相切的直线方程为x ﹣2y ＋1＝0D ．过P 作两条斜率互为相反数的直线交抛物线于点M ，N ，则直线MN 的斜率为定值 答案：BCD解析：∵抛物线C ：22y px =过点P(1，1)，∴12p =，∴2y x =，故该抛物线焦点坐标为(14，0)，准线方程为x ＝14-，故点P 到抛物线焦点的距离为54，故A 错误；△OPQ 的面积215442sin 3225p S θ===⨯，故B 正确；设过点P 的直线方程为1y kx k =+-，与抛物线联立并化简得210ky y k -+-=，14(1)0k k --=，解得k ＝12，故过点P 与抛物线相切的直线方程为x ﹣2y ＋1＝0，C 正确；设PM 的斜率为k ，则PN 的斜率为﹣k ，求得M(22(1)k k -，1k k -)，N(22(1)k k+，1k k +-)，求得MN 的斜率为12-，D 正确，故选BCD ． 11．在△ABC 中，已知b cosC ＋c cosB ＝2b ，且111tan A tan B sin C+=，则 A ．a ，b ，c 成等比数列B ．sinA ：sinB ：sinC ＝2：1C ．若a ＝4，则S △ABCD ．A ，B ，C 成等差数列答案：BC 解析：由111tan A tan B sin C +=得，cos cos 1sin sin sin A B A B C+=，2sin sin sin A B C =，故ab ＝c 2，故a ，c ，b 成等比数列，故A 错误；∵b cosC ＋c cosB ＝2b ，∴a ＝2b ，又ab ＝c 2，∴cb ，∴a ：b ：c ＝2：1，∴sinA ：sinB ：sinC ＝2：1，故B正确；cosC ＝222412322214a b c ab +-+-==⨯⨯，sinC＝，∴S ＝11sin 422a b C ⨯⨯=⨯⨯2=，故C 正确；cosB＝22228a c b ac +-==，故B ≠60°，故D 错误，故选BC ． 12．已知函数()ln f x x x =，若120x x <<，则下列选项正确的是A ．1212()()0f x f x x x -<- B ．1122()()x f x x f x +<+C ．2112()()x f x x f x <D ．当211ex x >>时，11222112()()()()x f x x f x x f x x f x +>+ 答案：CD解析：首先注意到函数()ln f x x x =，在(0，1e )单调递减，在(1e，+∞)单调递增，故A 错误，112221121112()()()()()[()()]0x f x x f x x f x x f x x x f x f x +>+⇒-->，故D 正确；令()()ln g x f x x x x x =+=+，不是单调函数，故B 错误；令()()ln f x h x x x==，是单调增函数，故C 正确，故选CD ． 三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．高二某班共有60名学生，其中女生有20名，三好学生占全班人数的16，而且三好学生中女生占一半．现在从该班任选一名同学参加某一座谈会．则在已知没有选上女生的条件下，选上的是三好学生的概率为 ． 答案：18解析：P ＝51408=． 14．曲线ln 1y x x =++的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为 ． 答案：2y x =解析：ln 1y x x =++，11y x'=+，设切点横坐标为0x ，001121x x +=⇒=，所以切点(1，2)，故切线方程为22(1)y x -=-，即2y x =．15．已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ⋅的取值范围是 ． 答案：(﹣2，6)解析：点P 与点F 重合时，AP AB ⋅有最小值为﹣2，当点P 与点C 重合时，AP AB ⋅有最大值为6，故AP AB ⋅的取值范围是(﹣2，6)．16．椭圆与双曲线有相同的焦点F 1(﹣c ，0)，F 2(c ，0)，椭圆的一个短轴端点为B ，直线F 1B与双曲线的一条渐近线平行．若椭圆与双曲线的离心率分别为1e ，2e ，则12e e ＝ ；且22123e e +的最小值为 ．答案：1；解析：设椭圆方程为2222111x y a b +=，双曲线方程为2222221x y a b -=，则由直线F 1B 与双曲线的一条渐近线平行，得222222212121222222222211b b b b a c c a e c a c a c a e --=⇒=⇒=⇒=，∴12e e ＝1；所以2212123e e e +≥=21223e e ⎧=⎪⎨⎪=⎩取等号．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）已知函数2()cos 2sin 1f x x x x =+-． （1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若(A)2f =，C ＝4π，c ＝2，求△ABC 的面积．解：（1）∵()221f x sin x =+-=x ﹣cos2x＝2sin （2x 6π-）， 令2k π2π-≤2x 6π-≤2k π2π+，k ∈Z ，解得k π6π-≤x ≤k π3π+，k ∈Z ，∴函数f （x ）的单调递增区间为：[k π6π-，k π3π+]，k ∈Z ．（2）∵f （A ）＝2sin （2A 6π-）＝2， ∴sin （2A 6π-）＝1， ∵A ∈（0，π），2A 6π-∈（6π-，116π），∴2A 62ππ-=，解得A 3π=，∵C 4π=，c ＝2，∴由正弦定理sin a b sinA B =，可得2sin sin 1c B b sinC ππ⎛⎫⨯+ ⎪⋅===+∴S △ABC12=ab sinC 12=（1=． 18．（本小题满分12分）2020年寒假是特殊的寒假，因为疫情全体学生只能在家进行网上在线学习，为了研究学生在网上学习的情况，某学校在网上随机抽取120名学生对线上教育进行调查，其中男生与女生的人数之比为11：13，其中男生30人对于线上教育满意，女生中有15名表示对线（1）完成2×2列联表，并回答能否有99%的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关”；（2）从被调查中对线上教育满意的学生中，利用分层抽样抽取8名学生，再在8名学生中抽取3名学生，作学习经验介绍，其中抽取男生的个数为ξ．求出ξ的分布列及期望值．附公式及表：22()n ad bc K -=，其中n a b c d =+++．解：（1）因为男生人数为：120551113⨯=+，所以女生人数为1205565-=，于是可完成22⨯列联表，如下： 根据列联表中的数据，得到2K 的观测值2120(30152550)960 6.713 6.63555658040143k ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，所以有99%的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关”（2）由（1）可知男生抽3人，女生抽5人，依题可知ξ的可能取值为0,1,2,3，并且ξ服从超几何分布，()()335380,1,2,3k kC C P k k C ξ-===，即 3215533388515(0),(1)2828C C C P P C C ξξ======, 1235333388151(2),(3)5656C C C P P C C ξξ======. 可得分布列为可得5151519()0123282856568E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=.19．（本小题满分12分）已知椭圆C 的中心在原点，其焦点与双曲线22221x y -=的焦点重合，点P(0)在椭圆C 上，动直线l ：y ＝kx ＋m 交椭圆于不同两点A ，B ，且OA OB 0⋅=(O 为坐标原点)．