亚纯函数分解理论
复变函数5.3第三节、整函数与亚纯函数
第五章
第三节、整函数与亚纯函数
整函数的概念
如果f(z)在有限复平面C上解析，那么它就
称为一个整函数。显然无穷远点是整函数的孤 立奇点。在C上，f(z) f(z)围绕无穷远点的洛朗展 式也就是其泰勒展式：
f (z) nzn, n0
当f(z)恒等于一个常数时，无穷远点是它的可去 奇点；当f(z)是 n( 1) 次多项式时，无穷远点是 它的n阶极点；在其它情况下，无穷远点是f(z) 的本性奇点，而这时称f(z)为一个超越整函数。
R | z |
内解析。在 | z | R 上，f(z)只可能有有限个极点
，因为否则极点的极限点既不是极点，而且函 数也不可能在这点解析，这是不可能的。因此 f(z)只可能有有限个极点，设为
z1, z2,..., z p
亚纯函数的刻画
此外，无穷远点是可去奇点或极点。在每一个 有限点附近把f(z)展开为洛朗级数，并且设在点
而当无穷远点是可去极点时，令 g(z) 0.
令
F(z) f (z) R(z)
其中 R(z) h1(z) h2 (z) ... hp (z) g(z)
是一个有理函数。函数F(z)除去 z1, z2 ,..., z p在
有可去奇点外，在其余各点解析；这是因为由
于展式的唯一性，F(z)在 z1, z2 ,..., z p 及
那 么 z 是 f(z)-g(z) 的 可 去 奇 点 。 因 此 ， f(z)=g(z)+C，其中C为一个常数。
定理的必要性显然成立。
亚纯函数的概念
如果函数f(z)在有限平面上除去有极点外，
到处解析，那么它就称为一个亚纯函数。
某一类迭代级亚纯函数与整函数的复合
Ｋ （ ｇ ） （ ＞ ０ ａ＞ １ 且 ｇ Ｏ ： １ 那 么 有 １ ｒ Ｋ ｏ ， ） （ ）＝ ， ＝ 而
一 。 。 』 Ｌｒ，
Ｋｌ（ ≤ Ｔ（ ， ） Ｋ２‘ ’Ｏ ＫＩ Ｋｚ 。 ， ｅｏ １ ｇ ｒｇ ≤ ｅ。 。（ ＜ ｇ ＜ ＜ 。
０＜ 口＜ １ ， 么有 ）那
函数 ， 当 ｒ充分 大时有 则
丁（ （ ） ≤ （ ＋ 。 １） ｇ） １ （ ） Ｔ Ｍ （ ＇）， （ ｒｇ ， ）
（． ） ２ １
引理 ２ ２ｎ ．
假 设 ｇ ）是 超 越 整 函数 满 足 （
』 ）一 Ｐ＜ ｏ ｇ ２ 是 超越 整 函数满 足 Ｔ（ ， ）一 Ｄ （ 。， （ ） ｒｇ
了 复 合 函 数 ， ｇ ｚ ） 增 长 性 ， 广 了原 有 的一 些 结 果 。 （（）的 推
关 键 词 ： 纯 函 数 ； 函数 ； 代 级 亚 整 迭
中 图分 类 号 ： ７ ． Ｏ１ ４ ５ 文献 标 志码 ： Ａ
Ｃｏ ｐ ｓ ｔｏ ｆ ａ ｃ ａ ｓ ｏ ｅ ｏ ｏ ｐ ｃ ｆ ｎ ｔｏ ｍ ｏ ｉｉ ｎ ｏ ｌ ｓ ｆｍ ｒ ｍ ｒ ｈｉ ｕ ｃ ｉ ｎｓ
近几 年来 国内外 一些 学着 开始 研究 了当 内外 函 引理 ２ ４ ．［ 假 设 ， ２ ， （ ）是 整 函数 满 足 （）ｇ ｚ ， 当 则
数均 为迭 代级 亚 纯 函数或 整 函数时 ， 复合 函数 厂 ｇ （）
亚纯函数的分担值与惟一性
亚纯函数的分担值与惟一性
付德刚;尚海涛;吴春
【期刊名称】《重庆大学学报：自然科学版》
【年(卷),期】2007(30)3
【摘要】探讨了涉及fn(f-1)f′与gn(g-1)g′一类微分多项式IM分担1的亚纯函数的惟一性问题,得到了一个新的惟一性定理,推广并发展了方明亮等人的结果.
