§2.3,4卷积积分及其性质
合集下载
第二章 连续系统的时域分析
c2 du 2 (t ) u1 (t ) − u 2 (t ) = R2 dt
du (t ) 整理方程组得：d 2u2 (t ) + 7 2 + 6u2 (t ) = 6e(t ) dt 2 dt 特征方程：a2+7a+6=0 特征根：a=-1, a=-6 齐次解：rh(t) = A1e-t +A2e-6t
5
第二章 连续系统的时域分析
② 选定特解后，将它代入到原微分方程，即得到一个由 yh(t)及其各阶导数以及激励共同组成的一个非齐次微 分方程，依据此方程求出待定系数，然后可确定方程 的特解。
3. 求系统的全响应y(t)
y(t)＝方程的全解y(t)＝齐次解yh(t) + 特解 yP(t)
＝自由响应+强迫响应 将上面方程的全解代入系统的初始条件即可得齐次解中 的待定系数，从而进一步得到系统的全响应。此时， 方程的齐次解yh(t)为系统的自由响应，特解yP(t)为系 统的强迫响应（固有响应）。
解: 由原方程可得
dh 2 (t ) dh(t ) +3 + 2h(t ) = 2δ ′(t ) + 3δ (t ) 2 dt dt
(t ≥ 0)
特征方程: λ2+3λ+2 = 0 特征根: λ1= -1，λ2= -2，且n > m
h (t ) = Ae − t u (t ) + e −2 t (t ) u(t)
20
第二章 连续系统的时域分析
式中A、B为待定系数，将h(t)代入原方程 式，解得A=1，B=1。因此，系统的冲激 响应为 h(t ) = e − t u(t ) + e −2 t (t )
21
第二章 连续系统的时域分析
du (t ) 整理方程组得：d 2u2 (t ) + 7 2 + 6u2 (t ) = 6e(t ) dt 2 dt 特征方程：a2+7a+6=0 特征根：a=-1, a=-6 齐次解：rh(t) = A1e-t +A2e-6t
5
第二章 连续系统的时域分析
② 选定特解后，将它代入到原微分方程，即得到一个由 yh(t)及其各阶导数以及激励共同组成的一个非齐次微 分方程，依据此方程求出待定系数，然后可确定方程 的特解。
3. 求系统的全响应y(t)
y(t)＝方程的全解y(t)＝齐次解yh(t) + 特解 yP(t)
＝自由响应+强迫响应 将上面方程的全解代入系统的初始条件即可得齐次解中 的待定系数，从而进一步得到系统的全响应。此时， 方程的齐次解yh(t)为系统的自由响应，特解yP(t)为系 统的强迫响应（固有响应）。
解: 由原方程可得
dh 2 (t ) dh(t ) +3 + 2h(t ) = 2δ ′(t ) + 3δ (t ) 2 dt dt
(t ≥ 0)
特征方程: λ2+3λ+2 = 0 特征根: λ1= -1，λ2= -2，且n > m
h (t ) = Ae − t u (t ) + e −2 t (t ) u(t)
20
第二章 连续系统的时域分析
式中A、B为待定系数，将h(t)代入原方程 式，解得A=1，B=1。因此，系统的冲激 响应为 h(t ) = e − t u(t ) + e −2 t (t )
21
第二章 连续系统的时域分析
§2.4 卷积积分
形脉冲信号分量x( )[ (t )d ]叠加起来构成的。 3. 是积分变量，t是积分参变量（在积分过程中可视为常数）， 该积分公式也可以直接从单位冲激函数的取样特性得到。 3
一．卷积（Convolution）的引入
(t ) (t - )
LTI
h(t )
LTI LTI
h(t - )
t 0(即 t )时， (t ) 0 原式
t
e
( t )
d e e
t
t
1
12
五．对卷积积分的几点认识
r t
f ht d
(1)t：观察响应的时刻，是积分的参变量； : 信号作用的时刻，积分变量 从因果关系看，必定有 t (2)分析信号是手段，卷积中没有冲激形式，但有其内容
y f (t )
f ( )h(t ) d f (t ) * h(t )
5
例2-4-1：f (t) = e t,（-∞<t<∞)，h(t) = (6e-2t – 1)ε(t)， 求yf(t)。 yf(t) = f (t) * h(t)
y f (t )
e e
f H t d
f t f t d
f h t d
(t-)的响应
即LTI系统在信号激励f(t)下产生的零状态响应．
rzs t f t h t f t h t
f()是h(t-)的加权，求和
即df()是h(t-)的加权，积分
第二章 (4)卷积积分的性质
f 1 (t )
f 2 (t )
2
1
0
2
0 1
1
2 3
t
1
3
t
解法一: 解法一:图示法
f 1 (τ
t <1 ,
)
f (t ) = 0
