第八章离散系统作业答案

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自控控制原理习题王建辉第8章答案

⾃控控制原理习题王建辉第8章答案第⼋章8-1 离散数据系统由哪些基本环节组成？8-2 离散数据系统中A\D 、D\A 转换器的作⽤是什么？ 8-3 离散数据系统与连续数据系统有什么区别和联系？ 8-4 ⾹农采样定理的意义和作⽤是什么？8-5 脉冲传递函数是怎么定义的？它与传递函数有什么区别和联系？求解过程中要注意哪些问题？8-6 离散系统稳定的条件是什么？8-7 离散系统的稳定性与什么因素有关？ 8-8 采⽤周期对系统的稳定性有没有影响？ 8-9 采样系统的稳态误差怎样求解？8-10 设计最少拍系统的⽬的、原则是什么？ 8-11 求下列函数的z 变换。

（1）at e t f --=1)( （2）f(t)=coswt （3）at te t f -=)( （4）f(k)=a k 8-12 证明下列关系式（1）Z[))(()]([是采样周期T z e F t f e Z at at ±= ] （2）)()](t [z F dzdTzt f Z -= 8-13 求下列函数的z 变换。

（1）F(s)= 21s（2）F(s)=)2)(1()3(+++s s s（3）F(s)=2)2(1+s （4）F(s)=)2(+s s k（5）F(s)=)(a s enTs+-(T 是采样周期)8-14 求下列函数的z 反变换。

（1）F(s)=))(1()1(T Te z z e z -----（2）F(s)=)2()1(2--z z z （3）F(s)=22)1()1(-+z z z（4）F(s)=222)1()1(2+-z z z8-15 ⽤z 变换⽅法求解下列差分⽅程，结果以f(k)表⽰（1）f(k+2)+2f(k+1)+f(k)=u(k)f(0)=0,f(1)=0,u(k)=k(k=0,1,2……)（2）f(k+2)-4f(k)=cosk πf(0)=1,f(1)=0,u(k)=k(k=0,1,2……)（3）f(k+2)+5f(k+1)+6f(k)=cos 2πkf(0)=0,f(1)=1,u(k)=k(k=0,1,2……)8-16 已知某采样系统的输⼊输出差分⽅程为x c (k+2)+3x c (k+1)+4x c (k)=x r (k+1)-x r (k) x c (1)=0,x c (0)=0,x r (1)=1,x r (0)=1试求该系统的脉冲传递函数Xc(z)/Xr(z)和脉冲响应。

离散数学第八章-最新版

定义 8.4 若 m, n∈N 使 m∈n, 则称 m小于n ( 或 n大于m ), 记为 m＜n ( 或 n＞m)。
“小于” 关系＜是自然数集 N上的反自反、反对称、传
递
的二元关系
可以用归纳定义法在 N 上定义 “ + ” 与 “ ·” 如下：
[加法/乘法] 对任意的 n, m∈ N ，令
i) m + 0 = m，
构造自然数系统＜N，+，·＞
冯诺依曼（Von Neumann）方案：
0= 1 = 0+ = { } = { 0 } 2 = 1+ = { , { } } = { 0, 1 } 3 = 2+ = { , { }, { , { } } } = { 0, 1, 2 } n+1 = n+ = = { 0, 1, , n }
自然数集合 N（归纳定义法）
i) 0∈N，这里 0 = ； ii) 若 n∈ N ，则 n＋∈ N ； iii) 若 S N 满足
1) 0∈S 2) 如果 n∈S, 则 n+∈S 则 S = N。
（极小化）
大于/小于、加法、乘法
对每个自然数 n∈ N ，皆有 n∈n＋及 n n＋，据此有:
自然数和归纳法
主要概念：集合的后继主要方法：归纳原理、第一归纳法、第二归纳法
自然数的引进方法
① 公理化方法：皮亚诺公理（G. Peano）； ② 构造性方法：借助集合论，具体构造出 N。
自然数构造的出发点
1) 自然数的各种性质 ( 运算、大小次序及基本定律 ) , 都可以从 Peano 公理一一推导出来；
∪ ( n＋ ) ＋ = ∪ ( n＋∪{ n＋ } ) = ( ∪ n＋ ) ∪ (∪{ n＋ } ) = n ∪ n＋ = n＋。

