无穷级数内容小结讲课讲稿

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第4章无穷级数内容小结

(x

x0
)n

为 f x 在点 x0 处的泰勒级数.
当泰勒公式
5
f (x)
f (x0 )
f (x0 )(x x0 )
f
( x0 2!
)
(
x

x0
)
2

f
(n) (x0 n!
)
(
x

x0
)n
Rn (x)
中的余项 Rn (x) 0(n ) 时，泰勒级数收敛于 f (x) ，即
n1
i 1

为级数 un 的部分和. n1

若
lim
n
sn
s 存在，则称级数 un 收敛， s 称为级数 un 的和，记作 un
n1
n1
n1
s，

此时称 rn s sn 为级数 un 的余项. n1

收敛的充分必要条件：
un
n1
收敛
n
（或为），

则当 1时， un 收敛；当 1（或）时， un 发散；当 1时， un 的敛
n1
n1
n1
散性不能肯定.

④根值审敛法（柯西判别法）
设
n1
un
是正项级数，若
lim
n
n
un
（或为），

则当 1时， un 收敛；当 1（或）时， un 发散；当 1时， un 的敛散
原级数有相同的收敛半径 R . 但在收敛区间的端点 x R 处收敛性可能改变.

高等数学第十章无穷级数精选讲义

第十章无穷级数精选讲义【考试要求】1．理解级数收敛、发散的概念．掌握级数收敛的必要条件，了解级数的基本性质． 2．掌握正项级数的比值审敛法．会用正项级数的比较审敛法． 3．掌握几何级数、调和级数与p 级数的敛散性．4．了解级数绝对收敛与条件收敛的概念，会使用莱布尼茨判别法． 5．了解幂级数的概念，收敛半径，收敛区间．6．了解幂级数在其收敛区间内的基本性质（和、差、逐项求导与逐项积分）． 7．掌握求幂级数的收敛半径、收敛区间的方法．【考试内容】一、常数项级数的相关概念1．常数项级数的定义一般地，如果给定一个数列1u ，2u，，n u，，则由这数列构成的表达式123n u u u u +++++叫做常数项无穷级数，简称常数项级数或级数，记为1nn u∞=∑，即1231nn n uu u u u ∞==+++++∑，其中第n 项n u 叫做级数的一般项．2．常数项级数收敛、发散的概念作常数项级数1nn u∞=∑的前n 项和121nn n ii s u u u u ==+++=∑，n s 称为级数1nn u∞=∑的部分和，当n 依次取1,2,3,时，它们构成一个新的数列11s u =，212s u u =+，3123s u u u =++，，12n n s u u u =+++，．如果级数1nn u∞=∑的部分和数列{}n s 有极限s ，即limn n s s →∞=，则称无穷级数1nn u ∞=∑收敛，这时极限s 叫做这级数的和，并写成123n s u u u u =+++++或者1nn us ∞==∑；如果{}n s 没有极限，则称无穷级数1n n u ∞=∑发散．3．收敛级数的基本性质（1）如果级数1nn u∞=∑收敛于和s ，则级数1nn ku∞=∑也收敛，且其和为ks ．一般地，级数的每一项同乘一个不为零的常数后，它的收敛性不变．（2）如果级数1n n u ∞=∑、1nn v∞=∑分别收敛于和s 、σ，则级数1()nn n uv ∞=±∑也收敛，且其和为s σ±．（3）在级数1nn u∞=∑中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的收敛性．（4）如果级数1nn u∞=∑收敛，则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛，且其和不变．（5）如果级数1nn u∞=∑收敛，则它的一般项n u 趋于零，即lim 0nn u →∞=．说明：此条件称为级数收敛的必要条件．由原命题成立逆否命题一定成立可得，如果lim nn u →∞不为零，则级数1nn u∞=∑一定发散．4．几个重要的常数项级数（1）等比级数级数21nnn q q q q ∞==++++∑或21n n n q q q q ∞==+++++∑称为等比级数或几何级数，其中q 叫做级数的公比．其收敛性为：当1q <时，级数收敛；当1q ≥时级数发散．（2）调和级数级数 11111123n nn∞==+++++∑ 称为调和级数，此级数是一个发散级数．（3）p 级数级数 11111123p p p p n nn∞==+++++∑称为p 级数，其中常数0p >．其收敛性为：当1p >时，级数收敛；当1p ≤时级数发散．二、正项级数的审敛法1．比较审敛法设1n n u ∞=∑和1nn v∞=∑都是正项级数，且存在正数N ，使当n N ≥时有n n u v ≤成立．若级数1nn v∞=∑收敛，则级数1nn u∞=∑收敛；如果级数1nn u∞=∑发散，则级数1nn v∞=∑也发散．2．比较审敛法的极限形式设1n n u ∞=∑和1nn v∞=∑都是正项级数．（1）如果lim nn n u l v →∞=，0l ≤<+∞，且级数1n n v ∞=∑收敛，则级数1n n u ∞=∑收敛；（2）如果lim nn nu l v →∞=，0l <≤+∞，且级数1n n v ∞=∑发散，则级数1n n u ∞=∑发散．说明：极限形式的比较审敛法，在两个正项级数的一般项均趋于零的情况下，其实是比较它们的一般项作为无穷小的阶．上述结论表明，当n→∞时，如果n u 是与n v 同阶或是比nv 高阶的无穷小，而级数1nn v∞=∑收敛，则级数1nn u∞=∑收敛；如果n u 是与n v 同阶或是比n v 低阶的无穷小，而级数1nn v∞=∑发散，则级数1nn u∞=∑发散．3．比值审敛法（达朗贝尔判别法）设1n n u ∞=∑为正项级数，如果1lim n n nu u ρ+→∞=，则当1ρ<时级数收敛；1ρ>（或1lim n n nu u +→∞=+∞）时级数发散；1ρ=时级数可能收敛也可能发散． 4．根值审敛法（柯西判别法）设1nn u∞=∑为正项级数，如果n ρ→∞=，则当1ρ<时级数收敛；1ρ>（或n →∞=+∞）时级数发散；1ρ=时级数可能收敛也可能发散．三、交错级数及其审敛法1．交错级数的概念所谓交错级数是这样的级数，它的各项是正负交错的，从而可以写成下面的形式：112341(1)n n n u u u u u ∞-=-+-+=-∑ ，或12341(1)nn n u u u u u ∞=-+-+-=-∑ ，其中1u ，2u ，都是正数．2．交错级数的审敛法—莱布尼茨定理如果交错级数11(1)n n n u ∞-=-∑满足条件：（1）1nn u u +≥ （1,2,3,n =）；（2）lim 0nn u →∞=．则级数收敛．四、绝对收敛与条件收敛1．绝对收敛与条件收敛对于一般的级数12n u u u ++++，它的各项为任意实数．如果级数1nn u∞=∑各项的绝对值所构成的正项级数1nn u∞=∑收敛，则称级数1nn u∞=∑绝对收敛；如果级数1nn u∞=∑收敛，而级数1nn u ∞=∑发散，则称级数1n n u ∞=∑条件收敛．例如，级数1211(1)n n n ∞-=-∑是绝对收敛级数，而级数111(1)n n n∞-=-∑是条件收敛级数．对于绝对收敛级数，我们有如下结论：如果级数1nn u∞=∑绝对收敛，则级数1nn u∞=∑必定收敛．这说明，对于一般的级数1nn u∞=∑，如果我们用正项级数的审敛法判定级数1nn u∞=∑收敛，则此级数一定收敛．这就使得一大类级数的收敛性判定问题，转化为正项级数的收敛性判定问题． 2．重要结论一般说来，如果级数1nn u∞=∑发散，我们不能断定级数1nn u∞=∑也发散．