第4节 整函数与亚纯函数
浅谈整函数与亚纯函数
浅谈整函数与亚纯函数摘 要: 本文主要介绍整函数，亚纯函数和它们的相关定理，推论以及超越整函数，超越亚纯函数，刘维尔定理，代数学基本定理等等．关键词: 整函数；超越整函数；亚纯函数；超越亚纯函数；刘维尔定理The Discussion of Integral Functionand Meromorphic FunctionsAbstract : This paper mainly introduces integral function and its related theorem ， corollary ， transcendental integral function ， meromorphic functions and its related theorem ， corollary ， transcendental meromorphic functions ， and Liuweier theorem ， algebra fundamental theorem ， etc ．Keywords : I ntegral function;Transcendental integral function;Meromorphicfunction;Transcendental meromorphic functions;Liuweier theorem1 整函数的概念定义1 在整个z 平面上解析的函数称为整函数． 例如，多项式，z e ，sin z 等都是整函数．设()f z 为一整函数，则()f z 只z =∞以为孤立奇点且有()0()0.nnn f z czz ∞==≤<+∞∑定理1 设()f z 为一整函数，则(1)z =∞为()f z 的可去奇点的充要条件为()f z =常数0c ，(2)z =∞为()f z 的m 阶极点的充要条件为是()f z 是一个m 次多项式()010.mm m c c z c zc +++≠(3)z =∞为()f z 的本质奇点的充要条件为展式()0()0nnn f z czz ∞==≤<+∞∑有无穷多个n c 不等于零．由此可见，整函数族按唯一奇点z =∞的不同类型而被分为了三类． 例1 设()f z 为一整函数，试证()()()(0),00,0f z f z g z zf z -⎧≠⎪=⎨⎪'=⎩也是一个整函数．证 显然，()g z 在0z ≠的点上解析．在0z =点，由()f z 为一整函数知，()f z 在这一点解析，又有()(0)lim ()lim(0)(0)x ax af z fg z f g z→→-'===，故()g z 在0z =这一点也解析．例2 ()f z 为一整函数，且满足下列条件之一，试证()f z 必为常数． (1) ()0f z '=;(2) ()f z 在z 平面上解析; (3) ()f z 为常数;(4) R e (),f z R e (),Im (),,,f z f z M a n 或Im ()f z 为常数．证 (1) 对,z x iy ∀=+有0()x x y y f z u iv v iu '==+=-，从而0y y v u ==，故()f z 为常数．(2) 设(),f z u iv =+则()f z u iv =-解析，易知0x y x y u u v v ====从而,u v 为常数，故()f z 为常数．(3) 若()0f z C ≡=，则显然()0f z ≡．若()0f z C ≡≠，则此时有()0f z ≠，且2()()f z f z C≡，即2()()Cf z f z ≡也是解析函数，则利用（2）即得()0f z =．(4) 设(),f z u iv =+若(),u x y C ≡，则0,0x y u u ≡≡．由C ．--R ．条件得0,0x y y x v u v u =-≡=≡，因此1212,,()u C v C f z C iC ≡≡=+为常数．若Im ()f z 为常数，同理可得()f z 为常数．1．1 超越整函数设()f z 为一整函数，则有()0()0.nnn f z czz ∞==≤<+∞∑若其中有无穷多个nc 不等于零，则()f z 为超越整函数．例如，z e ，sin z ，cos z 等都是超越整函数． 1．2 刘维尔定理有界整函数()f z 必为常数．