郑州市高中2018-2019学年上学期高三数学期末模拟试卷含答案
16．如果直线 3ax+y﹣1=0 与直线（1﹣2a）x+ay+1=0 平行．那么 a 等于 ．
17．命题“若 x 1 ，则 x2 4x 2 1”的否命题为
．
18．抛物线 y2=﹣8x 上到焦点距离等于 6 的点的坐标是 ．
三、解答题
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A．
B．
C．
D．
3． 在 ABC 中， tan AAsin2 B tan BAsin2 A ，那么 ABC 一定是（ ）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等腰三角形或直角三角形
4． 已知集合 A 1, 2,3, k, B 4, 7, a4, a2 3a ，且 a N *, x A, y B 使 B 中元素 y 3x 1 和 A 中的元素
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则 = ，即 =
，求得
x=3.3（米） 故树的高度为 3.3 米， 故答案为：3.3． 【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用．解题的关键是建立数学模型，把实际问题转化为数学问题． 16．【答案】 ．
【解析】解：∵直线 3ax+y﹣1=0 与直线（1﹣2a）x+ay+1=0 平行，
【解析】解：∵
，
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又∵cosC=
，
∴
= ，整理可得：b2=c2，
∴解得：b=c．即三角形一定为等腰三角形． 故选：A．
二、填空题
13．【答案】 ﹣1054 ．
【解析】解：∵2an，an+1 是方程 x2﹣3x+bn=0 的两根， ∴2an+an+1=3，2anan+1=bn， ∵a1=2，∴a2=﹣1，同理可得 a3=5，a4=﹣7，a5=17，a6=﹣31． 则 b5=2×17×（﹣31）=1054． 故答案为：﹣1054． 【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
题的一个难点，属于中档试题．
4． 【答案】D
【解析】
试题分析：分析题意可知：对应法则为
y
3x
1
，则应有
a4
a
2
33 3a
1 3k
1
（1）或
a4
a
2
3 3a
k 1 3
3
（2），
1
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由于
a
N
*
，所以（1）式无解，解（2）式得：
郑州市高中 2018-2019 学年上学期高三数学期末模拟试卷含答案
班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 如果 A．
是定义在 上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是（ ） B．
C．
D．
2． 已知函数 f（x）=x2﹣
，则函数 y=f（x）的大致图象是（ ）
cos A
cos B
sin B sin A sin Acos A sin B cos B ，即 sin 2A sin 2B ，所以 2A 2B 或 2A 2B ，即 A B cos A cos B
或 A B ，所以三角形为等腰三角形或直角三角形，故选 D． 2
考点：否命题.
18．【答案】 （﹣4，
） ．
【解析】解：∵抛物线方程为 y2=﹣8x，可得 2p=8， =2．
∴抛物线的焦点为 F（﹣2，0），准线为 x=2．
设抛物线上点 P（m，n）到焦点 F 的距离等于 6，
根据抛物线的定义，得点 P 到 F 的距离等于 P 到准线的距离，
即|PF|=﹣m+2=6，解得 m=﹣4，
【解析】【解析 1】
,
所以
【解析 2】
，
8． 【答案】A 【解析】解：∵命题 p：存在 x0＞0，使 2
＜1 为特称命题，
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∴￢p 为全称命题，即对任意 x＞0，都有 2x≥1． 故选：A 9． 【答案】B 【解析】解：∵A={﹣4，2a﹣1，a2}，B={a﹣5，1﹣a，9}，且 A∩B={9}， ∴2a﹣1=9 或 a2=9， 当 2a﹣1=9 时，a=5，A∩B={4，9}，不符合题意； 当 a2=9 时，a=±3，若 a=3，集合 B 违背互异性； ∴a=﹣3． 故选：B． 【点评】本题考查了交集及其运算，考查了集合中元素的特性，是基础题． 10．【答案】C． 【解析】解：∵2a=3b=m， ∴a=log2m，b=log3m， ∵a，ab，b 成等差数列， ∴2ab=a+b， ∵ab≠0，
∴n2=8m=32，可得 n=±4 ，
因此，点 P 的坐标为（﹣4，
）．
故答案为：（﹣4，
）．
【点评】本题给出抛物线的方程，求抛物线上到焦点的距离等于定长的点的坐标．着重考查了抛物线的定义与
标准方程等知识，属于基础题．
∴ + =2，
∴ =logm2， =logm3，
∴logm2+logm3=logm6=2， 解得 m= ． 故选 C 【点评】本题考查了指数与对数的运算的应用及等差数列的性质应用． 11．【答案】D
【解析】解：令 x=0，则函数 f（0）=a0+3=1+1=2． ∴函数 f（x）=ax+1 的图象必过定点（0，2）． 故选：D． 【点评】本题考查了指数函数的性质和 a0=1（a＞0 且 a≠1），属于基础题． 12．【答案】A
19．如图，已知 AC，BD 为圆 O 的任意两条直径，直线 AE，CF 是圆 O 所在平面的两条垂线，且线段 AE=CF= ，AC=2．
（Ⅰ）证明 AD⊥BE； （Ⅱ）求多面体 EF﹣ABCD 体积的最大值．
20．（本小题满分 12 分）
设 p ：实数满足不等式 3a 9 ，：函数 f x 1 x3 33 a x2 9x 无极值点.
∵当 x＞0 时，t=
= 在 x=e 时，t 有最小值为
∴函数 y=f（x）=x2﹣ ，当 x＞0 时满足 y=f（x）≥e2﹣ ＞0，
因此，当 x＞0 时，函数图象恒在 x 轴上方，排除 D 选项
故选 A 3． 【答案】D
【解析】
试题分析：在 ABC 中， tan AAsin2 B tan BAsin2 A ，化简得 sin A Asin2 B sin B Asin2 A ，解得
9． 已知 A={﹣4，2a﹣1，a2}，B={a﹣5，1﹣a，9}，且 A∩B={9}，则 a 的值是（
）
A．a=3
B．a=﹣3
C．a=±3
D．a=5 或 a=±3
10．已知 2a=3b=m，ab≠0 且 a，ab，b 成等差数列，则 m=（
）
A． B． C． D．6
11．函数 y=ax+1（a＞0 且 a≠1）图象恒过定点（
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7． 记
,那么
A
B
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C
D
8． 已知命题 p：存在 x0＞0，使 2 ＜1，则￢p 是（
）
A．对任意 x＞0，都有 2x≥1 B．对任意 x≤0，都有 2x＜1
C．存在 x0＞0，使 2 ≥1 D．存在 x0≤0，使 2 ＜1
考点：三角形形状的判定．
【方法点晴】本题主要考查了三角形形状的判定，其中解答中涉及到二倍角的正弦、余弦函数公式、以及同角
三角函数基本关系的运用，其中熟练掌握三角恒等变换的公式是解答的关键，着重考查了学生分析问题和解答
问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中得出 sin 2A sin 2B ，从而得到 A B 或 A B 是试 2
恒成立，求实数 k 的取值范围．
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24．已知椭圆 C： + =1（a＞b＞0）的左，右焦点分别为 F1，F2，该椭圆的离心率为 ，以原点为圆心 ，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线 y=x+ 相切． （Ⅰ）求椭圆 C 的方程； （Ⅱ）如图，若斜率为 k（k≠0）的直线 l 与 x 轴，椭圆 C 顺次交于 P，Q，R（P 点在椭圆左顶点的左侧）且 ∠RF1F2=∠PF1Q，求证：直线 l 过定点，并求出斜率 k 的取值范围．
）
A．（0，1）
B．（2，1）
C．（2，0）
D．（0，2）
12．在△ABC 中，
，则这个三角形一定是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角 D．等腰或直角三角形
二、填空题
13．已知数列{an}中，2an，an+1 是方程 x2﹣3x+bn=0 的两根，a1=2，则 b5= ．
3
2
（1）若“ p q ”为假命题，“ p q ”为真命题，求实数的取值范围；
（2）已知“
p
q
”为真命题，并记为，且：
a2
2m
1 2
a
m
m
1 2
0
，若是
t
的必要不充分
条件，求正整数 m 的值．
21．已知 f（x）=x2﹣（a+b）x+3a． （1）若不等式 f（x）≤0 的解集为[1，3]，求实数 a，b 的值； （2）若 b=3，求不等式 f（x）＞0 的解集．
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22．已知函数 f（x）=1+
（﹣2＜x≤2）．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
河南省2019届高三上学期期末考试数学(文)试题含详解
2019年4月2018~2019年度河南省高三年级期末考试数学（文科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若，则（）A. B. C. D.【答案】A【分析】由复数的运算，结合复数的概念即可求出结果.【详解】，，.故选A【点睛】本题考查复数的四则运算，考查运算求解能力.属于基础题型.2.表示集合中整数元素的个数，设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【分析】先求出，再结合题意即可求出结果.【详解】，，.故选C【点睛】本题考查集合的交集，考查运算求解能力与新定义的理解能力，属于基础题型. 3.已知点为双曲线：的左支上一点，，分别为左、右焦点，则（）A. B. C. D.【答案】B【分析】由双曲线的方程写求出，结合双曲线的定义即可求解.【详解】由，，得，则.故选B【点睛】本题考查双曲线的定义与基本性质，考查运算求解能力与双曲线定义的应用，属于基础题型.4.某市体育局将从甲、乙、丙、丁四人中选一人参加全省100米仰泳比赛，现将他们最近集训的10次成绩(单位：秒)的平均数与方差制成表格如下：根据表中的数据，应选哪位选手参加全省的比赛（ ） A. 甲 B. 乙C. 丙D. 丁【答案】D 【分析】选择平均成绩最好，方差最小的即可. 【详解】米仰泳比赛的成绩是时间越短越好的，方差越小发挥水平越稳定，故丁是最佳人选.故选D【点睛】本题考查统计，主要考查应用意识，属于基础题型. 5.三棱锥的侧棱两两垂直，为侧棱的中点，，分别为棱，上一点，平面，，若从三棱锥内部随机选取一点，则此点取自三棱锥内部的概率为（ ） A.B.C.D.【答案】C 【分析】由题意，将概率问题转化为求体积之比问题，即可由几何概型的概率计算公式求解. 【详解】因为平面，平面，平面平面，所以，所以，即所求概率为.故选C【点睛】本题考查线面平行的性质定理的应用及三棱锥体积的计算与几何概型，熟记公式即可求解，属于基础题型.6.将函数的图像上各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图像，则下列判断错误．．的是（）A. 曲线关于直线对称B. 曲线关于点对称C. 函数在上单调递增D. 函数在上单调递减【答案】D【分析】由三角函数的图像变换先得到，再根据余弦函数的性质即可判断出结果. 【详解】依题意可得，由,得故A正确；由得，即对称中心为，故B正确；由得，即函数的单调递增区间是故C正确，D错误.故选D【点睛】本题考查三角函数的图象及其性质，熟记余弦函数的图像和性质即可判断出结果，属于基础题型.7.函数的图像大致为（）A. B.C. D.【答案】B【分析】先由与关系判断出函数的奇偶性，再由特殊值法，研究几个函数值的正负，即可判断出结果.【详解】，为偶函数，排除C，又，，，从而排除A，D，故选B.【点睛】本题考查函数图像的识别与函数的奇偶性，根据函数的奇偶性和特殊值验证，即可得出结果，属于基础题型.8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】C【分析】先由三视图可得该几何体可由一个圆柱上、下两半部分分别截取一个圆柱而成，再由几何体的体积公式即可求解.【详解】由三视图可知该几何体可由一个圆柱上、下两半部分分别截取一个圆柱而得，其直观图如图所示，故其体积为.故选C【点睛】本题考查三视图与简单几何体的体积计算，由三视图还原几何体，熟记体积公式即可，属于基础题型.9.已知函数的导函数满足对恒成立，则下列判断一定正确的是（）A. B.C. D.【答案】A【分析】构造函数，求其导数，结合条件判断单调性，进而可求出结果.【详解】设，则，则在上单调递增，则，即.故选A【点睛】本题考查导数的应用，通常需要构造函数，利用导数的方法，研究其单调性，即可求解，属于常考题型.10.已知，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【分析】先由，，两式同时平方再求和，求出的关系式，代入，即可求出结果.【详解】由，，将两个等式两边平方相加，得，，，，即，代入，得，即.故选A【点睛】本题考查三角恒等变换，熟记公式，结合条件即可求解，考查运算求解能力，属于常考题型.11.已知函数，若对任意，任意，不等式恒成立，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【分析】先由函数解+析式求出，再由不等式恒成立，转为小于等于最小值的问题，结合题中条件，进而可求出结果.【详解】因为，所以，则不等式恒成立等价于.设，则，解得.故选D【点睛】本题考查函数与不等式的综合应用，函数与方程化归与转化的数学思想，是高中数学常用的解题思想，属于常考题型.12.已知直线与椭圆：相交于，两点，为坐标原点.当的面积取得最大值时，（）A. B. C. D.【答案】B【分析】先联立直线与椭圆方程，设出，两点坐标，结合韦达定理和弦长公式表示出和的面积，利用基本不等式即可求出结果.【详解】由，得.设，，则，，.又到直线的距离，则的面积，当且仅当，即，的面积取得最大值.此时，.故选B【点睛】本题考查直线与椭圆的综合，考查抽象概括能力与运算求解能力,常需要联立直线与椭圆方程，结合韦达定理以及弦长公式等求解，属于常考题型.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.在中，，，则__________．【答案】【分析】由，结合向量的线性运算，用，表示出，结合题中条件，即可求出结果.【详解】，，又，，，所以.故答案为【点睛】本题考查平面向量的线性运算，结合平面向量的基本定理，即可求出结果，属于基础题型.14.设，满足约束条件，则的最大值是__________．【答案】【分析】由约束条件作出其对应的可行域，再将目标函数化为，目标函数取最大值时，直线在轴上的截距最大，结合图像即可求出结果.【详解】由约束条件作出可行域如图：因为目标函数可化为，因此直线在轴上的截距最大时，目标函数取最大值，由图像易知，直线过点A时，截距最大，即此时目标函数最大，由解得A(2,4)，所以此时目标函数的最大值为.故答案为10【点睛】本题考查线性规划，需要先根据约束条件作出可行域，再由目标函数结合图像即可求解，属于基础题型.15.在中，，，且，则__________．【答案】【分析】先由同角三角函数基本关系，将转化为，再由正弦定理，将其化为，结合余弦定理可求出角，再由正弦定理即可求出结果.【详解】，，即.由正弦定理，得，所以，，，则.故答案为【点睛】本题考查解三角形，考查正弦、余弦定理的应用，需要考生灵活掌握正、余弦定理，属于常考题型.16.设为一个圆柱上底面的中心，为该圆柱下底面圆周上一点，这两个底面圆周上的每个点都在球的表面上.若两个底面的面积之和为，与底面所成角为，则球的表面积为____.【答案】【分析】设球的半径为，圆柱下底面半径为,为一个圆柱下底面的中心，根据圆柱的几何特征，可得，解出半径，则球的表面积可求．【详解】解：设球的半径为，圆柱上下底面半径为，为一个圆柱下底面的中心，由题意知得，与底面所成角为，在中,根据圆柱的几何特征，即 .故该球的表面积，故答案为：．【点睛】本题考查圆柱外接球的表面积，根据已知求出球的半径是解答该题的关键，是基础题三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在公差为的等差数列中，.