但是，如果我们用比值审敛法或根值审敛法根据1lim1n n nu u ρ+→∞=>或1n ρ→∞=>判定级数1nn u∞=∑发散，则我们可以断定级数1nn u∞=∑必定发散（这是因为从1ρ>可推知n →∞时nu 不趋于零，从而n→∞时n u 也不趋于零，因此级数1n n u ∞=∑发散）．五、幂级数（一）函数项级数1．函数项级数的定义如果给定一个定义在区间I 上的函数列1()u x ，2()u x ，，()n u x ，，则由这函数列构成的表达式1231()()()()()n n n u x u x u x u x u x ∞=+++++=∑称为定义在I 上的函数项无穷级数，简称函数项级数． 2．收敛域、发散域、和函数对于每一个确定的值0x I ∈，函数项级数1()n n u x ∞=∑成为常数项级数1020300()()()()n u x u x u x u x +++++．如果该常数项级数收敛，就称点0x 是函数项级数1()nn u x ∞=∑的收敛点；如果该常数项级数发散，就称点0x 是发散点．函数项级数1()n n u x ∞=∑的收敛点的全体称为收敛域，发散点的全体称为发散域．对应于收敛域内的任意一个常数x ，函数项级数成为一收敛的常数项级数，因而有一确定的和s ．这样，在收敛域上，函数项级数的和是x 的函数()s x ，通常称()s x 为函数项级数的和函数，这函数的定义域就是级数的收敛域，并写成123()()()()()n s x u x u x u x u x =+++++．（二）幂级数及其收敛性1．幂级数的定义函数项级数中简单而常见的一类级数就是各项都是幂函数的函数项级数，即所谓幂级数，形式为20120nn n n n a xa a x a x a x ∞==+++++∑，其中常数0a ，1a ，2a ，，n a，叫做幂级数的系数．2．阿贝尔定理如果级数nn n a x∞=∑当0xx =（00x ≠）时收敛，则适合不等式0x x <的一切x 使这幂级数绝对收敛．反之，如果级数0nn n a x ∞=∑当0x x =时发散，则适合不等式0x x >的一切x 使这幂级数发散．由上述定理可以推出，如果幂级数nn n a x∞=∑不是仅在0x =一点收敛，也不是在整个数轴上都收敛，则必有一个确定的正数R 存在，使得当x R <时，幂级数绝对收敛；当x R >时，幂级数发散；当x R =或x R =-时，幂级数可能收敛也可能发散．正数R叫做幂级数的收敛半径，开区间(,)R R -叫做幂级数的收敛区间． 3．求收敛半径及收敛区间的方法（1）对于标准形式的幂级数nn n a x∞=∑或1n n n a x ∞=∑，有如下方法：如果1limn n na a ρ+→∞=，其中n a 、1n a +是幂级数0n n n a x ∞=∑的相邻两项的系数，则这幂级数的收敛半径1,0,00,R ρρρρ⎧≠⎪⎪⎪=+∞=⎨⎪=+∞⎪⎪⎩．（2）对于非标准形式的幂级数0()n n u x ∞=∑或1()n n u x ∞=∑（如202!n n n x n ∞=∑或0(1)2nn n x n ∞=-∑），方法如下：令1()lim1()n n n u x u x +→∞<，得到x 的范围，然后再求x 的两个边界值所对应的常数项级数的敛散性即可．（三）幂级数的和函数1．幂级数和函数的性质性质1 幂级数0n n n a x ∞=∑的和函数()s x 在其收敛域I 上连续．性质2 幂级数n n n a x ∞=∑的和函数()s x 在其收敛域I 上可积，并有逐项积分公式 10000()1xxx n nn n n n n n n a s x dx a x dx a x dx x n ∞∞∞+===⎡⎤===⎢⎥+⎣⎦∑∑∑⎰⎰⎰ （x I ∈），逐项积分后所得到的幂级数和原来的幂级数有相同的收敛半径．性质3 幂级数0nn n a x ∞=∑的和函数()s x 在其收敛区间(,)R R -内可导，并有逐项求导公式()1001()n n n n n n n n n s x a x a x na x ∞∞∞-==='⎛⎫''=== ⎪⎝⎭∑∑∑ （x R <），逐项求导后所得到的幂级数和原来的幂级数有相同的收敛半径．2．幂级数和函数的求法（“先导后积”或“先积后导”）当幂级数的一般项形如(1)nx n n +时，可用先求导后求积分的方法求其和函数；当幂级数的一般项形如2(21)nn x +、1n nx-等形式，可用先求积分后求导的方法求其和函数．3．常用的幂级数展开式（1）20111n n n x x x x x ∞===+++++-∑，11x -<<；（2）201(1)1(1)1n n n n n x x x x x ∞==-=-+-+-++∑，11x -<<．【典型例题】【例10-1】用比较法或其极限形式判别下列级数的敛散性． 1．1n ∞= ．解：因1lim 2n n n→∞→∞==，而调和级数11n n ∞=∑发散，故原级数发散． 2．1n ∞=．解：因223n n n →∞→∞==，而级数211n n∞=∑是收敛的p 级数，故原级数收敛．3．1352nnnn ∞=-∑ ．解：因 33552lim lim 152335nn n n n n n n nn n →∞→∞-=⋅=-⎛⎫⎪⎝⎭，而级数135n n ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑是收敛的等比级数，故原级数收敛．4．11sin n n ∞=∑ ．解：因 1sinlim 11n n n→∞=，而调和级数11n n∞=∑发散，故原级数发散．5．11(1cos )n n ∞=-∑ ．解：因211cos1lim12n n n→∞-=，而级数211n n ∞=∑是收敛的p 级数，故原级数收敛．6．32tan n nn π∞=∑ ．解：因 2222tan lim lim 211n n n n n n n n πππ→∞→∞⋅==，而级数211n n∞=∑是收敛的p 级数，故原级数收敛．7．312(1)n n n n ∞=++∑ ．解：因 333322(1)limlim 11(1)n n n n n n n n n n →∞→∞+++=⋅=+，而级数311n n∞=∑是收敛的p 级数，故原级数收敛． 8．111nn a∞=+∑ （0a >）．解：当1a=时， 111limlim 0122n n n a →∞→∞==≠+，故原级数发散；当01a <<时，11limlim 10110n n n a →∞→∞==≠++，故原级数发散；当1a >时，因11lim lim 111n n n n n na a a a →∞→∞+==+，而级数11n n a∞=∑是收敛的等比级数，故原级数收敛．【例10-2】利用比值审敛法判别下列级数的敛散性． 1．1(1)!2nn n ∞=+∑ ．解：因11(2)!(2)!222lim lim lim (1)!2(1)!22n n n n n n n n n n n n ++→∞→∞→∞+++=⋅==∞++，故原级数发散．2．213nn n ∞=∑ ．解：因221212(1)(1)313lim lim 1333n n n n n nn n n n ++→∞→∞++=⋅=<，故原级数收敛． 3．1135(21)3!nn n n ∞=⋅⋅⋅⋅-⋅∑ ．解：因1135(21)(21)2123(1)!lim lim 1135(21)3(1)33!n n n n n n n n n n n +→∞→∞⋅⋅⋅⋅-⋅++⋅+==<⋅⋅⋅⋅-+⋅，故原级数收敛．4．110!nn n ∞=∑ ．解：因111010!(1)!lim lim 0110(1)!10!n n n n n n n n n n ++→∞→∞+=⋅=<+，故原级数收敛．5．