等可能情况下的概率计算
等可能情况下概率的计算
如果两个事件A和B不 相互独立，则它们也 不一定不相互独立。
在等可能假设下，如 果事件A和B相互独立， 则它们的联合概率和 边缘概率可以用以下 公式计算： P(A∪B)=P(A)+P(B)P(A)P(B)。
04
概率分布
离散概率分布
定义
离散概率分布描述的是随机变量在各个离散值上取值 的概率。
例子
掷一颗骰子，每个面出现的概率是1/6，这就是一个 离散概率分布。
等可能情况下概率的 计算
目 录
• 概率的定义与性质 • 等可能情况下概率的计算 • 条件概率与独立性 • 概率分布 • 贝叶斯定理 • 实际应用案例
01
概率的定义与性质
概率的基本定义
概率的基本定义
概率是衡量某一事件发生的可能性的 量，通常用P表示。在等可能情况下 ，概率等于某一事件发生的可能结果 数除以所有可能结果数。
在自然语言处理中，贝叶斯定理用于 构建基于概率的模型，例如隐马尔可 夫模型和朴素贝叶斯分类器。
先验概率与后验概率
01
先验概率是指在事件发生前对事件发生可能性的主 观评估。
02
后验概率是指在已有新的信息或数据的情况下，对 事件发生可能性的重新评估。
03
通过贝叶斯定理，我们可以根据新的信息或数据来 更新先验概率，得到后验概率。
贝叶斯定理的应用
贝叶斯定理在许多领域都有广泛的应 用，例如统计学、机器学习、自然语 言处理等。
初中数学初三数学下册《等可能情形下的概率计算》优秀教学案例
2.设计课堂小结环节，让学生回顾本节课所学内容，提高他们对知识点的掌握程度。
3.课后布置相关作业，巩固学生的概率知识，并进行针对性的辅导，以提高他们的学习效果。
4.开展多元化的评价方式，如小组互评、教师评价、学生自评等，全面评估学生的学习成果，关注他们在学习过程中的进步。
2.问题导向，培养逻辑思维能力
本案例注重问题导向，设计了一系列具有启发性的问题，引导学生思考、探索。在解决问题的过程中，培养学生的逻辑思维能力和创新意识，提高他们运用数学知识解决实际问题的能力。
3.小组合作，提高学生的团队协作能力
案例中，小组合作是教学的重要环节。学生在小组讨论、分享成果的过程中，学会倾听、表达、交流、合作，提高团队协作能力，为今后的学习和工作打下坚实基础。
（三）小组合作
小组合作是本章节教学的重要策略。我将根据学生的学习能力和兴趣，将他们分成若干小组，每组4-6人。在教学过程中，鼓励小组成员相互讨论、交流，共同完成概率计算任务。通过合作探究，学生可以相互学习、借鉴，提高解决问题的能力。同时，小组合作也有利于培养学生的团队协作意识和沟通能力。
（四）反思与评价
4.实例分析：分析生活中的等可能事件，如彩票中奖、抽奖活动等，引导学生运用所学概率知识解决问题。
（三）学生小组讨论
1.分组：根据学生的学习能力和兴趣，将学生分成若干小组，每组4-6人。
2.话题引导：给出小组讨论的话题，如“列举生活中遇到的等可能事件，并计算其概率。”
3.小组讨论：各小组在规定时间内展开讨论，要求每个成员都积极参与，共同完成任务。
（二）过程与方法
1.通过小组讨论、合作探究，培养学生主动参与、积极思考的学习习惯。
27.2 等可能情形下的概率计算讲学稿
27.2等可能情形下的概率计算讲学案执笔：李新丰审核：焦道胜金峰教学目标：知识与技能：1、当事件的试验结果不是有限个或结果发生的可能性不相等时，要用频率来估计概率。
2、通过试验，理解当试验次数较大时试验频率稳定于理论概率，进一步发展概率观念。
过程与方法：通过实验及分析试验结果、收集数据、处理数据、得出结论的试验过程，体会频率与概率的联系与区别，发展学生根据频率的集中趋势估计概率的能力。
情感态度与价值观：1、通过具体情境使学生体会到概率是描述不确定事件规律的有效数学模型，在解决问题中学会用数学的思维方式思考生活中的实际问题的习惯。
2、在活动中进一步发展合作交流的意识和能力。
教学重点：理解当试验次数较大时，试验频率稳定于理论概率。
教学难点：对概率的理解。
教学过程：一、问题情境：妈妈有一张马戏团门票，小明、小华和小红都想去看演出，怎么办呢？妈妈想用掷骰子的办法决定，你觉得这样公平吗？说说你的理由？但由于一时找不到骰子，妈妈决定用一个小长方体（涂有三种颜色，对面的颜色相同）来代替你觉得这样公平吗？选哪种颜色获得门票的概率更大？说说你的理由！二、合作游戏：1、实验：二人一组，一人抛掷小长方体，一人负责记录，合作完成30次试验，并完成下面表格一的填写和有关结论的得出。
