2020届高三浙江百校联考数学卷
浙江省联考部分市学校2020届高三上学期数学试题Word版含解析
浙江省联考部分市学校2020届高三上学期数学试题第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，那么（）A. B. C. D.2. 设为虚数单位，表示复数的共轭复数，若，则（）A. B. C. D.3. “”是“直线与直线平行”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4. 已知，满足约束条件若恒成立，则的取值范围是（）A. B. C. D.5. 已知函数（），下列选项中不可能是函数图象的是（）A. B. C. D.6. 已知实数，，，则的最小值是（）A. B. C. D.7. 已知等差数列、的前项和分别为、，若，则的值是（）A. B. C. D.8. 设点是双曲线（，）上异于实轴端点上的任意一点，，分别是其左右焦点，为中心，，则此双曲线的离心率为（）A. B. C. D.9. 已知是正四面体（所有棱长都相等的四面体），是中点，是上靠近点的三等分点，设与、、所成角分别为、、，则（）A. B. C. D.10. 如图，点在以为直径的圆上，其中，过向点处的切线作垂线，垂足为，则的最大值是（）A. B. C. D.第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分，将答案填在答题纸上）11. 16/17世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，约翰纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数.后来天才数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即.现在已知，，则__________.12. 设，，则__________；__________.13. 在的展开式中，各项系数之和为64，则__________；展开式中的常数项为__________.14. 4支足球队两两比赛，一定有胜负，每队赢的概率都为0.5，并且每队赢的场数各不相同，则共有__________种结果；其概率为__________.15. 某几何体的三视图如图所示，则俯视图的面积为__________；此几何体的体积__________.16. 已知圆：（），点，若在圆上存在点，使得，的取值范围是__________.17. 当时，不等式恒成立，则的最大值是__________.三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18. 设函数.（1）求的单调递增区间；（2）若角满足，，的面积为，求的值.19. 如图，在三棱锥中，是正三角形，面面，，，和的重心分别为，.（1）证明：面；（2）求与面所成角的正弦值.20. 已知函数.（1）讨论的单调性；（2）证明：当时，存在实数，使.21. 如图，在平面直角坐标系中，设点是椭圆：上一点，从原点向圆：作两条切线分别与椭圆交于点，，直线，的斜率分别记为，.（1）求证：为定值；（2）求四边形面积的最大值.22. 已知数列满足：，，.（1）证明：；（2）证明：；（3）证明：.浙江省联考部分市学校2020届高三上学期数学试题参考答案第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，那么（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵集合∴∵集合∴故选C2. 设为虚数单位，表示复数的共轭复数，若，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】∵∴∴故选B3. “”是“直线与直线平行”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当时，两直线不平行当时，由两直线平行可得，且，解得或∴“”是“直线与直线平行”的充分不必要条件故选A4. 已知，满足约束条件若恒成立，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】作出满足约束条件的可行域如图所示：平移直线到点时，有最小值为∵恒成立∴，即故选D点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.5. 已知函数（），下列选项中不可能是函数图象的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】∵（）∴当时，，易得在上为减函数，在上为增函数，故可能；当时，，，为增函数，故可能；当时，，有两个不相等且互为异号的实数根，先递减再递增然后再递减，故可能；当时，，有两个不相等的负实数根，先递增再递减然后再递增，故错误.故选D6. 已知实数，，，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】∵，，∴当且仅当，即，时取等号.故选B点睛：本题主要考查了不等式，不等式求最值问题，属于中档题。
2020届浙江省高三百校联考 数学
2020届浙江省高三百校联考数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
选择题部分(共40分)一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的。
1.已知集合{{12}A x y B x x ===-≤≤，则A∩B ＝ A.{12}x x -<≤ B.{01}x x ≤≤ C.{12}{1}x x ≤≤- D.{02}x x ≤≤2.已知i 是虚数单位，若复数z 满足以z(1＋2i)＝3＋4i ，则|z|＝B.2D.33.若x ，y 满足约束条件1020220x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪--≤⎩，则z ＝x ＋y 的最大值是A.－5B.1C.2D.44.已知平面β，α和直线l 1，l 2，且α∩β＝ l 2，则“l 1//l 2”是“l 1//α且 l 1//β”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.若二项式2)nx 的展开式中各项的系教和为243，则该展开式中含二项的系数为A.1B.5C.10D.206.函数f(x)＝xcose |x|的大致图象为7.已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>，过其右焦点F 作渐近线的垂线，垂足为B ，交y 轴于点C ，交另一条渐近线于点A ，并且满足点C 位于A ，B 之间。
2020届百校联盟TOP20高三上学期11月联考数学(理)试题(解析版)
2020届百校联盟TOP20高三上学期11月联考数学（理）试题一、单选题 1．复数312112i ii +++-的模为（ ） A ．1 B 3C 5D ．5【答案】C【解析】对复数进行计算化简，然后根据复数的模长公式，得到答案. 【详解】 根据题意，31211211212i i i ii i +++++=+-+ (12)(1)122i i i+-+=+3122i i++=+2i =+，所以22|2|215i +=+=故选：C. 【点睛】本题考查复数的四则运算，求复数的模长，属于简单题.2．集合{|3}A x x =≤，(){}22|log 2,B x y x x x R ==-+∈，则A B ＝ð（ ） A ．{|0}x x ≤ B ．{|2 3 0}x x x ≤≤≤或 C ．{|23}x x ≤≤ D ．{|03}x x ≤≤【答案】B【解析】对集合B 进行化简，然后根据集合的补集运算，得到答案. 【详解】因为(){}22|log 2,B x y x x x ==-+∈R{}2|20,x x x x =-+>∈R{}|02,x x x =<<∈R ，因为集合{|3}A x x =≤所以{|2 3 0}A B x x x =≤≤≤或ð. 故选：B. 【点睛】本题考查解对数不等式，一元二次不等式，集合的补集运算，属于简单题.3．已知向量(3,4)a =r ，则实数1λ=是||5a λ=r 的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】先求出a r ，然后分别判断由1λ=能否得到||5a λ=r ，和由||5a λ=r能否得到1λ=，从而得到答案. 【详解】因为向量(3,4)a =r ，所以22345a =+=r因为1λ=，所以可得5a a λλ==r r，所以1λ=是||5a λ=r的充分条件. 因为||5a λ=r，所以||||5a λ=||1λ=即1λ=±.所以1λ=是||5a λ=r的不必要条件.综上所述，实数1λ=是||5a λ=的充分而不必要条件. 故选：A. 