数字信号处理—原理、实现及应用(第4版)第8章时域离散系统的实现学习要点及习题答案

·185·第8章时域离散系统的实现本章学习要点第8章研究数字信号处理系统的实现方法。

数字信号处理系统设计完成后得到的是该系统的系统函数或者差分方程，要实现还需要设计一种具体的算法，这些算法会影响系统的成本以及运算误差等。

本章介绍常用的几种系统结构，即系统算法，同时简明扼要地介绍数字信号处理中的量化效应，最后介绍了MA TLAB 语言中的滤波器设计和分析工具。

本章学习要点如下：(1) 由系统流图写出系统的系统函数或者差分方程。

(2) 按照FIR 系统的系统函数或者差分方程画出其直接型、级联型和频率采样结构，FIR 线性相位结构，以及用快速卷积法实现FIR 系统。

(3) 按照IIR 系统的系统函数或者差分方程画出其直接型、级联型、并联型。

(4) 一般了解格型网络结构，包括全零点格型网络结构系统函数、由FIR 直接型转换成全零点格型网络结构、全极点格型网络结构及其系统函数。

(5) 一般了解如何用软件实现各种网络结构，并排出运算次序。

(6) 数字信号处理中的量化效应，包括A/D 变换器中的量化效应、系数量化效应、运算中的量化效应及其影响。

(7) 了解用MA TLAB 语言设计、分析滤波器。

8.5 习题与上机题解答8.1 已知系统用下面差分方程描述311()(1)(2)()(1)483y n y n y n x n x n =---++- 试分别画出系统的直接型、级联型和并联型结构。

差分方程中()x n 和()y n 分别表示系统的输入和输出信号。

解：311()(1)(2)()(1)483y n y n y n x n x n --+-=+- 将上式进行Z 变换，得到121311()()()()()483Y z Y z z Y z z X z X z z ----+=+ 112113()31148z H z z z ---+=-+ (1) 按照系统函数()H z ，画出直接型结构如图S8.1.1所示。

信号与系统课后答案第八章作业答案后半部分

（2）因为 H (z) 的收敛域为| z |> 1 ，所以 H (z) 在单位圆上收敛。 3
频率响应为
H
(e jΩ
)
=
H
(z)
|z = e jΩ
=
4 ⎡⎣ejΩ −1⎤⎦
3
⎡⎢⎣e
jΩ
−
1 3
⎤ ⎥⎦
经计算得极点为 p = 1 ，零点为 z = 1。 3
H（e jΩ）
（Ω）
幅频响应图（横坐标进行了归一化处理）
（c）Yx (z) =
y(−1) + 2 y(−2) + 2 y(−1)z−1 1− z−1 − 2z−2
=
8⋅ z +1⋅ 3 z−2 3
z， z +1
z
>2
其逆
z
变换即零输入响应为
yx
(n)
=
8 3
⋅
2n
u(n)
+
1 3
⋅
(−1)n
u(n)
（d）根据上面计算的零输入和零状态响应可知系统的完全响应为
f (n) = (−1)n u(n) ， y(−1) = 0 ， y(−2) = 1；
解：（1）将原式两边取单边 Z 变换得，
Y (z) −[z−1Y (z) + y(−1)] − 2[z−2Y (z) + y(−2) + y(−1)z−1] = F (z) + z−1F (z)
整理得：
Y (z)
=
题图 8-23
根据系统框图可得 h(n) = h1(n) ∗[h2 (n) + h3 (n)] ，故 h(n) = δ (n) ∗[h2 (n) + h3(n)] = u(n) + u(n − 2)