（1）求的取值范围；（2）已知，试问：是否存在等差数列，使得数列的前项和为？若存在，求的通项公式；若不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）存在，通项公式为【分析】（1）由等差数列的性质，将代入，化简整理即可求出结果；（2）根据求出，再假设存在等差数列，结合题意求出，再由裂项相消法求出数列的前项和，即可求出结果.【详解】解:（1），，整理得，则，解得，则的取值范围为.（2），，即，则.假设存在等差数列，则，即，解得，从而.此时，，故存在等差数列，且，使得数列的前项和为.【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式与性质，以及裂项相消法求数列的和，熟记公式即可，属于常考题型.18.如图，在平面四边形中，，，，将其沿对角线折成三棱锥，使平面平面.（1）证明：平面；（2）求点到平面的距离.【答案】（1）详见解+析（2）【分析】（1）由线面垂直的判定定理即可证明平面；（2）由等体积法，结合，即可求出结果.【详解】（1）证明：在中，因为，所以，即，因为平面平面，平面平面，且，所以平面，因为平面，所以，又，所以平面.（2）解：设点到平面的距离为.由（1）可知，平面，所以，则，由（1）可知，平面，所以，则，，从而，因为，所以，即.【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理，以及求空间中点到平面的距离；要证线面垂直，只需熟记判定定理即可证明；等体积法求空间中点到平面的距离，是比较常用的一种方法；属于常考题型.19.某城市的公交公司为了方便市民出行，科学规划车辆投放，在一个人员密集流动地段增设一个起点站，为了研究车辆发车间隔时间与乘客等候人数之间的关系，经过调查得到如下数据：间隔时间（等候人数（人）调查小组先从这组数据中选取组数据求线性回归方程，再用剩下的组数据进行检验.检验方法如下：先用求得的线性回归方程计算间隔时间对应的等候人数，再求与实际等候人数的差，若差值的绝对值不超过，则称所求方程是“恰当回归方程”.（1）从这组数据中随机选取组数据后，求剩下的组数据的间隔时间不相邻的概率；（2）若选取的是后面组数据，求关于的线性回归方程，并判断此方程是否是“恰当回归方程”；（3）为了使等候的乘客不超过人，试用（2）中方程估计间隔时间最多可以设置为多少（精确到整数）分钟？附：对于一组数据，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，.【答案】（1）；（2），是“恰回归方程”；（3）18.【分析】（1）用列举法分别求出“从这组数据中随机选取组数据后，剩下组数据”以及“剩下的组数据相邻”所包含的基本事件数，进而求出“剩下的组数据相邻”的概率，再由对立事件的概率，即可求出结果；（2）由最小二乘法求出线性回归方程，将和代入验证即可；（3）由（2）的结果结合条件列出不等式，求解即可.【详解】解：（1）设“从这组数据中随机选取组数据后，剩下的组数据不相邻”为事件，记这六组数据分别为，，，，，，剩下的两组数据的基本事件有，，，，，，，，，，，，，，共种，其中相邻的有，，，，，共种，所以.（2）后面组数据是：间隔时间（等候人数（人）因为，，，，所以，所以.当时，，；当时，，，所以求出的线性回归方程是“恰回归方程”.（3）由，得，故间隔时间最多可设置为分钟.【点睛】本题主要考查古典概型和线性回归方程，需要考生熟记古典概型的概率计算公式，以及最小二乘法求线性回归方程的方法，属于常考题型.20.在直角坐标系中，曲线：与直线：交于，两点.（1）若的面积为，求；（2）轴上是否存在点，使得当变动时，总有？若存在，求以线段为直径的圆的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）存在，方程为（或）【分析】（1）联立直线与抛物线方程，设出，两点坐标，结合韦达定理，由弦长公式求出，由点到直线距离公式求出到的距离，再由即可求出结果；（2）等价于直线，倾斜角互补，所以只需求出使直线，斜率之和为的点坐标即可，进而可求出结果.【详解】解：（1）将代入，得，设，，则，，从而.因为到的距离为，所以的面积，解得.（2）存在符合题意的点，证明如下：设为符合题意的点，直线，的斜率分别为，.从而.当时，有，则直线的倾斜角与直线的倾斜角互补，故，所以点符合题意.故以线段为直径的圆的方程为（或）【点睛】本题主要考查直线与抛物线的综合应用，以及圆的方程，通常需要联立直线与抛物线方程，结合弦长公式和韦达定理等，即可求解；求圆的方程时，只需求出圆心和半径即可求出结果，属于常考题型.21.已知函数.（1）若，曲线在点处的切线经过点，求的最小值；（2）若只有一个零点，且，求的取值范围.【答案】（1）0（2）【分析】（1）先对函数求导，结合导数的几何意义即可求出结果；（2）用分类讨论的思想，分别讨论和和三种情况，利用导数的方法研究函数的极值，即可求出结果.【详解】解：（1），，则曲线在点处的切线方程为，令，得.设，，当，；当时，.故，即的最小值为.（2）（i）若，，当或时，；当时，.故的极小值为，因为，所以，又，则或.(ii)若，，，则为增函数，因为，所以只有一个零点，且，从而满足题意.(iii)若，，当或时，；当时，.故的极小值为，因为，，所以，又，则.综上，的取值范围为.【点睛】本题主要考查导数的几何意义，以及导数在函数中的应用，通常需要先对函数求导，利用导数的方法研究函数的单调性以及极值等，结合题中条件即可求解，属于常考题型.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为.（1）求的直角坐标方程，并求的半径；（2）当的半径最小时，曲线与交于，两点，点，求的面积. 【答案】（1）圆的直角坐标方程，半径为；（2）.【分析】（1）利用极坐标与直角坐标的互化，求出曲线C的直角坐标方程，可得的半径；（2）利用几何意义求得，由此得出结论．【详解】（1）由，得，即，此即为的直角坐标方程.的半径为.（2），当时，的半径最小，此时的方程为.因为曲线经过的圆心，且，所以，则，，故的面积为.【点睛】本题考查极坐标方程、直角坐标方程的转化，考查了圆的几何意义，属于中档题．23.设函数.（1）画出的图象；（2）若过点的直线与的图象恰有4个交点，求斜率的取值范围.【答案】（1）见解+析；（2）.【分析】（1）去掉绝对值，写成分段函数形式，作出函数的图象．（2）由（1）中的图象，直接数形结合得结果.【详解】（1），故的图象如下如所示.（2）当过点时，；当过点时，，故斜率的取值范围为.【点睛】本题考查了绝对值函数的应用及数形结合的思想方法的应用，属于中档题．。
郑州市第十六中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案
郑州市第十六中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1． 已知i z 311-=，i z +=32，其中i 是虚数单位，则21z z 的虚部为（ ） A ．1- B ．54 C ．i - D ．i 54 【命题意图】本题考查复数及共轭复数的概念，复数除法的运算法则，主要突出对知识的基础性考查，属于容易题.2． 已知命题p 和命题，若p q ∧为真命题，则下面结论正确的是（ ）A ．p ⌝是真命题B ．q ⌝是真命题C ．p q ∨是真命题D ．()()p q ⌝∨⌝是真命题3． 已知实数[1,1]x ∈-，[0,2]y ∈，则点(,)P x y 落在区域20210220x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪-+⎩……… 内的概率为（ ）A.34B.38C.14D.18【命题意图】本题考查线性规划、几何概型等基础知识，意在考查数形结合思想及基本运算能力.4． 12,e e 是平面内不共线的两向量，已知12AB e ke =-，123CD e e =-，若,,A B D 三点共线，则的值是（ ）A ．1B ．2C ．-1D ．-25． 圆心在直线2x ＋y ＝0上，且经过点（－1，－1）与（2，2）的圆，与x 轴交于M ，N 两点，则|MN |＝（ ） A ．4 2 B ．4 5 C ．2 2D ．2 56． 经过点()1,1M 且在两轴上截距相等的直线是（ ） A ．20x y +-= B ．10x y +-=C ．1x =或1y =D ．20x y +-=或0x y -=7． 为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法．．．．．．．．从该地区调查了500位老年人，结果如下：由2()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++算得22500(4027030160)9.96720030070430K ⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯ 附表：参照附表，则下列结论正确的是（ ）①有99%以上的把握认为“该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别无．关”； ②有99%以上的把握认为“该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有．关”； ③采用系统抽样方法比采用简单随机抽样方法更好； ④采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好； A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④8． 执行下面的程序框图，若输入2016x =-，则输出的结果为（ ）A ．2015B ．2016C ．2116D ．20489． “1ab >”是“10b a>>”（ ） 3.841 6.635 10.828k 2() 0.050 0.010 0.001P K k ≥A ．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 10．已知集合，则A0或 B0或3C1或则几何体的体积为（ ）34意在考查学生空间想象能力和计算能()2log f x x =的图象（ ）．向上平移1个单位 D ．向下平移1个单位分.把答案填写在横线上）上到顶点和准线距离相等的点的坐标为 ．1cos 2c B a b ⋅=+，ABC ∆的面积12S =，15．已知a 、b 、c 分别是ABC ∆三内角A B C 、、的对应的三边，若C a A c cos sin -=，则3s i n c o s ()4A B π-+的取值范围是___________． 【命题意图】本题考查正弦定理、三角函数的性质，意在考查三角变换能力、逻辑思维能力、运算求解能力、转化思想．16．对于函数(),,y f x x R =∈,“|()|y f x =的图象关于y 轴对称”是“()y f x =是奇函数”的 ▲ 条件． （填“充分不必要”， “必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”）三、解答题（本大共6小题，共70分。
河南省郑州市新密中学2018-2019学年高三数学文上学期期末试卷含解析
河南省郑州市新密中学2018-2019学年高三数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. （理）如图5—1，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若=，=，=．则下列向量中与相等的向量是（）A．－++B．++C．－+ D．－－+参考答案：A2. 有二种产品，合格率分别为0.90，0.95，各取一件进行检验，恰有一件不合格的概率为（）A．0.45 B．0.14 C．0.014 D．0.045参考答案：B略3. 已知函数f（x）=，若当方程f（x）=m有四个不等实根x1，x2，x3，x4（x1＜x2＜x3＜x4）时，不等式kx3x4+x12+x22≥k+11恒成立，则实数k的最小值为（）A．B．2﹣C．D．﹣参考答案：B【考点】函数的最值及其几何意义；函数恒成立问题；分段函数的应用．【分析】画出函数f（x）=的图象，结合对数函数的图象和性质，可得x1?x2=1，x1+x2＞=2，（4﹣x3）?（4﹣x4）=1，且x1+x2+x3+x4=8，则不等式kx3x4+x12+x22≥k+11恒成立，可化为：k≥恒成立，求出的最大值，可得k的范围，进而得到实数k的最小值．【解答】解：函数f（x）=的图象如下图所示：当方程f（x）=m有四个不等实根x1，x2，x3，x4（x1＜x2＜x3＜x4）时，|lnx1|=|lnx2|，即x1?x2=1，x1+x2＞=2，|ln（4﹣x3）|=|（4﹣x4）|，即（4﹣x3）?（4﹣x4）=1，且x1+x2+x3+x4=8，若不等式kx3x4+x12+x22≥k+11恒成立，则k≥恒成立，由=== [（x1+x2）﹣4+8]≤2﹣故k≥2﹣，故实数k的最小值为2﹣，故选：B4. 若随机变量X服从正态分布N（4，1），则P（x＞6）的值为（）（参考数据：若随机变量X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜x＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜x＜μ+2σ）=0.9544，P（μ﹣3σ＜x＜μ+3σ）=0.9974）A．0.1587 B．0.0228 C．0.0013 D．0.4972参考答案：B【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】根据变量符合正态分布，和所给的μ和σ的值，根据3σ原则，得到P（2＜X≤6）=0.9544，又P（X＞6）=P（X≤2）=0.6826，即可得到结果．【解答】解：∵随机变量X服从正态分布N（μ，σ2），P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544，P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826，μ=4，σ=1，∴P（2＜X≤6）=0.9544，又因为P（X＞6）=P（X≤2）=（1﹣0.9544）=0.0228，故选：B5. 函数的部分图象大致为（）A. B.C. D.参考答案：B【分析】先根据函数的奇偶性的定义得到f（x）为偶函数，再根据极限可得当x，即得解．【详解】函数的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），∵f（﹣x）==f（x），∴f（x）为偶函数，∴f（x）的图象关于y轴对称，∵，根据极限可得当x，故答案为：B【点睛】（1）本题主要考查函数的奇偶性和极限，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)对于类似给式找图的问题，一般先找差异，再验证.6. 抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线在第一象限内与C1交于点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则P=（）A. B. C. D.参考答案：C7. 函数的图像的一条对称轴是( )A．B．C．D．参考答案：B略8. 如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，，则复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限参考答案：【答案】B【解析】【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算．【分析】通过向量的表示求出向量对应的复数，利用复数的除法运算，求出复数对应的点的象限即可．【解答】解：由题意可知z1=﹣2﹣i，z2=i．∴===﹣1+2i，复数对应的点位于第二象限．故选B．【点评】本题考查复数的基本运算，复数与向量的对应关系，复数的几何意义．9. 下面的程序框图中，若输出的值为，则图中应填上的条件为（）A．B． C． D．参考答案：B10. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（）（A）（B）（C）8 （D）参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在中，则=________.参考答案：112. 三棱锥中，两两垂直且相等，点，分别是和上的动点，且满足，，则和所成角余弦值的取值范围是．参考答案：考点：空间向量的数量积计算公式及运用．【易错点晴】本题借助几何体的几何特征,将问题合理转化为:过点作的平行线,则的运动相当于点在图中的四边形内运动,显然最大;最小的问题.求解时巧妙地构建空间直角坐标系.得到,则,所以;由于,所以,最后求得和所成角余弦值的取值范围是,进而使得问题获解.13. 双曲线：的右焦点在直线：(原点为极点、轴正半轴为极轴)上，右顶点到直线的距离为，则双曲线的渐近线方程为．参考答案：14. 设均为正实数，且，则的最小值为．参考答案：16略15. 设且，若恒成立，则实数的取值范围是_________．参考答案：16. 已知向量，，且，则__________．参考答案：由题意可知：解得17. 已知函数，函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围是_______________.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。