表格一：问题：（1）你认为哪种情况的概率最大？_红色__.（2）当试验次数较小时,比较三种情况的频率，你能得出什么结论？当试验次数较小时,统计出的频率不能估计概率.2、累计收集数据：二人一组，任选自己喜欢的颜色分别汇总其中前两组（60次）、前三组（90次）、前四组（120次）、五组（150次）。
的试验数据，完成表格二的填写，并绘制出相应的折线统计图和有关结论的得出。
表格二：试验30 60 90 120 150 180 210 240 ……次频率试验次数30 60 90 120 150 180……问题:当试验次数较大时,比较数字色的频率与其相应的概率,你能得到什么结论？_________________________________________________.4、得出试验结论。
等可能事件的概率计算
等可能事件的概率计算概率是描述一个事件发生可能性的数值。
在等可能事件的情况下，概率计算相对简单。
等可能事件指的是每个事件发生的可能性相等，即每个事件发生的概率都相等。
在计算等可能事件的概率时，需要先确定事件的总数，然后确定感兴趣的事件发生的总数。
将感兴趣的事件发生的总数除以总的事件数，即可得到概率值。
举一个简单的例子，假设有一个有色球的箱子，其中有5个红球、4个蓝球和3个绿球。
现在从中随机抽取一个球，请计算以下事件的概率：1.选中一个红球；2.选中一个蓝球；3.选中一个绿球；4.选中一个红球或蓝球；5.选中一个非绿球；6.选中一个红球并且选中一个蓝球；7.选中两个相同颜色的球。
首先，确定总的事件数为5+4+3=121.选中一个红球的事件总数为5，概率为5/122.选中一个蓝球的事件总数为4，概率为4/123.选中一个绿球的事件总数为3，概率为3/124.选中一个红球或蓝球的事件总数为5+4=9，概率为9/125.选中一个非绿球的事件总数为5+4=9，概率为9/126.选中一个红球并且选中一个蓝球的事件总数为5*4=20，概率为20/12（这里使用了乘法规则，因为选中红球和选中蓝球是两个独立的事件）。
7.选中两个相同颜色的球的事件总数为选中两个红球的事件数+选中两个蓝球的事件数+选中两个绿球的事件数，即5*4/2+4*3/2+3*2/2=10+6+3=19，概率为19/12（这里使用了排列组合的知识，因为选中两个相同颜色的球是一个组合事件）。
以上就是计算等可能事件概率的过程。
需要注意的是，如果有非等可能事件发生，计算方法会有所不同。
但对于等可能事件，只需要确定事件的总数和感兴趣事件的总数，就可以计算其概率了。
等可能条件下的概率--知识讲解
等可能条件下的概率--知识讲解【学习目标】1.知道试验的结果具有等可能性的含义；2.会求等可能条件下的概率；3.能够运用列表法和树状图法计算简单事件发生的概率.【要点梳理】要点一、等可能性一般地，设一个试验的所有可能发生的结果有n个，它们都是随机事件，每次试验有且只有其中的一个结果出现.如果每个结果出现的机会均等，那么我们说这n个事件的发生是等可能的，也称这个试验的结果具有等可能性.要点二、等可能条件下的概率1.等可能条件下的概率一般地，如果一个试验有n个等可能的结果，当其中的m个结果之一出现时，事件A发生，那么事件A发生的概率P（A）=mn（其中m是指事件A发生可能出现的结果数，n是指所有等可能出现的结果数）.当一个随机事件在一次试验中的所有可能出现的结果是有限个，且具有等可能性时，只需列出一次试验可能出现的所有结果，就可以求出某个事件发生的概率.2.等可能条件下的概率的求法一般地，等可能性条件下的概率计算方法和步骤是：（1）列出所有可能的结果，并判定每个结果发生的可能性都相等；（2）确定所有可能发生的结果的个数n和其中出现所求事件的结果个数m；（3）计算所求事件发生的可能性：P（所求事件）=mn.要点三、用列举法计算概率常用的列举法有两种：列表法和画树状图法.1.列表法当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法.