华中科技大学现代控制理论76动态规划与离散系统最优控制
离散控制系统的最优控制理论
离散控制系统的最优控制理论离散控制系统的最优控制理论是控制工程领域中的一个重要研究方向。
离散控制系统是指在时间上只能在特定时间点进行操作的系统，相比连续控制系统，离散控制系统需要使用离散时间模型进行建模和控制设计。
最优控制理论是研究如何设计控制策略以使系统能够在某种指标下达到最优性能的一门学科。
离散控制系统的最优控制理论旨在寻找最优的控制策略，使得系统的性能指标如稳定性、响应速度、能耗等在给定约束条件下达到最优。
1. 离散控制系统的建模离散控制系统的建模是进行最优控制设计的基础。
在离散控制系统中，系统的状态在一系列离散时间点上进行更新。
离散控制系统的建模通常使用差分方程或状态空间模型。
差分方程描述了系统的状态在每个时间点的更新关系，而状态空间模型则将系统的状态和输入表示为向量，并使用矩阵形式描述系统的动态特性。
根据具体问题的需要，选择合适的建模方法可以更好地描述系统的动态行为。
2. 离散控制系统的性能指标离散控制系统的性能指标是评价系统控制性能的定量指标。
常见的性能指标包括稳定性、响应速度、能耗等。
稳定性是系统重要的性能指标之一，用于评估系统是否能够在有限时间内达到稳定状态。
响应速度是指系统对输入变化的快速响应能力。
能耗则是指系统在完成特定任务时所消耗的能源。
通过选取合适的性能指标，可以更好地评估和改进离散控制系统的性能。
3. 最优控制理论的基本原理最优控制理论的基本原理是寻找一组最优控制策略，使得系统的性能指标达到最优。
最优控制问题通常可以通过数学方法建立为一个优化问题。
其中，最常见的方法是最小化或最大化一个性能指标的数学表达式。
为了求解这些优化问题，可以使用动态规划、最优化理论等数学工具。
最优控制理论提供了一种系统优化设计的方法，可以帮助工程师设计更优秀的控制策略。
4. 最优控制策略的设计方法最优控制策略的设计方法取决于具体的离散控制系统和性能指标。
常见的设计方法包括经典控制方法和现代控制方法。
华中科技大学现代控制理论-7.6 动态规划与离散系统最优控制共75页文档
动态规划与离散系统最优控制(3/3)
本节将介绍解决离散系统最优控制的强有力工具--贝尔曼动 态规划,以及线性离散系统的二次最优控制问题。 ➢ 内容为 ✓ 最优性原理与离散系统的动态规划法 ✓ 线性离散系统的二次型最优控制
最优性原理与离散系统的动态规划法(1/3)
7.6.1 最优性原理与离散系统的动态规划法
➢ 至于连续系统的最优控制问题的动态规划法,不仅是一 种可供选择的有充分性的最优控制求解法,它还揭示了 动态规划与变分法、极大值原理之间的关系,具有重要 的理论价值。
最优性原理与离散系统的动态规划法(3/3)
下面分别介绍 ➢ 多阶段决策问题 ➢ 最优性原理一般问题的问题描述 ➢ 离散系统的动态规划法
多阶段决策问题(7/12)
类似于前面过程,其他各站到终 点的最短时间和相应的行车路 线如图图7-11所示.
最优性原理与离散系统的动态规划法(2/3)
动态规划的核心是贝尔曼最优性原理。
➢ 这个原理归结为一个基本的递推公式,求解多阶段决策 问题时,要从末端开始,逆向递推,直至始端。
➢ 动态规划的离散基本形式受到问题的维数的限制,应用 有一定的局限性。
➢ 但是,它用于解决线性离散系统的二次型性能指标的最 优控制问题特别有效。
为便于今后求解过程的应 用,可将从x1(3)站和x2(3)站 到终点的最短时间J[x1(3)] 和J[x2(3)]的数值标记于代 表该站的小圆圈内,如图711所示。
➢ 其他站的情况依此类推。
多阶段决策问题(5/12)
图7-11 最优行车路线图
多阶段决策问题(6/12)
由此向后倒推,继续考察倒数第2 段,计算x1(2)站和x2(2)站到终点F 的最短时间,并分别记为J[x1(2)] 和J[x2(2)]。 ➢ 由图7-10可知,从x1(2)站到达终点F的路线中下一站只能 是x1(3)站和x2(3)站中之一。 ➢ 由于从x1(3)站和x2(3)站分别前往终点的最短时间已经计 算出,因此,从x1(2)站和x2(2)到终点的最短时间分别为 J[x1(2)]=min{1+J[x1(3)],1+J[x2(3)]}=4 J[x2(2)]=min{2+J[x1(3)],2+J[x2(3)]}=5 其相应的最短时间行车路线为{x1(2),x2(3),F}和{x2(2),x2(3), F}。
华中科技大学现代控制理论 7.1 最优控制概述