2019年郑州市高三数学上期末一模试卷及答案
2019年郑州市高三数学上期末一模试卷及答案一、选择题1．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和.若2342S S S =+，12a =，则2a =（ ）A ．2B ．-4C ．2或-4D ．42．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2，n S ，3n a 成等差数列，则5S 的值是（ ） A ．243-B ．242-C ．162-D ．2433．设,x y 满足约束条件330280440x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩，则3z x y =+的最大值是（ ）A ．9B ．8C ．3D ．44．“干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称，把干支顺序相配正好六十为一周，周而复始，循环记录，这就是俗称的“干支表”甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、癸等十个符号叫天干，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥等十二个符号叫地支，如公元1984年农历为甲子年，公元1985年农历为乙丑年，公元1986年农历为丙寅年，则公元2047年农历为 A ．乙丑年 B ．丙寅年C ．丁卯年D ．戊辰年5．若直线()10,0x ya b a b+=>>过点(1,1)，则4a b +的最小值为（ ） A ．6B ．8C ．9D ．106．数列{}n a 中，对于任意,m n N *∈，恒有m n m n a a a +=+，若118a =，则7a 等于( ) A ．712B ．714C ．74D ．787．数列{}n a 为等比数列，若11a =，748a a =，数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则5(S =)A ．3116B ．158C ．7D ．318．已知集合2A {t |t 40}=-≤，对于满足集合A 的所有实数t ，使不等式2x tx t 2x 1+->-恒成立的x 的取值范围为( )A ．()(),13,∞∞-⋃+B ．()(),13,∞∞--⋃+C ．(),1∞--D ．()3,∞+9．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若∠C=120°，c=a ，则A ．a ＞bB ．a ＜bC ．a ＝bD ．a 与b 的大小关系不能确定10．已知数列{a n }满足331log 1log ()n n a a n N +++=∈且2469a a a ++=，则15793log ()a a a ++的值是( )A ．－5B ．－15C ．5D ．1511．已知变量x , y 满足约束条件13230x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪--≤⎩，则2z x y =+的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．612．变量,x y 满足条件1011x y y x -+≤⎧⎪≤⎨⎪>-⎩，则22(2)x y -+的最小值为（ ） A．2BC ．5D ．92二、填空题13．已知,x y 满足约束条件420y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最大值为__________．14．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边为,,a b c ，若23sin c ab C =，则当b aa b+取最大值时，cos C =__________；15．已知数列{}n a 满足：11a =，{}112,,,n n n a a a a a +-∈⋅⋅⋅()*n ∈N ，记数列{}n a 的前n项和为n S ，若对所有满足条件的{}n a ，10S 的最大值为M 、最小值为m ，则M m +=______.16．在等差数列{}n a 中，12a =，3510a a +=，则7a = ．17．已知锐角三角形的边长分别为1，3，a ，则a 的取值范围是__________．18．已知数列{}n a 满足51()1,62,6n n a n n a a n -⎧-+<⎪=⎨⎪≥⎩，若对任意*n N ∈都有1n n a a +>，则实数a 的取值范围是_________.19．设122012(1)(1)(1)n nn x x x a a x a x a x ++++++=++++L L ，其中n *∈N ，且2n ≥，若0121022n a a a a ++++=L ，则n =_____20．如果一个数列由有限个连续的正整数组成（数列的项数大于2），且所有项之和为N ，那么称该数列为N 型标准数列，例如，数列2，3，4，5，6为20型标准数列，则2668型标准数列的个数为______．三、解答题21．等差数列{}n a 中，71994,2a a a ==.(1)求{}n a的通项公式；(2)设1nnbna=，求数列{}nb的前n项和n S.22．已知实数x、y满足603x yx yx-+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，若z ax y=+的最大值为39a+，最小值为33a-，求实数a的取值范围.23．已知函数221()cos sin,(0,)2f x x x x p=-+?．（1）求()f x的单调递增区间；（2）设ABCV为锐角三角形，角A所对边19a=，角B所对边5b=，若()0f A=，求ABCV的面积．24．设数列{}n a的前n项和为n S.已知233=+nnS.（Ⅰ）求{}n a的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b满足3logn n na b a=，求{}n b的前n项和n T.25．已知0a>，0b>，且1a b+=.（1）若ab m≤恒成立，求m的取值范围；（2）)若41212x xa b+≥--+恒成立，求x的取值范围.26．已知函数()2sin(2)(||)2f x xπϕϕ=+<部分图象如图所示.（1）求ϕ值及图中0x的值；（2）在ABC∆中，角,,A B C的对边分别为,,a b c，已知7,()2,c f C==-sin B=2sin A，求a的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B 【解析】 【分析】利用等比数列的前n 项和公式求出公比，由此能求出结果． 【详解】∵n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，2342S S S =+，12a =，∴()()()34212122211q q q qq--+=+--，解得2q =-，∴214a a q ==-，故选B ． 【点睛】本题主要考查等比数列的性质以及其的前n 项和等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】因为2,,3n n S a 成等差数列，所以223n n S a =+，当1n =时，111223,2S a a =+∴=-；当2n ≥时，1113333112222n n n n n n n a S S a a a a ---=-=+--=-，即11322n n a a -=，即()132nn a n a -=≥，∴数列{}n a 是首项12a =-，公比3q =的等比数列，()()55151213242113a q S q---∴===---，故选B.3．A解析：A 【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标还是在点()3,2C 处取得最大值，其最大值为max 33329z x y =+=+⨯=.本题选择A 选项.4．C解析：C 【解析】记公元1984年为第一年，公元2047年为第64年，即天干循环了十次，第四个为“丁”，地支循环了五次，第四个为“卯”,所以公元2047年农历为丁卯年. 故选C.5．C解析：C 【解析】 【详解】 因为直线()10,0x ya b a b+=>>过点()1,1,所以11+1a b = ,因此1144(4)(+)5+59b a b aa b a b a b a b+=+≥+⋅= ,当且仅当23b a ==时取等号,所以选C.点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.6．D解析：D 【解析】因为11,8m n m n a a a a +=+=,所以2112,4a a == 42122a a ==,3123,8a a a =+= 73478a a a =+=.选D.7．A解析：A 【解析】 【分析】先求等比数列通项公式，再根据等比数列求和公式求结果. 【详解】Q 数列{}n a 为等比数列，11a =，748a a =，638q q ∴=，解得2q =， 1112n n n a a q --∴==， Q 数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ， 55111111131211248161612S ⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭∴=++++==-．故选A ． 【点睛】本题考查等比数列通项公式与求和公式，考查基本分析求解能力，属基础题.8．B解析：B 【解析】 【分析】由条件求出t 的范围，不等式221x tx t x +->-变形为2210x tx t x +--+>恒成立，即不等式()()110x t x +-->恒成立，再由不等式的左边两个因式同为正或同为负处理． 【详解】由240t -≤得，22t -≤≤，113t ∴-≤-≤不等式221x tx t x +->-恒成立，即不等式2210x tx t x +--+>恒成立，即不等式()()110x t x +-->恒成立，∴只需{1010x t x +->->或{1010x t x +-<-<恒成立， ∴只需{11x tx >->或{11x tx <-<恒成立，113t -≤-≤Q只需3x >或1x <-即可． 故选：B ． 【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法问题，难度较大，充分利用恒成立的思想解题是关键．9．A解析：A 【解析】 【分析】由余弦定理可知c 2＝a 2+b 2﹣2ab cos C ，进而求得a ﹣b 的表达式，根据表达式与0的大小，即可判断出a 与b 的大小关系． 【详解】解：∵∠C ＝120°，ca ，∴由余弦定理可知c 2＝a 2+b 2﹣2ab cos C ，（）2＝a 2+b 2+ab ．∴a 2﹣b 2＝ab ，a ﹣b ，∵a ＞0，b ＞0， ∴a ﹣b ，∴a ＞b 故选A ． 【点睛】本题考查余弦定理，特殊角的三角函数值，不等式的性质，比较法，属中档题．10．A解析：A 【解析】试题分析：331313log 1log log log 1n n n n a a a a +++=∴-=Q 即13log 1n n a a +=13n naa +∴= ∴数列{}n a 是公比为3的等比数列335579246()393a a a q a a a ∴++=++=⨯=15793log ()5a a a ∴++=-．考点：1．等比数列的定义及基本量的计算；2．对数的运算性质．11．A解析：A 【解析】 【分析】画出可行域，平移基准直线20x y +=到可行域边界的点()1,1C -处，由此求得z 的最小值. 【详解】画出可行域如下图所示，平移基准直线20x y +=到可行域边界的点()1,1C -处，此时z 取得最小值为()2111⨯+-=. 故选：A.【点睛】本小题主要考查线性规划问题，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题. 12．C解析：C【解析】由约束条件画出可行域，如下图，可知当过A(0,1)点时，目标函数取最小值5，选C.二、填空题13．10【解析】【分析】画出不等式组表示的可行域由得平移直线根据的几何意义求出最优解进而得到所求的最大值【详解】画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示由得平移直线结合图形可得当直线经过可行域内的点A 时解析：10 【解析】 【分析】画出不等式组表示的可行域，由2z x y =+得2y x z =-+，平移直线2y x z =-+，根据z 的几何意义求出最优解，进而得到所求的最大值．【详解】画出不等式组表示的可行域，如图阴影部分所示．由2z x y =+得2y x z =-+．平移直线2y x z =-+，结合图形可得，当直线经过可行域内的点A 时，直线在y 轴上的截距最大，此时z 取得最大值． 由402x y y +-=⎧⎨=-⎩，解得62x y =⎧⎨=-⎩，故点A 的坐标为(6,2)-， 所以max 26210z =⨯-=． 故答案为10． 【点睛】用线性规划求目标函数的最值体现了数形结合在数学中的应用，解题时要先判断出目标函数中z 的几何意义，然后再结合图形求解，常见的类型有截距型、斜率型和距离型三种，其中解题的关键是正确画出不等式组表示的可行域．14．【解析】【分析】由余弦定理得结合条件将式子通分化简得再由辅助角公式得出当时取得最大值从而求出结果【详解】在中由余弦定理可得所以其中当取得最大值时∴故答案为：【点睛】本题考查解三角形及三角函数辅助角公 解析：21313【解析】 【分析】由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-，结合条件23sin c ab C =，将式子b aa b+通分化简得3sin 2cos C C +，再由辅助角公式得出b aa b +()13sin C ϕ=+，当2C πϕ+=时，b aa b +取得最大值，从而求出结果. 【详解】在ABC ∆中由余弦定理可得2222cos c a b ab C =+-，所以2222cos 3sin 2cos 3sin 2cos b a a b c ab C ab C ab C C C a b ab ab ab++++====+()13sin C ϕ=+，其中213sin ϕ=，313cos ϕ=，当b a a b +2C πϕ+=，∴cos cos sin 213C πϕϕ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查解三角形及三角函数辅助角公式，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题. 15．1078【解析】【分析】根据数列的递推关系求出数列的前四项的最大最小值得出何时和最大何时和最小进而求得结论【详解】解：因为数列{an}满足：即解得；或或；或所以最小为4最大为8；所以数列的最大值为时解析：1078【解析】【分析】根据数列的递推关系，求出数列的前四项的最大，最小值，得出何时和最大，何时和最小，进而求得结论．【详解】解：因为数列{a n }满足：11a =，{}112,,,n n n a a a a a +-∈⋅⋅⋅()*n ∈N ， {}211a a a ∴-∈即211a a a -=解得22a =；{}3212,a a a a ∴-∈321a a ∴-=或322a a -=33a ∴=或34a =；{}43123,,a a a a a ∴-∈431a a ∴-=或432a a -=，433a a -=，434a a -=所以4a 最小为4，4a 最大为8；所以，数列10S 的最大值为M 时，是首项为1，公比为2的等比数列的前10项和：()10112102312M ⨯-==-； 10S 取最小值m 时，是首项为1，公差为1的等差数列的前10项和：()101011011552m ⨯-=⨯+⨯=； ∴1078M m +=．故答案为：1078．【点睛】本题考查了数列的递推关系式，等比数列以及等差数列的通项公式与前n 项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．本题的关键在于观察出数列的规律．16．