【点睛】本题考查根据向量的坐标求向量的模长，判断充分而不必要条件，属于简单题.4．已知函数32,0()log ,0x x g x x x ⎧-≤=⎨>⎩，则不等式()1g x <的解集为（ ）A ．(0,2)B ．(,2)-∞C ．(1,2)-D ．(1,2)【答案】C【解析】按0x ≤和0x >，分别解不等式()1g x <，从而得到答案. 【详解】根据题意，32,0,()log ,0,x x g x x x ⎧-≤=⎨>⎩，由不等式()1g x <得310x x ⎧-<⎨≤⎩或2log 10x x <⎧⎨>⎩，， 所以10x -<≤或02x <<. 即12x -<<所以不等式()1g x <的解集为(1,2)-. 故选：C. 【点睛】本题考查解分段函数不等式，解对数不等式，属于简单题. 5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）正视图 侧视图俯视图 A ．43 B ．23C ．32-D ．34-【答案】C【解析】根据三视图还原出几何体的直观图，将几何体分为三棱锥E ABC -和三棱锥E ACD -两部分，根据三视图中的数据及线段的位置关系分别得到底面积和高，求出几何体的体积. 【详解】该几何体的直观图如下图，平面ACD ⊥平面ABC ，DE P 平面ABC ，ACD V 与ACB △均是边长为2的等边三角形，2BE =，点E 在平面ABC 上的射影落在ABC ∠的平分线上， 所以DE ⊥平面ACD ， 所以1313E ABC ABC V S -∆=⨯=， 13E ACD ACD V S DE -=⨯⨯V 13(31)3=31=，所以几何体的体积为32. 故选：C. 【点睛】本题考查三视图还原结合体，根据三视图求几何体的体积，属于中档题. 6．函数1()1x f x x +=-的图象在点(3,2)处的切线与函数2()2g x x =+的图象围成的封闭图形的面积为（ ） A ．1112B ．3316C ．3516D ．12548【答案】D【解析】对()f x 求导，利用导数的几何意义，求出切线方程，然后求出切线与()g x 的交点坐标，利用定积分求出围成的封闭图形的面积，得到答案. 【详解】由题意，22()(1)f x x '=--，221(3)(31)2f '∴=-=--，所以切线方程为270x y +-=，与2()2g x x =+的交点横坐标为132x =-，21x =. 故封闭图形的面积13227222x S x dx -⎛⎫=--- ⎪⎝⎭⎰ 3122231323311d 22243x x x x x x --⎛⎫⎛⎫=⎰--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 12548=故选：D. 【点睛】本题考查利用导数求函数图像上在一点的切线方程，定积分求封闭图形的面积，属于中档题. 7．已知数列满足11a =，121n n a a +=+，设数列(){}2log 1n a +的前n 项和为n S ，若12111n nT S S S =++⋅⋅⋅+，则与9T 最接近的整数是（ ） A ．5 B ．4C ．2D ．1【答案】C【解析】根据递推关系式121n n a a +=+，得到1121n n a a ++=+，得到{}1n a +的通项，从而得到(){}2log 1na +的通项和前n 项和nS，从而求出n T ，再得到9T ，从而得到答案.【详解】由题意，()112221n n n a a a ++=+=+，所以1121n n a a ++=+， 所以{}n a 为以112a +=为首项，2为公比的等比数列， 所以()11112n n a a -+=+2n =，因此()2log 1n a n +=，数列(){}2log 1n a +的前n 项和为(1)2n n n S +=， 12112(1)1n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，12111n nT S SS =++⋅⋅⋅+ 11111212231n n ⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪+⎝⎭1211n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭所以995T =. 所以与9T 最接近的整数是2. 故选：C. 【点睛】本题考查构造法求数列的通项，等差数列前n 项和公式，裂项相消法求数列的和，属于中档题.8．已知函数2211,1()1,1x x f x x x x⎧--≤⎪=⎨+>⎪⎩，若函数()()g x f x m =-有两个零点，则实数m 的取值范围为（ ） A ．[2,)+∞ B ．(1,0)(2,)-+∞U C ．(1,2]-D ．(1,0)-【答案】D【解析】画出()y f x =的图像，然后得到()y f x =的图像和y m =的图像有两个交点，从而得到m 的取值范围. 【详解】根据函数2211,1()1,1x x f x x x x⎧--≤⎪=⎨+>⎪⎩，画出()f x 的图象如图所示，函数()()g x f x m =-有两个零点则函数()y f x =的图象与y m =的图象有2个交点， 所以10m -<<，所以实数m 的取值范围为(1,0)-. 故选：D. 【点睛】本题考查画分段函数的图像，函数与方程，属于简单题. 9．如果函数21()(2)12f x mx n x =+-+(0,0)m n >>的单调递增区间为[1,)+∞，则14m n +的最小值为（ ） A ．92B ．2C ．1D ．34【答案】A【解析】由()f x 单调递增区间为[1,)+∞，得到对称轴方程21n m--=，即2m n +=，再根据基本不等式求出14m n+的最小值，得到答案. 【详解】因为函数21()(2)12f x mx n x =+-+(0,0)m n >>的单调递增区间为[1,)+∞ 所以对称轴为：21n m--=，即2m n +=， 所以14114()2m n m n m n ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭1452m n n m ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭14(522m n n m≥+⋅92=，当且仅当2,3m =43n =时，等号成立. 故选：A. 【点睛】本题考查根据二次函数的单调区间求参数之间的关系，基本不等式求和的最小值，属于简单题. 10．已知3sin()1223πα-=则sin(2)6πα+= （ ）A ．710-B ．710C ．79-D ．79【答案】C【解析】利用倍角公式，结合函数名的转换求解. 【详解】21cos()12sin ()61223ππαα-=--=,(2)cos[(2)]cos(2)6263sin ππππααα+=-+=-272()169cos πα=--=-,故选C.【点睛】本题主要考查三角函数的给值求值问题，首先从角入手，寻求已知角和所求角的关系，再利用三角恒等变换公式求解.11．如图，在三角形ABC 中，AC 上有一点D 满足4BD =，将ABD △沿BD 折起使得5AC =，若平面EFGH 分别交边AB ，BC ，CD ，DA 于点E ，F ，G ，H ，且AC P 平面EFGH ，BD P 平面EFGH 则当四边形EFGH 对角线的平方和取最小值时，DHDA=（ ）A ．14B ．1641C ．2041D ．3241【答案】B【解析】易得HG AC P ，EF AC P ，设DH GHk DA AC==，易得∥EH BD ，∥FG BD ，得1AH EHk DA BD==-，从而得到5GH k =，4(1)EH k =-，平行四边形EFGH 中，()2222413216EG HF k k +=-+，从而得到22EG HF +最小时的k 值，得到答案.【详解】AC P 平面EFGH ，AC ⊂平面ACD ，平面ACD I 平面EFGH HG =， 所以AC HG P ，同理AC EF P设DH GHk DA AC==(01)k <<， BD P 平面EFGH ，BD ⊂平面ABD ，平面ABD ⋂平面EFGH HE =， 所以BD HE P ，同理∥FG BD所以1AH EHk DA BD==-， 因为4BD =，5AC =所以5GH k =，4(1)EH k =-， 在平行四边形EFGH 中，222222516(1)EG HF k k ⎡⎤∴+=+-⎣⎦(22413216)k k =-+， 又01k <<Q ，∴当1641k =时，22EG HF +取得最小值. 故选：B. 【点睛】本题考查线面平行证明线线平行，平行四边形对角线的性质，二次函数求最值，属于中档题. 12．定义在R 上的函数()f x 满足(2)()0f x f x ++=，(2018)2f =，任意的[1,2]t ∈，函数32(2)()(2)2f m g x x x f x ⎡⎤=+-++⎢⎥⎣⎦在区间(,3)t 上存在极值点，则实数m 的取值范围为（ ）A ．