亚纯函数
亚纯函数微分多项式的一个正规定则
亚纯函数微分多项式的一个正规定则张兆迎;鲍文竹【摘要】证明了下面两个定理:(1)设n,k≥2为正整数,a为有穷非零复数,F为区域D上的亚纯函数族,F中任一函数的零点重级至少为k.(A)f,g∈F,fLn(f)与gLn(g)IM 分担a.则F在D上正规,其中L(f)为f(k)+a1f(k-1)+…+fkf,这里a1,…,ak为常数.(2)设n,k为正整数,且n≥2,a为有穷非零复数,F为区域D上的亚纯函数族,F中任一函数的零点重级至少为k,且fLn(f(z))=a能够推出∣f(k)(z)∣≤A,其中A为正数,则F在区域D上正规.【期刊名称】《成都信息工程学院学报》【年(卷),期】2010(025)002【总页数】3页(P218-220)【关键词】基础数学;函数论;亚纯函数;正规族;分担值【作者】张兆迎;鲍文竹【作者单位】成都信息工程学院数学学院,四川,成都,610225;成都信息工程学院数学学院,四川,成都,610225【正文语种】中文【中图分类】O174.521 引言及结果扈培础等在文献[1]中得到了下述结果：定理A 设n,k≥2为正整数,a为有穷非零复数,F为区域D上的亚纯函数族,F中任一函数的零点重级至少为k.如果∀f,g∈F,f(f(k))n与g(g(k))nIM分担a,则F在区域D上正规.定理B 设n,k为正整数,且n≥2,a为有穷非零复数,F为区域D上的亚纯函数族,F中任一函数的零点重级至少为k,且f(f(k)(z))n=a⇒|f(k)(z)|≤A,其中 A为正数,则F在区域D上正规.设L(f)=f(k)+a1f(k-1)+…+akf,a1,…,ak为常数.将f(k)推广为微分多项式L(f),得到了下述结果.定理1 设n,k≥2为正整数,a为有穷非零复数,F为区域D上的亚纯函数族,F中任一函数的零点重级至少为k.∀f,g∈F,fLn(f)与gLn(g)IM分担a,则F在D上正规.定理2 设n,k为正整数,且n≥2,a为有穷非零复数,F为区域D上的亚纯函数族,F中任一函数的零点重级至少为k,且fLn(f(z))=a⇒|f(k)(z)|≤A,其中A为正数,则F在区域D上正规.由定理1及定理2可得如下推论.推论1 设n,k为正整数,且n≥2,a为有穷非零复数,F为区域D上的亚纯函数族,F中任一函数的零点重级至少为k,如果∀f∈F,fLn(f)≠a,则F在区域D 上正规.2 几个引理设区域D⊂C,F为区域D上的亚纯函数族,称 F在区域D上是正规的,如果任一{fn}⊂F有一个子列{fnj}在D上按球距内闭一致收敛于一个亚纯函数或∞.引理1[2] 设k是一个正整数,F是单位圆盘Δ上的亚纯函数族,F中任一函数的零点重级至少为k,如果F在z=0处不正规,则对于任一α,0≤α≤k,存在：(1){zn}⊂Δ,zn→0;(2){fn}⊂F;(3)正数列{ρn},ρn→0(n→∞);使得gn(ζ)=ρ-αnfn(zn+ρnζ)在复平面上按球距内闭一致收敛于一个非常数亚纯函数g(ζ),并且g(ζ)的零点重级至少为k,g#(ζ)≤g#(0)=1,g(ζ)的级至多为2.