浅谈整函数与亚纯函数
亚纯函数 有理函数
探究亚纯函数和有理函数在复平面中的形态
特征和应用
亚纯函数与有理函数是复变函数中重要的两个概念，它们在数学中有着广泛的应用。
本文将围绕这两个概念展开探究，探讨它们在复平面中的形态特征和具体应用。
首先，我们从形态特征入手。
亚纯函数是指在复平面上除去某些孤立点后仍然是解析函数的函数。
这就要求它在复平面上必须是连续的，并且复平面上的奇点要么是可去的，要么是极点。
有理函数是指两个多项式的商，其中分母的根必须是有限的。
因此，在复平面上，有理函数的奇点必须是多项式的根，这意味着有理函数的奇点数目是有限的。
接着，我们来看一些具体的应用。
由于亚纯函数拥有很好的解析性质，因此在工程、物理、化学等学科中有着广泛的应用。
例如，在电路分析中，电容和电感中的时间响应可以被表达为亚纯函数，从而可以帮助我们理解和预测电路的行为。
在物理学中，亚纯函数被广泛应用于描述量子力学中的波函数，以及光学中的衍射和散射等现象。
与此相比，有理函数的应用则更加广泛。
由于它的奇点数目是有限的，因此它通常被用来描述具有离散特征的系统。
例如，在控制论中，有理函数可以用来描述系统的传递函数，从而帮助我们分析和设计控制系统。
在微积分和数学分析中，有理函数被广泛用于描绘曲线、求极限、计算积分等问题。
综上所述，亚纯函数和有理函数是复变函数中的两个重要概念。
它们在复平面中的形态特征和具体应用各具特色，有助于我们更好地理解和应用数学知识。
第4节 整函数与亚纯函数
e , sin z , cos z 都是超越整函数.
注1 整函数按唯一奇点z 的不同类型而被分成三类.
z
注2 定理5.10(1)与刘维尔定理一致.
二 亚纯函数的概念及其与有理函数的关系
1 定义5.6 在z平面上除极点外无其它类型奇 点的单值解析函数,称为亚纯函数.
e 如f ( z ) z 1 为亚纯函数.
第四节 整函数与亚纯函数
Department of Mathematics
一 整函数的概念及其分类
1 整函数 在整个z平面上解析的函数.
显然每一个整函数f ( z )都以z 为唯一孤立奇点, 故它在无穷远点的去心邻域0 z 内Laurent展式, 就是它在原点邻域0 z 内的Taylor展式, 即可设
(2) z 为f ( z)的m阶极点 f ( z)是一个m次多项式, m 即f ( z ) c0 c1 z cm z , (cm 0); ( f ( z )在z 的主要部分为c1 z cm z m , cm 0);
(3) z 为f ( z)的本质奇点 展开式(5.14)有无限项. 此时f(z)称为超越整函数. ( f ( z)在z 的主要部分有无穷多项正幂不等于零).
故f ( z)的奇点zk (2k 1) i (k 0, 1, )为极点; 因为(e 1) e 0, 故zk为f ( z)的一阶极点;
z ' z
因为zk ,
故是f ( z)的非孤立奇点,
即f ( z)为超越亚纯函数.
3 例2 考察函数f ( z ) sin z, g ( z ) z 2 z 1 的类型. z
至多以z 为极点, 而在z平面解析; 故g ( z)必为多项式(或常数), 从而为f ( z)有理函数.
涉及高阶导数分担值的亚纯函数正规族
涉及高阶导数分担值的亚纯函数正规族
一、前言
亚纯函数正规族是复分析领域中一个非常重要的研究对象。
涉及高阶导数的亚纯函数正规族，在实际应用领域中将带来非常广泛的应用价值。
接下来，我们将就此话题展开详细的介绍。
二、什么是亚纯函数正规族
先简单介绍一下什么是亚纯函数，它是复平面上的解析函数f(z)，它至多只有有限个极点（及有限阶极点）。
那么什么是亚纯函数正规族呢? 首先，正规族是指在紧区域上一致有界的解析函数族，具有较好的理论性质。
那亚纯函数正规族是指由亚纯函数组成，在紧区域上一致有界的一组函数族。
三、什么是高阶导数分担值
我们知道在零点附近的函数某些性质（如零点阶数、性质等）往往可以用高阶导数的形式给出。
而高阶导数分担值反映了这些性质在整个解析区域上的分布情况。
四、涉及高阶导数分担值的亚纯函数正规族
涉及高阶导数分担值的亚纯函数正规族是指该族中的函数，其高阶导数在整个解析区域上的分布情况与其它解析函数的导数分担情况有所不同。
通过研究这样的正规族，我们可以深入探讨亚纯函数的相关性质，如零点、奇点等等。
此外，高阶导数分担值还具有一些应用，如在探讨一些希尔伯特问题、调和函数等问题时均有所应用。
五、总结
本篇文章主要介绍了涉及高阶导数分担值的亚纯函数正规族，它是亚纯函数正规族中的一类比较特殊的族群，其在解析区域上的分布情况与其它函数族有所不同。
通过研究此类正规族，我们可以更好地探讨亚纯函数的性质，并对相关问题进行深入分析。
关于亚纯函数的正规族