目标集(1/3)
2. 目标集
动态系统在控制u(t)的作用下总要发生从一个状态到另一个 状态的转移,这种转移可以理解为状态空间的一个点或系统 状态的运动。 在最优控制问题中,系统运动的初始状态(称初态)通常是 已知的,即x(t0)=x0为已知, 而所要达到的最终状态(称末态)是控制所要求达到 的目标。
E k1 (T ) Ai 0 exp i RT i 1,2
该化学反应式可代表一大类化工操作,通常希望中间产物 B的产量尽可能大,因而要求防止后面的反应继续进行下 去。
间歇化学反应器的最大产量控制问题(2/3)
为更清楚地讨论上述产量最大的控制问题,设化学反应式的 第一步反应是二级反应,第二步反应是一级反应。 这样,可得如下间歇化学反应器内的物料平衡方程
例如, 飞船控制系统要求所携带的燃料最少或到达末态 的时间最短,而连续搅拌槽系统的性能指标为一个带函数 积分的指标,需求其最小。 由于各种最优控制问题所要解决的主要矛盾不同,设计者 的着眼点不同,因此归结出的性能指标是不同的。
性能指标(2/3)
一般形式的性能指标为
J S ( x(t f ), t f ) L( x(t ), u(t ), t )dt
飞船的月球软着陆问题(3/3)
这两个问题可归结为分别求 J1=m(tf)
J2=m(tf)
为最小的数学问题。
间歇化学反应器的最大产量控制问题(1/3)
2) 间歇化学反应器的最大产量控制问题 设间歇化学反应器内进行如下常见的化学反应
Ak1 (T ) B k2 (T ) C
式中,k1(t)和k2(t)为反应速率常数,并与温度T满足如下关系
t0 tf
最优控制问题的描述(2/2)
现代控制理论 最优控制
[∗ + ]
=
=
由变分引理
[∗
+ ]ቕ
=
= ∗
=
得证
《现代控制理论》MOOC课程
6.2.2 无约束条件的变分问题(1)
6.2.2 无约束条件的变分问题
引理：如果函数() 在区间 ∈ [ , ]上是连Βιβλιοθήκη 的，而且对于只满足某些一般条件的任意
[ + ]
=
+ ]ቕ
=
∆ +
= lim
ቤ
∆→
∆
=
+ −
= lim
→
′
1
1 2
= lim { ඐ +
+}
2
→
2
− ∗
<
则称泛函 在∗ 处是连续的。
其中， , ∗ 表示在函数空间中 与∗ 之间的距离:
泛函的变分
, ∗ = max − ∗
≤≤
泛函 增量∆ 的线性主部称为泛函的一阶变分，简称泛函的变分，记作
选定的函数()有)()(
= , 则在区间 ∈ [ , ]上有： () ≡
一 欧拉方程
讨论一个固定端点时间，固定端点状态的无约束条件变分问题。
问题: 考虑泛函为
ሶ
= න [ , (),
]
ሶ
式中 在 ∈ [ , ]上连续， [ , (),
离散控制系统中的最优控制方法
离散控制系统中的最优控制方法离散控制系统是一种在时间和状态上都是离散的控制系统，相对于连续控制系统来说，其最优控制方法也有所不同。
本文将介绍离散控制系统中的最优控制方法，主要包括动态规划、最优化算法和强化学习。
一、动态规划动态规划是一种基于状态转移的最优化方法，在离散控制系统中有着广泛的应用。
其基本思想是将原问题分解为若干子问题，并通过求解子问题的最优解来得到原问题的最优解。
在离散控制系统中，我们可以将状态和控制变量转化为状态转移方程，然后利用动态规划递推求解，得到最优的控制策略。
二、最优化算法最优化算法是一种通过迭代优化来求解最优控制问题的方法，常见的有梯度下降法、牛顿法等。
在离散控制系统中，我们可以将控制问题转化为一个优化问题，并使用最优化算法来求解最优的控制策略。
例如，在离散时间马尔可夫决策过程中，我们可以利用值迭代或策略迭代等最优化算法来求解最优策略。
三、强化学习强化学习是一种通过试错学习来求解最优控制问题的方法，其核心思想是智能体通过与环境的交互来学习最优的行为策略。
在离散控制系统中，我们可以将控制问题抽象为一个马尔可夫决策过程，并使用强化学习算法如Q-learning、SARSA等来求解最优策略。
强化学习在离散控制系统中具有较好的应用效果，在复杂的离散控制系统中能够找到近似最优的控制策略。
综上所述，离散控制系统中的最优控制方法包括动态规划、最优化算法和强化学习。
这些方法在不同的离散控制系统中有着广泛的应用，能够求解出最优的控制策略。
在实际应用中，我们需要根据具体的控制问题选择合适的方法，并结合系统的特点和需求进行调整和优化。