离散数学第8章习题解答

第8 章习题解答8.1 图8.6 中,(1)所示的图为,3,1K (2) 所示的图为,3,2K (3)所示的图为,2,2K 它们分别各有不同的同构形式.8.2 若G 为零图,用一种颜色就够了,若G 是非零图的二部图,用两种颜色就够了.分析根据二部图的定义可知,n 阶零图(无边的图)是三部图(含平凡图),对n 阶零图的每个顶点都用同一种颜色染色,因为无边,所以,不会出现相邻顶点染同色,因而一种颜色就够用了.8.3 完全二部图,,s r K 中的边数rs m -.分析设完全二部图s r K ,的顶点集为V, 则∅==2121,V V V V V ,且,||,||21s V r V ==s r K ,是简单图,且1V 中每个顶点与2V 中所有顶点相邻,而且1V 中任何两个不同顶点关联的边互不相同,所以,边数rs m -.8.4 完全二部图s r K ,中匹配数},min{1s r =β,即1β等于s r ,中的小者. 分析不妨设,s r ≤且二部图s r K ,中,,||,||21s V r V ==由Hall 定理可知,图中存在1V 到的完备匹配,设M 为一个完备匹配,则1V 中顶点全为M 饱和点,所以,.1r =β8.5 能安排多种方案,使每个工人去完成一项他们各自能胜任的任务.分析设},,{1丙乙甲=V ,则1V 为工人集合, },,{2c b a V =,则2V 为任务集合.令}|),{(,21y x y x E V V V 能胜任== ,得无向图>=<E V G ,,则G 为二部图,见图8.7 所示.本题是求图中完美匹配问题. 给图中一个完美匹配就对应一个分配方案.图8.7 满足Hall 定理中的相异性条件,所以,存在完备匹配,又因为,3||||21==V V 所以,完备匹配也为完美匹配.其实,从图上,可以找到多个完美匹配. 取)},(),,(),,{(1c b a M 丙乙甲=此匹配对应的方案为甲完成a,乙完成b, 丙完成c,见图中粗边所示的匹配. )},(),,(),,{(c a b M 丙乙甲=2M 对应的分配方案为甲完成b,乙完成a,丙完成c.请读者再找出其余的分配方案.8.6 本题的答案太多,如果不限定画出的图为简单图,非常容易地给出4族图分别满足要求.(1) n (n 为偶数,且2≥n )阶圈都是偶数个顶点,偶数条边的欧拉图.(2) n (n 为奇数,且1≥n )阶圈都是奇数个顶点,奇数条边的欧拉图.(3) 在(1) 中的圈上任选一个顶点,在此顶点处加一个环,所务图为奇数个顶点,偶数条边的欧拉图.分析上面给出的4族图都是连通的,并且所有顶点的度数都是偶数,所以,都是欧拉图.并且(1),(2) 中的图都是简单图.而(3),(4)中的图都带环,因而都是非简单图. 于是,如果要求所给出的图必须是简单图,则(3),(4)中的图不满足要求.其实,欧拉图是若干个边不重的图的并,由这种性质,同样可以得到满足(3),(4)中要求的简单欧拉图.设k G G G ,,,21 是长度大于等于3的k 个奇圈(长度为奇数的圈称为奇圈),其中k 为偶数,将1G 中某个顶点与2G 中的某顶点重合,但边不重合, 2G 中某顶点与3G 中某顶点重合,但边不重合,继续地,最后将1-k G 中某顶点与k G 中某顶点重合,边不重合,设最后得连通图为G,则G 中有奇数个顶点,偶数条边,且所有顶点度数均为偶数,所以,这样的一族图满足(4)的要求,其中一个特例为图8.8中(1)所示.在以上各图中,若k G G G ,,,21 中有一个偶圈,其他条件不变,构造方法同上,则所得图G 为偶数个顶点,奇数条边的简单欧拉图,满足(3)的要求,图8.8中(2)所示为一个特殊的情况.8.7 本题的讨论类似于8.6题,只是将所有无向圈全变成有向圈即可,请读者自己画出满足要求的一些特殊有向欧拉图.8.8 本题的答案也是很多的,这里给出满足要求的最简单一些图案,而且全为简单图.(1) n (3≥n )阶圈,它们都是欧拉图,又都是哈密尔顿图.