列表法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法.要点诠释：（1）列表法适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题；（2）列表法适用于涉及两步试验的随机事件发生的概率.2.树状图当一次试验要涉及3个或更多个因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图，也称树形图、树图.树形图是用树状图形的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法.要点诠释：(1)树状图法同样适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题；(2)在用树状图法求可能事件的概率时，应注意各种情况出现的可能性务必相同.【典型例题】类型一、等可能性1.如图所示，转盘停止后，指针落在哪个颜色区域的可能性大？为什么？【思路点拨】可以采用面积法计算各颜色所占的比例，比例大的，指针落在该区域的可能性也大.【答案与解析】解：落在黄色区域的可能性大.理由如下：由图可知：黄色占整个转盘面积的；红色占整个转盘面积的；蓝色占整个转盘面积的.由于黄色所占比例最大，所以，指针落在黄色区域的可能性较大.【总结升华】计算随机事件的可能性的大小，根据不同题目的不同条件确定解法，如面积法、数值法等.类型二、等可能条件下的概率2.（优质试题•本溪）在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和4个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球实验发现，摸到黄球的频率是0.2，则估计盒子中大约有红球（）A．16个B．20个C．25个D．30个【思路点拨】利用大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．【答案】A.【解析】设红球有x个，根据题意得，4：（4+x）=1：5，解得x=16．故选A．【总结升华】用频率估计概率，强调“同样条件，大量试验”.举一反三：【变式】从分别标有1到9数字的9张卡片中任意抽取一张，抽到所标数字是3的倍数的概率为（）A．19B．18C．29D．13【答案】D.3.如图，一个正六边形转盘被分成6个全等的正三角形，任意旋转这个转盘1次，当旋转停止时，指针指向阴影区域的概率是（）A.12B.13C.14D.16【思路点拨】确定阴影部分的面积在整个转盘中占的比例，根据这个比例即可求出转盘停止转动时指针指向阴影部分的概率．【答案】B.【解析】解：如图：转动转盘被均匀分成6部分，阴影部分占2份，转盘停止转动时指针指向阴影部分的概率是2÷6=13．故选B．【总结升华】本题考查了几何概率．用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比．举一反三：【变式1】如图是地板格的一部分，一只蟋蟀在该地板格上跳来跳去，如果它随意停留在某一个地方，则它停留在阴影部分的概率是_____.【答案】P（停在阴影部分）=23.【变式2】如图，已知等边△ABC的面积为1，D、E分别为AB、AC的中点，若向图中随机抛掷一枚飞镖，飞镖落在阴影区域的概率是（不考虑落在线上的情形）（）A.14B.12C.34D.23【答案】C.类型三、用列举法计算概率4．在一个口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，随机地摸出一个小球不放回，再随机地摸出一个小球，则两次摸出的小球的标号的和为奇数的概率是（）A．13B．23C．16D．56【思路点拨】根据题意列出相应的表格，得出所有等可能的情况数，找出之和为奇数的情况数，即可求出所求的概率．【答案】B.【解析】解：列表得：所有等可能的情况有12种，其中之和为奇数的情况有8种，则p=82123=，故选B．【总结升华】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．举一反三：【变式】现有四个外观完全一样的粽子，其中有且只有一个有蛋黄．