8【解析】【分析】【详解】设等差数列的公差为则所以故答案为8解析：8【解析】【分析】【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则351712610a a a a a d +=+=+=，所以71101028a a =-=-=，故答案为8.17．【解析】由三角形中三边关系及余弦定理可得应满足解得∴实数的取值范围是答案：点睛：根据三角形的形状判断边满足的条件时需要综合考虑边的限制条件在本题中要注意锐角三角形这一条件的运用必须要考虑到三个内角的解析：a <<【解析】由三角形中三边关系及余弦定理可得a 应满足22222222224130130310a a a a <<⎧⎪+->⎪⎨+->⎪⎪+->⎩，解得a << ∴实数a的取值范围是．答案：点睛：根据三角形的形状判断边满足的条件时，需要综合考虑边的限制条件，在本题中要注意锐角三角形这一条件的运用，必须要考虑到三个内角的余弦值都要大于零，并由此得到不等式，进一步得到边所要满足的范围．18．【解析】【分析】由题若对于任意的都有可得解出即可得出【详解】∵若对任意都有∴∴解得故答案为【点睛】本题考查了数列与函数的单调性不等式的解法考查了推理能力与计算能力属于中档题 解析：17,212⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】由题若对于任意的*n N ∈都有1n n a a +>，可得5610012a a a a -＜，＞，＜＜． 解出即可得出．【详解】 ∵511,62,6n n a n n a a n -⎧⎛⎫-+<⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪≥⎩，若对任意*n N ∈都有1n n a a +>，∴5610012a a a a -＜，＞，＜＜．． ∴11 0()510122a a a a --⨯+＜，＞，＜＜ ， 解得17 212a ＜＜． 故答案为17,212⎛⎫⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查了数列与函数的单调性、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 19．9【解析】【分析】记函数利用等比数列求和公式即可求解【详解】由题：记函数即故答案为：9【点睛】此题考查多项式系数之和问题常用赋值法整体代入求解体现出转化与化归思想解析：9【解析】【分析】记函数122012()(1)(1)(1)n n n f x x x x a a x a x a x =++++++=++++L L ，012222(1)2n n f a a a a =+++=++++L L ，利用等比数列求和公式即可求解.【详解】由题：记函数212012()(1)(1)(1)n n n f x a a x a x a x x x x =++++=++++++L L ，021222(12)(21)212n nn f a a a a -=++++++=-=+L L ， 即1221022n +-=，121024,9n n +==故答案为：9【点睛】 此题考查多项式系数之和问题，常用赋值法整体代入求解，体现出转化与化归思想. 20．6【解析】【分析】由题意公差d=1na1+=2668∴n （2a1+n-1）=5336=23×23×29得出满足题意的组数即可得出结论【详解】由题意公差d=1na1+=2668∴n （2a1+n-1）=解析：6【解析】【分析】由题意，公差d=1，na 1+()12n n -=2668，∴n （2a 1+n-1）=5336=23×23×29，得出满足题意的组数，即可得出结论．【详解】由题意，公差d=1，na 1+()12n n -=2668，∴n （2a 1+n-1）=5336=23×23×29， ∵n ＜2a 1+n-1，且二者一奇一偶，∴（n ，2a 1+n-1）=（8，667），（23，232），（29，184）共三组；同理d=-1时，也有三组．综上所述，共6组．故答案为6．【点睛】本题考查组合知识的运用，考查等差数列的求和公式，属于中档题．三、解答题21．（1）12n n a +=（2）2222222()()()122311n n S n n n =-+-++-=++L 【解析】【分析】【详解】(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d.因为71994{2a a a ＝，＝，所以11164{1828a d a d a d +++＝，＝（）. 解得a 1＝1，d ＝12.所以{a n }的通项公式为a n ＝12n +. (2)b n ＝1n na ＝22211n n n n -++＝（）， 所以S n ＝2222222()122311n n n n ⎛⎫⎛⎫++⋯+ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭－－－＝＋ 22．[]1,1-【解析】【分析】作出不等式组所表示的可行域，利用题中条件找出目标函数z ax y =+取得最大值和最小值的最优解，根据题意将直线z ax y =+与可行域边界线的斜率进行大小比较，可得出实数a 的取值范围.【详解】作出不等式组6003x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩所表示的可行域如下图所示：由z ax y =+得y ax z =-+，Q 目标函数z ax y =+的最大值为39a +，最小值为33a -.∴当直线y ax z =-+经过点()3,9B 时，该直线在y 轴上的截距最大，当直线y ax z =-+经过点()3,3A -时，该直线在y 轴上的截距最小，结合图形可知，直线y ax z =-+的斜率不小于直线0x y +=的斜率，不大于直线60x y -+=的斜率，即11a -≤-≤，解得11a -≤≤，因此，实数a 的取值范围是[]1,1-.【点睛】本题考查线性目标函数最大值和最小值的最优解问题，对于这类问题，一般要利用数形结合思想，利用目标函数对应直线在坐标轴上的截距最值得出目标函数所在直线的斜率与可行域边界直线的斜率的大小关系来求解，考查数形结合思想，属于中等题.23．（1）,2p p 轹÷ê÷÷êøë；（2）1534【解析】【分析】（1）利用降次公式化简()f x ，然后利用三角函数单调区间的求法，求得()f x 的单调递增区间.（2）由()0f A =求得A ，用余弦定理求得c ，由此求得三角形ABC 的面积.【详解】（1）依题意()()2211()cos sin cos 20,π22f x x x x x =-+=+?，由2ππ22πk x k -≤≤得πππ2k x k -≤≤，令1k =得ππ2x ≤≤.所以()f x 的单调递增区间,2p p 轹÷ê÷÷êøë. （2）由于a b <，所以A 为锐角，即π0,02π2A A <<<<.由()0f A =，得11cos 20,cos 222A A +==-，所以2ππ2,33A A ==. 由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-⋅，2560c c -+=，解得2c =或3c =.当2c =时，222cos 0238a cb B ac +-==-<，则B 为钝角，与已知三角形ABC 为锐角三角形矛盾.所以3c =.所以三角形ABC 的面积为11sin 532224bc A =⨯⨯⨯=. 【点睛】本小题主要考查二倍角公式，考查三角函数单调性的求法，考查余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，属于基础题. 24．（Ⅰ）13,1,{3,1,n n n a n -==>; （Ⅱ）13631243n nn T +=-⨯. 【解析】【分析】（Ⅰ）利用数列前n 项和n S 与通项n a 的关系求解；（Ⅱ）结合第（Ⅰ）问的结果，利用关系式3log n n n a b a =求出数列{}n b 的通项公式，并结合其通项的结构特征，采用错位相减法求其前n 项和n T .【详解】（Ⅰ）因为233=+n n S ，所以，1233a =+，故13,a =当1n >时，11233,n n S --=+此时，1122233,n n n n n a S S --=-=-即13,n n a -=所以，13,1,{3,1,n n n a n -==> （Ⅱ）因为3log n n n a b a =，所以113b =， 当1n >时，()11133log 313n n n n b n ---==-⋅ 所以1113T b ==， 当1n >时， ()()12112311323133n n n T b b b b n ---=++++=+⨯+⨯++-L ， 所以()01231132313n n T n --⎡⎤=+⨯+⨯++-⎣⎦L ，两式相减，得()()01212233+3133n n n T n ---=+++--⋅L ()11121313313n n n ----=+--⋅-1363623n n +=-⨯ 所以13631243n nn T +=-⨯， 经检验，1n =时也适合， 综上可得：13631243n n n T +=-⨯. 【点睛】本题考查数列前n 项和n S 与通项n a 的关系，特殊数列的求和问题，关键在于运用错位相减法进行数列求和，注意考虑1n =的情况，属于中档题.25．（1）14m ≥（2）[]6,12- 【解析】【分析】（1）由已知根据基本不等式得2124a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，再由不等式的恒成立的思想：ab m ≤恒成立，则需()max m ab ≥得所求范围；（2）根据基本不等式得()41419a b a b a b ⎛⎫+=++≥ ⎪⎝⎭，再根据不等式恒成立的思想得到绝对值不等式2129x x --+≤，运用分类讨论法可求出不等式的解集.【详解】（1）0a >，0b >，且1a b +=，∴2124a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==时“=”成立，由ab m ≤恒成立，故14m ≥. （2）∵(),0,a b ∈+∞，1a b +=，∴()41414559b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，故若41212x x a b+≥--+恒成立，则2129x x --+≤， 当2x -≤时，不等式化为1229x x -++≤，解得62x -≤≤-， 当122x -<<，不等式化为1229x x ---≤，解得122x -<<， 当12x ≥时，不等式化为2129x x ---≤，解得1122x ≤≤. 综上所述，x 的取值范围为[]6,12-.【点睛】本题综合考查运用基本不等式求得最值，利用不等式的恒成立的思想建立相应的不等关系，分类讨论求解绝对值不等式，属于中档题.26．（1）6π=ϕ,076x π=（2）1a = 【解析】试题分析：（1）根据图象可得()01f =，从而求得ϕ得值，再根据()02f x =，可得022,62x k k Z πππ+=+∈，结合图象可得0x 的值；（2）根据（1）的结论及()2f C =-，可得C 的值，将sin B = 2sin A 根据正弦定理角化边得2b a =，再根据余弦定理即可解得a 的值.试题解析：（1）由图象可以知道：()01f =. ∴1sin 2ϕ=又∵2πϕ<∴6πϕ=∵()02f x = ∴0sin 216x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，022,62x k k Z πππ+=+∈, 从而0,6x k k Z ππ=+∈. 由图象可以知道1k =, 所以076x π= （2）由()2f C =-,得sin 216C π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,且()0,C π∈. ∴23C π= ∵sin 2sin B A =∴由正弦定理得2b a =又∵由余弦定理2222cos c a b ab C =+-得：2227422cos,3a a a a π=+-⨯ ∴解得1a =。
郑州市一中2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案
郑州市一中2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案一、选择题1． 已知集合，则下列式子表示正确的有（）{}2|10A x x =-=①；②；③；④．1A ∈{}1A -∈A ∅⊆{}1,1A -⊆A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2． 如图，设全集U=R ，M={x|x ＞2}，N={0，1，2，3}，则图中阴影部分所表示的集合是（）A ．{3}B ．{0，1}C ．{0，1，2}D ．{0，1，2，3}3． 函数f （x ）=ax 2+2（a ﹣1）x+2在区间（﹣∞，4]上为减函数，则a 的取值范围为（）A ．0＜a ≤B ．0≤a ≤C ．0＜a ＜D ．a ＞4． 记,那么AB C D5． 在等差数列{a n }中，3（a 3+a 5）+2（a 7+a 10+a 13）=24，则此数列前13项的和是（ ）A ．13B ．26C．52D ．566． 方程（x 2﹣4）2+（y 2﹣4）2=0表示的图形是（ ）A ．两个点B ．四个点C ．两条直线D ．四条直线7． 与命题“若x ∈A ，则y ∉A ”等价的命题是（ ）A ．若x ∉A ，则y ∉AB ．若y ∉A ，则x ∈AC ．若x ∉A ，则y ∈AD ．若y ∈A ，则x ∉A8． 函数f （x ）=（）x2﹣9的单调递减区间为（ ）A ．（﹣∞，0）B ．（0，+∞）C ．（﹣9，+∞）D ．（﹣∞，﹣9）9． 若集合A={x|﹣2＜x ＜1}，B={x|0＜x ＜2}，则集合A ∩B=（ ）A ．{x|﹣1＜x ＜1}B ．{x|﹣2＜x ＜1}C ．{x|﹣2＜x ＜2}D ．{x|0＜x ＜1}10．在下面程序框图中，输入，则输出的的值是（ ）44N =S 班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数__________________________________________________________________________________________________________________A ．B ．C ．D ．251253255260【命题意图】本题考查阅读程序框图，理解程序框图的功能，本质是把正整数除以4后按余数分类.11．已知全集为，且集合，，则等于（ ）R }2)1(log |{2<+=x x A }012|{≥--=x x x B )(B C A R A ． B ． C ． D ．)1,1(-]1,1(-)2,1[]2,1[【命题意图】本题考查集合的交集、补集运算，同时也考查了简单对数不等式、分式不等式的解法及数形结合的思想方法，属于容易题.12．下列图象中，不能作为函数y=f （x ）的图象的是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．若命题“∀x ∈R ，|x ﹣2|＞kx+1”为真，则k 的取值范围是 ．14．将一张坐标纸折叠一次，使点与点重合，且点与点重合，则的()0,2()4,0()7,3(),m n m n +值是 ．15．设直线系M ：xcos θ+（y ﹣2）sin θ=1（0≤θ≤2π），对于下列四个命题：A ．M 中所有直线均经过一个定点B ．存在定点P 不在M 中的任一条直线上C ．对于任意整数n （n ≥3），存在正n 边形，其所有边均在M 中的直线上D ．M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）．16．已知某几何体的三视图如图,正（主）视图中的弧线是半圆，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的表面积是_________（单位:）．17．已知三棱锥的四个顶点均在球的球面上，和所在的平面互相垂直，，ABC D -O ABC ∆DBC ∆3=AB ，，则球的表面积为 .3=AC 32===BD CD BC O 18．已知，则不等式的解集为________．,0()1,0x e x f x x ì³ï=í<ïî2(2)()f x f x ->【命题意图】本题考查分段函数、一元二次不等式等基础知识，意在考查分类讨论思想和基本运算能力．三、解答题19．在平面直角坐标系xoy中，已知圆C1：（x+3）2+（y﹣1）2=4和圆C2：（x﹣4）2+（y﹣5）2=4（1）若直线l过点A（4，0），且被圆C1截得的弦长为2，求直线l的方程（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，求所有满足条件的点P的坐标．20．已知函数f（x）=（log2x﹣2）（log4x﹣）（1）当x∈[2，4]时，求该函数的值域；（2）若f（x）＞mlog2x对于x∈[4，16]恒成立，求m的取值范围．21．已知函数．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线与直线y=x+2垂直，求函数y=f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对于∀x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a﹣1）成立，试求a的取值范围；（Ⅲ）记g（x）=f（x）+x﹣b（b∈R）．当a=1时，函数g（x）在区间[e﹣1，e]上有两个零点，求实数b的取值范围．22．已知函数（a≠0）是奇函数，并且函数f（x）的图象经过点（1，3），（1）求实数a，b的值；（2）求函数f（x）的值域．23．已知函数f（x）=+lnx﹣1（a是常数，e≈=2.71828）．（1）若x=2是函数f（x）的极值点，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）当a=1时，方程f（x）=m在x∈[，e2]上有两解，求实数m的取值范围；（3）求证：n∈N*，ln（en）＞1+．24．（本小题满分12分）菜农为了蔬菜长势良好，定期将用国家规定的低毒杀虫农药对蔬菜进行喷洒，以防止害虫的危害，待蔬菜成熟时将采集上市销售，但蔬菜上仍存有少量的残留农药，食用时可用清水清洗干净，下表是用清水x（单位：千克）清洗该蔬菜1千克后，蔬菜上残存的农药y（单位：微克）的统计表：x i12345y i5753403010（1）在下面的坐标系中，描出散点图，并判断变量x与y的相关性；（2）若用解析式y＝cx2＋d作为蔬菜农药残量与用水量的回归方程，求其解析式；（c，a精确到0.01）；附：设ωi＝x，有下列数据处理信息：＝11，＝38，2iωy（ωi－）（y i－）＝－811，（ωi－）2＝374，ωyω对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n），其回归直线方程y＝bx＋a的斜率和截距的最小二乘估计分别为（3）为了节约用水，且把每千克蔬菜上的残留农药洗净估计最多用多少千克水．（结果保留1位有效数字）郑州市一中2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参考答案）一、选择题题号12345678910答案C C B B B B D B D B 题号1112答案CB二、填空题13． [﹣1，﹣） ．14．34 515．BC 16．17．1618．(-三、解答题19．20．21．22．23．24．。