2
0
1
2 3
τ
f 2 (t τ
t2
)
1
t 0
1
τ
解法一: 解法一:图示法
f 1 (τ
t <1 ,
)
t
f (t ) = 0
1< t < 2 ,
f (t ) = ∫ 2dτ = 2(t 1)
(2) e ε(t + 3) ε(t 5) 2t e ε (t + 3) ε (t 5) ∞ 2τ = ∫ e ε (τ + 3) ε (t τ 5)dτ ∞
2t
=∫t 53e2τ1 2(t 5) 6 e = e 2 6 1 2( t 2) = e 1 e 2
[
1 2τ dτ = e 2
' ∞ ∞
上式称为杜阿密尔积分. 上式称为杜阿密尔积分. 杜阿密尔积分 其物理含义为: 其物理含义为:LTI系统的零状态响应等于激励的 系统的零状态响应等于激励的
f ' (t )与系统的阶跃响应 g(t )的卷积积分. 的卷积积分. 导数
例2.4-4 求图示函数 f1(t ) 与 f2 (t ) 的卷积 f (t ) .
若f (t ) = f1(t ) f2(t ),则 f1(t t1 ) f2(t t2 ) = f1(t t2 ) f2 (t t1 ) = f (t t1 t2 )
推广4 推广
§2.4 卷积积分的性质
▲ ■ 第 4页
二、与冲激或阶跃信号的卷积
1. f (t ) (t ) (t ) f (t ) f (t )
证： f (t ) (t )
南航电子信息
f (t ) (t t0 )dt f (t0 ) f (t ) (t ) f (t )
注意：当 f1(t)=1 ， f2(t) = e – tε(t)时
套用 f1 (t ) f 2 (t ) f1(t ) f ( 1) (t ) 0 f ( 1) (t ) 0 显然是错误的 f1 () 0
▲ ■ 第 7页
四、卷积的时移特性
若 f(t) = f1(t)* f2(t)， 则 f1(t –t1)* f2(t –t2) = f1(t –t1 –t2)* f2(t) = f1(t)* f2(t –t1 –t2) = f(t –t1 –t2)
f1 (t ) f 2 (t ) f (t ) f 2
(i ) 1 ( i )
(t )
f
(i )
(t ) f
▲
( j) 1
(t ) f 2
(i j )
(t )
第 6页
■
例1: f1(t) 如图, f2(t) = e – tε(t)，求f1(t)* f2(t) 南航电子信息
( 1) 解： f1 (t ) f 2 (t ) f1 (t ) f 2 (t )
f1 (t ) (t ) (t 2)
f1(t ) (t ) (t 2)
t 0
f
( 1) 2
(t ) e ( )d [ e d ] (t )
二、与冲激或阶跃信号的卷积
1. f (t ) (t ) (t ) f (t ) f (t )
证： f (t ) (t )
南航电子信息
f (t ) (t t0 )dt f (t0 ) f (t ) (t ) f (t )
注意：当 f1(t)=1 ， f2(t) = e – tε(t)时
套用 f1 (t ) f 2 (t ) f1(t ) f ( 1) (t ) 0 f ( 1) (t ) 0 显然是错误的 f1 () 0
▲ ■ 第 7页
四、卷积的时移特性
若 f(t) = f1(t)* f2(t)， 则 f1(t –t1)* f2(t –t2) = f1(t –t1 –t2)* f2(t) = f1(t)* f2(t –t1 –t2) = f(t –t1 –t2)
f1 (t ) f 2 (t ) f (t ) f 2
(i ) 1 ( i )
(t )
f
(i )
(t ) f
▲
( j) 1
(t ) f 2
(i j )
(t )
第 6页
■
例1: f1(t) 如图, f2(t) = e – tε(t)，求f1(t)* f2(t) 南航电子信息
( 1) 解： f1 (t ) f 2 (t ) f1 (t ) f 2 (t )
f1 (t ) (t ) (t 2)
f1(t ) (t ) (t 2)
t 0
f
( 1) 2
(t ) e ( )d [ e d ] (t )
2.4 卷积积分的性质
1. f t t t f t f t
(t ) f (t ) d t f (0)
证： f (t )* (t ) (t )* f (t ) ( ) f (t ) d f (t )
f t t t0 f t t0
两种运算的不同之处仅在于，卷积运算需将 f2 进行反折
为 f 2 ，而相关运算不需反折，仍为 f2 。其他的移位、相乘 和积分的运算方法相同。
通信与信息工程学院基础教学部
小结： 求卷积是本章的重点与难点。