证 设()f z 的上界为M ，则在柯西不等式中，对无论什么样的R ，均有()M R M ≤．于是令1n =，有(),M f a R '≤上式对一切R 均成立，令R →+∞，即知()0f a '=，而a 是z 平面上任一点，故()f z 在z 平面上的导数为零，从而()f z 必为常数．刘维尔定理，又称模有界定理，刘维尔定理的几何意义是:非常数整函数的值不能全含于一圆之内．它的逆命题为真，即：常数为有界整函数．;它的逆否命题也为真，即：非常数的有界整函数必无界． 1．3 刘维尔定理的扩充定理在扩充z 平面上解析的函数()f z 必为常数．证 ()f z 在z 平面上解析，则()f z 必为整函数，而整函数只以∞点为孤立奇点，而()f z 在∞点解析，故∞点只能是()f z 的可去奇点，从而()f z 必为常数．推论1 实部有界的整函数(),f z z =∞必为常数．证 令()(),f z F z e =则()F z 为整函数．由于()f z 实部有界，则存在0M >，使得R e ()(),f z MF z ee =<从而有界，由刘维尔定理可见()F z 是常数，因此()f z 为常数．推论2 非常数整函数的值不能全含于一圆之外．证 设()w f z =为整函数且非常数，若值全含于一圆之外，即存在0ω及00ε>，使得对任何z ，恒有00()f z ωε->，则有非常数整函数()01()g z f z ω=-(因00()f z ωε->)．所以在z 平面上任何点z ，分母0()0f z ω-≠，从而()g z 在z 平面上解析，即为整函数．又因()f z 非常数，所以()g z 非常数，其值全含于一圆()01g z ε<之内，与刘维尔定理矛盾．从而非常数整函数的值不能全含于一圆之外． 1．4 代数学基本定理在z 平面上，n 次多项式101()nn n p z a z a za -=+++ 0(0)a ≠至少有一个零点．证 反证法，设()p z 在z 平面上无零点．由于()p z 在z 平面上是解析的，1()p z 在z平面上也解析．下面我们证明1()p z 在z 平面上有界．由于10lim ()lim (),nn nz z a a p z z a zz→∞→∞=+++=∞1lim0,()z p z →∞=故存在充分大的正数R ，使得当z R >时，11()p z <．又因1()p z 在闭圆z R ≤上连续，故可设1()Mp z ≤(正常数)，从而，在z 平面上11,()M p z <+于是，1()p z 在z 平面上是解析而有界的．由刘维尔定理知，1()p z 必为常数，即()p z 必为常数．这与定理的假设矛盾．故定理得证．2．亚纯函数定义2 平面上除极点外无其他类型奇点的单值解析函数称为亚纯函数． 亚纯函数族是较整函数族更一般的函数族，因此整函数可看成是亚纯函数的一种特例．定理2一函数()f z 为有理函数的充要条件是()f z 在扩充z 平面上除极点外无其他类型的奇点．证 必要性 设有理函数()(),()P z f z Q z =其中()P z 与()Q z 分别为z 的m 次与n 次多项式，且彼此互质，则（1）当m n >时，z =∞必()f z 为的m n -阶级点； （2）当m n ≤时，z =∞必()f z 的可去奇点，只要置()()lim,()z P z f Q z →∞∞=z =∞就是()f z 的解析点；（3）()Q z 的零点必为()f z 的极点．充分性 若()f z 在扩充z 平面上除极点外无其他类型的奇点，则这些极点的个数只能是有限个．因为如果不是这样，这些极点在扩充z 平面上的聚点就是()f z 的非孤立奇点．与假设矛盾．今令()f z 在z 平面上的极点为12,,,n z z z 其阶分别为12,,,n λλλ 则函数()1212()()()(),nn g z z z z z z z f z λλλ=---至多以z =∞为极点，而在z 平面上解析．故()g z 必为一多项式（或常数）．即()f z 必为有理函数．推论 每一个有理函数必为亚纯函数． 2．1 超越亚纯函数不是有理函数的亚纯函数称为超越亚纯函数． 例3 11ze -是一个超越亚纯函数．证11ze -有无穷多个极点：2(0,1,2),z k i k π==±±其聚点z =∞是一个非孤立奇点．故此函数不可能是一有理函数．