2015届高三数学一轮复习教案：8平面向量的数量积与应用举例 必修四
必修四4.平面向量的数量积(教案)
2、4 平面向量得数量积教案Ａ第１课时教学目标一、知识与技能1．掌握平面向量得数量积及其几何意义;2.掌握平面向量数量积得重要性质及运算律;３.了解用平面向量得数量积可以处理有关长度、角度与垂直得问题;二、过程与方法本节学习得关键就是启发学生理解平面向量数量积得定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积得运算律,然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积得认识.三、情感、态度与价值观通过问题得解决,培养学生观察问题、分析问题与解决问题得实际操作能力；培养学生得交流意识、合作精神；培养学生叙述表达自己解题思路与探索问题得能力.教学重点、难点教学重点:平面向量数量积得定义．教学难点：平面向量数量积得定义及运算律得理解与平面向量数量积得应用、教学关键:平面向量数量积得定义得理解.教学方法本节学习得关键就是启发学生理解平面向量数量积得定义,理解定义之后便可引导学生推导数量积得运算律,然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积得认识.学习方法通过类比物理中功得定义,来推导数量积得运算．教学准备教师准备: 多媒体、尺规、学生准备：练习本、尺规、教学过程一、创设情境,导入新课在物理课中,我们学过功得概念,即如果一个物体在力Ｆ得作用下产生位移s,那么力F所做得功W可由下式计算:W=｜F | | ｓ｜cosθ,其中θ就是Ｆ与s得夹角.我们知道力与位移都就是向量,而功就是一个标量（数量).故从力所做得功出发,我们就顺其自然地引入向量数量积得概念.二、主题探究,合作交流提出问题①a·b得运算结果就是向量还就是数量?它得名称就是什么?②由所学知识可以知道,任何一种运算都有其相应得运算律,数量积就是一种向量得乘法运算,它就是否满足实数得乘法运算律?师生活动：已知两个非零向量ａ与b，我们把数量|ａ||b｜cｏsθ叫做a与ｂ得数量积（或内积)，记作a·b，即a·b=|a||b|coｓθ（0≤θ≤π).其中θ就是a与b得夹角,|a|ｃosθ(|b|cｏsθ)叫做向量a在b方向上（b在a方向上)得投影.在教师与学生一起探究得活动中,应特别点拨引导学生注意:(1)两个非零向量得数量积就是个数量,而不就是向量，它得值为两向量得模与两向量夹角得余弦得乘积;(2）零向量与任一向量得数量积为0,即a·0＝０；（3)符号“·”在向量运算中不就是乘号，既不能省略,也不能用“×”代替；(４）当0≤θ<时cosθ>0,从而ａ·ｂ>0;当<θ≤π时,coｓθ<0,从而a·b<0.与学生共同探究并证明数量积得运算律.已知a、b、c与实数λ，则向量得数量积满足下列运算律：①a·b=b·a(交换律);②（λa)·b=λ(a·b）＝a·（λb)(数乘结合律）；③(a+b)·c=ａ·c+b·c(分配律）.特别就是:（1)当a≠0时，由ａ·b=0不能推出b一定就是零向量.这就是因为任一与ａ垂直得非零向量b,都有ａ·b=0．注意：已知实数ａ、ｂ、c(b≠０）,则aｂ=bca=c.但对向量得数量积,该推理不正确,即a·ｂ=b·ｃ不能推出a=ｃ.由上图很容易瞧出,虽然a·ｂ＝ｂ·c,但a≠ｃ．对于实数a、ｂ、ｃ有(a·b)c＝a(ｂ·c);但对于向量a、b、ｃ,(a·b）ｃ＝a（b·ｃ)不成立．这就是因为(a·b)c表示一个与c共线得向量,而ａ(b·c)表示一个与a共线得向量，而ｃ与a不一定共线，所以(a·b）c=a(b·ｃ)不成立.提出问题①如何理解向量得投影与数量积?它们与向量之间有什么关系？②能用“投影”来解释数量积得几何意义吗？师生活动:教师引导学生来总结投影得概念,可以结合“探究”,让学生用平面向量得数量积得定义,从数与形两个角度进行探索研究.教师给出图形并作结论性得总结,提出注意点“投影”得概念,如下图.定义:|ｂ|coｓθ叫做向量b在a方向上得投影.并引导学生思考、A、投影也就是一个数量,不就是向量;Ｂ、当θ为锐角时投影为正值;当θ为钝角时投影为负值;当θ为直角时投影为0;当θ=0°时投影为|b|;当θ=180°时投影为-|ｂ|．教师结合学生对“投影”得理解,让学生总结出向量得数量积得几何意义:数量积a·ｂ等于a得长度与ｂ在a方向上投影｜ｂ|cosθ得乘积.让学生思考:这个投影值可正、可负，也可为零,所以我们说向量得数量积得结果就是一个实数.教师与学生共同总结两个向量得数量积得性质:设a、ｂ为两个非零向量,θ为两向量得夹角，e就是与ｂ同向得单位向量.Ａ、ｅ·a＝a·e=|ａ｜coｓθ.Ｂ、a⊥ba·ｂ=0．C、当a与b同向时,ａ·b＝|a||ｂ|；当a与b反向时,a·b=-|ａ||b|.特别地a·a＝｜ａ|２或|a|=.Ｄ、cosθ=.E、｜a·b｜≤|ａ||b|．上述性质要求学生结合数量积得定义自己尝试推证,教师给予必要得补充与提示，在推导过程中理解并记忆这些性质.讨论结果:①略．②向量得数量积得几何意义为数量积ａ·b等于a得长度与b在a方向上投影|ｂ|co ｓθ得乘积.三、拓展创新,应用提高例1 已知|a｜=5,|b|＝4,ａ与b得夹角为1２0°，求a·b活动:教师引导学生利用向量得数量积并结合两向量得夹角来求解．解:a·b=|ａ||b｜cosθ=5×4×ｃｏs120°=５×４×()=-１０.点评: 确定两个向量得夹角，利用数量积得定义求解.例 2 我们知道,对任意a,ｂ∈R,恒有(ａ+ｂ)2=ａ2+2ab+ｂ２,（ａ+b）（a-b)=ａ2-b2.对任意向量a、b,就是否也有下面类似得结论?（1)(a+b)2=ａ２＋2a·b+b2；(２）(a＋b）·（ａ-b）=a2-b2．解:(1)(a+b)2=(a+b）·（a＋b)=ａ·b＋ａ·b+b·a＋b·b＝ａ2＋２a·b＋ｂ2;(2）(a+b）·(ａ-b)=a·a-a·b+b·a-b·b=a２-ｂ2.例3已知|ａ|=6,|b|=4，a与b得夹角为６0°，求(ａ+2b)·(ａ-3b)．解：(a＋2b)·（a－3b)=a·a-ａ·b-6b·ｂ=｜a|2－a·ｂ-6｜b|2=|a|２-|a||b|cosθ－6｜ｂ|２＝6２-6×4×cos６0°-6×4２＝－72．例4已知|ａ|＝3,｜b｜=4，且a与b不共线,当k为何值时，向量a+k b与a－ｋb互相垂直？解：a+kｂ与a－k b互相垂直得条件就是(ａ+ｋb）·（a－k b)=0,即ａ２－k2b2=0.∵a2=32=９,ｂ2＝42=16，∴９－1６k2=0.∴k＝±.也就就是说,当k＝±时,a＋ｋb与a-k b互相垂直．点评:本题主要考查向量得数量积性质中垂直得充要条件．四、小结1．先由学生回顾本节学习得数学知识,数量积得定义、几何意义，数量积得重要性质,数量积得运算律.２.教师与学生总结本节学习得数学方法,归纳类比、定义法、数形结合等．在领悟数学思想方法得同时，鼓励学生多角度、发散性地思考问题,并鼓励学生进行一题多解．课堂作业1.已知a,b，ｃ就是非零向量，则下列四个命题中正确得个数为( ）①｜ａ·b|＝|a|｜ｂ｜a∥ｂ②ａ与b反向a·b=-|ａ||b｜③ａ⊥b|a+b|=｜a-b| ④|a|＝|b||a·c|=|b·c|A.1 Ｂ．