正切余切.ppt
C B
3：tanA与cotA的关系：tanA cotA=1 证明：∵tanA= BC A
AC
AC cotA= BC
∴tanA· cotA=1
﹒
C 练习：若tana· tan350=1，则锐角a的度数是（ ）
B
探究： 求tan300、tan600、tan450等于多少?
商的关系: 倒数关系:
sin A cos A tan A , cot A . cos A sin A
1 tan A . cot A 1 cot A . tan A
A
B
c
a ┌ C
tan A cot A 1.
b
2 如图:一个小孩荡秋千,秋千链子 的长度为2.5m,当秋千向两边摆动时, 摆角恰好为600,且两边摆动的角度 相同,求它摆至最高位置时与其摆至 最低位置时的高度 之差(结 果精确到0.01m).
3 2 2 2 1 2
3 3
1
3
1
3
3 3
练习：1、cotA=0.3027，cotB=0.3206，则∠A与 ∠B的大小关系是（ ） 2、 ∠A为锐角，且tanA＞
3 3
，则∠A（
）
A、小于300B、大于300C、小于600D、大于600
例1 计算: (1)sin300+cos450;(2) sin2600+cos2600+tan450. 解: (1)sin300+cos450 (2) sin2600+cos2600-tan450
1.计 算; (1)tan450-sin300; (2)cos600+sin450-tan300;
36 tan2 300
3 sin 600 2 cos450.
2.如图,河 岸 AD,BC互相平 行 , 桥 AB 垂 直于两岸 .桥 长12m , 在 C处 看 桥 两 端 A B ,夹 角 ∠BCA=600. 求 B,C 间 的 距 离 (结果精确到 1m).
15
AC 15 cot A BC 8
C
8
B
练习：1：在Rt△ABC中，∠C=900，斜边AB 是直角边AC的3倍。求∠A的四个三角函数值
解：设：AC=x，则：AB=3x。 在Rt△ABC中，根据勾股定理得：BC= 2
2x
BC 2 2 sin A ABot300、cot600、cot450等于多少?
A
A
300
3
2
600
450
2
1
C
C
1
B
1
B
特殊角的三角函数值表 结论：正弦 和正切随着 角的增大而 增大， 余弦和余切 随着角的增 大而减小
三角函数 正弦sinα 锐角α 余弦 cosα 正切tanα 余切cotα
300 450 600
1 2 2 2 3 2
1 2 2 2 1 2 . 2
3 1 2 1 2 2 3 1 1 4 4
2
0.
老师提示:
Sin2600表示(sin600)2,
cos2600表示(cos600)2,其余类推.
知识的运用
计算: (1)sin600-cos450; (2)cos600+tan600;
正切余切的定义
如图：在Rt△ABC中，∠C=900, 则：
A
A的对边 BC tan A A的邻边 AC A的邻边 AC cot A A的对边 BC
C
B
例1：求出如图所示的Rt△ABC中，∠A的正切、 余切
解： Rt△ABC中，根据勾股定理得： AB=17 A
BC 8 tan A AC 15
A
D
B
┐
C
3.如图,身高1.5m的小丽用一个两锐角分别是300 和600 的三角尺测量一棵树的高度.已知她与树 之间的距离为5m,那么这棵树大约有多高?
AC 4 COSA AB 5
C B
AC 4 cot A BC 3
思考：tanA和cotB有什么关系?
结论：tanA=cotB或cotA=tanB.
A
即tan 90 cot , 0 cot90 tan ,
0
一个锐角的正切,等于它的余角的余切 (或一个锐角的余切等于它的余角的正切);
A
BC tan A 2 2 AC AC 2 cot A BC 4
C
B
2：已知sinA= 解：∵
BC 3 ∴sin A AB 5
BC 3 tan A AC 4
∴设BC=3x，AB=5x 在Rt△ABC中，根据勾股定理得： AC=4X
3 ,求∠A的另外三个三角函数值 5 BC 3 A sin A AB 5
2 3 sin 450 sin 600 2 cos450. 2 2 2 0 4 sin 30 cos2 600 2 cos2 450. 2
同角之间的三角函数的关系
平方和关系:
sin 2 A cos2 A 1.
sin 2 A 1 cos2 A. 或sin A 1 cos2 A. cos2 A 1 sin 2 A. 或cos A 1 sin 2 A.
