现代控制理论离散系统
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现代控制理论-离散
这里
0 G= 0 − 6
1 0 −5
0 1 − 2
0 h = 0 1
c = [1 1 − 1
]
10
d =2
二、连续系统的时间离散化
1、离散化的必要性
–计算机所需要的输入和输出信号是数字式的 ，时间上是离散的； –当采样周期极短时，离散系统可近似地用连 续系统特性来描述
二、连续系统的时间离散化
4、连续时间系统的离散化模型
–于是可得
x[( k + 1)T ] = Φ (T ) x ( kT ) + ∫
0 T ( k +1 )T kT
Φ [( k + 1)T − τ ]dτ Bu( kT )
=Φ (T ) x( kT ) − ∫ Φ ( t )dtBu( kT ) T Φ ( t )dt Bu( kT ) =Φ (T ) x( kT ) + ∫ 0
一、离散系统的状态空间描述
–经典控制理论中，线性离散系统的动力学方 程是用标量差分方程或脉冲传递函数来描述 的。线性定常离散系统差分方程一般形式为
y ( k + n ) + an−1 y ( k + n − 1) + ⋯a1 y ( k + 1) + a0 y ( k ) = bnu ( k + n ) + bn−1u ( k + n − 1) + ⋯ + b1u ( k + 1) + b0u ( k )
• 离散系统状态方程描述了(k+1)T时刻的状态与 离散系统状态方程描述了(k+1)T时刻的状态与 kT时刻的状态、输入量之间的关系； kT时刻的状态、输入量之间的关系； • 离散系统输出方程描述了 kT时刻的输出量与 kT时刻的输出量与 时刻的状态、输入量之间的关
现代控制理论最优控制课件
04 离散时间系统的最优控制
CHAPTER
离散时间系统的最优控制问题的描述
定义系统
离散时间系统通常由差分方程描述，包括状 态转移方程和输出方程。
确定初始状态
最优控制问题通常从一个给定的初始状态开 始，我们需要确定这个初始状态。
确定控制输入
在离散时间系统中，控制输入是离散的，我 们需要确定哪些控制输入是可行的。
工业生产领域
02 现代控制理论在工业生产领域中也得到了广泛的应用
，如过程控制、柔性制造等。
社会经济领域
03
现代控制理论在社会经济领域中也得到了广泛的应用
，如金融风险管理、能源调度等。
02 最优控制基本概念
CHAPTER
最优控制问题的描述
确定受控系统的状态和输入，以便在 给定条件下使系统的性能指标达到最 优。
LQR方法
利用LQR（线性二次调节器）设计最优控制 器。
线性二次最优控制的应用实例
经济巡航控制
在航空航天领域，通过线性二次最优控制实现燃料消 耗最小化。
电力系统控制
在电力系统中，利用线性二次最优控制实现稳定运行 和最小化损耗。
机器人控制
在机器人领域，通过线性二次最优控制实现轨迹跟踪 和避障等任务。
03
02
时变控制系统
04
非线性控制系统
如果系统的输出与输入之间存在 非线性关系，那么该系统就被称 为非线性控制系统。
这类系统的特点是系统的参数随 时间而变化。
静态控制系统
这类系统的特点是系统的输出与 输入之间没有时间上的依赖关系 。
发展历程
古典控制理论
这是最优控制理论的初级阶段，其研究的主 要对象是单输入单输出系统，主要方法是频 率分析法和根轨迹法。
现代控制理论第三章-02-关于离散
8/17/2017 8:03 PM
Modern Control Theory
5
Ⅰ-3. 对连续系统采样而得到的离散系统
∑[A(t), B(t)] →(采样后) ∑[G(k), H(k)]
1 由 ∑[A(t), B(t)]的状态空间模型导出
0
这也就是连续系统∑[A(t), B(t)] 的离散化问题
（ discretization ）
Book 50
进一步,当采样周期远远小于系统中最小时间常数 T0 <<Tmin, 且系统离散化要求也不高时,则可用近似简化模型: G(k )=G TA+I; Book 50
H(k ) H TB; C(k ) C, D(k ) D
下面，我们用一个实例给予说明
8/17/2017 8:03 PM
于是，可以有以下方法推出：
1 部分分式法 注意 ：单极点 → 导出对角线规范形
0
重极点 →导出Jordan 规范形
8/17/2017 8:03 PM
Modern Control Theory
4
2 z-域框图法
0
注意:
最简传函形式为：
ki a i (z bi e ci T0 )
, 其中
ai 0
X(k 1) G (k)x(k) H (k)u(k) [G (k), H(k)] Y(k) C(k)x(k) D(k)u(k ) 注意到： t t 0 , k 0; t t 0 T0 , k 1; t = t 0 2T0 , k 2, 这样：G(k )=Φ[(k +1)T0 ,kT0 ] or Φ[( k+1),k ] 或 e k 一般, H (k)