• 求解卷积的方法可归纳为： • （1）利用定义式，直接进行积分。对于容易求积分的函数比 较有效。如指数函数，多项式函数等。 • （2）图解法。特别适用于求某时刻点上的卷积值。 • （3）利用性质。比较灵活。 三者常常结合起来使用。
( ) f (t ) f (t ) ( ) d f (t )
f t
n
t f
n
t
3. f t t f ( ) (t ) d f ( ) d 对函数积分
t t t t
通信与信息工程学院基础教d n f1 (t ) d n f 2 (t ) dn f (t ) * f 2 (t ) * f 2 (t ) f1 (t ) * 1. n 1 n dt dt d tn dn f1 t f 2 t 证： n f1 (t )* f 2 (t ) n t dt n f2 t t f t 1
t 0
(t ) (1 e t ) (t )
(t ) f (t ) d t f (0)
证： f (t )* (t ) (t )* f (t ) ( ) f (t ) d f (t )
f t t t0 f t t0
两种运算的不同之处仅在于，卷积运算需将 f2 进行反折
为 f 2 ，而相关运算不需反折，仍为 f2 。其他的移位、相乘 和积分的运算方法相同。
通信与信息工程学院基础教学部
小结： 求卷积是本章的重点与难点。
• 求解卷积的方法可归纳为： • （1）利用定义式，直接进行积分。对于容易求积分的函数比 较有效。如指数函数，多项式函数等。 • （2）图解法。特别适用于求某时刻点上的卷积值。 • （3）利用性质。比较灵活。 三者常常结合起来使用。
( ) f (t ) f (t ) ( ) d f (t )
f t
n
t f
n
t
3. f t t f ( ) (t ) d f ( ) d 对函数积分
t t t t
通信与信息工程学院基础教d n f1 (t ) d n f 2 (t ) dn f (t ) * f 2 (t ) * f 2 (t ) f1 (t ) * 1. n 1 n dt dt d tn dn f1 t f 2 t 证： n f1 (t )* f 2 (t ) n t dt n f2 t t f t 1
t 0
(t ) (1 e t ) (t )
2-3-卷积积分
− 2t
= 6∫ e
0
t
− 2τ
dτ ε (t ) = 3(1 − e
) ε (t )
f1 (t ) ∗ f 3 (t ) = =
∫
∞
−∞
f1 (τ ) f 3 (t − τ )dτ
∫
∞
−∞
3e ε (τ ) ⋅ 2ε (t − τ − 2)dτ
− 2τ
=6
∫
t −2
e
− 2τ
0
dτ = 3(1 − e
问：
y2 (t ) = [ f (t − t1 )ε (t − t1 )]∗ [h(t − t 2 )ε (t − t 2 )]
y1 (t ) = [ f (t − t0 )ε (t − t0 )]∗ [h(t )ε (t )]
2）反因果信号 ）
=
t
y (t ) = [ f (t )ε (− t )]∗ [h(t )ε (t )]
∫
（1）翻转 ） （2）平移 ） （3）相乘 ） （4）积分 ）
f1 (τ ) → f1 (−τ )或 : f2 (τ ) → f2 (−τ )
f1(−τ ) → f1(t −τ )或f2 (−τ ) → f2 (t −τ )
f1 ( t − τ ) f 2 (τ )或f 2 ( t − τ ) f1 (τ )
(1)
＝
－1 0
1 t o t0 t o t 0－1 t 0 t 0＋1 t
图 2.2 – 3 例2.2 - 3图 图
例2.4-3 周期性单位冲激序列
δ T (t ) =
试求
f (t ) = f0 (t ) ∗ δ T (t )
∞ m = −∞
m = −∞
= 6∫ e
0
t
− 2τ
dτ ε (t ) = 3(1 − e
) ε (t )
f1 (t ) ∗ f 3 (t ) = =
∫
∞
−∞
f1 (τ ) f 3 (t − τ )dτ
∫
∞
−∞
3e ε (τ ) ⋅ 2ε (t − τ − 2)dτ
− 2τ
=6
∫
t −2
e
− 2τ
0
dτ = 3(1 − e
问：
y2 (t ) = [ f (t − t1 )ε (t − t1 )]∗ [h(t − t 2 )ε (t − t 2 )]
y1 (t ) = [ f (t − t0 )ε (t − t0 )]∗ [h(t )ε (t )]
2）反因果信号 ）
=
t
y (t ) = [ f (t )ε (− t )]∗ [h(t )ε (t )]
∫
（1）翻转 ） （2）平移 ） （3）相乘 ） （4）积分 ）
f1 (τ ) → f1 (−τ )或 : f2 (τ ) → f2 (−τ )