B
C
练习：在Rt△ABC中，∠C=900，
cot（900-A）=1.524，则tan（900-B）=（ ）
几个性质：
sin A 1：正切与正弦、余弦的关系tanA= cos A
证明：∵
BC cos A AB
BC sin A AB
A
sin A BC ﹒ tan A cos A AC
解直角三角形
-锐角三角函数—正切余切
复习回顾：
1、正弦、余弦的定义 如图：在Rt△ABC中，∠C=900, 则：
A
A的对边 sin A 斜边 A的邻边 COSA 斜边
BC AB AC AB
C
B
几个性质： 1、sinA=cos（900-A）或cosA=sin（900-A） 2、0＜sinA＜1 0＜cosA＜1 3、sin2A+cos2A=1 4、正弦随着角的增大而增大， 余弦随着角的增大而减小
第1讲 正弦、余弦、正切、余切(讲义)
第1讲 正弦、余弦、正切、余切知识梳理1.角的概念的推广（1）正角，负角和零角.用旋转的观点定义角，并规定了旋转的正方向，就出现了正角，负角和零角，这样角的大小就不再限于00到3600的范围.（2）象限角和轴线角.象限角的前提是角的顶点与直角坐标系中的坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，这样当角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角，若角的终边与坐标轴重合，这个角不属于任一象限，这时也称该角为轴线角.（3）终边相同的角，具有共同的绐边和终边的角叫终边相同的角，所有与角α终边相同的角（包含角α在内）的集合为{}Z k k ∈⋅+=,360 αββ.（4）角α在“0到 360”范围内，指 3600<≤α.2.弧度制：弧长等于半径的弧所对的圆心角叫做１弧度的角．用“弧度”作为单位来度量 角的单位制称为弧度制．弧度：长度等于半径的弧所对的圆心角的大小(1) 角度制与弧度制换算关系：180π︒=弧度 ，rad 1801π= ，30.571801≈⎪⎭⎫ ⎝⎛=πrad3.扇形弧长与面积：记扇形的半径为r ，圆心角为α弧度，弧长为l ，面积为s ，则有 由定义，在弧度制中，半径为r ，弧度数为rad α的弧长r l α=.在角度制中，半径为r 、圆心角为n 的弧长r n r n l 1802360ππ=⋅=. 在弧度制中，半径为r ，弧度数为rad α的扇形面积r l r r S 2121222==⋅=αππα. 在角度制中，半径为r ，圆心角为n 的扇形面积22360360r n r n S ππ=⋅=4.单位圆：单位圆泛指半径为１个单位的圆．本章中，在平面直角坐标系中，特指出以还要熟悉每个象限各个三角函数的符号.第Ⅰ象限：全正；第Ⅱ象限：仅αsin ，αcsc 为正，其余为负；第Ⅲ象限：仅αtan ，αcot 为正，其余为负；第Ⅳ象限：仅αcos ，αsec 为正，其余为负.一、 角概念的推广例题解析例1．（2020·上海市七宝中学高一期中）已知k ∈Z ，下列各组角中，终边相同的是（ ） A ．2k π与k π B ．2k ππ+与4k ππ±C ．6k ππ+与26k ππ±D ．2k π与2k ππ± 例2．（2020·上海市建平中学高一期中）已知α是第二象限角，则2α是（ ） A ．锐角 B ．第一象限角C ．第一、三象限角D ．第二、四象限角例3.（2020·上海市奉贤区奉城高级中学高一期末）下列各组角中，两个角终边不相同的一组是（ ）A ．43-与677B ．900与1260-C ．120-与960D ．150与630例4．（2020·上海浦东新区·华师大二附中高一月考）已知2020θ=︒，则θ的终边在第________象限例5．（2020·上海市莘庄中学高一月考）终边在y 轴负半轴上的角的集合为___________________例6.