《现代控制理论》第一章
q1(t) h1(t)
R1 q 2(t)
h2(t)
R2 q 3(t)
h3(t)
R3 q 4(t)
返回
[例2]：图示阻容电路。输入量：输入电压u1（t）。输出流量：电容上的 电压u2（t）。列写状态空间表达式。
R1
R2
u1（t）
i1（t） L
i2（t） C
u2（t）
返回
四. 根据微分方程或传递函数建立状态空间表达式
a0
状态空间表达式为：
0 1 0 0
x
0
0
1
x
0u
a0 a1 a2 1
y b0 b1 b2 x b3u
返回
2、控制系统的原始模型为传递函数的零极点分布形式
（1）无重极点；
Y(s)
F (s)
ABC
U (s) (s a)(s b)(s c) (s a) (s b) (s c)
xynm11((tt))
f [x(t),u(t),t] g[ x(t ), u (t ), t ]
• 输入向量、输出向量、状态向量
• 状态方程为一阶微分方程组的向量矩阵表示形式
• 输出方程为代数方程组的向量矩阵表示形式
• 研究重点为线性定常系统（A、B、C、D常数矩阵）
2. 控制系统结构图
二、控制系统中状态空间表达式及结构框图 1.状态空间表达式的一般形式（四种）
（1） 线性定常系统状态空间表达式 （2） 线性时变系统状态空间表达式
yx nm11((tt))ACnmnnxxnn11((tt))BDnmrururr1(1t()t)
yx nm11((tt))
现代控制理论(第二章)
(1)
若初始时刻 时的状态给定为
则式(1)有唯一确定解：
若初始时刻从
开始，即
(2) 则其解为：
证明： 级数形式
和标量微分方程求解类似，先假设式(1)的解
(3) 为 的矢量幂
(4) 代入式(1)得：
(5)
既然式(4)是式(1)的解，则式(5)对任意时刻 都成立，故 的同次 幂项的系数应相等，有：
在式(4)中，令
e t e 2 t e t 2 e 2 t
x ( t ) L 1 ( s I A ) 1 x ( 0 ) L 1 ( s I A ) 1 B ( s ) U
s3
1
sIA1bU(s)(s1)(s2)
2
(s1)s(s2)1 01s
(s1)(s2) (s1)(s2)
eAtPeAtP1Pe0 1t
e0 2tP111
1et 20
02 1 e2t1 1
et e2t 2 1 2et e2t
et e2t
et 2e2t1 12et 2e2t et 2e2t
3）用拉氏变换法求解 e A tL 1 (s I A ) 1
s3
sIA1 2s
11 s3
(s
1)(s 2
或
（1）
即
2.5.2 Z 变换法
（2）
对于线性定常离散系统的状态方程，也可以来用 Z 变换法来求解。
设定常离散系统的状态方程是：
对上式两端进行 Z 变换，有： 或
线性时变系统的非齐次状态方程为：
且
的元素在时间区间
（17） 内分段连续，则其解为：
（18）
证明 线性系统满足叠加原理，故可将式(17)的解看成由初始状态
现代控制原理2-3离散系统
−T −T −T
−T −T
−T
)
−T
z 2 − (1 + e −T ) z + e −T
)
0 x( k + 1) = −T -e
0 x ( k ) + u( k ) −T 1+ e 1 1
y( k ) = 1 − e −T − Te − T
T − 1 + e −T x( k )
x(k+1) = [I +TA]x(k) + TBu(k) G = I +TA H =TB
17
0 1 0 & 的近似离散化方程。 例2-13 求 x = x + 1 u 的近似离散化方程。 0 −2
解： G = I + TA = 1 0 + 0 − T = 1 − T 0 1 0 − 2T 0 1 − 2T
x( k + 1) = G ( k ) x( k ) + H ( k )u( k ) y( k ) = C ( k ) x ( k ) + D( k )u( k )
2
2.结构图 2.结构图
3
3.差分方程和脉冲传递函数与离散状态空间表 3.差分方程和脉冲传递函数与离散状态空间表 达式之间的转换 在单变量离散系统中， 在单变量离散系统中，数学模型分为差分方程 和脉冲传递函数两类， 和脉冲传递函数两类，它们与离散状态空间表达式 之间的变换，和连续系统分析相类似。 之间的变换，和连续系统分析相类似。 离散 差分方程 连续 D.E
x1 ( k ) y ( k ) = [1 −4 ] + u( k ) x2 ( k )
−T −T
−T
)
−T
z 2 − (1 + e −T ) z + e −T
)
0 x( k + 1) = −T -e
0 x ( k ) + u( k ) −T 1+ e 1 1