例4 证明()f z 是单叶整函数的充要条件是()f z az b=+ (0)a ≠．证 充分性 由于函数()w f z az b ==+(0)a ≠及其反函数1()z w b a=-都是单值整函数（一次多项式），所以()f z az b=+ (0)a ≠．是单叶整函数．必要性 设()f z 是单叶整函数，则整函数分为三类：（1）()f z 为常数，这与单叶性假设矛盾; （2）()f z 为超越整函数，01(),nn f z c c z c z =++++ ()0z ≤<+∞它的唯一奇点是本质奇点z =∞．再由皮卡大定理，对每个,A ≠∞除掉可能的一个值A A =外，必有趋于∞的无限点列{}n z 使()()1,2,.n f z A n == 这也与()f z 的单叶性假设矛盾;（3）()f z 为一多项式，01(),(0).nn n f z c c z c z c =+++≠对任意,A ≠∞由代数学基本定理，()f z A =必有且只有n 个根（是几重根就算作几个根），但由()f z 的单叶性假设，必有 1.n =即必有01()f z c c z =+1(0),c ≠也可写成()f z az b =+ (0)a ≠．参考文献：[1] 钟玉泉．复变函数论[M]．北京：高等教育出版社，2004．[2] 华东师范大学数学系．数学分析[M]．北京：高等教育出版社，1983． [3] 菲赫金哥尔兹．微积分学教程[M]．北京:人民教育出版社，1955． [4] 吉米多维奇．数学分习题集题解[M]．济南：山东科学技术出版社，198学年论文成绩评定表。
分担四个值的亚纯函数
分担四个值的亚纯函数
1 亚纯函数
亚纯函数是一种关于数学函数在一个给定闭区间上多维函数的一种变体。
它是一种不用计算，可以把闭区间上的函数值均匀分担到四个值的方法。
由于它可以把多维函数的值最大化，因此被广泛的应用于数学计算，机器学习，人工智能等领域。
2 工作原理
亚纯函数的工作原理是通过将多维函数的四个值均匀分担到给定的闭区间上，使得该函数的总体值最大化。
举个简单的例子，如果一个函数在[0,1]范围内为4个值，那么用亚纯函数可以将这4个值均匀分担在这个区间上。
这样，这个函数的最大值可以最大化。
3 应用
亚纯函数技术在数学计算，机器学习，人工智能等领域都有广泛的应用。
在数学计算中，亚纯函数技术主要用于求解控制问题，其中包括线性规划，非线性规划等，也包括最优控制问题的求解。
在机器学习中，亚纯函数技术用于构建机器学习模型，满足特定的预测函数。
亚纯函数技术可以加快求解过程，提高模型的准确性。
在人工智能领域，亚纯函数技术可以用于任务规划，搜索和对抗学习等，它可以加快模型的学习速度，提高结果的准确性。
4 优缺点
但是，亚纯函数技术还是存在一些优点和缺点。
其优点是不用计算，能够有效的将多维函数的值最大化，使之的总体值得到最大化。
缺点是由于把值最大化，可能出现偏差，即模型会偏离准确性，这可能引起一些预期外的结果。
因此，在使用亚纯函数技术时，我们要特别注意它的优缺点，以免出现意料之外的错误结果。
第4节 整函数与亚纯函数
解 因为f ( z) sin 2 z在z平面上解析, 故f ( z)为整函数; n 1 2 n 1 (1) 2 1 2 z 2 n (0 z ) 而 sin z (1 cos 2 z ) 2 (2n)! n 1 在点的主要部分有无限项,所以是它的本质奇点;
则 (1) 当m n时, z 必为f ( z )的m n阶极点;
(2) 当m n时, z 必为f ( z)的可去奇点,只要置 P( z ) f () lim , z 就是f ( z )的解析点. z Q( z )
(3) Q( z)的零点必为f ( z)的极点.
即sin 2 z为超越整函数. 3 2 因为g ( z ) z 2 z 1 在z平面仅以z 0为极点, z 所以g ( z)为亚纯函数, 且g ( z)在扩充z平面上以为二阶极点, 故g( z)为有理函数.
例3 试证f ( z)是单叶整函数的充要条件是
f ( z ) az b (a 0).
e , sin z , cos z 都是超越整函数.
注1 整函注2 定理5.10(1)与刘维尔定理一致.
二 亚纯函数的概念及其与有理函数的关系
1 定义5.6 在z平面上除极点外无其它类型奇 点的单值解析函数,称为亚纯函数.
e 如f ( z ) z 1 为亚纯函数.
