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1_4条件概率
§１.４ 条件概率
一、条件概率
⑴条件概率 ⑵乘法公式 二、事件的独立性
《概率统计》
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§1.4.1 条件概率
实际中，有时会遇到在某一事件A已经发生的条件下，求另一 事件B发生的概率，称这种概率为A发生的条件下B发生的条件概率. 例. 抛掷一颗骰子，观察出现的点数. 令 A={出现的点数不超过4}={1,2,3,4}, B={出现的点数是奇数}={1,3,5}, 若已知出现的点数不超过4，求出现的点数是奇数的概率. 即在事件A已发生的条件下，求事件B发生的概率P(B|A).
《概率统计》
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例9.一工人照看三台机床，在一小时内甲乙丙三台机床需 要照看的概率分别为0.9、0.8和0.85，各台机床是否需要照看 是独立的. 求在一小时内：①没有一台机床需要照看的概率； ②至少有一台机床不需要照看的概率；③最多有一台机床需要 照看的概率.
解：设A、B、C 分别表示甲、乙、丙机床需要照看三个
解：设Ai={第i次取得正品}，i=1，2，3. 所求概率分别为
① P ( A 1 A 2 ) P ( A 1) P ( A 2 | A 1) 90 100 89 99 0 . 809 .
② P ( A 1 A 2 A 3 ) P ( A 1) P ( A 2 | A 1) P ( A 3 | A 1 A 2 )
P ( A i1 A i 2
A i k ) P ( A i1 ) P ( A i 2 ) P ( A i k )
则称A1，A2，…，An是相互独立的事件. n 个事件相互独立的性质 ① 若n个事件 A1，A2，…，An 相互独立，则其部分事件组 也相互独立. ②若n个事件A1，A2，…，An相互独立，则将其中部分事件 换为对立事件所得的事件组也相互独立.
一、条件概率
⑴条件概率 ⑵乘法公式 二、事件的独立性
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§1.4.1 条件概率
实际中，有时会遇到在某一事件A已经发生的条件下，求另一 事件B发生的概率，称这种概率为A发生的条件下B发生的条件概率. 例. 抛掷一颗骰子，观察出现的点数. 令 A={出现的点数不超过4}={1,2,3,4}, B={出现的点数是奇数}={1,3,5}, 若已知出现的点数不超过4，求出现的点数是奇数的概率. 即在事件A已发生的条件下，求事件B发生的概率P(B|A).
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例9.一工人照看三台机床，在一小时内甲乙丙三台机床需 要照看的概率分别为0.9、0.8和0.85，各台机床是否需要照看 是独立的. 求在一小时内：①没有一台机床需要照看的概率； ②至少有一台机床不需要照看的概率；③最多有一台机床需要 照看的概率.
解：设A、B、C 分别表示甲、乙、丙机床需要照看三个
解：设Ai={第i次取得正品}，i=1，2，3. 所求概率分别为
① P ( A 1 A 2 ) P ( A 1) P ( A 2 | A 1) 90 100 89 99 0 . 809 .
② P ( A 1 A 2 A 3 ) P ( A 1) P ( A 2 | A 1) P ( A 3 | A 1 A 2 )
P ( A i1 A i 2
A i k ) P ( A i1 ) P ( A i 2 ) P ( A i k )
则称A1，A2，…，An是相互独立的事件. n 个事件相互独立的性质 ① 若n个事件 A1，A2，…，An 相互独立，则其部分事件组 也相互独立. ②若n个事件A1，A2，…，An相互独立，则将其中部分事件 换为对立事件所得的事件组也相互独立.