离散控制系统中的最优控制方法在提高系统性能和效率方面具有重要意义，对于实际工程应用具有较大的价值。
动态规划最优控制 现代控制理论 教学PPT课件
2021年4月30日
第7章第3页
看如下最短路线的例子，设由 A 至 F 的路线如图所示，要求选择一条路程最短的线路。
各地间的距离已标注在图中。
由 A 到 B(B1, B2 , B3) ，需要选择一条路线，使 AB 之间的路程最短，称为一级决策过程；
再从 B(B1, B2 , B3) 到 C(C1,C2 ,C3) 选择一条路线 ABC ，使 AC 之间的路程最短，称为二 级决策过程；从 ABCD 选择一条路线，使 AD 之间路程最短，称为三级决策过程；以此 类推。显然，对于图所示路线，从 A 到 F 共有五级决策过程。为了确定 AF 之间最短路
态变量必须满足“无后效性”。所谓无后效性的概念是：在任一时刻 tk ，系统的状态为 x(tk ) ，
以后的状态仅决定于 x(tk ) 以及 x(tk ) 达到终点时刻 t1 的状态 x(t1) 的控制策略，而与以前
的状态和以前的控制策略无关。因此，在应用动态规划方法时，要注意状态变量的选取， 使之满足“无后效性”的条件。
min
95 5 11
14
S4 (B1) C1
2021年4月30日
第7章第9页
决策变量 决策变量
J
4
(
B2
)
min
dd((BB22,,CC21
) )
J J
3 3
(C1 ) (C2 )
min
45 3 11
9
d (B2 , C3 ) J3 (C3 )
5 8
S4 (B2 ) C1
J
4
(
B3
7.4.2 离散系统的动态规划
为了讨论简单起见，将离散系统最优控制问题改提为
min
J
动态规划在最优控制中的应用
动态规划在最优控制中的应用在控制工程领域，如何实现系统的最优控制一直是一个关键且具有挑战性的问题。
动态规划作为一种有效的数学工具，为解决这类问题提供了强大的支持。
要理解动态规划在最优控制中的应用，首先得明白什么是最优控制。
简单来说，最优控制就是在满足一定约束条件的情况下，找到一种控制策略，使得某个性能指标达到最优值。
比如说，在一个生产过程中，我们希望在保证质量的前提下，以最小的成本、最短的时间生产出最多的产品，这就需要找到最优的控制策略来调整生产线上的各种参数。
那么动态规划又是如何发挥作用的呢？动态规划的核心思想是将一个复杂的多阶段决策问题分解为一系列相互关联的子问题，并通过逐步求解这些子问题来得到原问题的最优解。
举个简单的例子，假设我们要从 A 地前往 B 地，途中经过多个中间地点。
我们有多种交通方式可以选择，比如步行、骑车、坐公交或者打车。
每种交通方式都有不同的花费和所需时间。
我们的目标是在给定的预算和时间限制内，找到最快到达 B 地的路径。
这就可以看作一个最优控制问题。
使用动态规划来解决这个问题时，我们会从最后的目的地 B 开始倒推。
对于每个中间地点，我们会计算从该地点到 B 地的最优路径和成本。
然后逐步向前推进，直到起点 A。
通过这种方式，我们可以在每一步都做出最优的决策，最终得到从 A 地到 B 地的最优路径。
在实际的工程应用中，动态规划常用于解决诸如资源分配、生产调度、库存管理等问题。
以资源分配为例，假设有一定数量的资源需要分配给多个项目，每个项目对资源的需求不同，产生的效益也不同。
通过动态规划，我们可以确定如何分配资源，以使总效益达到最大。
在动态规划的求解过程中，一个重要的概念是贝尔曼最优性原理。
它指出，一个最优策略具有这样的性质：无论初始状态和初始决策如何，对于第一个决策所产生的新状态，后续的决策必须构成针对新状态的最优策略。
这就像我们前面提到的旅行例子，无论我们在哪个中间地点，后续的决策都应该是基于当前位置到达目的地的最优选择。
动态规划原理与最优控制
J *[x(2)] min {x2 (2) u2 (2) J *[x(3)]} u(2) min {x2 (2) u2 (2) [x(2) u(2)]2} u(2)
上述最优化问题的解为
u *(2) 1 x(2) 2
最优目标函数为
J *[x(2)] x2 (2) [ 1 x(2)]2 [x(2) 1 x(2)]2 3 x2 (2)
min L[x(k),u(k),k] J *[x(k 1),k 1] u(k)
J *[x(N), N] min {L[x(N),u(N), N]} u(k) 23
例1
设离散系统的状态方程为
x(k 1) x(k) u(k) k 0,1,, N 1
已知 x(0) x0
5
2