（2020·上海市金山中学高一期中）2019角是第_______象限角．例7（2020·上海浦东新区·高一期中）与4π角终边重合的角的集合是________ 巩固练习1．（2020·上海浦东新区·高一期中）若α是第一象限的角，则2α是第________象限的角．2．（2020·上海黄浦区·高一期末）大于360-︒且终边与角75︒重合的负角是________.3．（2021·上海市行知中学高一期末）如果α是第三象限角，则3α的终边一定不在第_________象限.4．若3601575,k k Z α=⋅-∈，试判断角α所在象限。
正切与余切 PPT
结束寄语
• 锐角三角函数描述了直角三角形中边与 角的关系,它又是一个变量之间重要的 函数关系,即新奇,又富有魅力,你可要 与它建立好感情噢！
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直角三角形中边与角的关系:锐角的三角函数-正切函数
在直角三角形中,若一个锐角的对边与邻边的比 值是一个定值,那么这个角的值也随之确定.
B
在Rt△ABC中,锐角A的对边与邻边
的比叫做∠A的正切,记作tanA,即
∠A的对边
tanA=
┌ A ∠A的邻边 C
议一议P4 11
八仙过海,尽显才能
驶向胜利 的彼岸
包权
人书友圈7.三端同步
想一想P1 2
本领大不大, 悟心来当家
办法不只一种
小明在A处仰望塔顶,测得∠1的大小,再 往塔的方向前进50m到B处,又测得∠2的 大小,根据这些他就求出了塔的高度.你 知道他是怎么做的吗？
驶向胜利 的彼岸
A 1 B2
想一想P2 3
源于生活的数学
从梯子的倾斜程度谈起
梯子是我们日常生活中常 见的物体
B1 B2
C2
C1
议一议P3 9
由感性到理性
驶向胜利 的彼岸
直角三角形的边与角的关系
(1).Rt△AB1C1和Rt△AB2C2有什么关系?
B1
B2 B3
如果改变B2在梯子上的位置 (如B3C3 )呢?
由此你得出什么结论?
A
C3 C2
C1
正切函数的图像与性质PPT课件
u解 1 2:x( k1 )4 令 为 2u u增 1 2kx ;2且 函 2 y4 , k,数 则 t4Zayu n 的 3t单 aun 调:区 令 解 u间 :因 2x为 4为 ;k所 原 以 yut函 aknu:的 y数 2 ,k单 3可 Zt4 调 an2化 递 (4增 )为 :; 区
(2)变y题 3ta1 nx();
解 :f(x)3ta2 nx4 ()
3tan2(x4)
3tan2([x4)]
f (x ) 2 4
2 周期T
2
24
解 :f(x)3ta1nx()
3tan1(x24)
3tan12([x24)]
2
4
f(x2)
周T 期 2
面两例，你能得到函数y=Atan(ωx+Ф)的周期吗
Ø把单位圆右半圆中
作出正切线。
2
Ø找交叉点。
Ø连线。
2021/10/10
3
3
2
2
2021/10/10
3 2
4
3
3
2
2
2
（1）定义域：
x|x2k,kZ
（2）值域：
tax n ) (tax)n(
全体实数R
正切函数是奇函数，正切曲线
关于原点0对称
（3） t周a期x n 性) (：tax)n(
由u1x得:
24
k1xk
22 4 2
2
2
由u1x得:
24
k1xk
22 4 2
y3tan1(x)的单调递增区 : 间y为 3tan(1x)的单调递减区 :
24
24
2k3x2k
2
2
2kx2k3
2
数学人教A版(2019)必修第一册5.5.1二倍角的正弦、余弦、正切公式(共19张ppt)
( + ) = +
两角和差的正弦公式
两角和差的正切公式
( − ) = −
+
( + ) =
1 −
−
(2)配方变换.