引理2[1] 设n,k≥2为正整数,a为有穷非零复数,如果f为复平面上的一个非常数亚纯函数,零点重级至少为k,则 f(f(k))n-a至少有两个判别的零点.引理3[1] 设n≥2为正整数,a为有穷非零复数,如果f为复平面上的一个非常数亚纯函数,则f(f′)n-a至少有一个零点.3 定理证明定理1的证明：若F在D上不正规.不失一般性,设F为单位圆盘Δ={z∈C：|z|＜1}上的亚纯函数族且在原点z=0处不正规.由引理1知,存在点列{zj}⊂Δ且zj→0(j→∞),函数列{fn}⊂F,正数列{ρn},ρn→0,使得gj(ζ)=在复平面上按球距内闭一致收敛一个非常数亚纯函数g(ζ),并且g(ζ)的零点重级至少为k,g(ζ)的级至多为2.因此对ζ求导有所以经过简单的计算由于ρj→0(j→∞)知,在复平面上除去g(ζ)的极点外,若g(ζ)(g(k)(ζ))n≡a,则g既无零点又无极点,又因g为一个级至多为2的非常数亚纯函数,所以存在常数ci(i=0,1,2)使得(c1,c2)≠(0,0),g(ζ)=ec0+c1ζ+c2ζ2,显然g(ζ)(g(k)(ζ))n不恒等于a,矛盾.所以g(ζ)(g(k)(ζ))n不恒等于a.由引理 2,函数g(ζ)(g(k)(ζ))n-a至少有两个判别的零点,设其中两个为ζ0,ζ*0.取适当小的δ0＞0,使得B(ζ0,δ0)∩B(ζ*0,δ0)=Ø 且在B(ζ0,δ0)∪B(ζ*0,δ0)上除去ζ0,ζ*0 外没有其他零点,这里B(ζ0,δ0)={ζ||ζ-ζ0|＜δ0},B(ζ*0,δ0)={ζ||ζ-ζ*0|＜δ0}.由式(1)及Hurwitz定理知,当 j充分大时,存在点ζj∈B(ζ0,δ0),ζ*j ∈ B(ζ0*,δ0)使得由假设f1Ln(f1)和 fjLn(fj)IM分担a知,由非常数亚纯函数零点孤立性,f1Ln(f1)≡a.同理∀f∈F,fLn(f)≡a.而矛盾 .定理1证毕.定理2的证明：应用定理1证明过程中的符号记法.由Hurwitz定理知g(ζ)的零点重数至少为k,由引理2,引理3知g(ζ)(g(k)(ζ))n-a 至少有一个零点ζ0,所以g(ζ0)≠∞.因此由Hurwitz定理 ,存在{ζj},ζj→ζ0,使得fj(zj+ρjζj)Ln(fj(zj+ρjζj))=a,由假设知,其中 A 为正数.因此由此定理2证毕.参考文献：[1]Hu Pei-Chu,Meng Da-Wei.Normality criteria of meromorphic functions with multiple zeros[J].J.Math.Anal.Appl.,2009,357：323-329.[2]L Zalcman.Normal familes：Newperspectives[J].Bull.Amer.Math.Soc.,1998,35 ：215-230.[3]Y X Gu,X C Pang,M L Fang.Normal Families and ItsApplication[M].Beijing：Science Press,2007.。