5
5
27
K=0时
J *[x(0)] min {x2 (0) u2 (0) J *[x(1)]} u(0)
min
{x2 (0) u2 (0) 8 [x(0) u(0)]2}
u(0)
5
求解可得
u *(0) 8 x(0) 13
最优目标函数为
J *[x(0)] x2 (0) [ 8 x(0)]2 8 [x(0) 8 x(0)]2 21 x2 (0)
使目标泛函
N 1
J L[x(k), u(k), k] k 0
取极小值
17
动态规划的目的
使 J 最小
即 min J
将以 x( j)为初态的 N-j(=k) 级最优决策
N
J *[x(k), k)] min{ L[x( j), u( j), j]} jk
华中科技大学现代控制理论-7.2 变分法共66页文档
有不等式约束条件的多元函数极值(2/7)
有不等式约束条件的函数极值问题的求解比等式约束条件的 函数极值问题复杂。 ➢ 受前面讨论的引入拉格朗日乘子的启发,求解不等式约束 的函数极值问题也引入了乘子的概念,其求解基本方法可 由如下库恩-塔哈克(Kuhn-Tucker)定理给出。
有不等式约束条件的多元函数极值(3/7)—定理7-1
5
0
解 先定义库恩-塔哈克函数如下
L ( x ,y ,1 ,2 ) x 2 2 y 2 1 ( y 2 ) 2 ( y 2 x 5 )
有不等式约束条件的多元函数极值(5/7)
➢ 根据库恩-塔哈克定理,极小值的必要条件如下:
L x
df(x) 0
dx xx*
d2f(x)
dxdx
0
xx*
是x*为该多元函数极值问题的解的一个充分条件。
有等式约束条件的多元函数极值(1/5)
2. 有等式约束条件的多元函数极值
有等式约束条件的多元函数极值问题可描述为
m in f ( x) x
s.t. g ( x ) 0
式中,g(x)为p维的向量变量x的向量函数,并假定其连续可微; ➢ g(x)=0即为等式约束条件。
有不等式约束条件的多元函数极值(1/7)
3. 有不等式约束条件的多元函数极值
有不等式约束条件的多元函数极值问题可描述为
m in f ( x) x
s.t. g ( x ) 0
式中,g(x)为p维的向量变量x的向量函数,并假定其连续可微; ➢ 式g(x)=0即为不等式约束,
✓ 符号“”的意思为函数向量g(x)中每个元素“小于 等于0”。
x
➢ 当(A+A)可逆时
x A A 1b H λ
离散控制系统中的最优控制
离散控制系统中的最优控制离散控制系统是指由一系列离散（非连续）的控制器构成的系统，它对系统进行离散化处理和采样，并根据采样值进行控制。
在离散控制系统中，最优控制是一种优化问题，旨在找到使给定性能指标最小化或最大化的控制策略。
本文将介绍离散控制系统中的最优控制方法和应用。
一、动态规划方法动态规划是离散控制系统最优控制的常用方法之一。
它通过将控制问题划分为一系列互相关联的子问题，逐步求解并获得最优解。
动态规划方法有以下几个步骤：1. 状态定义：将系统的状态用离散变量表示，例如状态矢量。
2. 动态规划递推方程：建立系统状态在不同时间步长之间的递推关系，用于计算最优解。
3. 边界条件：确定初始和终止条件，保证递推方程的有效求解。
4. 最优化准则：选择适当的性能指标，例如代价函数或效用函数，作为最优化准则。
5. 迭代求解：根据动态规划递推方程和最优化准则进行迭代求解，得到最优控制策略。
动态规划方法在离散控制系统中有广泛的应用。
例如，在机器人路径规划和自动化生产线调度等领域，动态规划方法可以帮助确定最优路径和最优调度策略，实现系统的高效控制。
二、最优控制理论最优控制理论是离散控制系统中另一种常用的最优控制方法。
它通过优化控制问题的最优化准则，找到使性能指标达到最小值或最大值的控制策略。
最优控制理论的核心是求解最优控制问题的最优化方程。
最优控制问题的最优化方程通常通过极值原理或哈密顿-雅可比-贝尔曼（HJB）方程来建立。
这些方程使用众多数学工具，如变分法和微分几何学，将控制问题转化为求解偏微分方程或变分问题。
通过求解最优化方程，可以得到最优控制器的具体形式和参数。
最优控制理论在离散控制系统中具有重要的应用价值。
例如，在飞行器姿态控制和无线传感网络中，最优控制理论可以帮助设计出具有最佳性能的控制器，提高系统的稳定性和响应速度。
三、模型预测控制（MPC）模型预测控制是离散控制系统中一种基于模型的最优控制方法。
它将系统建模为一个预测模型，并根据预测模型的结果来制定最优控制策略。