85-3-3全纯函数的原函数(更新)
有理函数的原函数
120§6.3 有理函数的原函数有理函数 若,P Q 都是实系数多项式函数,则称PR Q=为实有理函数；当P 的次数严格小于Q 的次数时,称有理函数PR Q=为真分式. 引理 首系数为1的实系数多项式Q 在实数范围内有唯一的因式分解22()()()()()Q x x a x b x px q x rx s αβμν=--++++,其中,,a b 是互不相同的实数；(,),(,)p q r s 是互不相同的实数偶,满足224,,4p q r s <<；,,,,,,2()αβμναβμν*∈+++++恰为多项式Q 的次数.证: 由代数学的基本定理(任何《复变函数》教材中都会证明)容易得 到这里的结论.只要注意到,当复数(0)A iB B +≠是Q 的k 重根时,A iB - 也是Q 的k 重根.故Q 含有因式22[()][()][()]k k k x A iB x A iB x A B -+--=-+ 222222(2),(2)4()k x Ax A B A A B =-++<+.□例1 将41x +在实数范围内因式分解. 解: 41x +有4个复根2i i±-±,故41(22222222x x i x i xi x i +=---++-++222211(((1)(1)2222x x x x ⎡⎤⎡⎤=-+++=-+++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.□例2 将32584x x x +++在实数范围内因式分解. 解: 32584x x x +++有实根1-,故3222584(1)(44)(1)(2)x x x x x x x x +++=+++=++.□ 定理6.1(部分分式分解) 若PR Q=是真分式,其分母Q 有形如引理所 述的因式分解,则PR Q=在实数范围内有唯一的部分分式分解12111()()()j j jjj j A B R x x a x b βα===++--∑∑221122()()j j j j jjj j K x L M x N x px q x rx s μν==+++++++++∑∑,其中,,,,,,,j j jj j j A B KL M N 都是实常数. 证: 任何数学系《复变函数》教材中都会证明.□例3 将2411x x ++在实数范围内分解成部分分式.解: 设 2411x x +=++,比较系数后便知0K M ==, 12L N ==.□例4 将232584x x x x +++在实数范围内分解成部分分式. 解:设 232258412(2)x A B Cx x x x x x =++++++++,比较系数后便知 1A =, 0,4B C ==-.□有理函数的原函数 为了求出有理函数的原函数,只要能求出22222()()()()n n nKx LKd x px q L Kpdx dx x px q x px q x px q +++-=+++++++⎰⎰⎰,n *∈.令0a =>,则只要能求出22222()()()pn n p dx d x x px q x a +=++⎡⎤++⎣⎦⎰⎰. 记22()n n dx I x a =+⎰,能得到递推关系12221(21)2()n n nxI n I C na x a +⎡⎤=+-+⎢⎥+⎣⎦. 证: 222222212()()()n n n n dx x x dxI n x a x a x a +==++++⎰⎰2222222122122()()()n n n x x a dxn dx na x a x a x a +++=+-+++⎰⎰ 212222()n n n xnI na I C x a +=+-++, 12221(21)2()n n nxI n I C na x a +⎡⎤=+-+⎢⎥+⎣⎦.