7-05,一轮回扣,2018高考数学,简单几何体的面积和体积

第五节 简单几何体的面积和体积【考纲下载】了解球体、柱体、锥体、台体的表面积和体积的计算公式(不要求记忆公式)．2．多面体的侧面积和表面积 因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是侧面展开图的面积，表面积是侧面积与底面积的和．将圆柱、圆锥、圆台的侧面沿任意一条母线剪开铺平，分别得到什么图形？ 提示：分别得到矩形、扇形、扇环．1．一个正方体的体积是8，则这个正方体的内切球的表面积是( ) A ．8π B ．6π C ．4π D ．π解析：选C 设正方体的棱长为a ，则a 3＝8，即a ＝2.故该正方体的内切球的半径r ＝1，所以该正方体的内切球的表面积S ＝4πr 2＝4π.2．直角三角形两直角边AB ＝3，AC ＝4，以AB 为轴旋转一周所得的几何体的体积为( )A ．12πB ．16πC ．9πD ．24π解析：选B 以AB 为轴旋转一周所得到的几何体为圆锥，且底面圆的半径为4，圆锥的高为3.故体积V ＝13×π×42×3＝16π.3. (2013·山东高考)一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正(主)视图如图所示，则该四棱锥侧面积和体积分别是( )A ．45，8B ．45，83C ．4(5＋1)，83D ．8,8解析：选B 由题意可知该四棱锥为正四棱锥，底面边长为2，高为2，侧面上的斜高为22＋12＝5，所以S 侧＝4×⎝⎛⎭⎫12×2×5＝45，V ＝13×22×2＝83. 4．(2013·陕西高考)某几何体的三视图如图所示，则其体积为________．解析：该几何体是底面圆半经为1，高为2的圆锥体的一半，故所求体积为V ＝12×13×(π×12)×2＝π3.答案：π35．(2013·辽宁高考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是________．解析：由三视图可知该几何体是一个底面半径为2，高为4的圆柱中间挖去一个底面边长为2，高为4的正四棱柱后剩下的部分，所以其体积为π×22×4－22×4＝16π－16.答案：16π－16[例1] (1)某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是( )A ．28＋6 5B ．30＋6 5C ．56＋12 5D ．60＋12 5(2)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________．[自主解答] (1)该三棱锥的直观图如图所示．据俯视图知，顶点P 在底面上的投影D 在棱AB 上，且∠ABC ＝90°，据正、俯视图知，AD ＝2，BD ＝3，PD ＝4，据侧视图知，BC ＝4.综上所述，可知BC ⊥平面P AB ，PB ＝PD 2＋BD 2＝5，PC ＝BC 2＋PB 2＝16＋25＝41， AC ＝AB 2＋BC 2＝41，P A ＝PD 2＋AD 2＝2 5. ∵PC ＝AC ＝41，∴△P AC 的边P A 上的高为h ＝PC 2－⎝⎛⎭⎫P A 22＝6.∴S △P AB ＝12AB ·PD ＝10，S △ABC ＝12AB ·BC ＝10，S △PBC ＝12PB ·BC ＝10，S △APC ＝12P A ·h ＝6 5.故三棱锥的表面积为S △P AB ＋S △ABC ＋S △PBC ＋S △APC ＝30＋6 5. (2)该几何体的直观图如图所示：该几何体为长为4，宽为3，高为1的长方体内部挖去一个底面半径为1，高为1的圆柱．∴S 表＝2×(4＋3＋12)＋2π－2π＝38. [答案] (1)B (2)38【方法规律】空间几何体的表面积的求法技巧(1)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理．(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．一个几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是()A．372 B．360 C．292 D．280解析：选B由三视图可知该几何体是由下面一个长方体，上面一个长方体组合而成的几何体．∵下面长方体的表面积为8×10×2＋2×8×2＋10×2×2＝232，上面长方体的表面积为8×6×2＋2×8×2＋2×6×2＝152，又∵长方体表面积重叠一部分，∴几何体的表面积为232＋152－2×6×2＝360.高频考点考点二空间几何体的体积1．空间几何体的体积是每年高考的热点，题型为选择题和填空题．2．高考对空间几何体的体积的考查常有以下几个命题角度：(1)求简单几何体的体积；(2)求组合体的体积；(3)求以三视图为背景的几何体的体积．[例2](1)(2013·湖北高考)一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为V1，V2，V3，V4，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有()A．V1＜V2＜V4＜V3B．V1＜V3＜V2＜V4C．V2＜V1＜V3＜V4D．