【总页数】5页(P83-86)
【关键词】亚纯函数;惟一性;分担值;亏量
【作者】付德刚;尚海涛;吴春
【作者单位】重庆大学数理学院
【正文语种】中文
【中图分类】O174.52
【相关文献】
1.CM分担三个公共小函数对的亚纯函数的惟一性 [J], 李效敏
2.亚纯函数的n阶导数分担1值点的惟一性 [J], 张瑜琦
3.关于亚纯函数及其导函数弱权分担小函数的惟一性 [J], 吴凤芹;徐焱
4.具有分担三个值集的亚纯函数的惟一性 [J], 别荣军;王新利
5.分担两个公共值集的亚纯函数的惟一性问题 [J], 张瑜琦;李纯红
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关于亚纯函数组的几个定理
（ ｒ ） 及 满足 恒等 式 ∑ｆ ｊ （ ｚ ） 三。 （ ｚ ）
作者简介 ： 肖淳（ １ ９ ８ ４ 一） ， 男， 四川 内江人 。 湛江师 范学院数 学与计算科学 学院助教 ， 从 事计算数 学研 究．
１ ２ 其 中， ＜１ ， 则
湛 江 师范学 院学报 （ 自然科 学）
第３ ４ 卷
三 １
本 文改 进 和推广 了上述 定理 ， 证 明了 ： 定理 １ 设 厂 Ｊ （ 一１ ， ２ ， ３ ） 为亚 纯 函数 ， 口 （ ｚ ） 为厂 （ ） 非零 小 函数 ， ， １ 不 为 常数 ， 且 ＾≠Ｃ ｎ （ ｚ ） Ｃ为常 数 ，
三口 （ ｚ ）
显然 ， 定理 Ａ 与 Ｂ 分别是 定理 １ 与 ２的特殊情 况 ， 即当 ｎ （ ｚ ） 一１时 ， 定 理 １与 ２分别 是 定理 Ａ 与 Ｂ ． 因此本
文 的结果更 广 泛更 一般．
２ 引理 及 其 证 明
引理 １ （ ［ ３ ］ ） 设 厂 Ｊ （ ｚ ） （ 一１ ， ２ ， …， ｎ ） 为＇ ２ 个线 性无 关 的亚纯 函数 ， ａ （ ｚ ） 为 非零 函数 ， 且 Ｔ（ ｒ ， 口 （ ｚ ） ） ＝Ｓ
１ ≤ ≤３
厂 ２ 三口 （ ｚ ） 或ｆ ３ 兰口 （ ｚ ） 定理 ２ 设 厂 Ｊ （ ＝１ ， ２ ， …， 扎 ） 为亚 纯 函数 ， 口 （ ） 为 厂非零 小 函数 ， ＾（ 一１ ， ２ ， …， 一１ ） 不 为常 数 ， 且 ≠
Ｃ ａ （ ｚ ） ， （ 一１ ， ２ ， …， 一 １ ） ， Ｃ 为 常 数及∑ 厂 Ｊ 兰口 （ ｚ ） ， （ ≥３ ）
２ ０ １ ３年 ６月 第 ３ ４卷 第 ３期
weierstrass分解定理
Weierstrass分解定理详解摘要：本文档旨在详细介绍Weierstrass分解定理，这是一个在复分析领域中非常重要的结果。
该定理提供了一种将亚纯函数分解为简单因子的系统方法，这些因子涉及该函数在其定义域内的奇点。
本文档将从定理的陈述开始，然后详细解释其证明过程，接着讨论其在数学中的多种应用，并以一些示例来具体说明其使用。
I. 引言A. 复分析简介复分析是数学的一个分支，它研究复变量的复值函数。
这个领域的一个重要特点是复函数往往具有比实函数更加丰富的结构，例如，它们可以有所谓的“奇点”，在这些点上函数不满足常规的连续性或可微性条件。