□ 练习题6.3(246P ) 4,9,13.122§6.4 可有理化函数的原函数2元多项式 称形如00mnj k jk j k a x y ==∑∑的2元函数为2元多项式函数,其中(0,1,,;0,1,,)jk a j m k n ==是实常数.2元有理函数 若(,),(,)P x y Q x y 都是实系数2元多项式函数,则称(,)(,)(,)P x y R x y Q x y =为2元实有理函数. (cos ,sin )R x x 的原函数(万能换元法) 对于2元实有理函数R ,如果令tan 2xt =,即2arctan x t =,则2222122(cos ,sin )(,)111t t R x x dx R dt t t t -=+++⎰⎰. 证: 22222211cos cos sin (1tan )2221sec 2x x x t x x t -=-=-=+, 2222sin 2sin cos tan 2221sec 2x x x t x x t ===+,22(2arctan )1dx d t dt t ==+.□(,R x 的原函数(,n AD BC *∈≠) 对于2元实有理函数R ,如果令t =即n nDt B x Ct A -=-+,则12(,()(,)()n n n n Dt B tR x dx n AD BC R t dt Ct A Ct A --=--+-+⎰⎰.证: 112()()()n n n n n n n Dt B Dnt Ct A Cnt Dt B dx d dt Ct A Ct A --⎫⎛--++-==⎪ -+-+⎝⎭12()()n n t n AD BC dt Ct A -=--+.□ 例1 求 22cos sin n n dx x x +⎰,2121sin cos sin n n xdxx x--+⎰. 解: 222221(tan )cos sin cos (1tan )n n n n dx d x x x x x -=++⎰⎰ 212(1tan )(tan )1tan n nx d x x-+=+⎰.12321212421sin tan (tan )cos sin cos (1tan )n n n n xdx xd x x x x x ----=++⎰⎰2221tan (1tan )(tan )1tan n n x x d x x--+=+⎰.□ 例2 求,a x b <<⎰. 解: ()2b x =--=-⎰⎰2=-+⎰由§6.2例10)()b a =-+-⎰(b a C =--.□例3 求2dx x +⎰. 解: 22221122(2)2dx dx x x x==++⎰⎰. 令t =即2211x t =-,则222212122(1)21tt dx dt x t t ⎫⎛-=⎪ +-⎫⎛⎝⎭+ ⎪-⎝⎭⎰⎰22222(1)(1)t dt t t =--+-⎰21222=-.□积分仪和微分仪的原理 Leibniz 在1684年设计出了积分仪的雏形，两位不知名的工程师在1878年设计出了可供实用的积分仪,其原理也可用来设计微分仪.积分仪的工作原理如黑板上的图示. 练习题6.4(250P ) 1(8,10),2(11,12).。
最全反三角函数概念图像完整版.doc
反三角函数图像与特征反正弦曲线图像与特征反余弦曲线图像与特征拐点(同曲线对称中心)：，该点切线斜率为1 拐点(同曲线对称中心)：，该点切线斜率为－1反正切曲线图像与特征反余切曲线图像与特征拐点(同曲线对称中心)：，该点切线斜率为1 拐点：，该点切线斜率为－1渐近线：渐近线：名称反正割曲线反余割曲线方程图像顶点渐近线反三角函数的定义域与主值范围函数主值记号定义域主值范围反正弦若，则反余弦若，则反正切若，则反余切若，则反正割若，则反余割若，则一般反三角函数与主值的关系为式中n为任意数数学术语将y作为的主值限在y=x对称。
其，π/2]arcsin x x的角，该角的范围在[-π/2，π/2]在[0，π]上的反函数，叫做反余弦函数。
arccosx的角，该角的范围在[0，π]区间内。
【图中蓝线】⑶在(-π/2，π/2）上的反函数，叫做反正切函数。
arctan x表示一x的角，该角的范围在（-π/2，π/2）区间内。