V2＜V3＜V1＜V4(2)(2013·浙江高考)若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积等于________cm3.(3)(2012·江苏高考)如图所示，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝3 cm ，AA 1＝2 cm ，则四棱锥A -BB 1D 1D 的体积为________cm 3.[自主解答] (1)由题意可知，由于上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体．根据三视图可知，最上面一个简单几何体是上底面圆的半径为2，下底面圆的半径为1，高为1的圆台，其体积V 1＝13π×(12＋22＋1×2)×1＝73π；从上到下的第二个简单几何体是一个底面圆半径为1，高为2的圆柱，其体积V 2＝π×12×2＝2π；从上到下的第三个简单几何体是边长为2的正方体，其体积V 3＝23＝8；从上到下的第四个简单几何体是一个棱台，其上底面是边长为2的正方形，下底面是边长为4的正方形，棱台的高为1，故体积V 4＝13×(22＋2×4＋42)×1＝283，比较大小可知答案选C.(2)根据几何体的三视图可知，所求几何体是一个三棱柱削去一个三棱锥，则几何体的体积V ＝12×3×4×5－13×12×4×3×3＝24 cm 3.(3)由题意，四边形ABCD 为正方形，连接AC ，交BD 于O ，则AC ⊥BD .由面面垂直的性质定理，可证AO ⊥平面BB 1D 1D .四棱锥底面BB 1D 1D 的面积为32×2＝62，从而VA -BB 1D 1D ＝13×OA ×S 长方形BB 1D 1D ＝6.[答案] (1)C (2)24 (3)6空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)求简单几何体的体积．若所给的几何体为柱体、锥体或台体，则可直接利用公式求解．(2)求组合体的体积．若所给定的几何体是组合体，不能直接利用公式求解，则常用转换法、分割法、补形法等进行求解．(3)求以三视图为背景的几何体的体积．应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．1．(2013·广东高考)某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是( )A ．4 B.143 C.163D ．6解析：选B 由四棱台的三视图可知，台体上底面积S 1＝1×1＝1，下底面积S 2＝2×2＝4，高h ＝2，代入台体的体积公式V ＝13(S 1＋S 1S 2＋S 2)h ＝13×(1＋1×4＋4)×2＝143.2．一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．200＋9πB ．200＋18πC ．140＋9πD ．140＋18π解析：选A 这个几何体由上、下两部分组成，下半部分是一个长方体，其中长、宽、高分别为6＋2＋2＝10,1＋2＋1＝4,5；上半部分是一个横放的半圆柱，其中底面半径为62＝3，母线长为2，故V ＝10×4×5＋12π×32×2＝200＋9π.[例3] (2014·沈阳模拟)已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，则球O 的半径为( )A.3172 B ．210 C.132D ．310[自主解答] 如图所示，由球心作平面ABC 的垂线，则垂足为BC 的中点M .又AM ＝12BC ＝52，OM ＝12AA 1＝6，所以球O 的半径R ＝OA ＝ ⎝⎛⎭⎫522＋62＝132. [答案] C 【互动探究】侧棱和底面边长都是32的正四棱锥的外接球半径是多少？ 解：依题意得，该正四棱锥的底面对角线的长为32×2＝6，高为(32)2－⎝⎛⎭⎫12×62＝3，因此底面中心到各顶点的距离均等于3，所以该四棱锥的外接球的球心即为底面正方形的中心，其外接球的半径为3.【方法规律】与球有关的组合体的类型及解法(1)球与旋转体的组合通常作出它们的轴截面解题．(2)球与多面体的组合，通常过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题．(2013·新课标全国卷Ⅰ)如图所示，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，如果不计容器厚度，则球的体积为( )A.500π3 cm 3B.866π3 cm 3C.1 372π3 cm 3D.2 048π3cm 3解析：选A 设球半径为R cm ，根据已知条件知正方体的上底面与球相交所得截面圆的半径为4 cm ，球心到截面的距离为(R －2)cm ，所以由42＋(R －2)2＝R 2，得R ＝5，所以球的体积V ＝43πR 3＝43π×53＝500π3cm 3.—————————[课堂归纳——通法领悟]———————————————— 1种思想——转化与化归思想计算旋转体的侧面积时，一般采用转化的方法来进行，即将侧面展开化为平面图形，“化曲为直”来解决，因此要熟悉常见旋转体的侧面展开图的形状及平面图形面积的求法．