关于亚纯函数的正规族吕凤姣; 刘芝秀【期刊名称】《《四川师范大学学报（自然科学版）》》【年(卷),期】2019(042)006【总页数】5页(P803-807)【关键词】正规族; 全纯函数; 亚纯函数; 分担值【作者】吕凤姣; 刘芝秀【作者单位】黄河科技学院信息工程学院河南郑州450063; 南昌工程学院理学院江西南昌330099【正文语种】中文【中图分类】O174.521 引言和主要结果设f(z)为开平面上非常数的亚纯函数,采用值分布论中的相关记号[1-2],在此给出相关的定义.设f(z)与g(z)为平面区域D上2个非常数的亚纯函数,a为一复数,记称f与g为IM分担a,是指f-a与g-a的零点相同,即设f(z)与g(z)为平面区域D上2个非常数的亚纯函数,a为一复数,记f(z)-a的零点为zn(n=1,2,3,…),如果zn(n=1,2,3,…)也是g(z)-a的零点(不计重数),则称单向分担a,记为f(z)=a⟹g(z)=a.设D为复平面C上的区域,F为定义在区域D内一族亚纯函数,称F在区域D上正规,是指亚纯函数族F中每一个函数序列{fn(z)}(n=1,2,…)均可以选出一个子序列{fnk(z)}(k=1,2,…)在区域D上按球面距离内闭一致收敛于一个亚纯函数或者恒为无穷.称F在区域D上一点z0正规是指F在z0的某个领域内正规.可知,F在区域D上正规等价于F在区域D上每一点都正规.复平面C上的亚纯函数称为正规函数,如果存在正数M,使得f#(z)≤M,其中为f(z)的球面导数.Mules等[3]证明了:定理 A[3] 设f(z)是一个非常数的亚纯函数，如果f(z)和f′(z)是IM分担3个不同的复数a1、a2、a3,则f≡f′.相应地,Schwick[4]首先研究了分担值与正规族之间的联系，得到如下定理.定理 B[4] 设F={f(z)}是单位圆盘Δ上的亚纯函数族,a1、a2、a3是3个不同的复数,如果对每个f∈F,f与f′同时分担值a1、a2、a3,则F在Δ上正规.近来,Fang等[5]证明了:定理 C[5] 设F是区域D上的一亚纯函数族,k是一个正整数，a≠0和b是2个有穷复数,如果对任一f∈F,f的零点重级至少为k，且ff(k)=a⟹f(k)=b，则F在D内正规.这时,自然地就会考虑到:上述定理中分担条件可以进一步减弱为单向分担吗?本文给出了下列几个结果.定理 1 设F是区域D上的一全纯函数族,k是一个正整数，a≠0和b≥0是2个有穷复数,如果对任一f∈F,f的零点重级至少为k，且f(z)f(k)(z)=a⟹|f(k)(z)|≤b，则F在D内正规.推论 1 设F是区域D上的一全纯函数族,k是一个正整数，a≠0和b>0是2个有穷复数,如果对任一f∈F,f的零点重级至少为k，且f(z)f(k)(z)=a⟹|f(z)|≥b，则F在D内正规.推论 2 设F是区域D上的一全纯函数族,k是一个正整数，如果对任一f∈F,f的零点重级至少为k，且ff(k)≠1，则F在D内正规.在定理1和其推论1和2中,虽然分担值的条件减弱为了单向分担,但是只证明了对全纯函数族成立，如果依然是亚纯函数族呢?进一步研究,得出了下面的结果.定理 2 设F是区域D上的一亚纯函数族,k是一个正整数，a≠0和b≥0是2个有穷复数,如果对任一f∈F,f的零点重级至少为k+1，且f(z)f(k)(z)=a⟹|f(k)(z)|≤b，则F在D内正规.推论 3 设F是区域D上的一亚纯函数族,k是一个正整数，a≠0和b>0是2个有穷复数,如果对任一f∈F,f的零点重级至少为k+1，且f(z)f(k)(z)=a⟹|f(z)|≥b，则F在D内正规.推论 4 设F是区域D上的一亚纯函数族,k是一个正整数，如果对任一f∈F,f的零点重级至少为k+1，且ff(k)≠1，则F在D内正规.下面的例1说明上述定理1和2中对“f(z)的零点重级的限制”是必须的.例 1 设F={fn(z):fn(z)=nz,n∈N},则但是F在D内不正规.下面的例2和3说明上述定理1和2中对“条件a≠0”是必须的.例 2 设D={z:|z|<1}, F={fn:fn(z)=enz},则且但是F在D内不正规.例 3 设则但是F在D内不正规.2 一些引理引理 1[6] 设F单位圆盘Δ上的亚纯函数族，f的零点重级至少为k.如果F在单位圆Δ内不正规,那么对于0≤α<k,存在:(i) 正数r,r∈(0,1);(ii) 复数列zn,|zn|<r;(iii) 函数列fn∈F;(iv) 正数列ρn→0;使得在复平面C上按球距内闭一致收敛于非常数的亚纯函数g(ξ)，且g#(ξ)≤g#(0)=1.引理 2[7-8] 如果f(z)是一亚纯函数，其球面导数f#(z)是有限的,则f的级至多是2;并且如果f(z)是一整函数,则f的级至多是1.引理 3[9] 如果f(z)是一超越亚纯函数,n是正整数,则ff′能取到非零有限值无穷多次. 引理 4 如果f(z)是一个超越整函数,其零点重级至少为2,则证明令则因此注意到如果z是f(z)的q≥2重零点,z是(ff(k)-1)′=f ′f(k)+ff(k+1)的q-1重零点,z是(ff(k)-1)′的p≥2重零点,z是(ff(k)-1)′的p-1重零点,同时,f(z)的零点和(ff(k)-1)′的零点是不同的,则因为f(z)是整函数,且零点重级至少是2,所以因此引理 5[10-11] 如果f(z)是一个超越亚纯函数,其零点重级至少为k+1,则ff(k)能取到非零有限值无穷多次.3 定理的证明定理1的证明不失一般性,令D=Δ={z:|z|<1}.