【图中绿线】注释：【图的画法根据反函数的性质即：反函数图像关于y=x对称】反三角函数主要是三个：y=arcsin(x），定义域[-1，1] ，值域[-π/2，π/2]图象用红色线条；y=arccos(x），定义域[-1，1] ，值域[0，π]，图象用蓝色线条；y=arctan(x），定义域（-∞，+∞），值域（-π/2，π/2），图象用绿色线条；y=arccot(x），定义域（-∞，+∞），值域（0，π），图象无；sin(arcsin x)=x，定义域[-1，1]，值域[-1，1] arcsin(-x)=-arcsinx 证明方法如下：设arcsin(x)=y，则sin(y)=x，将这两个式子代入上式即可得其他几个用类似方法可得cos(arccos x)=x，arccos(-x)=π-arccos x tan(arctan x)=x，arctan(-x)=-arctanx反三角函数其他公式：arcsin(-x)=-arcsinx arccos(-x)=π-arccosx arccot(-x)=π-arccotx arcsinx+arccosx=π/2=arctanx+arccotxsin(arcsinx)=cos(arccosx)=tan(arctanx)=cot(arccotx)=x arcsin x = x + x^3/(2*3) + (1*3)x^5/(2*4*5) + 1*3*5(x^7)/(2*4*6*7）……+(2k+1)!!*x^(2k-1)/(2k!!*(2k+1))+……（|x|<1) !！表示双阶乘arccos x = π -(x + x^3/(2*3) + (1*3)x^5/(2*4*5) + 1*3*5(x^7)/(2*4*6*7）……）（|x|<1) arctan x = x - x^3/3 + x^5/5 -……举例当x∈[-π/2，π/2] 有arcsin(sinx)=x x∈[0，π]，arccos(cosx)=x x∈（-π/2，π/2），arctan(tanx)=x x∈（0，π），arccot(cotx)=x x>0，arctanx=π/2-arctan1/x，arccotx类似若(arctanx+arctany）∈（-π/2，π/2），则arctanx+arctany=arctan((x+y)/(1-xy)) 例如，arcsinχ表示角α，满足α∈[-π/2，π/2]且sinα=χ;arccos(-4/5)表示角β，满足β∈[0，π]且cosβ=-4/5;arctan2表示角φ，满足φ∈（-π/2，π/2)且tanφ=2基本知识：1．正确理解反三角函数的定义，把握三角函数与反三角函数的之间的反函数关系；2．掌握反三角函数的定义域和值域，y＝arcsinx, x∈[－1, 1], y∈[－，], y＝arccosx, x∈[－1, 1], y∈[0, π], 在反三角函数中，定义域和值域的作用更为明显，在研究问题时，一定要先看清楚变量的取值范围；3．符号arcsinx 可以理解为[－，]上的一个角或弧，也可以理解为区间[－，]上的一个实数；同样符号arccosx可以理解为[0，π]上的一个角或弧，也可以理解为区间[0，π]上的一个实数；4．y＝arcsinx等价于siny＝x, y∈[－，], y＝arccosx等价于cosy＝x, x∈[0, π], 这两个等价关系是解反三角函数问题的主要依据；5．注意恒等式sin(arcsinx)＝x, x∈[－1, 1] , cos(arccosx)＝x, x∈[－1, 1], arcsin(sinx)＝x, x∈[－，], arccos(cosx)＝x, x∈[0, π]的运用的条件；6．掌握反三角函数的奇偶性、增减性的判断，大多数情况下，可以与相应的三角函数的图象及性质结合起来理解和应用；7．注意恒等式arcsinx＋arccosx＝, arctgx＋arcctgx＝的应用。
2023-2024学年湖南省长沙一中高一(下)第三次月考数学试卷(含答案)