2种方法——割补法与等积法(1)割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决．(2)等积法：等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值．2个注意点——求空间几何体的表面积应注意两点(1)求组合体的表面积时，要注意各几何体重叠部分的处理．(2)底面是梯形的四棱柱侧放时，容易和四棱台混淆，在识别时要紧扣定义，以防出错．易误警示(十一)对几何体的形状判断不准致误[典例] (2013·重庆高考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.5603B.5803C ．200D ．240 [解题指导] 将三视图还原为几何体，然后再选用相关公式求解．[解析] 由三视图可得该几何体是直四棱柱，其底面为上底为2，下底为8，高为4的等腰梯形，棱柱高为10，如图所示，故体积V ＝12×(2＋8)×4×10＝200.[答案] C[名师点评] 1.本题易误认为几何体为四棱台而造成解题错误． 2．正确解决此类问题应注意以下两点：(1)确认几何体的形状时，要紧扣各类几何体的定义，不能凭感觉去确定．(2)要熟练掌握常见的几何体的正视图，并善于从不同角度观察几何体的结构特征，要知道三视图中的实线与虚线的原因，明确为什么有这些线或没有某些线，对于正视图，侧视图中的直角，更要弄清楚它们是直角的原因．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．16＋8πB ．8＋8πC ．16＋16πD ．8＋16π解析：选A 该几何体由上、下两部分组成，其中上面部分为长方体，下面部分为半个圆柱，所以组合体的体积为2×2×4＋12π×22×4＝16＋8π.[全盘巩固]1．设一个球的表面积为S 1，它的内接正方体的表面积为S 2，则S 1S 2的值等于( )A.2πB.6πC.π6D.π2解析：选D 设球的半径为R ，其内接正方体的棱长为a ，则易知R 2＝34a 2，即a ＝233R ，则S 1S 2＝4πR 26×⎝⎛⎭⎫233R 2＝π2.2．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．2B ．4 C.23 D.43解析：选C 由三视图可知，该几何体为四棱锥，且侧棱SC ⊥底面ABCD ，如图所示．SC ＝2，四边形ABCD 为正方形，且AB ＝1，则该几何体的体积V ＝13×1×1×2＝23.3．已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图中半圆的半径为1，则该几何体的体积为( )A ．24－3π2B ．24－π3C ．24－πD ．24－π2解析：选A 据三视图可得该几何体为一长方体内挖去一个半圆柱，其中长方体的棱长分别为：2,3,4，半圆柱的底面半径为1，母线长为3，故其体积V ＝2×3×4－12×π×12×3＝24－3π2.4．某品牌香水瓶的三视图如下(单位：cm)，则该几何体的表面积为( )A.⎝⎛⎭⎫95－π2cm 2B.⎝⎛⎭⎫94－π2cm 2 C.⎝⎛⎭⎫94＋π2cm 2 D.⎝⎛⎭⎫95＋π2cm 2 解析：选C 该几何体的上下部分为长方体，中间部分为圆柱．S 表面积＝S 下长方体＋S 上长方体＋S 圆柱侧－2S 圆柱底＝2×4×4＋4×4×2＋2×3×3＋4×3×1＋2π×12×1－2×π⎝⎛⎭⎫122＝94＋π2. 5．一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积是32π3，那么这个三棱柱的体积是( )A ．96 3B ．16 3C ．24 3D ．48 3 解析：选D 如图设球的半径为R ，由43πR 3＝323π，得R ＝2.∴正三棱柱的高h ＝4.设其底面边长为a ，则13·32a ＝2，∴a ＝4 3.∴V ＝34×(43)2×4＝48 3.6．如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据(单位：cm)，可知此几何体的表面积是( )A ．24 cm 2 B.643cm 2C ．(6＋25＋22)cm 2D ．(24＋85＋82)cm 2 解析：选D 如图所示，依题意可知四棱锥P -ABCD 是此几何体的直观图，在四棱锥P - ABCD中，平面P AB 与底面ABCD 垂直，底面ABCD 是正方形，△P AD ≌△PBC ，△P AB 是等腰三角形，设M 是AB 的中点，N 是CD 的中点，连接PM 、PN 、MN ，由题知PM ＝AB ＝4，MN ＝4，则PN ＝42，故此几何体的表面积为S ＝S 正方形ABCD ＋S △P AB ＋2S △PBC ＋S △PCD ＝4×4＋12×4×4＋2×12×4×25＋12×4×42＝(24＋85＋82)cm 2. 7．(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知H 是球O 的直径AB 上一点，AH ∶HB ＝1∶2，AB ⊥平面α，H 为垂足，α截球O 所得截面的面积为π，则球O 的表面积为________．解析：如图所示，设截面小圆的半径为r ，球的半径为R ，因为AH ∶HB ＝1∶2，所以OH ＝13R .