现代控制理论(第三章)
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现代控制理论课件chapter3
L10
Chapter 3 Controllability and Observability of Linear Control Systems
引言
古典中：Y(s)既是输出又是被控量
(1)、 Y(s)肯定与R(s)有关系 ， (2)、 Y(s)肯定是可测量的。 因此，只要满足稳定，肯定能控能观
Modern Control Theory
现代控制理论 Modern Control Theory
沈阳建筑大学 信息与控制工程学院
第三章
线性控制系统的能控性和能观测性
Chapter 3 Controllability and Observability of Linear Control Systems
L10
Chapter 3 Controllability and Observability of Linear Control Systems
t0 t
若状态x(t 0 )为能控的，则有u (t )使x(t f ) 0 x(t f ) (t f , t 0 ) x(t 0 )
1
tf
t0
(t f , ) B( )u ( )d 0
因此x(t 0 ) (t f , t 0 ) x(t 0 )
tf
t0
(t f , ) B( )u ( )d
tf
t0
(t 0 , ) B( )u ( )d
Modern Control Theory
L10
Chapter 3 Controllability and Observability of Linear Control Systems
3.1.1 时变系统的能控性
现代控制理论第3章
f 0 (t f ) f (t ) n 1 1 f 有唯一解 A B f ( t ) n 1 f
(t f )]
X(0) B
AB
f 0 (t f ),
,f
n1
(t f )
2 rank [ B AB A B
A n1B] n
2 P2 A ( P A ) A P A P3 1 1 3 P3 A ( P2 A) A P A P4 1
n 1 Pn 1 A ( Pn 2 A) A P A Pn 1
P P 1 1 P P A P 2 1 , 其中P 1 ? n 1 P P A n 1 P 0 1B P AB 0 , 转置以后得 PB 1 n 1 P A B 1 1 1B P P 1 B P 1 AB AB
3.2控制系统的能观性
自动化学院 CISIA
一.能观性定义
定义： 对于线性定常系统 x Ax Bu, y Cx
在任意给定的输入 u(t) 下，能够根据输出量 y(t) 在
有限时间区间 [t0,tf] 内的测量值，唯一地确定系统
在 t0 时刻的初始状态 x(t0 )，就称系统状态x(t0 )是
X AX BU X PX Y CX
Y CX
X AX BU
A P 1 AP P非奇异 其中 B P 1B A与A为相似矩阵 C CP
det A det A, Rank ( A) Rank ( A)
a
i 1
n
ii
a ii ,
2.问题的提出 能控性问题？
(t f )]
X(0) B
AB
f 0 (t f ),
,f
n1
(t f )
2 rank [ B AB A B
A n1B] n
2 P2 A ( P A ) A P A P3 1 1 3 P3 A ( P2 A) A P A P4 1
n 1 Pn 1 A ( Pn 2 A) A P A Pn 1
P P 1 1 P P A P 2 1 , 其中P 1 ? n 1 P P A n 1 P 0 1B P AB 0 , 转置以后得 PB 1 n 1 P A B 1 1 1B P P 1 B P 1 AB AB
3.2控制系统的能观性
自动化学院 CISIA
一.能观性定义
定义： 对于线性定常系统 x Ax Bu, y Cx
在任意给定的输入 u(t) 下，能够根据输出量 y(t) 在
有限时间区间 [t0,tf] 内的测量值，唯一地确定系统
在 t0 时刻的初始状态 x(t0 )，就称系统状态x(t0 )是
X AX BU X PX Y CX
Y CX
X AX BU
A P 1 AP P非奇异 其中 B P 1B A与A为相似矩阵 C CP
det A det A, Rank ( A) Rank ( A)
a
i 1
n
ii
a ii ,
2.问题的提出 能控性问题？
现代控制理论-线性控制系统的能控性与能观性例题精选全文完整版
x Ax Bu
如果线性定常系统： y Cx 是状态不完全能控的， 它的能控性判别矩阵的秩
rankM n1 n
则存在非奇异变换：x Rcxˆ
将状态空间描述变换为：
xˆ y
Aˆ xˆ Cˆ xˆ
Bˆ u
n1 n n1
其中：
xˆ
xˆ1
xˆ
2
n1
n n1
Aˆ
R c1AR c
Aˆ 11 0
3.6.1 线性系统的对偶关系
线性系统1、2如下：
1：yx 11
A1x1 C1x1
B1u1
2：
x 2 y 2
A2x2 C2x2
B2u2
如果满足如下关系
A2 A1T , B2 C1T , C2 B1T
则称两系统是互为对偶的.