若从中一次随机取出两个，则这两个粽子都没有蛋黄的概率是（）A．13B．12C．14D．23【答案】B.提示：解：用A表示没蛋黄，B表示有蛋黄的，画树状图如下：∵一共有12种情况，每种情况都是等可能的，两个粽子都没有蛋黄的有6种情况，∴则这两个粽子都没有蛋黄的概率是61 122=.5.（优质试题•朝阳）在学习概率的课堂上，老师提出问题：只有一张电影票，小明和小刚想通过抽取扑克牌的游戏来决定谁去看电影，请你设计一个对小明和小刚都公平的方案．甲同学的方案：将红桃2、3、4、5四张牌背面向上，小明先抽一张，小刚从剩下的三张牌中抽一张，若两张牌上的数字之和是奇数，则小明看电影，否则小刚看电影．（1）甲同学的方案公平吗？请用列表或画树状图的方法说明；（2）乙同学将甲的方案修改为只用红桃2、3、4三张牌，抽取方式及规则不变，乙的方案公平吗？（只回答，不说明理由）【思路点拨】依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率，比较即可．【答案与解析】解：（1）甲同学的方案公平．理由如下：获胜的概率为：=，则小刚获胜的概率为：，故此游戏两人获胜的概率不相同，即他们的游戏规则不公平；4种，故小明获胜的概率为：=，则小刚获胜的概率为：，故此游戏两人获胜的概率不相同，即他们的游戏规则不公平．【总结升华】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．举一反三：【变式】不透明的口袋里装有白、黄、蓝三种颜色的乒乓球（除颜色外其余都相同），其中白球有2个，黄球有1个，现从中任意摸出一个是白球的概率为12.（1）试求袋中蓝球的个数.（2）第一次任意摸一个球（不放回），第二次再摸一个球，请用画树状图法，求两次。
《等可能情形下的概率计算+第1课时》精品教学方案
第二十六章概率初步26.2 等可能情形下的概率计算第1课时一、教学目标1.了解结果、等可能的概念，理解等可能情形下的随机事件的概率；2.明确概率的取值范围，能求简单的等可能事件的概率；3.经历在具体情境中探索概率的意义的探索过程，体会事件发生的可能性的大小与概率的值的关系；4.通过数学活动，体会数学的应用价值，培养积极思考的学习习惯.二、教学重难点重点：随机事件概率的特点和一步随机事件概率的求法；难点：理解随机事件概率的意义和求法.三、教学用具多媒体课件四、教学过程设计追问2：具有上述特点的试验，如何表达事件的概率？教师活动：教师提出问题，可以让学生以掷骰子试验为例积极思考.启发学生注意到，对于具有上述特点的试验，用事件所包含的各种可能的结果数在全部可能的结果总数中所占的比，表示事件发生的概率.小组交流后选取代表回答.【归纳】【思考】问题3 在掷骰子试验中，计算下列事件的概率.(1)事件A：点数是奇数；(2)事件B：点数是小于6的数；(3)事件C：点数是小于0的数.预设答案：(1) 事件A包含了1，3，5共3种可能的结果，故事件A发生的概率：P(A)=36=12；(2) 事件B包含了1，2，3，4，5，共5种可能的结果，故事件B发生的概率：P(B)=56；(3) 事件C包含了0种可能的结果，故事件C 发生的概率：P(C)=0.教师活动：教师简单叙述，引出问题，引导学生结合概率的公式进行计算.【探究】事件发生的概率的取值范围是多少呢？由m和n的含义可知：0≤m≤n，0≤mn≤1，即：0≤P(A)≤1【思考】什么时候事件的概率为0或1？举例说明.小组合作：1.两人一组，合作完成；2.适当举例，小组内交流后，总结规律.教师活动：教师组织学生小组合作、举例，待学生充分交流后，选代表回答，全班交流.预设答案：如图，不透明袋子里装有5个大小相同的黑球，标号分别为1-5，从中随机摸取1个球，P(摸到白球)=0 ；P(摸到黑球)=1 .结论：不可能事件的概率为0；必然事件的概率为1.【归纳】①0≤P(A)≤1；②当A为必然事件时，m=n，P(A) =1；③当A为不可能事件时，m=0，P(A) =0.【典型例题】思维导图的形式呈现本节课的主要内容：。
等可能事件的概率计算 (3)
练一练
1.根据表格回答:
(1)一个80岁的人在当年死亡的概率是多少?
(2)一个61岁的人,他活到82岁的概率是多少?
