等可能条件下的概率(1)——古典概率
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1-2(概率的定义、古典概率)
P( AB) P( A) P( B) P( A B)
P( A) P( B) 1 0.3 —— 最小值
最小值在 P( A B) 1 时取得
P( AB) P( A) 0.6
—— 最大值
最大值在 P( A B) P( B) 时取得
三.几何概率
早在概率论发展初期，人们就认识到， 只考虑有限个等可能样本点的古典方法是不 够的. 把等可能推广到无限个样本点场合,人们 引入了几何概型. 由此形成了确定概率的另 一方法——几何方法.
P( AB ) P( A) P( AB) 0.7 0.1 0.6 (2) P( A B) P( A) P( B) P( AB) 0.8
(1)
(3) P( A B) P( A B) 0.2
例2 设A , B满足 P ( A ) = 0.6, P ( B ) = 0.7, 在 何条件下， P(AB) 取得最大(小)值？最大(小) 值是多少？ 解 P( A B) P( A) P( B) P( AB)
P ( Ai ) P ( Ai )
i 1 i 1 n n 1 i j n
P( A A )
i j
1 i j k n
P( A A A )
i j k
„ ( 1)
n1
P ( A1 A2 „ An )
例1 小王参加“智力大冲浪”游戏, 他能 答出甲、乙二类问题的概率分别为0.7和0.2, 两类问题都能答出的概率为0.1. 求小王 (1) 答出甲类而答不出乙类问题的概率 (2) 至少有一类问题能答出的概率 (3) 两类问题都答不出的概率 解 事件A , B分别表示“能答出甲,乙类问题”
4.2 等可能条件下的概率(一) 课件(共36张PPT) 苏科版数学九年级上册
结构导图
课堂小结
概念 计算公式
概率
直接枚举法 列表法 树状图
4. 易错警示 列表时要注意“放回”还是“不放回”.
感悟新知
特别提醒
⑴ 列表法不适用于求三步及三步以上试验的概率 . ⑵列表法适用的条件还可以理解为各种结果出现
的可能性相等，含有两次操作(如掷一枚骰子两 次 ) 或两个条件 ( 如两个转盘 )的事件 .
感悟新知
例2 袋中装有大小相同、标号不同的2个白球和2个黑球. 袋中的球已搅匀. 解题秘方：紧扣放回两次操作相同，不放回两次操 作不相同，反映在列表中的实质就是舍不舍去表格 中一条对角线上的所有结果来求概率.
感悟新知
(2)从中任意摸出1个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中 任意摸出1个球，摸到的2个球的顺序为黑球、白球的概 率是多少？ 解：把4个球分别编号为白1，白2，黑1，黑2.
感悟新知
根据题意列表如下：
结果 第二次
第一次
白1
白2
黑1
黑2
白1
(白1，白1) (白1，白2) (白1，黑1) (白1，黑2)
白2
(白2，白1) (白2，白2) (白2，黑1) (白2，黑2)
黑1
(黑1，白1) (黑1，白2) (黑1，黑1) (黑1，黑2)
黑2
(黑2，白2) (黑2，白2) (黑2，黑1) (黑2，黑2)
感悟新知
由表格可知，共有16种可能的结果，并且它们的 出现是等可能的. “摸到2个球的顺序为黑球、白球”记 为事件B，它的发生有4种可能，所以事件B发生的概率
感悟新知
(1)先从中任意摸出1 个球(不放回)，再从余下的3个球中任 意摸出1 个球，摸到的2 个球中有1 个白球和1 个黑球的 概率是多少？ 解：把4个球分别编号为白1，白2，黑1，黑2.