1212nn n ∞=-∑ ．解：因112121212lim lim 12122122n n n n n nn n n n ++→∞→∞++=⋅=<--，故原级数收敛．6．21sin2nn nπ∞=∑ ．解：因22sin22lim lim 1122n nn n nnn n πππ→∞→∞==⋅，故原级数与级数212n n n ∞=∑敛散性相同．对于级数212n n n ∞=∑，因221212(1)(1)212lim lim 1222n n n n n nn n n n ++→∞→∞++=⋅=<，故级数212n n n ∞=∑收敛，所以原级数也收敛．【例10-3】利用根值审敛法判别下列级数的敛散性．1．12(1)2nn n ∞=+-∑．解：1ln[2(1)]11lim 122n nn n n e+-→∞→∞→∞===<，故原级数收敛． 2．11[ln(1)]n n n ∞=+∑ ．解：1lim 01ln(1)n n n n →∞→∞→∞===<+，故原级数收敛．【例10-4】判定下列级数的敛散性，如果是收敛的，判定是绝对收敛还是条件收敛． 1．11(1)n n ∞-=-∑．解：因级数111(1)n n n ∞∞-==-=∑发散，但由莱布尼茨定理可知，原级数满足1n n u u +=>=，且0n →∞=，所以原级数收敛且为条件收敛．2．1211(1)n n n∞-=-∑ ．解：因级数1221111(1)n n n n n∞∞-==-=∑∑收敛，所以原级数绝对收敛．3．11(1)1n n nn ∞+=-+∑ ．解：因1lim(1)1n n nn +→∞-+不存在，故原级数发散． 4．11sin27n n n π∞=∑ ．解：11sin 272n n n π≤，而级数112n n ∞=∑是收敛的等比级数，故根据比较审敛法可知，级数11sin 27n n n π∞=∑收敛，故原级数绝对收敛．【例10-5】求下列幂级数的收敛半径和收敛域． 1．11(1)nn n x n∞-=-∑ ．解：因111limlim 11n n n na n a nρ+→∞→∞+===，所以收敛半径11R ρ==，故收敛区间为(1,1)-．又当1x =-时，原级数即为11()n n ∞=-∑，发散；当1x =时，原级数即为111(1)n n n∞-=-∑，收敛，故原级数的收敛域为(1,1]-． 2．0!nn x n ∞=∑ ．解：因111(1)!limlim lim 011!n n n n na n a n n ρ+→∞→∞→∞+====+，所以收敛半径R =+∞，故级数的收敛域为(,)-∞+∞．3．0!n n n x ∞=∑ ．解：因1(1)!limlim !n n n n a n a n ρ+→∞→∞+===+∞，所以收敛半径0R =，即级数仅在点0x =处收敛． 4．2121n nn x n ∞=+∑ ．解：因12212222(1)(1)1limlim lim 22(1)11n n n n n n na n n a n n ρ++→∞→∞→∞+++====+++，所以收敛半径112R ρ==，故收敛区间为11(,)22-．又当12x =-时，原级数即为21(1)1n n n ∞=-+∑，收敛；当12x =时，原级数即为2111n n ∞=+∑，收敛，故原级数的收敛域为11[,]22-．【例10-6】求下列幂级数的收敛域．1．1(1)2nnn x n ∞=-⋅∑ ．解：这是非标准形式的幂级数，我们用比值审敛法．令 11(1)1(1)2lim 1(1)22n n n n nx x n x n ++→∞--+⋅=<-⋅，则12x -<，故当13x -<<时级数收敛，当1x <-或3x >时级数发散．当1x =-时，原级数即为1(1)nn n ∞=-∑，收敛；当3x =时，原级数即为11n n∞=∑，发散．因此原级数的收敛域为[1,3)-． 2．211(1)21n nn x n +∞=-+∑ ．解：这是非标准形式的幂级数，我们用比值审敛法．令 231221(1)23lim 1(1)21n n n n nxn x xn +++→∞-+=<-+，则当11x -<<时级数收敛，当1x <-或1x >时级数发散．当1x =-时，原级数即为111(1)21n n n ∞+=-+∑，收敛；当1x =时，原级数即为11(1)21nn n ∞=-+∑，也收敛．因此原级数的收敛域为[1,1]-．【例10-7】求下列幂级数的和函数． 1．11n n nx∞-=∑ ．解：先求幂级数的收敛域．令1(1)lim 1nn n n x x nx-→∞+=<，可得收敛区间为(1,1)-．当1x =-时，原级数即为1(1)nn n ∞=-∑，发散；当1x =时，原级数即为1n n ∞=∑，也发散．因此原级数的收敛域为(1,1)-．再求和函数．设和函数11()n n s x nx ∞-==∑，则2111()()()()1(1)nnn n x s x x x x x ∞∞=='''====--∑∑， (1,1)x ∈-．2．2111(1)21n n n x n -∞-=--∑ ．解：先求幂级数的收敛域．令 212211(1)21lim 1(1)21n nn n n x n x xn +-→∞--+=<--，可得收敛区间为(1,1)-．当1x =-时，原级数即为11(1)21nn n ∞=--∑，收敛；当1x =时，原级数即为111(1)21n n n ∞-=--∑，也收敛．因此原级数的收敛域为[1,1]-．再求和函数．设和函数2111()(1)21n n n x s x n -∞-==--∑，则12224122211()(1)1(1)1n n n n n s x xx x xx ∞----='=-=-+-+-+=+∑，故[]2001()arctan arctan 1xxs x dx x x x ===+⎰， [1,1]x ∈-．3．111(1)n n x n n ∞+=+∑．解：先求幂级数的收敛域．令 211(1)(2)lim 11(1)n n n x n n x x n n +→∞+++=<+，可得收敛区间为(1,1)-．当1x =-时，原级数即为111(1)(1)n n n n ∞+=-+∑，收敛；当1x =时，原级数即为11(1)n n n ∞=+∑，也收敛．因此原级数的收敛域为[1,1]-．再求和函数．设和函数111()(1)n n s x x n n ∞+==+∑，(1,1)x ∈-，则11111111()(1)(1)n n n n n n s x x x x n n n n n∞∞∞++===''⎡⎤⎡⎤'===⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦∑∑∑，1111111()()()1n n n n n n s x x x x n n x ∞∞∞-===''''====-∑∑∑，故[]001()ln(1)ln(1)1x xs x dx x x x'==--=---⎰，[]0()ln(1)(1)ln(1)x s x x dx x x x =--=--+⎰，[1,1)x ∈-．当1x =时，原级数即为11(1)n n n ∞=+∑，令 1111223(1)n s n n =+++⋅⋅+，则11111111112233411n s n n n =-+-+-+-=-++，所以1(1)lim lim(1)11n n n s s n →∞→∞==-=+，故原幂级数的和函数为 1,1()(1)ln(1),11x s x x x x x =⎧=⎨--+-<<⎩ ． 4．1(1)nn n n x∞=+∑ ．解：先求幂级数的收敛域．令 1(1)(2)lim 1(1)n n n n n x x n n x+→∞++=<+，可得收敛区间为(1,1)-．