（1）求椭圆的方程；（2）讨论7m 2﹣12k 2是否为定值；若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 解：（1）因为双曲线22221xy -=的焦点为()1,0，所以在椭圆C 中1c =，设椭圆C 的方程为()2222110y x a a a +=>-，由点(P 在椭圆C 上得2311a =-，解得242a a =⇒=，则b == 所以椭圆C 的方程为22143x y +=（2）22712m k -为定值，理由如下：设()()1122,,,A x y B x y ，由0OA OB ⋅=可知12120x x y y +=，联立方程组()222223484120143y kx mk x mkx m x y =+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩， 由()()2222644344120m k km∆=-+->得2234m k <+，21212228412,3434km m x x x x k k -+=-=++，① 由12120x x y y +=及y kx m =+得()()12120x x kx m kx m +++=， 整理得()()22121210kx xkm x x m ++++=，将①式代入上式可得()222224128103434m kmk km m k k-+⋅-⋅+=++， 同时乘以234k +可化简得()()222222214128340kmk m m m k +--++=，所以22712=12m k -，即22712m k -为定值.20．（本小题满分12分）已知函数2()f x x bx c =++，且()0f x ≤的解集为[﹣1，2]． （1）求函数()f x 的解析式；（2）解关于x 的不等式()2(1)mf x x m >--(m ≥0)； （3）设()31()2f x x g x +-=，若对于任意的1x ，2x ∈[﹣2，1]都有12()()g x g x M -≤，求M 的最小值．解：（1）因为()0f x ≤的解集为[1,2]-，所以20x bx c ++=的根为1-，2， 所以1b -=，2c =-，即1b =-，2c =-；所以2()2f x x x =--；（2）()2(1)mf x x m >--，化简有2(2)2(1)m x x x m -->--，整理(2)(1)0mx x -->，所以当0m =时，不等式的解集为(,1)-∞， 当02m <<时，不等式的解集为2(,1),m ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭， 当2m =时，不等式的解集为(,1)(1,)-∞+∞，当2m >时，不等式的解集为()2(,)1,m-∞+∞，（3）因为[2,1]x ∈-时2()3123f x x x x +-=+-，根据二次函数的图像性质，有2()3123[4,0]f x x x x +-=+-∈-，则有2()3123()22f x x xx g x +-+-==，所以，1(),116g x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 因为对于任意的12,[2,1]x x ∈-都有12|()()|g x g x M -≤， 即求12|()()|Max g x g x M -≤，转化为()()Max Min g x g x M -≤， 而()(1)1Max g x g ==，1()(1)16Min g x g =-=，所以， 此时可得1516M ≥， 所以M 的最小值为1516.21．（本小题满分12分）已知221()(ln )x f x a x x x-=-+． （1）讨论()f x 的单调性；（2）当a ＝1时，证明3()()2f x f x '>+对于任意的x ∈[1，2]成立． 解：（1）的定义域为；223322(2)(1)'()a ax x f x a x x x x--=--+=. 当，时，'()0f x >，单调递增；(1,),'()0x f x ∈+∞<时，单调递减.当时，3(1)22'()()()a x f x x x x a a-=+-. ① ，，当或x ∈时，'()0f x >，单调递增；当x ∈时，'()0f x <，单调递减；②时，，在x ∈内，'()0f x ≥，单调递增；③ 时，，当或x ∈时，'()0f x >，单调递增；当x ∈时，'()0f x <，单调递减.综上所述， 当时，函数在内单调递增，在内单调递减；当时，在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增； 当时，在内单调递增；当，在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增.（2）由（Ⅰ）知，时，22321122()'()ln (1)x f x f x x x x x x x --=-+---+23312ln 1x x x x x=-++--，，令，.则()'()()()f x f x g x h x -=+， 由1'()0x g x x-=≥可得，当且仅当时取得等号.又24326'()x x h x x --+=，设，则在x ∈单调递减，因为， 所以在上存在使得时，时，，所以函数()h x 在上单调递增；在上单调递减，由于，因此，当且仅当取得等号，所以3()'()(1)(2)2f x f xg h->+=，即3()'()2f x f x>+对于任意的恒成立22．（本小题满分12分）已知点P是抛物线C1：24y x=的准线上任意一点，过点P作抛物线的两条切线PA、PB ，其中A、B为切点．（1）证明：直线AB过定点，并求出定点的坐标；（2）若直线AB交椭圆C2：22143x y+=于C、D两点，S1，S2分别是△PAB，△PCD的面积，求12SS的最小值．解：（1）证明：设点()11,A x y、()22,B x y，则以A为切点的切线方程为()1112y y x xy-=-，即()112y y x x=+，同理以B为切点的切线方程为()222y y x x=+，两条切线均过点()1,P t-，()()11222121ty xty x⎧=-+⎪∴⎨=-+⎪⎩，即1122220220x tyx ty--=⎧⎨--=⎩，所以，点A、B的坐标满足直线220x ty--=的方程，所以，直线AB的方程为220x ty--=，在直线AB的方程中，令0y=，可得1x=，所以，直线AB过定点()1,0；（2）设点P 到直线AB 的距离为d ，则1212PAB PCDd AB AB S S CD d CD ⋅==⋅△△. 由题意可知，直线AB 不与x 轴重合，可设直线AB 的方程为1x my =+，设()33,C x y 、()44,D x y ，由241y x x my ⎧=⎨=+⎩，得2440y my --=，()21610m ∆=+>恒成立，由韦达定理得124y y m +=，124y y =-，由弦长公式可得()21241AB y m =-==+由221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()2234690m y my ++-=，()()22236363414410m m m ∆=++=+>恒成立.由韦达定理得342634m y y m +=-+，342934y y m =-+，由弦长公式得()234212134m CD y m +=-==+.()()2222241344433312134PAB PCD m AB S m m S CD m m ++∴====+≥++△△，当且仅当0m =时，等号成立.因此，12S S 的最小值为43.。
2021届江苏省南通市高三年级第一次调研测试数学(理)试题Word版含解析