《12.2等可能条件下的概率(一)》(第2课时)
初中数学八年级下册 （苏科版）
12.2 等可能条件下的概率(一) 第二课时
灌南光明实验学校
回顾与思考
1、古典概型的两个基本特征是什么？ 试验结果具有有限性 和等可能性 2、等可能条件下的概率如何计算？
其中m表示事件A发生可能出现的结果数， n表示一次试验所有等可能出现的结果数
m P ( A) n
1 红球的概率是________． 4
2．书架的第一层放有2本文艺书、3本科技书，第 二层放有4本文艺书、1本科技书，从两层中各取1 3 本书，恰好都是科技书的概率是3张卡片,正面分别标有数 字1,2,3,这些卡片反面朝上,甲从中任意抽出一 张,记下卡片上的数字后反面朝上放回,乙再从 中任意抽出1张,记下卡片上的数字,然后两数相 加. （1）用列表或树状图的方法求两数和为4的概 率。 （2）甲和乙按照上述方法做游戏，当两数和为 4时，甲胜；当两数和不为4时，乙胜；这个游 戏公平吗？
1、一只不透明的袋子中装有1个白球,1
个红球和1个蓝球,这些球除颜色外都相同, 搅匀后从中任意摸出1个球,记录下颜色后 放回到袋中并搅匀,再从中任意摸出1个球. 两次摸到蓝球的概率是多少？
2、一只不透明的袋子中装有1个 白球,2个红球,这些球除颜色外都 相同,搅匀后从中任意摸出1个球, 记录下颜色后放回到袋中并搅匀, 再从中任意摸出1个球,两次都摸 出红球的概率是多少?
解:用“树状图”列出所有可能出现的结果:
每种结果的出现是 等可能的．“取出 １件蓝色上衣和１ 条蓝色裤子”记为 事件Ａ，那么事件 Ａ发生的概率是 1 Ｐ（Ａ）＝
6
所以，小明恰好穿 上蓝色上衣和蓝色 裤子的概率是
1 6
用哪些方法可以找出随机试验中的所 有等可能的结果? 你认为怎样求一个等可能条件下事件A 发生的概率?
12.2 等可能条件下的概率(一) 第二课时
灌南光明实验学校
回顾与思考
1、古典概型的两个基本特征是什么？ 试验结果具有有限性 和等可能性 2、等可能条件下的概率如何计算？
其中m表示事件A发生可能出现的结果数， n表示一次试验所有等可能出现的结果数
m P ( A) n
1 红球的概率是________． 4
2．书架的第一层放有2本文艺书、3本科技书，第 二层放有4本文艺书、1本科技书，从两层中各取1 3 本书，恰好都是科技书的概率是3张卡片,正面分别标有数 字1,2,3,这些卡片反面朝上,甲从中任意抽出一 张,记下卡片上的数字后反面朝上放回,乙再从 中任意抽出1张,记下卡片上的数字,然后两数相 加. （1）用列表或树状图的方法求两数和为4的概 率。 （2）甲和乙按照上述方法做游戏，当两数和为 4时，甲胜；当两数和不为4时，乙胜；这个游 戏公平吗？
1、一只不透明的袋子中装有1个白球,1
个红球和1个蓝球,这些球除颜色外都相同, 搅匀后从中任意摸出1个球,记录下颜色后 放回到袋中并搅匀,再从中任意摸出1个球. 两次摸到蓝球的概率是多少？
2、一只不透明的袋子中装有1个 白球,2个红球,这些球除颜色外都 相同,搅匀后从中任意摸出1个球, 记录下颜色后放回到袋中并搅匀, 再从中任意摸出1个球,两次都摸 出红球的概率是多少?
解:用“树状图”列出所有可能出现的结果:
每种结果的出现是 等可能的．“取出 １件蓝色上衣和１ 条蓝色裤子”记为 事件Ａ，那么事件 Ａ发生的概率是 1 Ｐ（Ａ）＝
6
所以，小明恰好穿 上蓝色上衣和蓝色 裤子的概率是
1 6
用哪些方法可以找出随机试验中的所 有等可能的结果? 你认为怎样求一个等可能条件下事件A 发生的概率?
