曲线拟合与数据分析文稿演示
曲线拟合PPT演示文稿
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第四讲主要知识点
1、曲线拟合的概念 2、曲线拟和的方法 3、解矛盾方程组
2
函数插值问题回忆
• 设已知某个函数关系y f (x) 在某些离散点上的函数值：
x x0 x1 y y0 y1
x n 1 x n y n 1 y n
• 插值问题：根据这些已知数据来构造函数 y f (x)
合函数形式为 pm (x)a0a1xam xm (mn1) ， 求系数 a0*,a1*, ,am * ，使得
n
n
m
( a 0 ,a 1 , ,a m )[ y i p m ( x i) ] 2 [ y ia k x ik ] 2
p m * (x ) i 1 a 0 * a 1 * x a m * x i m 0
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拟合例题
例2 有一滑轮组，要举起W公斤的重物需要用 F公斤的力，实验所得的数据如下表。
求适合上述关系的近似公式。
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拟合例题
解 首先，将这些数据画在直角坐标系中，从图形上 看，数据点的分布大致呈一条直线，所以设所求
的拟合直线为 yabx ，
得关于a和b的线性方程组
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其他类拟合问题
最小二乘法并不只限于多项式，也可用于任 何具体给出的函数形式。特别重要的是有些非线 性最小二乘拟合问题通过适当的变换可以转化为 线性最小二乘问题求解。
确定a和b取何值时，二元函数
的值最小?
N
Q(a,b) [yi (abxi)]2 i1
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直线拟合
由微积分的知识可知，这一问题的求解， 可归结为求二元函数
Q (a, b) 的极值问题，即 a 和 b
应满足：
12
直线拟合
第9章 曲线拟合与数据分析
9.1曲线拟合
线性拟合
线性拟合是数据分析中最简单又很重要的分析方法。Origin 按以下方法把曲线拟合为直线：对X（自变量）和Y（因变量）， 线性回归方程为：Y=A+BX，参数A(截距)和B（斜率）由最小二 乘法求算。 线性拟合实例 1）导入数据，通过【File】→【Import】命令打开安装目 录中的D:\OriginLab\Origin8\Samples\Curve Fitting\ Linear Fit.dat文件。 2）选中A、B列数据，生成散点图。 3）通过【Analysis】→【Fitting】→【Fit Linear】命令 打开Linear Fit对话框。
Y A B1 X B2 X 2 Bn X n
理论上n值越大，拟合效果越好。但随着n的增大，拟合曲线 就会产生剧烈震荡，并且项数的增多，如何解释其物理意义也 是一个问题。 在实际实验数据分析处理中，多项式拟合一般不会超过4次
项。
9.1曲线拟合
多项式拟合
多项式拟合实例 1）导入数据，通过【File】→【Import】命令打开安装目 录中的D:\OriginLab\Origin8\Samples\Curve Fitting\ Polynomial Fit.dat文件。 2）选中A、B列数据，生成散点图。 3）通过【Analysis】→【Fitting】→【Fit Polynomial 】 命令打开Polynomial Fit对话框。其中的参数设置以及结 果输出可参考线性拟合，其内容基本相同。
9.1曲线拟合
非线性拟合
非线性拟合结果
NLFit对话框
9.1曲线拟合
非线性拟合
NLFit对话框设置 NLFit对话框主要由3部分 组成，分别是上部的一组参数 设置标签、中间的一组主要的
曲线拟合问题讲解
曲线拟合问题摘要本文首先对给定数据根据不同要求进行多次直线拟合，分别求得使所拟直线预期值的偏差平方和、绝对偏差总和和最大偏差最小的三类拟合直线，然后再求得二次曲线条件下满足三类要求的二次拟合曲线，最后运用其他曲线对给定数据进行拟合，得到吻合度最高的曲线。