1.4 条件概率
注2:A1 条件A1,A2,…,An为样本空间Ω的一个划分(分割).可改成 A1,A2,…, An互不相容,且
A2
B
结果
n 关键:找原因,找结果 关键:A 找原因,找结果 ,定理仍然成立 B ∪ i =1 i
An
… …
7
全概率公式:关键:找原因,找结果
例4:预测我儿子以后获得成功的概率. 假设他经商的概率为0.3,经商而成功的概率为0.9 ; 他从政的概率为0.3,从政而成功的概率为0.9 ; 他做学问的概率为0.4,做学问而成功的概率为0.95 . 问:我儿子以后成功的概率是多少? B
则对任意事件B,有:
P ( Ai B ) = PБайду номын сангаас( Ai | B ) = P(B)
P ( Ai ) P ( B | Ai )
n
, i = 1, 2, n
j
∑ P (A )P ( B | A )
j =1 j
已知结果B发生,要求结果B是由第i 原因 n个原因 P ( Ai ) : P( Aj | B): B 结果 先验概率 后验概率
= b r+d r+d +c i i b + r b + r + c + d b + r + 2 c + 2d
P ( B1 R2 R3 ) = br ( r 1) (b + r )(b + r 1)(b + r 2)
1)当c =-1,d =0时,为不放回抽样 2)当c =0,d =0时,为放回抽样 3)当c>0,d=0时,为传染病模型
特别地:P(A∪B|C) = P(A|C) + P(B|C) P(AB|C); 若A与B互不相容,则P( A∪B | C ) = P(A|C) + P(B|C) ; P( | B) = 1 P( A| B ).
1.4条件概率
解:一共有三个回合，设B {乙机被击落}，
Ai {第i个回合乙机击落},i 1,3,则B A1 A3
P(B) P( A1 A3) P( A1) P( A3)显然，P（A1） 0.2
P（A3） P（第一回合中没有击落乙机，第二回合中乙机 没击落甲机，第三回合中甲机击落乙机）
故有P( A3） 0.8 0.7 0.4
(4,1) (4,2) (4,3) (4,5) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4)
事件A包含的基本事件为上三行，AB包含的基 本事件为左上角的6个，则由条件概率公式得：
P( B | A ) P( AB ) 6 / 20 0.5 P( A ) 12 / 20
方法二：按条件概率的直观意义来求P(B|A)
任取3个球来用,比赛后放回盒中,第二次比赛再从盒中任
取3个,求第二次取出的球都是新球的概率.
解：Ai {第1次取得i新球},i 0,1, 2,3；B {第二次取得3新球}；
3
利用全概率公式得：P(B) P(Ai) p(B | Ai) i0
P(B
|
Ai )
P(
C3 7i
C135
Ai
;i
)
C7i C83i C135
3
4
5
解：P(A) P(B)P(A| B) P(B)P(A | B)
1 [1 P(A | B)] 2[1 P(A | B)] 1 4 2 3 23
3
3
3 5 3 4 30
例 一商店出售的某型号的电子管是甲,乙,丙三家工厂生产的,其中 甲厂产品占总数的20%,乙, 丙厂分别为50%, 30%。已知甲,乙, 丙各厂产 品次品率分别为0.01, 0.02, 0.03.试求随意取一只电子管出售,这只电子管 是次品的概率。
Ai {第i个回合乙机击落},i 1,3,则B A1 A3
P(B) P( A1 A3) P( A1) P( A3)显然，P（A1） 0.2
P（A3） P（第一回合中没有击落乙机，第二回合中乙机 没击落甲机，第三回合中甲机击落乙机）
故有P( A3） 0.8 0.7 0.4
(4,1) (4,2) (4,3) (4,5) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4)
事件A包含的基本事件为上三行，AB包含的基 本事件为左上角的6个，则由条件概率公式得：
P( B | A ) P( AB ) 6 / 20 0.5 P( A ) 12 / 20
方法二：按条件概率的直观意义来求P(B|A)
任取3个球来用,比赛后放回盒中,第二次比赛再从盒中任
取3个,求第二次取出的球都是新球的概率.