1-4古典概率模型
6 6 4 0.144 . 故 P ( A) 3 10
N ( S ) 10 10 10 103
N ( A) 6 6 4
例6（类似P12--例4 抽样问题）设有N件产品，其中有M件不合 格品。现从中任取n件，求其中恰有m件不合格品的概率.
解: 记事件Am {n件产品中恰有m件不合格品}
解: N ( S ) 10, N ( A) 1
N ( A) 1 P ( A) N ( S ) 10
N ( B) 6
N ( B) 6 P( B) N ( S ) 10
N (C ) 3
N (C ) 3 P (C ) N ( S ) 10
例2 将一枚硬币抛三次. (1)设事件A1表示"恰好出现一次正面", 求P ( A1 ). (2)设事件A2表示"至少出现一次正面",求P ( A2 ).
a P( B) ab
(1)放回抽样时：
袋中始终有a+b个球，每个人取出白球的机会相等.
(2)不放回抽样时：
k个人从a b只球依次取一球的取法:
k (a b) (a b 1) ... (a b k 1) Aa b
事件B {第i个人取到白球}总取法有: a Pakb11
n n n 故事件B的放法总数有: C N n ! AN . (或N ( N 1)...( N n 1) AN )
n AN N! P ( B) n n N N ( N n)!
n=6时, P(B)=0.01543
例9（盒子模型应用- 生日问题）设每人生日在365天的可能性相 同。求：(1) n（n<=365）个人生日各不相同的概率； （2）n个人中至少有两个人生日相同的概率。
N ( S ) 10 10 10 103
N ( A) 6 6 4
例6（类似P12--例4 抽样问题）设有N件产品，其中有M件不合 格品。现从中任取n件，求其中恰有m件不合格品的概率.
解: 记事件Am {n件产品中恰有m件不合格品}
解: N ( S ) 10, N ( A) 1
N ( A) 1 P ( A) N ( S ) 10
N ( B) 6
N ( B) 6 P( B) N ( S ) 10
N (C ) 3
N (C ) 3 P (C ) N ( S ) 10
例2 将一枚硬币抛三次. (1)设事件A1表示"恰好出现一次正面", 求P ( A1 ). (2)设事件A2表示"至少出现一次正面",求P ( A2 ).
a P( B) ab
(1)放回抽样时：
袋中始终有a+b个球，每个人取出白球的机会相等.
(2)不放回抽样时：
k个人从a b只球依次取一球的取法:
k (a b) (a b 1) ... (a b k 1) Aa b
事件B {第i个人取到白球}总取法有: a Pakb11
n n n 故事件B的放法总数有: C N n ! AN . (或N ( N 1)...( N n 1) AN )
n AN N! P ( B) n n N N ( N n)!
n=6时, P(B)=0.01543
例9（盒子模型应用- 生日问题）设每人生日在365天的可能性相 同。求：(1) n（n<=365）个人生日各不相同的概率； （2）n个人中至少有两个人生日相同的概率。
古典概率
1 有放回选取： 称为有重复的排列，其总数共有 nr 个
2 不放回选取： 称为选排列，其总数共有
P A n ( n 1) ... ( n r 1)
r n r n
n! ( n r )!
当 n = r 时，称为全排列
Pn n!
