卷积积分基础
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卷积操作的基础知识
卷积操作的基础知识卷积操作是深度学习中非常重要的一种操作，它在图像处理、自然语言处理等领域都有广泛的应用。
本文将介绍卷积操作的基础知识，包括卷积的定义、卷积核的作用、卷积的计算过程以及卷积的应用。
一、卷积的定义卷积是一种数学运算，它将两个函数f和g通过积分的方式进行融合。
在图像处理中，卷积操作可以看作是一个滑动窗口在图像上进行扫描，通过窗口内的像素值与卷积核的权重进行加权求和，得到输出图像的像素值。
二、卷积核的作用卷积核是卷积操作中的一个重要组成部分，它决定了卷积操作的特征提取能力。
卷积核可以提取图像的边缘、纹理、角点等特征，不同的卷积核可以提取不同的特征。
在深度学习中，卷积核的权重是通过训练得到的，通过不断调整权重，可以使卷积操作更好地适应不同的任务。
三、卷积的计算过程卷积操作的计算过程可以用一个简单的例子来说明。
假设有一个3x3的输入矩阵A和一个2x2的卷积核B，它们的计算过程如下：1. 将卷积核B放在输入矩阵A的左上角，计算卷积核与输入矩阵对应位置的元素的乘积，并将结果相加得到输出矩阵的第一个元素。
2. 将卷积核B向右移动一个像素，再次计算乘积并相加，得到输出矩阵的第二个元素。
3. 重复上述步骤，直到卷积核B滑动到输入矩阵A的最右边。
4. 将卷积核B向下移动一个像素，重复上述步骤，直到卷积核B滑动到输入矩阵A的最下边。
5. 得到输出矩阵，它的大小为输入矩阵的大小减去卷积核的大小加一。
四、卷积的应用卷积操作在图像处理中有广泛的应用。
例如，可以通过卷积操作来进行图像的模糊、锐化、边缘检测等处理。
此外，卷积操作还可以用于图像的特征提取，例如在人脸识别中，可以通过卷积操作来提取人脸的特征，从而实现人脸的识别。
除了图像处理，卷积操作在自然语言处理中也有应用。
例如，在文本分类任务中，可以通过卷积操作来提取文本的特征，从而实现文本的分类。
此外，卷积操作还可以用于机器翻译、语音识别等任务。
总结：本文介绍了卷积操作的基础知识，包括卷积的定义、卷积核的作用、卷积的计算过程以及卷积的应用。
信息光学基础1-3卷积
03. 数学基础3： 卷积
学习目标： – 了解卷积运算的定义. – 熟练掌握卷积运算. – 了解卷积的物理意义.
2016/10/8
– 01 卷积的定义 – 02 卷积的物理意义 – 03 卷积的性质 – 04 卷积的matlab实现
为什么要引入卷积运算？
物
成像系统
像
设：物平面光轴上的单位脉冲在像平面产生的分布为h(x)
3）线性/分配律
a、b ——任意常数
[af (x, y) bh(x, y)] g(x, y) af (x, y) g(x, y) bh(x, y) g(x, y)
f (x, y) [ah(x, y) bg(x, y)] af (x, y) h(x, y) bf (x, y) g(x, y)
卷积结果
y (t )
15 8 9 8
3 -1 0 1
2
2
t 2
卷积的 两个效应
展宽效应：卷积非零值 范围等于被卷积两函数 的非零值范围之和。
平滑效应
卷积运算实例1: 计算rect(x)*rect(x)
解：1.用哑元画出 二个 rect()
2.将rect()折叠后不变;
rect() 1
2 y2 l / 2
[ (x+d/2) - (x-d/2)]
卷积的运算实例2
1） rect( x ) rect( x )
a
a
2）设有两函数分别为 f (x) (x)step(x) ，
h(x) rect( x 1) 求：g(x)=f (x) h(x) 。 2
f1( ) f2(t ) 2
1 0.5
-1 0 t 1 1 t 1
学习目标： – 了解卷积运算的定义. – 熟练掌握卷积运算. – 了解卷积的物理意义.