涉及分担值的亚纯函数的正规定则
对任意厂 Ｆ ∈ 的零点重数至少 为 ｋ １ ＋． 如果对任意的ｆｇ Ｆ 在区域 Ｄ上有ｆ ａ厂 与 ｇ ａｇ “ ，∈ ， ＋（ ） ＋ （ ） 分担 ｂ ，
则 在 Ｄ 内正规 ．
１ 有关 引理
引理 １ 设 ｋ是 一 正 整数 ， 一 族 定 义在 单 位 圆盘 △上 的亚 纯 函数 ， 任 意 的厂∈Ｆ 的所 有零 点 ｒ 瑚 Ｆ是 对
第 ２ 卷 第 ４期 １
２ ０年 １ ０１ ２月
广 西 工 学 院 学 报
Ｊ ＯＵＲＮＡＬ ＯＦＧＵＡＮＧ ＸＩＵＮＩ ＥＲＳＴ ＯＦＴ ＨＮＯＬ Ｙ Ｖ Ｉ Ｙ ＥＣ ＯＧ
Ｖ０ ． １ １ Ｎｏ４ ２ ．
Ｄｅ ．２ Ｏ ｅ ０ｌ
文 章编 号 １０ ． １ （０ ０ ０ －０ ５０ ０ ４６ ０ ２ １ ）４０ ８ — ４ ４
个 有 穷复 数无 穷 多 次． 定 理 Ｄ 设 Ｆ是 一 族 区域 Ｄ 上 的 亚 纯 函数 ， ， ≥ ＋ ｋ ｎ １为两 个 正 整数 ，（ ）ｂ ｂ ） 两个 有 穷 复数 ． ａ ≠Ｏ ， （ ≠Ｏ 为
如果对任意厂 Ｆ ∈ 的零点重数至少为 ｋ ｌ且ｆ ａ厂 ）≠６ 则 Ｆ在 Ｄ内正规． ＋ ， ＋ （‘ ， Ｊ Ｑ问 虑从 分 担值 情 况 改 进定 理 Ｄ， 明 了 ． ｉ考 Ｍ． 证
定理 Ａ 设 厂 为超 越 亚 纯 函数 ， 非零 有 穷 复数 ， 对 任 意正 整 数 ≥５ ｆ ＋ 取 每 一 个 有穷 复 数 无 ａ是 则 ，
．
穷多 次．
叶亚盛 研 究 一个 类 似 的 问题 。 明 了 证
定理 Ｂ 设 厂 为超越亚纯 函数 ， 是非零有穷复数 ， ａ 则对任意正整数 ≥３ ＋ （ ） 取每一个有穷复数 ａ厂 ｆ
亚纯函数族的微分多项式不取函数时的正规性
１７ ９ ９年 ， 永兴 在研 究 Ｈ ｙ ｎ猜 想 口时 得到 如下 著名 正规定 则 ： 顾 ａｍａ
定理 Ａ 设 Ｆ为区域 Ｄ上的亚纯 函数族 ， 为正整数 ， ｋ 若对于Ｆ中每个 函数 ｚＥ Ｊ ≠０ ” ≠１ ）Ｆ，（） （） ｆ ห้องสมุดไป่ตู้
Ｆ在 Ｄ 上正规 … 。
１８ ９６年 ， 乐 改 进这一 结果 得 到 ： 杨 定理 Ｂ 设 ａ ｚ 区域 Ｄ 内不恒 等于 ０的解 析 函数 ， （）为 ｋ为正整 数 ， 区域 Ｄ 上 的亚 纯 函数 族 。若对 于 每 Ｆ为
ｚ ｔ ｎＦ ｉｎｒ ａ ｆ ｉ ｎ ｅ ｈ ｏ ｌａ ｌ ｏ Ｗ ｅ ∽ ｉａｌ ｅ ｄｆ ｅｔｌ ｏ ｎｍａ ｏ ） ｉ ｏ ｍ ｒ Ｄ， ｅ ｓ ｍ ｍ ｙ Ｄ． ｈ ｒ ｅ ｓ ｎａ ｉ ｒ ｉ ｌ ｏ ｉ ｆ ｉ ｆ ｎａｐ ｙ ｅ ｌ ｗｔ ｈｌ ｏ ｈ ｏ －
文章编 号：６ １ ７ ５ ２ １ ） １ ０ ８ ０ １７ —８５ （ ０ ０ ０ — ０ ９— ４ 中图分类号 ： ７ ．２ Ｏ１４ ５ 文献标识码 ： Ａ