f1(−τ ) → f1(t −τ )或f2 (−τ ) → f2 (t −τ )
f1 ( t − τ ) f 2 (τ )或f 2 ( t − τ ) f1 (τ )
(1)
＝
－1 0
1 t o t0 t o t 0－1 t 0 t 0＋1 t
图 2.2 – 3 例2.2 - 3图 图
例2.4-3 周期性单位冲激序列
δ T (t ) =
试求
f (t ) = f0 (t ) ∗ δ T (t )
∞ m = −∞
m = −∞
信号与系统 卷积积分的性质
P47 2-8(1)(3)(5) ， 2-10(2)(4) P48 2-11(1)(3)(4)
信号与系统
d x t dt
h d
t
2
1
1 0
2
c
1
t
0
4
t
d
dxt t h d 15 dt 8
t
9 8
2
dxt t h d dt
3
1 0
2
2
6
1 0
2 3
6
t
f
e
信号与系统
t t t
[ 1 d ]u (t 1) [ 1 d ]u (t 2)
1 2
t
t
(t 1)u (t 1) (t 2)u (t 2)
(t 1)[u (t 1) u (t 2)] 3u (t 2) 0 t 1 3
0 t a 1 e d 1 e at 0 a
f t
1
1 d ]u(t ) 1 e at u t a
t 0
f d
t 0
t
e at
1 a
0
a
t
0
b
t
信号与系统
作业 13-4-16
t
y( )d f (t ) h( )d h(t ) f ( )d
t
y(t)的一重积分
y ( 1) (t ) f (t ) h( 1) (t ) f ( 1) (t ) h(t )
推广：
y ( m) (t ) f (t ) h( m) (t ) f ( m) (t ) h(t )
信号与系统
d x t dt
h d
t
2
1
1 0
2
c
1
t
0
4
t
d
dxt t h d 15 dt 8
t
9 8
2
dxt t h d dt
3
1 0
2
2
6
1 0
2 3
6
t
f
e
信号与系统
t t t
[ 1 d ]u (t 1) [ 1 d ]u (t 2)
1 2
t
t
(t 1)u (t 1) (t 2)u (t 2)
(t 1)[u (t 1) u (t 2)] 3u (t 2) 0 t 1 3
0 t a 1 e d 1 e at 0 a
f t
1
1 d ]u(t ) 1 e at u t a
t 0
f d
t 0
t
e at
1 a
0
a
t
0
b
t
信号与系统
作业 13-4-16
t
y( )d f (t ) h( )d h(t ) f ( )d
t
y(t)的一重积分
y ( 1) (t ) f (t ) h( 1) (t ) f ( 1) (t ) h(t )
推广：
y ( m) (t ) f (t ) h( m) (t ) f ( m) (t ) h(t )
信号系统 卷积积分
∞ f (τ )H[δ(t −τ )]dτ = ∫ −∞
( = ∫ f (τ )h t −τ ) dτ
∞ −∞
这就是系统的零状态响应。 这就是系统的零状态响应。
( ( yzs (t) = f (t) ⊗h t) = f (t) ∗h t)
三．卷积的计算
卷积的一般步骤
f (t) = ∫ f1(τ ) f2(t −τ ) dτ
0
f 1 (τ )
t
f1 (τ )
2
f 2 ( −τ )
2
f 2 (t − τ )
f1 (τ )
2
1
f 2 (t − τ )
1
1
0
1
t
τ
0
0 t
1
τ
0
1 t
τ
0 < t ≤ 1, f (t ) = ∫ 2 × e − (t −τ ) dτ = 2(1 − e − t )ε (t ) t > 1, f (t ) = ∫ 2 × e − (t −τ ) dτ = 2(e − (t −1) − e −t )ε (t − 1)
二．利用卷积求系统的零状态响应
任意信号f(t)可表示为冲激序列之和 任意信号 可表示为冲激序列之和
f (t) = ∫ f (τ )δ(t −τ ) dτ
∞ −∞
把 作 于 激 应h L IS, 响 为 若 它 用 冲 响 为 (t)的 T 则 应
∞ f (τ )δ(t −τ ) dτ y(t) = H[ f (t)] = H ∫ −∞
§2.3卷积积分 2.3卷积积分
•卷积 卷积 •利用卷积积分求系统的零状态响应 利用卷积积分求系统的零状态响应 •卷积图解说明 卷积图解说明 •卷积积分的几点认识 卷积积分的几点认识 卷积积分的
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第2-12页
■
- ?