2016/10/8
– 01 卷积的定义 – 02 卷积的物理意义 – 03 卷积的性质 – 04 卷积的matlab实现
为什么要引入卷积运算？
物
成像系统
像
设：物平面光轴上的单位脉冲在像平面产生的分布为h(x)
3）线性/分配律
a、b ——任意常数
[af (x, y) bh(x, y)] g(x, y) af (x, y) g(x, y) bh(x, y) g(x, y)
f (x, y) [ah(x, y) bg(x, y)] af (x, y) h(x, y) bf (x, y) g(x, y)
卷积结果
y (t )
15 8 9 8
3 -1 0 1
2
2
t 2
卷积的 两个效应
展宽效应：卷积非零值 范围等于被卷积两函数 的非零值范围之和。
平滑效应
卷积运算实例1: 计算rect(x)*rect(x)
解：1.用哑元画出 二个 rect()
2.将rect()折叠后不变;
rect() 1
2 y2 l / 2
[ (x+d/2) - (x-d/2)]
卷积的运算实例2
1） rect( x ) rect( x )
a
a
2）设有两函数分别为 f (x) (x)step(x) ，
h(x) rect( x 1) 求：g(x)=f (x) h(x) 。 2
f1( ) f2(t ) 2
1 0.5
-1 0 t 1 1 t 1
电路原理课件-卷积积分
3
7) t≥7时,
y(t ) 0
注意：积分上下限应由被 积函数存在的时域范围的 上下限确定。
卷积积分在电路分析中的应用
例1、电路如图所示，uS=15e-0.25t(t)V。采用卷积计算uC。
解：以uC为响应，求单位阶跃响应
uC (0 ) uC (0 ) 0
uCf 40 1 0.5V 40 40
t t
t t
t 0
d dt t t
卷积积分上下限分析
t
0
r t h t f t f t h t
卷积符合交换律
δ t f t δ f t dτ τ τ
k 0
f (t ) f a (t )
f ( k ) ( t k ) ( t ( k 1) )
k 0 n 1
k 0 n 1
k 0
n 1
(t k ) (t (k 1) ) f (k )
例2、电路如图，R=10，L=1H，激励uS的波形如图 所示，求零状态响应i(t)。
解：以电流i 为响应，求单位阶跃响应为：
R t 1 g( t ) (1 e L ) ( t ) R 0.1(1 e 10 t ) ( t )
则单位冲激响应为：
dg( t ) h (t ) e 10 t ( t ) dt
40 40 RC 0.05 1s 40 40
uC ( t ) uCf (1 e ) ( t ) 0.5(1 e t ) ( t )V
t
单位阶跃响应为：
g(t ) 0.5(1 e t ) (t )
7) t≥7时,
y(t ) 0
注意：积分上下限应由被 积函数存在的时域范围的 上下限确定。
卷积积分在电路分析中的应用
例1、电路如图所示，uS=15e-0.25t(t)V。采用卷积计算uC。
解：以uC为响应，求单位阶跃响应
uC (0 ) uC (0 ) 0
uCf 40 1 0.5V 40 40
t t
t t
t 0
d dt t t
卷积积分上下限分析
t
0
r t h t f t f t h t
卷积符合交换律
δ t f t δ f t dτ τ τ
k 0
f (t ) f a (t )
f ( k ) ( t k ) ( t ( k 1) )
k 0 n 1
k 0 n 1
k 0
n 1
(t k ) (t (k 1) ) f (k )
例2、电路如图，R=10，L=1H，激励uS的波形如图 所示，求零状态响应i(t)。
解：以电流i 为响应，求单位阶跃响应为：
R t 1 g( t ) (1 e L ) ( t ) R 0.1(1 e 10 t ) ( t )
则单位冲激响应为：
dg( t ) h (t ) e 10 t ( t ) dt
40 40 RC 0.05 1s 40 40
uC ( t ) uCf (1 e ) ( t ) 0.5(1 e t ) ( t )V
t
单位阶跃响应为：
g(t ) 0.5(1 e t ) (t )
卷积积分(Convolution)的定义(精)
6.10 卷积积分
一、卷积积分(Convolution)的定义 定义： 设 f1(t)， f2(t) t < 0 均为零
f1 (t ) * f 2 (t ) f1 ( ) f 2 (t )d
0
t
二、卷积积分的性质 性质1
f1 ( t ) * f 2 ( t ) f 2 ( t ) * f 1 ( t )
2
1
0 0 1
t0
0 t 1
f (t ) 0
f (t ) 2e ( t )d 2 2e t
0 1 0 t