当1x =-时，原级数即为1(1)(1)nn n n ∞=-+∑，发散；当1x =时，原级数即为1(1)n n n ∞=+∑，也发散．因此原级数的收敛域为(1,1)-．再求和函数．设和函数1()(1)n n s x n n x ∞==+∑，则1111111()(1)(1)()()()n nn n n n n n s x x n n xx n x x x x x ∞∞∞∞-++===='''''=+=+==∑∑∑∑222322()[]1(1)(1)x x x x x x x x x -'''===---，(1,1)x ∈-．【例10-8】将下列函数展开成相应的幂级数． 1．将函数21()32f x x x =-+展开成关于x 的幂级数．解：11111()()(1)(2)1212(1)2f x x x x x x x ==--=-------，而 011nn x x ∞==-∑（1x <），01()212n n x x ∞==-∑（12x <，即2x <），所以1000111()(1)222nn n n n n n n f x x x x ∞∞∞+====-=-∑∑∑，1x <．2．将函数21()32f x x x =++展开成关于(4)x +的幂级数．解：11111()(1)(2)123(4)2(4)f x x x x x x x ==-=-++++-++-++ 111144321132x x =-⋅+++--．因 011n n x x ∞==-∑（11x -<<），故 011(4)4313nnn x x ∞==++-∑ （4113x +-<< 即 71x -<<-）， 011(4)4212n n n x x ∞==++-∑ （4112x +-<< 即 62x -<<-），从而001111()(4)(4)3322nn n n n n f x x x ∞∞===-+++∑∑11011()(4)23nn n n x ∞++==-+∑， 62x -<<-．【历年真题】一、选择题1．（2010年，1分）lim 0nn u →∞=是级数1n n u ∞=∑收敛的条件（）（A ）必要（B ）充分（C ）充分必要（D ）不确定解：根据收敛级数的性质，lim 0nn u →∞=是级数1n n u ∞=∑收敛的必要条件．选项（A ）正确．2．（2009年，1分）幂级数13(1)3n nnn x ∞=+-∑的收敛半径是（）（A ）6 （B ）32（C ）3 （D ）13解：原幂级数即为1333n n n x x ∞=⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑，由13x ≤及13x-≤可得，3x ≤，故级数的收敛半径为3，选项（C ）正确．3．（2008年，3分）数项级数21sin n an n∞=∑（a 为常数）是（）级数（A ）发散的（B ）条件收敛（C ）绝对收敛（D ）敛散性由a 确定解：因22sin a an n n ≤，而级数 21n a n∞=∑收敛，故原级数绝对收敛．选项（C ）正确．4．（2007年，3分）数项级数1(1)[1cos ]nn a n ∞=--∑（其中a 为常数）是（）（A ）发散的（B ）条件收敛（C ）收敛性根据a 确定（D ）绝对收敛解：级数1(1)[1cos ]nn a n ∞=--∑加绝对值后的级数为1(1cos )n an ∞=-∑，对于此正项级数，由于2222211cos 2limlim 112n n a a a n n n n →∞→∞-⋅==为常数，而级数211n n∞=∑收敛，故级数1(1cos )n an ∞=-∑也收敛，所以原级数绝对收敛．选项（D ）正确． 5．（2005年，3分）幂级数1(1)(1)nnn x n ∞=--∑的收敛区间是（）（A ）(0,2]（B ）(1,1]- （C ）[2,0]- （D ）(,)-∞+∞解：令111(1)(1)()1lim lim 11(1)()(1)n n n n n n n nx u x n x x u x n+++→∞→∞--+==-<-- 可得，02x <<，故级数的收敛区间为(0,2)．又当0x =时，原级数即为11n n∞=∑，发散；当2x =时，原级数即为11(1)nn n∞=-∑，收敛，故原级数的收敛域为(0,2]．选项（A ）正确．二、填空题1．（2010年，2分）幂级数1!nn x n ∞=∑的收敛区间为．解：因111(1)!limlim lim 011!n n n n na n a n n ρ+→∞→∞→∞+====+，故1R ρ==+∞，所以原幂级数的收敛区间为(,)-∞+∞．2．（2006年，2分）函数1()12f x x=+在1x =处展开的泰勒级数是．解：因01(1)1n n n x x ∞==-+∑，故1111()21232(1)31(1)3f x x x x ===⋅++-+- 10012(2)(1)[(1)](1)333n n n n n n n x x ∞∞+==-=--=-∑∑．其中，21(1)13x -<-<，即1522x -<<．3．（2006年，2分）幂级数11(1)(2)12nnnn x ∞=--+∑在0.6x =处的敛散性是．解：令 11111(1)(2)()112lim lim 211()2(1)(2)12n n n n n n n n n nx u x x u x x ++++→∞→∞--+==-<--+，可得04x <<，即收敛区间为(0,4)，故幂级数在0.6x =处是收敛的．说明：此题也可将0.6x =代入原幂级数，判定对应的常数项级数的敛散性．三、计算题1．（2009年，5分）求幂级数231(1)23nn x x x x n--+-+-+的收敛半径和收敛域．解：原级数即为11(1)n n n x n ∞-=-∑．因111(1)1limlim 11(1)nn n n n n a n a n ρ+→∞→∞--+===-，故收敛半径11R ρ==，收敛区间为(1,1)-．又当1x =-时，原级数即为11()n n ∞=-∑，发散；当1x=时，原级数即为111(1)n n n∞-=-∑，收敛．故原级数的收敛域为(1,1]-． 2．（2008年，7分）将函数1()3f x x=-展开成(2)x -的幂级数．解：因011nn x x ∞==-∑，故011()(2)31(2)n n f x x x x ∞====----∑．其中，121x -<-<，即13x <<．3．（2007年，7分）求幂级数1(1)n n n x ∞=-∑的收敛区间与和函数．解：令11()(1)(1)lim lim 11()(1)n n n n n nu x n x x u x n x ++→∞→∞+-==-<-，可得02x <<，故幂级数的收敛区间为(0,2)．21设 1()(1)n n s x n x ∞==-∑，则 111()(1)(1)(1)n n n n s x n x x n x ∞∞-===-=--∑∑ 101(1)(1)(1)(1)(1)n n n n x x x x x x x ∞∞==''-⎡⎤⎛⎫'⎡⎤=--=--=- ⎪⎣⎦⎢⎥-⎝⎭⎣⎦∑∑ 22(1)(1)1(1)x x x x x x---⋅--=-⋅=， 02x <<． 4．（2006年，4分）判定级数21(1)(1)nn n n ∞=-+∑的敛散性．解：此级数为交错级数，其中2(1)n n u n =+．由于3322123221(1)331(2)1(2)44(1)n n n u n n n n n n u n n n n nn +++++++===<++++，即1n n u u +<，且2lim lim 0(1)n n n n u n →∞→∞==+，故此交错级数符合莱布尼茨定理的条件，故该级数收敛．。