(2) 给定k (2≥k )个长度大于等于3的初级回路,即圈k G G G ,,,21 ,用8.6题方法构造的图G 均为欧拉图,但都不是哈密尔顿图,图8.8给出的两个图是这里的特例.(3)n (4≥n )阶圈中,找两个不相邻的顶点,在它们之间加一条边,所得图均为哈密尔顿图,但都不是欧拉图.(4) 在(2)中的图中,设存在长度大于等于4的圈,比如说1G ,在1G 中找两个不相邻的相邻顶点,在它们之间加一条新边,然后用8.6题方法构造图G,则G 既不是欧拉图,也不是哈密尔顿图,见图8.9所示的图.分析 (1) 中图满足要求是显然的.(2)中构造的图G 是连通的,并且各顶点度数均为偶数,所以,都是欧拉图,但因为G 中存在割点,将割点从G 中删除,所得图至少有两个连通分支,这破坏了哈密尔顿图的必要条件,所以,G 不是哈密尔顿图.(3) 中构造的图中,所有顶点都排在一个圈上,所以,图中存在哈密尔顿回路,因而为哈密尔顿图,但因图中有奇度顶点(度数为奇数的顶点),所以,不是欧拉图. 由以上讨论可知,(4) 中图既不是欧拉其实,读者可以找许多族图,分别满足题中的要求.8.9 请读者自己讨论.8.10 其逆命题不真.分析若D 是强连通的有向图,则D 中任何两个顶点都是相互可达的,但并没有要求D 中每个顶点的入度都等于出度. 在图8.2 所示的3个强连通的有向衅都不是欧拉图.8.11 除2K 不是哈密尔顿图之外, n K (3≥n )全是哈密尔顿图. n K (n 为奇数)为欧拉图. 规定1K (平凡图)既是欧拉图,又是哈密尔顿图.分析从哈密尔顿图的定义不难看出,n 阶图G 是否为哈密尔顿图,就看是否能将G 中的所有顶点排在G 中的一个长为n 的初级回路,即圈上. n K (3≥n )中存在多个这样的生成圈(含所有顶点的图), 所以n K (3≥n )都是哈密尔顿图.在完全图n K 中,各顶点的度数均为n-1,若n K 为欧拉图,则必有1-n 为偶数,即n 为奇数,于是,当n 为奇数时, n K 连通且无度顶点,所以, n K (n 为奇数) 都是欧拉图.当n 为偶数时,各顶点的度数均为奇数,当然不是欧拉图.8.12 有割点的图也可以为欧拉图.分析无向图G 为欧拉图当且仅当G 连通且没有奇度顶点.只要G 连通且无奇度顶点(割点的度数也为偶数),G 就是欧拉图.图8.8所示的两个图都有割点,但它们都是欧拉图.8.13 将7个人排座在圆桌周围,其排法为.abdfgeca分析做无向图>=<E V G ,,其中,},,,,,,{g f e d c b a V =},|),{(有共同语言与且v u V v u v u E ∈=图G 为图8.10所示.图G 是连通图,于是,能否将这7个人排座在圆桌周围,使得每个人能与两边的人交谈,就转化成了图G 中是否存在哈密尔顿回路(也就是G 是否为哈密尔顿图).通过观察发现G 中存在哈密尔顿回路, abdfgeca 就是其8.14 用i v 表示颜色.6,,2,1, =i i 做无向图>=<E V G ,,其中},,,,,,{654321v v v v v v V =}.,,|),{(能搭配与并且且v u v u V v u v u E ≠∈=对于任意的)(,v d V v ∈表示顶点v 与别的能搭配的颜色个数,易知G 是简单图,且对于任意的V v u ∈,,均有633)()(=+≥+v d u d ,由定理8.9可知,G 为哈密尔顿图,因而G 中存在哈密尔顿回路,不妨设1654321i i i i i i i v v v v v v v 为其中的一条,在这种回路上,每个顶点工表的颜色都能与它相邻顶点代表的颜色相.于是,让1i v 与2i v ,3i v 与4i v ,5i v 与6i v 所代表的颜色相搭配就能织出3种双色布,包含了6种颜色.8.15∑=⨯======300321,10220)deg(.12)deg(,3)deg(,1)deg(,4)deg(i i R R R R R 而本图边数m=10.分析平面图(平面嵌入)的面i R 的次数等于包围它的边界的回路的长度,这里所说回路,可能是初级的,可能是简单的,也可能是复杂的,还可能由若干个回路组成.