2021届江苏省南通市高三年级第一次调研测试数学（理）试题一、填空题1．已知集合{}1,0,A a =-， {}0,B a =.若B A ⊆,则实数a 的值为__________． 【答案】1【解析】∵B A ⊆， ∴a A ∈． ∴a a =，解得1a =或0a =（舍去）． 答案：12．[2018·南通调研]已知复数，其中为虚数单位，则复数的实部为_________．【答案】【解析】 ，所以复数的实部为3．已知某校高一、高二、高三的学生人数分别为400， 400， 500.为了解该校学生的身高情况，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为65的样本，则应从高三年级抽取_________名学生. 【答案】25【解析】由分层抽样得应从高三年级抽取50065=25400+400+500⨯名学生4．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为_________.【答案】10【解析】执行循环得=2,3;=5,5;=10,5;S i S i S i === 结束循环，输出=10S5．某同学欲从数学建模、航模制作、程序设计和机器人制作4个社团中随机选择2个，则数学建模社团被选中的概率为_________.【答案】12【解析】从4个社团中随机选择2个，有6种选法，其中数学建模社团被选中的选法有3种选法，所以概率为31=626．若实数,x y 满足1,{3, 10,x y x y ≥≤--≤则2x y -的最大值为________. 【答案】5【解析】作可行域，如图，则直线2x y z -=过点A(4,3)时z 取最大值5点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.7．在平面直角坐标系xOy 中，已知点F 为抛物线28y x =的焦点，则点F 到双曲线221169x y -=的渐近线的距离为________.【答案】65【解析】()2,0F , 双曲线221169x y -=的渐近线为340x y ±=，距离为|32+0|6=55⨯8．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若21a =， 8646a a a =+，则3a 的值为_________. 3【解析】由8646a a a =+得4223263,3,3q q q q a a q =+∴====9．在平面直角坐标系xOy 中，将函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移ϕ 02πϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位长度.若平移后得到的图像经过坐标原点，则ϕ的值为_________. 【答案】6π【解析】函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移ϕ 02πϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位得sin 223y x πϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，因为过坐标原点，所以()-2036226k k k Z πππππϕπϕϕϕ+=∈∴=-<<∴=点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言. 函数()()sin y A x x R ωϕ=+∈是奇函数()πk k Z ϕ⇔=∈；函数()()sin y A x x R ωϕ=+∈是偶函数()ππ+2k k Z ϕ⇔=∈；函数()()cos y A x x R ωϕ=+∈是奇函数()ππ+2k k Z ϕ⇔=∈；函数()()cos y A x x R ωϕ=+∈是偶函数()πk k Z ϕ⇔=∈.10．若曲线ln y x x =在1x =与x t =处的切线互相垂直，则正数t 的值为_________. 【答案】2e -【解析】因为ln 1y x '=+ ，所以()()2ln11ln 11ln 2,t t t e -++=-∴=-=11．11．如图，铜质六角螺帽毛胚是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的.已知正六棱柱的底面边长、高都为，圆柱的底面积为.若将该螺帽熔化后铸成一个高为的正三棱柱零件，则该正三棱柱的底面边长为_________.（不计损耗）【答案】【解析】设正三棱柱的底面边长为 ，则12．如图，已知矩形的边长，.点， 分别在边，上，且，则的最小值为_________.【答案】【解析】以A 坐标原点，AB,AD 所在直线为x,y 轴建立直角坐标系，设所以因为，所以因为 ，所以因此点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.13．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()4,0A -， ()0,4B ，从直线AB 上一点P 向圆224x y +=引两条切线PC ， PD ，切点分别为C ， D .设线段CD 的中点为M ，则线段AM 长的最大值为_________. 【答案】32【解析】由射影定理得2224OD OM OP OM OP =⋅∴⋅==设()()1111,,,4,4y y M x y P x y x x ==∴= 2214x y x x+∴=因为11144x y +=- ，所以11x 1,44x yx +⋅=- 14x x y x=- 所以2222221114400,+-222x y y x x y y x x y y x+⎛⎫⎛⎫∴=->∴+-+=+= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭因此线段AM =点睛：求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：①直接法：直接根据题目提供的条件列出方程． ②定义法：根据圆、直线等定义列方程． ③几何法：利用圆的几何性质列方程．④代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．14．已知函数()()221,{ ,x ax a f x ln x --+=- 0,0,x x ≥< ()212g x x a =+-，若函数()()y f g x =有4个零点，则实数a 的取值范围是__________．【答案】()1,⎫⋃+∞⎪⎪⎝⎭【解析】由题意得()()min 01,12f a g x a =-=-．（1）当1a >时， ()()2010,410f a a a =-∆=+-，如图，函数()y f x =有2个零点，即11x =-，20x >．又()min 120g x a =-<，故方程2121220x a x a =-+=->和方程22210x a x =-+>各有两个解， ∴方程()0g x =有4个解．∴函数()()y f g x =有4个零点．故1a >满足题意．（2）当1a =时， ()00,40f =∆=>，如图，函数()y f x =有3个零点，即11x =-， 20x >，30x >．又()min 10g x =-<，结合（1）中的方法可得方程()211,2,3i x x i =+=有5个解． ∴函数()()y f g x =有5个零点．故1a =不满足题意．（3）当1a <时， ()010f a =->， ①若()2410a a ∆=+->，即5112a -<<时，如图，函数()y f x =有3个零点，即11x =-， 20x >， 30x >．又()min 121g x a =->-，故当11x =-时，方程2220x a =-<无解． 所以要是函数()()y f g x =有4个零点，需满足()12{120a af a -<->，解得113a <<，故5112a -<<．②当512a -≤时，结合图象可得，函数()()y f g x =不会有4个零点． 