B. 亚纯函数的定义与性质亚纯函数是指在复平面上除了一些孤立奇点外处处解析的函数。
这些函数在奇点附近可能表现出复杂的行为，包括无穷大的增长或不可导的行为。
C. Weierstrass分解定理的历史背景Weierstrass分解定理由德国数学家Karl Weierstrass提出，它是复分析领域的基石之一，对后续的数学研究产生了深远的影响。
II. Weierstrass分解定理的陈述A. 定理的正式表述Weierstrass分解定理指出，任何亚纯函数都可以表示为其定义域内所有奇点处的Laurent级数展开的和。
B. 定理中的关键概念解析1. 亚纯函数：在复平面上除了有限个孤立奇点外处处解析的函数。
2. 极点与本性奇点：极点是亚纯函数在某些孤立点处的特殊类型的奇点，而本性奇点则是更一般的奇点类型。
3. 分解的概念：将一个复杂的函数表达为一系列更简单的部分的过程。
III. 定理证明A. 预备知识概述1. 复微分方程：研究复变函数及其导数之间关系的方程。
2. 留数定理：用于计算围绕一条闭合路径的复积分的技术。
B. 主要证明步骤1. 构造辅助函数：通过考虑原函数与其在各奇点附近的局部行为的关系来构造辅助函数。
2. 确定辅助函数的性质：证明辅助函数是整函数（即处处解析的复函数）。
亚纯函数及其导数分担小函数集的唯一性
文 章编号 ： ０ ０５ ６ （０ ２０ — １ １ ６ １０ －８ ２２ １）２０ ４ — ０
亚纯 函数及 其导数 分担小 函数 集 的唯一 性
赵 小珍
（ 宁德 师 范 学 院 数 学 系，福 建 宁 德 ３２ ０ ） ５１０
摘要 ：研究 了亚纯函数及其 ｋ阶导数权分担小 函数集的唯一性， 得到了： ｋｎ 设 ， 为正整数，． ｇ为开平面上 厂 ，
中计 ｍｉ（ ｋ ） ｎｍ， ＋１次，同样 也有 （ ，）Ｅ Ｓ ｇ ． ｇ ， （， ） Ｎｏｒａ 表示 ｆ—ａ ｇ—ａａ∈Ｓ 的公 共零 点 的 （，） 与 （ ）
面上 非 常数 亚纯 函数 ，称 另一 亚纯 函数 口ｚ 为 厂和 （）
ｇ的小 函数，如果 ｒ ｒａ ＝Ｓ ｒｆ 且 ｒ ｒａ ＝ｓｒｇ ． （，） （， ） （，） （， ） 设 厂为 非 常 数 亚 纯 函 数 ， ｋ为 正 整 数 ，用 Ｎ１ ｒ 、， （
１（ 口）表 示 厂 ／ ｆ一 ） 一ａ的 单 级 零 点 的 计 数 函 数 ， Ｎｋ（，／ 口） 示 ｆ— ）ｒ１ ｆ一 ）表 （ ａ的重数 ≤ ｋ的零 点 的计 数 函 数 ，每 个 零 点 只 计 １ 次 ．此 外 ， （， ） 示 ｓ ｒ厂 表 Ｓ ｒｆ （， ）＝ｏＴ ｒ＿ ） 。， （ （， ） ｒ ｏ， ） 厂（ Ｅ ，这 里 Ｅ表 示 线性
层 口ｚ， ） Ｅ （（） ‘ ＝Ｅ （（） ‘ ，如果 （（） 且 ｔ ｚ， ） ｔ ｚ， ） ｇ ｂ ， ｂ ｇ
２ 口ｆ ＋（ 十 ） （ ， ） ＋ ， ＋（， ） ４Ｏ ∞ ｆ ＞ｋ ５
则 称 ／与 ｇ Ｃ Ｉ 分担 集合 Ｓ； Ｍ（ Ｍ）
（ ）如果 ｉ ｉ
测度为有 限的集合． 令
亚纯函数第一基本定理
亚纯函数第一基本定理