2023-2024学年湖南省长沙一中高一（下）第三次月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数a +3i2+i 是纯虚数，则实数a =( )A. −32B. 32C. −23D. 232.某校举行“勇士杯”学生篮球比赛，统计高一年级部分班级的得分数据如下： 班级12345678得分2834343026282832则下列说法正确的是( )A. 得分的众数为34 B. 得分的中位数为28C. 得分的75%分位数为33D. 得分的极差为63.已知平面α、β，直线l ⊂α，直线m 不在平面α上，下列说法正确的是( )A. 若α//β，m//β，则l//m B. 若α//β，m ⊥β，则l ⊥m C. 若l//m ，α//β，则m//βD. 若l ⊥m ，m//β，则α⊥β4.已知a >0，b >0，则“a +b >1”是“ab >14”( )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5.已知正六棱柱ABCDEF−A 1B 1C 1D 1E 1F 1的所有棱长均为1，则这个棱柱侧面对角线E 1D 与BC 1所成的角的余弦值为( )A. 12B.64C. 14D. 06.已知cos (α+π8)+2cos(α−3π8)=0，则tan (2α+π4)=( )A. 12B. 43C. −1D. −437.已知m ∈R ，若函数f(x)=1x +1−mx−m−3(−1<x ≤0)在定义域内有且仅有两个不同的零点，则m 的取值范围是( )A. (−94,−2)B. (−94,−2]C. (−114,−2)D. (−114,−2]8.已知集合I ⊆{a|a =(x,y)，x ，y ∈R}，若对于任意m ，n ∈I ，以及任意λ∈[0,1]，满足λm +(1−λ)n ∈I ，则称集合I 为“类圆集”.下列说法正确的是( )A. 集合A ={a|a =(x,y)，y ≥x 3}为“类圆集”B. 集合B ={a|a =(x,y)，y ≤lnx}为“类圆集”C. 集合C ={a|a =(x,y)，y ≥x 2}不为“类圆集”D. 若A ，B 都是“类圆集”，则A ∪B 也一定是“类圆集”二、多选题：本题共3小题，共18分。
高三数学一轮复习易错题3基本初等函数
易错点7．公式运用不熟练没有得到最终解
【例7】已知 求
【错解】∵ ∴
∴
错因：因对性质不熟而导致题目没解完.
【正解】∵ ∴
∴
易错点8．关于方程根考虑不全面
【例8】已知 有且只有一根在区间（0,1）内，求 的取值范围.
【错解】设 ∵ 有且只有一根在区间（0,1）内
∴ 得 ＜－2
所以 ，解得 ，此时 ，
综上 ，即 的取值范围是 ，
故选：D.
10．函数 在 的图像大致为（）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，所以 为奇函数，关于原点对称，故排除 ，又因为 ， ， ， ，故排除 、 ,
故选：D.
11．已知函数 ，若 ，则实数 的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【正解】方法一：∵
＝ ＝ ＝－ ，∴ 是奇函数
方法二：∵
＝
∴ 是奇函数
易错点5．不理解定义域和单调性的联系
【例5】已知奇函数f(x)是定义在(－3，3)上的减函数，且满足不等式f(x－3)+f(x2－3)<0,求x的取值范围.
【错解】∵f(x)是奇函数，∴f(x－3)<－f(x2－3)=f(3－x2),
综上， .
故选：C
8．函数 的零点个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】函数f(x)=ex|lnx|﹣2的零点可以转化为：|lnx| 的零点；
在坐标系中画出两个函数 的图象，根据图象可得有两个交点；
故原函数有两个零点.
故选：B.
9．已知 ，函数 ，若关于 的不等式 在 上恒成立，则 的取值范围为（）
信号与系统试题附答案
信号与系统试题附答案信科0801《信号与系统》复习参考练习题一、单项选择题：17、如图所示：f （t ）为原始信号，f 1(t)为变换信号，则f 1(t)的表达式是（ ）A 、f(－t+1)B 、f(t+1)C 、f(－2t+1)D 、f(－t/2+1)18、若系统的冲激响应为h(t),输入信号为f(t),系统的零状态响应是（ ）19。
