级数知识点总结

第十二章 无穷级数
一、 常数项级数 1、 常数项级数：
1) 定义和概念：无穷级数： +++++=∑
∞
=n n n u u u u u 3211
部分和：n n
k k
n
u u u u u
S ++++==
∑= 3211
正项级数：∑∞
=1
n n u ，0≥n u
级数收敛：若S
S n n =∞
→lim 存在，则称级数
∑∞
=1
n
n u 收敛，否则称级数
∑∞
=1
n
n u 发散 2)
性质：
改变有限项不影响级数的收敛性；如级数收敛,各项同乘同一常数仍收敛
两个收敛级数的和差仍收敛
，级数
∑∞=1
n n a ，
∑∞
=1
n
n b 收敛，则
∑∞
=±1
)(n
n n b a 收敛；注：一敛、一散之和必发散；两散和、差必发散.
去掉、加上或改变级数有限项 不改变其收敛性级数
∑∞
=1
n
n a 收敛，则任意加括号后仍然收敛； 若级数收敛 则对这级数的任意项加括号后所成的级数仍收敛，其和不变，且加括号后所成的级数发散 则原来级数也发散 注：
收敛级数去括号后未必收敛.
必要条件：级数
∑∞
=1
n
n u 收敛⇒0lim =∞
→n n u .（注意：不是充分条件！唯一判断发散条件） 3) 审敛法：（条件：均为正项级数 表达式：
∑∞
=1
n
n u ，0≥n u ）S
S n n =∞
→lim 前n 项和存在极限则收敛；
∑∞
=1
n n
u
收敛⇔
{}n
S 有界；
比较审敛法：且),3,2,1( =≤n v u n n ，若∑∞
=1
n n v 收敛，则∑∞
=1
n n u 收敛；若∑∞
=1
n n u 发散，则∑∞
=1
n n v 发散.
比较法的极限形式：
)0( l lim
+∞<≤=∞→l v u n
n n ，而∑∞n v 收敛，则∑∞n u 收敛；若0lim >∞→n n n v u 或+∞=∞→n n n v u lim ，而∑∞n v 发散，则∑∞
n
u 发散. 比值法： l u u n
n n =+∞→1
lim
，当：1<l 时，级数∑=1
n n u 收敛；1>l 时，级数∑=1
n n u 发散；1=l 时，级数∑=1
n n u 可能收敛也可能发散.
2、 交错级数：
莱布尼茨审敛法：交错级数：
∑∞
=-1
)1(n n n u ，0≥n u 满足：),3,2,1( 1 =≤+n u u n n ，且0lim =∞
→n
n u ，则级数∑∞
=-1
)1(n n n u 收敛。

条件收敛：
∑
∞
=1
n n u 收敛，而
∑
∞
=1
n n u 发散；绝对收敛：
∑
∞
=1
n n u 收敛。

∑∞
=1
n n u 绝对收敛，则∑∞
=1
n n u 收敛。

其他级数：等比级数：
⎪⎩
⎪⎨⎧≥<∑∞
=1 发散，1 收敛， 0q q aq n n
； 调和级数：⎩⎨⎧≤>∑
∞=1p 发散，1 收敛， 11p n n p 二、 函数项级数（幂级数：
∑∞
=0
n
n n x a ） 1、ρ=+∞→n
n n a a 1
lim
，则收敛半径1,0;,0;0,.R R R ρρρρ=≠=+∞===+∞（缺项级数用比值审敛法求收敛半径）
2、
和函数)(x s 的性质：在收敛域I 上连续;在收敛域),(R R -内可导，且可逐项求导; 和函数)(x s 在收敛域I 上可积分，且可逐项
积分.( R 不变,收敛域可能变化).
泰勒级数：n n n x x n x f x f )(!)
()(000)(-=
∑∞
=
⇔0)(!
)1()
(lim )(lim 10)
1(=-+=++∞
→∞
→n n n n n x x n f
x R ξ3、。