由勾股定理，有R 2＝r 2＋OH 2，又由题意得πr 2＝π， 则r ＝1，故R 2＝1＋⎝⎛⎭⎫13R 2，即R 2＝98.由球的表面积公式，得S ＝4πR 2＝9π2. 答案：9π28．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为________．解析：由三视图可知直观图是一个底面为边长等于3的正方形，高为1的四棱锥，由棱锥的体积公式得V 四棱锥＝13×32×1＝3. 答案：39．如图所示，某几何体的正视图，侧视图和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体体积为________．解析：由三视图知，该几何体为四棱锥，如图所示．依题意AB ＝23，菱形BCDE 中BE ＝EC ＝2，故BO ＝22－12＝3， 则AO ＝AB 2－BO 2＝3，因此V A -BCDE ＝13·AO ·S 四边形BCDE ＝13×3×2×232＝2 3. 答案：2 310. 如图所示，已知E 、F 分别是棱长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱A 1A 、CC 1的中点，求四棱锥C 1-B 1EDF 的体积．解：连接EF ，B 1D .设B 1到平面C 1EF 的距离为h 1，D 到平面C 1EF 的距离为h 2，则h 1＋h 2＝B 1D 1＝2a .由题意得，V C 1-B 1EDF ＝V B 1-C 1EF ＋V D -C 1EF ＝13·S △C 1EF ·(h 1＋h 2)＝16a 3. 11．一个几何体的三视图如图所示．已知正视图是底边长为1的平行四边形，侧视图是一个长为3，宽为1的矩形，俯视图为两个边长为1的正方形拼成的矩形．(1)求该几何体的体积V ；(2)求该几何体的表面积S .解：(1)由三视图可知，该几何体是一个平行六面体(如图)，其底面是边长为1的正方形，高为 3.所以V ＝1×1×3＝ 3.(2)由三视图可知，该平行六面体中，A 1D ⊥平面ABCD ，CD ⊥平面BCC 1B 1，所以AA 1＝2，侧面ABB 1A 1，CDD 1C 1均为矩形，所以S ＝2×(1×1＋1×3＋1×2)＝6＋2 3.12．如图，在平行四边形ABCD 中，BC ＝2，BD ⊥CD ，四边形ADEF 为正方形，平面ADEF ⊥平面ABCD .记CD ＝x ，V (x )表示四棱锥F -ABCD 的体积．(1)求V (x )的表达式；(2)求V (x )的最大值．解：(1)∵平面ADEF ⊥平面ABCD ，交线为AD 且F A ⊥AD ，∴F A ⊥平面ABCD .∵BD ⊥CD ，BC ＝2，CD ＝x ，∴F A ＝2，BD ＝4－x 2(0<x <2)， S ▱ABCD ＝CD ·BD ＝x 4－x 2，∴V (x )＝13S ▱ABCD ·F A ＝23x 4－x 2(0<x <2)． (2)V (x )＝23x 4－x 2＝23－x 4＋4x 2＝23－(x 2－2)2＋4. ∵0<x <2，∴0<x 2<4，∴当x 2＝2，即x ＝2时，V (x )取得最大值，且V (x )max ＝43. [冲击名校]1．已知三棱锥S -ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC ＝2，则此棱锥的体积为( )A.26B.36C.23D.22解析：选A 由于三棱锥S -ABC 与三棱锥O -ABC 的底面都是△ABC ，O 是SC 的中点，因此三棱锥S -ABC 的高是三棱锥O -ABC 高的2倍．所以三棱锥S -ABC 的体积也是三棱锥O -ABC 体积的2倍．在三棱锥O -ABC 中，其棱长都是1，如图所示，S △ABC ＝34×AB 2＝34，高OD ＝12－⎝⎛⎭⎫332＝63， 故V S -ABC ＝2V O -ABC ＝2×13×34×63＝26. 2．如图所示，动点P 在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的对角线BD 1上．过点P 作垂直于平面BB 1D 1D 的直线，与正方体表面相交于M ，N 两点．设BP ＝x ，MN ＝y ，则函数y ＝f (x )的图象大致是()解析：选B显然，只有当P移动到中心O时，MN有唯一的最大值，排除选项A、C；P点移动时，取AA1的中点E，CC1的中点Q，平面D1EBQ垂直于平面BB1D1D，且M、N 两点在菱形D1EBQ的边界上运动，故x与y的关系应该是线性的，排除选项D，选B.[高频滚动]如图，棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD为菱形，AC∩BD＝O，侧棱AA1⊥BD，点F为DC1的中点．(1)证明：OF∥平面BCC1B1；(2)证明：平面DBC1⊥平面ACC1A1.证明：(1)∵四边形ABCD为菱形且AC∩BD＝O，∴O是BD的中点．又点F为DC1的中点，∴在△DBC1中，OF∥BC1，∵OF 平面BCC1B1，BC1 平面BCC1B1，∴OF∥平面BCC1B1.(2)∵四边形ABCD为菱形，∴BD⊥AC，又BD⊥AA1，AA1∩AC＝A，且AA1，AC 平面ACC1A1，∴BD⊥平面ACC1A1.∵BD 平面DBC1，∴平面DBC1⊥平面。