高数无穷级数知识点总结

高数无穷级数知识点总结一、引言无穷级数是数学中一个重要的概念，它在数学和其他学科的研究中有着广泛的应用。

在高等数学中，无穷级数是一个重要的知识点。

本文将从无穷级数的基本概念、收敛性与发散性、常见的收敛判别法和应用等方面，对高数无穷级数进行总结。

二、无穷级数的基本概念无穷级数是指由一个数列的项求和而得到的数值。

具体地说，对于一个实数数列{an}，其无穷级数可以表示为∑an。

其中，an表示数列的第n项，∑表示对数列的所有项进行求和。

三、收敛性与发散性1. 收敛性当无穷级数的部分和Sn在n趋于无穷大时存在有限极限L，即lim (n→∞) Sn = L时，称该无穷级数收敛，L称为该无穷级数的和。

2. 发散性当无穷级数的部分和Sn在n趋于无穷大时不存在有限极限，即lim (n→∞) Sn不存在或为无穷大时，称该无穷级数发散。

四、常见的收敛判别法1. 正项级数判别法对于无穷级数∑an，若该级数的每一项an都是非负数，并且该级数的部分和Sn有上界，则该级数收敛；若Sn没有上界，则该级数发散。

2. 比值判别法对于无穷级数∑an，若lim (n→∞) |an+1/an| = L，其中L为常数，若L<1，则该级数收敛；若L>1，则该级数发散；若L=1，则判别不出。

3. 根值判别法对于无穷级数∑an，若lim (n→∞) |an|^1/n = L，其中L为常数，若L<1，则该级数收敛；若L>1，则该级数发散；若L=1，则判别不出。

4. 整项判别法对于无穷级数∑an，若存在另一个级数∑bn，使得|an|≤bn，且∑bn 收敛，则∑an也收敛；若∑bn发散，则∑an也发散。

五、应用无穷级数在数学和其他学科中有广泛的应用，下面举几个例子进行说明。

1. 泰勒级数泰勒级数是一种用无穷级数表示函数的方法。

根据泰勒级数，我们可以将一个函数在某个点的邻域内展开为无穷级数的形式，从而可以近似计算函数的值。

2. 统计学中的无穷级数在统计学中，无穷级数经常用于描述随机变量的分布。

无穷级数总结

无穷级数总结无穷级数是数学中的重要概念，常出现在分析学、代数学、数论等领域。

它的形式为一列数相加的无穷和。

无穷级数的研究对于了解数学的发展历程和数学的基本思想方法具有重要意义。

本文将对无穷级数的定义、性质、收敛与发散的判定方法以及一些典型的无穷级数进行介绍和总结。

无穷级数的定义意味着\[S_n=a_1+a_2+...+a_n\]\[S=a_1+a_2+a_3+...\]其中，$S_n$表示级数的前n项和，S表示整个级数的和，$a_n$表示级数的第n项。

我们称一个无穷级数收敛或发散取决于它的部分和序列。

具体来说，如果存在一个有限的实数 S，使得对于任意给定的正数 $\varepsilon $，当 n 大于一些自然数 N 时，总有\[ ，S-S_n，< \varepsilon \]那么我们说该级数是收敛的，并把这个实数S叫做级数的和，记做\[ S=\sum_{n=1}^{+ \infty } a_n\]如果上述性质不成立，即对于任意给定的正数S，当n大于一些自然数N时，总存在\[ ，S-S_n， \geq \varepsilon \]那么我们说该级数是发散的。

在判断无穷级数是否收敛时，可以运用收敛的充分条件。

其中，比较判别法、比值判别法、根值判别法是最常用的方法之一1.比较判别法：如果存在一个收敛的级数 $\sum b_n$，使得对于所有的正整数 n，有 $，a_n， \leq b_n$，那么级数 $\sum a_n$ 收敛。

反之，如果级数$\sum a_n$ 发散，那么对于所有的正整数 n，必有 $，a_n， \geqb_n$ 对一些发散的正项级数 $\sum b_n$ 成立。

2.比值判别法：对于正项级数 $\sum a_n$，如果存在一个常数 L，使得当 n 大于一些正整数 N 时，总有 $\frac{a_{n+1}}{a_n} \leq L < 1$，那么级数$\sum a_n$ 收敛。