f ( z ) cn z n ,0 z
n 0
(5.14)
f ( z ) c0 c1 z
cn z n
, 0 z
(5.14)
2 定理5.10 若f ( z)为整函数, 则 (1) z 为f ( z )的可去奇点 f ( z ) 常数c0 ; ( f ( z)在z 的主要部分为零,即无正幂)
整函数与亚纯函数的分担值问题的开题报告
整函数与亚纯函数的分担值问题的开题报告开题报告：整函数与亚纯函数的分担值问题一、研究背景在复变函数理论中，有着一个重要的问题，称为整函数与亚纯函数的分担值问题。
该问题研究的主要是整函数与亚纯函数在复平面上的取值，即它们在复平面上的零点、极点、奇点等分布情况。
对于整函数，其在整个复平面上的取值主要由其在无穷远处的阶次决定，可以用一些基本的定理如孤立奇点定理、推论等来讨论其在复平面上的分布情况。
而对于亚纯函数，它的分布情况则较为复杂，因为它存在无穷远处的极点和本点的分布，需要用一些高级的定理如黎曼-罗希定理、亚纯延拓定理等来进行讨论。
二、研究内容与研究方法本文主要研究整函数与亚纯函数的分担值问题，具体内容包括：1.整函数与亚纯函数在复平面上的分布情况。
2.利用孤立奇点定理、黎曼-罗希定理、亚纯延拓定理等定理来讨论整函数与亚纯函数的分担值问题。
3.根据整函数与亚纯函数在复平面上的分布情况，提出一些有意义的结论和应用。
本文的研究方法主要包括：1.对于整函数的分担值问题，采用复分析中的基本定理和方法，如孤立奇点定理、分析技巧等。
2.对于亚纯函数的分担值问题，采用黎曼-罗希定理和亚纯延拓定理等高级定理进行推导和分析。
3.通过构造一些具体的例子和应用，进一步验证结论的正确性。
三、研究意义整函数与亚纯函数的分担值问题是复变函数理论中的重要问题，对于理解整函数与亚纯函数在复平面上的分布情况具有重要意义。
此外，本文研究的整函数与亚纯函数的分担值问题还可以为其他相关领域的研究提供一定的参考和借鉴。
例如，在代数几何中，对于代数簇的零点和极点问题也可以类比使用复分析中的方法和定理来研究。
四、预期成果通过对整函数与亚纯函数的分担值问题进行深入的研究，本文将会得出以下预期成果：1.深入理解整函数与亚纯函数的分布情况，在复平面上建立起它们的分担值模型。
2.掌握关于孤立奇点定理、黎曼-罗希定理、亚纯延拓定理等定理，从而能够熟练地运用它们进行分析推导。
第五章 洛朗级数
第五章 洛朗级数 第一节 洛朗展式双边幂级数设级数()()() +-++-+=-∑∞=n n n n n a z c a z c c a z c 100 （1*）它在收敛圆R a z <-)0(+∞≤<R 内绝对且内闭一致收敛到解析函数()z f 1；考虑函数项级数()() +-++-----n n a z c a z c 11 （2*） 作代换az -=1ξ 则（2*）即为 +++--n n c c ξξ1，它在收敛圆⎪⎭⎫⎝⎛+∞≤<<rr 101ξ内绝对且内闭一致收敛到解析函数()z f 2，从而（2*）在区域()+∞<≤>-r r a z 0内绝对且内闭一致收敛到解析函数()z f 2；当且仅当R r <时，（1*）（2*）有共同的收敛区域()+∞≤<≤<-<R r R a z r H 0:，此时，称()∑∞=-0n n n a z c 为双边幂级数。
关于双边幂级数的性质，见p185 定理1.5 定理1 （洛朗定理）设函数f (z )在圆环：)0(||:+∞≤<≤<-<R r R a z r H 内解析，那么在H 内,)()(∑+∞-∞=-=n n na z cz f其中，,...)2,1,0(,)()(211±±=-=⎰+τζζζπn d a f i c n n τ是圆ρρ,||=-a z 是一个满足R r <<ρ的任何数，并且展式是唯一的。
证明：H z ∈∀，作圆周11:ρτ=-a z 和22:ρτ=-a z 使z 含于圆环21':ρρ<-<a z H 内，于是()z f 在圆环'H 内解析。