亚纯函数第一基本定理是复分析中的一个重要定理，它是指在复平面上的亚纯函数的极点和零点的数量是相等的。
这个定理在复分析中有着广泛的应用，特别是在解析数论和物理学中。
我们需要了解什么是亚纯函数。
亚纯函数是指在复平面上除了有限个孤立奇点外，都是解析的函数。
孤立奇点是指在某个点处函数不解析，但是在该点的邻域内函数是解析的。
亚纯函数可以看作是解析函数和多项式函数的组合。
亚纯函数第一基本定理告诉我们，亚纯函数的极点和零点的数量是相等的。
极点是指在某个点处函数趋于无穷大，而零点是指在某个点处函数等于零。
这个定理的证明可以通过利用亚纯函数的Laurent 级数展开来完成。
这个定理的应用非常广泛。
在解析数论中，亚纯函数第一基本定理可以用来证明黎曼猜想的一些特殊情况。
在物理学中，亚纯函数第一基本定理可以用来计算量子场论中的费曼图。
亚纯函数第一基本定理是复分析中的一个重要定理，它告诉我们亚纯函数的极点和零点的数量是相等的。
这个定理在解析数论和物理学中有着广泛的应用。
半纯函数的无穷级数展开
亚纯函数的无穷级数展开我们知道，如果ƒ()z 在0z 的邻域内全纯，则ƒ()z 在0z 的邻域内可展成Taylor 级数()n n n z z a 00-∑∞=；如果z 。
是ƒ(z)的一孤立奇点，它可以在z 。
的去心邻域展成Laurent 级数()nn n z z a ∑+∞-∞=-0。
亚纯函数是一类非常重要函数，由于它的奇点为极点,我们从Laurent 级数的展开式中得到启发，可否将亚纯函数按其奇点的分布情况展开成无穷级数，答案是肯定的。
这样亚纯函数的研究又有了一种工具，下面我们来研究这理论。
设)(z f 为区域D 内的亚纯函数,它可以表为两个全纯函数之比，即)()()(z g Z h z f =. 其中()()z g z h ,是D 内的全纯函数，且()z g 的零点是()z f 的极点，设想()z g 可分解因式如下()()...)(21z z z z a z g --=由此我们对上式施以对数运算，再施以微分运算，就将()z f 展开成如下的形式，()()∑∞-=k n k kkz z a z f (其中k n 为与极点的级有关的正整数)即我们依()z f 的极点展开成一分式型级数有关的理论我们不进行深入讨论。
下面我们以亚纯函数tgz 与ctgz 为例说明这种展开方法。
由于tgz ＝ctg （2π-z ），所以我们只研究ctgz 的展开方法即可。
我们先研究用微积分学有关理论来展开ctgz 。
这种方法的技巧性很强，它需要先把t sin 在实数域内展成无穷乘积,这样会减少在复数域内的许多繁杂的讨论。
因为()mx i mx x i x m sin cos sin cos +=+ 展开左边取实部得()()⋅⋅⋅+⋅⋅⋅---⋅=--x x m m m x x m mx m m 331sin cos 32121sin cos sin (1)若12+=n m 是奇数，用公式()kk x x 22sin 1cos -=置换（1）中余弦函数的偶次幂后，得()()xP x x n 2sin sin 12sin ⋅=+ （2）其中()u P 为一个n 次幂整多项式。