37,53⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．(9,5)--C ．37,93⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．37,3⎛⎫-∞-⎪⎝⎭【答案】C【解析】根据(2)()0f x f x ++=得到()f x 周期为4，再求得()()220182f f ==，得到()g x ，求导得到()g x '，判断出()0g x '=的两根一正一负，则()g x 在区间(,3)t 上存在极值点，且[]1,2t ∈，得到()g x '在(),3t 上有且只有一个根，从而得到关于t 的不等式组，再根据二次函数保号性，得到关于m 不等式组，解得m 的范围. 【详解】由题意知，(2)()f x f x +=-，(4)()f x f x ∴+=，所以()f x 是以4为周期的函数，(2018)(2)2f f ∴==，所以322()22m g x x x x ⎛⎫=+-++ ⎪⎝⎭32222m x x x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，求导得2()3(4)2g x x m x '=++-， 令()0g x '=，23(4)20x m x ∴++-=，2(4)240m ∆=++>，由12203x x =-<， 知()0g x '=有一正一负的两个实根. 又[1,2],t ∈(,3)x t ∈，根据()g x 在(,3)t 上存在极值点，得到()0g x '=在(,3)t 上有且只有一个正实根.从而有()0(3)0g t g ''<⎧⎨>⎩，即23(4)2027(4)320t m t m ⎧++-<⎨++⨯->⎩恒成立，又对任意[1,2]t ∈，上述不等式组恒成立，进一步得到2311(4)20,322(4)20,273(4)20,m m m ⨯+⨯+-<⎧⎪⨯+⨯+-<⎨⎪+⨯+->⎩所以59373m m m ⎧⎪<-⎪<-⎨⎪⎪>-⎩故满足要求的m 的取值范围为：3793m -<<-. 故选：C. 【点睛】本题考查函数的周期性的应用，根据函数的极值点求参数的范围，二次函数根的分布和保号性，属于中档题.二、填空题13．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，(1,1)A -，(0,3)B ，(3,0)C ，3BD DC =u u u r u u u r，则OA OD ⋅=u u u r u u u r________.【答案】32-【解析】将3BD DC =u u u r u u u r 转化为3()OD OB OC OD -=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，从而得到OD uuu r的坐标，然后根据向量数量积的坐标运算，得到答案. 【详解】因为3BD DC =u u u r u u u r，所以3()OD OB OC OD -=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以()134OD OC OB =+u u u r u u u r u u u r 93,44⎛⎫= ⎪⎝⎭， ()1,1OA =-u u u r所以9344OA OD ⋅=-+u u u r u u u r 32=-.故答案为：32-.【点睛】本题考查向量线性运算的坐标表示，数量积的坐标表示，属于简单题.14．已知x ，y 满足不等式组0,010240x y x y x y ≥≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则11y z x +=+的最小值为________.【答案】13【解析】根据约束条件，画出可行域，将目标函数看成点(,)x y 与点(1,1)--两点连线的斜率，从而得到斜率的最小值，得到答案. 【详解】因为已知x ，y 满足不等式组0,010240x y x y x y ≥≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，画出可行域，如图所示，11y x ++表示点(,)x y 与点(1,1)--两点连线的斜率，所以可得当直线过点A 时，z 最小，由0240y x y =⎧⎨+-=⎩得2,0,x y =⎧⎨=⎩所以z 的最小值为011213+=+. 故答案为：13. 【点睛】本题考查根据线性规划求分式型目标函数的最值，属于简单题.15．如图，底面ABCD 为正方形，四边形DBEF 为直角梯形，DB EF ∥，BE ⊥平面ABCD ，2AB BE ==，2BD EF =，则异面直线DF 与AE 所成的角为________.【答案】6π 【解析】设正方形ABCD 的中心为O ，可得OE DF ∥，得到直线DF 与AE 所成角为AEO ∠（或其补角），根据余弦定理，可得cos AEO ∠的值，从而得到答案. 【详解】 如图，设正方形ABCD 的中心为O ，连接AO ，EO ， 则12OD BD =因为DB EF ∥，2BD EF = 所以EF OD P ，EF OD = 所以DFEO 为平行四边形， 所以OE DF ∥，所以直线DF 与AE 所成角等于OE 与AE 所成的角，即AEO ∠（或其补角）， 因为2,AE =2,OA =6OE =在三角形AEO 中，根据余弦定理，可知2223cos 2EO EA AO AEO EO EA +-∠==⋅， 所以6AEO π∠=.故答案为：6π. 【点睛】本题考查求异面直线所成的角的大小，属于简单题. 16．已知函数()4cos sin 33f x x x πωω⎛⎫=⋅+- ⎪⎝⎭(0)>ω在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有最小值4f π⎛⎫⎪⎝⎭，无最大值，则ω=________. 【答案】73【解析】先对()f x 进行整理，得到()2sin 23f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭，根据最小值4f π⎛⎫⎪⎝⎭，得到743k ω=+，然后根据()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭无最大值，得到周期的范围，从而得到ω的范围，确定出ω的值. 【详解】()4cos sin 33f x x x πωω⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭134cos sin cos 322x x x ωωω⎛⎫=⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭)22sin cos 32cos 1x x x ωωω=+-sin 232x x ωω=2sin 23x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，依题意，则322,432k ππωππ⨯+=+k Z ∈， 所以743k ω=+()k ∈Z . 因为()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有最小值，无最大值， 所以342πππω-≤，即6ω≤， 令0k =，得73ω=. 故答案为：73ω=. 【点睛】本题考查二倍角公式，辅助角公式化简，根据正弦型函数的最值和周期求参数的值，属于中档题.三、解答题17．已知递增的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，149a a +=，238a a =. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n n S ⋅的前n 项和n T .【答案】（1）12n n a -=；（2）1(1)(1)222n n n nT n ++=-⋅+-【解析】（1）根据等比数列23148a a a a ==，解出1a 和4a 的值，从而得到公比q ，得到{}n a 的通项公式；（2）根据（1）得到n S ，再利用错位相减法和分组求和的方法求出{}n n S ⋅的前n 项和n T . 【详解】（1）由题意，1423149,8,a a a a a a +=⎧⎨==⎩ 解得11,a =48a =或18,a =41a =； 而等比数列{}n a 递增，所以11,a =48a =，故公比4312a q a ==，所以12n n a -=. （2）由（1）得到12n S =++…1221n n -=-， 所以()*21n n S n ⋅=-2n n n =⋅-，23122232n T =⨯+⨯+⨯+…2(12n n +⋅-++…)n +，设23122232t =⨯+⨯+⨯+…2n n +⋅，2342122232t =⨯+⨯+⨯+…12n n ++⋅，两式相减可得，23222t -=+++ (1)22n n n ++-⋅()1212212n n n +-=-⋅-故1(1)22n t n +=-⋅+，所以1(1)(1)222n n n nT n ++=-⋅+-. 