解：Ai {第1次取得i新球},i 0,1, 2,3；B {第二次取得3新球}；
3
利用全概率公式得：P(B) P(Ai) p(B | Ai) i0
P(B
|
Ai )
P(
C3 7i
C135
Ai
;i
)
C7i C83i C135
3
4
5
解：P(A) P(B)P(A| B) P(B)P(A | B)
1 [1 P(A | B)] 2[1 P(A | B)] 1 4 2 3 23
3
3
3 5 3 4 30
例 一商店出售的某型号的电子管是甲,乙,丙三家工厂生产的,其中 甲厂产品占总数的20%,乙, 丙厂分别为50%, 30%。已知甲,乙, 丙各厂产 品次品率分别为0.01, 0.02, 0.03.试求随意取一只电子管出售,这只电子管 是次品的概率。
条件概率
第四节条件概率一、条件概率二、乘法定理三、全概率公式与贝叶斯公式四、小结将一枚硬币抛掷两次,观察其出现正反两面的情况,设事件A 为“至少有一次为正面”,事件B 为“两次掷出同一面”. 现在来求已知事件A 已经发生的条件下事件B 发生的概率.解：分析样本空间}. , , , {TT TH HT HH S=()P B =事件A 已经发生的条件下事件B 发生的概率,记为),(A B P 31)(=A B P 则).(B P ≠4341=()P AB =. , 为反面为正面设T H 引例1一、条件概率},,{},,,{TT HH B TH HT HH A ==21.42=()P A)()()(B P AB P B A P =同理可得为事件B 发生的条件下事件A 发生的条件概率.条件事件不能是不可能事件条件事件不能是不可能事件，，概率总大于0..)()()(,0)(,,条件概率发生的发生的条件下事件为在事件称且是两个事件设B A A P AB P A B P A P B A =>定义定义：：条件概率Conditional Probability例1.家有枣树(Luxun's Jujube Tree)鲁迅在散文里说道鲁迅在散文里说道：：自家院子里有两棵树,一棵是枣树,另一棵也是枣树;如果我们还不知道另一棵是什么树,求另一棵也是枣树的概率.不妨设另一棵可能是榆树不妨设另一棵可能是榆树((或槐树或槐树,,等等等等),),),则事件则事件“院子里有两棵树院子里有两棵树””为样本空间为样本空间，，其元素构成为()P A B =S ={(={(枣枣,枣),(),(枣枣,榆),(),(榆榆,榆)}事件B :已知一棵是枣树已知一棵是枣树，，(即有一棵是枣树即有一棵是枣树););事件A :另一棵也是枣树另一棵也是枣树..则二者的交事件为则二者的交事件为：：两棵都是枣树两棵都是枣树。
由条件概率计算公式由条件概率计算公式::()()P AB P B =1/32/312=例2.发牌(Play Poke)在52张四种花色的扑克(不要小鬼大鬼)里任取一张里任取一张，，已知摸到梅花已知摸到梅花，，求摸到的是梅花九的概率.不妨设样本空间S :={(从52张扑克里任取1张)}解()()()P AB P A B P B =事件B :摸到梅花;事件A :摸到梅花9;则二者的交事件为A ：摸到梅花9。
1_4条件概率
A3 | A1 A2 PAn1 | A1 A2 An-2 PA | A A A
n 1 2 n-1
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乘法公式应用举例
（波利亚Polya罐子模型） a个白球, b个红球
一个罐子中包含a个白球和 b个红球. 随机地抽 取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进 c 个 与所抽出的球具有相同颜色的球. 这种手续进行四 次 ，试求第一、二次取到白球且第三、四次取到 红球的概率.
设 A、B、C 为三个事件 , 且 P AB 0 , 则
P B P ( A B) P (C AB ) 一般地 , 设有 n 个事件 A1 , A2 , , An , n 2 , 并且 P A1 A2 An1 0 , 则由条件概率的定义 , 可得
P A1 A2 An P A1 P A2 | A1 P
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例1 掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出6点,问“掷 出点数之和不小于10”的概率是多少? 解 设A={掷出点数之和不小于10} B={第一颗掷出6点}
应用定理
P ( AB) 3 36 1 解法1 P ( A | B) P ( B) 6 36 2 3 1 解法2 P ( A | B) 6 2
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随机取一个球，观看颜色后放 回罐中，并且再加进c个与所抽出 的球具有相同颜色的球.