f 2 (l ) ? f1 (t l ) d l = f 2 (t ) * f1 (t )
©西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 电子教案
2.4
卷积积分的性质
系统并联
系统并联，框图表示：
h( t )
f (t ) f (t )
f (t )
h1 ( t )
f (t ) * h1 (t )
2 f 2( τt )
τ t
-2 1 -1 -1 1
3
τ t
（1）换元 （2） f1(τ)得f1(–τ) （3） f1(–τ)右移2得f1(2–τ) （4） f1(2–τ)乘f2(τ) （5）积分，得f(2) = 0（面积为0）
第2-10页
■
f 1(2-τ ) f 2(τ ) 2 2 τ
-2
©西安电子科技大学电路与系统教研中心
第2-7页
■
©西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 电子教案
2.3
卷积积分
二、卷积的图解法
f1 (t ) * f 2 (t ) f1 ( ) f 2 (t )d
用图解法计算卷积积分步骤：
（1）换元： t换为τ→得 f1(τ)， f2(τ) （2）反转平移： 由f2(τ)反转→ f2(–τ)，然后右移t → f2(t-τ) （3）乘积： f1(τ) f2(t-τ) （4）积分： τ从 –∞到∞对乘积项积分。 注意：t为参变量。
第2-8页
■
©西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 电子教案
解：采用图解法卷积。 f(t)函数形式复杂 换元为f(τ)。 h(t)换元 h ( τ)
h (-τ)平移t ① t < 0时 , h ( t -τ)向左移 h( t -τ) f(τ) = 0，故 yzs(t) = 0 ② 0≤t ≤1 时, h ( t -τ)向右移 ③ 1≤t ≤2时 h(τ)反折 h ( t -τ)
信号与系统 电子教案
2.3
卷积积分
3 .卷积积分的定义
已知定义在区间（ – ∞，∞）上的两个函数f1(t)和f2(t)， 则定义积分
f (t ) f1 ( ) f 2 (t )d
为f1(t)与f2(t)的卷积积分，简称卷积；记为 f(t)= f1(t)*f2(t) 注意：积分是在虚设的变量τ下进行的，τ为积分变量， t为参变量。结果仍为t 的函数。
f ( t ) h1 ( t )
f (t ) h( t )
y (t )
f ( t ) h1 ( t ) h2 ( t )
ht h1 ( t ) h2 ( t )
结论：子系统级联时，总的冲激响应等于 子系统冲激响应的卷积。
第2-14页
■
©西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 电子教案
1
A
f1 (t ) A p (t )
2
2
0 (a)
t
2
0 (b)
■
2
t
第2-2页
©西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 电子教案 (2) 任意信号分解 “0”号脉冲高度f(0) ,宽度为△， 用p(t)表示为：f(0) △ p(t) “1”号脉冲高度f(△) ,宽度为 △，用p(t - △)表示为： f(△ ) △ p(t - △ )
…
2.3
卷积积分
f (t )
f ()
f ()
fˆ (t )
…
f(0)
-1
2
0 1
2
3 2
0
2
t
“-1”号脉冲高度f(-△) 、宽度为△，用p(t +△)表示为：
ˆ (t ) f
lim 0
第2-3页
ˆ (t ) f ( t ) f
■
n
f ( - △) △ p(t + △)
∑
y (t )
h2 ( t )
h( t )
f (t ) * h1 (t ) + f (t ) * h2 (t ) = f (t ) * h (t ) f (t ) * h2 (t )
y (t )
f (t )
ht h1 t h2 t
结论：子系统并联时，总系统的冲激响应等于 各子系统冲激响应之和。
f1(-τ) 图解法一般比较繁琐，但 若只求某一时刻卷积值时 还是比较方便的。确定积 分的上下限是关键。 例：f1(t)、 f2(t)如图所示，已知 f(t) = f2(t)* f1(t)，求f(2) =？ 解： f (2) f 2 ( ) f1 (2 ) d
f1(2-τ)
h ( t -τ) f(τ) = 0，故
第2-9页
ò
t 0
1 1 2 t ? dt t 12 1 4 1
f(τ)h(t－τ)
3 4 1 4
0
t t-11 t t-1 2 yzs (t )
0
3τ
yzs(t) = 0
■
1
2
3
t
©西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 电子教案
2.3
卷积积分
2 f 1( τt )
t
t ?