1±sin 2α=sin2α+cos2α±2sin αcos α=(sin α±cos α)2.
(3)升幂缩角变换.
1+cos 2α=2cos2α , 1-cos 2α=2sin2α .
(4)降幂扩角变换.
1
1
1
cos α=2(1+cos 2α),sin α=2(1-cos 2α),sin αcos α=2sin 2α.
5.5.1 第三课时
二倍角的正弦、余弦、正切公式
Hale Waihona Puke 学习目标1.会从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、
正切公式.（逻辑推理）
2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换并能灵活地将公式变
形运用.（数学运算）
复习回顾
两角和差的余弦公式
两角和与差的正弦、余弦、正切公式
( + ) = −
( + ) = 2 = + = 2
+
2
( + ) = 2 =
=
1 − 1 − 2
新知梳理
二倍角公式
2sin αcos α
2cos2α-1
cos2α-sin2α
2
－1＝1－2sin －x；
－x
4
4
2
例题讲解
题型三：化简与证明
例3
(1)化简:cos2(θ+15°)+sin 2(θ-15°)+sin(θ+90°)cos(90°-θ);
高等数学课件：三角函数反三角函数
-2
5
0
-5
-10
2
4
2
x 6
(5) 正割函数 secx
y 6
4
2
-4 -2 0
-2
x 24 68
-4
-6
(6) 余割函数 cscx
y
6
4
2
-2 0
x
2
4
6
8
-2
-4
-6
5. 反三角函数(常用的四个)
(1) 反正弦函数 Arcsin x 主值 arcsinx [ , ]
22
(2) 反余弦函数 Arccos x
一. 三角函数(常用的三角函)
(1) 正弦函数 sin x
2
-6
1
0.5
0
-4
-2
-0.5
-1
2
2
4
6
(2) 余弦函数 cos x
1
3
2
2
0.5
2
-6
-4
-2
0
2
-0.5
-1
3
2
4
6
(3) 正切函数 tan x
3
2
-4
y 6
4
2
2
2
-2 0
2
-2
-4
-6
3 2
x 4
Back
(4) 余切函数 cot x
2
( 2 ) 双曲余弦 ch x = e x ex ( 偶函数 ) 2
( 3 ) 双曲正切
th
x
=
sh ch
x x
=
ex ex
ex ex
( 奇函数 )
课件 正切和余切(1)
sinα cosα
3 3
1 1
3
3 3
增
3
减
发现
特殊锐角的正切、余切关系：
tan30°= cot60° tan45°= cot45° tan60°= cot30°
互为余角的正切、余切关系： tanA= cot (90°-A) cot A= tan (90°-A)
练习 3、若∠A是锐角，且cot(90°-A)=5,
对 a边 b 邻边 C
cot A 0
练习 1、在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA 是方程 5 x2-14 x + 8 = 0 的一个根， 求tanA的值。 B
A
C
新授
锐角三角函数 B
c
a sinA= c a tanA= b
A
α
对 a边 b 邻边 C
b cosA= c b cotA= a
小结 正切、余切的定义
B
c A
α
对 a边 b 邻边 C
a tanA= b
b cotA= a
小结 互为余角的正切、余切关系：
tanA= cot (90°-A) cot A= tan (90°-A)
同角的正弦、余弦关系： tanA ·cotA = 1
sin A tan A cos B
6、若cotα·tan10 ° = tan45°, 则锐角α = 。
7、计算： tan 1° ·tan 2° · … · tan 45° · … · tan88° ·tan89°
反馈
3 8、已知A为锐角，且 cot A 3
那么( )
A 0 A 60 B 60 A 90
C 0 A 30 D 30 A 90
6.1正弦余弦正切余切(第1课时任意角及其度量)(教学课件)-高一数学(2020)