图8.1所示图中,321,,R R R 的边界都是初级回路,而0R 的边界为复杂回路(有的边在回路中重复出现),即432110987654321e e e e e e e e e e e e e e ,长度为12,其中边65,e e 在其中各出现两次.8.16 图8.11中,实线边所示的图为图8.1中图G,虚线边,实心点图为它的对偶图的顶点数*n ,边数*m ,面数*r 分别为4,10和8,于是有分析从图8.11还可以发现,G 的每个顶点位于的一个面中,且的每个面只含G 的一个顶点,所以,这是连通平面图G 是具有k 个连通分支的平面图2≥k ,则应有1*+-=k n r .读者自己给出一个非连通的平面图,求出它的对偶图来验证这个结论.另外,用图8.1还可以验证,对于任意的*v (*G 中的顶点),若它处于G 的面i R 中,则应有)deg()(*i R v d =.8.17 不能与G 同构.分析任意平面图的对偶图都是连通的,因而与都是连通图,而G 是具有3个连通分支的非连通图,连通图与非连通图显然是不能同构的.图 8.12 中, 这线边图为图8.2中的图G,虚线边图为G 的对偶图,带小杠的边组成的图是*G 的对偶图,显然.~**G G ≠8.18 因为彼得森图中有长度为奇数的圈,根据定理8.1可知它不是二部图.图中每个顶点的度数均为3,由定8.5可知它不是欧拉图.又因为它可以收缩成5K ,由库拉图期基定理可知它也不是平面图.其实,彼得森图也不是哈密尔顿图图,这里就不给出证明了.8.19 将图8.4重画在图8.13中,并且将顶点标定.图中afbdcea 为图中哈密尔顿回路,见图中粗边所示,所以,该图为哈密尔顿图.将图中边),(),,(),,(d f f e e d 三条去掉,所得图为原来图的子图,它为3,3K ,可取},,{1c b a V =},,{2f e d V =,由库拉图期基定理可知,该图不是平面图.8.20 图8.14 所示图为图8.5所示图的平面嵌入.分析该图为极大平面图.此图G 中,顶点数9=n ,边数.12=m 若G 是不是极大平面图,则应该存在不相邻的顶点,,v u 在它们之间再加一条边所得'G 还应该是简单平面图, 'G 的顶点数131,6''=+===n m n n ,于是会有.126313''=->=n m这与定理8.16矛盾,所以,G 为极大平面图.其实,n ( 3≥n )阶简单平面图G 为极大平面图当且仅当G 的每个面的次数均为3.由图8.14可知,G 的每个面的次数均为3,所以,G 为极大平面图.8.12 答案 A,B,C,D 全为②分析 (1) 只有n 为奇数时命题为真,见8.11的解答与分析.(2) 2≠n 时,命题为真,见8.11的解答与分析.(3) 只有m n ,都是偶数时,m n K ,中才无奇度数顶点,因而m n K ,为欧拉图,其他情况下,即m n ,中至少有一个是奇数,这时m n K ,中必有奇度顶点,因而不是欧拉图.(4) 只有m n =时, m n K ,中存在哈密尔顿回路,因而为哈密尔顿图. 当m n ≠时,不妨设m n <,并且在二部图m n K ,中,m V n V ==||,||21,则n V m V G p =>=-||)(11,这与定理8.8矛盾. 所以, m n ≠时, m n K ,不是哈密尔顿图.8.22 答案 A:②;B ②;C ②.分析图8.15中,两个实边图是同构的,但它们的对偶力(虚边图)是不同构的.(2) 任何平面图的对偶图都是连通图.设G 是非连通的平面图,显然有.**~G G ≠ (3) 当G 是非连通的平面图时,,1*+-=k n r 其中k 为G 的连通分支数.8.23 答案 A:④;B ②;C ②.分析根据库期基定理可知,所求的图必含有5K 或3,3K 同胚子图,或含可收缩成5K 或3,3K 的子图.由于顶点数和边数均已限定,因而由3,3K 加2条边的图可满足要求,由5K 增加一个顶点,一条边的图可满足要求,将所有的非同构的简单图画出来,共有4个,其中由3,3K 产生的有2个,由5K 产生的有2个.见图8.16所示.。