t t
t
t 1
1
f (t ) 2e ( t )d 2e ( t 1) 2e t
2
1 -1 0 0
e-
t0
0 t 1 t 1
e(k ) ph (t k )
e( t )
t k : 脉冲作用时刻 2 r( t ) k (k+1) t t 时刻观察到的响应 应为 0 ~ t 时间内所有 激励产生的响应的和
e(0)
o
t
t ：观察响应时刻
0
2
N
k (k+1)
t
激励 e( t )
f (t ) 0
f (t ) 2e d 2 2e t
0 t t 1 t
t-1
t
1
t t
f (t ) 2e d 2e ( t 1) 2e t
积分变量（激励作用时刻）
例1. iS R iC C + uC
已知：R=500 k , C=10 F , uC(0)=0
iS 2e t (t ) mA
一、卷积积分(Convolution)的定义 定义： 设 f1(t)， f2(t) t < 0 均为零
f1 (t ) * f 2 (t ) f1 ( ) f 2 (t )d
0
t
二、卷积积分的性质 性质1
f1 ( t ) * f 2 ( t ) f 2 ( t ) * f 1 ( t )
2
1
0 0 1
t0
0 t 1
f (t ) 0
f (t ) 2e ( t )d 2 2e t
0 1 0 t
t t
t
t 1
1
f (t ) 2e ( t )d 2e ( t 1) 2e t
2
1 -1 0 0
e-
t0
0 t 1 t 1
e(k ) ph (t k )
e( t )
t k : 脉冲作用时刻 2 r( t ) k (k+1) t t 时刻观察到的响应 应为 0 ~ t 时间内所有 激励产生的响应的和
e(0)
o
t
t ：观察响应时刻
0
2
N
k (k+1)
t
激励 e( t )
f (t ) 0
f (t ) 2e d 2 2e t
0 t t 1 t
t-1
t
1
t t
f (t ) 2e d 2e ( t 1) 2e t
积分变量（激励作用时刻）
例1. iS R iC C + uC
已知：R=500 k , C=10 F , uC(0)=0
iS 2e t (t ) mA
一阶电路的冲激响应基础知识讲解
2. t > 0 零输入响应 (C放电)
uC
1 C
t
e RC
(t 0)
iC + R C uC
iC
uC R
1
t
e RC
RC
(t 0)
uC
(0
)
1 C
uC
1
C
全时间域表达式：
o
t
uC
1 C
t
e RC (t )
iC
iC
(t)
1 RC
e
t
RC (t )
(1) o 1
t
RC
例2.
+
(t)
1 L
i L (0
)
iL (0
)
1 L
0
0 uLd
1 L
2. t > 0 (L放电)
L
R
iL
1
e
t
L
t 0
uL
iLR
R L
t
e
t0
全时间域表达式：
iL
1
e
t
(t)
L
uL
(t)
R L
t
e (t)
R iL
+ L uL
iL(0 )
1 L
iL
1 L
o uL
(t)
o R
L
t t
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卷积积分
一、卷积积分(Convolution)的定义
定义：设 f1(t)， f2(t) t < 0 均为零
t
f1(t )* f2 (t ) 0 f1( ) f2 (t )d
二、卷积积分的性质
性质1 f1(t)* f2(t) f2(t)* f1(t)
卷积积分及其性质 ppt课件
d dx
(t)是奇函数 [ (x t)] f (x) d x [ f (t)] f (t)
第2-15页
PPT课件
15
■
©西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 电子教案
2.4 卷积积分的性质
3. f(t)*ε(t)
t
f ( ) (t ) d f ( ) d
¥
ò yzs (t) =f (t) * h(t) =
et [6 e- 2(t- t )- 1]e(t - t ) d t
-?
当t <τ，即τ> t时，ε(t -τ) = 0
蝌t
yzs (t) =
et [6 e- 2(t- t )- 1]d t =
-?
t
(6 e- e2t 3t - et ) d t
?
(t)
t0
)
f
(
t
)
d
t
f (t0)
'(t) f (t) d t f '(0)
PPT课件
(t
t0 )
f
(t) d t
f
(t0 )
16
第2-16页
■
©西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 电子教案
2.4 卷积积分的性质
三、卷积的微积分性质
1.