常见的三种组合：
1 从 n 个元素中取出 r 个元素，且不考虑其顺序。 其方法总数为
解：
设B "前 2次抽得次品，后 3次取得正品"
(1)放回抽样下，每次抽取都在相同的条件下进行，故 基本事件总数与重排列有关，于是：
基本事件总数为 n 30
2 3
5
事件 B包括的基本事件总数为
7 23 P( B) 0.0245 5 30
m 72233
(2)不放回抽样下，每次抽取都在不相同的条件下进 行，故基本事件总数与排列有关，于是：
k
(1 i1 i2 ... ik n )
P ({e i j }) k A包含的基本事件数 n S中基本事件的总数 j 1
上式即为等可能概型中事件A的概率的计算公式。
二、基本原理及排列组合公式
原理 1
乘法原理：
乘法原理：若完成一件事情要经过两个 步骤，其中第一步中有 n1种不同的方法，第
由 2000 =250
8
P(A)= 333 2000 250 P(B)= 2000
83 2000 由83< <84 P(AB)= 2000 24
P( A B) P( A B) 1 P ( A B)
1 [( P ( A) P ( B ) P ( AB )]
=1-( 333 + 250 2000 2000 =0.75
行测概率问题：古典概率
⾏测概率问题：古典概率 ⾏测概率问题作为常考题型之⼀，考⽣不想丢分此题型必然不能不复习，下⾯由店铺⼩编为你准备了“⾏测概率问题：古典概率”，仅供参考，持续关注本站将可以持续获取更多的内容资讯！⾏测概率问题：古典概率 概率问题在国省考以及⼀些事业单位考试中经常出现，且难度适中，所以各位考⽣对于概率问题这⼀板块内容的学习必须要有信⼼。
今天就带⼤家来看⼀下概率问题中的考点之⼀——古典概率。
概念概率，⼜称或然率、机会率或机率、可能性，是数学概率论的基本概念，是⼀个在0到1之间的实数，是对随机事件发⽣的可能性的度量。
表⽰⼀个事件发⽣的可能性⼤⼩的数，叫做该事件的概率。
古典概率强调的是等可能性，即各基本事件发⽣的可能性相等。
基本公式 如果试验中可能出现的等可能事件数有n个，⽽事件A包含的等可能事件数有m个，那么事件A发⽣的概率为：。
例1.某个品牌的罐装饼⼲中，有不同动物形状的饼⼲共100个，其中狮⼦形状的有30个，⼩猪形状的有40个，兔⼦形状的有30个。
⼩明从罐中任意取出⼀把饼⼲，发现狮⼦形状的有10个，⼩猪形状的也有10个。
此时，⼩明接着取出⼀个兔⼦形状饼⼲的概率是： 【答案】C。
解析：要求⼀罐饼⼲中取出兔⼦形状饼⼲的概率。
结合题⽬中“任意”两字，即对于每⼀个饼⼲来说取到的可能性都是相同的，即该题⽬求解的为古典概率。
找到总的等可能事件数，虽然该罐饼⼲中⼀共有100个饼⼲，但是已经取出10个狮⼦状，10个⼩猪状，即剩余的饼⼲数为80个，即总的等可能事件数为80。
符合要求的等可能事件数，即兔⼦形状的饼⼲数量，初始的兔⼦饼⼲数量为30，且没有取出，即符合要求的等可能事件数为30。
所求概率为30÷80=3/8。
例2.箱⼦内有除颜⾊外都相同的5个⽩球，4个红球。
从中任取两球，取到的两球⾄少有1个是⽩球的概率为多少? 【答案】D。
解析：所求从箱⼦中任取两球的概率为多少，“任取”即取到每⼀个⼩球的可能性都是相同的，即古典概率问题。
12.3等可能条件下的概率(2)
三、例题讲解
例1、某商场为了吸引顾客，开展有奖销售活动，设立了一个可以自由转动的转盘（如图12－4），转盘等分为16份，其中红色1份、蓝色2份、黄色4份、白色9份。商场规定：顾客每购满1000元的商品，就可获得一次转动转盘的机会。转盘停止时，指针指向红、蓝、黄区域，顾客可分别获得1000元、200元、100元的礼品。某顾客购物1400元，他获得礼品的概率是多少？他分别获得1000元、200元、100元礼品的概率是多少？
(3)事件指针指向红色区域可能发生几次？(4)怎样求各自的概率?