综上可得5112a -<<或1a >． 故实数a 的取值范围是()51,11,2⎛⎫-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭． 答案： ()51,11,2⎛⎫-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．二、解答题15．如图，在三棱锥P ABC -中， AB PC ⊥， CA CB =， M 是AB 的中点.点N 在棱PC 上，点D 是BN 的中点.求证：（1）//MD 平面PAC ； （2）平面ABN ⊥平面PMC .【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】试题分析：（1）根据三角形中位线性质得//MD AN ，再根据线面平行判定定理得结论（2）由等腰三角形性质得AB MC ⊥，再由已知AB PC ⊥，以及线面垂直判定定理得AB ⊥平面PMC .最后根据面面垂直判定定理得结论试题解析：（1）在ABN ∆中， M 是AB 的中点， D 是BN 的中点， 所以//MD AN .又因为AN ⊂平面PAC ， MD ⊄平面PAC ， 所以//MD 平面PAC .（2）在ABC ∆中， CA CB =， M 是AB 的中点， 所以AB MC ⊥，又因为AB PC ⊥， PC ⊂平面PMC ， MC ⊂平面PMC ， PC MC C ⋂=，所以AB ⊥平面PMC .又因为AB ⊂平面ABN ， 所以平面ABN ⊥平面PMC .16．在ABC ∆中，角A ， B ， C 所对的边分别是a ， b ， c ，且222a b c bc =+-， 15a =. （1）求sin B 的值；（2）求cos 12C π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【答案】（152）10 【解析】试题分析：（1）根据余弦定理得3A π=.再根据正弦定理得sin B 的值（2）根据同角三角函数平方关系得cos B ，再根据三角形内角关系以及两角差余弦公式得结果试题解析：（1）在ABC ∆中，根据余弦定理及222a b c bc =+-得， 2221cos 22b c a A bc +-==. 又因为()0,A π∈，所以3A π=.在ABC ∆中，由正弦定理sin sin a bA B =得， sin sin bB A a =3515==. （2）因为15a b =>，所以A B >，即得03B π<<. 又5sin 5B =，所以225cos 1sin 5B B =-=. 在ABC ∆中， A B C π++=，所以cos cos 1212C A B πππ⎛⎫⎛⎫+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ cos 4B π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ cos cos sin sin 44B B ππ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭252525252⎛⎫=-⨯-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭ 1010=-. 17．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221x y a b+= (0)a b >>的离心率为22，两条准线之间的距离为42.（1）求椭圆的标准方程；（2）已知椭圆的左顶点为A ，点M 在圆2289x y +=上，直线AM 与椭圆相交于另一点B ，且AOB ∆的面积是AOM ∆的面积的2倍，求直线AB 的方程.【答案】（1）22142x y +=（2）220x y ++=， 220x y -+= 【解析】试题分析：（1）根据两条准线之间的距离为22a c，联立离心率条件解得2a =， 2c =2b =.（2）由面积关系得M 为AB 中点，由直线AB 点斜式方程与椭圆方程联立解得B 坐标，由中点坐标公式得M 坐标，代入圆方程解得直线AB 斜率试题解析：（1）设椭圆的焦距为2c ，由题意得， 22c a =，2242a c= 解得2a =， 2c =2b =所以椭圆的方程为22142x y +=. （2）方法一：因为2AOB AOM S S ∆∆=， 所以2AB AM =，所以点M 为AB 的中点.因为椭圆的方程为22142x y +=，所以()2,0A -.设()00,M x y ，则()0022,2B x y +.所以220089x y +=①，()()2200222142x y ++=②， 由①②得20918160x x --=， 解得023x =-， 083x =（舍去）.把023x =-代入①，得023y =±，所以12AB k =±，因此，直线AB 的方程为()122y x =±+即220x y ++=， 220x y -+=.方法二：因为2AOB AOM S S ∆∆=，所以2AB AM =，所以点M 为AB 的中点. 设直线AB 的方程为()2y k x =+.由()221,{ 422,x y y k x +==+得()2222128840k x k x k +++-=， 所以()()22212420x k x k ⎡⎤+++-=⎣⎦，解得222412B k x k -=+，所以()2224212B M x k x k +--==+， ()22212M M ky k x k =+=+， 代入2289x y +=得2222242812129k k k k ⎛⎫-⎛⎫+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， 化简得422820k k +-=， 即()()2272410k k +-=，解得12k =±， 所以，直线AB 的方程为()122y x =±+即220x y ++=， 220x y -+=.18．如图，某小区中央广场由两部分组成，一部分是边长为80cm 的正方形ABCD ，另一部分是以AD 为直径的半圆，其圆心为O .规划修建的3条直道AD ， PB ， PC 将广场分割为6个区域：Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ为绿化区域（图中阴影部分），Ⅱ、Ⅳ、Ⅵ为休闲区域，其中点P 在半圆弧上， AD 分别与PB ， PC 相交于点E ， F .（道路宽度忽略不计）（1）若PB 经过圆心，求点P 到AD 的距离；（2）设POD θ∠=， 0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.①试用θ表示EF 的长度；②当sin θ为何值时，绿化区域面积之和最大. 【答案】（1）5m （2）①最小值为)2640021m ②当sin 222θ=时，绿化区域Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ的面积之和最大【解析】试题分析：（1）先建立直角坐标系，联立直线OB 方程与圆方程解得P 点纵坐标，即得点P 到AD 的距离；（2）①先求点P 到AD 的距离为40sin θ，再根据三角形相似得EF 的长度；②根据三角形面积公式求三个三角形面积，再用总面积相减得绿化区域面积，最后利用导数求函数最值试题解析：以AD 所在直线为x 轴，以线段AD 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系. （1）直线PB 的方程为2y x =， 半圆O 的方程为22240x y += ()0y ≥， 由()2222,{400,y x x y y =+=≥得5y =所以，点P 到AD 的距离为165m .（2）①由题意，得()40cos ,40sin P θθ. 直线PB 的方程为()sin 28040cos 1y x θθ++=++，令0y =，得80cos 8040sin 2E x θθ+=-+ 80cos 40sin sin 2θθθ-=+. 