y( k ) = 1 − e −T − Te − T
T − 1 + e −T x( k )
x(k+1) = [I +TA]x(k) + TBu(k) G = I +TA H =TB
17
0 1 0 & 的近似离散化方程。 例2-13 求 x = x + 1 u 的近似离散化方程。 0 −2
解： G = I + TA = 1 0 + 0 − T = 1 − T 0 1 0 − 2T 0 1 − 2T
x( k + 1) = G ( k ) x( k ) + H ( k )u( k ) y( k ) = C ( k ) x ( k ) + D( k )u( k )
2
2.结构图 2.结构图
3
3.差分方程和脉冲传递函数与离散状态空间表 3.差分方程和脉冲传递函数与离散状态空间表 达式之间的转换 在单变量离散系统中， 在单变量离散系统中，数学模型分为差分方程 和脉冲传递函数两类， 和脉冲传递函数两类，它们与离散状态空间表达式 之间的变换，和连续系统分析相类似。 之间的变换，和连续系统分析相类似。 离散 差分方程 连续 D.E
x1 ( k ) y ( k ) = [1 −4 ] + u( k ) x2 ( k )
现代控制理论3 第三章 线性系统的可控性和可观测性
A'
0
0
0
a0 a1 a2
0
0 可
0
0
B'
控 标
1
an1
0 1
准 形
AT=A’
BT=B’
0 0 0 1 0 0 A 0 1 0
a0
a1
C 0
0 1
0 0
a2
可观标准形
1 an1
结论：状态方程具有可观测标准形的系统一定可观测。
C 0 0
CA
0
0
V
CA2
3.2线性定常系统的可观测性
1．线性定常离散系统状态可观测性
(1) 离散系统可观测定义
x(k 1) Gx(k) Hu(k ) y(k) Cx(k) Du(k)
已知输入u(0)，…，u(n－1)的情况下，通过在
有限个采样周期内测量到的输出y(0)，y(1)，…， y(n-1)，能唯一地确定任意初始状态x(0)的n个分量， 则称系统是完全可观测的，简称系统可观测。
(2) 线性定常连续系统可控性判据
若线性定常连续系统的状态方程为
x Ax Bu
则该系统可控的充分必要条件为其可控性矩阵
Sc B AB
满秩，即 rankSc n
An1B
示例
(3) 可控标准形
结论：状态方程具有可控标准形的系统一定可控。
x1 0
x2
0
xn
1
0
xn a0
使上述方程组有解的充分必要条件是
Sc' Gn1H
GH H
满秩，且 rankSc' n
亦即 Sc H GH
Gn1H 且rankSc n
离散可控性例题
现代控制理论第二章
第二章 控制系统状态空间表达式的解建立了控制系统状态空间表达式之后，就是讨论求解的问题，本章重点讨论状态转移矩阵的定义，性质和计算方法，从而导出状态方程的求解公式并讨论连续时间系统状态方程的离散化的问题。
§2-1线性定常齐次状态方程的解（自由解）所谓自由解是指系统输入为零时，由初始状态引起的自由运动。
状态方程为齐次矩阵微分方程：AX X= （2－1）若初始时刻0t 时的状态给定为00)(x t x =，则式（2-1）有唯一确定解。
0)(0)(x e t x t t A -=，0t t ≥（2－2）若初始时刻从0=t 开始，即0)0(x x =，则其解为：0)(x e t x At =， 0t t ≥（2－3）证：先假设式（2-1）的解)(t x 为t 的矢量幂级数形式，即：+++++=k k t b t b t b b t x 2210)(（2－4）对上式求导： ++++=-1232132)(k k t kb t b t b b t x代人式（2-1）得：A x= ( +++++kk t b t b t b b 2210) （2－5）既然式（2-4）是（2-1）的解，则式（2-5）对任意时刻t 都成立，故t 的同次幂项的系数应相等，有：01Ab b =，0212!2121b A Ab b ==，0323!3131b A Ab b ==，… 01!11b A k Ab kb k k k ==-，… 在式（2-4）中，令0=t ，可得：00)0(x x b == 将以上结果代人式（2-4），故得：022)!1!211()(x t A k t A At t x k k +++++= （2－6）括号内的展开式是n n ⨯矩阵，它是一个矩阵指数函数，记为At e221112!!At k ke At A t A t K =+++++ （2－7）式（2-6）可表示为：0()At x t e x =再用)(0t t -代替)0(-t ，即在代替t 的情况下，同样证明0)(0)(x e t x t t A -=的正确性。
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Y (z) n1zn1Q(z) 1Q(z) 0Q(z)