u1(t) B
x1(t)
x1(t)
++
∫
y1(t) C
A
y2(t) BT
0
A 0 1 0 , b 0, c 1 1 1
1 4 3
1
解： 能控性矩阵
0 1 4
M b Ab A2b 0 0
0
1 3 8
rankM 2 n1 dim A n 3 不能控
构造变换矩阵
0 1 0 Rc 0 0 1
1 3 0
✓与前2个列向量 线性无关； ✓尽可能简单
结构分解
u
co
y
co
依据能控能观 性，将系统分解
co
为四个子系统
co
x Ax Bu
y Cx Du
特殊的线性变换
x xTco xTco xTco xTco
分解步骤：
1、将系统分解成能控与不能控子系统；
如果线性定常系统： y Cx 是状态不完全能控的， 它的能控性判别矩阵的秩
rankM n1 n
则存在非奇异变换：x Rcxˆ
将状态空间描述变换为：
xˆ y
Aˆ xˆ Cˆ xˆ
Bˆ u
n1 n n1
其中：
xˆ
xˆ1
xˆ
2
n1
n n1
Aˆ
R c1AR c
Aˆ 11 0
3.6.1 线性系统的对偶关系
线性系统1、2如下：
1：yx 11
A1x1 C1x1
B1u1
2：
x 2 y 2
A2x2 C2x2
B2u2
如果满足如下关系
A2 A1T , B2 C1T , C2 B1T
则称两系统是互为对偶的.
u1(t) B
x1(t)
x1(t)
++
∫
y1(t) C
A
y2(t) BT
0
A 0 1 0 , b 0, c 1 1 1
1 4 3
1
解： 能控性矩阵
0 1 4
M b Ab A2b 0 0
0
1 3 8
rankM 2 n1 dim A n 3 不能控
构造变换矩阵
0 1 0 Rc 0 0 1
1 3 0
✓与前2个列向量 线性无关； ✓尽可能简单
结构分解
u
co
y
co
依据能控能观 性，将系统分解
co
为四个子系统
co
x Ax Bu
y Cx Du
特殊的线性变换
x xTco xTco xTco xTco
分解步骤：
1、将系统分解成能控与不能控子系统；
现代控制理论3 第三章 线性系统的可控性和可观测性
A'
0
0
0
a0 a1 a2
0
0 可
0
0
B'
控 标
1
an1
0 1
准 形
AT=A’
BT=B’
0 0 0 1 0 0 A 0 1 0
a0
a1
C 0
0 1
0 0
a2
可观标准形
1 an1
结论：状态方程具有可观测标准形的系统一定可观测。
C 0 0
CA
0
0
V
CA2
3.2线性定常系统的可观测性
1．线性定常离散系统状态可观测性
(1) 离散系统可观测定义
x(k 1) Gx(k) Hu(k ) y(k) Cx(k) Du(k)
已知输入u(0)，…，u(n－1)的情况下，通过在
有限个采样周期内测量到的输出y(0)，y(1)，…， y(n-1)，能唯一地确定任意初始状态x(0)的n个分量， 则称系统是完全可观测的，简称系统可观测。
(2) 线性定常连续系统可控性判据
若线性定常连续系统的状态方程为
x Ax Bu
则该系统可控的充分必要条件为其可控性矩阵
Sc B AB
满秩，即 rankSc n
An1B
示例
(3) 可控标准形
结论：状态方程具有可控标准形的系统一定可控。
x1 0
x2
0
xn
1
0
xn a0
使上述方程组有解的充分必要条件是
Sc' Gn1H
GH H
满秩，且 rankSc' n
亦即 Sc H GH
Gn1H 且rankSc n
离散可控性例题
现代控制理论习题解答(第三章)
第三章 线性控制系统的能控性和能观性3-3-1 判断下列系统的状态能控性。
（1）⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=01,0101B A （2）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=111001,342100010B A （3）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=020011,100030013B A （4）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1110,0000000011111B A λλλλ 【解】：(1)[]2,1011==⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==n rankU AB BU c c ，所以系统完全能控。
(2)[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---==7111111010012B A ABBU c 前三列已经可使3==n rankU c ，所以系统完全能控（后续列元素不必计算）。