【点睛】本题考查等比数列通项基本量的计算，分组求和的方法，错位相减法求数列的前n 项的和，属于简单题.18．已知函数321()3f x x ax bx =-+(),a b ∈R 在区间(1,2)-上为单调递减函数. （1）求+a b 的最大值；（2）当2a b +=-时，方程2135()32b f x x +=+有三个实根，求b 的取值范围. 【答案】（1）32-；（2）123,5⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【解析】（1）先求得()f x '，根据()f x 在区间(1,2)-上为减函数，得到(1)0(2)0f f ''-≤⎧⎨≤⎩在区间(1,2)-上恒成立，从而得到关于a ，b 的约束条件，画出可行域，利用线性规划，得到+a b 的最大值；（2）根据2a b +=-，得到b 的范围，设2135()()32b h x f x x +=--，求导得到()h x '，令()0h x '=得到x b =或1x =，从而得到()h x 的极值点，根据()h x 有3个零点，得到b 的不等式组，解得b 的范围. 【详解】（1）2()2f x x ax b '=-+， 因为()f x 在区间(1,2)-上为减函数，所以(1)0(2)0f f ''-≤⎧⎨≤⎩在区间(1,2)-上恒成立即120,440,a b a b ++≤⎧⎨-+≤⎩，画出可行域如图所示：设z a b =+，所以b a z =-+，z 表示直线l ，b a z =-+在纵轴上的截距.当直线:l b a z =-+经过A 点时，z 最大， 由120,440,a b a b ++=⎧⎨-+=⎩所以12a =，2b =- 故z a b =+的最大值为13222-=-. （2）由2a b +=-得2a b =--代入120,440,a b a b ++≤⎧⎨-+≤⎩可得1235b -≤≤-， 令2135()()32b h x f x x +=--32111323b x x bx +=-+-， 故由2()(1)h x x b x b '=-++(1)()0x x b =--=，得x b =或1x =，所以得到()h x 和()h x '随x 的变化情况如下表：x (,)b -∞ b(,1)b 1(1,)+∞ ()h x ' +-+()h xZ极大值32111623b b -+- ]极小值12b -要使()h x 有三个零点，故需321110,62310,2b b b ⎧-+->⎪⎪⎨-⎪<⎪⎩ 即()2(1)220,1,b b b b ⎧---<⎪⎨<⎪⎩ 解得13b <， 而12135>-所以b 的取值范围是123,5⎡⎤--⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值和零点，根据函数的单调性求参数的取值范围，根据函数零点个数求参数的取值范围，属于中档题.19．已知ABC V 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 满足cos cos 2cos ca Bb A C+=，且BC 边上一点P 使得PA PC =. （1）求角C 的大小； （2）若3PB =，357sin BAP ∠=ABC V 的面积. 【答案】（1）3C π=；（253【解析】根据正弦定理，将边化成角，然后整理化简，得到cos C 的值，从而得到C 的值；（2）根据条件得到APC △为等边三角形，从而得到23APB ∠=π，根据正弦定理，得到AB 的值，根据余弦定理，得到AP 的长，根据三角形面积公式，得到答案.【详解】（1）因为cos cos 2cos ca Bb A C+=在ABC V ，由正弦定理sin sin sin a b cA B C== 所以得2cos (sin cos sin cos )C A B B A +sin C =. 所以2cos sin()sin C A B C +=. 即2cos 1C = 所以1cos 2C =， 因为()0,C π∈，所以3C π=（2）由（1）知3C π=，而PA PC =APC △为等边三角形.由于APB ∠是APC △的外角， 所以23APB ∠=π. 在APB △中，由正弦定理得2sin sin3PB ABBAPπ=∠， 2357sin 3ABπ=，所以19AB =所以由余弦定理得，2222co 23s AB PA PB PA PB π=+-⋅， 即21993PA PA =++， 所以2PA =，故235BC =+=，2AC =， 所以11353sin 2522ABC S CA CB C =⋅⋅=⨯⨯=V . 【点睛】本题考查正弦定理的边角互化，正弦定理、余弦定理解三角形，三角形面积公式，属于简单题.20．如图，在四棱锥1A ABCD ﹣中，底面ABCD 为直角梯形，90BAD ︒∠=，AB DC P ，2DC AB =24AD ==，12AA =且O 为BD 的中点，延长AO 交CD 于点E ，且1A 在底ABCD内的射影恰为OA 的中点H ，F 为BC 的中点，Q 为1A B 上任意一点.（1）证明：平面EFQ ⊥平面1A OE ；（2）求平面1A OE 与平面1A DC 所成锐角二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（25【解析】（1）根据1A H ⊥平面ABCD ，得到1A H EF ⊥，由平面几何知识得到EF AE ⊥，从而得到EF ⊥平面1A OE ，所以所以平面EFQ ⊥平面1A OE ；（2）以O 为原点建立空间直角坐标系，得到平面1A DC 和平面1A OE 的法向量，利用向量的夹角公式，得到这两个面所成的锐角二面角的余弦值. 【详解】（1）由题意，E 为CD 的中点，因为1A H ⊥平面ABCD ，EE ⊂平面ABCD ， 所以1A H EF ⊥，又因为DB EF ∥，AB AD =，OB OD =，所以AE 垂直平分BD ， 所以DE BE =又因AB DE ∥，90BAD ︒∠= 所以ADEB 为正方形， 所以DE EC AB == 因为F 为BC 的中点， 所以EF BD P而DB AE ⊥，所以EF AE ⊥，又1A H AE H =I ，所以EF ⊥平面1A OE ， 又EF ⊂平面EFQ ，所以平面EFQ⊥平面1A OE .（2）因为1A 在底面ABCD 内的射影恰为OA 的中点H ， 所以112242OH OA BD ===. 因为AB AD ⊥，所以过点O 分别作AD ，AB 的平行线（如图）， 并以它们分别为x ，y 轴，以过O 点且垂直于xOy 平面的直线为z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，所以(1,1,0)A --，(1,1,0)B -，(1,3,0)C ，(1,1,0)D -，1116,22A ⎛-- ⎝⎭， 所以1316,,222A D ⎛=-- ⎝⎭u u u u r ，1376,,222A C ⎛=- ⎝⎭，设平面1A DC 的一个法向量为(,,)n x y z =r，则1100n A D n A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r v u u v v ，所以316022376022x y z x y z ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩令6z =6)n =r，由（1）知，BD ⊥平面1A OE ，所以OD ⊥平面1A OE ，所以(1,1,0)OD =-u u u r为平面1A OE 的一个法向量，则||5|cos ,|||||102n OD n OD n OD ⋅〈〉===⋅r u u u rr u u u r r u u ur . 故平面1A OE 与平面1A DC 5. 【点睛】本题考查线面垂直的判定和性质，面面垂直的判定，利用空间向量求二面角的余弦值，属于中档题. 21．已知函数1()1ln1mx f x x x-=-++(0)m >与满足()2()g x g x -=-()x R ∈的函数()g x 具有相同的对称中心.（1）求()f x 的解析式；（2）当(,]x a a ∈-，期中(0,1)a ∈，a 是常数时，函数()f x 是否存在最小值若存在，求出()f x 的最小值；若不存在，请说明理由； （3）若(21)(1)2f a f b -+-=，求22211a b a b+++的最小值. 【答案】（1）1()1ln 1x f x x x -=-++；（2）11ln 1a a a--++（3）94 【解析】（1）根据()g x 关于()0,1对称，从而得到()()2f x f x +-=，整理化简，得到m 的值；（2）判断出()f x 的单调性，得到当(0,1),a ∈(,]x a a ∈-时，()f x 单调递减，从而得到()f x 最小值；（3）由(21)(1)2f a f b -+-=得到a ，b 关系，然后将22b a =-代入到22211a b a b+++，利用基本不等式，得到其最小值.