小组交流讨论
说出每个事件可能出现的结果数m的值？该实验所有等可能出现的结果数n的值？
然后再应用古典概率的公式P（A）=，就可以解决问题。
说出公式中的m、n的值。
要求学生任选一种设计,并总结设计的宗旨，培养学生的发散思维能力。
设计意图：让学生感受几何概型的概率大小只与该区域的面积大小有关，而与所在区域的形状，位置无关。
4、在具体情境中感受到一类事件发生的概率（即几何概型）的大小与面积大小有关。
重点
会求等可能条件下的几何概型（转盘、方格）的概率。
难点
把等可能条件下,实验结果无限个的几何概型通过等积分割转化为古典概型。
学习过程
旁注与纠错
一、课前预习与导学得分
1、一只小狗作如图报复性地所示的方砖上走来走去，最终停留在黑色方砖上的概率是_____。
2、小红制作一个转盘，并将其分成12个扇形，将其中的3块扇形涂上黑色，4块涂上红色，其余涂上白色，转动转盘上的指针，指针停止后，指向黑色的概率为_____,指向红色的概率为_______ ,指向白色的概率为________。
3、某商店举办有奖销售活动，购物满100元者发兑奖劵一张，在10000张奖券中，设特等奖一个，一等奖10个，二等奖100个，若某人购物刚好满100元，那么他中奖一等奖的概率是_____。
例1、某商场为了吸引顾客，开展有奖销售活动，设立了一个可以自由转动的转盘（如图12－4），转盘等分为16份，其中红色1份、蓝色2份、黄色4份、白色9份。商场规定：顾客每购满1000元的商品，就可获得一次转动转盘的机会。转盘停止时，指针指向红、蓝、黄区域，顾客可分别获得1000元、200元、100元的礼品。某顾客购物1400元，他获得礼品的概率是多少？他分别获得1000元、200元、100元礼品的概率是多少？
(3)事件指针指向红色区域可能发生几次？(4)怎样求各自的概率?
小组交流讨论
说出每个事件可能出现的结果数m的值？该实验所有等可能出现的结果数n的值？
然后再应用古典概率的公式P（A）=，就可以解决问题。
说出公式中的m、n的值。
要求学生任选一种设计,并总结设计的宗旨，培养学生的发散思维能力。
设计意图：让学生感受几何概型的概率大小只与该区域的面积大小有关，而与所在区域的形状，位置无关。
4、在具体情境中感受到一类事件发生的概率（即几何概型）的大小与面积大小有关。
重点
会求等可能条件下的几何概型（转盘、方格）的概率。
难点
把等可能条件下,实验结果无限个的几何概型通过等积分割转化为古典概型。
学习过程
旁注与纠错
一、课前预习与导学得分
1、一只小狗作如图报复性地所示的方砖上走来走去，最终停留在黑色方砖上的概率是_____。
2、小红制作一个转盘，并将其分成12个扇形，将其中的3块扇形涂上黑色，4块涂上红色，其余涂上白色，转动转盘上的指针，指针停止后，指向黑色的概率为_____,指向红色的概率为_______ ,指向白色的概率为________。
3、某商店举办有奖销售活动，购物满100元者发兑奖劵一张，在10000张奖券中，设特等奖一个，一等奖10个，二等奖100个，若某人购物刚好满100元，那么他中奖一等奖的概率是_____。
概率论与数理统计-等可能概型-古典概型
P( A)
m n
A
所包含样本点的个数
样本点总数
.
称此为概率的古典定义.
3. 古典概型的基本模型:摸球模型
(1) 无放回地摸球 问题1 设袋中有4 只白球和 2只黑球, 现从袋中无 放回地依次摸出2只球,求这2只球都是白球的概率.
解 设 A {摸得 2 只球都是白球},
基本事件总数为 6,
பைடு நூலகம்
2
A 所包含基本事件的个数为 故 P( A) 4 6 2 .
解 设 x, y 分别为 甲、乙两人到 达的时刻, 则有
1 x 2,
时刻, 那么 0 x T , 0 y T .