（3）A 为约旦标准型，且第一个约旦块对应的B 阵最后一行元素全为零，所以系统不完全能控。
（4）A 阵为约旦标准型的特殊结构特征，所以不能用常规标准型的判别方法判系统的能控性。
同一特征值对应着多个约旦块，只要是单输入系统，一定是不完全能控的。
可以求一下能控判别阵。
[]2,111321031211312113121121132=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡==c c rankU B A BA AB BU λλλλλλλλλλλ，所以系统不完全能控。
3-3-2 判断下列系统的输出能控性。
(1) ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=xy u x x 011101020011100030013 (2) []⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=x y u x x 0011006116100010【解】： （1）已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=020011,100030013B A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=011101C ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0000D []⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=111300002B CA CAB CB D前两列已经使[]22==m B CA CAB CB D rank ，所以系统输出能控。
现代控制理论第三章PPT
( A
c1
,bc1 ) 的能控性，其中
1 0 0 0 A c1 0 0 2 5
解：
0 0 1 0 0 1 1 10
0 0 b c1 0 1
0 1 0 0 0 0 1 10 A3 c1b c1 0 1 10 101 1 10 101 1025
若取
u( t ) B( t )T ΦT ( t0 ,t )Wc1( t0 ,t f )x( t0 )
tf t0
x( t f ) Φ( t f ,t0 )[ x( t0 )
Φ( t0 ,t )B( t )B( t )T ΦT ( t0 ,t )Wc1( t0 ,t f )x( t0 )dt ]
( k 1,2, , n 1 )
假设 F( t ) Φ( t0 ,t )B( t ) 对上式关于时间t求一阶、二阶、直至n-1阶导数 ，可得
(t ) Φ (t , t )B(t ) Φ(t , t )B (t ) F 0 0
(t ) Φ(t0 , t )A(t )B(t ) Φ(t0 , t )B
实现最优控制和最优估值及其它系统综合
与校正的必要条件。
4.1 系统的能控性
[定义]设系统的状态方程为
(t ) A(t )x(t ) B(t )u(t ) x
对于任意非零初始状态 x(t0 ) ，如果存在容许控制u(t ) ，在有限时区
t [t0 , t f ] 将其转移到状态空间原点，即 x(t f ) 0 ，则称系统在
(t )] Φ(t0 , t )[A(t )B(t ) B
Φ(t0 , t )B1 (t )
现代控制理论第三章
方法一： 直接根据状态方程的A阵和B阵
方法二：
转化为约旦标准形 ( Aˆ, Bˆ ) ，再根据 Bˆ 判断
方法三： 传递函数
3.2 线性连续系统的能控性
方法一：线性定常连续系统(A，B), 其状态完全能控的 充要条件是其能控性矩阵的秩为n，即：
rankQc = n Qc = [ B AB A2B … An 1B ]
0 0 2
3
4 1 0
4 2
(2)
x (t)
0
4
0 x(t) 0 0u(t)
0 0 2
3 0
3.2 线性连续系统的能控性 方法三：
3.2 线性连续系统的能控性 例：从输入和状态矢量间的传递函数确定其能控性？
3.2 线性连续系统的能控性 例：判断线性连续系统能控性？
解：
3.2 线性连续系统的能控性
3.3 线性系统的能观测性
例：判断能观测性？
x (t)
2 1
1 3
x(t
)
1
1
u(t)
y(t
)
1 1
0 0 x(t)
解：
C Q0 CA
10 1 0
2 1 2 1
rankQo = 2 = n
系统能观测
3.3 线性系统的能观测性
例： 若系统的状态空间表达式为
x (t)
a d
5
x(t
)
1
7
（2）
x (t)
5
x(t)
1
y(t) 0 4 5x(t)
3 2 0 y(t) 0 3 1 x(t)
（3）
3 1 0
0 3 1
x (t) 0 0 3
x(t)
2
方法二：
转化为约旦标准形 ( Aˆ, Bˆ ) ，再根据 Bˆ 判断