信号)2(4sin 3)2(4cos 2)(++-=t t t f ππ与冲激函数)2(-t δ之积为（ ）A 、2B 、2)2(-t δC 、3)2(-t δD 、5)2(-t δ，则该系统是（）＞－系统的系统函数．已知2]Re[,651)(LTI 202s s s s s H +++=A 、因果不稳定系统B 、非因果稳定系统C 、因果稳定系统D 、非因果不稳定系统21、线性时不变系统的冲激响应曲线如图所示，该系统微分方程的特征根是（ ）A 、常数B 、 实数C 、复数 D 、实数+复数22、线性时不变系统零状态响应曲线如图所示，则系统的输入应当是（ ）A 、阶跃信号B 、正弦信号C 、冲激信号 D 、斜升信号23. 积分⎰∞∞-dt t t f )()(δ的结果为( )A )0(fB )(t f C.)()(t t f δD.)()0(t f δ24. 卷积)()()(t t f t δδ**的结果为( )A.)(t δB.)2(t δC.)(t f D.)2(t f25. 零输入响应是( )A.全部自由响应B.部分自由响应C.部分零状态响应D.全响应与强迫响应之差 2A 、1-eB 、3eC 、3-e D 、1 27.信号〔ε(t)－ε(t －2)〕的拉氏变换的收敛域为( )A.Re[s]>0B.Re[s]>2C.全S 平面D.不存在28．已知连续系统二阶微分方程的零输入响应)(t yzi 的形式为tt BeAe2--+，则其2个特征根为( )A。
关于分段函数的原函数
第28卷第2期 Journal of Xiangfan University V ol.28 No.2关于分段函数的原函数樊孝菊（襄樊学院 数学系，湖北 襄樊 441053）摘要：文章主要讨论了连续分段函数、具有第一类间断点的分段函数、具有第二类间断点的分段函数三种情形的原函数问题.关键词：分段函数；间断点；原函数中图分类号：O172.1 文献标志码：A 文章编号：1009-2854(2007)02-0018-02分段函数()f x =12(),;(),.f x a x c f x c x b ≤≤⎧⎨<≤⎩ （1） 文章以式（1）为例，讨论()f x 在区间[],a b 上的原函数问题.1 分段函数)(x f 在区间[]b a ,上连续的情形下的原函数问题引理1[1] 设)(x f 在区间[]b a ,上连续，在()b a ,内可导，若极限)0()(lim 0+′=′+→a f x f a x 存在，则)(x f 在a 点的右导数()f a +′存在，且()(0)f a f a +′′=+.对于左导数也有类似的结论.引理2 设)(x F 在区间(,]a b 上具有连续的导数，且 )0(+′a F 存在，则)0(+a F 存在.证明：定义=)(x g (),;(0),.F x a x b F a x a ′<≤⎧⎨′+=⎩ 则)(x g 是[]b a ,上的连续函数，于是)(x g 的原函数一定存在. 设它的原函数为)(*x F ，则)(*x F 在[]b a ,上一定连续.由于)(x F 为)(x g 在(,]a b 上的原函数，所以当],(b a x ∈时有)()(*x F c x F +=.令0+→a x ，则得)0()0(*++=+a F c a F ，这说明)0(+a F 存在. 证毕.下面考查形如（1）式的分段函数)(x f 的原函数问题. 若)(x f 在[]b a ,上连续，就意味着)(1x f 在[]c a ,上连续，)(2x f 在],(b c 上连续，且)()0(12c f c f =+.有如下定理.定理 设分段函数=)(x f 12(),;(),.f x a x c f x c x b ≤≤⎧⎨<≤⎩在[]b a ,上连续，则 1)存在)(1x f 在[]c a ,上的一个原函数)(1x F 及)(2x f 在],(b c 上的一个原函数)(2x F ，使)0(2+c F 存在且)()0(12c F c F =+；2)=)(x F ⎩⎨⎧≤<≤≤.),(;),(21b x c x F c x a x F就是)(x f 在[]b a ,上的一个原函数.证明：1)由于)(1x f 在[]c a ,上连续，所以存在原函数，设它的一个原函数为)(1x F .同样在],(b c 上存在)(2x f 的原函数，设它的一个原函数为)(*2x F ，显然，)(*2x F 在],(b c 上具有连续的导数，且)0()0(2*2+=+′c f c F 存在，由引理2知)0(*2+c F 存在.