由柯西积分公式()()ζζζπττd zf i z f ⎰-+-=1221 ()()nn n a z c d z f i -=-∑⎰+∞=0221ζζζπτ，其中()()ζζζπτd a f i c n n ⎰+-=2121 () ,1,1,0-=n 现考虑()()ζζζπζζζπττd z f i d z f i ⎰⎰-=--112121 ()()az aaz f z f ----=-ζζζζ11而沿1τ，1<--az a ζ，nn a z a az a ∑∞+=⎪⎭⎫⎝⎛--=---∴011ζζ（在1τ上一致收敛）由于函数()ζζ-z f 沿1τ有界，所以()()()()n nn a z a a z f z f ---=-∑∞+=ζζζζ0 ∴()()()()∑⎰⎰+∞=----=-01112121n nn d a f i a z d z f i ττζζζπζζζπ ()()()ζζζπτd a f i a z n n n∑⎰-∞-=+--=11121故当H z ∈：()()∑+∞-∞=-=n nna z c z f ，其中()()ζζζπρτd a f i c n n ⎰+-=121() ,1,0±=n 展式的唯一性：设()()∑+∞-∞=-=n nna z c z f '任意取某正整数m ，在ρτ上有界，()()()∑+∞-∞=--+-=-∴n m n n m a z c a z z f 1'1()()()∑⎰⎰+∞-∞=--+⋅=-=-n m m n nm c i dz a z c dz a z z f '1'12ρρττπ()()⎰+-=∴ρτπdz a z z f i c m m 1'21() ,1,0±=m ，故() ,1,0'±==n c c n n，展式唯一。
亚纯函数的正规族与正规函数
早在1907年, P.Montel({82])就引入了正规族的概念．一族亚纯函数称为正规的，如果族中任一列函数都含有一个按球面 距离局部一致收敛的子列。最近一二十年中，由于在复解析动力系统中的重要地位，正规族理论焕发了勃勃机．
在正规族理论中，著名的Bloch原理和最近由W.Bergweiler和L.Zal-cman(参{17})建议的变形说，如果有某个性质使得在 全平面上只有常数函数所具有，或者稍广一点，如果有某个性质使得在全平面上具有这个性质的亚纯函数(整函数)形成一个正 规族，那么在某—个区域上具有该性质的亚纯函数(全纯函数)族就是一个正规族．尽管Bloch原理—般而言并不成立 ([96])，本论文§2.6和§3.6中的反例说明它的变形一般也不成立，但在正规族理论的研究中Bloch原理及其变形仍然起着重 要的指导作用．可以说，本论文中所有正规族的结果均与Bloch原理及其变形相关．
（１９８９），７８２－７９１．
５】ｐ戢埠Ｘｕｅｃｈｅｎｇ＆Ｚａｌｃｍａｎ，Ｌ．，Ｓｈａｒｉｎｇ ｖａｌｕｅｓ ａｎｄ ｎｏｒｍａｌｉｔｙ瞬，Ａｖｋｉ”歹拇Ｍａｔｈ８撒８ｔ魄 ３８：１（２０００），１７１ １８２．
６】Ｓｃｈｗｉｃｋ，Ｗ．，Ｓｈａｒｉｎｇ ｖａｌｕｅｓ ａｎｄ ｎｏｒｍａｌｉｔｙ ＩＪｌ，Ａｒｃｈ．Ｍａｔｈ．，５９（１９９２），５０－５４． ７】Ｙａｎｇ Ｌｏ，Ｖａｌｕｅ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｔｈｅｏｒｙ【Ｍ】，Ｓｐｒｉｎｇｅｒ－Ｖｅｒｌａｇｅ，１９９３．
３ ｊ Ｌａｐｐ，≈ｎ，Ｐ．，Ｔｈｅ ｓｐｈｅｒｉｃａｌ ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅｓ ａｎｄ ｎｏｒｍａｌ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ｝霸，Ａｎｎ。Ａｃａｄ．＆ｉ．托ｎｎ。 Ｓｅｔ．Ａ，Ｍａｔｈ．，３（１９７７），３０１－３１０．
某一类迭代级亚纯函数与整函数的复合
Ｋ （ ｇ ） （ ＞ ０ ａ＞ １ 且 ｇ Ｏ ： １ 那 么 有 １ ｒ Ｋ ｏ ， ） （ ）＝ ， ＝ 而
一 。 。 』 Ｌｒ，
Ｋｌ（ ≤ Ｔ（ ， ） Ｋ２‘ ’Ｏ ＫＩ Ｋｚ 。 ， ｅｏ １ ｇ ｒｇ ≤ ｅ。 。（ ＜ ｇ ＜ ＜ 。
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引理 ２ ２ｎ ．