郑州市高中2018-2019学年上学期高三数学期末模拟试卷含答案
郑州市高中2018-2019学年上学期高三数学期末模拟试卷含答案 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 如果是定义在上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是（ ） A ． B ． C ．D ．2． 已知函数f （x ）=x 2﹣，则函数y=f （x ）的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．3． 在ABC ∆中，22tan sin tan sin A B B A =，那么ABC ∆一定是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形4． 已知集合{}{}421,2,3,,4,7,,3A k B a a a ==+，且*,,a N x A y B ∈∈∈使B 中元素31y x =+和A 中的元素x 对应，则,a k 的值分别为（ ） A ．2,3 B ．3,4 C ．3,5 D ．2,55． 函数f （x ）=Asin （ωx+φ）（A ＞0，ω＞0，）的部分图象如图所示，则函数y=f （x ）对应的解析式为（ ）A ．B ．C ．D ．6． 复数z=（m ∈R ，i 为虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 7． 记,那么ABC D8． 已知命题p ：存在x 0＞0，使2＜1，则￢p 是（ ）A ．对任意x ＞0，都有2x ≥1B ．对任意x ≤0，都有2x ＜1C ．存在x 0＞0，使2≥1D ．存在x 0≤0，使2＜19． 已知A={﹣4，2a ﹣1，a 2}，B={a ﹣5，1﹣a ，9}，且A ∩B={9}，则a 的值是（ ）A ．a=3B ．a=﹣3C ．a=±3D ．a=5或a=±310．已知2a =3b =m ，ab ≠0且a ，ab ，b 成等差数列，则m=（ ）A ．B ．C ．D ．611．函数y=a x +1（a ＞0且a ≠1）图象恒过定点（ ）A ．（0，1）B ．（2，1）C ．（2，0）D ．（0，2）12．在△ABC 中，，则这个三角形一定是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角D ．等腰或直角三角形二、填空题13．已知数列{a n }中，2a n ，a n+1是方程x 2﹣3x+b n =0的两根，a 1=2，则b 5= ．14．若6()mx y +展开式中33x y 的系数为160-，则m =__________．【命题意图】本题考查二项式定理的应用，意在考查逆向思维能力、方程思想．15．小明想利用树影测量他家有房子旁的一棵树的高度，但由于地形的原因，树的影子总有一部分落在墙上，某时刻他测得树留在地面部分的影子长为1.4米，留在墙部分的影高为1.2米，同时，他又测得院子中一个直径为1.2米的石球的影子长（球与地面的接触点和地面上阴影边缘的最大距离）为0.8米，根据以上信息，可求得这棵树的高度是 米．（太阳光线可看作为平行光线）16．如果直线3ax+y ﹣1=0与直线（1﹣2a ）x+ay+1=0平行．那么a 等于 ．17．命题“若1x ≥，则2421x x -+≥-”的否命题为．18．抛物线y 2=﹣8x 上到焦点距离等于6的点的坐标是 ．三、解答题19．如图，已知AC ，BD 为圆O 的任意两条直径，直线AE ，CF 是圆O 所在平面的两条垂线，且线段AE=CF=，AC=2．（Ⅰ）证明AD ⊥BE ；（Ⅱ）求多面体EF ﹣ABCD 体积的最大值．20．（本小题满分12分）设p ：实数满足不等式39a ≤，：函数()()32331932a f x x x x -=++无极值点. （1）若“p q ∧”为假命题，“p q ∨”为真命题，求实数的取值范围；（2）已知“p q ∧”为真命题，并记为，且：2112022a m a m m ⎛⎫⎛⎫-+++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若是t ⌝的必要不充分条件，求正整数m 的值．21．已知f （x ）=x 2﹣（a+b ）x+3a ．（1）若不等式f （x ）≤0的解集为[1，3]，求实数a ，b 的值； （2）若b=3，求不等式f （x ）＞0的解集．22．已知函数f（x）=1+（﹣2＜x≤2）．（1）用分段函数的形式表示函数；（2）画出该函数的图象；（3）写出该函数的值域．23．已知函数f（x）=alnx+，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=2．（I）求a、b的值；（Ⅱ）当x＞1时，不等式f（x）＞恒成立，求实数k的取值范围．24．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，该椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线y=x+相切．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）如图，若斜率为k（k≠0）的直线l与x轴，椭圆C顺次交于P，Q，R（P点在椭圆左顶点的左侧）且∠RF1F2=∠PF1Q，求证：直线l过定点，并求出斜率k的取值范围．郑州市高中2018-2019学年上学期高三数学期末模拟试卷含答案（参考答案）一、选择题1． 【答案】B【解析】【知识点】函数的奇偶性【试题解析】因为奇函数乘以奇函数为偶函数，y=x 是奇函数，故是偶函数。
河南省郑州市中学2018-2019学年高三数学文上学期期末试题含解析
河南省郑州市中学2018-2019学年高三数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 现有四个函数：①；②；③；④的图象（部分）如下：则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是( )A．①④③②B．①④②③C．④①②③D．③④②①参考答案：B【知识点】函数的奇偶性B4分析函数的解析式，可得：①y=x?sinx为偶函数；②y=x?cosx为奇函数；③y=x?|cosx|为奇函数，④y=x?2x为非奇非偶函数且当x＜0时，③y=x?|cosx|≤0恒成立则从左到右图象对应的函数序号应为：①④②③【思路点拨】从左到右依次分析四个图象可知，第一个图象关于Y轴对称，是一个偶函数，第二个图象不关于原点对称，也不关于Y轴对称，是一个非奇非偶函数；第三、四个图象关于原点对称，是奇函数，但第四个图象在Y轴左侧，函数值不大于0，分析四个函数的解析后，即可得到函数的性质，进而得到答案．2. 已知是单位圆上（圆心在坐标原点O）任意一点，将射线OA绕O点逆时针旋转30°到OB交单位圆于点的最大值为A． B． C．1 D．参考答案：C3. 从6名学生中选出4人分别从事A、B、C、D四项不同的工作，若其中甲、乙两人不能从事A种工作，则不同的选派方案共有………………………………………………………………..（）A．280种B．240种C．180种D．96种参考答案：B4. 在平面直角坐标系中，从五个点：中任取三个，这三点能构成三角形的概率的概率是（）A. B. C. D.参考答案：D5. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm），其俯视图为等边三角形，则该几何体的体积（单位：cm3）是（）A. B. C. D.参考答案：B由题意可知该几何体为正三棱柱去掉一个小三棱锥，.故选：B.6. 已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）﹣1（ω＞0，|φ|＜π）的一个零点是，是y=f（x）的图象的一条对称轴，则ω取最小值时，f（x）的单调增区间是（）A．B．C．D．参考答案：B【考点】正弦函数的对称性．【分析】根据函数f（x）的一个零点是x=，得出f（）=0，再根据直线x=﹣是函数f（x）图象的一条对称轴，得出﹣ω+φ=+kπ，k∈Z；由此求出ω的最小值与对应φ的值，写出f（x），从而求出它的单调增区间．【解答】解：函数f（x）=2sin（ωx+φ）﹣1的一个零点是x=，∴f（）=2sin（ω+φ）﹣1=0，∴sin（ω+φ）=，∴ω+φ=+2kπ或ω+φ=+2kπ，k∈Z；又直线x=﹣是函数f（x）图象的一条对称轴，∴﹣ω+φ=+kπ，k∈Z；又ω＞0，|φ|＜π，∴ω的最小值是，φ=，∴f（x）=2sin（x+）﹣1；令﹣+2kπ≤x+≤+2kπ，k∈Z，∴﹣+3kπ≤x≤﹣+3kπ，k∈Z；∴f（x）的单调增区间是[﹣+3kπ，﹣+3kπ]，k∈Z．故选：B．7. 设a1=2，数列{1+a n}是以3为公比的等比数列，则a4=（）A．80 B．81 C．54 D．53参考答案：A【考点】8G：等比数列的性质；8H：数列递推式．【分析】先利用数列{1+a n}是以3为公比的等比数列以及a1=2，求出数列{1+a n}的通项，再把n=4代入即可求出结论．【解答】解：因为数列{1+a n}是以3为公比的等比数列，且a1=2所以其首项为1+a1=3．其通项为：1+a n=（1+a1）×3n﹣1=3n．当n=4时，1+a4=34=81．∴a4=80．故选A．8. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线和粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（）A．B．C．D．参考答案：C9. 已知A，B，C，D，E是函数＞0，0＜＜一个周期内的图像上的五个点，如图所示，，B为y轴上的点，C为图像上的最低点，E为该函数图像的一个对称中心，B与D关于点E对称，在x轴上的投影为，则的值为（）A. B. C. D.参考答案：B略10. 如果映射f：A→B满足集合B中的任意一个元素在A中都有原象，则称为“满射”．若集合A中有3个元素，集合B中有2个元素，则从A到B的不同满射的个数为A．2 B．4 C．6 D．8参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 对长为、宽为的一块长方形地面进行绿化，要求四周种花卉，花卉带的宽度相等，中间种草，并且种草的面积不小于总面积的一半，则花卉带的宽度范围为（用区间表示）。
2018-2019学年河南省郑州一中高三(上)第二次质检数学试卷(文科)
2018-2019学年河南省郑州一中高三（上）第二次质检数学试卷（文科）试题数：23.满分：1501.（单选题.5分）已知集合A={y|y=sinx}.集合B={y|y=3-x}.则A∩B=（）A.[-1.1]B.（0.1]C.（0.1）D.[0.1]2.（单选题.5分）已知复数z= i21+i（i为虚数单位）.则z =（）A. 12+12iB. 12−12iC. −12+12iD. −12−12i3.（单选题.5分）某棱柱的三视图如图所示（单位：cm）.则该棱柱的侧面积（单位：cm2）是（）A.16B. 10+2√3C. 10+2√5D. 5+√54.（单选题.5分）已知命题p：方程ax2+by2=1表示双曲线；命题q：b＜0＜a．命题p是命题q的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件x+1≤y≤x.则y-2x的最大值是（）5.（单选题.5分）若x.y满足12A.-2B.2C.-1D.1的图象大致为（）6.（单选题.5分）函数y= √x2+12xA.B.C.D.7.（单选题.5分）执行如图所示的程序框图.输出的s 的值为（ ）A.22017-1B.22019-1C.1-22018D.22018-18.（单选题.5分）已知函数f （x ）= {log 2x ，x ≥111−x，x ＜1.则不等式f （x ）≤1的解集为（ ）A.（-∞.2]B.（-∞.0]∪（1.2]C.[0.2]D.（-∞.0]∪[1.2]9.（单选题.5分）已知A 是三角形内角. cos (A +π3)=35 .则 cos (A +π6) =（ ） A. 3√3+410B. 3√3−410C.3+4√310D. −3+4√31010.（单选题.5分）将曲线x2+y2=|x|+|y|围成的区域记为Ⅰ.曲线x2+y2=1围成的区域记为Ⅱ.曲线x2+y2=1与坐标轴的交点分别为A、B、C、D.四边形ABCD围成的区域记为Ⅲ.在区域Ⅰ中随机取一点.此点取自Ⅱ.Ⅲ的概率分别记为p1.p2.则（）A.p1+p2＞1B.p1+p2＜1C.p1+p2=1D.p1=p211.（单选题.5分）若函数f（x）=kx-|x-e-x|有两个正实数零点.则k的取值范围是（）A.（0.+∞）B. (0，1e)C.（0.1）D.（0.e）12.（单选题.5分）已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为4π.则三棱柱的体积最大值为（）A.1B. √3C.2D. 2√313.（填空题.5分）椭圆x21+y24=1与双曲线x2a2−y24=1有交点.则该双曲线离心率的取值范围是___14.（填空题.5分）将y=sinx的图象向右平移φ个单位后（φ＞0）.得到y=-cosx的图象.则φ的最小值为___ ．15.（填空题.5分）已知| a⃗ |=1. b⃗⃗ =（√33，√33）.| a⃗+3b⃗⃗ |=2.则b⃗⃗在a⃗方向上的投影为___ ．16.（填空题.5分）已知△ABC中.B=2A.7sinA=4sinC.则cosA=___ ．17.（问答题.12分）已知数列{a n}满足：a n+1=2−1a n，a1=2．（1）证明：存在一个等差数列{b n}.使得当n≥2时. a n=b nb n−1成立；（2）求数列{a n}的通项公式．18.（问答题.12分）某校随机抽取了30名学生的学习成绩进行了一次调查.如图所示．（说明：每天体育锻炼半小时以上者为甲组.每天体育锻炼半小时以下者为乙组.成绩低于80分者记为一般.成绩高于80分者为优秀）（1）根据以上数据完成下面的列联表；优秀一般总计甲（半小时以上）乙（半小时以下）总计（2）利用列表的独立性检验判断.是否能够以99%的把握认为“成绩与锻炼时间有关系“．并写出简要分析附：k2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d).n=a+b+c+dP（k2≥k0）0.050 0.010 0.001 k0 3.841 6.635 10.82819.（问答题.12分）在如图所示的多面体ABCDE中.在平面ABCD内有AB⊥BC.DG⊥BC．