２ C.3 D.４2.有下列四个命题:①在△ＡBC中,若·>0,则△ABC就是锐角三角形;②在△AＢＣ中,若·>0,则△AＢC为钝角三角形；③△ABC为直角三角形得充要条件就是·=０;④△ABC为斜三角形得充要条件就是·≠0.其中为真命题得就是（)A．①ﻩＢ.②ﻩＣ.③ D.④3.设|a｜=8,ｅ为单位向量,a与e得夹角为60°,则a在e方向上得投影为（)A.4ﻩB.４C.４２D.8+4.设a、b、c就是任意得非零平面向量，且它们相互不共线,有下列四个命题:①（a·b)c－(c·a)b=0; ②|a|－｜ｂ|<|ａ-ｂ|；③(b·c）a－(c·a)b不与c垂直; ④（3a+2b)·（３ａ-２b)=９|a｜2-４|ｂ｜２.其中正确得就是( )A.①②B．②③ C.③④Ｄ.②④5.在△ABC中，设=b,=c,则等于( )A.0B.S△ＡBCＣ.S△ABCＤ．2S△ABＣ6.设i,ｊ就是平面直角坐标系中x轴、y轴方向上得单位向量,且a=(m+1)i-３ｊ,ｂ=i+(m-1)ｊ,如果(a＋ｂ)⊥（a－ｂ),则实数m=＿_＿_＿____＿__＿．7.若向量a、b、c满足ａ+b＋c=０,且|a|=3,｜ｂ|=1，|c|=４,则a·b+b·c＋c·ａ=__＿______．参考答案:1.C ２.Ｂ 3.B 4.D 5.D 6.-2 7.-1３第２课时教学目标一、知识与技能1.掌握平面向量数量积运算规律、2.能利用数量积得性质及数量积运算规律解决有关问题、３.掌握两个向量共线、垂直得几何判断，会证明两向量垂直,以及能解决一些简单问题．二、过程与方法教师应在坐标基底向量得数量积得基础上，推导向量数量积得坐标表示．通过例题分析、课堂训练,让学生总结归纳出对于向量得坐标、数量积、向量所成角及模等几个因素，知道其中一些因素，求出其她因素基本题型得求解方法.平面向量数量积得坐标表示就是在学生学习了平面向量得坐标表示与平面向量数量积得基础上进一步学习得，这都为数量积得坐标表示奠定了知识与方法基础.三、情感、态度与价值观通过平面向量数量积得坐标表示,进一步加深学生对平面向量数量积得认识,提高学生得运算速度,培养学生得运算能力,培养学生得创新能力,提高学生得数学素质.教学重点、难点教学重点:平面向量数量积得坐标表示.教学难点：向量数量积得坐标表示得应用.教学关键:平面向量数量积得坐标表示得理解.教学突破方法:教师应在坐标基底向量得数量积得基础上，推导向量数量积得坐标表示.并通过练习,使学生掌握数量积得应用.教法与学法导航教学方法:启发诱导,讲练结合、学习方法:主动探究,练习巩固.教学准备教师准备：多媒体、尺规、学生准备:练习本、尺规、教学过程一、创设情境,导入新课前面我们学习了平面向量得坐标表示与坐标运算,以及平面向量得数量积,那么,能否用坐标表示平面向量得数量积呢?若能，如何表示呢？由此又能产生什么结论呢？本节课我们就来研究这个问题．(板书课题)二、主题探究,合作交流提出问题:①已知两个非零向量a=(ｘ1，ｙ1),ｂ=(ｘ2,y２),怎样用a与b得坐标表示a·b呢?②怎样用向量得坐标表示两个平面向量垂直得条件?③您能否根据所学知识推导出向量得长度、距离与夹角公式？师生活动:教师引导学生利用前面所学知识对问题进行推导与探究.提示学生在向量坐标表示得基础上结合向量得坐标运算进行推导数量积得坐标表示.教师可以组织学生到黑板上板书推导过程,教师给予必要得提示与补充.推导过程如下:∵a＝x１ｉ+y1j,b=x２ｉ+y2ｊ,∴ａ·b=(ｘ1i+y1j)·（ｘ２ｉ+ｙ2ｊ)=x1ｘ2ｉ2+ｘ１y２i·j+ｘ2y1i·j+y1ｙ2j2．又∵ｉ·ｉ=1，j·j=1,i·ｊ=j·ｉ=0,∴a·ｂ＝x1x2+ｙ１y２.教师给出结论性得总结,由此可归纳如下:Ａ、平面向量数量积得坐标表示两个向量得数量积等于它们对应坐标得乘积得与，即ａ=(x1,y1）,ｂ＝（x2,y2),则a·b=ｘ1x2+y１y2．B、向量模得坐标表示若ａ＝（ｘ,ｙ)，则|a|2=x2+y2,或|ａ|=.如果表示向量a得有向线段得起点与终点得坐标分别为（x1,y1)、（x2，y２),那么a=(x２-x1,y２-y1）,｜a|＝C、两向量垂直得坐标表示设a＝(x1,y1),b＝(ｘ２，y2）,则a⊥b x１x2＋y１y2=０．Ｄ、两向量夹角得坐标表示设a、b都就是非零向量，a＝（x1，y1),b=(x2,y２),θ就是ａ与b得夹角,根据向量数量积得定义及坐标表示,可得ｃosθ=三、拓展创新,应用提高例1已知A（1,2),B(２，3),Ｃ(－2，5),试判断△ABC得形状,并给出证明．活动：教师引导学生利用向量数量积得坐标运算来解决平面图形得形状问题.判断平面图形得形状,特别就是三角形得形状时主要瞧边长就是否相等,角就是否为直角.可先作出草图，进行直观判定,再去证明.在证明中若平面图形中有两个边所在得向量共线或者模相等,则此平面图形与平行四边形有关；若三角形得两条边所在得向量模相等或者由两边所在向量得数量积为零,则此三角形为等腰三角形或者为直角三角形．教师可以让学生多总结几种判断平面图形形状得方法.解:在平面直角坐标系中标出A(1,2),Ｂ(2,3),C（-2，5)三点,我们发现△ＡBC就是直角三角形．下面给出证明.∵=(2-1,3－2)＝(１，１)，=（-2-１,５-2)=（-3，3),∴·=1×(－3)＋1×３=0.∴⊥.∴△ABC就是直角三角形．点评：本题考查得就是向量数量积得应用,利用向量垂直得条件与模长公式来判断三角形得形状.当给出要判定得三角形得顶点坐标时,首先要作出草图,得到直观判定，然后对您得结论给出充分得证明．例２设a=（5,-7),b=（－6,-4),求a·b及ａ、b间得夹角θ(精确到1°).解:a·ｂ＝5×(-6)+(-7)×(-4)=-３０+２８=-２．|a|=,|b|＝由计算器得cｏsθ=≈－0.03.利用计算器得θ≈1．6rａｄ＝92°.四、小结1.在知识层面上,先引导学生归纳平面向量数量积得坐标表示,向量得模，两向量得夹角,向量垂直得条件.其次引导学生总结数量积得坐标运算规律，夹角与距离公式、两向量垂直得坐标表示.2．在思想方法上,教师与学生一起回顾探索过程中用到得思维方法与数学思想方法，定义法,待定系数法等.课堂作业1．若a＝(2,－3),ｂ=（x,2x),且a·b＝,则ｘ等于（)A.３B.C.ﻩD.-32.设ａ=(１，2),b=(１,m),若a与b得夹角为钝角，则m得取值范围就是( ）A.m＞Ｂ.ｍ＜ C.m> D.m<3．若ａ=(cosα,siｎα）,b=(cosβ，sinβ）,则( )A.a⊥bB.ａ∥bC.(a+ｂ)⊥(a-ｂ)D.(a+b)∥(ａ－b)4.与ａ＝（u,v)垂直得单位向量就是( )A.（)B.()C．(）D.（）或()5.已知向量a＝(coｓ2３°,cｏs67°),b=(cｏs６8°,ｃos22°),u=a+t b(ｔ∈R),求u得模得最小值．6.已知a,b都就是非零向量,且ａ+3b与7ａ-5b垂直,a-4b与7a-2b垂直,求a与b得夹角.7.已知△AＢC得三个顶点为A(1,1）,Ｂ(3，1),C（４，5)，求△ABC得面积.参考答案:1.C2．D ３．Ｃ 4.D5.|a|＝=１，同理有|ｂ|＝1.