收稿日期：2006-09-04作者简介：樊孝菊(1963- ), 女, 湖北京山人, 襄樊学院数学系高级讲师.令)0()()()(*21*22+−+=c F c F x F x F (2 ) 则)(2x F 也是)(2x f 在],(b c 上的一个原函数，且)()0(12c F c F =+.2)令=)(x F ⎩⎨⎧≤<≤≤.),(;),(21b x c x F c x a x F （3）则)(x F 在[]b a ,上连续，当c x ≠时)()(x f x F =′. 由)(x F 的定义知)()()(1c f c f c F ==′−，又由引理1知)(c F ′+存在且)()(c f c F =′+，因此)()(c f c F =′. 故)(x F 就是)(x f 在[]b a ,上的一个原函数. 证毕.进一步，对于无穷区间()+∞∞−,的情形定理也成立. 示例1：求分段函数=)(x f ⎩⎨⎧>+≤.0,1;0,x x x e x 的一个原函数.由于)(x f 为()+∞∞−,上的连续函数，所以其原函数一定存在. 当0≤x 时，x e 的一个原函数为x e x F =)(1；当0>x 时，1+x 的一个原函数为x x x F +=2)(2*2，由于1)0(01==e F ，0)00(*2=+F ， 由式(2)可得12)00()0()()(2*21*22++=+−+=x x F F x F x F ， 由式(3)可得=)(x F ⎪⎩⎪⎨⎧>++≤.0,12;0,2x x x x e x 即是)(x f 的一个原函数. 2 分段函数)(x f 在区间[]b a ,上c x =点处具有第一类间断点的情形[]31)分段函数)(x f 在区间[]b a ,上，除c x =点处具有第一类跳跃间断点外，在其它各点处处连续时，)(x f 在c x =点处无原函数.事实上，由于)0(1−c f ，)0(2+c f 均存在，但12(0)(0)f c f c −≠+. 若)(x f 在[]b a ,上有原函数，设它的一个原函数为)(x F ，则有20lim ()(0)x c F x f c →+′=+，10lim ()(0)x c F x f c →−′=−均存在. 由引理1知 2()(0)F c f c +′=+，1()(0)F c f c −′=−，所以)()(c F c F ′≠′−+，故)(x F 在c x =处不可导. 故)(x f 在c x =点处无原函数.2)分段函数)(x f 在区间[]b a ,上除c x =点处具有第一类可去间断点外，在其它各点处处连续时，)(x f 在c x =点处无原函数.事实上，由于)0(−c f ，)0(+c f 均存在且相等，但)()0()0(c f c f c f ≠+=−若)(x f 在[]b a ,上有原函数，设它的一个原函数为)(x F ，则)(c F ′存在，但)()(c f c F ≠′. 所以，)(x f 在c x =点处无原函数. 3 分段函数)(x f 在[]b a ,上c x =处具有第二类间断点的情形分段函数)(x f 在区间[]b a ,上，除在c x =点处具有第二类间断点外，在其它各点处处连续时，)(x f 在c x =点处是否有原函数是不确定的.示例2[2]：函数=)(x f ⎪⎩⎪⎨⎧=≠−.0,0;0,1cos 1sin 2x x x x x 在0=x 处具有第二类间断点，其原函数为 =)(x F ⎪⎩⎪⎨⎧=≠.0,0;0,1sin 2x x x x （下转第31页）第28卷第2期 襄樊学院学报 2007年第2期3.2 测试性能分析从以上的测试结果可以看出，本系统中频率、电压、电流的测量精度达到99%左右，无功功率和有功功率的测量精度达到了98%左右，经过补偿后的功率因数的测量精度也达到了98%左右，完全达到了预先设定的96%的技术指标，市场上同类产品的技术指标也就在96%~98%之间，所以本系统的成功设计也为后续研究工作的进一步拓展起到了很好的指导作用.参考文献：[1] 祝大卫. 功率因数校正控制器NCP1601[J]. 电子世界, 2005 (4):39-40.[2] PHIL ZUK. 