【详解】（1）因为()2()g x g x -=-，所以()()2g x g x -+=，所以()y g x =图象关于(0,1)对称， 所以11()()1ln 1ln 11mx mx f x f x x x x x-++-=-+++++- 22212ln 21m x x ⎛⎫-=+= ⎪-⎝⎭所以22211,1m x x-=-0m > 解得1m =， 所以1()1ln 1x f x x x-=-++. （2）()f x 的定义域为(1,1)-，1()1ln 1x f x x x -=-++21ln 11x x ⎛⎫=-+-+ ⎪+⎝⎭，当12x x <且12,(1,1)x x ∈-时，()f x 为减函数，所以当(0,1),a ∈(,]x a a ∈-时，()f x 单调递减，所以当x a =时，min 1()1ln1a f x a a-=-++. （3）由(21)(1)2f a f b -+-=， 得2110,1211,111,a b a b -+-=⎧⎪-<-<⎨⎪-<-<⎩解得01,a <<02,b <<22a b +=， 所以2222221211(1)a b a b ab b a a b a b++++++=++ 21(1)b a a b++=+()25321a a -=- 令53t a =-，则5,3t a -=(2,5)t ∈， ()()225392121016a t a t t -=--+- 916210t t =⎛⎫--+ ⎪⎝⎭94162(210)t t≥=-⋅- 当且仅当4t =时，等号成立， 即当13a =，43b =时，22211a b a b+++的最小值为94. 【点睛】本题考查根据函数的对称性求参数的值，根据函数的单调性求最值，基本不等式求和的最小值，属于中档题.22．已知函数1()ln 2f x mx x =--()m R ∈，函数()F x 的图象经过10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，其导函数()F x '的图象是斜率为a -，过定点(1,1)-的一条直线.（1）讨论1()ln 2f x mx x =--()m R ∈的单调性； （2）当0m =时，不等式()()F x f x ≤恒成立，求整数a 的最小值.【答案】（1）当0m ≤时，()f x 在(0,)+∞上为减函数；当0m >时，()f x 在10,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数，在1,m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为增函数. （2）2【解析】对()f x 求导，得到()f x '，按0m ≤和0m >进行分类讨论，利用导函数的正负，得到()f x 的单调性；（2）根据题意先得到()F x '，然后得到()F x 的解析式，设()()()g x F x f x =-，按0a ≤和0a >分别讨论，利用()g x '得到()g x 的单调性和最大值，然后研究其最大值恒小于等于0时，整数a 的最小值.【详解】（1）函数()f x 的定义域是(0,)+∞，1()mx f x x-'=， 当0m ≤时，()0f x '≤，所以()f x 在(0,)+∞上为减函数，当0m >时，令()0f x '=，则1x m =， 当10,x m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 为减函数， 当1,x m ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 为增函数， 综上，当0m ≤时，()f x 在(0,)+∞上为减函数；当0m >时，()f x 在10,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数，在1,m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为增函数. （2）根据题意，()(1)1F x a x '=-++， 设21()(1)2F x ax a x c =-+-+，代入10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，可得12c =， 令()()()g x F x f x =-21ln (1)12x ax a x =-+-+， 所以1()(1)g x ax a x '=-+-2(1)1ax a x x-+-+=. 当0a ≤时，因为0x >，所以()0g x '>.所以()g x 在(0,)+∞上是单调递增函数，又因为21(1)ln11(1)112g a a =-⨯+-⨯+3202a =-+>， 所以关于x 的不等式()()F x f x ≤不能恒成立.当0a >时，2(1)1()ax a x g x x -+-+'=1(1)a x x a x⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=-， 令()0g x '=，得1x a =. 所以当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>； 当1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '<， 因此函数()g x 在10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上是增函数，在1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭上是减函数. 故函数()g x 的最大值为211111ln (1)12g ax a a a a a ⎛⎫⎛⎫=-+-⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1ln 2a a =-. 令1()ln 2h a a a =-，因为1(1)0,2h =>1(2)ln 204h =-<， 又因为()h a 在(0,)a ∈+∞上是减函数.所以当2a ≥时，()0h a <.所以整数a 的最小值为2.【点睛】本题考查函数与方程的应用，利用导数研究函数的单调区间、极值和最值，根据导函数的解析式求原函数的解析式，利用导数研究不等式恒成立问题，涉及分类讨论的思想，题目比较综合，属于难题.。
2020-2021学年高三百校3月联考数学试卷答案
jU$&0槡$,%$"#cd$$!%#?7«9$F4¬6:!%!
#0!$槡!!!!a*c(#&"<&*$#&#<&*;#"&"#&* 槡$!,;! *0#
¦§®$F%¯,3&31&*$!,;#
槡 °±²w²³6z´µ²³6F¡£-$!,;$
$!,;! # !
$,;
?7&&3"#1&&*
! 槡$!,;!
FN:#!#,3
# !
:!):
槡!%&)!
*#!#")*$)*+!.)*$1#2*+#K$
"#
F:#1-2*
# !
#"
# 8
*9*
;<2*槡$$#?7
8*槡$*.)*
$ 4
#" # 8
*9*;<2*
$ #?7 槡%%
8* 槡$%%!
!"!"!"!#!"#$%&$'()
*!+),-
#!)!!""#*#!"!$+*#!$+! !!'!!!#,,$--*$,-"!,$-*$,-#,-*!,+-"$*+! $!'!!#$%&'()**+,-./0&$%*!&,' 2345671&*&$! +!.!!#(&&*&(&,-89(&:;89,<= '/!>2&*"!"#,3("!"##"?7,
浙江名校Z20联盟2020届第三次联考数学试卷及参考答案
浙江省名校新高考研究联盟（Z20联盟）2020届第三次联考 数学参考答案 第 1 页 共 5 页浙江省名校新高考研究联盟（Z20联盟）2020届第三次联考数学参考答案一、选择题： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D A A D C B B A C C二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。