（1）若点F在线段EC上.且满足CGGB =CFFE.证明：平面DFG || 平面ABE.（2）若ED⊥AD.GD=2.ED=4.CD=4.CE=4 √2时.求三棱锥C-GDE的体积．20.（问答题.12分）设函数f(x)=xlnx−a2x2+a−x(a∈R)（1）若f（x）在x=1处的切线为y=-x+b.求实数a.b的值；．（2）若函数f（x）有两个不同的极值点.求实数a的取值范围．21.（问答题.12分）已知点G在抛物线C：x2=4y的准线上.过点G作抛物线C的两条切线.切点分别为A（x1.y1）.B（x2.y2）．（1）证明：x1x2+y1y2为定值；（2）当点G在y轴上时.过点A作直线AM.AN交抛物线C于M.N两点.满足AM⊥AN．问：直线MN是否恒过定点P.若存在定点.求出点P的坐标；若不存在.请说明理由．22.（问答题.10分）在直角坐标系xOy中.曲线C1的参数方程为{x=1+ty=−4−t（t为参数）.以原点O为极点x轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C2的极坐标方程为ρ2-2ρcosθ+a=0．（1）求曲线C1的普通方程及曲线C2的直角坐标方程.并指出两曲线的轨迹图形；（2）曲线C1与两坐标轴的交点分别为A、B.点P在曲线C2运动.当曲线C1与曲线C2相切时.求△PAB面积的最大值．23.（问答题.0分）已知函数f（x）=|2x+1|+|x-1|．（1）解不等式f（x）＞2；（2）记函数g（x）=f（x）+f（-x）.若对于任意的x∈R.不等式|k-1|＜g（x）恒成立.求实数k 的取值范围．2018-2019学年河南省郑州一中高三（上）第二次质检数学试卷（文科）参考答案与试题解析试题数：23.满分：1501.（单选题.5分）已知集合A={y|y=sinx}.集合B={y|y=3-x }.则A∩B=（ ） A.[-1.1] B.（0.1] C.（0.1） D.[0.1]【正确答案】：B【解析】：分别求出集合A.集合B.由此能求出A∩B ．【解答】：解：∵集合A={y|y=sinx}={y|-1≤y≤1}. 集合B={y|y=3-x }={y|y ＞0}. ∴A∩B={y|0＜y≤1}=（0.1]． 故选：B ．【点评】：本题考查交集的求法.考查交集定义等基础知识.考查运算求解能力.是基础题． 2.（单选题.5分）已知复数z= i 21+i （i为虚数单位）.则 z =（ ）A. 12+12i B. 12−12i C. −12+12i D. −12−12i 【正确答案】：D【解析】：直接利用复数代数形式的乘除运算化简.然后利用共轭复数的概念得答案．【解答】：解：因为z= i 21+i （i为虚数单位）.∴z= −1(1−i )(1+i )(1−i ) =−1+i 2 =- 12 + 12i ．∴ z =- 12 - 12i．故选：D．【点评】：本题考查了复数代数形式的乘除运算.考查了共轭复数的概念.是基础题．3.（单选题.5分）某棱柱的三视图如图所示（单位：cm）.则该棱柱的侧面积（单位：cm2）是（）A.16B. 10+2√3C. 10+2√5D. 5+√5【正确答案】：C【解析】：由三视图还原原几何体.该几何体是四棱柱.底面ABCD为直角梯形.AD ||BC.AB⊥BC.AD=1.AB=2.BC=2.BB1=2.再由矩形面积公式求解．【解答】：解：由三视图还原原几何体如图.该几何体是四棱柱.底面ABCD为直角梯形.AD || BC.AB⊥BC.AD=1.AB=2.BC=2.BB1=2.∴该棱柱的侧面积是(1+2+2+√5)×2=10+2√5．故选：C．【点评】：本题考查由三视图求面积、体积.关键是由三视图还原原几何体.是中档题． 4.（单选题.5分）已知命题p ：方程ax 2+by 2=1表示双曲线；命题q ：b ＜0＜a ．命题p 是命题q 的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 【正确答案】：B【解析】：命题p 等价为ab ＜0.在和命题q 对比即可．【解答】：解：方程ax 2+by 2=1表示双曲线等价于ab ＜0.即命题p ：ab ＜0. 由ab ＜0推不出b ＜a ＜0.充分性不具备. 由b ＜a ＜0能推出ab ＜0.必要性具备. 故命题p 是命题q 的必要不充分条件. 故选：B ．【点评】：本题主要考查充分条件和必要条件的判断.利用好双曲线方程系数的关系是解决本题的关键.比较基础．5.（单选题.5分）若x.y 满足 12 x+1≤y≤x .则y-2x 的最大值是（ ） A.-2 B.2 C.-1 D.1【正确答案】：A【解析】：已知x.y 满足 12 x+1≤y≤x .画出可行域.目标函数z=y-2x.求出z 与y 轴截距的最大值.从而进行求解【解答】：解：∵x .y 满足 12 x+1≤y≤x .画出可行域.如图 ∴z 在点A处取得最大值.由 {12x+1=yy =x解得A （2.2）.z max =1-2×1=-2. 故选：A ．【点评】：在解决线性规划的小题时.我们常用“角点法”.其步骤为：① 由约束条件画出可行域⇒ ② 求出可行域各个角点的坐标⇒ ③ 将坐标代入目标函数⇒ ④ 验证.求出最优解．的图象大致为（）6.（单选题.5分）函数y= √x2+12xA.B.C.D.【正确答案】：C【解析】：结合函数图象性质.利用函数的单调性及特殊值即可作出判断．【解答】：解：由f（x）的解析式得f（-x）+f（x）=0.∴f（x）是奇函数图象关于原点对称.当x=1时.f（1）= √22＜1.排除A.当x＞0时.f（x）= √x 2+12x = 12√1+1x2.函数在（0.+∞）上单调递减.故可排除B.D故选：C．【点评】：本题主要考查函数图象的识别和判断.结合函数的定义域.函数的单调性.函数的奇偶性.判断图象的对称性；函数的特征点.利用排除法是解决本题的关键．7.（单选题.5分）执行如图所示的程序框图.输出的s的值为（）A.22017-1B.22019-1C.1-22018D.22018-1【正确答案】：D【解析】：由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值.模拟程序的运行过程.分析循环中各变量值的变化情况.可得答案．【解答】：解：S=0.n=0.第一次执行循环体后.S=0+20=1.n=1.不满足退出循环的条件； 第二次执行循环体后.S=0+20+21.n=2.不满足退出循环的条件； 第三次执行循环体后.S=0+20+21+22.n=3.不满足退出循环的条件； 第四次执行循环体后.S=0+20+21+22+23.n=4.不满足退出循环的条件； …第n 次执行循环体后.S=0+20+21+22+…+2n-1.n=n.满足退出循环的条件； 应用等比数列求和公式当n≥2018时 故输出S值为：S=0+20+21+22+…+22017=1+21+22+…+2n-1=1+2−2×2n−11−2=22018-1 故选：D ．【点评】：本题考查了程序框图的应用等比数列求和问题.解题时应模拟程序框图的运行过程.以便得出正确的结论.是基础题．8.（单选题.5分）已知函数f （x ）= {log 2x ，x ≥111−x ，x ＜1 .则不等式f （x ）≤1的解集为（ ）A.（-∞.2]B.（-∞.0]∪（1.2]C.[0.2]D.（-∞.0]∪[1.2] 【正确答案】：D【解析】：对x 讨论.当x ＞0时.当x≤0时.运用分式函数和对数函数的单调性.解不等式.即可得到所求解集．【解答】：解：当x≥1时.f （x ）≤1即为：log 2x≤1 解得1≤x≤2当x ＜1时.f （x ）≤1.即为： 11−x ≤1 解得x≤0．综上可得.原不等式的解集为（-∞.0]∪[1.2] 故选：D ．【点评】：本题考查分段函数的运用：解不等式.注意运用分类讨论的思想方法.以及分式函数和对数函数的单调性.考查运算能力.属于基础题．9.（单选题.5分）已知A是三角形内角. cos(A+π3)=35.则cos(A+π6) =（）A. 3√3+410B. 3√3−410C. 3+4√310D. −3+4√310【正确答案】：A【解析】：由已知结合同角平方关系可求sin（A+ 13π）.然后由cos(A+π6) =cos[（A +13π）−π6].利用差角余弦公式可求．【解答】：解：∵ cos(A+π3)=35.A∈（0.π）.∴sin（A+ 13π）= 45.则cos(A+π6) =cos[（A +13π）−π6]= 35×√32+12×45= 3√3+410．故选：A．【点评】：本题主要考查了同角平方关系及两角差的三角公式的简单应用.属于基础试题．10.（单选题.5分）将曲线x2+y2=|x|+|y|围成的区域记为Ⅰ.曲线x2+y2=1围成的区域记为Ⅱ.曲线x2+y2=1与坐标轴的交点分别为A、B、C、D.四边形ABCD围成的区域记为Ⅲ.在区域Ⅰ中随机取一点.此点取自Ⅱ.Ⅲ的概率分别记为p1.p2.则（）A.p1+p2＞1B.p1+p2＜1C.p1+p2=1D.p1=p2【正确答案】：C【解析】：由题意分别计算出三个区域的面积.即可得到p1+p2=1.【解答】：解：由方程x 2+y 2=|x|+|y|.得： {(x −12)2+(y −12)2=12x ≥0，y ≥0 .或者{(x +12)2+(y−12)2=12x ≤0，y ≥0.或者 {(x +12)2+(y +12)2=12x ≤0，y ≤0.或者 {(x −12)2+(y +12)2=12x ≥0，y ≤0.曲线x 2+y 2=|x|+|y|围成的区域Ⅰ、曲线x 2+y 2=1围成的区域Ⅱ、四边形ABCD 围成的区域Ⅲ.如图：可知区域Ⅰ的面积为 S 正方形ABCD +2π(√22)2 =2+π；区域Ⅱ的面积为π×12=π； 区域Ⅲ的面积 (√2)2=2；∴由几何概率公式得： p 1=π2+π . p 2=22+π . 故p 1+p 2=1． 故选：C ．【点评】：本题考查了几何概型的概率问题.关键是求出对应的面积.属于中档题． 11.（单选题.5分）若函数f （x ）=kx-|x-e -x |有两个正实数零点.则k 的取值范围是（ ） A.（0.+∞） B. (0，1e ) C.（0.1） D.（0.e ） 【正确答案】：C【解析】：函数的零点转化为方程的根.由转化为两个函数的交点问题.画出大致图象.利用数形结合求出k 的范围．【解答】：解：由题意f （x ）的零点既是kx=|x-e -x |.x ＞0时.k=|1- 1xe x |.令g （x ）=1- 1xe x .x ＞0. 则g'（x ）= x+1x 2•e x ＞0恒成立.所以函数g（x）在（0.+∞）单调递增.g（12）=1- 2√e＜0.g（1）=1- 1e＞0.所以g（x）在（12，1）存在一个实数a.使g（a）=0.所以y=|g（x）|如图所示：所以直线y=k与 y=|g（x）|有两个正实根的k的范围为（0.1）.故选：C．【点评】：考查函数的零点与函数的交点之间的转化.属于中档题．12.（单选题.5分）已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为4π.则三棱柱的体积最大值为（）A.1B. √3C.2D. 2√3【正确答案】：A【解析】：求出球半径R=1.设正三棱柱ABC-A1B1C1中△ABC的外接圆的半径为r.则△ABC的边长AB= √3 r.设正三棱柱ABC-A1B1C1的高为2h.则h= √1−r2 .三棱柱的体积：V=S△ABC×2h= 3√32•r2•√1−r2 .利用导数性质求出当△ABC的外接圆的半径r= √23时.三棱柱的体积取最大值．【解答】：解：∵正三棱柱ABC-A1B1C1的所有顶点都在球O的球面上.球O的表面积为4π. ∴球半径R=1.设正三棱柱ABC-A1B1C1中△ABC的外接圆的半径为r.则△ABC的边长AB= √3 r.设正三棱柱ABC-A1B1C1的高为2h.则r2+h2=1.解得h= √1−r2 .∴三棱柱的体积：V=S△ABC×2h= 12×√3r×32r×2√1−r2 = 3√32•r2•√1−r2 .V2= 274（r4-r6）.（V2）′= 474（4r3-6r5）.由（V2）′=0.得r= √23.∴当△ABC的外接圆的半径r= √23时.三棱柱的体积最大值为：V max= 3√32×23×√1−23=1．故选：A．【点评】：本题考查三棱柱的体积的最大值的求法.考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识.考查运算求解能力.是中档题．13.（填空题.5分）椭圆x21+y24=1与双曲线x2a2−y24=1有交点.则该双曲线离心率的取值范围是___【正确答案】：[1] [√5，+∞)【解析】：利用椭圆与双曲线有交点.推出a的范围.然后求解双曲线的离心率即可．【解答】：解：椭圆x 21+y24=1与双曲线x2a2−y24=1有交点.可得a∈（0.1].所以双曲线离心率：e= ca = √a2+4a= √1+4a2≥ √5．故答案为：[ √5 .+∞）．【点评】：本题考查椭圆与双曲线的简单性质的应用.双曲线的离心率的求法.考查转化思想以及计算能力.是中档题．14.（填空题.5分）将y=sinx的图象向右平移φ个单位后（φ＞0）.得到y=-cosx的图象.则φ的最小值为___ ．【正确答案】：[1] π2【解析】：利用三角函数的诱导公式进行化简.结合三角函数的图象平移关系进行求解即可．【解答】：解：y=-cosx=cos（π-x）=sin（π2 -π+x）=sin（x- π2）.将将y=sinx的图象向右平移φ个单位后（φ＞0）.得到y=-cosx的图象.即y=sin（x-φ）=sin（x- π2）.∴φ的最小值为π2.故答案为：π2【点评】：本题主要考查三角函数的图象和性质.结合三角函数的诱导公式以及平移关系进行转化是解决本题的关键．比较基础．15.（填空题.5分）已知| a⃗ |=1. b⃗⃗ =（√33，√33）.| a⃗+3b⃗⃗ |=2.则b⃗⃗在a⃗方向上的投影为___ ．【正确答案】：[1] −12【解析】：对向量的模两边平方得到数量积.代入投影公式得到结果．【解答】：解：∵| a⃗ |=1. b⃗⃗ =（√33，√33）. |b⃗⃗|=√63| a⃗+3b⃗⃗ |=2.∴ a⃗2+6a⃗•b⃗⃗+9b⃗⃗2 =4. ∴ a⃗•b⃗⃗=−12∴则b⃗⃗在a⃗方向上的投影为：a⃗⃗•b⃗⃗|a⃗⃗|=−12故答案为：- 12．【点评】：本题考查平面向量的数量积的性质.考查向量的模.向量的投影的概念.考查运算能力.属于基础题．16.（填空题.5分）已知△ABC中.B=2A.7sinA=4sinC.则cosA=___ ．【正确答案】：[1] √114【解析】：B=2A.可得sinB=sin2A.利用倍角公式、正弦定理可得cosA= b2a．再利用余弦定理即可得出．【解答】：解：B=2A.∴sinB=sin2A.∴sinB=2sinAcosA.∴cosA= b2a．∵7sinA=4sinC.∴7a=4c.不妨取c=7.则a=4．∴cosA= b2a = b8= b2+c2−a22bc= b2+49−1614b．解得b=2 √11．∴cosA= b2a = √114．故答案为：√114．【点评】：本题考查了倍角公式、正弦定理余弦定理.考查了推理能力与计算能力.属于中档题．17.（问答题.12分）已知数列{a n}满足：a n+1=2−1a n，a1=2．（1）证明：存在一个等差数列{b n}.使得当n≥2时. a n=b nb n−1成立；（2）求数列{a n}的通项公式．【正确答案】：【解析】：（1）利用数列的递推关系式.结合. a n=b nb n−1.转化推出b n+1+b n-1=2b n.得到结果．（2）求出数列的公差.然后利用a n=b nb n−1.求解数列的通项公式．【解答】：（1）证明：∵数列{a n}满足：a n+1=2−1a n，a1=2 .∴ b n+1b n = 2−b n−1b n.可得b n+1+b n-1=2b n.所以数列{b n}是一个等差数列．（2）解：d=b2-b1= 12 b1.所以b n=n+12b1 .故a n= b nb n−1 =n+12b1n2b1= n+1n（n≥2）.又因为n=1也满足.所以a n= n+1n．【点评】：本题考查数列的递推关系式的应用.通项公式的求法.考查转化思想以及计算能力.是中档题．18.（问答题.12分）某校随机抽取了30名学生的学习成绩进行了一次调查.如图所示．（说明：每天体育锻炼半小时以上者为甲组.每天体育锻炼半小时以下者为乙组.成绩低于80分者记为一般.成绩高于80分者为优秀）（1）根据以上数据完成下面的列联表；优秀一般总计甲（半小时以上）乙（半小时以下）总计出简要分析附：k2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d).n=a+b+c+dP（k2≥k0）0.050 0.010 0.001 k0 3.841 6.635 10.828【正确答案】：【解析】：（1）根据题意.由题目中茎叶图分析可得列联表；（2）根据题意.由列联表中的数据计算分析可得k2的值.由独立性检验的性质分析可得答案．【解答】：解：（1）根据题意.由茎叶图可得：优秀一般总计甲（半小时以上）13 2 15乙（半小时以下） 5 10 15 总计18 12 30（2）由（1）的结论：k2= 215×15×18×12≈8.89＞6.635；故有99%的把握认为“成绩与锻炼时间有关系“．