亚纯函数φ(z)f(z)M[f]的值分布
![亚纯函数φ(z)f(z)M[f]的值分布](https://img.taocdn.com/s3/m/5bf58c5dad02de80d4d840c9.png)
尸（ ： ） ”（ 彳 ） 取 每 一个非 零 有穷 复 数无 穷多 次 ．
ｓ （ ｒ ， 则 （ ） （ ｚ ） （ 厂 ） 取每一个非零有穷 复 数无穷 多 次．
ห้องสมุดไป่ตู้
收 稿 日期 ： ２ ０ １ ２—１ １ —３ ０
基金项 目： 贵 州省科 学技术基金 资助项 目“ 微分 方程 解的理论及应 用研 究” （ ２ ０ １ ２ Ｇ Ｚ １ ０ ５ ２ ６ ） ； 贵州省毕 节地 区科研 基金 资助项 目 “ 喀 斯特地 区石漠化 时空格局及 其评 价体 系的模型研 究” （ ［ ２ ０ １ １ ］ ０ ２ ） ．
第３ ２卷
第 ３期
曲 靖 师 范 学 院 学 报
Ｊ Ｏ Ｕ Ｒ Ｎ Ａ Ｌ Ｏ Ｆ Ｑ ｕ Ｊ Ｉ Ｎ Ｇ Ｎ Ｏ Ｒ Ｍ Ａ Ｌ Ｕ Ｎ Ｉ Ｖ Ｅ Ｒ Ｓ Ｉ Ｔ Ｙ
Ｖ０ １ ． ３ ２ Ｎｏ Ｉ ３
Ｍａ ｙ ２ ０１ ３
２ ０ １ ３年 ５月
■ 数 学 研 究 （ 云 南省 期 刊 优秀 栏 目）
陈怀 惠和方 明亮 独立 地 解决 了 ｎ＝１ 设ｆ （ ｚ ） 为超 越 亚 纯 函数 ， 则
的情 形 ， 并 得 到如 下定 理 ． 定理 Ｂ 【 ４ ｚ ｚ ） 取每 一个 非 零有 穷复 数无 穷 多次 ． Ｓ ｏ ｎ ｓ ， Ｓ ｔ ｅ ｉ ｎ ｍ ｅ ｔ ｚ ， 杨 重俊 ， 杨乐 ， 王跃 飞等 做 了 大量 的工作 并得 到 了许 多漂亮 的结果 Ｌ ６ ¨ ． １ ９ ９ ９年 ， 庞 学诚 和 Ｚ ａ ｌ ｃ ｍ ａ ｎ得 到如下 结果 ． 定理 Ｃ 【 ９ 设 ） 为超 越 整 函数 ， ｋ和 ｎ为
亚 纯 函数 （ ｚ ） ｆ （ ） ［ 的值 分布
关于有限对数级的亚纯函数及其导函数
第 ２期
２ 定 理 ２和 定 理 ３的 证 明
２ １ 预 备 知 识 ．
定 义 １ 设 ｚ 是 复数 域 Ｃ上 的亚 纯 函数 ， 义 八 的对 数 级 也是 它 的特 征 函数 ７ ｒ， 的对数 级 ． ） 定 ） １ ，） （ 用
ＡＩ ／ 表示． Ｉ（） Ｊ
引理 １ 设 函数 ） 角域 Ｉｒｚ ０ ＜７ ＞ ） 是 ｇ 一０ ７ ａ Ｉ （ ０ 内的 亚纯 函数 ， 存 在 三个 相互 判 别 的复 数 ｎ ， ＝ 且 （
收 稿 日期 ：００—１ —１ ２１ １ ２ 作 者 简 介 ： 忠 广 （ ９０一） 男 ，山东 成 武 县 人 ， 教 ， 士 ， 究 方 向 ： 纯 函 数 的 奇 异 方 向 李 １８ ， 助 硕 研 亚
１ ８
２１ ０ １丘
李忠 广 ： 关于 有 限对数 级 的 亚纯 函数及 其 导 函数
ｌ ｕ ｉ ｓｐ ａ ｒ
一 ｒｏｒ ‘ ｌｇ ）
：＋∞ ，
（） １