(3)如果有10000个80岁的 人参加寿险投保,当年死亡
年龄x 生存人数lx 死亡人数dx
0
1000000
1
997091
2909 2010
30
976611
生的可能结果数为m，则Ｐ（Ａ）＝ m
3.估计概率
n
在实际生活中，我们常用频率来估计概率，在大
量重复的实验中发现频率接近于哪个数，把这个数
作为概率．
例1、某商场举办有奖销售活动，每张奖券获奖的
可能性相同，以每10000张奖券为一个开奖单位，设 特等奖１个，一等奖10个，二等奖100个，问１张奖 券中一等奖的概率是多少？中奖的概率是多少？
解:中一等奖的概率是 10 1 1000 100
中奖的概率是 111 10000
做一做
1、某单位工会组织内部抽奖活动，共准备了100张奖
券，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖20个，三等奖
30个。已知每张奖券获奖的可能性相同。求：
（1）一张奖券中特等奖的概率；
1 P = 100
（2）一张奖券中奖的概率；
如果第二辆车不比第一辆好他就上第三辆4假设每天某一时段开往温州有三辆专车票价相同有两人相约来温州游玩但是他们不知道这些车的舒适程度也不知道专车开过来的顺序两人采用了不同的乘车方案
1.什么叫概率？ 事件发生的可能性的大小叫这一事件发生的概率
2.概率的计算公式：
若事件发生的所有可能结果总数为n，事件Ａ发
33757 33930
4、假设每天某一时段开往温州有三辆专车（票价相同），有两 人相约来温州游玩，但是他们不知道这些车的舒适程度，也不 知道专车开过来的顺序，两人采用了不同的乘车方案： 甲：无论如何总是上开来的第一辆车， 乙：先观察后上车，当第一辆车开来时，他不上车，而是仔细 观察车的舒适状况，如果第二辆车的舒适程度比第一辆好，他 就上第二辆车；如果第二辆车不比第一辆好，他就上第三辆车。
概率的计算方法等可能条件下概率的特征意义等可能条件下概率的计算方法
一、等可能条件下概率的特征
（1）对于每一次试验中所有可能出现的结果都是有限的；
（2）每一个结果出现的可能性相等。
二、可能条件下概率的意义
一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m中结果，那么事件A发生的概率为P（A）=。
三、概率的计算方法：
（1）列举法（列表或画树状图），（2）公式法；
列表法或树状图这两种举例法，都可以帮助我们不重不漏的列出所以可能的结果。
列表法
（1）定义：用列出表格的方法来分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法。
（2）列表法的应用场合
当一次试验要设计两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法。
树状图法
（1）定义：通过列树状图列出某事件的所有可能的结果，求出其概率的方法叫做树状图法。
（2）运用树状图法求概率的条件
当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法求概率。
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遗漏，既直观又 次
条理分明。
有的同学认为:抛三枚普通硬币，硬币落地后只可 能出现4种情况（1）全是正面；（2）两正一反； （3）两反一正；（4）全是反面。因些这四个事 件出现的概率相等，你同意这种说法吗？
解：画树状图分析如下
P(全是正）面1
8
开始
硬币1
正
(2)P(两正一）反 3
8
(3)P(两反一）正 3
他的分析有道理吗？为什么？
先用树状图的方法看看有哪些等可能的结果 开始
第一次
红
白1
白2
第二次 红 白1 白2 红 白1 白2 红 白1 白2
从图中可以看出，一共有9种可能的结果，这9个事件出
现这的个概率相等，两在摸红出“两红”、“两白”1 、“一红一白”
事件中，“摸出两__白___”概率最小，等于_9 __4 ，“摸出
4 12
=1
3
例2 抛掷一枚普通的硬币3次．有人说连续掷 出三个正面和先掷出两个正面再掷出一个反面 的机会是一样的．你同意吗？
分 对于第1次抛 第
析：掷 的，结可果能 是出 正现 面
一 次
或反面；对于 第2次抛掷来 说也是这样。 而且每次硬币
第 二 次
开始
正
反
正
反
正
驶向胜利 的彼岸
反
出现正面或反第 面的机会相等。三
第4次掷硬币,出现正面朝上的可能性与反面朝上的可 能性一样大.