直线PC 的方程为()sin 28040cos 1y x θθ-+=--，令0y =，得80cos 8040sin 2F x θθ-=++ 80cos 40sin sin 2θθθ+=+. 所以， EF 的长度为 ()F E f x x θ=- 80sin sin 2θθ=+， 0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.②区域Ⅳ、Ⅵ的面积之和为1180sin 80802sin 2S θθ⎛⎫=⨯-⨯ ⎪+⎝⎭ 6400sin 2θ=+， 区域Ⅱ的面积为2140sin 2S EF θ=⨯⨯ 180sin 40sin 2sin 2θθθ⎛⎫=⨯⨯ ⎪+⎝⎭ 21600sin sin 2θθ=+， 所以2121600sin 6400sin 2S S θθ++=+ (0)2πθ<<.设sin 2t θ+=，则23t <<，()212160026400t S S t-++=.816004t t ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭()16004≥ )64001=-.当且仅当t =sin 2θ=时“=”成立.所以，休闲区域Ⅱ、Ⅳ、Ⅵ的面积12S S +的最小值为)264001m .答：当sin 2θ=时，绿化区域Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ的面积之和最大.19．已知函数()32g x x ax bx =++ (),a b R ∈有极值，且函数()()x f x x a e =+的极值点是()g x 的极值点，其中e 是自然对数的底数.（极值点是指函数取得极值时对应的自变量的值） （1）求b 关于a 的函数关系式；（2）当0a >时，若函数()()()F x f x g x =-的最小值为()M a ，证明： ()73M a <-.【答案】（1）243b a a =---， 32a ⎛⎫≠- ⎪⎝⎭（2）见解析【解析】试题分析：（1）先分别求两函数极值点，再根据条件得b 关于a 的函数关系式；最后求自变量取值范围（2）先研究()F x 导函数零点情况，仅有一个零点，再根据导函数符号变化规律确定最小值，最后再利用导数求最小值函数单调性，根据单调性证明不等式 试题解析：（1）因为()()'x x f x e x a e =++ ()1x x a e =++，令()'0f x =，解得1x a =--.所以1x a =--时， ()f x 取得极小值. 因为()2'32g x x ax b =++，由题意可知()'10g a --=，且24120a b ∆=-> 所以()()231210a a a b --+--+=， 化简得243b a a =---，由2412a b ∆=- ()()2412130a a a =+++>，得32a ≠-. 所以243b a a =---， 32a ⎛⎫≠- ⎪⎝⎭.（2）因为()()()F x f x g x =- ()()32x x a e x ax bx =+-++，所以()()()'''F x f x g x =- ()()()213213x x a e x ax a a ⎡⎤=++-+-++⎣⎦()()()1133x x a e x a x a =++-++-- ()()133x x a e x a =++-++记()33x h x e x a =-++，则()'3x h x e =-，令()'0h x =，解得ln3x =.所以ln3x =时， ()h x 取得极小值，也是最小值， 此时， ()ln3ln33ln33h ea =-++ 63ln3a =-+ ()32ln3a =-+ 23ln 03e a a ⎛⎫=+>> ⎪⎝⎭.令()'0F x =，解得1x a =--.所以1x a =--时， ()F x 取得极小值，也是最小值.所以()()1M a F a =--= ()()()()()3211111a a e a a a b a -------+--+--()()2112a e a a --=--++.令1t a =--，则1t <-，记()()21t m t e t t =--- 32t e t t =-+-， 1t <-， 则()2'32t m t e t t =-+-， 1t <-. 因为10t e e --<-<， 2325t t ->， 所以()'0m t >，所以()m t 单调递增.所以()172233t m t e -<--<--=-，所以()73M a <-.点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数()()()h x f x g x =-.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.20．若数列{}n a 同时满足：①对于任意的正整数n ， 1a n a a +≥恒成立；②对于给定的正整数k ，2n k n k n a a a -++=对于任意的正整数()n n k >恒成立，则称数列{}n a 是“()R k 数列”.（1）已知22,,{2,,n n n a n n -=为奇数为偶数判断数列{}n a 是否为“()2R 数列”，并说明理由；（2）已知数列{}n b 是“()3R 数列”，且存在整数(1)p p >，使得33p b -， 31p b -， 31p b +， 33p b +成等差数列，证明： {}n b 是等差数列.【答案】（1）是（2）见解析【解析】试题分析：（1）根据定义验证两个条件是否成立，由于函数为分段函数，所以分奇偶分别验证（2）根据定义数列隔项成等差，再根据单调性确定公差相等，最后求各项通项，根据通项关系得数列{}n b 通项，根据等差数列证结论试题解析：（1）当n 为奇数时， ()()1212130n n a a n n +-=+--=>，所以1n n a a +≥.22n n a a -++= ()()()2212212212n n n n a --++-=-=.当n 为偶数时， ()121210n n a a n n +-=+-=>，所以1n n a a +≥.22n n a a -++= ()()222242n n n n a -++==.所以，数列{}n a 是“()2R 数列”. （2）由题意可得： 332n n n b b b -++=，则数列1b ， 4b ， 7b ， ⋅⋅⋅是等差数列，设其公差为1d ， 数列2b ， 3b ， 8b ， ⋅⋅⋅是等差数列，设其公差为2d ， 数列3b ， 6b ， 9b ， ⋅⋅⋅是等差数列，设其公差为3d . 因为1n n b b +≤，所以313234n n n b b b +++≤≤， 所以()1122111b nd b nd b n d +≤+≤++，所以()2112n d d b b -≥-①，()21121n d d b b d -≤-+②. 若210d d -<，则当1221b b n d d ->-时，①不成立； 若210d d ->，则当12121b b d n d d -+>-时，②不成立；若210d d -=，则①和②都成立，所以12d d =.同理得： 13d d =，所以123d d d ==，记123d d d d ===. 设31333131p p p p b b b b --+--=- 3331p p b b λ++=-=， 则()()()313231311n n p p b b b n p d b n p d ---+-=+--+--3131p p b b d d λ-+=-+=-.同理可得： 331313n n n n b b b b d λ-+-=-=-，所以1n n b b d λ+-=-. 所以{}n b 是等差数列.