高数无穷级数总结

高数无穷级数总结高等数学中，无穷级数是一个重要的概念和工具。

无穷级数可以理解为由无限多个数相加得到的结果。

在无穷级数的研究中，主要考虑级数的收敛性、发散性以及求和的方法等问题。

在这篇文章中，我将总结无穷级数的定义、收敛性和发散性以及几种常见的求和方法。

首先，我们来回顾一下无穷级数的定义。

一个无穷级数可以表示为：S = a1 + a2 + a3 + ... + an + ...其中，a1、a2、a3等为数列中的元素，n为数列中的项数。

当n趋向无穷大时，无穷级数的求和结果就是S。

接下来，我们来探讨无穷级数的收敛性和发散性。

一个无穷级数可能是收敛的，也可能是发散的。

如果一个无穷级数的部分和逐渐趋于一个有限的数S，那么我们说这个无穷级数是收敛的，并且收敛于S。

如果一个无穷级数的部分和没有趋于一个有限的数，那么我们说这个无穷级数是发散的。

收敛的无穷级数是非常重要的，因为它们在实际应用中经常出现。

我们可以通过几种方法来判断一个无穷级数的收敛性。

其中，比较判别法、比值判别法和积分判别法是最常用的三种判别法。

比较判别法是通过将无穷级数与一个已知的收敛级数或发散级数进行比较来判断收敛性。

比值判别法是通过计算无穷级数的相邻项比值的极限来判断收敛性。

积分判别法是通过将无穷级数中的项与函数进行比较来判断收敛性。

除了收敛性判别外，我们还有几种常见的方法来求解收敛的无穷级数的和。

其中，部分和法、数学归纳法、特殊级数和特殊函数是常用的求和方法。

部分和法是通过计算无穷级数的前n 项和来逼近无穷级数的和。

数学归纳法是通过递归地将级数的前n项和与第n+1项进行比较来求和。

特殊级数是一类特殊形式的无穷级数，常见的有几何级数、调和级数和幂级数等。

特殊函数是一类与无穷级数有密切关系的函数，例如指数函数、对数函数和三角函数等。

在实际应用中，无穷级数有着广泛的应用。

例如，泰勒级数是一种常见的无穷级数，它可以将一个函数表示为无穷项多项式的形式，从而在计算和研究函数时提供了便利。

无穷极数知识点总结

无穷极数知识点总结1. 无穷级数的定义无穷级数是指由无穷多个项组成的级数，通常表示为a1 + a2 + a3 + ... + an + ...，其中每一项an是一个实数或复数。

无穷级数可以是收敛的，即其和是一个有限的值，也可以是发散的，即其和不存在或为无穷大。

2. 无穷级数的收敛无穷级数收敛的概念是指无穷级数的和在某个范围内趋于一个有限的值。

收敛的无穷级数在数学分析和实际应用中有着广泛的应用，例如在泰勒级数展开、微积分中的积分计算等方面。

无穷级数的收敛有多种判别法，如比较判别法、根值判别法、积分判别法等。

3. 无穷级数的发散无穷级数发散的概念是指无穷级数的和无法趋向于一个有限的值，而是趋向于无穷大或者根本无法定义。

无穷级数的发散也有多种判别法，例如奇偶项判别法、柯西收敛准则等。

4. 绝对收敛与条件收敛无穷级数的收敛有两种情况，一种是绝对收敛，即该级数每一项的绝对值级数收敛；另一种是条件收敛，即该级数每一项的绝对值级数发散，但级数本身却收敛。

绝对收敛级数在某种程度上更容易处理和计算，而条件收敛级数的性质相对更为复杂，也更有意思。

5. 级数收敛的充分条件对于实数级数来说，级数部分和序列的收敛性与级数本身的收敛性之间是十分紧密的，因此研究级数部分和序列的收敛性可以得到级数收敛的充分条件。

比如级数收敛的柯西准则、级数收敛的柯西——施瓦茨准则、莱布尼茨级数收敛准则等。

6. 无穷级数的运算无穷级数也可以进行加减乘除等运算，不过进行这些运算时需要满足一定的条件，比如级数收敛、级数部分和序列的收敛性等。

无穷级数的运算规则也有许多特殊的性质，如级数的收敛性与绝对收敛性的性质、级数的乘法运算性质、级数的幂级数展开等。

7. 级数收敛的应用无穷级数的研究在数学中有着广泛的应用，比如在分析学中的泰勒级数展开、微积分中的求和、微分方程的求解、数论中的级数和等方面都有不同程度的应用。

无穷级数也在物理学、工程学、经济学等应用领域中有着很多重要的应用。

无穷级数重要知识点总结

无穷级数重要知识点总结一、无穷级数的定义1.1 无穷级数的概念无穷级数是一种特殊的数列求和形式。

它由一个无穷数列的项之和构成，通常表示为a1 + a2 + a3 + ... + an + ...，其中a1, a2, a3, ...是数列的项。

无穷级数的和是用极限的概念来定义的，即当n趋向无穷时，无穷级数的前n项和趋于一个确定的数。

1.2 无穷级数的收敛和发散无穷级数有两种基本的收敛性质：收敛和发散。

当无穷级数的和存在时，我们称这个级数是收敛的；当无穷级数的和不存在时，我们称这个级数是发散的。

1.3 无穷级数的通项无穷级数的通项是指级数中每一项的公式表示。

通项的形式多种多样，可以是一个简单的代数式，也可以是一个复杂的函数表达式。

通项的形式对于判断无穷级数的收敛性有着重要的作用。

二、无穷级数的性质2.1 无穷级数的加法性质如果无穷级数a1 + a2 + a3 + ... + an + ...和无穷级数b1 + b2 + b3 + ... + bn + ...都存在，那么它们的和也存在，并且等于这两个级数的和的和。

即∑(ai + bi) = ∑ai + ∑bi。

2.2 无穷级数的乘法性质如果无穷级数a1 + a2 + a3 + ... + an + ...和无穷级数b1 + b2 + b3 + ... + bn + ...都存在，那么它们的乘积也存在，并且等于这两个级数的乘积的和。