又ａ·b=cos23°cos6８°+cｏs67°ｃos22°=coｓ23°ｃos６８°＋sｉn２3°ｓin68°=cos45°=，∴|u｜2=(a+t b）2=ａ2+2t a·b+t2b２＝t2+t+1＝(t＋)2+≥.当t=时,|u|mｉn=.6.由已知(a＋3b)⊥（7ａ-５b)（ａ+３b）·(7a－5b）=07a2+16ａ·b-１5ｂ2=０.①又（ａ-4b)⊥(７a-２ｂ)(a-4ｂ)·（7a-2b）=０７a2-30a·b+8b2=0. ②①-②得46a·b=23ｂ2,即a·ｂ＝③将③代入①,可得7|a｜２+8|b|２-15|ｂ｜２=0,即|a|2=|ｂ｜2，有｜a|=|ｂ|,∴若记a与ｂ得夹角为θ,则cｏsθ＝.又θ∈［0°,１80°]，∴θ＝６0°,即a与b得夹角为６0°.7．分析:Ｓ△ABC=||｜|sｉｎ∠BAＣ,而||,||易求，要求sin∠BＡＣ可先求出ｃｏs∠ＢA C.解：∵=（2,0),=(３,4),||＝2,||＝5，∴ｃos∠BAC=.∴siｎ∠BAC=.∴S△ABC＝|｜｜|ｓｉn∠ＢＡC=×2×５×＝4.教案 B第一课时教学目标一、知识与技能1、了解平面向量数量积得物理背景,理解数量积得含义及其物理意义;2、体会平面向量得数量积与向量投影得关系,理解掌握数量积得性质与运算律,并能运用性质与运算律进行相关得判断与运算.二、过程与方法体会类比得数学思想与方法,进一步培养学生抽象概括、推理论证得能力．三、情感、态度与价值观通过自主学习、主动参与、积极探究,学生能感受数学问题探究得乐趣与成功得喜悦，增加学习数学得自信心与积极性,并养成良好得思维习惯．教学重点平面向量数量积得定义,用平面向量得数量积表示向量得模、夹角.教学难点平面向量数量积得定义及运算律得理解，平面向量数量积得应用．教具多媒体、实物投影仪．内容分析本节学习得关键就是启发学生理解平面向量数量积得定义,理解定义之后便可引导学生推导数量积得运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积得认识.主要知识点：平面向量数量积得定义及几何意义；平面向量数量积得3个重要性质;平面向量数量积得运算律.教学流程概念引入→概念获得→简单运用→运算律探究→理解掌握→反思提高教学设想:一、情境设置:问题１：回忆一下物理中“功”得计算,功得大小与哪些量有关?结合向量得学习您有什么想法？力做得功:Ｗ= ||⋅｜|cosθ,θ就是与得夹角.(引导学生认识功这个物理量所涉及得物理量,从“向量相乘”得角度进行分析)二、新课讲解１.平面向量数量积（内积)得定义：已知两个非零向量ａ与ｂ,它们得夹角就是θ，则数量|a|｜b｜ｃosθ叫a与ｂ得数量积,记作a⋅ｂ,即有a⋅b= |ａ||b|ｃｏsθ,(０≤θ≤π).并规定:０与任何向量得数量积为0.问题2:定义中涉及哪些量？它们有怎样得关系?运算结果还就是向量吗?（引导学生认清向量数量积运算定义中既涉及向量模得大小,又涉及向量得交角,运算结果就是数量)注意:两个向量得数量积与向量同实数积有很大区别．(1)两个向量得数量积就是一个实数，不就是向量,符号由cosθ得符号所决定．（2)两个向量得数量积称为内积,写成a⋅b；今后要学到两个向量得外积a×b,而a⋅ｂ就是两个向量得数量得积，书写时要严格区分.符号“·”在向量运算中不就是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.(３)在实数中,若a≠0,且ａ⋅b=０,则b=0;但就是在数量积中,若a≠0,且a⋅b=０,不能推出b=0.因为其中cｏsθ有可能为0.（4）已知实数a、b、c（b≠0）,则ab=bc ⇒a=c.但就是在向量得数量积中,a⋅b= b⋅c 推导不出ａ= c、如下图:ａ⋅b= |a|｜b|cosβ = |ｂ｜|OA|，b⋅c= |b||c|cosα = |b||ＯA|⇒ａ⋅ｂ=b⋅c,但ａ≠ｃ、(5)在实数中,有(a⋅b)c = a(b⋅c),但就是在向量中,(ａ⋅b)c≠a(ｂ⋅c)显然，这就是因为左端就是与c共线得向量,而右端就是与a共线得向量,而一般a 与ｃ不共线．( “投影”得概念):作图２．定义:|b|ｃosθ叫做向量b在a方向上得投影．投影也就是一个数量,不就是向量;当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值;当θ为直角时投影为0;当θ＝０︒时投影为|b|;当θ =18０︒时投影为-|b｜．３.向量得数量积得几何意义:数量积a⋅b等于a得长度与ｂ在a方向上投影|b|cosθ得乘积．例1已知平面上三点Ａ、B、C满足||=2,|｜=1,|｜=,求·+·+.得值、解:由已知,||2+|｜２=|｜２,所以△ABＣ就是直角三角形、而且∠ACB=９0°,从而sin∠ABC=,sin∠BAC=、∴∠ABC=60°，∠BAC=3０°、∴与得夹角为120°，与得夹角为90°,与得夹角为15０°、故·+·＋·=2×1×ｃos12０°＋1×ｃos90°+×２coｓ１５0°=－4、点评：确定两个向量得夹角，应先平移向量,使它们得起点相同,再考察其角得大小,而不就是简单地瞧成两条线段得夹角，如例题中与得夹角就是1２0°,而不就是6０°、探究1：非零向量得数量积就是一个数量,那么它何时为正,何时为０,何时为负？当0°≤θ<９０°时a·b为正;当θ =９０°时a·b为零;９0°<θ ≤180°时ａ·b为负、探究2:两个向量得夹角决定了它们数量积得符号,那么它们共线或垂直时,数量积有什么特殊性呢？4．两个向量得数量积得性质：设ａ、b为两个非零向量.(1）a⊥b⇔a⋅b＝０.(２)当a与b同向时,a⋅b= |a｜|b|;当a与ｂ反向时,ａ⋅ｂ= -|a｜|b|.特别得ａ⋅ａ=｜a|２或.(3) |ａ⋅b|≤|ａ｜|b|.公式变形：ｃosθ =探究3：对一种运算自然会涉及运算律,回忆过去研究过得运算律,向量得数量积应有怎样得运算律？(引导学生类比得出运算律,老师作补充说明)向量a、b、ｃ与实数λ,有(1) a⋅b= b⋅a(2)(λa)⋅b= λ(a⋅ b )＝a⋅(λb)(3)(a +b)⋅ c= ａ·c+b⋅ c(进一步)您能证明向量数量积得运算律吗？(引导学生证明(1)、(2))例2 判断正误：①a·0＝0；②0·a=０;③０-=;④|a·b｜=|a|｜ｂ｜；⑤若a≠0，则对任一非零ｂ有a·b≠0;⑥a·b=0,则a与ｂ中至少有一个为0;⑦对任意向量ａ，ｂ，с都有（a·b）с=a(ｂ·с）;⑧a 与b就是两个单位向量,则ａ2＝b2.上述8个命题中只有②③⑧正确;例3已知｜ａ｜＝３,|b|＝6，当①a∥ｂ，②a⊥ｂ,③a与b得夹角就是6０°时,分别求a·b．解:①当a∥ｂ时,若ａ与ｂ同向,则它们得夹角θ＝0°,∴a·ｂ=|a｜·｜b|ｃos０°＝3×6×１=18;若a与b反向,则它们得夹角θ＝18０°，∴a·b＝｜a｜｜b｜cｏs1８0°＝３×6×(-1)=－1８;②当ａ⊥ｂ时,它们得夹角θ＝90°,∴a·b＝０;③当a与ｂ得夹角就是６0°时,有ａ·ｂ＝|a｜｜b｜ｃoｓ60°＝3×６×=9.评述:两个向量得数量积与它们得夹角有关，其范围就是[0°,18０°］,因此,当ａ∥ｂ时，有0°或18０°两种可能.