【点评】：本题考查独立性检验的计算以及应用.涉及茎叶图的应用.属于基础题．19.（问答题.12分）在如图所示的多面体ABCDE中.在平面ABCD内有AB⊥BC.DG⊥BC．（1）若点F在线段EC上.且满足CGGB =CFFE.证明：平面DFG || 平面ABE.（2）若ED⊥AD.GD=2.ED=4.CD=4.CE=4 √2时.求三棱锥C-GDE的体积．【正确答案】：【解析】：（1）推导出DG || AB.从而DG || 平面ABE.推导出GF || BE.从而FG || 平面ABE.由此能证明平面DFG || 平面ABE．（2）由V C-GDE=V E-GDC.能求出三棱锥C-GDE的体积．【解答】：解：（1）证明：如图所示.∵平面ABCD内有AB⊥BC.DG⊥BC.∴DG || AB.又AB⊂平面ABE.DG⊄平面ABE.∴DG || 平面ABE.∵ CG GB =CFFE.∴△BCE中.GF || BE.∵BE⊂平面ABE.FG⊄平面ABE.∴FG || 平面ABE.∵DG∩FG=G.∴平面DFG || 平面ABE．（2）解：∵ED=4.CD=4.CE=4 √2 .∴ED2+CD2=CE2. 由勾股定理得∠EDC=90°.∴ED⊥DC.∵ED⊥AD.AD∩DC=D.∴ED⊥平面ABCD.∴ED⊥BC.∵GD=2.∴GC= √16−4 =2 √3 .∴三棱锥C-GDE的体积为：V C-GDE=V E-GDC= 13S△GDC•ED= 13×12×GD×GC×ED = 13×12×2×2√3×4 = 8√33．【点评】：本题考查面面垂直的证明.考查三棱锥的体积的求法.考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识.考查运算求解能力.是中档题．20.（问答题.12分）设函数f(x)=xlnx−a2x2+a−x(a∈R)（1）若f（x）在x=1处的切线为y=-x+b.求实数a.b的值；．（2）若函数f（x）有两个不同的极值点.求实数a的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）先对函数f（x）求导.求出在x=1处的导数值.再由切线的斜率求出a的值.进而求出f（1）.代入切线中求出b的值；（2）由题意得导函数在（0.+∞）内有两个根.使导函数的最大值大于零.较小的值于零.求出a 的取值范围．【解答】：解：（1）f'（x）=lnx+1-ax-1=lnx-ax.因为f（x）在x=1处的切线为y=-x+b.而f'（1）=-a.∴-a=-1.∴a=1.∴f（1）= a2 -1=- 12.代入直线方程得：b= 12.所以实数a.b的值分别是：1. 12；（2）由题意知.函数f（x）的定义域为（0.+∞）.f'（x）=lnx-ax.（x＞0）令f'（x）=0.∴lnx=ax.a= lnxx .令h（x）= lnxx.则由题意知：直线x=a与函数h（x）的图象有两个不同的交点.h'（x）= 1−lnxx2.令h'（x）=0.则x=eh（x）在（0.e）上单调递增.在（e.+∞）上单调递减.所以h（x）max=h（e）= 1e.又因为h（1）=0.h（x）在（0.e）单调递增.又当x→0时.h（x）→-∞.又当x＞e.lnx＞0.∴ lnxx＞0.又h（x）在（e.+∞）单调递减.x→+∞.h（x）→0.结合a=h（x）图象易知：所以实数a的取值范围为（0. 1e）．【点评】：考查用导数研究函数的极值.属于中难题．21.（问答题.12分）已知点G在抛物线C：x2=4y的准线上.过点G作抛物线C的两条切线.切点分别为A（x1.y1）.B（x2.y2）．（1）证明：x1x2+y1y2为定值；（2）当点G在y轴上时.过点A作直线AM.AN交抛物线C于M.N两点.满足AM⊥AN．问：直线MN是否恒过定点P.若存在定点.求出点P的坐标；若不存在.请说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）求导.求得直线PA的方程.将P代入直线方程.求得x12−2ax1−4=0 .同理可知x22−2ax2−4=0．则x1.x2是方程x2-2ax-4=0的两个根.则由韦达定理求得x1x2.y1y2的值.即可求证x1x2+y1y2为定值；（2）设M（x M.y M）.N（x N.y N）．利用点差法可得k AM=x1+x M4=x M−24.同理可得k AN=x N−24.结合垂直关系可得x M•x N-2（x M+x N）+20=0.又因为{x M2=4y M，x N2=4y N.两式作差.可得（x M-x N）（x M+x N）=4（y M-y N）. k MN=x M+x N4.从而可得结果．【解答】：解：（1）法1：抛物线C：x2=4y的准线为l：y=-1.故可设点G（a.-1）.由x2=4y.得y=14x2 .所以y′=12x．所以直线GA的斜率为12x1．因为点A（x1.y1）.B（x2.y2）在抛物线C上.所以y1=14x12，y2=14x22．所以直线GA的方程为y−14x12=12x1(x−x1)．因为点G （a.-1）.在直线GA 上.所以 −1−14x 12=12x 1(a −x 1) .即 x 12−2ax 1−4=0 ． 同理.可知 x 22−2ax 2−4=0 ．所以x 1.x 2是方程x 2-2ax-4=0的两个根.所以x 1x 2=-4．又 y 1y 2=14x 12•14x 22=116(x 1x 2)2=1 .所以x 1x 2+y 1y 2=-3为定值．法2：设过点G （a.-1）.且与抛物线C 相切的切线方程为y+1=k （x-a ）. 由 {y +1=k (x −a )，x 2=4y ，.消去y 得x 2-4kx+4ka+4=0.由△=16k 2-4（4ak+4）=0.化简得k 2-ak-1=0.所以k 1k 2=-1． 由x 2=4y.得 y =14x 2 .所以 y′=12x ．所以直线GA 的斜率为 12x 1 ． 直线GB 的斜率为 k 2=12x 2 ． 所以 14x 1x 2=−1 .即x 1x 2=-4．又 y 1y 2=14x 12•14x 22=116(x 1x 2)2=1 .所以x 1x 2+y 1y 2=-3为定值． （2）存在.由（1）知 x 1x 2=−x 12=−x 22=−4 ．不妨设x 1＜x 2.则x 1=-2.x 2=2.即A （-2.1）.B （2.1）． 设M （x M .y M ）.N （x N .y N ）．则 {x 12=4y 1x M 2=4y 2.两式作差.可得（x 1-x M ）（x 1+x M ）=4（y 1-y M ）.所以直线AM 的斜率为 k AM =x 1+x M4=x M −24.同理可得 k AN =x N −24. 因为AM⊥MN .所以 k AM •k AN =x M −24•x N −24=−1 .整理得x M •x N -2（x M +x N ）+20=0.又. ①又因为因为 {x M 2=4y M ，x N 2=4y N.两式作差.可得（x M -x N ）（x M +x N ）=4（y M -y N ）.从而可得直线MN 的斜率为 k MN =x M +x N4. 所以直线MN 的方程为 y −x M 24=x M +x N 4(x −x M ) .化简可得4y=（x M +x N ）x-x M x N .将 ① 代入上式得4y=（x M +x N ）x-2（x M +x N ）+20. 整理得4（y-5）=（x M +x N ）（x-2）．所以直线MN 过定点（2.5）.即P 点的坐标为（2.5）． 【点睛】圆锥曲线中定点问题的常见解法（1）假设定点坐标.根据题意选择参数.建立一个直线系或曲线系方程.而该方程与参数无关.故得到一个关于定点坐标的方程组.以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；（2）从特殊位置入手.找出定点.再证明该点符合题意．【点评】：本题主要考查圆锥曲线中定点问题的常见解法.假设定点坐标.根据题意选择参数.建立一个直线系或曲线系方程.而该方程与参数无关.故得到一个关于定点坐标的方程组.以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；属于较难题目．22.（问答题.10分）在直角坐标系xOy中.曲线C1的参数方程为{x=1+ty=−4−t（t为参数）.以原点O为极点x轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C2的极坐标方程为ρ2-2ρcosθ+a=0．（1）求曲线C1的普通方程及曲线C2的直角坐标方程.并指出两曲线的轨迹图形；（2）曲线C1与两坐标轴的交点分别为A、B.点P在曲线C2运动.当曲线C1与曲线C2相切时.求△PAB面积的最大值．【正确答案】：【解析】：（1）曲线C1化为普通方程.表示一条直线；曲线C2化为普通对a分类讨论明确轨迹的形态；（2）先求出 A.B的坐标.得到|AB|.利用圆的切线求出圆上点到直线的最大距离.即可得到结果．【解答】：解（1）曲线C1化为普通方程为x+y+3=0.是一条直线.对于曲线C2：由x=ρcosθ及x2+y2=ρ2代入曲线C2的极坐标方程得其直角坐标方程为x2+y2-2x+a=0.即为（x-1）2+y2=1-a．当a＜1.曲线C2是以（1.0）为圆心. √1−a为半径的圆．当a=1.曲线C2表示一点（1.0）．当a＞1.曲线C2不存在．（2）由（1）知曲线C1化为普通方程为x+y+3=0.令x=0.y=-3；y=0.x=-3.所以A（-3.0）.B（0.-3）.又由题可知a＜1.曲线C2：（x-1）2+y2=1-a.由直线与圆相切可知√2= √1−a .解得a=-7.此时C2：（x-1）2+y2=8.所以（S△PAB）max= 12|AB|•2R= 12×3 √2 × 2×2√2 =12.所以△PAB 面积的最大值为12．【点评】：本题考查三角形面积最值的求法.考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等基础知识.考查运算求解能力.考查函数与方程思想.是中档题． 23.（问答题.0分）已知函数f （x ）=|2x+1|+|x-1|． （1）解不等式f （x ）＞2；（2）记函数g （x ）=f （x ）+f （-x ）.若对于任意的x∈R .不等式|k-1|＜g （x ）恒成立.求实数k 的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）讨论x 的取值范围.解不等式组即可得到结果；（2）不等式|k-1|＜g （x ）恒成立即|x-1|＜g （x ）min 恒成立.求函数的最小值即可．【解答】：解：（1）依题意得f （x ）= {−3x ，x ≤−12x +2，−12＜x ＜13x ，x ≥1 .于是得 {x ≤−12−3x ＞2 或 {−12＜x ＜1x +2＞2 或 {x ≥13x ＞2 ；解得x ＜- 23.或x ＞0；即不等式f （x ）＞2的解集为{x|x ＜- 23 或x ＞0}；（2）g （x ）=f （x ）+f （-x ）=|x-1|+|x+1|+（|2x+1|+|2x-1|）≥|（x-1）-（x+1）|+|（2x+1）-（2x-1）|=4.当且仅当 {(x −1)(x +1)≤0(2x −1)(2x +1)≤0.即x∈[- 12 . 12 ]时取等号.若对于任意的x∈R .不等式|k-1|＜g （x ）恒成立.则|k-1|＜g （x ）min =4. 所以-4＜k-1＜4.解得-3＜k ＜5.即实数k 的取值范围为（-3.5）．【点评】：本题考查了解绝对值不等式的应用问题问题.也考查了不等式恒成立求参数的范围问题.考查了分类讨论思想.转化思想.是中档题．。
2018-2019学年河南省高三(上)期末数学试卷(理科) Word解析版
2018-2019学年高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题1．Z（M）表示集合M中整数元素的个数，设集合A＝{x|﹣1＜x＜8}，B＝{x|5＜2x＜17}，则Z（A∩B）＝（）A．3 B．4 C．5 D．62．若＝a+bi（a，b∈R），则b2﹣a2＝（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．23．已知点M为双曲线C：x2＝1的左支上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，则|MF1|+|F1F2|﹣|MF2|＝（）A．1 B．4 C．6 D．84．某市教体局将从甲、乙、丙、丁四人中选一人参加全省100米仰泳比赛，现将他们最近集训的10次成绩（单位：秒）的平均数与方差制成如下表格：根据表中的数据，应选哪位选手参加全省的比赛（）A．甲B．乙C．丙D．丁5．将函数f（x）＝cos（2x）的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y＝g（x）的图象，则下列判断错误的是（）A．曲线y＝g（x）关于直线x＝对称B．曲线y＝g（x）关于点（，0）对称C．函数g（x）在（0，）上单调递增D．函数g（x）在（）上单调递减6．函数f（x）＝x2﹣2x﹣2﹣x的图象大致为（）A．B．C．D．7．已知x，y满足约束条件，若目标函数z＝ax+y可在点（3，3）处取得最大值，则a的取值范围为（）A．[，+∞）B．（，+∞）C．（﹣1，] D．（﹣1，）8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．2πB．C．3πD．9．已知﹣＜α﹣β＜，sinα+2cosβ＝1，cosα﹣2sinβ＝，则sin（）＝（）A．B．C．D．10．在空间直角坐标系O﹣xyz中，A（0，0，1），B（m2，0，0），C（0，1，0），D（1，2，1），若四面体OABC的外接球的表面积为6π，则异面直线OD与AB所成角的余弦值为（）A．B．C．D．11．已知函数f（x）＝2x3﹣（6a+3）x2+12ax+16a2（a＜0）只有一个零点x0，且x0＜0，则a的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣）B．（﹣，0）C．（﹣∞，﹣）D．（﹣，0）12．直线y＝kx+1与抛物线C：x2＝4y交于A，B两点，直线l∥AB，且l与C相切，切点为P，记△PAB的面积为S，则S﹣|AB|的最小值为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上13．在△ABC中，＝，＝x+y，则x﹣y＝．14．若（1﹣ax）（x﹣1）3的展开式中x的偶数次幂项的系数之和为﹣24，则a＝．15．已知函数f（x）＝的值域为R，则a的取值范围为．16．瑞士著名数学家欧拉在研究几何时曾定义欧拉三角形，△ABC的三个欧拉点（顶点与垂心连线的中点）构成的三角形称为△ABC的欧拉三角形．如图，△A1B1C1是△ABC的欧拉三角形（H为△ABC的垂心）．已知AC＝3，BC＝2，tan∠ACB＝2，若在△ABC内部随机选取一点，则此点取自阴影部分的概率为．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17．在公差为d的等差数列{a n}中，a12+a22＝a1+a2．（1）求d的取值范围；（2）已知d＝﹣1，试问，是否存在等差数列{b n}，使得数列{}的前n项和为？若存在，求{b n}的通项公式；若不存在，请说明理由．18．如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，M，E分别为棱B1C1，CC1的中点，AB＝，AA1＝2．（1）证明：平面D1EM⊥平面ABE；（2）求平面AB1D1与平面ABE所成锐二面角的余弦值．19．某大型工厂有6台大型机器在1个月中，1台机器至多出现1次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的，出现故障时需1名工人进行维修每台机器出现故障的概率为．已知1名工人每月只有维修2台机器的能力（若有2台机器同时出现故障，工厂只有1名维修工人，则该工人只能逐台维修，对工厂的正常运行没有任何影响），每台机器不出现故障或出现故障时能及时得到维修，就能使该厂获得10万元的利润，否则将亏损2万元．该工厂每月需支付给每名维修工人1万元的工资．（1）若每台机器在当月不出现故障或出现故障时，有工人进行维修（例如：3台大型机器出现故障，则至少需要2名维修工人），则称工厂能正常运行．若该厂只有1名维修工人，求工厂每月能正常运行的概率；（2）已知该厂现有2名维修工人．（i）记该厂每月获利为X万元，求X的分布列与数学期望；（ii）以工厂每月获利的数学期望为决策依据试问该厂是否应再招聘1名维修工人？20．已知直线l与椭圆C：＝1交于A，B两点．（1）若线段AB的中点为（2，1），求直线l的方程；（2）记直线l与x轴交于点M，是否存在点M，使得始终为定值？若存在，求点M的坐标，并求出该定值；若不存在，请说明理由．21．已知函数f（x）＝ln（ax+1）+x2﹣ax﹣ln2（a＞0）．