方法三： 传递函数
3.2 线性连续系统的能控性
方法一：线性定常连续系统(A，B), 其状态完全能控的 充要条件是其能控性矩阵的秩为n，即：
rankQc = n Qc = [ B AB A2B … An 1B ]
0 0 2
3
4 1 0
4 2
(2)
x (t)
0
4
0 x(t) 0 0u(t)
0 0 2
3 0
3.2 线性连续系统的能控性 方法三：
3.2 线性连续系统的能控性 例：从输入和状态矢量间的传递函数确定其能控性？
3.2 线性连续系统的能控性 例：判断线性连续系统能控性？
解：
3.2 线性连续系统的能控性
3.3 线性系统的能观测性
例：判断能观测性？
x (t)
2 1
1 3
x(t
)
1
1
u(t)
y(t
)
1 1
0 0 x(t)
解：
C Q0 CA
10 1 0
2 1 2 1
rankQo = 2 = n
系统能观测
3.3 线性系统的能观测性
例： 若系统的状态空间表达式为
x (t)
a d
5
x(t
)
1
7
（2）
x (t)
5
x(t)
1
y(t) 0 4 5x(t)
3 2 0 y(t) 0 3 1 x(t)
（3）
3 1 0
0 3 1
x (t) 0 0 3
x(t)
2
现代控制理论第三章
B
AB
0 1 An 1B n 1
如果系统是能控的，对于任意给定的初始状态x(0)都 能解出 i , i 0, , n 1，其有解的充分必要条件为
rank B AB An 1 B n
判断下面系统的能控性
输出能控性定义:如果系统的输入信号能在有限的 时间区间[t0，tf]内，将系统的任意初始输出转移到y(tf)， 那么该系统为输出完全能控的。
输出能控性判据：考虑系统
x ' Ax Bu y Cx Du
状态完全能控的充分必要条件是
rank CB CAB CAn 1 B D m
上式表明，根据在[0，tf]时间的量测值y(t)，能够 将初始状态x(0)唯一地确定下来的充要条件是
C CA n rank n 1 CA
（1）在能观测性定义中之所以把其规定为对初始 状态的确定，是因为一旦确定了初始状态，便可以 根据给定的输入信号u(t)，利用状态转移方程求出系 统在各个瞬时的状态。 （2）能观测性表示的是y(t)反映状态向量x(t)的能 力，考虑到输入信号u(t)所引起的输出是可计算的， 所以在分析能观测性问题时，常令u(t)=0。
S1的能控性等价于S2的能观性
S1的能观性等价于S2的能控性
四、能控标准型和能观标准型（单变量系统线性系统） 1 、能控标准型 若系统的状态空间表达式为：
x ' Ac x bcu y Cc x
0 Ac 0 an
1 0 an 1
0 1 a1
能控性判据：考虑系统
x ' Ax Bu
状态完全能控的充分必要条件是
rank B AB An 1 B n
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x1 x2
1 0u
有全零行 系统不可控！
x1 8 0 0 x1 0 1
2、
x2
0
10x2来自30ux3 0 0 2x3 0 2
没有全零行 系统可控！
x1 4 1 0 x1 0
3、
x2
0
4
0
x2
4
u
x3 0 0 2 x3 3
状态完全能控
4、
x1 4 1
(1)
或 (2)
式中
EAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgy
EAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgy
为简明起见，下面列举三个具有上述类型的二阶系统，对其能控性加以 剖析。
(3)
(4)
(5)
EAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgy
性之间的关系
EAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgy
初步了解可控性和可观测性 20世纪60年代初，由卡尔曼提出，与状态空间描述相对应。
可控性：反映了控制输入对系统状态的制约能力。 输入能否控制状态（控制问题）
可观测性：反映了输出对系统状态的判断能力。 状态能否由输出反映（估计问题）
3.1 能控性的定义
3.2 线性定常系统的能控性判别 3.3 线性连续定常系统的能观性 3.4* 离散时间系统的能控性与能观性 3.5* 时变系统的能控性与能观性 3.6 能控性与能观性的对偶关系 3.7 状态空间表达式的能控标准型与能观标准型 3.8 线性系统的结构分解 3.9 传递函数阵的实现问题 3.10 传递函数中零极点对消与状态能控性和能观
是能控的。若系统的所有状态都是能控的，则称此系统是状态完全能控的，
或简称系统是能控的。
几点说明：
1)在线性定常系统中，为简便计，可以假定初始时刻 为 ，而任意终端状态就指定为零状态。即