评述：这一类型题,要求学生确实把握好数量积得定义、性质、运算律.三、课堂练习1.已知｜ａ｜=1,｜b｜＝,且(ａ-b)与ａ垂直，则a与b得夹角就是（)Ａ．60° B.30°Ｃ.1３５° D.4５°２.已知｜a|=２，｜b|=1,a与b之间得夹角为，那么向量m=a－4b得模为( )A.2 B．2 C.６D．1２3.已知a、b就是非零向量,若|ａ|=|b|则（a+ｂ)与(a-b)、4．已知向量a、b得夹角为,|a|＝2，|b｜=1,则|a+b|·|a-b|＝.５.已知a+b=2i－8ｊ,a－ｂ＝-8i+16j，其中ｉ、j就是直角坐标系中ｘ轴、y轴正方向上得单位向量,那么ａ·b＝．６．已知｜a|=1,|b|=,(1）若a∥ｂ,求a·ｂ;(2)若a、b得夹角为45°,求|a＋b|;(３)若a －b与a垂直,求ａ与ｂ得夹角.参考答案：１.Ｄ2．Ｂ３．垂直 4. 5.-3６、解：（1)若a、ｂ方向相同,则ａ·b=；若a、b方向相反，则a·b=;(2)|a+b|=.（3)４5°.四、知识小结(1)通过本节课得学习，您学到了哪些知识?（2)关于向量得数量积,您还有什么问题?五、课后作业教材第1０8页习题2．4Ａ组1、2、3、6、7教学后记数学课堂教学应当就是数学知识得形成过程与方法得教学,数学活动就是以学生为主体得活动,没有学生积极参与得课堂教学就是失败得.本节课教学设计按照“问题——讨论——解决”得模式进行,并以学生为主体,教师以课堂教学得引导者、评价者、组织者与参与者同学生一起探索平面向量数量积定义、性质与运算律得形成与发展过程.始终做到以“学生为主体、教师为主导、思维为主攻、训练为主线”.第2课时教学目标一、知识与技能掌握平面向量得数量积坐标运算及应用.二、过程与方法1、通过平面向量数量积得坐标运算,体会向量得代数性与几何性、2、从具体应用体会向量数量积得作用．三、情感、态度与价值观学会对待不同问题用不同得方法分析得态度、教学重点、难点教学重点:平面向量数量积得坐标表示、教学难点:平面向量数量积得坐标表示得综合运用、教具多媒体、实物投影仪、教学设想一、复习引入向量得坐标表示，为我们解决有关向量得加、减、数乘运算带来了极大得方便.上一节,我们学习了平面向量得数量积,那么向量得坐标表示,对平面向量得数量积得表示方式又会带来哪些变化呢?由此直接进入主题.二、探究新知:⒈平面两向量数量积得坐标表示已知两个非零向量,,试用与得坐标表示.设就是轴上得单位向量,就是轴上得单位向量，那么，.所以.又,，,所以．这就就是说:两个向量得数量积等于它们对应坐标得乘积得与.即．2.平面内两点间得距离公式(１）设,则或.如果表示向量得有向线段得起点与终点得坐标分别为、,那么(平面内两点间得距离公式）.(２）向量垂直得判定设，,则ﻩ.(3)两非零向量夹角得余弦()ｃosθ=.三、例题讲解例1已知a＝(３，-1),b = (1, ２),求满足x⋅a = 9与x⋅b = -4得向量x.解:设x = (t,ｓ）,由、∴ｘ= (２，-３)、例2 已知a=(1,),b＝(+１,-１)，则a与b得夹角就是多少?分析:为求a与b夹角,需先求a·ｂ及｜a｜·|b｜,再结合夹角θ得范围确定其值.解:由ａ=(1,),ｂ＝(＋1，－1)、有a·b＝＋1＋(－１)=４，｜a｜＝2,｜b|＝２．记a与b得夹角为θ,则ｃosθ＝、又∵0≤θ≤π,∴θ=、评述:已知三角形函数值求角时,应注重角得范围得确定.例3如图,以原点与Ａ(５, ２）为顶点作等腰直角△OAB,使∠Ｂ＝90︒,求点B 与向量得坐标.解：设B点坐标(x, y),则= （x, y),＝(x-５, y-2)、∵⊥∴ｘ(x-5)+ ｙ（ｙ-2) = 0即:x2 + y2-５x- 2y = 0、又∵|｜= || ∴x2 +ｙ２= (x-5)2 + (ｙ-2）2即:１0x +４y= 29、由、∴B点坐标或；=或、例4在△ABＣ中,＝（２, 3),=（1，k),且△ABC得一个内角为直角，求k值. 解:当∠A = ９0︒时，⋅＝0，∴2×１+３×k = 0,∴k =.当∠B = 9０︒时,⋅＝0,=-＝(１-2, k-3）= (-1, k-3）,∴2×（-1) +3×(k-３) =0 ∴ｋ＝.当∠Ｃ=9０︒时,⋅= 0,∴-1+ ｋ(ｋ-3) =0，∴k =.四、小结1.本节课得内容:有关公式、结论(由学生归纳、总结)、2.本节课得思想方法:数形结合思想、分类讨论思想、方程(组)思想等、五、课外作业教材第107页练习.。
高三数学一轮复习教案：8平面向量的数量积与应用举例 四
必修Ⅳ－08 平面向量的数量积与应用举例1．已知两个非零向量a b 与,我们把数量 叫做a b 与的数量积（或内积）,记作a b •，即规定a b •= ,其中θ是a b 与的 ,cos b θ叫做向量b a 在方向上的 。
零向量与任一向量的数量积为 .2．设a b 与都是非零向量，由数量积的定义可得：a b ⊥⇔ ，a b 与同向时， a b •= ,a b 与反向时，a b •= ，a a •= ，即a = （此结论可以求出量的模）。
a b •的几何意义：数量积a b •等于a 的长度 与b a 在方向上的投影 的乘积.3．向量数量积的运算律有：a b •= (交换律)；()a b λ•= （结合律）()a b c +•= （分配律）.4．若1122(,),(,)a x y b x y ==则a b •= .若表示向量a 的有向线段AB 的起点11(,)A x y 和终点22(,)B x y ，则a = (这是平面内两点间的距离公式）.若1122(,),(,)a x y b x y ==则a b ⊥⇔ 。
,a b 的夹角为θ,则cos θ= .5．向量在几何中的应用：平面几何图形的许多性质，如平移,全等，相似，长度，夹角等都可以由 。
向量方法解决平面几何问题“三步曲”（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将 ；(2)通过 研究几何元素之间的关系和距离、夹角等问题；(3)把运算结果 成几何关系。
6．向量在物理中的应用：由于力、速度是向量,它的分解与合成与向量的 相似，可以用向量的方法来解决.:例1．（2005，北京）若1,2,()0a b a a b ==•+=则a b 与的夹角为( ） A 030 B 060 C 0120 D 090例2．(2008，宁夏,海南）已知(1,3),(4,2),a b a b a λ=-=-+与垂直,则λ=（） A -1 B 1 C —2 D 2例3．已知a b 与的夹角为060，||4,(2)(3)72b a b a b =+⋅-=-，求a 。
2015高考数学(理)一轮复习考点突破课件：4.3平面向量的数量积及应用举例
【解】 (1)证明：由|a－b|＝ 2得(a－b)2＝2， 即|a|2－2a· b＋|b|2＝2. 又∵|a|2＝|b|2＝1 ∴a· b＝ 0 因此，a⊥b. (2)由 a＋b＝c
cos α＋cos β＝0 得 sin α＋sin β＝1
，
由 cos α＝－cos β，0＜β＜α＜π 得 α＋β＝π. 又 sin α＋sin β＝1， 1 ∴sin α＝sin β＝2. 5π π ∴α＝ 6 ，β＝6.