11． 12 12．324;402x −− 13．2;4223+ 14．23;3π 15．20 16．1− 17．622;2− 三、解答题: 本大题共5小题，共74分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18．（本小题满分14分） 【答案】（Ⅰ）T =π，3()34f π=−；（Ⅱ）13[,)44a ∈ 【解析】（Ⅰ）313()2sin cos()cos 2sin 23222f x x x x x π=+−=−， ……（4分） 则最小正周期T =π，……（6分） 3()34f π=−.（直接带入也可） ……（8分） （Ⅱ）3|()|sin(2)221226f x a x a a ππ++=⇒+=−或. ……（10分）35[0,]2[,]4663x x ππππ∈⇒+∈，考虑要有3个解，结合图像可知121,232,2a a ⎧≤<⎪⎪⎨⎪−>−⎪⎩ ……（12分）故13[,)44a ∈. ……（14分）浙江省名校新高考研究联盟（Z20联盟）2020届第三次联考 数学参考答案 第 2 页 共 5 页19．（本小题满分15分）【答案】（Ⅰ）证明略（Ⅱ）7【解析】（Ⅰ）设F 为DE 的中点，D 为AC 的中点，2BE EA =，则2AD AE ==，故,AF DE A F DE '⊥⊥. 34BP PC =，34BP AB PC AC ==，所以AP 是BAC ∠的角平分线，且,,A F P 三点共线. 由DE FP DE A FP DE A P DE A F ⊥⎧''⇒⊥⇒⊥⎨'⊥⎩面. ……（6分） （Ⅱ）法一：连结AA '.由DE A FP '⊥平面得ABC A FP '⊥平面平面，交线为AP .所以A '在面ABC 上的射影点H 在AP 上.A PH '∠为直线A P '与平面BCD 所成角. ……（9分）由余弦定理得7cos 8CAB ∠=，故1DE =，152AF A F '==，由23AA '=得5sin 5A AP '∠=，所以2155A H '=. ……（11分） 由（Ⅰ）得AP 为角平分线.由余弦定理得6157AP =,21535PH ==. ……（13分） tan 7A H A PH PH''∠==，所以直线A P '与平面BCD 所成角的正切值为7. ……（15分）法二：如图，以F 为原点，,FE FP 为,x y 轴建立空间直角坐标系.……（8分） 111531515515(0,0,0),(,0,0),(,0,0),(0,((224F E D A B C P −−, 设(0,,)A a b '，由15A F AF '==，23AA '= 222215,415(12,a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩ ……（10分） 得315215A '. ……（12分） 平面BCD 法向量为(0,0,1)n = ……（13分）浙江省名校新高考研究联盟（Z20联盟）2020届第三次联考 数学参考答案 第 3 页 共 5 页 215||725sin 10230||||17PA n PA n θ'⋅==='⋅⋅,则tan 7θ=，所以直线A P '与平面BCD 所成角的正切值为7. ……（15分）20．（本小题满分15分）【答案】（Ⅰ）122221,22,nn n n a n ++⎧−⎪=⎨⎪−⎩为奇数,为偶数;（Ⅱ）存在，{1,3,4}n ∈ 【解析】（Ⅰ）232,3a a ==……（2分） 当n 为奇数时，12212112(1)n n n n n a a a a a −−−=+=+⇒+=+，则1221n n a +=−.……（4分） 当n 为偶数时，2221222222n n n n a a +−==⋅−=−. ……（6分） 综上所述122221,22,nn n n a n ++⎧−⎪=⎨⎪−⎩为奇数,为偶数.……（7分） （Ⅱ）当21n k =−时，21k n a =−，则12121212122k k k A k +=−+−++−=−−.……（9分） 当2n k =时，122k n a +=−，则2312222222224k k k B k ++=−+−++−=−−.……（11分） ①1211223236332222k k k k k k k k S A B k k a a ++++⋅−−===−−−，则1k =时，133222k k +=−舍去。
2020届高三百校大联考数学(理)答案
由正弦定理得，ｓｓｉｉｎｎＣＢｃｃｏｏｓｓＢＣ＝槡３３ｔａｎＣ，∴ｔａｎＢ＝槡３， ∵０＜Ｂ＜π，∴Ｂ＝π３； （５分） （２）∵∠Ｄ＝２∠Ｂ， ∴由（１）知，∠Ｄ＝２３π，在△ＡＣＤ中，由余弦定理得，
ａｘｅｘ，则曲线 ｆ（ｘ）＝ａｘｅｘ在点（０，ｆ（０））处的切线的
斜率为 ｋ＝ｆ′（０）＝ａ，又切点为（０，０，），∴切线方
{ｙ＝ａｘ
程为 ｙ＝ａｘ，联立
得，ｘ２ －（２＋ａ）ｘ＋
ｙ＝ｘ２ －２ｘ＋４
ＡＣ２ ＝１２ ＋２２ －２×１×２ｃｏｓ２３π＝７，
∴ＡＣ＝槡７， （７分） 又 ＢＣ＝槡７，Ｂ＝π３，
４＝０，∴Δ＝（２＋ａ）２ －４×４＝０，解得，ａ＝２或 ａ＝
－６．）
１４．１５３６（解析：∵数列｛ｌｏｇ２Ｓｎ｝是公差为 ２的等差
＋１１＝
３＋９×２１４＝６６，故选 Ｂ．）
{ １０．Ｄ（解析：由 ｙ＝ａｂｘ
得，Ｐ（ａ２，ａｂ），又 ｃｃ
Ｆ１（－ｃ，０），
ｘ２＋ｙ２＝ａ２
ａｂ 则 ｔａｎ∠ＰＦ１Ｆ２ ＝ｋＰＦ１ ＝ｃ＋ｃａ２ ＝ｃ２ａ＋ｂａ２ ＝１３，化简得，
ｃ
ｃ４－７ｃ２ａ２＋１０ａ４＝０，即 ｅ４ －７ｅ２ ＋１０＝０，解得 ｅ２ ＝５或
（７分） 令 ｈ（ｘ）＝ｅｘ －１－ｘ，
ｘｘ
则 ｈ′（ｘ）＝ｅｘ（ｘｘ２－１）＋ｘ１２ －１＝ｅｘ（ｘ－ｘ２１）＋１－１，
∵当 ｘ≥１时，ｅｘ≥ｘ＋１＞０，
∴当
ｘ≥
１
时，ｈ′（ｘ）
＝
ｅｘ（ｘ－１）＋１ ｘ２
－１≥
（ｘ＋１）（ｘｘ２－１）＋１－１＝０， （１０分）
∵Ｂ（４，０），∴ｋＭＢ ＋ｋＮＢ ＝ｘ１ｙ－１４＋ｘ２ｙ－２４
＝ｋ（ｘ１ －１）＋ｋ（ｘ２ －１）
浙江省2020届高三数学9月第一次联考试题(含解析)
浙江省2020届高三数学9月第一次联考试题（含解析）注意事项：1．本试题卷共8页，满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置。
3．全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效。
4．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
5．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项目符合题目要求的。
1.记全集U =R ，集合{}240A x x =-≥，集合{}22xB x =≥，则()U A B =I ð（）A. [)2+∞，B. ØC. [)12， D. ()12， 【答案】C 【解析】 【分析】先解一元二次不等式和指数不等式，再求补集与交集.【详解】由240x -≥得2x -≤或2x ≥，由22x ≥得1x ≥，则()[)221U A B =-=+∞，，，ð，所以()[)12U A B =I ，ð，故选C . 【点睛】本题考查集合的运算、解一元二次不等式和指数不等式，其一容易把交集看作并集，概念符号易混淆；其二求补集时要注意细节.2.已知复数2-iz 1i=+（i 为虚数单位），则复数z 的模长等于（）A.2 B.2【答案】A【解析】 【分析】先化简复数z,利用模长公式即可求解. 【详解】化简易得13i z 2-=，所以10z 2=，故选A . 【点睛】本题考查复数的基本运算和概念，了解复数的基本概念、运算和共轭复数的概念、模长是解答本题的关键.3.若实数x y ，满足约束条件2032402340x y x y x y ++≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，，，则2z x y =+的最大值为（）A. -2B. 12C. -4D. 8【答案】B 【解析】 【分析】作出可行域,平移目标函数即可求解.【详解】如图中阴影部分所示（含边界），显然当目标函数2z x y =+经过点()44，时有最大值12，故选B .【点睛】本题考查线性规划，准确作出可行域是解答本题的关键.4.在同一直角坐标系中，函数2y ax bx =+，x by a-=（0a >且1a ≠）的图象可能是（）A. B. C. D.【答案】D 【解析】 【分析】本题考查函数的图象,以指数函数的底数a 与1的大小分情况讨论，由指数函数图象与y 轴的交点即可得出b 的大小，从而能判断出二次函数图象的正误.【详解】对1a >和01a <<分类讨论，当1a >时，对应A,D:由A 选项中指数函数图象可知，002bb a>∴-<，A 选项中二次函数图象不符，D 选项符合；当01a <<时，对应B,C:由指数函数图象可知，00,02bb a a<∴->>，则B ，C 选项二次函数图象不符，均不正确，故选D . 【点睛】本题易错在于函数图象的分类，从指数函数分类易正确得到函数图象.5.已知直线ml ，，平面αβ，满足l α⊥，m β⊂，则“l m P ”是“αβ⊥”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】根据面面垂直的判定定理进行判断.【详解】当l m P 时，m α⊥，则可知αβ⊥；反之当αβ⊥时，l 与β中的m 不一定平行，故选A .【点睛】本题考查线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理.若平行直线中一条垂直于平面，则另一条也垂直于该平面．6.