设 X1(z) Q(z)
X 2 (z) zQ(z) zX1(z) X n (z) z n Q 1 (z) zX n1(z)
整理ppt
6
则
znQ(z) a0 X1(z) a1X 2 (z) an1X n (z) U (z)
Y (z) 0 X1(z) 1X 2 (z) n1X n (z) 利用z反变换关系
Z [1 X i (z)] xi (k ) Z [1 zX i (z)] xi (k 1)
整理ppt
7
动态方程为
x1(k 1) x2 (k) x2 (k 1) x3 (k) xn1(k 1) xn (k ) xn (k 1) a0 x1(k) a1x2 (k) a x n1 n (k) u(k)
y(k) 0 1 n1x(k) bnu(k)
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9
简记为
x(k 1) Gx(k) hu(k) y(k) cx(k) du(k)
线性定常多输入—多输出离散系统的动态方程为
x(k 1) Gx(k) Hu(k) y(k) Cx(k) Du(k)
整理ppt
10
（2）定常连续动态方程的离散化
y(k ) 0 x1(k ) 1x2 (k ) n1xn (k )
整理ppt
8
向量—矩阵形式为
x1(k 1) 0 1 0 0 x1(k) 0
x2
(k
1)
0
0
1
0
x2
(k
)
0
u(k)
xn1
(k
1)
0
0
0
1
xn1
(k
)
0
xn (k 1) - a0 - a1 - a2 - an-1xn (k) 1
由于此式避免了矩阵求逆，在判断系统的可 控性时比较方便
整理ppt
18
（2.2）对于多输入系统，设系统的状态方程 为
x(k 1) Gx(k) Hu(k)
1 线性定常离散系统的可控性 （1）定义：n阶线性定常离散系统
x(k 1) Gx(k) Hu(k) 若存在控制序列 u(k),u(k 1)u(l 1能) 将第 k步其是是l中能的 能控某 控是的的个大，。状于那若态l 么系在的此统第有系在限l步k统第数到是，达步能那零上控么状的的就态k所，称，有称此及状为状x态(能态)都=控0, 系统
记 G(t) k(Tk1)T [(k 1)T ]Bd
整理ppt
12
故离散化状态方程为
x(k 1) (T )x(k) G(T )u(k)
式中 (T ) 与连续系统状态转移矩阵(T ) 的
关系为
(T ) (t) tT
离散化系统的输出方程仍为
y(k) Cx(k) Du(k)
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13
二 线性定常离散事件系统的可控性与可观性
bn
zn
n1z n1 1z 0
an1z n1 a1z
a0
bn
N(z) D(z)
整理ppt
4
在N(z)/D(z)的串联分解中引入中间变量Q(z)
u
1
zn
a z n1 n1
a1z
a0
z
n1zn1 1z 0
y
整理ppt
5
可以得到
znQ(z) an1zn1Q(z) a1zQ(z) a0Q(z) U (z)
b uk n bn 1uk n 1 b0uk k 0, 1, 2, n
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3
考虑初始条件为零时的z变换关系有
Z[ y(k)] Y (z)
Z[ y(k i)] zY (z)
对式两端取z变换加以整理，可得G(z)来自Y (z) U (z)
bnz n bn zn an
1z n1 b1z b0 1z n1 a1z a0
一 线性离散定常系统状态方程的建立 二 线性离散定常系统能控能观性
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1
一 线性离散系统状态表达式的建立及 方程
1 离散系统的特点 系统中的各个变量被处理成为只在 离散时刻取值，其状态空间描述只 反映离散时刻的变量组间的因果关 系和转换关系，因而这类系统通常 称为离散时间系统，简称为离散系 统。
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14
（2）可控性判据 （2.1）设单输入线性定常系统的状态方程为
x(k 1) Gx(k) hu(k)
状态方程的解为
x(k
)
G
k
x(0)
G k 1
k
1i hu (i )
i0
根据可控性定义，假定k=n时，x(n)=0,将式 两端左乘G-n则有
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15
x(0) n1G1ihu(i) i0 [G1hu(0) G2hu(1) Gnhu(n 1)]