第3课时
平面向量的数量积及应用举例
• • • • •
(一)考纲点击 1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义． 2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系． 3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算． 4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平 面向量的垂直关系．
• •
|x|2 1 当 x≠0 时， 2＝ ； y |b| y2 ＋ 3 ＋1 x x
y ∵x2＋ y 1 3x＋1≥ ， 4
|x|2 ∴|b|2≤4. |x| ∴|b|≤2. 答案：2
易错易混：向量综合运算的问题 → → 【典例】 (2014· 衡阳模拟)已知向量AB＝(2－k，－1)，AC＝(1， k)． (1)若△ABC 为直角三角形，求 k 值； (2)若△ABC 为等腰直角三角形，求 k 值．
1．两个向量的夹角 → 已知两个非零向量 a 和 b(如图)，作OA＝a， → OB＝b，则∠AOB＝θ(0° ≤θ≤180° )叫做向量 a 与 b 的夹角，当 θ＝0° 时，a 与 b 同向；当 θ＝180° 时，a 与 b 反向 ；如果 a 与 b 的夹角是 90° ，我们说 a 与 b 垂直，记作 a⊥b.
b＝0 ； (2)a⊥b⇔ a· －|a||b| ， (3)当 a 与 b 同向时， a· b＝|a|· |b|； 当 a 与 b 反向时， a· b＝
高中数学苏教版必修4教案：第二章 平面向量 第8课时 2.4向量的数量积(1)
第8课时 §2.4 向量的数量积（1）【教学目标】一、知识与技能（1）掌握向量的数量积及其几何意义；（2）掌握向量数量积的重要性质及运算律；（3）了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；（4）掌握向量垂直的条件.二、过程与方法从问题的探究和解决中感受什么是向量的数量积三、情感、态度与价值观通过师生互动，自主探究，交流与学习培养学生探求新知识以及合作交流【教学重点难点】平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用【教学过程】一、创设情景：向量的运算有向量的加法、减法、数乘，那么向量与向量能否“相乘”呢？ 二、新课讲解 引入：物理学中，物体所做的功的计算方法：||||cos W F s θ=（其中θ是F 与s 的夹角）．1．向量的夹角： 已知两个向量a 和b （如图2），作OA a =，OB b = AOB θ∠=（0180θ≤≤）叫做向量a 与b 当0θ=时，a 与b 同向；当180θ=时，a 与b 反向； 当90θ=时，a 与b 的夹角是90，我们说a 与b 垂直，记作a ⊥b ．2．向量数量积的定义：A a bθ（图）已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，则数量||||cos a b θ⋅⋅叫做a 与b 的数量积（或内积），记作a b ⋅，即||||cos a b a b θ⋅=⋅⋅．说明：①两个向量的数量积是一个数量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角有关；②实数与向量的积与向量数量积的本质区别：两个向量的数量积是一个数量；实 数与向量的积是一个向量；③规定，零向量与任一向量的数量积是0 ．3、数量积的性质：设a 、b 都是非零向量，θ是a 与b 的夹角，则 ①cos ||||a b a b θ⋅=； ②当a 与b 同向时，||||a b a b ⋅=；当a 与b 反向时，||||a b a b ⋅=-；特别地：2||a a a ⋅=或||a a a =⋅； ③||||||a b a b ⋅≤； ④a b ⊥0a b ⇔⋅=；若e 是与b 方向相同的单位向量，则⑤||cos e a a e a θ⋅=⋅=． 4．数量积的几何意义：（1）投影的概念：如图，OA a =，，过点B 作1BB 垂直于直线OA ，垂足为1B ，则1||cos OB bθ=．B b111||cos b θ叫做向量b 在a 方向上的投影，当θ为锐角时，它是正值；当θ为钝角时，它是一负值；当90θ=时，它是0；当0θ=时，它是||b ；当180θ=时，它是||b -．（2）a b ⋅的几何意义：数量积a b ⋅等于a 的长度||a 与b 在a 的方向上的投影||cos b θ的乘积。
2015年高考数学(理)一轮总复习课件：第四章+平面向量与复数 第2节 平面向量的基本定理及坐标运算
变式训练 3 (1)(2013·皖南八校高三第三次联考)已知向
量 a＝(－1,2)，b＝(2,0)、c＝(1，－1)，若向量(λa＋b)∥c，
则实数 λ 为( )
A．－2
B．－1
C．－13
D．－23
(2)若平面向量 a，b 满足|a＋b|＝1，a＋b 平行于 x 轴，
－3)＝－ 3×(－1， 3)，故向量 c 可以是(－1， 3)
【答案】 D
第二十二页，编辑于星期五：十一点 五十七分。
考向 3 平面向量共线的坐标表示
【例 3】 (1)已知向量O→A＝(3，－4)，O→B＝(6，－3)，O→C
＝(m，m＋1)，若A→B∥O→C，则实数 m 的值为( )
A．－32
4．(2013·辽宁高考)已知点 A(1,3)，B(4，－1)，则与向量
A→B同方向的单位向量为( )
A.35，－45
B.45，－35
C.－35，45
D.－45，35
【解析】 A→B＝(3，－4)，则与其同方向的单位向量 e
＝|AA→→BB|＝15(3，－4)＝35，－45. 【答案】 A
第二十九页，编辑于星期五：十一点 五十七分。
三个结论 1.若 a 与 b 不共线，λa＋μb＝0，则 λ＝μ＝0. 2．已知O→A＝λO→B＋μO→C(λ，μ 为常数)，则 A，B，C 三 点共线的充要条件是 λ＋μ＝1. 3．平面向量的基底中一定不含零向量．
B．－14
1 C.2
3 D.2
(2)(2012·重庆高考改编)设 x，y∈R，向量 a＝(x,1)，b＝
(1，y)，c＝(2，－4)，且 a⊥c，b∥c，则|a＋b|＝________.