（1）若函数f（x）的图象在x＝1处的切线方程为mx﹣2y﹣3＝0，求a，m的值；（2）若∀a∈（1，2），，使f（x0）+m（a2﹣1）＞0成立，求m的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ2﹣2mρcosθ+4ρsinθ＝1﹣2m．（1）求C的直角坐标方程，并求C的半径；（2）当C的半径最小时，曲线y＝|x﹣1|﹣2与C交于A，B两点，点M（1，﹣4），求△MAB的面积．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|x﹣1|+||x|﹣1|．（1）画出y＝f（x）的图象；（2）若过点A（2，0）的直线l与y＝f（x）的图象恰有4个交点，求l斜率的取值范围．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．Z（M）表示集合M中整数元素的个数，设集合A＝{x|﹣1＜x＜8}，B＝{x|5＜2x＜17}，则Z（A∩B）＝（）A．3 B．4 C．5 D．6解：；∴；∴Z（A∩B）＝5．故选：C．2．若＝a+bi（a，b∈R），则b2﹣a2＝（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2解：＝＝，∴a＝，b＝﹣，∴b2﹣a2＝＝2，故选：D．3．已知点M为双曲线C：x2＝1的左支上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，则|MF1|+|F1F2|﹣|MF2|＝（）A．1 B．4 C．6 D．8解：双曲线C：x2＝1，可得a＝1，b＝2，c＝3，则点M为双曲线C：x2＝1的左支上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，则|MF1|+|F1F2|﹣|MF2|＝﹣2a+2c＝4．故选：B．4．某市教体局将从甲、乙、丙、丁四人中选一人参加全省100米仰泳比赛，现将他们最近集训的10次成绩（单位：秒）的平均数与方差制成如下表格：根据表中的数据，应选哪位选手参加全省的比赛（）A．甲B．乙C．丙D．丁解：100米仰泳比赛的成绩是时间越短成绩越好，方差越小发挥水平越稳定，故应选丁选手参加全省的比赛．故选：D．5．将函数f（x）＝cos（2x）的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y＝g（x）的图象，则下列判断错误的是（）A．曲线y＝g（x）关于直线x＝对称B．曲线y＝g（x）关于点（，0）对称C．函数g（x）在（0，）上单调递增D．函数g（x）在（）上单调递减解：将函数f（x）＝cos（2x）的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y＝g（x）＝cos（x﹣）的图象，令x＝，求得g（x）＝1，故曲线y＝g（x）关于直线x＝对称，故A正确；令x＝﹣，求得g（x）＝0，故曲线y＝g（x）关于点（，0）对称，故B正确；在（0，）上，x﹣∈（﹣，0），函数g（x）单调递增，故C正确；在（）上，x﹣∈（，），函数g（x）没有单调性，故D错误，故选：D．6．函数f（x）＝x2﹣2x﹣2﹣x的图象大致为（）A．B．C．D．解：f（﹣x）＝x2﹣2﹣x﹣2x＝f（x），则f（x）是偶函数，排除C，f（3）＝9﹣8﹣＝＞0，排除A，f（5）＝25﹣32﹣＝﹣7﹣＜0，排除D，故选：B．7．已知x，y满足约束条件，若目标函数z＝ax+y可在点（3，3）处取得最大值，则a的取值范围为（）A．[，+∞）B．（，+∞）C．（﹣1，] D．（﹣1，）解：x，y满足约束条件的可行域如图：由目标函数z＝ax+y可得y＝﹣ax+z，由解得C（3，3），可得﹣a，即a．故选：A．8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．2πB．C．3πD．解：由题意可知几何体的直观图如图：所以几何体的体积为：＝3π．故选：C．9．已知﹣＜α﹣β＜，sinα+2cosβ＝1，cosα﹣2sinβ＝，则sin（）＝（）A．B．C．D．解：∵sinα+2cosβ＝1，cosα﹣2sinβ＝，两式平方相加可得，sin2α+cos2α+4sin2β+4cos2β+4cosβsinα﹣4sinβcosα＝3，∴5+4sin（α﹣β）＝3，即sin（α﹣β）＝﹣，∵＜α﹣β＜，∴α﹣β＝﹣，，代入sinα+2cosβ＝1可得sin（）+2cosβ＝1，∴＝1，＝1，则sin（）＝．故选：A．10．在空间直角坐标系O﹣xyz中，A（0，0，1），B（m2，0，0），C（0，1，0），D（1，2，1），若四面体OABC的外接球的表面积为6π，则异面直线OD与AB所成角的余弦值为（）A．B．C．D．解：在空间直角坐标系O﹣xyz中，A（0，0，1），B（m2，0，0），C（0，1，0），D（1，2，1），四面体OABC的外接球的表面积为6π，∴OA，OB，OC两两垂直，∴＝6π，解得m2＝2，∴＝（2，0，﹣1），cos＜，＞＝＝．∴异面直线OD与AB所成角的余弦值为．故选：A．11．已知函数f（x）＝2x3﹣（6a+3）x2+12ax+16a2（a＜0）只有一个零点x0，且x0＜0，则a的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣）B．（﹣，0）C．（﹣∞，﹣）D．（﹣，0）解：f′（x）＝6（x﹣1）（x﹣2a），a＜0，当x＜2a或x＞1时，f′（x）＞0，当2a＜x＜1时，f′（x）＜0，故f（x）的极小值是f（1）＝16a2+6a﹣1，∵x0＜0，∴16a2+6a﹣1＞0，∵a＜0，∴a＜﹣，故选：A．12．直线y＝kx+1与抛物线C：x2＝4y交于A，B两点，直线l∥AB，且l与C相切，切点为P，记△PAB的面积为S，则S﹣|AB|的最小值为（）A．B．C．D．解：设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，得x2﹣4kx﹣4＝0，则x1+x2＝4k，．则|AB|＝．由x2＝4y，得，，设P（x0，y0），则，x0＝2k，．则点P到直线y＝kx+1的距离d＝，从而S＝．S﹣|AB|＝（d≥1）．令f（x）＝2x3﹣4x2，f′（x）＝6x2﹣8x（x≥1）．当1≤x＜时，f′（x）＜0，当x＞时，f′（x）＞0，故，即S﹣|AB|的最小值为．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上13．在△ABC中，＝，＝x+y，则x﹣y＝﹣4 ．解：因为＝，所以＝＝2（），所以x＝﹣2，y＝2，所以x﹣y＝﹣4，故答案为：﹣4．14．若（1﹣ax）（x﹣1）3的展开式中x的偶数次幂项的系数之和为﹣24，则a＝ 5 ．解：（1﹣ax）（x﹣1）3＝（1﹣ax）（x3﹣3x2+3x﹣1）的展开式中x的偶数次幂项的系数之和为﹣3﹣1﹣a（1+3）＝﹣24，则a＝5，故答案为：5．15．已知函数f（x）＝的值域为R，则a的取值范围为（0，] ．解：当a≤0时，不满足条件．当a＞0时，若0＜x＜2，则f（x）＝a+log2x∈（﹣∞，a+1），当x≥2时，f（x）＝ax2﹣3∈[4a﹣3，+∞），要使函数的值域为R，则4a﹣3≤a+1，得a≤，即实数a的取值范围是（0，]，故答案为：（0，]16．瑞士著名数学家欧拉在研究几何时曾定义欧拉三角形，△ABC的三个欧拉点（顶点与垂心连线的中点）构成的三角形称为△ABC的欧拉三角形．如图，△A1B1C1是△ABC的欧拉三角形（H为△ABC的垂心）．已知AC＝3，BC＝2，tan∠ACB＝2，若在△ABC内部随机选取一点，则此点取自阴影部分的概率为．解：因为tan∠ACB＝2，所以cos∠ACB＝，又因为AC＝3，BC＝2，由余弦定理可得：AB＝3，取BC的中点O，则OA⊥BC，以O为原点，建立如图所示的直角坐标系，则B（﹣1，0），C（1，0），A（0，2），设H（0，y），因为BH⊥AC，所以×＝﹣1，所以y＝，从而S＝，故所求概率为：＝，故答案为：．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17．在公差为d的等差数列{a n}中，a12+a22＝a1+a2．（1）求d的取值范围；（2）已知d＝﹣1，试问，是否存在等差数列{b n}，使得数列{}的前n项和为？若存在，求{b n}的通项公式；若不存在，请说明理由．解：（1）公差为d的等差数列{a n}中，a12+a22＝a1+a2．∴a12+＝2a1+d．∴2a12+（2d﹣2）a1+d2﹣d＝0．∵d∈R，△＝（2d﹣2）2﹣8（d2﹣d）≥0．解得﹣1≤d≤1．∴d的取值范围为[﹣1，1]．（2）d＝﹣1时，a12﹣2a1+1＝0．解得a1＝1．∴a n＝1﹣（n﹣1）＝2﹣n．假设存在等差数列{b n}，使得数列{}的前n项和为．∴++……+＝，n≥2时，++……+＝，∴＝﹣，可得：b n＝5n﹣4为等差数列．因此存在等差数列{b n}，使得数列{}的前n项和为，b n＝5n﹣4．18．如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，M，E分别为棱B1C1，CC1的中点，AB＝，AA1＝2．（1）证明：平面D1EM⊥平面ABE；（2）求平面AB1D1与平面ABE所成锐二面角的余弦值．解：（1）证明：在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB⊥BC，BB1⊥底面ABCD，∴BB1⊥AB，又BB1∩BC＝B，∴AB⊥平面BCC1B1，则AB⊥ME，∵ME2＝1+＝，BE2＝1+2＝3，BM2＝，∴ME2+BE2＝BM2，∴BE⊥ME，∵BE∩AB＝B，∴ME⊥平面ABE，又ME⊂平面D1EM，∴平面D1EM⊥平面ABE．（2）解：以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，则E（0，，1），A（，0，0），B1（），D1（0，0，2），M（，，2），则＝（0，，2），＝（﹣，0），设＝（x，y，z）是平面AB1D1的法向量，∴，取y＝，得＝（﹣，﹣1），由（1）知平面ABE的一个法向量＝（﹣，0，﹣1），∴cos＜＞＝＝＝，∴平面AB1D1与平面ABE所成锐二面角的余弦值为．19．某大型工厂有6台大型机器在1个月中，1台机器至多出现1次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的，出现故障时需1名工人进行维修每台机器出现故障的概率为．已知1名工人每月只有维修2台机器的能力（若有2台机器同时出现故障，工厂只有1名维修工人，则该工人只能逐台维修，对工厂的正常运行没有任何影响），每台机器不出现故障或出现故障时能及时得到维修，就能使该厂获得10万元的利润，否则将亏损2万元．该工厂每月需支付给每名维修工人1万元的工资．（1）若每台机器在当月不出现故障或出现故障时，有工人进行维修（例如：3台大型机器出现故障，则至少需要2名维修工人），则称工厂能正常运行．若该厂只有1名维修工人，求工厂每月能正常运行的概率；（2）已知该厂现有2名维修工人．（i）记该厂每月获利为X万元，求X的分布列与数学期望；（ii）以工厂每月获利的数学期望为决策依据试问该厂是否应再招聘1名维修工人？解：（1）由该工厂只有1名维修工人，所以要使工厂能正常运行，最多只能出现2台大型机器出现故障．工厂每月能正常运行的概率＝++＝．（2）（i）X的可能取值为34，46，58．P（X＝34）＝＝，P（X＝46）＝＝，P（X＝58）＝1﹣﹣＝，即X的分布列为：则E（Y）＝34×+46×+58×＝．（ii）若该厂有3名维修工人，则该厂获利的数学期望为6×10﹣3＝57万元．∵＜57，∴该厂应再招聘1名维修工人．20．已知直线l与椭圆C：＝1交于A，B两点．（1）若线段AB的中点为（2，1），求直线l的方程；（2）记直线l与x轴交于点M，是否存在点M，使得始终为定值？若存在，求点M的坐标，并求出该定值；若不存在，请说明理由．解：（1）设A（x，y），B（x'，y'），代入椭圆得：，两式相减得，+＝0，∴＝﹣，由题意知：2＝，1＝，∴直线l的斜率为：﹣＝﹣1，所以直线l的方程为：y﹣1＝﹣（x﹣2），即：x+y﹣3＝0；（2）设M（x0，0），当直线l与轴重合时，有＝+＝；当直线与x轴垂直时+＝＝，由＝，解得x0＝，所以存在点M，则M（，0），＝，根据对称性，只考虑直线l过点M（2，0），设A（x，y），B（x'，y'），设直线l的方程为x＝my+2，由整理得：（2+m2）y2+4my﹣24＝0，∴y+y'＝﹣，yy'＝﹣，因为＝＝＝，同理＝，所以＝（）＝，因为y2+y'2＝（y+y'）2﹣2yy'＝，y2y'2＝，所以＝＝，综上所述，存在点M（，0），使得为定值．21．已知函数f（x）＝ln（ax+1）+x2﹣ax﹣ln2（a＞0）．（1）若函数f（x）的图象在x＝1处的切线方程为mx﹣2y﹣3＝0，求a，m的值；（2）若∀a∈（1，2），，使f（x0）+m（a2﹣1）＞0成立，求m的取值范围．解：，（1），f（1）＝ln（a+1）+1﹣a﹣ln2，由，得．令，，所以函数n（a）在（0，+∞）上单调递增，又n（1）＝0，所以．（2）令，因为当a∈（1，2）时，函数g（a）在a∈（1，2）上单调递增，所以，于是函数f（x）在上一定单调递增．所以f（x）在上的最大值为f（1）＝ln（a+1）+1﹣a﹣ln2．于是问题等价于：∀a∈（1，2），不等式ln（a+1）+1﹣a﹣ln2+m（a2﹣1）＞0恒成立．记h（a）＝ln（a+1）+1﹣a﹣ln2+m（a2﹣1）（1＜a＜2），则．当m≤0时，因为，2ma≤0，所以h'（a）＜0，则h（a）在区间（1，2）上单调递减，此时，h（a）＜h（1）＝0，不合题意．故必有m＞0．若，由可知h（a）在区间上单调递减，在此区间上，有h（a）＜h（1）＝0，与h（a）＞0恒成立矛盾．故，这时h'（a）＞0，h（a）在（1，2）上单调递增，恒有h（a）＞h（1）＝0，满足题设要求．所以，即．所以m的取值范围为．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ2﹣2mρcosθ+4ρsinθ＝1﹣2m．（1）求C的直角坐标方程，并求C的半径；（2）当C的半径最小时，曲线y＝|x﹣1|﹣2与C交于A，B两点，点M（1，﹣4），求△MAB的面积．解：（1）∵圆C的极坐标方程为ρ2﹣2mρcosθ+4ρsinθ＝1﹣2m．∴圆C的直角坐标方程为x2+y2﹣2mx+4y＝1﹣2m，即（x﹣m）2+（y+2）2＝m2﹣2m+5，C的半径为．（2）＝，当m＝1时，C的半径最小，此时C的方程为（x﹣1）+（y+2）2＝4．因为曲线y＝经过C的圆心，且tan60°＝，所以∠ACB＝60°，则|AB|＝2，CM⊥AB，故△MAB的面积为．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|x﹣1|+||x|﹣1|．（1）画出y＝f（x）的图象；（2）若过点A（2，0）的直线l与y＝f（x）的图象恰有4个交点，求l斜率的取值范围．解：（1）函数f（x）＝|x﹣1|+||x|﹣1|＝．故y＝f（x）的图象如下如所示．（2）当直线l过点B（﹣1，2）时，k1＝﹣；当直线l过点C（0，2）时，k1＝﹣1，故直线l斜率的取值范围为（﹣1，﹣）．。
郑州市高中2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案
∴AC•BC= ．由余弦定理 AB2=AC2+BC2﹣2AC•BCcos60°=（AC+BC）2﹣3AC•BC， ∴（AC+BC）2﹣3AC•BC=3， ∴（AC+BC）2=11． ∴AC+BC= 故选：D 【点评】本题考查解三角形，三角形的面积与余弦定理的应用，整体法是解决问题的关键，属中档题． 10．【答案】B 【解析】解：集合 A 中的不等式，当 x＞0 时，解得：x＞ ；当 x＜0 时，解得：x＜ ， 集合 B 中的解集为 x＞ ，
考点：球的表面积和体积． 6． 【答案】B 【解析】本题考查了对数的计算、列举思想 a＝－ 时，不符；a＝0 时，y＝log2x 过点( ，－1)，(1,0)，此时 b＝0，b＝1 符合； a＝ 时，y＝log2(x＋ )过点(0，－1)，( ，0)，此时 b＝0，b＝1 符合； a＝1 时，y＝log2(x＋1)过点(－ ，－1)，(0，0)，(1，1)，此时 b＝－1，b＝1 符合；共 6 个 7． 【答案】B
2． 函数 f（x）=（ A．（﹣∞，0）
）x2﹣9 的单调递减区间为（ C．（﹣9，+∞）
B．（0，+∞）
3． 已知集合 A={y|y=x2+2x﹣3}， A．A⊆B 4． 不等式 A．{x| ≤x≤2} A． 144 ,144 6． 设函数的集合 B．B⊆A 的解集是（ B．{x| ≤x＜2} B． 144 ,36
5． 直径为 6 的球的表面积和体积分别是（
，平面上点的集合 ，则在同一直角坐标系中，P 中函数 的图象恰好经过 Q 中
两个点的函数的个数是 A4 B6 C8 D10
7． 一个几何体的三视图如图所示，如果该几何体的侧面面积为 12π，则该几何体的体积是（ ）