rank S’1=n 或矩阵S’1的行列式不为零
detS’1≠0 或矩阵S’1是非奇异的
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17
由于满秩矩阵与另一满秩矩阵Gn相乘其秩不 变， 故
rankS1'
rank[G
n
S' 1
]
rank G h n1 Gh h n
交换矩阵的列，且记为S1其秩也不变，故有
rankS1 rankh Gh G h n1 n
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2
2 线性离散系统的动态方程可以利用系统的 差分方程建立，也可以利用线性连续动态 方程的离散化得到
（1）由差分方程建立动态方程 在经典控制理论中离散时间系统通常用差 分方程或脉冲传递函数来描述。单输入— 单输出线性定常差分方程的一般形式为
yk n an 1 yk n 1 a yk 1 a0 yk 1
u(0)
G h 1
G2h
Gnh
u(1)
u(n 1)
记
S' 1
G h 1
G2h Gnh
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16
称S’1为n×n可控矩阵。由线性方程组解的 存在性定理可知，当矩阵s’1的秩与增广矩 阵[S’|x(0)]的秩相等时，方程组有唯一解， 否则无解。在x(0)为任意的情况下，使方程 组有解的充分必要条件是矩阵S’1满秩，即
已知定常连续系统动态方程
•
x Ax Bu
在x(t0)及u(t)作用下的解为
x(t
)
(t
t0
)
x(t0
)
tt 0
(t
)
Bu(
)d
令
t0 kT
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11
则
x(t0) x(kT ) x(k)
在区间 t [k,k 1) 内，u(t) u(k) 常数，于 是其解化为
x(k 1) [(k 1)T kT ]x(k) k(Tk1)T [(k 1)T ]Bd • u(k)
设 X1(z) Q(z)
X 2 (z) zQ(z) zX1(z) X n (z) z n Q 1 (z) zX n1(z)
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6
则
znQ(z) a0 X1(z) a1X 2 (z) an1X n (z) U (z)
Y (z) 0 X1(z) 1X 2 (z) n1X n (z) 利用z反变换关系
Z [1 X i (z)] xi (k ) Z [1 zX i (z)] xi (k 1)
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7
动态方程为
x1(k 1) x2 (k) x2 (k 1) x3 (k) xn1(k 1) xn (k ) xn (k 1) a0 x1(k) a1x2 (k) a x n1 n (k) u(k)
y(k) 0 1 n1x(k) bnu(k)
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9
简记为
x(k 1) Gx(k) hu(k) y(k) cx(k) du(k)
线性定常多输入—多输出离散系统的动态方程为
x(k 1) Gx(k) Hu(k) y(k) Cx(k) Du(k)
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10
（2）定常连续动态方程的离散化
y(k ) 0 x1(k ) 1x2 (k ) n1xn (k )
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8
向量—矩阵形式为
x1(k 1) 0 1 0 0 x1(k) 0
x2
(k
1)
0
0
1
0
x2
(k
)
0
u(k)
xn1
(k
1)
0
0
0
1
xn1
(k
)
0
xn (k 1) - a0 - a1 - a2 - an-1xn (k) 1
由于此式避免了矩阵求逆，在判断系统的可 控性时比较方便
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18
（2.2）对于多输入系统，设系统的状态方程 为
x(k 1) Gx(k) Hu(k)
1 线性定常离散系统的可控性 （1）定义：n阶线性定常离散系统
x(k 1) Gx(k) Hu(k) 若存在控制序列 u(k),u(k 1)u(l 1能) 将第 k步其是是l中能的 能控某 控是的的个大，。状于那若态l 么系在的此统第有系在限l步k统第数到是，达步能那零上控么状的的就态k所，称，有称此及状为状x态(能态)都=控0, 系统