假 设 ｇ ）是 超 越 整 函数 满 足 （
』 ）一 Ｐ＜ ｏ ｇ ２ 是 超越 整 函数满 足 Ｔ（ ， ）一 Ｄ （ 。， （ ） ｒｇ
了 复 合 函 数 ， ｇ ｚ ） 增 长 性 ， 广 了原 有 的一 些 结 果 。 （（）的 推
关 键 词 ： 纯 函 数 ； 函数 ； 代 级 亚 整 迭
中 图分 类 号 ： ７ ． Ｏ１ ４ ５ 文献 标 志码 ： Ａ
Ｃｏ ｐ ｓ ｔｏ ｆ ａ ｃ ａ ｓ ｏ ｅ ｏ ｏ ｐ ｃ ｆ ｎ ｔｏ ｍ ｏ ｉｉ ｎ ｏ ｌ ｓ ｆｍ ｒ ｍ ｒ ｈｉ ｕ ｃ ｉ ｎｓ
近几 年来 国内外 一些 学着 开始 研究 了当 内外 函 引理 ２ ４ ．［ 假 设 ， ２ ， （ ）是 整 函数 满 足 （）ｇ ｚ ， 当 则
数均 为迭 代级 亚 纯 函数或 整 函数时 ， 复合 函数 厂 ｇ （）
5.5整函数与亚纯函数的概念
f ( z )在 点 ∞ 的 正 则 部 分 是 c 0 , f ( z )在点∞的主要部分是：
∑c z
n =1 n
∞
n
= c1 z + c2 z + c3 z + L
2 3
n= 0 为一整函数， 为一整函数，则 (1) z=∞为其可去奇点的充要条件为： 为其可去奇点的充要条件为： 为其可去奇点的充要条件为
复变函数论
Functions of One Complex Variable
湖南第一师范学院数理系
第五章 解析函数的洛朗展 式与孤立奇点
§5.1 解析函数的洛朗展式 §5.2 解析函数的孤立奇点 §5.3 解析函数在无穷远点的性质 §5.4 整函数与亚纯函数的概念 平面向量场—解析函数的应用 §5.5*平面向量场 解析函数的应用
§5.4 整函数与亚纯函数的概念
1. 整函数 在整个z平面上解析的函数称 为整函数. 为整函数 它只以z=∞为孤立奇点. 为孤立奇点 设整函数 f (z) 在孤立奇点z=∞的去心 的去心 邻域内的洛朗级数为： 邻域内的洛朗级数为： ∞
f ( z) = ∑cn z (0 ≤| z |< +∞)
n )是彼此互质的m, n次多项式. m > n ⇒ z = ∞为f ( z)的(m − n)阶极点； m ≤ n ⇒ z = ∞为f (z)的可去奇点； ∞为 Qn ( z )的零点为f ( z )的极点.
Pm ( z ) ， (必要性 设 f ( z ) = 必要性) 必要性 Qn(z)
e 、 z、 z都是超越整函数. sin cos
z
2. 亚纯函数 在z平面上除极点 外无其他类型奇点的单值解析函数称 为亚纯函数. 为亚纯函数 整函数是特殊的亚纯函数. 整函数是特殊的亚纯函数. 定理5.11 函数 f (z) 为有理函数 定理 的充要条件为： 的充要条件为：f (z) 在扩充复平面上除 极点外没有其他类型的奇点. 极点外没有其他类型的奇点
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e , sin z , cos z 都是超越整函数.
注1 整函数按唯一奇点z 的不同类型而被分成三类.
z
注2 定理5.10(1)与刘维尔定理一致.
二 亚纯函数的概念及其与有理函数的关系
1 定义5.6 在z平面上除极点外无其它类型奇 点的单值解析函数,称为亚纯函数.
e 如f ( z ) z 1 为亚纯函数.
第四节 整函数与亚纯函数
Department of Mathematics
一 整函数的概念及其分类
1 整函数 在整个z平面上解析的函数.
显然每一个整函数f ( z )都以z 为唯一孤立奇点, 故它在无穷远点的去心邻域0 z 内Laurent展式, 就是它在原点邻域0 z 内的Taylor展式, 即可设
(2) z 为f ( z)的m阶极点 f ( z)是一个m次多项式, m 即f ( z ) c0 c1 z cm z , (cm 0); ( f ( z )在z 的主要部分为c1 z cm z m , cm 0);
(3) z 为f ( z)的本质奇点 展开式(5.14)有无限项. 此时f(z)称为超越整函数. ( f ( z)在z 的主要部分有无穷多项正幂不等于零).