假设F在D内不正规,由引理1可得：存在fn∈F,zn∈D,ρn→0+,使得在复平面C上按球距内闭一致收敛于g(ξ)，其中g(ξ)为在C上的级不超过2的非常数亚纯函数，且g#(ξ)≤g#(0)=1.可以断定：(i) g(ξ)的零点重级至少为k,(ii) gg(k)≠a.事实上，(i) 假设存在ξ0∈C，使得g(ξ0)=0,根据Hurwitz定理,存在ξn,ξn→ξ0,使得当n充分大时,有因此fn(zn+ρnξn)=0.又fn(ξ)的零点重级至少为k,所以f (i)n(zn+ρnξn)=0, i=1,2,…,k-1,因此有所以g(ξ)的零点重级至少为k.(ii) 假设存在ξ0∈C使得g(ξ0)g(k)(ξ0)=a,则g(ξ0)≠∞.如果gg(k)≡a,那么g≠0.由引理2知,gd的级至多为1,因此g(ξ)=ecξ+d,其中c(≠0)和d是常数.但是g(ξ)g(k)(ξ)=cke(n+1)(cξ+d)与g(ξ)g(k)(ξ)≡a矛盾,因此g(ξ)g(k)(ξ)≢a.假设存在ξn,ξn→ξ0,使得当n充分大时有a=gn(ξn)g (k)n(ξn)=fn(zn+ρnξ由于f(z)f(k)(z)=a⟹|f(k)(z)|≤b,可得|f (k)n(zn+ρnξn)|≤b,因此这与a≠0矛盾.因此(i)和(ii)得证.根据引理3和4,可知g(ξ)是多项式函数.因为g(ξ)的零点重级至少是k,且g(k)(ξ)≢0，则g(ξ)g(k)(ξ)-a有零点，这与g(ξ)g(k)(ξ)≠a矛盾.因此F在D上正规. 定理2的证明假设F在D上不正规.由引理1得，存在fn∈F,zn∈D,ρn→0+,使得在复平面C上按球距内闭一致收敛于g(ξ),其中g(ξ)是非常数的亚纯函数，且g#(ξ)≤g#(0)=1.这样由Hurwitz定理可知,g(ξ)的零点重级至少是k+1.可以断定gg(k)≠a.假设存在ξ0∈C使得g(ξ0)g(k)(ξ0)=a，则g(ξ0)≠∞.如果gg(k)≡a,那么g(ξ)是整函数且g≠0.根据定理2可知,g的级至多是1,因此g(ξ)=ecξ+d,其中c(≠0)和d常数.但是g(ξ)g(k)(ξ)=cke(n+1)(cξ+d),这与g(ξ)g(k)(ξ)≡a矛盾,因此g(ξ)g(k)(ξ)≢a.因此存在ξn,ξn→ξ0,使得当n充分大时,有a=gn(ξn)g (k)n(ξn)=fn(zn+ρnξn)f (k)n(zn+ρnξn).由已知条件f(z)f(k)(z)=a⟹|f(k)(z)|≤b可得|f (k)n(zn+ρnξn)|≤b,因此这与g(ξ)g(k)(ξ)=a矛盾.根据引理5可得,g(ξ)是有理函数.令其中Q(ξ)和P(ξ)(Qk(ξ)和Pk(ξ))是2个互素多项式.如果deg(Q(ξ))≤deg(P(ξ))或者g(ξ)是多项式,则gg(k)-a有零点.因此g(ξ)是非常数的有理函数,且deg(Q(ξ))>deg(P(ξ)),所以deg(Q(ξ)Qk(ξ))=deg(P(ξ)Pk(ξ)),即是说分子g(ξ)g(k)(ξ)的次数与分母g(ξ)g(k)(ξ)的次数相等.另一方面,分子g(ξ)g (k)(ξ)的次数与分母g(ξ)g (k)(ξ)的次数不同可以表示为[ deg (Q(ξ))- deg (P(ξ))]+[ deg (Q(ξ))- deg (P(ξ))-k]=0,k=2[ deg (Q(ξ))- deg (P(ξ))].令n=[ deg (Q(ξ))- deg (P(ξ))],则k=2n.因此有其中R(ξ)、P(ξ)是多项式，且deg (R(ξ))< deg (P(ξ)).由于k=2n>n,则可以推断出分子g(ξ)g(k)(ξ)的次数与分母g(ξ)g(k)(ξ)的次数是不同的，n+[ deg (R(ξ))- deg (P(ξ))-k]=0,k=n+[ deg (R(ξ))- deg (P(ξ))]<n,这与k=2n矛盾.因此F在D上是正规的.参考文献【相关文献】[1] 杨乐. 值分布论及其新研究[M]. 北京：科学出版社,1982:1- 41.[2] 顾永兴,庞学诚,方明亮. 正规族理论及其应用[M]. 北京：科学出版社,2007.[3] MULES E, STEINMETZ N. 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关于全纯函数与亚纯函数的正规族
第31卷 第1期河南师范大学学报(自然科学版)V ol .31 N o.1 2003年2月J ou rnal of H enan N or m al U niversity (N atu ral S cience )F eb.2003 文章编号:1000-2367(2003)01-0025-03关于全纯函数与亚纯函数的正规族Ξ范新华(江苏大学工商学院,江苏镇江,212013)摘 要:在亚纯函数上讨论函数及其k 阶导数与其正规族之间的联系,得到关于亚纯函数的一些正规定则:设F 是单位圆盘∃上的亚纯函数族,对一切f ∈F ,f 的零点至少k 级,a 1≠a 2,对f ∈F ,假如存在正数h 1,h 2,当f(k )(z )=a 1或f(k )(z )=a 2时, f (z ) Εh 1,当f (z )=0时, f(k )(z ) Φh 2,则:F 在∃上正规.