记 G(t) k(Tk1)T [(k 1)T ]Bd
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12
故离散化状态方程为
x(k 1) (T )x(k) G(T )u(k)
式中 (T ) 与连续系统状态转移矩阵(T ) 的
关系为
(T ) (t) tT
离散化系统的输出方程仍为
y(k) Cx(k) Du(k)
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13
二 线性定常离散事件系统的可控性与可观性
bn
zn
n1z n1 1z 0
an1z n1 a1z
a0
bn
N(z) D(z)
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4
在N(z)/D(z)的串联分解中引入中间变量Q(z)
u
1
zn
a z n1 n1
a1z
a0
z
n1zn1 1z 0
y
整理ppt
5
可以得到
znQ(z) an1zn1Q(z) a1zQ(z) a0Q(z) U (z)
b uk n bn 1uk n 1 b0uk k 0, 1, 2, n
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3
考虑初始条件为零时的z变换关系有
Z[ y(k)] Y (z)
Z[ y(k i)] zY (z)
对式两端取z变换加以整理，可得G(z)来自Y (z) U (z)
bnz n bn zn an
1z n1 b1z b0 1z n1 a1z a0
一 线性离散定常系统状态方程的建立 二 线性离散定常系统能控能观性
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一 线性离散系统状态表达式的建立及 方程
1 离散系统的特点 系统中的各个变量被处理成为只在 离散时刻取值，其状态空间描述只 反映离散时刻的变量组间的因果关 系和转换关系，因而这类系统通常 称为离散时间系统，简称为离散系 统。
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（2）可控性判据 （2.1）设单输入线性定常系统的状态方程为
x(k 1) Gx(k) hu(k)
状态方程的解为
x(k
)
G
k
x(0)
G k 1
k
1i hu (i )
i0
根据可控性定义，假定k=n时，x(n)=0,将式 两端左乘G-n则有
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x(0) n1G1ihu(i) i0 [G1hu(0) G2hu(1) Gnhu(n 1)]
rank S’1=n 或矩阵S’1的行列式不为零
detS’1≠0 或矩阵S’1是非奇异的
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由于满秩矩阵与另一满秩矩阵Gn相乘其秩不 变， 故
rankS1'
rank[G
n
S' 1
]
rank G h n1 Gh h n
交换矩阵的列，且记为S1其秩也不变，故有
rankS1 rankh Gh G h n1 n
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2 线性离散系统的动态方程可以利用系统的 差分方程建立，也可以利用线性连续动态 方程的离散化得到
（1）由差分方程建立动态方程 在经典控制理论中离散时间系统通常用差 分方程或脉冲传递函数来描述。单输入— 单输出线性定常差分方程的一般形式为
yk n an 1 yk n 1 a yk 1 a0 yk 1
u(0)
G h 1
G2h
Gnh
u(1)
u(n 1)
记
S' 1
G h 1
G2h Gnh
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称S’1为n×n可控矩阵。由线性方程组解的 存在性定理可知，当矩阵s’1的秩与增广矩 阵[S’|x(0)]的秩相等时，方程组有唯一解， 否则无解。在x(0)为任意的情况下，使方程 组有解的充分必要条件是矩阵S’1满秩，即
已知定常连续系统动态方程
•
x Ax Bu
在x(t0)及u(t)作用下的解为
x(t
)
(t
t0
)
x(t0
)
tt 0
(t
)
Bu(
)d
令
t0 kT
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则
x(t0) x(kT ) x(k)
在区间 t [k,k 1) 内，u(t) u(k) 常数，于 是其解化为
x(k 1) [(k 1)T kT ]x(k) k(Tk1)T [(k 1)T ]Bd • u(k)