故f ( z)的奇点zk (2k 1) i (k 0, 1, )为极点; 因为(e 1) e 0, 故zk为f ( z)的一阶极点;
z ' z
因为zk ,
故是f ( z)的非孤立奇点,
即f ( z)为超越亚纯函数.
3 例2 考察函数f ( z ) sin z, g ( z ) z 2 z 1 的类型. z
至多以z 为极点, 而在z平面解析; 故g ( z)必为多项式(或常数), 从而为f ( z)有理函数.
注 亚纯函数可表成两个整函数的商,也可表成部分 分式.
3 定义5.7 非有理函数的亚纯函数称为超越亚纯函数. 例1 考察函数f ( z ) z 1 的类型. e 1 解 ez 1 的零点为f ( z)的奇点,
本节结束
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Complex Function Theory
Department of Mathematics
(3) f ( z)为一多项式,
f ( z) c0 c1z
cn z ,
n
对每个A , 由代数学基本定理, f ( z) A有且仅有n个根, 由f ( z)的单叶性, n 1,
故必有 f ( z) c0 c1z, c1 0.
作业
• P220 • P223 9, 10 14,
z
整函数更一般函数族
ห้องสมุดไป่ตู้
2 定理5.11 一函数f ( z )为有理函数的充要条件是 : f ( z )在扩充z平面上除极点外没有其它类型的奇点.
P( z ) , 证明 “ 必 要 性 设有理函数 f ( z ) Q( z ) ” 其中P( z)与Q( z)分别为z的m次与n次多项式, 且彼此互质.
f ( z ) cn z n ,0 z
n 0
(5.14)
f ( z ) c0 c1 z
cn z n
, 0 z
(5.14)
2 定理5.10 若f ( z)为整函数, 则 (1) z 为f ( z )的可去奇点 f ( z ) 常数c0 ; ( f ( z)在z 的主要部分为零,即无正幂)
证明 “ 充 分 性 由于函数 w f ( z ) az b 1 ” 1 及其反函数 z f ( w) ( w b) 都是单值函数, a 所以f ( z) az b (a 0)为单叶整函数.
则f ( z)可分为三类, “ 必 要 性 设f ( z)为单叶整函数, ” (1) f ( z ) 常数c, 这与假设相矛盾.
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解 因为f ( z) sin 2 z在z平面上解析, 故f ( z)为整函数; n 1 2 n 1 (1) 2 1 2 z 2 n (0 z ) 而 sin z (1 cos 2 z ) 2 (2n)! n 1 在点的主要部分有无限项,所以是它的本质奇点;
“ 充 分 性若f ( z)在z平面除极点外无其它类型的奇点, ” 则这些极点的个数只能是有限个, 若不然,这些极点在
扩充z平面上的聚点就是f ( z)的非孤立奇点, 矛盾.
令f ( z)在z平面上的极点为z1, z2 , , zk ; 其阶为1 , 2 , , k ;
k 1 g ( z ) ( z z ) ( z z ) f ( z), 则函数 1 k
即sin 2 z为超越整函数. 3 2 因为g ( z ) z 2 z 1 在z平面仅以z 0为极点, z 所以g ( z)为亚纯函数, 且g ( z)在扩充z平面上以为二阶极点, 故g( z)为有理函数.
例3 试证f ( z)是单叶整函数的充要条件是
f ( z ) az b (a 0).
(2) f ( z) c0 c1z cn z n ,(0 z ) 它的惟一奇点是本质奇点z , 由Picard定理,
对每个A ,除掉可能一个值A A0外,
必有趋于的无限点列{zn }, 使f ( zn ) A(n 1, 2, ),
这与函数的单叶性假设相矛盾.
则 (1) 当m n时, z 必为f ( z )的m n阶极点;
(2) 当m n时, z 必为f ( z)的可去奇点,只要置 P( z ) f () lim , z 就是f ( z )的解析点. z Q( z )
(3) Q( z)的零点必为f ( z)的极点.