最后给出了其应用.关键词:亚纯函数;分担值;正规性中图分类号:O 174.52 文献标识码:A设D 是复平面C 上的一个区域,复数a ∈C ,函数f 是D 上的亚纯函数,E f (a )=f -1({a })∩D ={z ∈D :f (z )=a },如果E f (a )=E g (a ),则说f 与g 在D 上同时分担值a ,我们用n (r ,1f)及n (r ,f )分别表示在圆 z Φr (0Φr <R )上的零点个数及极点个数(一个m 级的零点或极点算作m 个零点或极点),m (r ,f )=12Π∫02Πl og + f (re i Υ) d Υ,m (r ,f )也记为m (r ,∞),m (r ,1f -a)也记为m (r ,a ),N (r ,f )=∫rn (t ,f )-n (0,f )t d t +n (0,f )l og r ,N (r ,f )称为f (z )的极点的密指量,也记为N (r ,∞),N (r ,1f -a)称为f (z )的a -值点的密指量,也记为N (r ,a ),T (r ,f )=m (r ,f )+N (r ,f ),T (r ,f )称为函数f (z )的特征函数.N{(r ,f )表示 z Φr 上f (z )的极点的精简密指量(即不计重数),以上记号请看参考书籍[5][6].W .S chw ick [1]首先研究了分担值与正规族之间的联系,得到如下定理.定理A 设F ={f (z )}是单位圆盘∃上的亚纯函数族,a 1,a 2,a 3是三个不同复数,如果对每个f ∈F ,f 与f ′同时分担值a 1,a 2,a 3,则:F 在∃上正规.论证过程中采用了N evan linna 理论较繁琐,本文采用一种新方法来讨论亚纯函数的正规族,范新华[2]讨论了亚纯函数族的正规定则,其中有以下结论:定理1 设F 是单位圆盘∃上的亚纯函数族,Πf (z )∈F ,f (z )=0Ζf ′(z )=0,当f ′(z )=1时,f 3(z )= f ′(z ) 1+ f (z ) 2Φh ,(h 为一正数)则:F 在∃上正规.在证明过程中用到了在文献[2],[3]中的引理1:设F ={f (z )}是单位圆盘∃上的亚纯函数族,对一切f ∈F ,f 的零点至少k 级,设有A Ε1,当f (z )=0时, f(k )(z ) ΦA ,则:若F 不正规,对一切0Φ5Φk ,有:a )一个正数r ,0<r <1b )一点列z n , z n <r ,c )函数列f n ∈F ,d )a n →0,使得:g n (Ν)=f n (z n +a n Ν)a nk→g (Ν),这里g 是非常数亚纯函数,且g 3(Ν)Φg 3(0)=kA + 1.但这些结论都是讨论函数及一阶导数取值与其正规族之间的关系,局限性很大,本文采用新方法探讨函Ξ收稿日期:2002-10-04.基金项目:国家自然科学基金资助.作者简介:范新华(1970～),男,江苏扬中人,江苏大学工商学院在读博士.数及其k 阶导数取值与其正规族之间的联系,得到关于亚纯函数族的一些正规定则,推广文献[1][2][3]中的有关结论.1 主要结论定理2 设F 是单位圆盘∃上的亚纯函数族,对一切f ∈F ,f 的零点至少k 级,复数a 1≠a 2,对f ∈F,假如存在正数h 1,h 2,当f (k )(z )=a 1或f (k )(z )=a 2时, f (z ) Εh 1,当f (z )=0时, f (k )(z ) Φh 2,则:F 是∃上的正规族.定理3 设F 是单位圆盘∃上的亚纯函数族,复数a 1≠a 2,复数b 1≠b 2,b 1≠0,b 2≠0,对一切f ∈F ,当f ′(z )=a 1时,f (z )=b 1,当f ′(z )=a 2时,f (z )=b 2,当f (z )=0时, f ′(z ) Φh ,则:F 是∃上的正规族.2 定理证明定理2的证明过程如下:假设F 不正规,由引理1知,存在: a ) 正数r ,0<r <1, b ) 点列z n , z n <r , c ) 函数列f n ∈F , d ) 正数Θn →0,使得:g n (Ν)=f n (z n +Θn Ν)Θnk→g (Ν),(在C 的紧子集上按球面距离一致收敛),且g (Ν)是非常数亚纯函数,g 3(Ν)Φg 3(0)=k ( a 1 + a 2 +h 2+1)+ 1.显然g (Ν)的所有零点至少k 级,下面用反证法证明g (k )(Ν)≠a 1,如果ϖΝ0,使g (k )(Ν0)=a 1,下分两种情况证明:1)如果g (k )(Ν)≡a 1,则g (Ν)是一个其次为k 的多项式函数,g (Ν)的零点级数至少k 级,g (Ν)=a 1k !(Ν-Ν1)k ,则g3(0)=k (k !) a 1 Ν1k -1(k !)2+ a 1 2 Ν12k Φk a 1 Ν1 Φ1k2 Ν1 >1,这样g 3(0)<k ( a 1 + a 2 +h 2+1)+1,得到矛盾.2)如果g(k )(Ν)a 1,则存在点Νn ,使li m n →∞Νn =Ν0,n 充分大后,g n(k )(Νn )=fn(k )(z n +Θn Νn )=a 1,由已知条件知,f n (z n +Θn Νn ) Εh 1,于是li m n →∞g n (Νn ) =li m n →∞f n (z n +Θn Νn ) Θn kΕli m n →∞h 1Θnk =∞,g (Ν0)=∞与g (k )(Ν0)=a 1发生矛盾,故g (k )(Ν)≠a 1,同理g (k )(Ν)≠a 2.