dn dtn
第2-11页
PPT课件
11
■
©西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 电子教案
2.4 卷积积分的性质
下面讨论均设卷积积分是收敛的（或存在的）。
信号与系统-卷积积分
信号与系统
§2.6 卷积
信号与系统
§2.6.1 卷积定义
定义： 设有两个 函数 f1(t) f2 (t) ，积分
f (t) f1( ) f2(t )d
称为 f1(t) f2 (t) 的卷积积分，简称卷积，记为 f (t) f1(t) f2(t) 或 f (t) f1(t) f2(t)
t 0 , f2 ( ) 未移动 t 0 , f2 ( ) 右移 f2 (t ) t 0 , f2 ( ) 左移 f2 (t )
3
f2(t )
2
1 O 1 t3
t
下限
上限
f2(t )
t-3
t
f1( ) f2 (t ) -1
1
当
t
从
到
变化时，3对应的 2
f2(t )
从左向右移动。
f (t) f1( ) f2 (t )d
对τ延时t，
－(τ- t)= t- τ
积分结果为t 的函数
1.
积分变量改为
2.
f2(t)
f2 ( ) 反折
时延
f2( )
f2(t
)
3.相乘 f1( ) f2 (t )
4.乘积的积分 f1( ). f2 (t )d
信号与系统
§2.6.3 卷积图解过程
例 ：f1 (t )
f1
(Gt )2
(t
),
f2 (t )
t [u(t) 2
u(t
3)]
f1( )
1
1 O 1 t
f2(t )
3 2
t
t
1
1 O
f
1(
2
)
3
2
O
§2.6 卷积
信号与系统
§2.6.1 卷积定义
定义： 设有两个 函数 f1(t) f2 (t) ，积分
f (t) f1( ) f2(t )d
称为 f1(t) f2 (t) 的卷积积分，简称卷积，记为 f (t) f1(t) f2(t) 或 f (t) f1(t) f2(t)
t 0 , f2 ( ) 未移动 t 0 , f2 ( ) 右移 f2 (t ) t 0 , f2 ( ) 左移 f2 (t )
3
f2(t )
2
1 O 1 t3
t
下限
上限
f2(t )
t-3
t
f1( ) f2 (t ) -1
1
当
t
从
到
变化时，3对应的 2
f2(t )
从左向右移动。
f (t) f1( ) f2 (t )d
对τ延时t，
－(τ- t)= t- τ
积分结果为t 的函数
1.
积分变量改为
2.
f2(t)
f2 ( ) 反折
时延
f2( )
f2(t
)
3.相乘 f1( ) f2 (t )
4.乘积的积分 f1( ). f2 (t )d
信号与系统
§2.6.3 卷积图解过程
例 ：f1 (t )
f1
(Gt )2
(t
),
f2 (t )
t [u(t) 2
u(t
3)]
f1( )
1
1 O 1 t
f2(t )
3 2
t
t
1
1 O
f
1(
2
)
3
2
O
学习深度学习需要掌握的基础知识
学习深度学习需要掌握的基础知识
1.数学基础：矩阵运算、线性变换、奇异值分解等线性代数知识；导数、微分、积分等高等数学知识；概率分布、期望、方差、协方差、卡方分布等概率论和数理统计知识。
2.训练数据、特征、目标、模型、激活函数、损失函数、优化算法等机器学习基础知识；BP神经网络的基本原理。
3.卷积、池化、dropout、Batch Normalization、全连接、epoch、batch_size、iterration等卷积神经网络的概念和原理；LeNet、AlexNet、VGG、ResNet、LSTM、GAN、Attention机制、Transformer等经典模型和算法的基本原理。
4.Python的基础语法；深度学习框架的基本使用方法，例如用PyTorch 搭建一个CNN模型，对MNIST数据集进行训练和测试。
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- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
f
(i 2
j
)
(t
)
f (t)
f1(1) (t)
f (1) 2
(t
)
d dt
f1(t)
t
f2 ()d
常数信号(直流信号) f (t) E ( t ) 经微分后为零,需特殊考虑, 不能用微分性质
15
三、与冲激函数或阶跃函数的卷积
f (t) (t) f (t)
f (t) (t) ( ) f (t )d f (t)
1 1
2
1
1 2
(t
)d
3t 3 4 16
7
r(t) e(t) h(t) e( )h(t )d
h(t )
e( )
t
(3) 1 t 3 2
e(t) h(t) 3 t 3 4 16
(4) 3 t 3
e( )
2
h(t )
t
e(t) h(t) 1 1 1 (t )d