练一练
有两双手套，形状、大小，完全相同，只有颜
色不同。黑暗中，任意抽出两只配成一双的概率
是多少？ 分 假设两双手套的颜色分别为红黑，如下分析
析：
红1
黑1
红1
黑2
黑1
黑2 红2 黑1 黑1 红1 黑2 红1
红2
黑2
红2
红2
P(配成一双)
=
你认为哪种说法比较有理呢？
如果将摸出的第一个球放回搅匀再摸出第二个球，两 次摸球就可能出现3种可能：（1）都是红球；（2）都 是白球；（3）一红一白。
这三个事件发生的概率相等吗？
在分析问题2时，一们同学画出如下图所示 的树状图。
开始
第一次
红
白
第二次 红
白红
白
从而得到，“摸出两个红球”和“摸出两个白 球”的概率相等，“摸出一红一白”的概率最大。
例5：“石头，剪子，布”是民间广为 流传的一种游戏，游戏的两人每次做 “石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜 “布”，“布“胜“石头”，同时手势 不分胜负须继续比赛.现有甲，乙两人做 这种游戏 （1）一次游戏中甲获胜，乙获胜的 概率各是多少？
一红
9
例3:
同时抛掷两枚均匀的骰子，骰子各面 上的点数分别是1,2,3,4,5,6.试分别计算 如下各随机事件的概率：
(1)抛出的点数之和等于8
（2）抛出的点数之和等于12
(3)点数之积为奇数
用表格表示
第2个 1
2
3
4
5
6
第1个
1 (1,1) (1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)
2 (2,1) (2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)
反
8
(4)P(全是反)面 1
8
硬币2 正 反 正 反
硬币3 正 反 正 反 正 反 正 反
口袋中装有1个红球和2个白球，搅匀后从中摸出1个 球，会出现哪些可能的结果？
有人说，摸出的不是红球就是白球，因此摸出红球和 摸出白球这两个事件是等可能的。
也有人说，如果给小球编号，就可以说：摸出红球， 摸出白1球，摸出白2球，这三个事件是等可能的。
请你用
反
(正,反)
列举法
解答例
正
(反,正)
1.
反
(反,反)
总共有4种结果,每种结果出现的可能性相同：(正, 正),(正,反),(反,正),（反，反），两枚硬币正面
理性的结论源于实
是真是假
践操作
从一定高度随机掷一枚均匀的硬币,落地后其朝上的 一面可能出现正面和反面这样两种等可能的结果.小明 正在做掷硬币的试验,他已经掷了3次硬币,不巧的是这 3次都是正面朝上.那么,你认为小明第4次掷硬币,出现 正面朝上的可能性大,还是反面朝上的可能性大,还是 一样大?说说你的理由,并与同伴进行交流.
回忆：
1 要清楚所有等可能结果 2 要清楚我们所关注的是发生哪个或哪些结果
关注结果数 3 概率的计算公式：
所有等可能的结果数
这节课我们将学习 根据树状图和列表 法理性分析预测概 率
例题欣赏P91
行家看“门道”
学以致用
例1 随机掷一枚均匀的硬币两次,两次正面都朝上的 概率是多少?
正 开始
反
正
(正,正)
正反反 反正反 反反正 反反反
解
1
P（正正正）＝P（正正反）＝
8
所以，这一说法正确.
以上在分析问
题的过程中，我
们采用了画图的
方法，这幅图好 第
开始
象一棵倒立的树，一
因此我们常把它 次
正
反
称为树状图，也 第
称树形图、树图。二 它可以帮助我们 次
正
反
正
反
分析问题，而且 第 可以避免重复和 三 正 反 正 反 正 反 正 反
总结经验: 当一次试验要涉及两个因素,并且可能出 现的结果数目较多时,为了不重不漏的列 出所有可能的结果,通常采用列表的办法
想一想
什么时候使用”列表法”方便? 什么时候使用”树状图法”方 便?
课堂总结: 用列表法和树状图法求概率时应注意什 么情况？
利用树状图或表格可以清晰地表示 出某个事件发生的所有可能出现的 结果;从而较方便地求出某些事件 发生的概率.当试验包含两步时,列 表法比较方便,当然,此时也可以用 树状图法,当试验在三步或三步以 上时,用树形图法方便.
正
反
正
反正 反 正
反
由此，我们可次从上至下每一条路径就是一种可能的结
以画出图
果,而且每种结果发生的机会相等.
例2 抛掷一枚普通的硬币3次．有人说连续掷 出三个正面和先掷出两个正面再掷出一个反面 的机会是一样的．你同意吗？
解： 抛掷一枚普通的硬币三次，共有以下八种机 会均等的结果：
正正正 正正反 正反正 反正正
3 (3,1) (3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)
4 (4,1) (4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)
5 (5,1) (5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)
6 (6,1) (6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)
想一想, 能不能用 “树形图法”解?
解:由表中可以看出,同时抛掷两枚骰子,它可 能出现的结果有36个,它们出现的可能性等，
（1）抛出的点数之和等于8的结果（2,6）,（3,5）， （4,4），（5,3）和（6,2）五种. 所以概率是5/36
(2)抛出的点数之和等于12结果仅有（6,6）一种，所以概率 是1/36 (3)满足两张牌的数字之积为奇数 (1,1)(1,3)(1,5)(3,1)(3,3)(3,5)(5,1)(5,3)(5,5) 这9种情 况,所以概率为9/36=1/4