二次函数与几何图形综合题 类型5 探究角度数量关系的存在性问题试题

类型5 探究角度数量关系的存在性问题

1．(2015·南宁)在平面直角坐标系中，已知A ，B 是抛物线y ＝ax 2(a>0)上两个不同的点，其中A 在第二象限，B

在第一象限．

(1)如图1所示，当直线AB 与x 轴平行，∠AOB ＝90°，且AB ＝2时，求此抛物线的解析式和A ，B 两点的横坐标的乘积；

(2)如图2所示，在(1)所求得的抛物线上，当直线AB 与x 轴不平行，∠AOB 仍为90°时，A ，B 两点的横坐标的乘积是否为常数？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由；

(3)在(2)的条件下，如图3，若直线y ＝－2x －2分别交直线AB ，y 轴于点P ，C ，直线AB 交y 轴于点D ，且∠BPC＝∠OCP，求点P 的坐标．

解：(1)设直线AB 与y 轴交于点E ，

∵AB 与x 轴平行，根据抛物线的对称性有AE ＝BE ＝1.

∵∠AOB ＝90°，∴OE ＝12

AB ＝1. ∴A(－1，1)，B(1，1)．

把x ＝1，y ＝1代入y ＝ax 2，得a ＝1，

∴抛物线的解析式为y ＝x 2，A ，B 两点的横坐标的乘积为x A ·x B ＝－1.

(2)x A ·x B ＝－1为常数，过点A 作A M⊥x 轴于点M ，BN ⊥x 轴于点N ，

∴∠AMO ＝∠BNO＝90°.

∴∠MAO ＋∠AOM＝∠AOM＋∠BON＝90°.

∴∠MAO ＝∠BON.∴△AMO∽△ONB.

∴AM ON ＝OM BN

，即OM·ON＝AM·BN. 设A(x A ，y A )，B(x B ，y B )，

∵A(x A ，y A )，B(x B ，y B )在y ＝x 2图象上，

∴y A ＝x 2A ，y B ＝x 2B .∴－x A ·x B ＝y A ·y B ＝x 2A ·x 2B .

∴x A ·x B ＝－1为常数．

(3)设A(m ，m 2)，B(n ，n 2)，由(2)可知mn ＝－1.

设直线AB 的解析式为y ＝k x ＋b ，联立⎩

⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，y ＝x 2，得x 2－kx －b ＝0. ∵m ，n 是方程的两个根，∴mn ＝－b.∴b＝1.

∵直线AB 与y 轴交于点D ，则OD ＝1.

易知C(0，－2)，OC ＝2，∴CD ＝OC ＋OD ＝3.

∵∠BPC ＝∠OCP，∴PD ＝CD ＝3.

设P(a ，－2a －2)，过点P 作PG⊥y 轴于点G ，则PG ＝－a ，GD ＝OG －OD ＝－2a －3.

在Rt △PDG 中，由勾股定理得：PG 2＋GD 2＝PD 2，

即(－a)2＋(－2a －3)2＝32，整理得5a 2＋12a ＝0，解得a ＝0(舍去)或a ＝－125

. 当a ＝－125时，－2a －2＝145

，

∴P(－125，145

)．

2．(2016·河南)如图1，直线y ＝－43x ＋n 交x 轴于点A ，交y 轴于点C(0，4)．抛物线y ＝23

x 2＋bx ＋c 经过点A ，交y 轴于点B(0，－2)．点P 为抛物线上一个动点，经过点P 作x 轴的垂线PD ，过点B 作BD⊥PD 于点D ，连接PB ，设点P 的横坐标为m.

(1)求抛物线的解析式；

(2)当△BDP 为等腰直角三角形时，求线段PD 的长；

(3)如图2，将△BDP 绕点B 逆时针旋转，得到△BD′P′，且旋转角∠PBP′＝∠OAC，当点P 的对应点P′落在坐标轴上时，请直接写出点P 的坐标．

解：(1)由直线y ＝－43x ＋n 过点C(0，4)，得n ＝4，

∴y ＝－43x ＋4.

当y ＝0时，0＝－43x ＋4，解得x ＝3，∴A(3，0)．

∵抛物线y ＝23x 2＋bx ＋c 经过点A(3，0)，B(0，－2)．

∴⎩⎪⎨⎪⎧

0＝23×32＋3b ＋c ，－2＝c.∴⎩⎪⎨⎪⎧

b ＝－43，

c ＝－2.

∴抛物线的解析式为y ＝23x 2－43x －2.

(2)∵点P 的横坐标为m ，

∴P (m ，23m 2－43m －2)，D(m ，－2)．

若△BDP 为等腰直角三角形，则PD ＝BD.

①当点P 在直线BD 上方时，PD ＝23m 2－43m.

(ⅰ)若点P 在y 轴左侧，则m<0，BD ＝－m.

∴23m 2

－43m ＝－m ，

∴m 1＝0(舍去)，m 2＝12(舍去)．

(ⅱ)若点P 在y 轴右侧，则m>0，BD ＝m.

∴23m 2－43m ＝m ，∴m 3＝0(舍去)，m 4＝72.

②当点P 在直线BD 下方时，m>0，BD ＝m ，PD ＝－23m 2＋43m.

∴－23m 2＋43m ＝m ，∴m 5＝0(舍去)，m 6＝12.

综上，m ＝72或12

. 即当△BDP 为等腰直角三角形时，PD 的长为72或12

. (3)P 1(－5，45＋43)，P 2(5，－45＋43

)， P 3(258，1132

)． 【提示】∵∠PB P′＝∠OAC，OA ＝3，OC ＝4，

∴AC ＝5，∴sin ∠PBP ′＝45，cos ∠PBP ′＝35

. ①当点P′落在x 轴上时，过点D′作D′N⊥x 轴，垂足为N ，交BD 于点M ，∠DBD ′＝∠ND′P′＝∠PBP′.

图1 图2 图3 如图1，ND ′－MD′＝2，即35(23m 2－43m)－(－45

m)＝2. 如图2，ND ′＋MD′＝2，即35(23m 2－43m)＋45m ＝2. ∴P 1(－5，45＋43)，P 2(5，－45＋43)； ②当点P′落在y 轴上时，如图3，过点D′作D′M⊥x 轴，交BD 于点M ，过点P′作P′N⊥y 轴，交MD′的延长线于点N ，∠DBD ′＝∠ND′P′＝∠PBP′. ∵P ′N ＝BM ，即45(23m 2－43m)＝35

m. ∴P 3(258，1132)．