【另解】3133p p b b λ--=- ()()()2312b p d b p d =+--+- 23b b d =-+，3131p p b b λ+-=- ()()12121b pd b p d b b d =+-+-=-+， 3331p p b b λ++=- ()3131b pd b pd b b =+-+=-，以上三式相加可得： 32d λ=，所以23d λ=， 所以()3211n b b n d -=+- ()13213db n =+-+，()3121n b b n d -=+- ()11b d n d λ=+-+- ()13113db n =+--，()331n b b n d =+- ()11b n d λ=++- ()1313db n =+-，所以()113n d b b n =+-，所以13n n db b +-=，所以，数列{}n b 是等差数列. 21．如图，已知的半径为，的半径为，两圆外切于点.点为上一点，与切于点.若，求的长.【答案】【解析】试题分析： 作辅助线，即延长交与点，连结，，，则过点．则得，然后证得，根据相似三角形的性质可得，从而可求得.试题解析： 延长交与点，连结，，，则过点．由切割线定理得：.因为，与均为等腰三角形，所以，所以，所以，即.又，所以.22．已知R x ∈，向量01⎡⎤⎢⎥⎣⎦是矩阵1[ 0A = 2x ⎤⎥⎦的属于特征值λ的一个特征向量，求λ与1A -.【答案】2λ=， 11[ 0A -= 012⎤⎥⎥⎦【解析】试题分析：由向量01⎡⎤⎢⎥⎣⎦是矩阵1[ 0A = 2x ⎤⎥⎦的属于特征值λ的一个特征向量可得1[ c 2x ⎤⎥⎦ 00121x λ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，由此可求得,x λ，从而可得A ，然后根据逆矩阵的定义并由待定系数法求得1A -． 试题解析：由已知得1[ c 2x ⎤⎥⎦ 00121x λ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以2,{0.x λ==所以1[ 0A = 02⎤⎥⎦.设1[ a A c -= b d ⎤⎥⎦，则11[ 0AA -= 0[ 2a c ⎤⎥⎦ b d ⎤⎥⎦ 1[ 0= 01⎤⎥⎦，即[ 2ac 1[ 20bd ⎤=⎥⎦ 01⎤⎥⎦.解得1a =， 0b c ==， 12d =， 所以11[ 0A -= 012⎤⎥⎥⎦.综上2λ=， 11[ 0A -= 012⎤⎥⎥⎦.23．在平面直角坐标系xOy 中，直线y x =与曲线21,{ 1x t y t =-=-（t 为参数）相交于A ， B 两点，求线段AB 的长.【解析】试题分析：先把曲线的参数方程化成普通方程，然后将曲线方程和直线方程联立解方程组，从而得到点A ， B 的坐标，再用两点间的距离公式求解． 试题解析： 由21,{1x t y t =-=-消去参数t 得22y x x =+，所以曲线的普通方程为22y x x =+. 解方程组2,{2,y x y x x ==+得0,{x y ==或1,{1,x y =-=-所以()0,0A ， ()1,1B --， 所以AB ==即线段AB ．24．已知1a >， 1b >，求2211b a a b +--的最小值. 【答案】8【解析】试题分析：根据基本不等式得()24141b a b a +-≥-， ()24141a b a b +-≥-，再两式相加即得22811b a a b +≥--.即可得最小值 试题解析：因为1a >， 1b >，所以()24141b a b a +-≥-， ()24141a b a b +-≥-. 两式相加：()()22414111b a a b a b +-++-≥-- 44b a +， 所以22811b a a b +≥--. 当且仅当()2411b a a =--且()2411a b b =--时“=”成立. 即2a b ==时， 2211b a a b +--取得最小值8. 25．如图，在四棱锥P ABCD -中， AP ， AB ， AD 两两垂直， //BC AD ，且4AP AB AD ===， 2BC =.（1）求二面角P CD A --的余弦值；（2）已知点H 为线段PC 上异于C 的点，且DC DH =，求PHPC的值. 【答案】（1）23（2）13λ=【解析】试题分析：（1）先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，根据方程组解得各面法向量，利用向量数量积求向量夹角，最后根据二面角与向量夹角关系求结果（2）设PH PC λ=，根据向量坐标表示距离，再根据距离相等解得λ，即为PH PC 的值. 试题解析：以{},,AB AD AP 为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系A xyz -.则()0,0,0A ， ()4,0,0B ， ()4,2,0C ， ()0,4,0D ， ()0,0,4P （1）由题意可知， ()0,4,4DP =-， ()4,2,0DC =-.设平面PCD 的法向量为()1,,n x y z =，则110{ 0n DP n DC ⋅=⋅=即440{ 420y z x y -+=-=令1x =，则2y =， 2z =.所以()11,2,2n =.平面ACD 的法向量为()20,0,1n =，所以1212122cos ,3n n n n n n ⋅==， 所以二面角P CD A --的余弦值23.（2）由题意可知， ()4,2,4PC =-， ()4,2,0DC =-，设()4,2,4PH PC λλλλ==-，则DH DP PH =+= ()4,24,44λλλ--，因为DC DH =，所以()()()2224244420λλλ+-+-=化简得23410λλ-+=，所以1λ=或13λ=.又因为点H 异于点C ，所以13λ=. 点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.26．（1）用数学归纳法证明：当*n N ∈时，cos cos2cos3cos x x x nx +++⋅⋅⋅+= 1sin 12122sin 2n x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭-（x R ∈，且2x k π≠， k Z ∈）； （2）求234sin 2sin3sin 4sin 6666ππππ++++ 20182018sin 6π⋅⋅⋅+的值. 【答案】（1）见解析（220152【解析】试题分析：（1）根据数学归纳法格式逐一证明，主要用到两角差正弦公式给以论证（2）先对等式两边分别求导，再取自变量为6π，即得所求的值 试题解析：（1）①当1n =时，等式右边1sin 112122sin 2x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=- 11sin 1sin 12212sin 2x x x ⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭= 1111sin cos cos sin sin cos cos sin 222212sin 2x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭= cos x = =等式左边，等式成立.②假设当n k =时等式成立，即cos cos2cos3cos x x x kx +++⋅⋅⋅+ 1sin 12122sin 2k x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=-. 那么，当1n k =+时，有()cos cos2cos3cos cos 1x x x kx k x +++⋅⋅⋅+++()1sin 12cos 1122sin 2k x k x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=-++()()11sin 12sin cos 1122122sin 2k x x x k x x ⎡⎤+-++⎢⎥⎣⎦=- ()()()111sin 1cos cos 1sin 2sin cos 11222122sin 2k x x k x x x k x x +-+++=- ()()11sin 1cos cos 1sin 122122sin 2k x x k x x x +++=- 1sin 112122sin 2k x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭=- 这就是说，当1n k =+时等式也成立.