a个白球,b个红球
解 设 Wi={第i次取出是白球} j=1,2,3,4
于是W1W2R3R4表示事件“连续取四个球，第一、 第二个是白球，第三、四个是红球. ”
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在B发生后的缩减样本空间中计算
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例2 设某种动物由出生算起活到20年以上的概 率为0.8，活到25年以上的概率为0.4. 问现年20岁的 这种动物，它能活到25岁以上的概率是多少？ 解 设A={能活20年以上}，B={能活25年以上}
1-4条件概率全概率公式贝叶斯公式
第四节 条件概率、 全概率公式 与贝叶斯公式
一、条件概率 二、全概率公式 与贝叶斯公式
下 回
停
一、条件概率
1. 问题的引入
引例 甲乙两台车床加工同一种机械零件，质量 表如下：
正品数 35 50 85 次品数 5 10 15 合计 40 60 100
甲车床 乙车床 总 计
从这100个零件中任取一个，求下列事件的概率：
AB 包含的样本点数 P (AB )= . B 包含的样本点数
例1 (1)求在有3个小孩的家庭中，至少有一个 女孩的概率(设男孩与女孩是等可能的).
解
样本点总数：23,
1
2
3
A= “ 3个中至少有一个女孩” ,
A= “ 3个全是男孩” ,
1 1 P (A )= 3 = , 2 8
17 P ( A ) = 1 P ( A ) = 1 =. 88
(1) 取出的一个为正品； A (2) 取出的一个为甲车床加工的零件； B (3) 取出的一个为甲车床加工的正品； AB
(4) 已知取出的一个为甲车床加工的零件，其为 正品. C
85 = = 0.85. (1) P ( A) 解 100 40 = 0.40. (2) P ( B) = 100 35 (3) P ( AB) = 100 = 0.35.
男 女
(2)在有3个小孩的家庭中，已知至少有1个女 孩，求该家庭至少有1个男孩的概率. 解
A= “ 3 个小孩中至少有一个女 孩” ,
再设 B = “ 3 个小孩中至少有一个男 孩” , 17 则 P ( A ) = 1 P ( A ) = 1 =. 88 设A “有一个男孩两个女孩 ” , 1=
正品数
甲车床 乙车床 总 计 35 50 85
一、条件概率 二、全概率公式 与贝叶斯公式
下 回
停
一、条件概率
1. 问题的引入
引例 甲乙两台车床加工同一种机械零件，质量 表如下：
正品数 35 50 85 次品数 5 10 15 合计 40 60 100
甲车床 乙车床 总 计
从这100个零件中任取一个，求下列事件的概率：
AB 包含的样本点数 P (AB )= . B 包含的样本点数
例1 (1)求在有3个小孩的家庭中，至少有一个 女孩的概率(设男孩与女孩是等可能的).
解
样本点总数：23,
1
2
3
A= “ 3个中至少有一个女孩” ,
A= “ 3个全是男孩” ,
1 1 P (A )= 3 = , 2 8
17 P ( A ) = 1 P ( A ) = 1 =. 88
(1) 取出的一个为正品； A (2) 取出的一个为甲车床加工的零件； B (3) 取出的一个为甲车床加工的正品； AB
(4) 已知取出的一个为甲车床加工的零件，其为 正品. C
85 = = 0.85. (1) P ( A) 解 100 40 = 0.40. (2) P ( B) = 100 35 (3) P ( AB) = 100 = 0.35.
男 女
(2)在有3个小孩的家庭中，已知至少有1个女 孩，求该家庭至少有1个男孩的概率. 解
A= “ 3 个小孩中至少有一个女 孩” ,
再设 B = “ 3 个小孩中至少有一个男 孩” , 17 则 P ( A ) = 1 P ( A ) = 1 =. 88 设A “有一个男孩两个女孩 ” , 1=
正品数
甲车床 乙车床 总 计 35 50 85
1.4条件概率
P ( AB) 0.12 P( A | B) 0.67 , P( B) 0.18
P ( AB) 0.12 P ( B | A) 0.60, P( A) 0.2
山东农业大学
概率论与数理统计教程
主讲人： 苏本堂
练习
已知P(A)=0.5,P(B)=0.6, P(B|A) 0.4, 计算P(A∪B)， P(B|A)，P( A | B), P( A B).
P( AB ) P( A) P( AB) = P( A | B) = 1 P( B) P( B )
=0.25
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二、 乘法公式(Multiplication formula) (1) 若 P(A)>0，则 P(AB) = P(A)P(B|A).