即(∑ai) * (∑bi) = ∑(ai * bi)。

2.3 无穷级数的极限性质当n趋向无穷时，无穷级数的前n项和会趋于一个确定的数。

这个极限的存在性和确定性是无穷级数的一个重要性质。

2.4 无穷级数的收敛性质对于一个给定的无穷级数，我们需要研究它的收敛性质，即它是否收敛、以及收敛到哪个数。

无穷级数的收敛性质对于很多数学问题有着深远的影响。

2.5 无穷级数的发散性质发散是无穷级数的另一个重要性质，它表示无穷级数的和不存在。

(完整版)无穷级数总结

n1、概念与性质1. 定义：对数列5,氏丄,U n L ,U n 称为无穷级数，U n 称为一般项；若部分和n1数列｛S n ｝有极限S ，即lim S n S ，称级数收敛，否则称为发散• n2. 性质① 设常数 c 0 ，则 U n 与 cU n 有相同的敛散性；n1n1② 设有两个级数 U n 与v n，若 U n s ，v n，则(U n v n )s ；n1n1n1n1n1若 U n 收敛，v n 发散，则(U n v n ) 发散；n1n1n1若 U n ， v n 均发散，则(U n v n ) 敛散性不确定；n1n1n1③ 添加或去掉有限项不影响一个级数的敛散性；④ 设级数 U n 收敛，则对其各项任意加括号后所得新级数仍收敛于原级数的和．n1注：①一个级数加括号后所得新级数发散，则原级数发散；② 一个级数加括号后收敛，原级数敛散性不确定. ⑤ 级数 U n 收敛的必要条件： lim U n 0 ；n1n注：①级数收敛的必要条件，常用判别级数发散；③若 U n 发散，则 lim U n 0 未必成立． n1 n 二、常数项级数审敛法 1. 正项级数及其审敛法① 定义：若 U n 0 ，则 U n 称为正项级数 .n1② 审敛法：U n 收敛的充分必要条件是其部分和数列有界无穷级数总结②若 lim U n n0 ，则 U n 未必收敛；n1充要条件：正项级数(ii ) 比较审敛法：设U n①与V n②都是正项级数，且U n %(n 1,2丄),n 1 n 1则若②收敛则①收敛；若①发散则②发散•A.若②收敛，且存在自然数N，使得当n N时有U n kvjk 0)成立，则①收敛；若②发散，且存在自然数N，使得当n N时有U n kv n(k 0)成立，则①发散；B.设U n为正项级数，若有p 1使得u n2(n 1,2,L )，贝U U n收敛；若n 1 n n 11U n (n 1,2,L )，贝U U n 发散•n n 1C.极限形式：设U n①与V n②都是正项级数，若limb |(0 | )，则n 1 n 1 n V nU n与V n有相同的敛散性.n 1 n 1注：常用的比较级数：a 1 1 .①几何级数：ar n 1 1 r r 1•n 1发散r 1②p级数：［收敛P1时.n p发冃攵P1时，n r③调和级数：1111发散.n 1 n2n(iii)比值判别法(达郎贝尔判别法)设a n是正项级数，若n 1①lim r 1，则a n收敛；②lim r 1，则发散.n a n n 1 n a n n 1注：若lim 1，或lim a n1，推不出级数的敛散.例丄与厶，虽然n a n n n 1 n n 1 n lim 1，|im n a n1，但 -发散，而 & 收敛•n a n n■n 1 n n 1 n(iv)根值判别法(柯西判别法)设a n是正项级数，lim、, a n，若1，n 1 n级数收敛，若1则级数发散.(v)极限审敛法：设U n 0，且lim n P U n l，则①lim n p U n l 0且p 1，则级n n数U n发散；②如果p 1，而lim n p U n l(0 l ),则其收n 1 n敛.(书上P317-2- (1))注：凡涉及证明的命题，一般不用比值法与根值法，一般会使用比较判别法•正项级数的比(根)值判别法不能当作收敛与发散的充要条件，是充分非必要条件.2.交错级数及其审敛法①定义：设U n 0(n 1,2丄)，则(1)n 1U n称为交错级数•n 1②审敛法：莱布尼兹定理：对交错级数(1)n 1U n，若U n U n 1且lim U n0，‘n贝u ( 1)n u收敛•n 1注：比较U n与U n 1的大小的方法有三种：①比值法，即考察也1是否小于1；U n②差值法，即考察U n U n 1是否大于0；③由U n找出一个连续可导函数f(x)，使U n f(n) ,(n 1,2,)考察f (x)是否小于0.3.一般项级数的判别法：①若U n绝对收敛，则U n收敛.n 1 n 1②若用比值法或根值法判定|U n |发散，则U n必发散.n 1 n 1三、幕级数1.定义：a n x n称为幕级数.n 02.收敛性①阿贝尔定理：设幕级数a n X n在X0 0处收敛，则其在满足X I X0的所n 0xx 0有x 处绝对收敛.反之，若幕级数 a n x n 在X 1处发散，则其在满足x X i n 0 的所有X 处发散. ②收敛半径（i ）定义：若幕级数在X X o 点收敛，但不是在整个实轴上收敛，则必存在一个正数R ，使得①当X X o R 时，幕级数收敛；②当x X o R 时，幕级数发散；R称为幕级数的收敛半径•（ii ）求法：设幕级数 a n X n的收敛半径为R ，其系数满足条件limn 0n或n lim 器丙I ，则当0 1 时，R 1 ;当10时，R ，当I 时，R 0 .注：求收敛半径的方法却有很大的差异.前一个可直接用公式，后一个则须分奇、偶项（有时会出现更复杂的情况）分别来求.在分成奇偶项之后，由于通项中出现缺项，由此仍不能用求半径的公式直接求，须用求函数项级数收敛性的方法.（iii ）收敛半径的类型 A. R 0，此时收敛域仅为一点； B. R，此时收敛域为（C.R =某定常数，此时收敛域为一个有限区间. 3. 幕级数的运算（略） 4. 幕级数的性质a n 1a n①若幕级数的收敛半径R则和函数 S(x)a n X n 在收敛区间（R, R ）内连续.②若幕级数的收敛半径R 则和函数 S(x)a n X n 在收敛区间（R, R ）内可导,且可逐项求导，即S （x ）n \a n X )(a n Xna n X n 1，收敛半径不变.n 1③若幕级数的收敛半径R0，则和函数 S(x)na n X在收敛区间（R, R ）内可积,x且可逐项积分，即S （t ）dta n t n dt(x ( R, R))，收敛半径不nx / ，x ( n!出其假设和函数s(x)与其导数s(x)的关系)，从而得到新级数的和函数；注：系数为若干项代数和的幕级数，求和函数时应先将级数写成各个幕级数的代数和，然后分别求出它们的和函数，最后对和函数求代数和，即得所求级数的和函数. ②数项级数求和nU n U k .根据S n 的求法又可分为：直接法、拆项法、递推法.变.5.函数展开成幕级数①若f(x)在含有点X 0的某个区间I 内有任意阶导数, f (X0) 、2(X X o )2!f (n 1)()- --(X X 0)(n 1}(n 1)!(n 1)!I 内能展开成为泰勒级数的充要条件为为 f (x) f (X 0)f (X 0)(X X o )f(n 1)(-)(X X 0)(n 1)，记 R n (x)f (x)在X 。

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无穷级数内容小结
1.数项级数：∑∞=1n n u ，称∑==n
i k n u s 1为前n 项部分和。