文献[4]中有如下定理4:设f (z )是复平面C 上的非常数亚纯函数,令((a ,f )=1-li m r →∞N {(r ,1f -a)T (r ,f ) a ≠∞1-li m r →∞N {(r ,f )T (r ,f ) a =∞则∑z ∈C ((a ,f )+((∞,f )Φ2,对g (k )来说,g (Ν)的零点级数至少k 级,g (Ν)的k 级以上零点,在N (r ,g (k ))中,至少计算k 次以上,但在N {(r ,g (k ))中,只能计算一次,T (r ,g (k ))>N (r ,g (k )),我们有:((∞,g (k ))=1-li m r →∞N {(r ,g (k ))T (r ,g (k ))Εk k +1,再由g (k )(Ν)≠a 1,g (k )(Ν)≠a 2,我们可得到:((a 1,g (k ))+((a 2,g (k ))+((∞,g(k ))=2+k k +1>2,这就与定理4矛盾.因此F 是∃上正规族.在定理2中,取k =1,b 1=h 1,h 2=h ,由定理2成立可知定理3成立.另外,我们还可以得到下列结论:推论1 设F ={f (z )}是单位圆盘∃上的亚纯函数族,f 的所有零点至少k 级,复数a 1≠a 2,Πf ∈F ,f (z )≠0,f (k )(z )≠a 1,f (k )(z )≠a 2,则:F 是∃上的正规族.推论2 设F ={f (z )}是单位圆盘∃上的亚纯函数族,f 的所有零点至少k 级,Πf ∈F ,f (z )≠0,0<f(k )(z )<1,则:F 是∃上的正规族.文献[2]中有推论3:Πf ∈F ,f (z )≠0,0<f ′(z )<1,则:F 是∃上的正规族.显然本文的推论2是推论3的一种推广.62河南师范大学学报(自然科学版) 2003年3 应 用例(1) 设F ={f (z )}={7ne z }是全纯函数族,Πf ∈F ,f (z )≠0,且当f ′(z )=7ne z=1或f ′(z )=2时, f (z ) Ε1,故由定理2知F 在∃上正规例(2) 设F ={f (z )}={e 5z n }是全纯函数族,Πf ∈F 因为f (z )=e 5z n ≠0,且当f ′(z )=e 5z n 5n=1或f ′(z )=2时, f (z ) Ε15,故由定理2可知F 在∃上正规.参 考 文 献1 W ilhel m Schw ick .Sharing values and no r m ality [J ].A rch M ath .1992,59:50～542 范新华.关于亚纯函数族的几个正规定则[J ].青岛大学学报(自然科学版),2002,(1):14～173 Pang Xuecheng ,L aw rance Zalc m an .N o r m al fam ilies and shared values [C ].Bar 2Ilan U n iversity p rep rin t no .B ium cs 98 23.19984 W .K ..H aym an M eromo rph ic functi on s [M ].O xfo rd U n iversity P ress ,L ondon ,19645 顾永兴.亚纯函数的正规族[M ].成都:四川教育出版社,19916 杨 乐.值分布论及其新研究[M ].北京:科学出版社,1988Severa l Nor ma l Cr iter i a of M ero m orph i c Functi on sFAN X in 2hua(J iangsu U niversity ,Zhenjiang ,212013,China )Abstract :In th is paper w e discuss the relati on fo r no r m alities betw een functi on s and their k o rder derivative ,and w e obtains om e no r m al criteria of the fam ily of m eromo rph ic functi on s .L et F be the fam ily of theM eromo rph ic functi on s on the un it disc ,Πf ∈F ,all of w ho se zero s on the m ulti p licity at least k ,a 1≠a 2,Πf ∈F .If there ex ist po sitive num bers h 1,h 2such that fo r Πf ∈F , f (z ) Εh 1,w henever f(k )(z )=a 1o r f(k )(z )=a 2, f(k )(z ) Φh 2w henever f (z )=0,then F is no r m al on the un itdisc.Key words :m eromo rph ic functi on s ;shared values ;no r m ality72第1期 范新华:关于全纯函数与亚纯函数的正规族。