则存在一方向△ ０） ＝ ａ ｚ ０｝（ ０ ＜ 竹 ， （ｏ ＝｛ ：ｒ ： 。 ，０ 。 ２ ）使得对于任意小的正数 占 ＜ 和任意的ｎ （ ｇ （ 詈） ∈Ｃ ｕ
｛。 ） 有 下列等 式成 立 ： ａ｝ ，
～
ｌ ｒ ｉ ａ
一
Ｐ
—
—
粤尝
一
：一 Ａ１
Ａ （ ２ ）源自Ｌ 至 多除去两 个例外 的 ａ ｎ ｒＯ ， ＝ａ 为Ｊ ０在 角域 ｛ ｒ —Ｏ ＜ ｌ Ｉ ｝ ． （ ，ｏ ） 厂 ）＝ （ ｚ：Ｉ ｇ ｏ ，。 （ｒ 中的根 的 个数 。 ａｚ Ｉ 计重
数． 线 △（１ 被 称为亚 纯 函数． 的对数级 为 Ａ—ｌ Ｂ ｒｌ 向． 射 ６） ０ 厂 ） （ 的 ｏｅ方
关于亚纯函数族的一个正规定则
关键 词 ： 亚纯 函数 ； 正规族 ； 微分单项式
中 图 分 类 号 ： ７ ．２ ０１４ ５
本文所指亚纯函数均定义在开平面ｃ上． 特别地， Ｄ为复平面 ｃ 设 上的区域 ， 为Ｄ上的亚纯函数族 ，
在 Ｄ上正 规是 指 ： 于 Ｆ中任 一函数 列Ａ （）从 中可 以选 出一 个子序 列使 其在 Ｄ内内闭一 致收敛 到一个 对 ，
且 Ｖ ＾ ≠０ Ｆ为 Ｄ上的亚纯函数族 ， ＥＤ，（） ， 且满足： ｆ∈Ｆ 当 ｋ ５时 的零点重数至少为 ｋ 当２ Ｖ ， ；
ｋ５ ４时 的零点 重数 至少 为 ｋ＋１置 ．
收 稿 日期 ：０ ０— ７—０ ２１ ０ ９
・
作者 简介 ： 汪小玲 （９ ５一） 女 ， １８ ， 湖北黄冈人 ， 读硕士研究生 ， 在 主要研究方 向 ： 亚纯 函数值分 布理论．
１９ ， ９４年 杨乐和 ｃ Ｃ Ｙ ｎ【 ． ． ａｇ１ ¨提出了如下猜想 ： 为超越亚纯函数 ， 为正整数 ， ”取每一个非 若， 后 则∥
零有穷复数无穷多次． 为了证实这个猜想 ， 很多人先研究了形如 ”的值分布问题．０５年， ２０ 黄小军和顾 永 兴证 明 了以下 定理． 定理 Ｅ】 若 ｋ 【 为正整数 为复平面上 的超越亚纯函数， ”取每一个有穷非零复数无穷多次． 则厂 同时， 他们还证明了与定理 Ｂ相关的一个正规定则．
推论 ｌ 设 ≥ ２为正 整数 ， Ｄ为复 平面 Ｃ上 的 区域 ， （ ）为 上 Ｄ 的全纯 函数 ， 为 Ｄ上 的亚纯 函数 ｈｚ
族 ， 满足 ： 厂∈Ｆ， 且 Ｖ 当 ≥ ５时 的零 点重 数至少 为 后 当 ２ ．ｓ ； ｊ ４时 的零点 重数至少 为 后＋１若 Ｖ ｝ ． ∈ Ｆ， ∈Ｄ， 都有 ） ’ｚ （）≠ ｈ ｚ ， （）则 在 Ｄ上 正规．
单向分享一个集合的亚纯函数的正规性
Ｖ０ ． ７ Ｎ ． １２ ｏ ４
荆楚理 工学院学报
Ｊ ｕ ａ ｆＪｎ ｃ ｕ Ｕｎｖ ｒｉ ｆ ｃ ｎ ｌｇ ｏ ｒ ｌ ｉｇ ｈ ｉｅ ｓｔ ｏ ｈ ｏｏ ｙ ｎ ｏ ｙ Ｔｅ
单 向分享一个集合 的亚纯函数的正规性
谢 东
（ 亳州师范高等专科学校 理化 系， 安徽 毫州 ２ ６０ ） ３ ８０
＝
１ｋ ２ ， 是一正整数， 显然对于 Ｖ ｆ∈， 有，＝ ¨ 当 ， ／ ， 然满足定理的条件， Ｆ Ａ内 但 在