郑君里《信号与系统》(第3版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-第8章 z变换、离散时间系统的z域分

（7）
X
z
1 2
n
u
n
u
n
10
z
n
9 n0
1 2
n
z
n
9 n0
1 2z
n
1
1 2z
1 1
10
z 0
2z
X（z）的零、极点分布图如图 8-2-1（g）所示。
（8）
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X
z
n台
1 2
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台
第 8 章 z 变换、离散时间系统的 z 域分析
8.1 复习笔记
从本章开始陆续讨论 Z 变换的定义、性质以及它与拉氏变换、傅氏变换的联系。在此基础上研究离散时间系统的 z 域分析，给出离散系统的系统函数与频率响应的概念。通过本章，读者应掌握对于离散时间信号与系统的研究，是先介绍 z 变换，然后引出序列的傅里叶变换以及离散傅里叶变换（第九章）。
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台
于实轴的直线映射到 z 平面是负实轴；
（3）在 s 平面上沿虚轴移动对应于 z 平面上沿单位圆周期性旋转，每平移 ωs，则沿
单位圆转一圈。
2．z 变换与拉氏变换表达式
Z
x nT X z zesT X s Z
n
u
n
1 3
n
u
n
z
n
n
（3）
X
z
n
1 3
n
u
n
z
n
n0

第八章_离散时间系统的z域分析4_北京交通真题库_大学915916通信系统及原

z0
七阶极点
j Im[z]
z
1 3
一阶极点
Re[z]
z 0
27
§8.4 逆z变换
X (z) ZT[x(n)] x(n)zn n
x(n) ZT 1[ X (z)] 1 X (z)zn1dz
2 j C
C是包围X(z)zn-1所有极点的逆时针闭合积分路线，一
般取z平面收敛域内以原点为中心的圆。
n0
n
an zn 1 bn zn
n0
n0
z a, z b
X (z) z 1 b za zb zz
za zb
25
jIm(z)
a
0
Re(z)
jIm(z)
a
0 b
Re(z)
图8.1序列单边Z变换的收敛域
图8.2序列双边Z变换的收敛域
当 z a时，X (z) z 当a z b时，X (z) z z
d s j
j
)
!
d
zs
j
(z
zi )s
X (z)
z
zzi
32
或X (z)
A0
M m1
1
Am zm
z
1
s j 1
Cj (1 zi z1) j
A0
M m1
Am z z zm
C1z z zi
C2 z2 (z zi )2
Cs (z
zs zi )s
Cs
1 zi z1
s
X
(
z
)
z
6
§8.2 z变换的定义、典型序列的z变换
➢ 借助于抽样信号的拉氏变换引出。 ➢ 连续因果信号x(t)经均匀冲激抽样，则抽样信号xs(t)

离散时间信号处理奥本海姆第二版课后答案第八章

第八章离散傅立叶变换8.1 假设()t x c 是一个周期的连续时间信号，其周期为1ms ，它的傅立叶级数为()()∑-=-=9910/23k kt j kc e a t x π. 对于9>k ，傅立叶系数k a 为零，以采样间隔s T 31061-⨯=对()t x c 采样得到[]n x ： []⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-6103n x n x c .(a) []n x 是周期的吗？如果是，周期为多少？(b) 采样率是否高于奈奎斯特采样率，也就是说T 是否充分小而且可以避免混叠？ (c) 利用k a 求出[]n x 的离散傅立叶级数系数。

解：（a ）[]∑∑-=-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--996299610102333610k kn jkk n k j k c ea e a n x n x ππ而() 1,0,62662==+l ee kn jl n k jππ[][]l n x n x 6+=∴∴ []n x 是周期的，周期为6。

（b ）30102-=Ωπ而采样频率为03321012106122Ω>=⨯==Ω--πππT 所以T 足够小，而可以避免混叠。

（c ）[][]()()()∑∑∑∑∑∑-=---==-=--=-=--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==99335995062506299621011k k l k l lk n k l n j l n kn j l nl j l N n knNeea e a e e a w n x k X πππππ 8.2 设[]n x ~是一个周期为N 的周期序列，[]n x ~还是一个周期为3N 的周期序列。

令[]k X ~表示作为周期为N 的周期序列的[]n x ~的DFS 系数，[]k X ~3表示作为周期为3N 的周期序列的[]n x ~的DFS 系数。

(a) 用[]k X ~表示出[]k X ~3。

(b) 用公式计算[]k X ~和[]k X ~3，当[]n x ~为图P8.2中给定的序列时，证明你在(a)中得出的结果。

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第八章离散系统作业答案注明：*为选做题 1 试求下列函数的Z 变换（1）()E z L =();n e t a = 解：01()[()]1k k k z E z L e t a z z z aa∞-=====--∑ （2） ();at e t e -= 解：122101()[()][]1...1atakt k at at at atk zE z L e t L e e z e z e z e z z e ∞----------=====+++==--∑2 试求下列函数的终值：（1）112();(1)Tz E z z --=-解： 11111()(1)()1lim lim lim t z z Tz f t z E z z ---→∞→→=-==∞- （2）2()(0.8)(0.1)z E z z z =--。