针对问题一，构建线性回归方程，运用最小二乘法及lingo软件使得目标函数预期值的即拟合偏差平方和达到最小，从而得到拟合曲线^0.80310480.0123077iy x-=。
针对问题二，构建给定数据的线性回归方程，使得目标函数即预期值的绝对偏差综合最小，但由于绝对偏差较难处理，采用转化的思想将对绝对偏差的求解转化为对偏差平方和开方的求解，从而得到拟合曲线^0.650.575iy x=+。
针对问题三，构建给定数据的线性回归方程，运用lingo软件使得目标函数即预期值的最大偏差最小，从而得到拟合曲线^1.13 1.879iy x=-。
针对问题四，构建给定数据的二次方程，运用lingo软件分别求得三类不同条件下的最优拟合曲线，偏差平方和达到最小：^210.097030110.138534 1.425301i iy x x-=+，绝对偏差总和达到最小：^210.041481480.27111111i iy x x+=+，观测值与预测值最大偏差为最小：^210.025568180.76590910.6923295i iy x x-=+。
针对问题五，本文做出给定数据散点图，构建不同曲线类型进行拟合，得到2R即吻合度最高的曲线类型，运用Matlab软件求得该曲线类型的方程。
本文的特色在于利用图标直观表达拟合曲线，增强文章可靠性及真实性，并构建不同的曲线类型，得到吻合度最高的拟合曲线。
关键词：曲线拟合、线性回归、lingo1．问题的重述已知一个量y 依赖于另一个量x ，现收集有数据如下：（1）求拟合以上数据的直线a bx y +=。
目标为使y 的各个观察值同按直线关系所预期的值的偏差平方和为最小。
物理实验技术中的实验数据处理与曲线拟合方法
物理实验技术中的实验数据处理与曲线拟合方法实验数据处理和曲线拟合方法在物理实验中起着至关重要的作用。
通过对实验数据的处理和曲线拟合，我们可以更好地理解实验现象、验证理论模型以及得出精确的实验结果。
本文将探讨物理实验技术中的实验数据处理与曲线拟合方法。
在物理实验中，实验数据处理的第一步是数据整理和转化。
在实验过程中，我们通常会使用各种仪器和设备来测量和记录数据，如示波器、电压表、温度计等。
这些仪器所得到的数据通常需要进行数据清洗和整理，去除噪声和异常值，以提高数据的准确性和可靠性。
同时，为了方便后续的处理和分析，我们还需要对数据进行转化和标准化，如将温度数据转化为摄氏度、将时间数据转化为秒等。
一种常用的实验数据处理方法是统计分析。
统计分析可以帮助我们更好地理解数据的分布特征和规律性，并从中得到有意义的结论。
常见的统计分析方法包括均值、标准差、相关系数等。
通过这些统计指标，我们可以了解数据的集中趋势、离散程度以及变量之间的关系。
如果实验数据符合正态分布，我们还可以应用概率论和数理统计的方法，推导出更精确的物理模型或结论。
除了统计分析外，曲线拟合也是实验数据处理的一种重要方法。
曲线拟合是将已知的实验数据与已知的函数形式进行比较，并通过拟合求取最佳的拟合参数。
常见的曲线拟合方法包括最小二乘法、最大似然估计等。
在物理实验中，我们经常遇到需要将实验数据拟合为直线、二次曲线、指数曲线等情况。
通过曲线拟合，我们可以得到实验数据的数学表达式，进而对实验结果做出更深入的分析和解释。
实验数据处理和曲线拟合尤其在物理实验的结果分析中扮演重要角色。
通过对实验数据的处理和分析，我们可以验证理论模型的准确性，并从中得出实验结果的科学解释。
例如，在电学实验中，通过对电压和电流数据的处理和曲线拟合，我们可以推导出电阻的数值以及电路中其他元器件的特性。
在力学实验中，通过对质点运动轨迹数据的处理和曲线拟合，我们可以得到质点的加速度和力的大小等信息。
曲线拟合可视化-概述说明以及解释
曲线拟合可视化-概述说明以及解释1.引言概述部分的内容可以按照以下方式编写：1.1 概述曲线拟合可视化是一种利用数学方法对给定的一组数据点进行曲线拟合，并将拟合结果以可视化形式展示出来的技术。
通过曲线拟合可视化，我们可以更好地理解数据的趋势和关系，并将其用于预测、趋势分析和决策支持等领域。
曲线拟合可视化在许多领域都有着广泛的应用，例如经济学中的时间序列分析、物理学中的运动轨迹模拟、生物学中的基因表达曲线拟合等。
通过对曲线拟合结果的可视化，我们可以直观地观察到数据的走势和变化趋势，从而更好地理解数据所蕴含的信息。