采用功率因数校正(PFC)技术设计电源[J]. 电子产品世界, 2006 (5):110-111.[3] 王福瑞. 单片微机测控系统设计大全[M]. 北京: 北京航空航天大学出版社, 2006.[4] 曾庆虹, 杨时杰. 基于平均电流控制的有源功率因数校正技术[J]. 郑州大学学报(工学版), 2006 (1):75-77.[5] 陈特放, 石英春, 余明扬, 等. 基于数字控制的功率因数校正器的设计[J]. 郑州大学学报(工学版), 2006 (2): 98-101.The Study of Power-Factor Monitoring and Compensation Based on Chip CS5460ASUN Nan-hai, CAI Bing(Department of Physics and Electronic Information Technology, Xiangfan University, Xiangfan 441053, China)Abstract: This power-factor monitoring and compensation system was made up of electrical parameters detection system and compensation controlling system. One of electrical parameters detection functions was achieved by specialized chip CS5460A that coming from CirrusLogic Company in America. The monitoring and compensation systems were composed by this chip along with SCM. This kind of system can detect various electrical parameters and compensate reactive power, the real-time displaying by LCD as well.Key words: Power-factor; Detection system; Compensation controlling system（上接第19页）示例3：函数=)(x f 2sec ,0;2cos ,.2x x x x πππ⎧≤<⎪⎪⎨⎪≤<⎪⎩在2π=x 处具有第二类间断点，但在2π=x 处无原函数. 以上对分段函数)(x f 在其分段点x c =处连续、具有第一类间断点两种情形的原函数问题从理论上进行了研究；但对分段函数)(x f 在其分段点x c =处具有第二类间断点情形的原函数问题仅给出了示例，有待于进一步作理论上的分析。
不定积分(公式大全)
解:taxndxcs ionxxsdx
设tua＝xn codsx，x则cdu1o ＝x-ss( insxdixxn)dxu 1du
ln|u|Cln|c ox|sC
所以 x2.x2＋1、x2－1、x2＋C (C为任意常数)
都是函数f(x)＝2x的原函数。 .
[定理5.1] 设F(x)是函数f(x)在区间I上的一个原函数，
C是一个任意常数，那么， ⑴ F(x)＋C也是f(x) 在该区间I上的原函数 ⑵ f(x)该在区间I上的全体原函数可以表示
为F(x)＋C 证明:
⑴∵[F(X)＋C]'＝F'(x)＋(C)'＝f(x) ∴F(x)＋C也是f(x)的原函数
⑵略
.
这说明函数f(x)如果有一个原函数F(x), 那么它 就有无穷多个原函数, 它们都可以表示为F(x)＋C的 形式。 [定义5.2]
函数f(x)的全体原函数叫做函数f(x)的不定积分, 记作∫f(x)dx,
所得结果与F(x)相差一个常数C ⑶ ∫kf(x)dx＝k∫f(x)dx (k为常数) 该性质表明, 被积函数中不为零的常数因子可以
提到积分号的前面 ⑷ ∫[f(x)±g(x)]dx＝∫f(x)dx±∫g(x)dx
该性质表明, 两个函数的和或差的不定积分等于 这两个函数的不定积分的和或差
.
五、 基本积分公式的应用
.