若存在常数 s,使n n s s ∞
→=lim ，则称级数收敛，s 为该级数的和；否则级数发散。

2.数项级数性质：1)∑∞
=1n n Cu =C ∑∞=1n n u ；2)若级数∑∞=1n n u ，∑∞=1n n v 收敛于σ,s ，则级数∑∞
=±1n n n v u 收敛于
σ±s ；3）级数中去掉，增加或改变有限项，敛散性不变；4）收敛级数任意加括号所得的级数仍收敛，且其和不变。

5）若级数∑∞=1n n u 收敛，必有0lim =∞
→n n u
3．两个重要级数：1）几何级数：∑∞
=-11n n aq = +++++-12n aq aq aq a (0≠a ) 若,1<q 级数收敛，其和为
q
a -1，若,1≥q 级数发散。

2）p 级数：∑∞=11n p n = +++++p p p n 131211（p>0）若p>1,级数收敛；若1≤p ，级数发散；当p=1时，调和级数∑
∞=11n n 发散。

4．正项级数审敛法：对一切自然数n,都有0≥n u ，称级数∑∞
=1
n n u 为正项级数
方法：1）比较审敛法：设∑∞=1
n n u 和∑∞=1n n v 都是正项级数，且n n v u ≤（n=1,2,…）若级数∑∞
=1n n v 收敛，
则级数∑∞=1n n u 收敛；若级数∑∞=1n n u 发散，则∑∞
=1
n n v 发散。

2）比较审敛法的极限形式：若
l v u n n n =∞→lim )0(+∞<<l ，则∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v 同时收敛或同时发散。

3）比值审敛法：若ρ=+∞→n n n u u 1lim ，则若p<1,级数收敛；若1>p )lim (1∞=+∞→n
n n u u 包括，级数发散；当p=1时，级数可能收敛，也可能发散。

4根值审敛法：若ρ=∞
→n n n u lim ，则若p<1,级数收敛；若1>p )lim (∞=∞
→n n n u 包括，级数发散；当p=1时，级数可能收敛，也可能发散。

5.交错级数的莱布尼茨审敛法：设∑∞
=--11)1(n n n u 为交错级数，若1)对一切N 有n n u u ≤+1；2）
0lim =∞→n n u ，则级数∑∞
=--11)1(n n n u 收敛，且其和1u s ≤. 6.级数的绝对收敛和条件收敛：若∑∞=1n n u 收敛，则级数∑∞=1n n u 绝对收敛；若∑∞=1n n u 收敛，而∑∞=1
n n u 发
散，则级数∑∞
=1n n u 条件收敛。

7．幂级数n
n n x a ∑∞=0的收敛半径收敛区间：对任意一个幂级数n n n x a ∑∞
=0，都存在一个R,,0+∞≤≤R 使对一切R x <都有级数n n n x a ∑∞
=0绝对收敛，而当R x >时级数发散。

称R 为该幂级数
的收敛半径，（-R,R ）为收敛区间。

当幂级数只在x=0一点收敛时，R=0;当对一切x 幂级数都收敛时+∞=R
8.收敛半径、区间的求法：对幂级数n n n x a ∑∞
=0，若ρ=+∞→n n n a a 1lim
，则当ρ为非零正数时，ρ1=R ;当
0=ρ时，+∞=R ；当+∞=ρ时，R=0
9.幂级数的性质：1）（和函数连续性）设幂级数的收敛半径为R(+∞≤<R 0),其和函数s(x)在(-R,R)
内连续。

若它在x=R(或-R)处收敛，则s(x)在][)),,(R R R
R --（或上连续。

2）（逐项积分）⎰=x
dt t s 0)(dt t a n x n n )(00⎰∑∞==dt t a n
n x n ∑⎰∞=00=101
+∞
=∑+n n n x n a ，且前后收敛半径相同 3）逐项可导：)(x s '=)(0'∑∞=n n n x a =)(0'∑∞
=n
n n x a =10-∞=∑n n n x na ，且前后收敛半径相同 10.函数的幂级数展开式：f(x)在点0x x =附近有任意阶导数，称幂级数
)(0x f +))((00x x x f -'+200)(!
2)(x x x f -''++ n n x x n x f )(!)(00)(- + 为0)(x x f 在点处的泰勒级数，并称!
)(0)(n x f a n n =（ ,2,1,0=n ）为0)(x x f 在点处的泰勒系数，特别地，当00=x 时，称幂级数
)0(f +x f )0('+2!
2)0(x f ''++ n n x n f !)0()( + 为)(x f 的马克劳林级数，并称!
)0()(n f a n n =为)(x f 的马克劳林系数。

11.常用函数幂级数展开式：
x
e =∑∞
=0!n n n x =1+ ++2!
21x x ， ),(+∞-∞∈x ； x sin =120)!
12()1(+∞=∑+-n n n
x n = +-3!31x x ， ),(+∞-∞∈x x cos =∑∞=-02)!2()1(n n n
n x = +-2!211x ， ),(+∞-∞∈x )1ln(x +=∑∞
=--11)1(n n n n x = -+-323
2x x x ， 11≤<-x ； x -11=∑∞=0
n n x = +++21x x ，11<<-x x +11=∑∞=-0
)1(n n n x = -+-21x x ，11<<-x α
)1(x +=n n x n n ∑∞=+--0!)1()1(ααα =1+ +-+2!2)
1(x x ααα，11<<-x
12.求函数幂级数展开式的方法：
1）直接展开法求各阶导数，代入泰勒级数并检查泰勒余项)(0)(∞→→n x R n 的区间。

2）间接展开法利用函数与已知幂级数展开式的函数之间关系及其在收敛区间的性质求得。

13.傅里叶级数：设)(x f 是以π2为周期的周期函数，由公式
⎰-=πππnxdx x f a n cos )(1
（),2,1,0 =n ⎰-=π
ππnxdx x f b n sin )(1
（),2,1 =n 所确定的系数称为)(x f 的傅里叶系数，称由上述傅里叶系数确定的级数
)sin cos (21
0nx b nx a a n n n ++∑∞=为)(x f 的傅里叶级数。

14.傅里叶级数的收敛定理：设)(x f 是以π2为周期的周期函数，若满足
1）在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点；2）在一个周期内至多有有限个极值点，则)(x f 的傅里叶级数在),(+∞-∞收敛，且当)(x f x 是得连续点时，级数收敛于)(x f ；当)(x f x 是得间断点时，级数收敛于[])0()0(2
1++-x f x f 。

15.正弦级数：nx b n n sin 1∑∞= ，其中⎰=
π
π0sin )(1nxdx x f b n （),2,1 =n
余弦级数：nx a a n n cos 210∑∞=+，其中⎰=π
π0cos )(2nxdx x f a n （),2,1,0 =n。