在日常生活中，曲线拟合可视化也有着实际的应用价值。
例如，在股票市场中，通过对历史股价数据进行曲线拟合可视化，我们可以更好地判断股票价格的未来走势，从而做出适当的投资决策。
在天气预报中，通过对历史气温数据进行曲线拟合可视化，我们可以更好地理解气温的季节变化规律，从而提高天气预报的准确性。
曲线拟合可视化的方法有很多种，例如线性拟合、多项式拟合、曲线拟合等。
每种方法都有其优缺点和适用范围，因此在实际应用中需要根据具体情况选择合适的方法。
同时，随着计算机技术和数据可视化技术的不断发展，曲线拟合可视化也在不断改进和创新，为我们提供了更多的工具和方法来分析和展示数据。
本文将依次介绍曲线拟合的定义和背景、曲线拟合的应用领域、曲线拟合的常用方法，并对曲线拟合可视化的意义和前景进行讨论。
通过阅读本文，读者将对曲线拟合可视化有一个全面的了解，并能够在实际应用中灵活运用。
1.2 文章结构文章结构:本文将按照以下结构进行展开，以便读者能够清晰地了解曲线拟合可视化的相关内容。
首先，在引言部分，我们将对曲线拟合可视化进行概述，介绍其定义和背景，并明确文章的目的。
在正文部分，我们将深入探讨曲线拟合的定义和背景，包括其在实际应用中的重要性和广泛应用的领域。
我们也将介绍曲线拟合的常用方法，包括参数估计、曲线拟合模型的选择和评估等。
第五章曲线拟合PPT课件
华南师范大学数学科学学院 谢骊玲
曲线拟合的概念
在科学和工程试验中，经常产生一组数据 (x1,y1),…,(xN,yN),如果所有的数值 {xk}, {yk} 有多位有效数字精度，则能用多项式插值； 若数据的精度不高，或者有试验误差，则 只能使用多项式拟合。
问题：如何找到一个经过数据点附近（不总是穿过） 的最佳逼近表达式？
线性最小二乘法（续2）
矩阵形式：构造矩阵F
f1(x1)
f1(x2 )
F
f1(x3 )
f1(xN )
f2 (x1) f2 (x2 ) f2 (x3 )
f2 (xN )
fM (x1)
f
M
(
x2
)
f
M
(
x3
)
fM (xN )
f1(x1)
则
F'
f2(x1)
f1(x2) f2(x2)
f1(x3) f2(x3)
华南师范大学数学科学学院 谢骊玲
多项式拟合
使用函数集合{fj(x)=xj-1}, j=1,…, M+1作线性最小 二乘，则得到的拟合函数f(x)为M阶多项式 f(x)=c1+c2x+c3x2+…+cM+1xM
使用最小二乘多项式拟合非线性数据的方法简单有 效，但如果数据不具有多项式特性，则求出的曲线可 能产生大的振荡。这种现象称为多项式摆动，它在高 阶多项式情况下更容易发生。由于这个原因，一般很 少使用超过6阶的多项式，除非已知被拟合的曲线是 真实的多项式。
几何意义是：数据点到曲线的垂直距离平方和最小
华南师范大学数学科学学院 谢骊玲
最小二乘拟合直线
定理5.1 设{(xk, yk)}kN1有N个点，其中横坐标{xk}是
生化标准曲线拟合方式-定义说明解析
生化标准曲线拟合方式-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分的内容：生化标准曲线拟合方式是在生物化学实验中常用的数据处理方法之一。
生化标准曲线是通过在实验中测量一系列已知浓度的标准品样本，然后根据这些数据建立的一条浓度与响应信号之间的关系曲线。
通过对待测样本的响应信号进行测量，可以通过生化标准曲线来确定样本中的目标物质的浓度。
生化标准曲线的应用广泛，不仅可以用于生物医学领域的临床诊断和治疗，还可以用于农业、环境监测等领域。
在医学领域，生化标准曲线常用于测量血液中的各种生化指标，如血糖、肾功能指标、肝功能指标等，以辅助医生进行疾病的诊断和治疗。
在农业领域，生化标准曲线可用于测定植物中的营养元素含量，以评估土壤的肥力和植物的生长状况。
生化标准曲线的拟合方式对于曲线的精确度和可靠性非常重要。
常见的生化标准曲线拟合方式包括线性拟合、多项式拟合、对数拟合、指数拟合等。
不同的拟合方式适用于不同类型的曲线和实验数据，选择合适的拟合方式可以提高拟合效果和数据的准确性。
本文将对生化标准曲线拟合方式进行详细介绍和分析，并对各种拟合方式的优缺点进行总结和评估。
此外，还将对生化标准曲线拟合方式的未来发展进行展望，并提出相应的建议。
通过对生化标准曲线拟合方式的研究和应用，可以为生物化学实验提供更精确和可靠的数据处理方法，促进科学研究的进展和应用的推广。