若 P(B)>0，则 P(AB) = P(B)P(A|B)； (2) 若 P(A1A2 ··An1)>0，则 ·· ·· P(A1A2 ··An) ·· ·· = P(A1)P(A2|A1) ·· P(An|A1A2 ··An1) ·· ·· ·· ··
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例6(罐子模型). 罐中有 b 个黑球、r 个红球，每次从中 任取一个，取出后将球放回，再加入c 个同色球和 d 个异 色球.
记Bi=“第i次取出的是黑球”, Rj=“第j次取出的是红 球”, 若连续从罐中取出3个球,其中有两个红球、一个黑球 .则 P( B R R ) P( B ) P( R | B ) P( R | B R )
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例8：两台机床加工同样的零件，第一台的废品率为 0.04，第二台的废品率为0.07，加工出来的零件混放，并 设第一台加工的零件是第二台加工零件的2倍，现任取一 零件，问是合格品的概率为多少？
1.4条件概率(课件)
电视机已经使用了3万小时, 求这台电视机使用时间 超过5万小时的概率. 解 设 A “使用时间超过3万小时” B “使用时间超过5万小时”
P A 0.6,
P B 0.24, 要求 P B A
B A, AB B
P ( AB ) P ( B ) 0.24 0.4 P B A 0.6 0.6 P ( A)
P ( B1 B2 R3 R4 ) P ( B1 )P ( B2 B1 )P ( R3 B1 B2 ) P R4 B1 B2 R3 rc r b bc b r b r c b r 2c b r 3c
要求 P ( B1 B2 R3 R4 )
四、 全概率公式 例 若P ( A) 0, P ( A) 0, 则
例 为解一支股票未来一定时期内 价格的变化,
常分析影响股票价格的基本因素, 如利率.
假定利率下调的概率为 50%, 利率不变的概率为
40%, 利率上调 的概率为 10%, 据经验估计,
在利率下调的情况下, 该股票价格上涨的概率为
80%, 在利率不变的情况下, 股票价格上涨的
概率为40%, 在利率上调的情况下,股票价格上涨
的概率为0. 求该股票价格上涨( B )的概率.
例 假定利率下调的概率为 50%, 利率不变的 概率为40%, 利率上调的概率为 10%, 经验估计， 在利率下调的情况下,该股票价格上涨的概率
为 80%, 在利率不变的情况下,价格上涨的概率 为 40%, 在利率上调的情况下,价格上涨的概率 的概率. 为0. 求该股票价格上涨( B ) 解 设 A1 , A2 , A3 分别表示 利率下调、不变、上调.
P ( B ) P ( B ) P B ( A A)
P A 0.6,
P B 0.24, 要求 P B A
B A, AB B
P ( AB ) P ( B ) 0.24 0.4 P B A 0.6 0.6 P ( A)
P ( B1 B2 R3 R4 ) P ( B1 )P ( B2 B1 )P ( R3 B1 B2 ) P R4 B1 B2 R3 rc r b bc b r b r c b r 2c b r 3c
要求 P ( B1 B2 R3 R4 )
四、 全概率公式 例 若P ( A) 0, P ( A) 0, 则
例 为解一支股票未来一定时期内 价格的变化,
常分析影响股票价格的基本因素, 如利率.
假定利率下调的概率为 50%, 利率不变的概率为
40%, 利率上调 的概率为 10%, 据经验估计,
在利率下调的情况下, 该股票价格上涨的概率为
80%, 在利率不变的情况下, 股票价格上涨的
概率为40%, 在利率上调的情况下,股票价格上涨
的概率为0. 求该股票价格上涨( B )的概率.
例 假定利率下调的概率为 50%, 利率不变的 概率为40%, 利率上调的概率为 10%, 经验估计， 在利率下调的情况下,该股票价格上涨的概率
为 80%, 在利率不变的情况下,价格上涨的概率 为 40%, 在利率上调的情况下,价格上涨的概率 的概率. 为0. 求该股票价格上涨( B ) 解 设 A1 , A2 , A3 分别表示 利率下调、不变、上调.
P ( B ) P ( B ) P B ( A A)