根据①和②可知，对任何*n N ∈等式都成立.（2）由（2）可知， cos cos2cos3cos2018x x x x +++⋅⋅⋅+= 1sin 201812122sin 2x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭-， 两边同时求导，得sin 2sin23sin32018sin2018x x x x ----⋅⋅⋅-21111112018cos 2018sin sin 2018cos 22222212sin 2x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭= 所以232018sin 2sin 3sin 2018sin 6666ππππ----⋅⋅⋅- 211112018cos 2018sin sin 2018cos 22612226122sin 12πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=20152= 所以2342018sin2sin 3sin 4sin 2018sin 66666πππππ++++⋅⋅⋅+20152=.。
2021届江苏省启东中学高三上学期第一次月考 数学(文)试题Word版含答案
2021届江苏省启东中学高三上学期第一次月考数学（文）试题注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题～第14题）、解答题（第15题～第20题）两部分．本试卷满分160分，考试时间120分钟．2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷的指定位置． 3．答题时，必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在试卷的指定位置，在其它位置作答一律无效． 4．如有作图需要，可用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡．．．相应位置上．．．．．． 1．已知集合{}13A x x =-<<，{}2B x x =<，则 ▲ ． 2．命题“1x ∀>，x 2≥3”的否定是 ▲ ．3．设幂函数()f x kx =α的图象经过点()4,2，则k +=α ▲4．计算121lg lg 251004-⎛⎫-÷= ⎪⎝⎭▲ ．5．若()()1233,2,log 1, 2.x e x f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩则()()2f f 的值为 ▲ 6.已知,x y 满足约束条件0,2,0,x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩若z ax y =+的最大值为4，则a 的值为 ▲ .7．公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2514,,a a a 成等比数列，253S a =，则10a = ▲ ．8．在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线C ：y ＝e x上一点，直线l ：x ＋2y ＋c ＝0经过点P ，且与曲线C 在P 点处的切线垂直，则实数c 的值为 ▲ ．9．若正实数,x y 满足2210x xy +-=，则2x y +的最小值为 ▲ ． 10. 设α为锐角，若53)6πcos(=+α，则sin 212απ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为 ▲ . 11. 如图所示的梯形ABCD 中，,2,234,//MD AM CD AD AB CD AB ====，，如果AD AB BM AC ⋅-=⋅则,3= ▲ .12. 已知函数f (x )＝sin(ωx ＋π6)－cos ωx (ω＞0)．若函数f (x )的图象关于直线x ＝2π对称，且在区间[－π4，π4]上是单调函数，则ω的取值集合为 ▲ .13. 已知函数f (x )是以4为周期的函数，且当－1＜x ≤3时，f (x )＝⎩⎨⎧1－x 2，－1＜x ≤1，1－|x －2|，1＜x ≤3．若函数y ＝f (x )－m |x|恰有10个不同零点，则实数m 的取值范围为 ▲ .14. 已知函数f (x )＝－x ln x ＋ax 在(0，e)上是增函数，函数g (x )＝|e x－a |＋a _x001F_22，当x ∈[0，ln3]时，函数g (x )的最大值M 与最小值m 的差为32，则a 的值为 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（本小题满分14分）设ABC ∆的内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,,若)2cos(sin B A -=π,2,3==c a（1）求AC AB ⋅的值；（2）求)23tan(B C-+π的值为.16.（本小题满分14分）设p ：实数x 满足22430x ax a -+<，其中0a >；q ：实数x 满足302x x -<-. （1）若1a =，且p q ∨为真，求实数x 的取值范围； （2）若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.17.（本小题满分14分）小张于年初支出50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元.小张在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x 年年底出售，其销售收入为x 25万元（国家规定大货车的报废年限为10年）.（1）大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？ （2）在第几年年底将大货车出售，能使小张获得的年平均利润最大？（利润=累积收入+销售收入-总支出）18.（本小题满分16分）如图所示，某公路AB 一侧有一块空地△OAB ，其中OA ＝3 km ，OB ＝3 3 km ，∠AOB ＝90°．当地政府拟在中间开挖一个人工湖△OMN ，其中M ，N 都在边AB 上（M ，N 不与A ，B 重合，M 在A ，N 之间），且∠MON ＝30°．（1）若M 在距离A 点2 km 处，求点M ，N 之间的距离；（2）为节省投入资金，人工湖△OMN 的面积要尽可能小．试确定M 的位置，使△OMN 的面积最小，并求出最小面积．19.（本小题满分16分）设1a >,函数()2(1)x f xx e a =+-.（1）证明()x f在(上仅有一个零点；（2）若曲线()x f y =在点P 处的切线与x 轴平行,且在点),(n m M 处的切线与直线OP 平行,(O 是坐标原点),证明:1m ≤-20.（本小题满分16分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足111()N n n n S a λ*++=∈，λ为常数． （1）是否存在数列{}n a ，使得0λ=？若存在，写出一个满足要求的数列；若不存在，说明理由． （2）当1λ=时，求证：1111n n a a ++≥． （3）当12λ=时，求证：当3n ≥时，803n a <≤．2021届江苏省启东中学高三上学期第一次月考数学（文）试题参考答案1.(),3-∞ 2.1x ∃>，23x < 3.324.20-5.36. 2 7．198．－4－ln2. 9．