解：211(1)()(1)()0(0.8)(0.1)lim lim limt z z z z f t z E z z z →∞→→-=-==-- 3* 已知()(())E z L e t =,试证明下列关系成立：（1）[()][];n z L a e t E a =证明：0()()nn E z e nT z∞-==∑00()()()()[()]n n n n n n z z E e nT e nT a z L a e t a a ∞∞--=====∑∑ （2）()[()];dE z L te t TzT dz=-为采样周期。

证明：11100[()]()()()()()()()()()nn n n n n n n n n L te t nT e nT zTz ne nT z dE z de nT z dz dz e nT n zne nT z ∞∞---==∞-=∞∞----======-=-∑∑∑∑∑所以：()[()]dE z L te t Tzdz=- 4 试求下图闭环离散系统的脉冲传递函数()z Φ或输出z 变换()C z 。

题2-4图解：（a ）111211312312()()()1()()()()1()()()1()1()G z C z G z G G z z G z R z G z G z G G z G z G G z +Φ===++++（b ）134()()()()h E z RG z E z G G G z =-，得：134()()1()h RG z E z G G G z =+1342434()()()()1()h h RG z G G G z C z RG G z G G G z =++***2134******2413434***24134*34()[()()[()()()]()()()]()[()]()[()]()[()][()]()[()]1[()]k k k k k C s R s G s R s G s C s G s G s G s R s G G s R s G G G G s C s G G G s RG G s R s G G G G s G G G s =+-=+-+=+ 所以： 2413434()()()()()1()k k C z G G z G G G G z z R z G G G z +Φ==+ 5 试判断下列系统的稳定性：（1）已知闭环离散系统的特征方程为()(1)(0.5)(2)D z z z z =+++=0 解： 123()01,0.5,2D z z z z =⇒=-=-=-可见系统闭环特征方程的跟有一个在单位圆上，有一个在单位圆外，故系统不稳定。

（2）已知误差采样的单位反馈离散系统，采样周期T=1s ，开环传递函数 222.57()(1)G s s s =+s 解：系统闭环传递函数为：222.57()(1)22.57G s s s =++，特征方程式为：32()22.57D s s s =++，劳斯表为：3s 1 02s 1 22.57 1s －22.57 0 s －22.57<0 故系统不稳定。

6 采样系统的框图如图所示，试求系统的闭环脉冲传递函数和误差脉冲传递函数。

题2-6图采样系统的框图解：此系统有零阶保持器'112(),()()()k kG s G S s s a s s a ==++故''111111()[()][(1)()]()Ts Ts e z G z Z G s Z e G s G z s z ----==-=2221111(1)[()][](1)(1)()at atk k Tz e Z a s a s s a a z a z z e ---=--=-+--- ＝2()(1)(1)(1)()at at at kTa z e k z e a z z e ---------故其闭环脉冲传递函数为：2()()(1)(1)()1()(1)()()(1)(1)aT at aT aT atG z kTa z e k z e z G z a z z e kTa z e k z e ---------Φ==+--+---- 求误差脉冲传递函数：()()()()1()1()()()1()e E z R z C z C z z R z R z R z G z -Φ===-=+ ＝22(1)()(1)()()(1)(1)aT aT aT aT a z z e a z z e kTa z e k z e --------+----7 用z 变换法解下列差分方程(2)3(1)2()2(1)()c n c n c n r n r n ++++=++初始条件为(0)0c =,(1)1c =,(0)0r =。