1.2文章结构1.2 文章结构本文主要围绕生化标准曲线拟合方式展开，通过对生化标准曲线的定义、应用和拟合方式的重要性进行研究，旨在全面了解和分析生化标准曲线的拟合方法。
文章分为引言、正文和结论三个部分。
引言部分将对整篇文章进行概述，介绍生化标准曲线拟合方式的研究背景和现状。
通过概述，读者可以对生化标准曲线的定义、拟合方式和应用等有一个整体的认识。
同时，对本篇文章的结构和目的进行说明，为读者提供一个大致的研究框架。
正文部分将详细论述生化标准曲线的定义、应用和拟合方式的重要性。
《曲线拟合》PPT课件
Curve fitting
医学研究中X和Y的数量关系常常不是线性的，如毒 物剂量与动物死亡率，人的生长曲线，药物动力学等， 都不是线性的。如果用线性描述将丢失大量信息，甚至 得出错误结论。
此时可以用曲线直线化估计（Curve estimation） 或非线性回归(Nonlinear regression) 方法分析。
散点图辨析
预后指数Y
60 50 40 30 20 10
0 0
对数曲线 指数曲线
10 20 30 40 50 60 70 病人住院天数X
如果条件允许最好采用非线性回 归（Nonlinear Regression）拟合幂 函数曲线与指数函数曲线
注意绘制散点图，并结合专业知 识解释
采用SAS进行曲线拟合
①幂函数： Yˆ ea X b 或 ln(Yˆ) a bln(X )
②对数：
Yˆ a bln(X )
③指数函数： Yˆ eabX
或 ln(Yˆ) a bX
④多项式： Yˆ a b1X b2 X 2 bn X n
⑤logistic：
Yˆ
1/(1
eabX
)
或
ln[
Yˆ
/(1
Yˆ)]
-8.0196 -4.0604 0.0000 3.9012 7.6049 11.1860 -12.8898
Yˆ
7.23 12.62 15.77 18.01 19.75 21.16 22.36
23.40
残差平方
0.1380 0.1017 0.0053 0.0361 1.0921 0.0563 0.0566 0.1597
(lnX)2 Y2
2.5902 57.76 0.8396 151.29 0.2609 246.49 0.0498 331.24 0.0000 349.69 0.0332 457.96 0.1132 510.76 0.2209 566.44 4.1078 2671.63
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据与输出数据的关系，包括Auto （当源数据数据变化后，自动更 新）、Manual（手动更新）和 None。
Hale Waihona Puke 9.1曲线拟合Linear Fit对话框设置 2）Input Data 该项下面的选项用于设置输入数据区 域以及误差数据区域。 3）Fit Options Errors as Weight：误差权重。 Fix Intercept（at）：截距限制。 Fix Slope（at）：斜率限制。 Use Reduced Chi-Sqr：这个数据也 能显示误差。 Apparent Fit：使用log坐标对指数 衰减进行直线拟合。
9.1曲线拟合
线性拟合
线性拟合是数据分析中最简单又很重要的分析方法。Origin 按以下方法把曲线拟合为直线：对X（自变量）和Y（因变量）， 线性回归方程为：Y=A+BX，参数A(截距)和B（斜率）由最小 二乘法求算。
线性拟合实例 1）导入数据，通过【File】→【Import】命令打开安装目
录中的D:\OriginLab\Origin8\Samples\Curve Fitting\ Linear Fit.dat文件。
9.1曲线拟合
Linear Fit对话框设置 5）Quantities to Compute Fit Parameters：拟合参数项。 Fit Statistics：拟合统计项。 Fit Summary：拟合摘要项。 ANOVA：是否进行方差分析。 Covariance matrix：是否产生协方差Matrix。 Correlation matrix：是否显示相关性Matrix。
9.1曲线拟合