例如，若角α是第一象限的角，将其终边绕原点逆时针旋转90°后，所得的角α＋ 90°是第二象限的角；将其终边绕原点逆时针旋转180°后，所得的角α＋180°是第 三象限的角；而将其终边绕原点顺时针旋转90°后，所得的角α－90°则是第四象限 的角． 从角的形成过程中可以看到，与某一个角α的始边相同且终边重合的角有无 数个，它们的大小与角α都相差360°的整数倍． 在图6-1-3中，60°的角和420°的 角的终边重合，前者与后者之差为-360°；135°的角和-225°的角的终边重合，前 者与后者之差为360°．进一步，我们可以把所有与角α的终边重合的角（包括角α 本身）的集合表示为
（1）6600
（2） -9500
解: （1）∵6600=3000+3600
∴在00~3600范围内，与6600角终边相同的角是 3000 ，它是第四象限角 。
（2）∵-9500=1300-3×3600
∴在00~3600范围内，与 -9500终边相 同的角是 1300 ，它是第二象限的角
2．象限角的判定方法： (1)在坐标系中画出相应的角，观察终边的位置，确定象限． (2)第一步，将α写成α＝k·360°＋β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式； 第二步，判断β的终边所在的象限； 第三步，根据β的终边所在的象限，即可确定α的终边所在的象限． 提醒：理解任意角这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正 负”，“旋转幅度”决定角的“绝对值大小”．
题型分类讲解
题型一：角的有关概念的判断
【例 1】 (1)给出下列说法： ①锐角都是第一象限角；②第一象限角一定不是负角；③小于 180° 的角是钝角、直角或锐角；④始边和终边重合的角是零角． 其中正确说法的序号为________(把正确说法的序号都写上)． (2)已知角的顶点与坐标原点重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，作出 下列各角，并指出它们是第几象限角． ①420°.②855°.③－510°.
【数学课件】正切和余切
0 sin 1 0 cos 1
tan cot(90 ) cot tan(90 )
tan cot 1
tan 0 cot 0
（保底不封顶）
tan
AWY
D
sin A cosA
cotA cosA sin A
关于0°和90°的三角函数值
0°和90°的三角函数值不能在直角三角 形中直接求出，但可以通过运动的观点 推出。
0° 90°
sin 0
1
cos 1
0
tan 0 不存在
cot 不存在 0
WY D
两个等于1的公式的运用
求值：
tan1 tan2 tan3 tan87 tan88 tan89
关系：
– 正切和正弦、余弦 – 余切和正弦、余弦
简单运用
课本Page14练习 求下列各式的值：
– tan81°·cot81°= – cot27°·cot63°=
求下列各式中的锐角：
2sin 1 3cot A 3 0
tan2 A 1
tan tan70 1
WY D
A
C BQ
M
C
ABC中，B 30，P为AB上一点，BP : PA 1: 2，
PQ BC于Q，连结AQ，求 cos AQC。
WY D
1、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之毁灭。——卢梭
好好学习，天天向上。 2、教育人就是要形成人的性格。——欧文 3、自我教育需要有非常重要而强有力的促进因素——自尊心、自我尊重感、上进心。——苏霍姆林斯基 4、追求理想是一个人进行自我教育的最初的动力，而没有自我教育就不能想象会有完美的精神生活。我认为，教会学生自己教育自己，这是一种
第8讲：正切与余切(1)
第八讲 正切与余切（1）【基础知识精讲】1、正切、余切概念：(1) 在ABC Rt ∆中，A ∠的对边与邻边的比叫做A ∠的正切，记作A tan 。