高三高考一轮复习优秀导学案：平面向量的数量积及应用
平面向量的数量积及应用（导学案）一、知识梳理：(请同学们阅读必修四) 1. 平面向量的夹角及表示:(1).平面向量的夹角的定义 (2).范围: 表示方法:当夹角为0或时,则称a 与b ,记作: ; 当夹角为9时,则称a 与b ,记作: ; 2.向量的数量积定义:3.数量积几何意义与投影的概念:4.数量积的性质:设a 与b 是非零向量,e 是单位向量,是a 与e 的夹角,则 ① = ；②a b 时，a b ③同向量，④反向量，⑤| =特别地：=++2a b=+-2a b (a+b) (a-b)=-⑥数量积的运算律: 交换律： ；结合律： ；分配律：⑦数量积的坐标运算： ； ⑧两向量垂直叛定： ； ⑨两向量夹角公式： ；⑩向量的模及两点间的距离： ； 二、题型探究探究一：平面向量的数量积运算例1：已知|a |=5，|b |=4，a 与b 的夹角为12，求： ○1○2○3- ； ○4（2a-b ）（a+3b ）探究二、数量积的综合应用例2：已知向量a 和b 的夹角是120°，且2||=a ，5||=b ，则a b a⋅-)2(=例3：已知平面上三个向量a 、b 、c的模均为1，它们相互之间的夹角均为120°， （1）求证：)(b a-⊥c ；（2）若1||>++c b a k)(R k ∈，求k 的取值范围.例4：已知：a 、b 、c 是同一平面内的三个向量，其中a =（1，2） （1）若|c |52=，且a c //，求c 的坐标； （2）若|b |=,25且b a 2+与b a -2垂直，求a 与b 的夹角θ. 三、方法提升运用向是的数量积可以解决有关长度、角度等问题，也可以解决有关向量位置关系问题。
四、课时训练：1．已知向量)sin ,(cos θθ=a ,向量)1,3(-=b 则|2|b a -的最大值，最小值分别是（）()A 0,24 ()B 24,4 ()C 16，0 ()D 4，02．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点)1,3(A ，)3,1(-B ，若点C 满足OB OA OC βα+=，其中R ∈βα,，且1=+βα，则点C 的轨迹方程为：（ ）()A 01123=--y x ()B 5)2()1(22=-+-y x ()C 02=-y x ()D 052=-+y x3．已知向量)75sin ,75(cos =a ，)15sin ,15(cos=b ，那么||b a -的值是（ ）()A 21 ()B 22 ()C 23 ()D 14．在ABC ∆中，0<⋅AC AB ，ABC ∆的面积是415，若3||=AB ，5||=AC ，则BAC ∠=( )()A 6π()B 32π ()C 43π ()D 65π5．已知O 为原点，点,A B 的坐标分别为)0,(a A ，),0(a B ，其中常数0>a ，点P 在线段AB 上，且有AB t AP =)10(≤≤t ，则OP OA ⋅的最大值为 （ ）()A a ()B a 2 ()C a 3 ()D 2a6．设12,F F 是双曲线1422=-y x 的两个焦点，点P 在双曲线上，且120PF PF ⋅=，则||||21PF PF ⋅的值等于 （ ）()A 2 ()B 22 ()C 4 ()D 87.设,,a b c 是任意的非零平面向量，且相互不共线，则 ①()()0a b c c a b ⋅-⋅=； ② ||||||a b a b -<-③()()b c a c a b ⋅-⋅不与c 垂直 ④22(32)(32)9||4||a b a b a b +⋅-=-中，是真命题的有 ( )（A ）①② （B ）②③ （C ）③④ （D ）②④8．设,,,O A B C 为平面上四个点，a OA =，b OB =，c OC =，且0=++c b a ，c b b a ⋅=⋅=a c ⋅1-=，则||||||c b a++＝___________________。
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么时候为正，什么时候为负？
rr r r
r rr r
a b | a || b | cos (a 0,b 0)
rB
b
rA
a
r
r
O a A B1 O b B
大于零
等于零精选整理
Ar
a
A1 O
r
bB
小于零
7
性质总结
rr r r
a b | a || b | cos
r rr r (a 0,b 0)
r r rr
||
ar
||
r b
|
精选整理
8
练习2
rr
r rr
1.若a=0,则对任一向量b,有a b 0 √
rr
r rr
2.若a 0,则对任一非零向量b,有a b 0 ×
r rr r
rr
3.若a 0, a b 0,则b 0 ×
rr
rr
r
4.若a b 0,则a,b中至少有一个为0 ×
r rr r r r r r 5.若a 0,a b b c,则a c ×
rr rr r r
rr
6.若a b a c,则b c,当且仅当a 0时成立.×
rr 7.对任意向量a有a
2
r a2
√
精选整理
9
阅读思考
(1)ar
b平r 面b向r 量ar 的数量积的运算律：
(2)(ar )
r b
(ar
r b)
ar
r
(b )
(3)(ar
r b
)
cr
ar
cr
r b
cr
其中，a、b、c是任意三个向量， R
(ar
2015届高考数学一轮总复习 5-3平面向量的数量积
2015届高考数学一轮总复习 5-3平面向量的数量积基础巩固强化一、选择题1．(2013·湖北理，6)已知点A (－1,1)、B (1,2)、C (－2，－1)、D (3,4)，则向量AB →在CD →方向上的投影为( )A.322B.3152C ．－322D ．－3152[答案] A[解析] ∵AB →＝(2,1)，CD →＝(5,5)，∴AB →·CD →＝2×5＋1×5＝15，|CD →|＝52，所求投影为|AB →|cos<AB →，CD →>＝AB →·CD →|CD →|＝1552＝322，故选A.2．(文)若向量a 与b 的夹角为120°，且|a |＝1，|b |＝2，c ＝a ＋b ，则有( ) A ．c ⊥a B ．c ⊥b C ．c ∥b D ．c ∥a[答案] A[解析] c ·a ＝|a |2＋a ·b ＝1＋1×2×cos120°＝0. 故c ⊥a .(理)(2013·山东师大附中模拟)平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2,0)，|b |＝1，则|a ＋b |＝( ) A ．9 B.7 C ．3 D ．7[答案] B[解析] |a |＝2，a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝2×1×12＝1，所以|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2＋2a ·b ＝4＋1＋2＝7，所以|a ＋b |＝7，选B.3．(文)(2013·辽宁理，9)已知点O (0,0)，A (0，b )，B (a ，a 3)．若△OAB 为直角三角形，则必有( ) A ．b ＝a 3 B ．b ＝a 3＋1aC ．(b －a 3)(b －a 3－1a )＝0D ．|b －a 3|＋|b －a 3－1a|＝0[解析] 依题意，a ≠0.因为△ABC 是直角三角形，则O 不可能为直角顶点，若∠A 为直角，则有b ＝a 3；若∠B 为直角，则有OB →⊥AB →，OB →·AB →＝(a ，a 3)·(a ，a 3－b )＝a 2＋a 3(a 3－b )＝0，所以b ＝a 3＋1a，选C. (理)(2013·北京四中期中)若O 是△ABC 所在平面内的一点，且满足(BO →＋OC →)·(OC →－OA →)＝0，则△ABC 一定是( )A ．等边三角形B ．等腰直角三角形C ．直角三角形D ．斜三角形[答案] C[解析] 由(BO →＋OC →)·(OC →－OA →)＝0得BC →·AC →＝0，即BC ⊥AC ，所以∠C ＝90°，所以△ABC 为直角三角形，选C.4．(2012·新疆维吾尔自治区检测)已知A 、B 、C 是圆O ：x 2＋y 2＝r 2上三点，且OA →＋OB →＝OC →，则AB →·OC →等于( )A ．0 B.12 C.32 D ．－32[答案] A[解析] ∵A 、B 、C 是⊙O 上三点，∴|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝r (r >0)，∵OA →＋OB →＝OC →，∴AB →·OC →＝(OB →－OA →)·(OB →＋OA →)＝|OB →|2－|OA →|2＝0，故选A. 5．已知△ABC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，a ·b <0，S △ABC ＝154，|a |＝3，|b |＝5，则∠BAC 等于( ) A ．30° B ．120° C ．150° D ．30°或150°[答案] C[解析] S △ABC ＝12|a ||b |sin ∠BAC ＝154，∴sin ∠BAC ＝12.又a ·b <0，∴∠BAC 为钝角，∴∠BAC ＝150°，选C.6．(文)(2013·上海徐汇一模)设a ，b ，c 是单位向量，且a ·b ＝0，则(a －c )·(b －c )的最小值为( ) A ．