Linear Fit对话框设置 5）Residual Analysis 该项设置几种残差分析的类型。 6）Output Result 该项用来定制分析报表 Paste Result Tables to Graph：是
否在拟合的图形上显示结果表格。 Output Fitted Values To：报表输
曲线拟合与数据分析文稿演示
第9章 曲线拟合与数据分析
9.1曲线拟合 9.2数据管理与数学运算 9.3统计分析及其他应用
9.1曲线拟合
回归分析概述
所谓回归（regression）分析，就是一种处理变量与变量之 间相互关系的数理统计方法。用这种数学方法可以从大量观测 的散点数据中寻找到能反映事物内部的一些统计规律，并可以 按数学模型形式表达出来。
回归分析方法是处理变量之间相关关系的有效工具，它不仅 提供建立变量间关系的数学表达式——经验公式，而且可对其 进行拟合程度评价和显著性检验，从而检验经验公式的正确性。
回归（regression）分析也可以称为拟合（fitting），回归 是要找到一个有效的关系，拟合则要找到一个最佳的匹配方程， 两者虽然略有差异，但基本一个意思。
置置信度。
9.1曲线拟合
Linear Fit对话框设置 8）Find Specific X/Y 设置是否产生一个表格，显示在Y列或X列中寻找另一列对应的数 据。（输出位置在Output Result 中设置） 9）Residual Plots 用于输出各残差分析图。
9.1曲线拟合
线性拟合
关于分析报表 分析报表（Analysis Report Sheets）较之旧版本，是新版
9.1曲线拟合
回归分析的过程
1）确定变量。包括自变量和因变量。 2）确定数学模型。即自变量和因变量之间的关系。确定数学 模型要注意两点：一是能否通过数据变换找到尽可能的模块。 3）交由计算机软件进行反复逼近，必要时进行人为干预。 4）根据运算结果，特别是相关系数进行检验。 5）如果结果不满意，则重新修改模型参数再进行运算。
9.1曲线拟合
拟合结果分析报表 1）Notes： 记录用户、使用时间和拟合方程等信
息。 2）Input： 显示数据的来源。 3）Parameters： 显示斜率、截距和标准差。
9.1曲线拟合
拟合结果分析报表 4）Statistics 主要显示统计点个数，相关系数R-
Square。 5）Summary 摘要信息显示，整合了斜率、截距和相
关系数等主要信息。 6）ANOVA 显示方差分析的结果。
9.1曲线拟合
拟合结果分析报表 7）Fitted Curves Plot 显示拟合结果缩略图。 8）Residual vs. Independent Plot 实验值与估计值的残差图。显示其他图表可以再Residual Plots中设置。
本中的一个重要改进。新版本重新设计了全新的电子表格模块， 支持复杂的格式输出。另外在新版本中，新版本分析报表并不仅 仅是用来显示分析结果的“静态”报表，而更像一种分析模板， 也即是“动态”报表。
新分析报表的特点：按树形结构组织，可根据需要进行收缩 或展开；每个节点的输出内容可以是表格、图形、统计和说明； 报表以电子表格（Workbook）形式呈现，分析报表附带的数据 会生成新的电子表格。
作拟合曲线。 Update Legend on Original
Graph：更新原图上的图例。 X Data Type：设置X列数据类型。 Confidence Bands：显示置信区间。 Prediction Bands：显示预计区间。 Confidence Level for Curves：设
出位置。 Output Find Specific X/Y Tables：
输出时包含一表格。自动计算X对应 的Y值或Y对应的X值。 （后面Find specific X/Y选中才出现此项 ）
9.1曲线拟合
Linear Fit对话框设置 7）Fitted Curves Plot 设置拟合图形选项 Plot on Original Graph：在原图上
2）选中A、B列数据，生成散点图。 3）通过【Analysis】→【Fitting】→【Fit Linear】命令打 开Linear Fit对话框。
9.1曲线拟合
线性拟合
4）选择默认设置，单击OK按钮生成拟合曲线及分析报表。
拟合曲线
分析报表
9.1曲线拟合
线性拟合
Linear Fit对话框设置 拟合参数设置对话框中，包含