例 1 求 x12dx
解 :x12d x(x22x1)d xx2d x2xdxdx
1x3x2xC 3
再如 求(x13)x(x223)dx
解:
(x1)(x23)
cauchyhadamard定理
cauchyhadamard定理摘要：1.柯西- 哈达玛定理的概念和定义2.柯西- 哈达玛定理的证明方法3.柯西- 哈达玛定理的应用领域4.柯西- 哈达玛定理的重要性正文：1.柯西- 哈达玛定理的概念和定义柯西- 哈达玛定理（Cauchy-Hadamard Theorem）是复分析领域的一个基本定理，它描述了复平面上的解析函数的性质。
该定理是由法国数学家柯西（Cauchy）和哈达玛（Hadamard）于19 世纪中叶独立发现的。
该定理表明，如果一个函数在复平面上的某一区域是解析的，那么它在该区域内的导数也是解析的。
换句话说，解析函数的导数仍然是解析的。
2.柯西- 哈达玛定理的证明方法为了证明柯西- 哈达玛定理，我们需要引入一些相关的概念和工具。
首先，我们需要了解什么是解析函数。
解析函数是指满足柯西- 黎曼（Cauchy-Riemann）方程的函数，即f(z) = u(x,y) + iv(x,y)，其中u 和v 是实函数，满足u_x + v_y = 0。
接下来，我们需要了解什么是全纯函数。
全纯函数是指满足柯西- 黎曼方程的解析函数，并且满足f(z) 的实部和虚部都是全纯函数。
在这个背景下，我们可以通过证明柯西- 黎曼方程的齐次方程的解的性质来证明柯西- 哈达玛定理。
具体来说，我们可以证明齐次方程的解在单位圆上的取值是解析的，这就证明了原函数也是解析的。
3.柯西- 哈达玛定理的应用领域柯西- 哈达玛定理在复分析领域有着广泛的应用。
首先，它可以用来研究复平面上的解析函数和全纯函数的性质。
其次，它可以用来研究复变函数的积分和级数。
此外，它还在复流形、调和分析、复数微积分等领域有着重要的应用。
4.柯西- 哈达玛定理的重要性柯西- 哈达玛定理的重要性在于它揭示了复平面上的解析函数的性质，为我们研究复分析提供了一个基本的工具。
此外，它也为其他数学领域，如调和分析、复数微积分等提供了重要的理论支持。
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从而
f (z2) f (z1) z2 z1
1
Re
0
f '(z1 t(z2 z1)) dt 0
故 f (z1) f (z2 ),, 这表明 f 是D上的单叶函数.
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1,3,5.
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莱布尼茨（G.W.Leibniz) (1646年7月1日－1716年11月14日), 德国最重要的自然科学家、数学家、 物理学家、历史学家和哲学家,一位 举世罕见的科学天才,和牛顿同为微 积分的创建人.关于微积分创立的优 先权,在数学史上曾掀起了一场激烈 的争论.实际上,牛顿在微积分方面的 研究虽早于莱布尼茨,但莱布尼茨成 果的发表则早于牛顿.
f
(z)
1 z2
在全平面除去实轴上的一段
x
1 2
的区域Biblioteka D内为解析,又因为所考虑的区域
D 是单连通的, 故由定理 3.2.6 知, 在 D 内
有
1 z2 dz
11 z 1i
1 1 1i
1 1 i 2
1 i . 2
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作业: 习题3.3
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附加: 习题讲解
P107 3. 设 f Cn ( ) H ( ), 并且
f (n) (z) 0. 证明: f 必为次数不大于n的多项式.
证: 用数学归纳法. 首先, 当n 1时, 结论
成立. 假设当n k(k 1)时结论成立, 则对
n k 1时 , 对 任 意 取 定 的 z , 由 f (k1) (z) 0
知
f (k) (z) C(这里的C一常数).
这样,
czk (k )
f (z)
k
!
0,
根据假设条件即得.
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P108 5. 设 f 是凸域D上的全纯函数, 如果对
每点 z D, 有Re f (z) 0, 那么 f 是D上的单
叶函数.
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复变函数
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3.3 全纯函数的原函数
定义3.3.1 设 是区域 上的函数.如果存在 上的
函数 使得
,则称 是 在 上的一个原函数.
(注意: ⅰ、只有全纯函数才可能有原函数；
ⅱ、多连通域上的全纯函数未必有原函数).
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定理3.3.2
证: z1, z2 D, z1 z2则
f (z2 ) f (z1)
z2 f '( )d
z1
1 0
f
'
( z1
t(z2
z1 ))( z2
z1)dt
则
f (z2 ) f (z1)
z2 z1
1 0
f
' (z1
t(z2
z1))dt
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证:
这说明
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定理3.3.3 证: 由Cauchy积分定理和定理3.3.2.
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定理3.3.4
证:
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例
3.3.5:计算
C
1 z2
dz
,
其中
是从1 i 到 1 的直
线段.
解:
因为