不 正规 。
ｌ 主 要 引 理
引理 １ 设 Ｆ … 是区域 Ｄ上的亚纯 函数族 ， 为一正整数 ， 如果 Ｖ ｆ∈Ｆ， 的零点重级 后且存 ， ） （ ， 在 Ａ ＞ｏ 有， ｚ ， （）＝０ Ｉ （） 墨Ａ 若 Ｆ在 Ｄ内不正规 ， ｚＩ ｏ 那么对任一实数 仅 ０≤ ｓ ， （ ） 存在 １ 点 ）
列 ， Ｉ ＜１ ） 数列 ＥＦ３ 正数列ｐ一。。 ｌ ＜ｒ ； 函 ；） ２ 使得函数族ｇ（）＝ 地
在复平面上
按 球 距 内闭一 致 收敛 于非 常数亚 纯 函数 ｇ ）满 足 ｇ （ （ ， ）≤ ｇ（ ）＝ｋ Ｏ Ａ＋１且 ｇ ）的零 点重 数 ｋ ， （ 。 引理 ２ 正 规 的亚纯 函数 的级 至 多是 ２ 。
引理 ３
设－ 厂 是复平面上的超越亚纯函数 ， 是任何正整数 ， ｋ 则
（ ｒ
引理 ４ ［ 引理５ ［
（ ＋ ） （， ） （ ＋２ Ｊｒ ２ Ⅳｒ１ ＋ ２ ）， 丁 ７ 、 （
） ．ｒ 。 ＋Ｓ （
设 是复平面上有穷级亚纯 函数 ， 只有有穷个临界值 ， 若厂 则 至：有有穷个渐进值 。 多 设 是复平面上的超越亚纯函数 ， 且 ０ ≠ ∞， 只有有穷个临界值与渐进值 ， ） 则存在
关于亚纯函数组的几个定理
（ ｒ ） 及 满足 恒等 式 ∑ｆ ｊ （ ｚ ） 三。 （ ｚ ）
作者简介 ： 肖淳（ １ ９ ８ ４ 一） ， 男， 四川 内江人 。 湛江师 范学院数 学与计算科学 学院助教 ， 从 事计算数 学研 究．
１ ２ 其 中， ＜１ ， 则
湛 江 师范学 院学报 （ 自然科 学）
第３ ４ 卷
三 １
本 文改 进 和推广 了上述 定理 ， 证 明了 ： 定理 １ 设 厂 Ｊ （ 一１ ， ２ ， ３ ） 为亚 纯 函数 ， 口 （ ｚ ） 为厂 （ ） 非零 小 函数 ， ， １ 不 为 常数 ， 且 ＾≠Ｃ ｎ （ ｚ ） Ｃ为常 数 ，
三口 （ ｚ ）
显然 ， 定理 Ａ 与 Ｂ 分别是 定理 １ 与 ２的特殊情 况 ， 即当 ｎ （ ｚ ） 一１时 ， 定 理 １与 ２分别 是 定理 Ａ 与 Ｂ ． 因此本
文 的结果更 广 泛更 一般．
２ 引理 及 其 证 明
引理 １ （ ［ ３ ］ ） 设 厂 Ｊ （ ｚ ） （ 一１ ， ２ ， …， ｎ ） 为＇ ２ 个线 性无 关 的亚纯 函数 ， ａ （ ｚ ） 为 非零 函数 ， 且 Ｔ（ ｒ ， 口 （ ｚ ） ） ＝Ｓ
１ ≤ ≤３
厂 ２ 三口 （ ｚ ） 或ｆ ３ 兰口 （ ｚ ） 定理 ２ 设 厂 Ｊ （ ＝１ ， ２ ， …， 扎 ） 为亚 纯 函数 ， 口 （ ） 为 厂非零 小 函数 ， ＾（ 一１ ， ２ ， …， 一１ ） 不 为常 数 ， 且 ≠
Ｃ ａ （ ｚ ） ， （ 一１ ， ２ ， …， 一 １ ） ， Ｃ 为 常 数及∑ 厂 Ｊ 兰口 （ ｚ ） ， （ ≥３ ）
２ ０ １ ３年 ６月 第 ３ ４卷 第 ３期