，初始状态
EAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgy
2)也可以假定 =0，而工 为任意终端状态，换句话说，若存在
x2
0
4
x3
x4
0
0 1
1
x1 1
x2
0
x3 0
0
1
x4
0
0 0 0 1
1 2 u 0 0
状态完全能控
教材[例3-2；3-3]：当状态空间表达式不为约当标准型时，先进行线性变换！
EAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgy
3.2.2 直接从A与B判别系统的能控性
1．单输入系统 线性连续定常单输入系统：
其能控的充分必要条件是由 A、b 构成的能控性矩阵：
满秩，即
。否则，当
(14) 时，系统为不能控的。
例[3-4]----------三阶能控标准型，无论系数如何取，都可控。
注：输入与状态矢量间的传递函数也可以判断能控性：无零极点对消的情况
[例3-6；3-7]
EAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgy
•系统矩阵A有相同特征值时— T1B 中与互异特征值部分对应的行中无全 零行；T1B 中与相同特征值部分（即约当块）最后一行对应的行非全零行。
EAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgy
[例3-1]：判别下列对角标准型线性定常系统的可控性。
1、
x1 x2
2
0
0 1
例：已知系统的动态方程，理解--可控性、可观测性提出的目的。
EAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgy
x1
x2
4 0
0 5
x1 x2
1 2u
y 0
6
x1 x2
x1 4x1 u x2 5x2 2u y 6x2
u
u可以控制 x1, x2
y无法反映 x1
(3) (4)
(5)
1)对于式(3)的系统，系统矩阵A为对角线型，其标量微分方程形式为（图3-3）
(6)
不可控
(7)
2)对于式(4)的系统，系统矩阵A为约旦型，微分方程组为（图3-4）
(8) 可控
(9)
3)对于式(5)的系统，系统矩阵虽也为约旦型，但控制矩阵第二行的元素
却为0，其微分子方程组为（图3-5）：
(10)
(11)
不可控
EAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgy
2．具有一般系统矩阵的多输入系统
系统的状态方程为：
(12)
若进行非奇异线性变换将其变换为约当标准型：令 x Tz
z Jz T 1Bu
非奇异线性变换不改变系统的能控性！
一般系统的能控性判据：
•系统矩阵A的特征值互异，则 T1B 无全零行；
3.2.2 直接从A与B判别系统的能控性
2．多输入系统
对多输入系统，其状态方程为：
式中,B 为
阶矩阵； 为 r 维列矢量。
其能控的充分必要条件是矩阵：
(15) 的秩为 。
注： •1.因M可能非方阵，在实际中考虑到rank(M)=rank(MM’),通过 求rank(MM’)判断系统的能控性。 •2.按能控性定义，找到u(t)将初始状态转移到零点。实际中u(t)并 不唯一。
一个无约束控制作用
，在有限时间
内，能将 由零状态驱
动到任意
。在这种情况下，称为状态的能达性。
3)在讨论能控性问题时，控制作用从理论上说是无约束的，其取值并非
唯一的，因为我们关心的只是它能否将
驱动到
，而不计较
的轨迹如何。
2．线性连续时变系统的能控性定义
线性连续时变系统：
3．离散时间系统 这里只考虑单输入的n阶线性定常离散系统：
EAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgy
EAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgy
3.2 线性定常系统的能控性判别
线性定常系统能控性判别准则有两种形式，一种是先将系统进行状态变
换，把状态方程化为约旦标准型
，再根据 阵，确定系统的能控性；
另一种方法是直接根据状态方程的 A 阵和 B 阵，确定其能控性。
3.2.1 具有约旦标准型系统的能控性判别 1．单输入系统 具有约旦标准型系统矩阵的单输入系统，状态方程为：
4
x1 x1
系统完全可控！ 系统不完全可观！
x2 x2 6 y
5
EAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgy
3.1 能控性的定义
1．线性连续定常系统的能控性定义 线性连续定常系统：
如果存在一个分段连续的输入 ，能在有限时间区间
内，使
系统由某一初始状态 ，转移到指定的任一终端状态工 ，则称此状态