已知随机变量ξ满足下列分布列，当()01p ∈，且不断增大时，（）A. ()E ξ增大，()D ξ增大B. ()E ξ减小，()D ξ减小C. ()E ξ增大，()D ξ先增大后减小D. ()E ξ增大，()D ξ先减小后增大 【答案】C 【解析】 【分析】由分布列可知，随机变量ξ服从二项分布，根据二项分布的期望、方差公式即可判断. 【详解】由题意可知，随机变量ξ满足二项分布，即~(2,)B p ξ，易得()()()221E p D p p ==-，ξξ，所以当01p <<且不断增大时，()E ξ增大，()D ξ先增大后减小.故选C .【点睛】本题考查二项分布的期望、方差.理解二项分布的期望、方差，会判定和计算二项分布的期望和方差是解答本题的关键.7.已知双曲线()22210y x b b-=>右焦点为F ，左顶点为A ，右支上存在点B 满足BF AF ⊥，记直线AB 与渐近线在第一象限内的交点为M ，且2AM MB =u u u u r u u u r，则双曲线的渐近线方程为（）A. 2y x =±B. 12y x =±C. 4 3y x =±D. 34y x =?【答案】D 【解析】 【分析】根据题意依次求出,A B 点的坐标，求出直线AB 的方程，联立渐近线求出点M 的横坐标，利用向量关系即可得出关系式，进而可求出渐近线方程.【详解】易知()2B c b ，，()10A -，，得直线211b AB y xc =++：（），联立渐近线y bx =，得1M b x c b =+-，又2AM MB =u u u u r u u u r ，所以1211b b c c b c b ⎛⎫+=- ⎪+-+-⎝⎭，得12c b -=，又221c b -=，所以34b =，所以双曲线的渐近线方程为34y x =?，故选D . 【点睛】本题考查双曲线的渐近线.当双曲线的标准方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>时，渐近线方程为by x a=±； 当双曲线的标准方程为22221(0,0)y x a b a b-=>>时，渐近线方程为a y x b =±.8.已知函数()()()()ln 1212if x x x m i =---=，，e 是自然对数的底数，存在m R ∈（） A. 当1i =时，()f x 零点个数可能有3个 B. 当1i =时，()f x 零点个数可能有4个 C. 当2i =时，()f x 零点个数可能有3个 D. 当2i =时，()f x 零点个数可能有4个 【答案】C 【解析】 【分析】首先将()f x 的零点转化为两个图象的交点，利用以直代曲的思想可以将(ln 1)x -等价为()x e -，根据穿针引线画出草图，即可判断.【详解】将()()()()ln 1212if x x x m i =---=，看成两个函数(),yg x y m ==的交点，利用以直代曲，可以将()g x 等价看成()()()20iy x e x x =-⋅->，利用“穿针引线”易知12i =，时图象如图，所以当1i =时最多有两个交点，当2i =时最多有三个交点.故选C .【点睛】本题考查函数的零点,函数零点个数的3种判断方法(1)直接求零点：令()0f x =，如果能求出解，则有几个解就有几个零点． (2)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间[],a b 上是连续不断的曲线，且()()0f a f b ⋅<，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.9.三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，动点M 在线段1CA 上滑动（包含端点），记BM与11B A 所成角为α，BM 与平面ABC 所成线面角为β，二面角M BC A --为γ，则（）A. ≥≤，βαβγB. ≤≤，βαβγC. ≤≥，βαβγD. ≥≥，βαβγ【答案】B 【解析】 【分析】根据题意找出这三个角，分别在直角三角形中表示出这三个角对应的三角函数值，将角的大小比较转化为线段长度的大小比较即可.【详解】过点M 作MN AC ⊥于N ，则MN ABC ⊥平面，过点M 作MH BC ⊥于H ，连接NH ，则NH BC ⊥,过点M 作MG AB ⊥于G ，连接NG ，则NG AB ⊥． 所以MBA =∠α，MBN =∠β，MHN =∠γ，sin ,sin ,MG MNBM BMαβ== tan ,tan ,MN MNBN HNβγ== 由MG MN ≥可知≤βα（M 位于1A 处等号成立），由BN NH ≥可知≤βγ（当B Ð为直角时，等号成立），故选B . 【点睛】本题主要考查线线角、线面角、二面角，本题也可以直接用线线角最小角定理（线面角是最小的线线角）和线面角最大角定理（二面角是最大的线面角）判断.10.已知函数()()1121222x x f x f x x ⎧--≤⎪=⎨-->⎪⎩，，，，若函数()()g x x f x a =⋅-(1)a ≥- 的零点个数为2，则（）A. 2837a <<或1a =- B.2837a << C. 7382a <<或1a =-D. 7382a <<【答案】D 【解析】 【分析】 由1()(2)(2)2f x f x x =-->，可知当()2,22()x k k k Z ∈+∈时，()f x 的图象可由()22,2()x k k k Z ∈-∈的图象沿x 轴翻折，并向右平移2个单位长度，纵坐标变为原来的一半，即可作出函数()f x 的图象，将()g x 的零点问题转化为两个函数图象的焦点问题即可. 【详解】如图，可得()f x 的图象.令()0g x =，当0x =时，不符合题意；当0x ≠时，得()a f x x =，若0a >，则满足132178a a ⎧<⎪⎪⎨⎪>⎪⎩，，可得7382a <<；若10a -≤<，因左支已交于一点，则右支必然只能交于一点，当10a -<<时，因为(1)11af =-<，所以在()0,2上有两个交点，不合题意舍去，当1a =-时，则需154a <-，解得a Ø∈，故选D .【点睛】本题考查分段函数的图象和零点问题.对函数图象的正确绘制是解答本题的关键.二、选择题：本大题共7小題，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分。
浙江省百校2019-2020学年高三数学联考试卷
浙江省百校2019-2020学年高三数学联考试卷一、单选题（共10题；共20分）1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.已知i是虚数单位，若复数z满足，则（）A. B. 2 C. D. 33.若x，y满足约束条件，则的最大值是（）A. -5B. 1C. 2D. 44.已知平面，和直线，，且，则“ ”是“ 且”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5.若二项式的展开式中各项的系数和为243，则该展开式中含x项的系数为（）A. 1B. 5C. 10D. 206.函数的大致图象为（）A. B.C. D.7.已知双曲线，过其右焦点F作渐近线的垂线，垂足为B，交y轴于点C，交另一条渐近线于点A，并且满足点C位于A，B之间.已知O为原点，且，则（）A. B. C. D.8.已知内接于半径为2的，内角A，B，C的角平分线分别与相交于D，E，F三点，若，则（）A. 1B. 2C. 3D. 49.如图，在中，，，，将绕边AB翻转至，使面面ABC，D是BC的中点，设Q是线段PA上的动点，则当PC与DQ所成角取得最小值时，线段AQ的长度为（）A. B. C. D.10.设无穷数列满足，，，若为周期数列，则pq的值为（）A. B. 1 C. 2 D. 4二、双空题（共4题；共4分）11.若函数为奇函数，则实数a的值为________，且当时，的最大值为________.12.已知随机变量的分布列如下表，若，则a=________，________.0 1 2P a b13.已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示则该几何体的体积为________ ，表面积为________.14.已知、分别为椭圆的左、右焦点，点关于直线对称的点Q在椭圆上，则椭圆的离心率为________；若过且斜率为的直线与椭圆相交于AB两点，且，则k=________.三、填空题（共3题；共3分）15.某学校要安排2名高二的同学，2名高一的同学和名初三的同学去参加电视节目《变形记》，有五个乡村小镇A、B、C、D，E（每名同学选择一个小镇）由于某种原因高二的同学不去小镇A，高一的同学不去小镇B，初三的同学不去小镇D和E，则共有________种不同的安排方法（用数字作）16.已知向量满足，则的取值范围是________.17.在平面直角坐标系xOy中，已知圆.过原点的动直线l与圆M交于A，B两点若以线段AB为直径的圆与以M为圆心MO为半径的始终无公共点，则实数a的取值范围是________.