－2 B.2－2 C ．－1D ．1－ 2[解析] (a －c )·(b －c )＝c 2－c ·(a ＋b ) ≥1－|c ||a ＋b |＝1－(a ＋b )2＝1－ 2.(理)已知|a |＝2，|b |＝6，a ·(b －a )＝2，则|a －λb |的最小值为( ) A ．4 B ．2 3 C ．2 D. 3[答案] D[解析] ∵a ·(b －a )＝a ·b －|a |2＝a ·b －4＝2，∴a ·b ＝6，|a －λb |2＝|a |2＋λ2|b |2－2λa ·b ＝36λ2－12λ＋4＝36(λ－16)2＋3≥3，∴|a －λb |≥3，故选D.二、填空题7．(文)(2013·山东潍坊联考)向量a ，b 满足(a －b )·(2a ＋b )＝－4，且|a |＝2，|b |＝4，则a ，b 的夹角等于________．[答案] 120°[解析] 由(a －b )·(2a ＋b )＝－4得， 2|a |2－a ·b －|b |2＝－4，即a ·b ＝－4， 所以cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－42×4＝－12，所以〈a ，b 〉＝120°.(理)已知|a |＝|b |＝2，(a ＋2b )·(a －b )＝－2，则a 与b 的夹角为________． [答案] π3[解析] (a ＋2b )·(a －b )＝－2，即|a |2＋a ·b －2|b |2＝－2，∴22＋a ·b －2×22＝－2，a ·b ＝2， 又cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝22×2＝12，〈a ，b 〉∈[0，π]，所以a 与b 的夹角为π3.8．(2013·巢湖质检)已知点G 是△ABC 的重心，若∠A ＝120°，AB →·AC →＝－2，则|AG →|的最小值是________．[答案] 23[解析] －2＝AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos A ＝|AB →|·|AC →|×(－12)，得|AB →|·|AC →|＝4，由三角形重心性质可得AB →＋AC →＝3AG →.9|AG →|2＝|AB →|2＋|AC →|2＋2AB →·AC →≥2|AB →|·|AC →|＋2AB →·AC →＝2×4＋2×(－2)＝4， 所以|AG →|min ＝23.9．已知OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(5－m ，－3－m )． (1)若点A 、B 、C 能构成三角形，则实数m 应满足的条件为________． (2)若△ABC 为Rt △，且∠A 为直角，则m ＝______. [答案] m ∈R 且m ≠12 74[解析] (1)若点A 、B 、C 能构成三角形，则这三点不共线． ∵AB →＝(3,1)，AC →＝(2－m,1－m )，∴3(1－m )≠2－m ，∴m ≠12.即实数m ≠12，满足条件．(2)若△ABC 为直角三角形，且∠A 为直角，则AB →⊥AC →，∴3(2－m )＋(1－m )＝0，解得m ＝74.三、解答题10．(文)三角形的三个内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，设向量m ＝(c －a ，b －a )，n ＝(a ＋b ，c )，若m ∥n .(1)求角B 的大小；(2)若sin A ＋sin C 的取值范围． [解析] (1)由m ∥n 知c －a a ＋b ＝b －ac ，即得b 2＝a 2＋c 2－ac ，据余弦定理知， cos B ＝12，得B ＝π3.(2)sin A ＋sin C ＝sin A ＋sin(A ＋B )＝sin A ＋sin(A ＋π3)＝sin A ＋12sin A ＋32cos A ＝32sin A ＋32cos A＝3sin(A ＋π6)，∵B ＝π3，∴A ＋C ＝2π3，∴A ∈(0，2π3)，∴A ＋π6∈(π6，5π6)，∴sin(A ＋π6)∈(12，1]，∴sin A ＋sin C 的取值范围为(32，3]． (理)(2013·浙江重点中学联谊学校期中)已知a ＝(cos 3θ2，sin 3θ2)，b ＝(cos θ2，－sin θ2)，且θ∈[0，π3]．(1)求a ·b|a ＋b |的最值； (2)是否存在k 的值使|k a ＋b |＝3|a －k b |? [解析] (1)由已知得a ·b ＝cos 3θ2cos θ2－sin 3θ2sin θ2＝cos2θ，∵θ∈[0，π3]，∴|a ＋b |＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝2＋2cos2θ＝2cos θ， ∴a ·b |a ＋b |＝cos2θ2cos θ＝cos θ－12cos θ，令cos θ＝t ，t ∈[12，1]，∴cos θ－12cos θ＝t －12t ，(t －12t )′＝1＋12t 2>0，∴y ＝t －12t 为增函数，其最大值为12，最小值为－12，∴a ·b |a ＋b |的最大值为12，最小值为－12.(2)假设存在k 的值满足题设条件，则|k a ＋b |2＝3|a －k b |2. ∵|a |＝|b |＝1，a ·b ＝cos2θ， ∴cos2θ＝1＋k 24k，∵θ∈[0，π3]，∴－12≤cos2θ≤1，∴－12≤1＋k24k≤1，∴2－3≤k ≤2＋3或k ＝－1.能力拓展提升一、选择题11．(文)如图，在△ABC 中，AD ⊥AB ，BC →＝ 3 BD →，|AD →|＝1，则AC →·AD →＝( )A ．2 3 B.32C.33D. 3[答案] D[解析] ∵AC →＝AB →＋BC →＝AB →＋ 3 BD →，∴AC →·AD →＝(AB →＋ 3 BD →)·AD →＝AB →·AD →＋ 3 BD →·AD →，又∵AB ⊥AD ，∴AB →·AD →＝0， ∴AC →·AD →＝ 3 BD →·AD →＝3|BD →|·|AD →|·cos ∠ADB ＝3|BD →|·cos ∠ADB ＝3·|AD →|＝ 3.(理)(2012·大纲全国理，6)△ABC 中，AB 边的高为CD .若CB →＝a ，CA →＝b ，a ·b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，则AD →＝( )A.13a －13bB.23a －23b C.35a －35b D.45a －45b [答案] D [解析]∵a ·b ＝0， ∴∠ACB ＝90°，又|a |＝1，|b |＝2， ∴AB ＝5，∴CD ＝255，∴BD ＝55，AD ＝455. 即AD BD ＝∴AD →＝45AB →＝45(CB →－CA →)＝45(a －b )．故选D.本题的关键点是利用直角三角形的性质确定点D 的位置．12．(文)已知P 是边长为2的正△ABC 边BC 上的动点，则AP →·(AB →＋AC →)( )A ．最大值为8B ．最小值为2C ．是定值6D ．与P 的位置有关[答案] C[解析] 以BC 的中点O 为原点，直线BC 为x 轴建立如图坐标系，则B (－1,0)，C (1,0)，A (0，3)，AB →＋AC →＝(－1，－3)＋(1，－3)＝(0，－23)，设P (x,0)，－1≤x ≤1，则AP →＝(x ，－3)， ∴AP →·(AB →＋AC →)＝(x ，－3)·(0，－23)＝6，故选C.(理)已知a 、b 为非零向量，m ＝a ＋t b (t ∈R )，若|a |＝1，|b |＝2，当且仅当t ＝14时，|m |取得最小值，则向量a 、b 的夹角为( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6[答案] C[解析] ∵m ＝a ＋t b ，|a |＝1，|b |＝2，令向量a 、b 的夹角为θ，∴|m |＝|a ＋t b |＝|a |2＋t 2|b |2＋2t |a ||b |cos θ ＝4t 2＋4t cos θ＋1＝4(t ＋cos θ2)2＋1－cos 2θ. 又∵当且仅当t ＝14时，|m |最小，即14＋cos θ2＝0，∴cos θ＝－12，∴θ＝2π3.故选C.13．(2013·天津月考)若向量a 与b 不共线，a ·b ≠0，且c ＝a －(a ·aa ·b )b ，则向量a 与c 的夹角为( )A ．0 B.π6 C.π3 D.π2[答案] D[解析] 因为c ＝a －(a ·a a ·b )b ，所以a ·c ＝a ·[a －(a 2a ·b )b ]＝a 2－a 2＝0，所以a ⊥c ，即向量a 与c 的夹角为π2，选D.二、填空题14．(2012·湖南文，15)如下图，在平行四边形ABCD 中，AP ⊥BD ，垂足为P ，且AP ＝3，则AP →·AC →＝________.[答案] 18[解析] 过C 作BD 的平行线，与AP 的延长线交于Q 点，则AQ ＝2AP ＝6，则AP →·AC →＝|AP →|·|AC →|cos 〈AP →，AC →〉＝|AP →||AQ →|＝3×6＝18.15．(文)(2013·长春三校调研)△ABC 中，已知AB ＝3，AC ＝2，且AB →·AC →＝AC →2，则BC ＝________.