亚纯函数的正规族与正规函数
早在1907年, P.Montel({82])就引入了正规族的概念．一族亚纯函数称为正规的，如果族中任一列函数都含有一个按球面 距离局部一致收敛的子列。最近一二十年中，由于在复解析动力系统中的重要地位，正规族理论焕发了勃勃机．
在正规族理论中，著名的Bloch原理和最近由W.Bergweiler和L.Zal-cman(参{17})建议的变形说，如果有某个性质使得在 全平面上只有常数函数所具有，或者稍广一点，如果有某个性质使得在全平面上具有这个性质的亚纯函数(整函数)形成一个正 规族，那么在某—个区域上具有该性质的亚纯函数(全纯函数)族就是一个正规族．尽管Bloch原理—般而言并不成立 ([96])，本论文§2.6和§3.6中的反例说明它的变形一般也不成立，但在正规族理论的研究中Bloch原理及其变形仍然起着重 要的指导作用．可以说，本论文中所有正规族的结果均与Bloch原理及其变形相关．
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某一类迭代级亚纯函数与整函数的复合
Ｋ （ ｇ ） （ ＞ ０ ａ＞ １ 且 ｇ Ｏ ： １ 那 么 有 １ ｒ Ｋ ｏ ， ） （ ）＝ ， ＝ 而
一 。 。 』 Ｌｒ，
Ｋｌ（ ≤ Ｔ（ ， ） Ｋ２‘ ’Ｏ ＫＩ Ｋｚ 。 ， ｅｏ １ ｇ ｒｇ ≤ ｅ。 。（ ＜ ｇ ＜ ＜ 。
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丁（ （ ） ≤ （ ＋ 。 １） ｇ） １ （ ） Ｔ Ｍ （ ＇）， （ ｒｇ ， ）
（． ） ２ １
引理 ２ ２ｎ ．
假 设 ｇ ）是 超 越 整 函数 满 足 （
』 ）一 Ｐ＜ ｏ ｇ ２ 是 超越 整 函数满 足 Ｔ（ ， ）一 Ｄ （ 。， （ ） ｒｇ
了 复 合 函 数 ， ｇ ｚ ） 增 长 性 ， 广 了原 有 的一 些 结 果 。 （（）的 推
关 键 词 ： 纯 函 数 ； 函数 ； 代 级 亚 整 迭
中 图分 类 号 ： ７ ． Ｏ１ ４ ５ 文献 标 志码 ： Ａ
Ｃｏ ｐ ｓ ｔｏ ｆ ａ ｃ ａ ｓ ｏ ｅ ｏ ｏ ｐ ｃ ｆ ｎ ｔｏ ｍ ｏ ｉｉ ｎ ｏ ｌ ｓ ｆｍ ｒ ｍ ｒ ｈｉ ｕ ｃ ｉ ｎｓ
近几 年来 国内外 一些 学着 开始 研究 了当 内外 函 引理 ２ ４ ．［ 假 设 ， ２ ， （ ）是 整 函数 满 足 （）ｇ ｚ ， 当 则
数均 为迭 代级 亚 纯 函数或 整 函数时 ， 复合 函数 厂 ｇ （）
整函数与亚纯函数
整函数与亚纯函数是复变函数理论中的重要概念。
它们分别描述了复平面上的解析函数的不同性质和特点。
在这篇文章中，我们将简要介绍这两种函数，并且探讨它们的一些基本性质，以及它们在数学和物理中的应用。
整函数是指在复平面上解析的函数，也就是说，在复平面的每个点都存在有限的导数。
整函数有很多重要的性质，其中最重要的是它可以展开成无限级数的形式。
这种展开称为Laurent级数。
Laurent级数可以分成两个部分：主部和余部。
主部是一个有限项的多项式，而余部则是一个在解析圆盘外部无穷远远小于圆周周长的级数。
这很重要，因为它说明了整函数的性质：整函数在无穷远处的行为非常好，因为它的余项趋向于零。
另一方面，亚纯函数是指在复平面上解析的函数，但是在某些点处有极点。
极点是指函数在这个点上发散，但是在这个点的某个邻域内还是解析的。
亚纯函数的一个重要性质是它可以展开为Laurent级数，但是它只含有负次幂的项，也就是余部。
主部是不存在的。
这就说明了亚纯函数在某些点处发散，没有好的行为。
Laurent级数的形式也意味着，亚纯函数可以被分解成一个整函数和一个多项式的比值。
这个多项式的次数就是极点的阶，也就是它在这个点上的发散程度。
这个性质很重要，因为它揭示了亚纯函数的复杂性：它除了有无限项的级数展开之外，还有构成它的整数与多项式之间的关系。
整函数和亚纯函数在数学和物理中都有广泛的应用。
例如，在复分析中，Laurent级数可以用来证明柯西积分定理和留数定理。
在实际计算中，很多特殊函数，例如椭圆函数和贝塞尔函数，都是整函数和亚纯函数的组合。
在物理中，整函数和亚纯函数也非常有用。
例如，在量子场论中，格林函数就是一个复变函数，因此它可以用整函数和亚纯函数的工具来求解。
此外，在统计物理中，复变函数也有着很广泛的应用，因为它们可以用来描述相变现象和临界现象等。
在结尾我们重申，整函数和亚纯函数是复变函数理论中非常重要的概念。
通过体会它们的区别和性质，我们可以更深入地理解解析函数和级数展开的概念，掌握一些高级复变函数的计算工具，并在更广泛的物理和数学领域中学以致用。