四、解答题（共5题；共50分）18.已知函数（1）求的值；（2）求函数的单调递增区间.19.如图，在底面为菱形的四棱锥P-ABCD中，平面平面ABCD，为等腰直角三角形，，，点E，F分别为BC，PD的中点，直线PC与平面AEF交于点Q.（1）若平面平面，求证：.（2）求直线AQ与平面PCD所成角的正弦值.20.已知各项为正数的数列，其前n项和为，，且.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前n项和.21.如图，过抛物线上的一点作抛物线的切线，分别交x轴于点D交y轴于点B，点Q 在抛物线上，点E，F分别在线段AQ，BQ上，且满足，，线段QD与交于点P.（1）当点P在抛物线C上，且时，求直线的方程；（2）当时，求的值.22.已知函数，.（1）若，求证：当时，（2）若不等式恒成立，求实数a的取值范围.答案解析部分一、单选题1.【答案】C2.【答案】A3.【答案】D4.【答案】B5.【答案】C6.【答案】A7.【答案】A8.【答案】D9.【答案】B10.【答案】C二、双空题11.【答案】；12.【答案】；13.【答案】100；14.【答案】；1三、填空题15.【答案】3216.【答案】17.【答案】四、解答题18.【答案】（1）解：化简得，所以（2）解：由于，故，，解得函数的单调递增区间为，19.【答案】（1）证明：因为，平面PC，平面PCD，所以平面PCD.又因为平面PAB，平面平面，所以.（2）解：连接PE.因为，所以，则设，则.因为A，E，Q，F四点共面，所以，解得，则.取AD的中点O，连接OC，OP，由题意可得OC，OD，OP两两垂直如图，建立空间直角坐标系，设，则，，，.所以，.设平面PCD的一个法向量为，则，令，得，即，所以，所以.20.【答案】（1）解：由平方，得，所以，将以上两式相减，可得，则，所以，由于数列的各项均为正数，所以，又，所以（2）解：由题意可得，则，，将以上两式相减，可得，设，则，将以上两式相减，可得，由此可得，则21.【答案】（1）解：过抛物线上点A的切线斜率为，切线AB的方程为，则B，D的坐标分别为，，D是线段AB的中点.设，，，，显然P是的重心.由重心坐标公式得，所以，则，故或因为，所以，所以直线EF的方程为或（2）解：由解（1）知，AB的方程为，，，D是线段AB的中点令，，，因为QD为的中线，所以而，所以，即，所以P是的重心，.22.【答案】（1）证明：当时，，则欲证，即，故只需证明，两边取对数，即证，，该不等式显然成立，从而当时，（2）解：恒成立，即恒成立设，则，只需讨论函数，因为，所以单调递增，，欲取一点，使得，，因此，取因此在之间存在唯一零点，得，则，故在上单调递减，在上单调递增，所以，设，，则只需，即，此时，由此可得实数a的取值范围是。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2020届浙江百校联考
一、选择题：本大题共10小题，共40分
1.
已知集合{|A x y ==，{}|12B x x =-≤≤，则A B =（ ）
A ．{}|12x x -<≤
B ．{}|01x x ≤≤
C ．{}{}|121x x ≤≤-
D ．{}|02x x ≤≤
2. 已知i 是虚数单位，若复数z 满足()12i 34i z +=+，则||z =（ ）
A
B ．2 C
．D ．3
3. 若,x y 满足约束条件1020220x y x y +≥⎧⎪
-≤⎨⎪--≤⎩，则z x y =+的最大值是（ ）
A ．5-
B ．1
C ．2
D ．4
4. 已知平面α，β和直线1l ，2l ，且2αβ=l ，则“12∥l l ”是“1α∥l 且1β∥l ”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
5.
若二项式2n
x ⎫⎪⎭的展开式中各项的系数和为243，则该展开式中含x 项的系数为（ ）
A ．1
B ．5
C ．10
D ．20
6. 函数()cos e x
f x x =的大致图象为（ ）
7. 已知双曲线()2
2
22
:
10,0x y C a b a b -=>>，过其右焦点F 作渐近线的垂线，垂足为B ，交y 轴于点C ，交另一条渐近线于点A ，并且满足点C 位于,A B 之间．已知O 为原点，且53
a
OA =，则FB FC =（ ） A ．
4
5
B ．
23
C ．
34 D ．13
8. 已知ABC △内接于半径为2的O ，内角,,A B C 的角平分线分别与O 相交于,,D E F 三点，若
()cos cos cos sin sin sin 222A B C
AD BE CF A B C λ⋅+⋅+⋅=++，则λ=（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
D
B A
9. 如图，在ABC △中，1AB =
，BC =4
B =
，将ABC △绕边AB 翻转至ABP △，使面ABP ⊥面ABC ，D 是BC 中点，设Q 是线段PA 上的动点，则当PC 与DQ 所成角取得最小值时，线段AQ 的长度为AB （ ）
A
B
C
D
10. 设无穷数列{}n a 满足()10=>a p p ，()20=>a q q ，()*
21122n n n a a n a ++⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭
N ，
若{}n a 为周期数列， 则pq 的值为（ ）
A ．12
B. 1
C. 2
D. 4
二、填空题：本大题共7小题，共36分
11. 若函数()()()
2x
f x x x a =+-为奇函数，则实数a 的值为 ；且当4x ≥时，()f x 的最大值
为 ．
12. 已知随机变量ξ的分布列如下表，若()2
E ξ=
，则a = , ()D ξ= ． 13. 已知某几何体的三视图（单位：
cm ）如图所示，则该几何体的体积为
3cm ，表面积为 2cm ．
Q D
P
C
B
A
俯视图
侧视图正视图
14. 已知1F 、2F 分别为椭圆()22:10C a b a b
+=>>的左、右焦点，点2F 关于直线y x =对称的点Q 在椭
圆上，则椭圆的离心率为 ；若过1F 且斜率为()0k k >的直线与椭圆相交于,A B 两点，且113AF FB =，则k = ．
15. 某学校要安排2名高二的同学，2名高一的同学和1名初三的同学去参加电视节目《变形记》，有五
个乡村小镇A ,B ,C ,D ,E （每名同学选择一个小镇），由于某种原因，高二的同学不去小镇A ，高一的同学不去小镇B ，初三的同学不去小镇D 和E ，则共有 种不同的安排方法（用数字作答）．
16. 已知向量a ，b 满足232-=+=a b a b ，则-a b 的取值范围是 ．
17. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆()()()2
2
:34R M x a y a a -++-=∈．过原点的动直线l 与圆M 交于
A ，
B 两点．若以线段AB 为直径的圆，与以M 为圆心，MO 为半径的圆始终无公共点，则实数a 的
取值范围是 ． 三、解答题：本大题共5小题，共74分 18. （14分）已知函数(
)2
sin 2
x
f x x =-． （1）求()f π的值；（2）求函数()y f x =单调递增区间．
19. （15分）如图，在底面为菱形的四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PAD △为等腰直角
三角形，2APD π∠=，23
BAD π
∠=，点E ，F 分别是BC ，PD 的中点，直线PC 与平面AEF 交于点
Q ．（1）若平面PAB 平面PCD l =，求证：AB l ∥；
（2）求直线AQ 与平面PCD 所成角的正弦值．
Q
F
E
P
D
C
B
A
20. （15分）已知各项为正数的数列{}n a ，其前n 项和为n S
21n a =+，且11a =．
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若2
3n n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．
21. （15分）如图，过抛物线2:C y x =上的一点()1,1A 作抛物线的切线，分别交x 轴于点D ，交y 轴于点
B ，点Q 在抛物线上，点E ，F 分别在线段AQ ，BQ 上，且满足AE EQ λ=，BF FQ μ=，线段QD 与EF 交于点P ．
（1）当点P 在抛物线C 上，且1
2
λμ==
时，求直线EF 的方程； （2）当1λμ+=时，求:PAB QAB S S △△的值．
22. （15分）已知函数()()2221e x a f x x a -=-+，R a ∈．
（1）若2a =时，求证：当1x ≥时，()()241f x x x '≥-； （2）若不等式()210f x x -+≥恒成立，求实数a 的取值范围．。