解： (2)3(1)2()2(1)()C n C n C n r n r n ++++=++22()(0)3()3(0)2()2()2(0)()z C z z C zC z zC C z zR z zR R z -+-+=-+ 代入初始条件：(0)0,(1)1,(0)0C C r ===有： 2()3()2()(21)()z C z z zC z C z z R z -++=+，所以2()(32)(21)()C z z z z R z z ++=++因为()r t 为单位阶跃输入，所以()1z R z z =- 2(21)()(32)1z z C z z z z z +++=+-，所以()1322(1)2(1)2C z z z z z =+--++， 32()2(1)2(1)2z C z z z z =+--++，所以113()(1)(2)22n n C n +=+-+-8 求0.5()(1)(0.5)zF z z z =-- 的z 反变换解：()0.511(1)(0.5)10.5F z z z z z z ==-----，()10.5z zF z z z =--- 所以*()1(0.5),()(1(0.5))()nn n f n f t t nT δ∞==-=--∑9* 采样系统的框图如图所示，其中T ＝1s ，K=1，a ＝2，求系统的单位阶跃响应。

题2-9图采样系统的框图解：开环传递函数为：2211111()(1)[]()(2)244(2)Ts s s e k e G s e s s s a s s s s s -----===--++++122()(1)[]2(1)4(1)4()z z z G z z z z z e --=--+---＝21112(1)44()z z z e ---+-- ＝22213(1)4(1)()e e zz z e ----++-- ()()()1()C z G z R z G z =+ 22222()13(1)()()1()4(1)()13(1)1G z e e z zC z R z G z z z e e e z z ------++==+--+-++- ＝222222(1)(13)4(1)()(1)[13(1)]e z e zz z e z e e z -----++---+--++10 采样系统的框图如图所示，设T=1s ，a ＝2，应用劳斯判据求使系统稳定的临界K 值。

题2-10图采样系统的框图解：由2.6题结果代入1,2T s a ==得到系统闭环脉冲传递函数为：22222[(1)(13)]()4(1)()[(1)(13)]k e z e z z z e k e z e -----++-Φ=--+++-特征方程为：2224(1)()[(1)(13)]0z z e k e z e -----+++-= 即：4(1)(0.1353)[1.13530.5941]0z z k z --++=，经W 变换后：1114(1)(0.1353)(1.13530.5941)0111w w w k w w w +++--++=--- 即：21.7294 1.1882 6.91769.08240.54120kw kw w k -+++-=应用劳斯判据，劳斯表为：2w 1.7924k 9.0824-0.5412k 1w -1.1882k+6.9176 0 0w 9.0824-0.5412k 0由劳斯判据，系统稳定应有：0,6.9176 1.18820,9.08240.54120k k k >->-> 解得：0 5.8219k <<，所以若使系统稳定应满足：0 5.8219k <<。

11* 设采样系统的开环脉冲传递函数为0.284(0.523)()(1)(0.135)k z G z z z +=--，试绘制系统的根轨迹。

解：开环零点为：0.523z =-，开环极点为：121,0.135p p z z ==，与实轴交角：(21),2,1,0a k n m k n mπϕ+====-，所以a ϕπ=交点：10.135(0.523)1.65821a σ+--==-分离点为d:11110.1350.523d d d +=--+,解得：121.523,0.477d d =-= 根轨迹如图所示：12 讨论题2-10采样系统的采样周期T 对系统稳定临界K 值的影响。

解：特征方程为：22222()(1)(1)()1()010(1)(1)()()(1)(1)01111(1)()()(1)(1)01111(1)[2(1)2aT aT aTaT aT aT aT aT aT aT aT aT kTa z e k z e D z G z a z zea z z e kTa z e k z e w w w w a e kTa e k e w w w w kTa e w a e kTae ----------------=+=⇒+=-⇒--+----=++++--+----=-----+-+22(1)]2(1)(1)2(1)0aT aT aT aT k e w a e kTa e k e ------++-++-=劳斯表：2w (1)aT kTa e -- 22(1)[22]aT aT aT a e e Ta Tae k ---++--- 1w 22(1)(222)aT aT aT a e Tae e k ----+-+ 00w 22(1)(22)aT aT aT a e e Ta Tae k ---++---则：22(1)0,2(1)(222)0,2(1)(22)0aT aT aT aT aT aT aT kTa e a e Tae e k a e e Ta Tae k -------->-+-+>++--->得：2220min[,]421111aTaTa a k TaTa Ta Ta e Ta e --<<+-+--+-- 当T 增大时，使系统稳定的临界K 值越小。