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浅谈整函数与亚纯函数摘 要: 本文主要介绍整函数，亚纯函数和它们的相关定理，推论以及超越整函数，超越亚纯函数，刘维尔定理，代数学基本定理等等．关键词: 整函数；超越整函数；亚纯函数；超越亚纯函数；刘维尔定理The Discussion of Integral Functionand Meromorphic FunctionsAbstract : This paper mainly introduces integral function and its related theorem ， corollary ， transcendental integral function ， meromorphic functions and its related theorem ， corollary ， transcendental meromorphic functions ， and Liuweier theorem ， algebra fundamental theorem ， etc ．Keywords : I ntegral function;Transcendental integral function;Meromorphicfunction;Transcendental meromorphic functions;Liuweier theorem1 整函数的概念定义1 在整个z 平面上解析的函数称为整函数． 例如，多项式，z e ，sin z 等都是整函数．设()f z 为一整函数，则()f z 只z =∞以为孤立奇点且有()0()0.nnn f z czz ∞==≤<+∞∑定理1 设()f z 为一整函数，则(1)z =∞为()f z 的可去奇点的充要条件为()f z =常数0c ，(2)z =∞为()f z 的m 阶极点的充要条件为是()f z 是一个m 次多项式()010.mm m c c z c zc +++≠(3)z =∞为()f z 的本质奇点的充要条件为展式()0()0nnn f z czz ∞==≤<+∞∑有无穷多个n c 不等于零．由此可见，整函数族按唯一奇点z =∞的不同类型而被分为了三类． 例1 设()f z 为一整函数，试证()()()(0),00,0f z f z g z zf z -⎧≠⎪=⎨⎪'=⎩也是一个整函数．证 显然，()g z 在0z ≠的点上解析．在0z =点，由()f z 为一整函数知，()f z 在这一点解析，又有()(0)lim ()lim(0)(0)x ax af z fg z f g z→→-'===，故()g z 在0z =这一点也解析．例2 ()f z 为一整函数，且满足下列条件之一，试证()f z 必为常数． (1) ()0f z '=;(2) ()f z 在z 平面上解析; (3) ()f z 为常数;(4) R e (),f z R e (),Im (),,,f z f z M a n 或Im ()f z 为常数．证 (1) 对,z x iy ∀=+有0()x x y y f z u iv v iu '==+=-，从而0y y v u ==，故()f z 为常数．(2) 设(),f z u iv =+则()f z u iv =-解析，易知0x y x y u u v v ====从而,u v 为常数，故()f z 为常数．(3) 若()0f z C ≡=，则显然()0f z ≡．若()0f z C ≡≠，则此时有()0f z ≠，且2()()f z f z C≡，即2()()Cf z f z ≡也是解析函数，则利用（2）即得()0f z =．(4) 设(),f z u iv =+若(),u x y C ≡，则0,0x y u u ≡≡．由C ．--R ．条件得0,0x y y x v u v u =-≡=≡，因此1212,,()u C v C f z C iC ≡≡=+为常数．若Im ()f z 为常数，同理可得()f z 为常数．1．1 超越整函数设()f z 为一整函数，则有()0()0.nnn f z czz ∞==≤<+∞∑若其中有无穷多个nc 不等于零，则()f z 为超越整函数．例如，z e ，sin z ，cos z 等都是超越整函数． 1．2 刘维尔定理有界整函数()f z 必为常数．证 设()f z 的上界为M ，则在柯西不等式中，对无论什么样的R ，均有()M R M ≤．于是令1n =，有(),M f a R '≤上式对一切R 均成立，令R →+∞，即知()0f a '=，而a 是z 平面上任一点，故()f z 在z 平面上的导数为零，从而()f z 必为常数．刘维尔定理，又称模有界定理，刘维尔定理的几何意义是:非常数整函数的值不能全含于一圆之内．它的逆命题为真，即：常数为有界整函数．;它的逆否命题也为真，即：非常数的有界整函数必无界． 1．3 刘维尔定理的扩充定理在扩充z 平面上解析的函数()f z 必为常数．证 ()f z 在z 平面上解析，则()f z 必为整函数，而整函数只以∞点为孤立奇点，而()f z 在∞点解析，故∞点只能是()f z 的可去奇点，从而()f z 必为常数．