两人会面的充要条件为 x y t,
若以 x, y 表示平面 上点的坐标 , 则有
故所求的概率为
阴影部分面积 p 正方形面积
T 2 (T t )2
T2
1 (1 t )2 . T
y
T
y x t
x yt
o
•
t
•
T
x
例8 甲、乙两人约定在下午1 时到2 时之间到某 站乘公共汽车 , 又这段时间内有四班公共汽车， 它们的开车时刻分别为 1:15、1:30、1:45、2:00. 如果甲、乙约定 (1) 见车就乘; (2) 最多等一辆 车. 求甲、乙同乘一车的概率. 假定甲、乙两人到达车站的时 刻是互相不牵连的，且每人在 1 时到 2 时的任何时刻到达车 站是等可能的.
3
3
3
3
4个球放到3个杯子的所有放法 3 3 3 3 34种,
4种 2
2种 2
2个
2个
因此第1、2个杯子中各有两个球的概率为
p 4 2 34 2 .
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初中数学 九年级(上册)
4.2
等可能条件下的概率（1）
4.2 等可能条件下的概率（一）（1）
抛掷一枚质地均匀的骰子1次，出现“朝上一面 的点数大于4”与“朝上一面的点数不大于4”这两个 事件中，那个事件发生的可能性大？
抛掷一枚质地均匀的骰子1次，会出现6中可能 的结果：1点朝上，2点朝上，3点朝上，4点朝上， 5点朝上，6点朝上.这6种结果出现时等可能的
例1 某班级有30名男生和20名女生，名字
彼此不同．现有相同的50张小纸条，每名学生
分别将自己的名字写在纸条上，放入一个盒子
中，搅匀后从中抽出1张纸条．比较“抽到男生
名字”与“抽到女生名字”的概率的大小．
（1）本题若以“摸球”情境为背景，该 如何设计试验呢？
（2）能否对变换后的“摸球”试验再简化？
4.2 等可能条件下的概率（一）（1）
一般地，如果一个试验有n个等可能的结果， 当其中的m个结果之一出现时，事件A发生，那么 事件A发生的概率是多少呢？
m 等可能条件下的概率的计算方法：P ( A) n （其中m表示事件A发生可能出现的结果数，n表示
一次试验所有等可能出现的结果数．）
4.2 等可能条件下的概率（一）（1）
4.2 等可能条件下的概率（一）（1）
例2 一只不透明的袋子中装有拌匀后从
中任意摸出1个球． （1）会出现哪些等可能的结果？ （2）摸到白球、摸到红球的概率各是多少？
4.2 等可能条件下的概率（一）（1）
4.2
等可能条件下的概率（1）
4.2 等可能条件下的概率（一）（1）
抛掷一枚质地均匀的骰子1次，出现“朝上一面 的点数大于4”与“朝上一面的点数不大于4”这两个 事件中，那个事件发生的可能性大？
抛掷一枚质地均匀的骰子1次，会出现6中可能 的结果：1点朝上，2点朝上，3点朝上，4点朝上， 5点朝上，6点朝上.这6种结果出现时等可能的
例1 某班级有30名男生和20名女生，名字
彼此不同．现有相同的50张小纸条，每名学生
分别将自己的名字写在纸条上，放入一个盒子
中，搅匀后从中抽出1张纸条．比较“抽到男生
名字”与“抽到女生名字”的概率的大小．
（1）本题若以“摸球”情境为背景，该 如何设计试验呢？
（2）能否对变换后的“摸球”试验再简化？
4.2 等可能条件下的概率（一）（1）
一般地，如果一个试验有n个等可能的结果， 当其中的m个结果之一出现时，事件A发生，那么 事件A发生的概率是多少呢？
m 等可能条件下的概率的计算方法：P ( A) n （其中m表示事件A发生可能出现的结果数，n表示
一次试验所有等可能出现的结果数．）
4.2 等可能条件下的概率（一）（1）
4.2 等可能条件下的概率（一）（1）
例2 一只不透明的袋子中装有拌匀后从
中任意摸出1个球． （1）会出现哪些等可能的结果？ （2）摸到白球、摸到红球的概率各是多少？
4.2 等可能条件下的概率（一）（1）