[答案] 5[解析] ∵AB ＝3，AC ＝2，AB →·AC →＝AC →2，∴cos A ＝23，∴利用余弦定理得，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝32＋22－2×3×2×23＝5，∴BC ＝ 5.(理)(2013·天津新华中学月考)平面上的向量MA →与MB →满足|MA →|2＋|MB →|＝4，且MA →·MB →＝0，若点C 满足MC →＝13MA →＋23MB →，则|MC →|的最小值为________．[答案]74 [解析] 由MC →＝13MA →＋23MB →得|MC →|2＝(13MA →＋23MB →)2＝19|MA →|2＋49MA →·MB →＋49|MB →|2 ＝19|MA →|2＋49|MB →|2 ＝19(4－|MB →|)＋49|MB →|2＝49|MB →|2－19|MB →|＋49 ＝49(|MB →|2－14|MB →|)＋49 ＝49(|MB →|－18)2＋716≥716， 所以|MC →|≥716＝74，即|MC →|的最小值为74. 三、解答题16．(文)(2012·东北三校联考)已知向量m ＝(2，－1)，n ＝(sin A 2，cos(B ＋C ))，A 、B 、C 为△ABC的内角，其所对的边分别为a 、b 、c .(1)当m ·n 取得最大值时，求角A 的大小；(2)在(1)的条件下，当a ＝3时，求b 2＋c 2的取值范围．[解析] (1)m ·n ＝2sin A 2－cos(B ＋C )＝－2sin 2A 2＋2sin A 2＋1＝－2(sin A 2－12)2＋32，∵0<A <π，∴0<A 2<π2，∴当sin A 2＝12，即A ＝π3时，m ·n 取得最大值．(2)由a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝3sin π3＝2得，b ＝2sin B ，c ＝2sin C ， ∵C ＝π－A －B ＝2π3－B ，∴b 2＋c 2＝4sin 2B ＋4sin 2C ＝4＋2sin(2B －π6)，∵0<B <2π3，∴－π6<2B －π6<7π6，∴－12<sin(2B －π6)≤1，∴3<b 2＋c 2≤6，∴b 2＋c 2的取值范围为(3,6]．(理)设向量a ＝(4cos α，sin α)，b ＝(sin β，4cos β)，c ＝(cos β，－4sin β)． (1)若a 与b －2c 垂直，求tan(α＋β)的值； (2)求|b ＋c |的最大值；(3)若tan αtan β＝16，求证：a ∥b .[解析] (1)由a 与b －2c 垂直．a ·(b －2c )＝a ·b －2a ·c ＝0， 即4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0，tan(α＋β)＝2. (2)b ＋c ＝(sin β＋cos β，4cos β－4sin β)，|b ＋c |2＝sin 2β＋2sin βcos β＋cos 2β＋16cos 2β－32cos βsin β＋16sin 2β ＝17－30sin βcos β＝17－15sin2β最大值为32， ∴|b ＋c |的最大值为4 2.(3)证明：由tan αtan β＝16得sin αsin β＝16cos αcos β， 即4cos α·4cos β－sin αsin β＝0，∴a ∥b .考纲要求1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义．了解平面向量的数量积与向量投影的关系．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．2．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系． 补充说明1．平行与垂直问题常常转化为两个向量的平行与垂直．2．利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法．3．向量可与函数、三角函数、解析几何、平面几何、解三角形、不等式等知识综合，尤其是向量的数量积更能体现其综合性，向量与三角函数、解三角形、解析几何的综合是高考命题一大特点，值得高度重视．备选习题1．如图所示，点P 是函数y ＝2sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω>0)的图象的最高点，M 、N 是该图象与x轴的交点，若PM →·PN →＝0，则ω的值为( )A.π8B.π4 C ．4D ．8 [答案] B[解析] ∵PM →·PN →＝0，∴PM ⊥PN ，又P 为函数图象的最高点，M 、N 是该图象与x 轴的交点，∴PM ＝PN ，y P ＝2，∴MN ＝4，∴T ＝2πω＝8，∴ω＝π4. 2．(2013·德州乐陵一中月考)关于平面向量a ，b ，c 有下列三个命题：①若a ·b ＝a ·c ，则b ＝c ；②若a ＝(1，k )，b ＝(－2,6)，a ∥b ，则k ＝－3；③非零向量a 和b 满足|a |＝|b |＝|a －b |，则a 与a ＋b 的夹角为60°.其中真命题的序号为________．(写出所有真命题的序号)[答案] ②[解析] ∵a ·b ＝a ·c ，∴a ·(b －c )＝0，∴a ⊥(b －c )，不一定有b ＝c ，则①不正确；当a ＝(1，k )，b ＝(－2,6)，a ∥b 时，6＋2k ＝0，∴k ＝－3，则②正确；非零向量a 和b 满足|a |＝|b |＝|a －b |时，|a |，|b |，|a －b |构成等边三角形，∴a 与a ＋b 的夹角为30°，因此③错误，故真命题的序号为②.3．(2012·东北三校二模)已知M 、N 为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －y －6≤0，x －y ＋2≥0，x ≥0内的两个动点，向量a ＝(1,3)，则MN →·a 的最大值是________．[答案] 40[解析] 作出不等式组表示的平面区域如图，由于a ＝(1,3)，直线AB ：3x －y －6＝0，显见a 是直线AB 的一个方向向量，由于M 、N 是△ABC 围成区域内的任意两个点，故当M 、N 分别为A 、B点时，MN →·a 取最大值，求得A (0，－6)，B (4,6)，∴MN →＝AB →＝(4,12)，∴MN →·a ＝40.。
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必修Ⅳ－08 平面向量的数量积与应用举例
1．已知两个非零向量a b 与，我们把数量 叫做a b 与的数量积（或内积），记作a b ∙，即规定a b ∙= ，其中θ是a b 与的 ，cos b θ叫做向量b a 在方向上的 .零向量与任一向量的数量积为 .
2．设a b 与都是非零向量，由数量积的定义可得：a b ⊥⇔ ，a b 与同向时， a b ∙= ，a b 与反向时，a b ∙= ，a a ∙= ，即a = （此结论可以求出量的模）.a b ∙的几何意义：数量积a b ∙等于a 的长度 与b a 在方向上的投影 的乘积.
3．向量数量积的运算律有：a b ∙= （交换律）；()a b λ∙= （结合律） ()a b c +∙= （分配律）.
4．若1122(,),(,)a x y b x y ==则a b ∙= .若表示向量a 的有向线段AB 的起点11(,)A x y 和终点22(,)B x y ，则a = （这是平面内两点间的距离公式）. 若1122(,),(,)a x y b x y ==则a b ⊥⇔ .,a b 的夹角为θ，则cos θ= .
5．向量在几何中的应用：平面几何图形的许多性质，如平移，全等，相似，长度，
夹角等都可以由 .向量方法解决平面几何问题“三步曲”（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将 ；（2）通过 研究几何元素之间的关系和距离、夹角等问题；（3）把运算结果 成几何关系.
6．向量在物理中的应用：由于力、速度是向量，它的分解与合成与向量的 相似，可以用向量的方法来解决.
例1．（2005，北京）若1,2,()0a b a a b ==∙+=则a b 与的夹角为（ ） A 030 B 060 C 0120 D 090 例2．（2008，宁夏，海南）已知(1,3),(4,2),a b a b a λ=-=-+与垂直，则λ=（ ）
A -1
B 1
C -2
D 2
例3．已知a b 与的夹角为060，||4,(2)(3)72b a b a b =+⋅-=-，求a .
例4．已知(3,),(4,3),a b λ==-若a b 与的夹角为锐角，求λ的取值范围. 例5．已知 1,3,a b ==向量a b 与的夹角为0120，求5a b -.
例6．（2007，江苏）已知向量(3,4),(6,3),(5,3)OA OB OC m m =-=-=---
（1）若点,,A B C 不能构成三角形，求实数m 应满足的条件.
（2）若ABC ∆为直角三角形，求实数m 的值.
例7．已知两点(2,0),(2,0),M N P -点为坐标平面内的动点，满足0MN MP MN NP ∙+∙=，求动点(,)P x y 的轨迹方程.。