推论1 实部有界的整函数(),f z z =∞必为常数．证 令()(),f z F z e =则()F z 为整函数．由于()f z 实部有界，则存在0M >，使得R e ()(),f z MF z ee =<从而有界，由刘维尔定理可见()F z 是常数，因此()f z 为常数．推论2 非常数整函数的值不能全含于一圆之外．证 设()w f z =为整函数且非常数，若值全含于一圆之外，即存在0ω及00ε>，使得对任何z ，恒有00()f z ωε->，则有非常数整函数()01()g z f z ω=-(因00()f z ωε->)．所以在z 平面上任何点z ，分母0()0f z ω-≠，从而()g z 在z 平面上解析，即为整函数．又因()f z 非常数，所以()g z 非常数，其值全含于一圆()01g z ε<之内，与刘维尔定理矛盾．从而非常数整函数的值不能全含于一圆之外． 1．4 代数学基本定理在z 平面上，n 次多项式101()nn n p z a z a za -=+++ 0(0)a ≠至少有一个零点．证 反证法，设()p z 在z 平面上无零点．由于()p z 在z 平面上是解析的，1()p z 在z平面上也解析．下面我们证明1()p z 在z 平面上有界．由于10lim ()lim (),nn nz z a a p z z a zz→∞→∞=+++=∞1lim0,()z p z →∞=故存在充分大的正数R ，使得当z R >时，11()p z <．又因1()p z 在闭圆z R ≤上连续，故可设1()Mp z ≤(正常数)，从而，在z 平面上11,()M p z <+于是，1()p z 在z 平面上是解析而有界的．由刘维尔定理知，1()p z 必为常数，即()p z 必为常数．这与定理的假设矛盾．故定理得证．2．亚纯函数定义2 平面上除极点外无其他类型奇点的单值解析函数称为亚纯函数． 亚纯函数族是较整函数族更一般的函数族，因此整函数可看成是亚纯函数的一种特例．定理2一函数()f z 为有理函数的充要条件是()f z 在扩充z 平面上除极点外无其他类型的奇点．证 必要性 设有理函数()(),()P z f z Q z =其中()P z 与()Q z 分别为z 的m 次与n 次多项式，且彼此互质，则（1）当m n >时，z =∞必()f z 为的m n -阶级点； （2）当m n ≤时，z =∞必()f z 的可去奇点，只要置()()lim,()z P z f Q z →∞∞=z =∞就是()f z 的解析点；（3）()Q z 的零点必为()f z 的极点．充分性 若()f z 在扩充z 平面上除极点外无其他类型的奇点，则这些极点的个数只能是有限个．因为如果不是这样，这些极点在扩充z 平面上的聚点就是()f z 的非孤立奇点．与假设矛盾．今令()f z 在z 平面上的极点为12,,,n z z z 其阶分别为12,,,n λλλ 则函数()1212()()()(),nn g z z z z z z z f z λλλ=---至多以z =∞为极点，而在z 平面上解析．故()g z 必为一多项式（或常数）．即()f z 必为有理函数．推论 每一个有理函数必为亚纯函数． 2．1 超越亚纯函数不是有理函数的亚纯函数称为超越亚纯函数． 例3 11ze -是一个超越亚纯函数．证11ze -有无穷多个极点：2(0,1,2),z k i k π==±±其聚点z =∞是一个非孤立奇点．故此函数不可能是一有理函数．例4 证明()f z 是单叶整函数的充要条件是()f z az b=+ (0)a ≠．证 充分性 由于函数()w f z az b ==+(0)a ≠及其反函数1()z w b a=-都是单值整函数（一次多项式），所以()f z az b=+ (0)a ≠．是单叶整函数．必要性 设()f z 是单叶整函数，则整函数分为三类：（1）()f z 为常数，这与单叶性假设矛盾; （2）()f z 为超越整函数，01(),nn f z c c z c z =++++ ()0z ≤<+∞它的唯一奇点是本质奇点z =∞．再由皮卡大定理，对每个,A ≠∞除掉可能的一个值A A =外，必有趋于∞的无限点列{}n z 使()()1,2,.n f z A n == 这也与()f z 的单叶性假设矛盾;（3）()f z 为一多项式，01(),(0).nn n f z c c z c z c =+++≠对任意,A ≠∞由代数学基本定理，()f z A =必有且只有n 个根（是几重根就算作几个根），但由()f z 的单叶性假设，必有 1.n =即必有01()f z c c z =+1(0),c ≠也可写成()f z az b =+ (0)a ≠．参考文献：[1] 钟玉泉．复变函数论[M]．北京：高等教育出版社，2004．[2] 华东师范大学数学系．数学分析[M]．北京：高等教育出版社，1983． [3] 菲赫金哥尔兹．微积分学教程[M]．北京:人民教育出版社，1955． [4] 吉米多维奇．数学分习题集题解[M]．济南：山东科学技术出版社，198学年论文成绩评定表。