50231 11.23 12.{13，56，43}． 13.(16，8－215) 14.5215. .解:1）在ABC ∆中,B B A sin )2cos(sin =-=π,由正弦定理BbA a sin sin =,得b a =B A b a ===∴,3 由余弦定理AC AB ⋅=223322cos 222222=-+=-+=⨯⨯a b c A b c -------7分2）π=+=++C B C B A 2 C B Ctan )23tan(=-+∴π 972cos 222=-+=ab c b a C 924cos 1sin 2=-=∴C C -------10分 ==∴C C C cos sin tan 724 -------14分 16.解：（1）由22430x ax a -+<，得()()30x a x a --<，又0a >，所以3a x a <<， 当1a =时，13x <<，即p 为真时实数x 的取值范围是13x <<.q 为真时302x x -<-等价于()()230x x --<，得23x <<， 即q 为真时实数x 的取值范围是23x <<. 若p q ∨为真，则实数x 的取值范围是13x <<.（2）p 是q 的必要不充分条件，等价于q p ⇒且p q ⇒， 设{}3A x a x a =<<，{}23B x x =<<，则BA ；则02,33,233a a a a <≤⎧⎪≥⎨⎪==⎩与不同时取等号，所以实数a 的取值范围是12a ≤≤.17.解：（1）设大货车到第x 年年底的运输累计收入与总支出的差为y 万元， 则),100(,50)]1(6[25N x x x x x x y ∈≤<--+-=， 即),100(,50202N x x x x y ∈≤<-+-=，由050202>-+-x x ，解得25102510+<<-x ， 而325102<-<，故从第三年开始运输累计收入超过总支出.（2）因为利润=累积收入+销售收入-总支出，所以销售二手货车后，小张的年平均利润 为)25(19)2519(1)]25([12xx x x x x y x y +-=-+-=-+=， 而925219)25(19=⋅-≤+-xx x x ，当且仅当5=x 时等号成立。
2021届江苏省南通市通州区高三上学期一诊考试数学试卷及答案
2021届江苏省南通市通州区高三上学期一诊考试数学试卷★祝考试顺利★(含答案)一、单项选择题（本大题共8小题,每小题5分,共计40分．在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的,请把答案添涂在答题卡相应位置上）1．函数()f x =的定义域为 A ．[1,3] B ．(1,3] C ．(-∞,1) D ．[3,+∞)2．已知a ,b ,c ,d ∈R,则下列命题正确的是A ．若a ＞b ,n N *∈,则n n a b >B ．若a ＞b ,c ＜d ,则a ﹣c ＞b ﹣dC ．若a ＞b ,c ＞d ,则ac ＞bdD ．若a ＞b ,则11a b< 3．集合M ＝8N N 1y y x y x ⎧⎫=∈∈⎨⎬+⎩⎭，，的非空子集个数是 A ．3 B ．7 C ．15 D ．314．已知131()2a -=,13log 2b =,121()3c =,则a ,b ,c 的大小关系是 A ．a ＜b ＜c B ．b ＜a ＜c C ．c ＜a ＜b D ．b ＜c ＜a5．函数1()()cos f x x x x=-在其定义域上的图像大致是6．函数1()ln 2f x x x x=--的单调减区间为A ．(1,+∞)B ．(0,1)C ．(12-,1)D ．(-∞,12-)和(1,+∞) 7．某种物体放在空气中冷却,如果原来的温度是1θ℃,空气的温度是0θ℃,那么t min 后物体的温度θ(单位：℃)满足：0.2010()e t θθθθ-=+-．若将物体放在15℃的空气中从62℃分别冷却到45℃和30℃所用时间为1t ,2t ,则21t t -的值为（取ln2＝0.7,e=2.718…）A ．72-B ．27-C ．72D ．278．已知函数()ln a f x x x =+,∀m ,n ∈[1,2],m ≠n 时,都有(1)(1)0f m f n m n+-+>-,则实数a 的取值范围是A ．(-∞,1)B ．(-∞,1]C ．(-∞,2)D ．(-∞,2]二、 多项选择题（本大题共4小题,每小题5分, 共计20分．在每小题给出的四个选项中,至少有两个是符合题目要求的,请把答案添涂在答题卡相应位置上）9．下列命题正确的是A.“a ＞1”是“a 2＞1”的充分不必要条件B ．“M＞N”是“lgM＞lgN”的必要不充分条件C ．命题“∀x ∈R,x 2＋1＜0”的否定是“∃x ∈R,使得x 2＋1＜0”D ．设函数()f x 的导数为()f x ',则“()f x '＝0”是“()f x 在0x x =处取得极值”的充要条件10．设a ＞b ＞0,则下列不等式一定成立的是A ．0a b b a -<B ．20201a b ->C ．2ab a b<+．b a a b > 11．定义在R 上的奇函数()f x 满足(1)(1)f x f x -=+,则A ．函数()f x 的图象关于原点对称B ．函数()f x 的图象关于直线x ＝1对称C ．函数()f x 是周期函数且对于任意x ∈R,(2)()f x f x +=成立D ．当x ∈(0,1]时,()e 1x f x =-,则函数()f x 在区间[1＋4k ,3＋4k ](k ∈Z)上单调递减（其中。
数学-江苏省南通市通州区2021-2022学年高三上学期期末质量监测数学试卷 (1)
南通市直2022届高三第一学期期末质量监测数 学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．(1－i 1＋i)2022＝A ．1B ．iC ．－1D ．－i 2．已知集合A ＝{x |x －2x ＋1≥0}，B ＝{x |(12)x ≥1}，则( R A )∩B ＝A ．[0，2)B ．[－1，0)C ．(－1，0]D ．(－∞，－1) 3．若二项式(x －a x)6的展开式中常数项为160，则a 的值为 A ．2 B ．－2 C ．4 D ．－44．甲、乙、丙共3人参加三项知识竞赛，每项知识竞赛第一名到第三名的分数依次为10，5，3．竞赛全部结束后，甲获得其中两项的第一名及总分第一名，则下列说法错误的是A ．第二名、第三名的总分之和为29分或31分B ．第二名的总分可能超过18分C ．第三名的总分共有3种情形D ．第三名不可能获得其中任何一场比赛的第一名5．梅森素数是指形如2p －1的素数，其中p 也是素数(质数)，如27－1＝127是梅森素数，211－1＝23×89不是梅森素数．长期以来，数学家们在寻找梅森素数的同时，不断提出一些关于梅森素数分布的猜测，1992年中国学者周海中提出一个关于梅森素数分布的猜想，并首次给出其分布的精确表达式，被数学界命名为“周氏猜测”．已知在不超过20的素数中随机抽取2个，则至少含有1个梅森素数的概率为A ．1328B ．128C ．914D ．376．已知a ＝log 0.20.02，b ＝log 660，c ＝ln6，则A ．c ＜b ＜aB ．b ＜a ＜cC ．c ＜a ＜bD ．a ＜c ＜b 7．在正三棱锥P －ABC 中，D 是棱PC 上的点，且PD ＝2DC ．设PB ，PC 与平面ABD 所成的角分别为α，β，则sin α：sin β＝A ．16B ．12C ．22D ．238．函数y ＝[x ]广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域，其中[x ]为不超过实数x 的最大整数，例如：[－2.1]＝－3，[3.1]＝3．已知函数f (x )＝[log 2x ]，则f (1)＋f (3)＋f (5)＋…＋f (210＋1)＝A ．4097B ．4107C ．5119D ．5129二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分。