即 的邻边的对边A A A ∠∠=t a n（或b a A =tan ）(2) 在ABC Rt ∆中，A ∠的邻边与对边的比叫做A ∠的余切，记作A cot ， 即 的对边的邻边A A A ∠∠=cot （或a b A =cot ）2．A tan 与A cot 的关系A A cot 1tan =（或AA tan 1cot =， 1cot tan =⋅A A ） 3、 特殊角的正弦值与余弦值：3330tan =； 145tan = ； 360tan =； 330cot = ； 145cot = ； 3360cot = ． 【例题巧解点拨】例1：在ABC Rt ∆中，C ∠为直角，A ∠、B ∠、C ∠所对的边分别为c b a 、、。
3=a ，4=c ，求A tan ，A cot ，B tan ，B cot例2：求下列各式的值：（1）45cot 30tan 330sin 2++； （2）．︒+︒︒︒--︒-︒60tan 45cot 30cot 45tan 160cot 130tan 22b例3：填空：（1）若3tan =A ，则.______=∠A （2）.__________35cot 45tan 35tan =⋅⋅ （3）若1cot 47tan =⋅β ，则锐角._________=β【同步达纲练习】A 组一、选择题：1. ABC ∆Rt 中，︒=∠90C ，a ，b ，c 分别是A ∠，B ∠，C ∠的对边，则ba叫A ∠的（ ）A ．正弦B ．余弦C ．正切D ．余切2. 在ABC ∆中，33tan =A ，1cot =B ，则ABC ∆为（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．不能确定 3. 在ABC ∆Rt 中，︒=∠90C ，下列关系式中正确的有（ ）（1）A a b tan ⋅= （2）B b a cot ⋅= （3）B a b tan ⋅= （4）A b a cot ⋅=A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 4．一个直角三角形的两条边长为3、4，则较小锐角的正切值是（ ）（A ）43 （B ）34 （C ）43或37 （D ）不同于以上 5．计算22)31(45tan 60sin ---⋅，结果正确的是（ ） A ．49 B ．49- C ．411 D ．411- 二、填空:6、 在ABC ∆中，︒=∠90C ，3=a ，5=c ，则A t a n =_________，A cot =__________ 7．在ABC ∆中，C ∠为直角，已知15=a ，30=∠A ，则b =_______. 8．在_________,1,2tan ,,===∠=∠∆b a B Rt C ABC Rt 则若中9．等腰梯形腰长为6，底角的正切为42，下底长为212，则上底长为 ，高为 。
30度45度60度角的三角函数值ppt课件
的关系,且它更具有灵活变换的特点,若能予以
掌握,则将有益于智力开发.
随堂练习P128
同角之间的三角函数的关系
3.如图,在Rt△ABC中,∠C=900,∠A,∠B,∠C的对
边分别是a,b,c.
求证:sin2A+cos2A=1
B
证 : s 明 A i n a ,cA o b s ,a 2 b 2 c 2 , c
本领大不大 悟心来当家
如图,观察一副三角板: 它们其中有几个锐角?分别是多少度?
(1)sin300等于多少? (2)cos300等于多少? (3)tan300等于多少? (4)cot300等于多少?
300
2
2 450 1
3
450 ┌ 600 ┌
1
1
请与同伴交流你是怎么想的?又是怎么做的?
做一做P10 3
∴最高位置与最低位置的高度
差约为0.34m.
随堂练习P128
八仙过海,尽显才能
2.某商场有一自动扶梯,其倾斜角为 300,高为7m,扶梯的长度是多少?
3.如图,Rt△ABC中,∠C=90°
B
∠A,∠B ,∠C的对边分别是 c
a,b,c.求证:sin2A+cos2A=1
友情提示:
A
a
┌
b
C
sin2A+cos2A=1它反映了同角之间的三角函数
a ┌
ac
cb A
b
C
sinA c osA
c b
a b
tanA,
cossA sin A
c a
b a
cotA.
随堂练习P128
同角之间的三角函数的关系
平方和关系: s i2n A1c o 2A .s或 siA n1co2A s.