t2
4
t 4
1 16
( 1 t 1) 2
r(t) e(t) h(t)
r(t)
43
t
3 16
(1 t 3) 2
t2
t
3
( 3 t 3)
4 2 4 2
0
其它
t
卷积结果所占的时宽等于两个函数各自时宽的总和
10
P842 14(1) f (t) u(t) u(t 1),求s(t) f (t) f (t)
(1) t 0时, s(t) 0
(2)
0 t 1时,
s(t)
t
d t
0
(3)
1 t 2时,
s(t)
1
d 2 t
t 1
(4) t 2时, s(t) 0
t s(t) 2 t
0
(0 t 1) (1 t 2) (t为其它)
11
2.7 卷积的性质
一、卷积代数：交换律、分配律、结合律
(t
)
f2 (t)]
f1
(t
)
d dt
f2 (t)
d dt
f1(t)
f2 (t)
t
t
[ f1() f2 ()]d f1(t) f2 ()d
t
f2 (t) f1()d
14
卷积的微分和积分性质的推论
f (t) f1(t) f2 (t)
f
(i) (t)
f1( j) (t)
f (t) '(t) f '(t)
t
f (t) u(t) f ()d
f (t) (k) (t) f (k) (t) f (t) (k) (t t0 ) f (k) (t t0 )
18
e(t )
de(t) dt
16
f (t) (t t0 ) f (t t0 )
f (t) (t t0 ) f ( ) (t t0 )d f (t t0 )
(t t0 )
f (t t0 )
t0
t0
练习P842 13习题(2)(4)
17
f (t t1) (t t2) (t t1) f (t t2) f (t t1 t2)
f1(t) f2 (t) f2(t) f1(t)
f1(t) [ f2 (t) f3(t)] f1(t) f2 (t) f1(t) f3(t)
h1 (t ) e(t )
h2 (t)
r(t) e(t) [h1(t) h2 (t)]
h(t) h1(t) h2 (t) 12
一、卷积代数：交换律、分配律、结合律
f1 f2 t d
3
r(t) e(t) h(t) e( )h(t )d
e(t)或e( )
h(t)或h( )
1
2
t或
t或
1
2
h( ) h(t )1 t 2t4
r(t) e(t) h(t) e( )h(t )d
e(t)或e( )
(1) t 1 2
t或
h(t )
2.6 卷积
(t) h(t)
(t ) h(t )
e( ) (t ) e( )h(t )
e( ) (t )d e( )h(t )d
e(t)
r(t)
卷积积分
r(t) e(t) h(t) e( )h(t )d
系统的零状态响应为激励与单位冲激响应的卷积积分
1
从数学角度介绍卷积积分的运算
t2 2 1 t2 1 t 3
4 24
8
r(t) e(t) h(t) e( )h(t )d
e( )
h(t )
t
(4) 3 t 3 2
e(t) h(t) 1 t 2 1 t 3 4 24
(5) 3 t e(t) h(t) 0
9
r(t) e(t) h(t) e( )h(t )d
t
1 2
1
1 2
(t
)d
t
1 t2 1 t 1 4 4 16
6
h(t ) h(t )
r(t) e(t) h(t) e( )h(t )d
e( )
(2) 1 t 1
2
e(t) h(t) 1 t 2 1 t 1
4 4 16
t
(3) 1 t 3
e( )
2
t
e(t) h(t)
2
卷积积分的图解法
f1(t) f2(t) f1( ) f2(t )d
1、改变图形中的坐标 f1(t) f1( ), f2(t) f2( )
2、把其中一个信号反褶 f2 f2
3、把反褶后的信号位移 f2 f2t
4、两信号重叠部分相乘 f1 f2 t
5、完成相乘后的图形的积分
对于任意两个信号f1(t)和f2 (t), 两者的卷积积分定义为
f (t) f1(t) f2 (t) f1( ) f2 (t )d
为卷积运算符号
f (t) f1(t) f2 (t) f1() f2 (t )d
f2 (t) f1(t) f2 () f1(t )d
卷积积分符合交换率
1 t
2
t
h(t ) e( )
t
(1) t 1 2
e(t) h(t) 0
5
r(t) e(t) h(t) e( )h(t )d
h(t ) e( )
(1) t 1 2
h(t )
e(t) h(t) 0
t
(2) 1 t 1
e( )
2
e(t) h(t)
[ f1(t) f2 (t)] f3(t) f1(t) [ f2 (t) f3(t)] f2 (t) [ f1(t) f3(t)]
e(t )
h1(t) h2 (t)
r(t) e(t) [h1(t) h2 (t)]
h(t) h1(t) h2(t)
13
二、卷积的微分和积分
d dt
[
f1