(6 e e - e ) d t
- 2 t 3t
t
e e
第2-6页
(6 e ) d e d
3
2e
3 t
e
■
t
2e
2t
e e e
3t t
t
©西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 电子教案
2.3
卷积积分
用定义法计算卷积积分步骤：
信号与系统 电子教案
§2.3 卷积积分
• 信号的时域分解与卷积积分 • 卷积的图解法
第2-1页
■
©西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 电子教案
2.3
卷积积分
2.3
1 .信号的时域分解
(1) 预备知识
卷积积分
问 f1(t) = ? p(t)
f1(t)
一、信号的时域分解与卷积积分
直观看出
p (t )
(t )是奇函数 [ ( x t )] f ( x) d x [ f (t )] f (t )
第2-15页
■
©西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 电子教案
2.4
卷积积分的性质
t
3. f(t)*ε(t)
f ( ) (t ) d f ( ) d
f ( ) (t ) d
(t )为偶函数 f ( ) ( t ) d f (t )
2. f(t)*δ’(t) = f’(t)
f(t)*δ(n)(t) = f (n)(t)
证： 令t-＝x (t )* f (t ) ( ) f (t ) d (t x) f ( x) d x d dx
f1 (t ) * f 2 (t ) f1 ( ) f 2 (t )d
（1）换元： f1(t) → f1(τ)， f2(t) → f2(t－τ) （2）视情况变积分限： f1(τ) f2(t-τ) 中是否含有 ε(τ ) 或ε (t－τ)，如果有ε(τ ) ，则将积分下限换 为0，如果有ε (t－τ)，则将积分上限换为t(注意： t为参变量，τ为自变量) 。 （3）积分： 与普通函数积分一致。
卷积积分的性质
下面讨论均设卷积积分是收敛的（或存在的）。
一、卷积代数
满足乘法的三律： 1. 交换律： f 1 ( t ) f 2 ( t ) f 2 ( t ) f 1 ( t ) 证明： f1 (t ) * f 2 (t ) =
令t-τ=λ，
f1 (t ) * f 2 (t ) =
则 : :
(t t0 ) f (t ) d t f (t0 )
第2-16页
■
©西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 电子教案
2.4
卷积积分的性质
三、卷积的微积分性质
d n f 1 (t ) d n f 2 (t ) dn * f 2 (t ) f 1 (t ) * 1. n f1 (t ) * f 2 (t ) n dt dt dtn 证：上式= δ(n)(t) *[f1(t)* f2(t)] = [δ(n)(t) *f1(t)] * f2(t) = f1(n)(t) * f2(t)
y zs (t ) =
第2-5页
ò
¥ - ?
f (t )h (t - t ) d t = f (t ) * h (t )
■
©西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 电子教案
2.3
卷积积分
例：f (t) = e t,（-∞<t<∞)，h(t) = (6e-2t – 1)ε(t)，求yzs(t)。
2.3
卷积积分
1 2
例：f (t) ,h(t) 如图，求yzs(t)= f (t) * h(t) 。 h(－τ)
0
h (τt )
h(t－τ)
t-1 t
t-1
0
1 f ( tτ )
t τ 2
t t-1
t 2
tτ
y zs (t ) =
y zs (t ) =
■
- ?
f 2 (l ) ? f1 (t l ) d l = f 2 (t ) * f1 (t )
©西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 电子教案
2.4
卷积积分的性质
系统并联
系统并联，框图表示：
h( t )
f (t ) f (t )
f (t )
h1 ( t )
f (t ) * h1 (t )
2 f 2( τt )
τ t
-2 1 -1 -1 1
3
τ t
（1）换元 （2） f1(τ)得f1(–τ) （3） f1(–τ)右移2得f1(2–τ) （4） f1(2–τ)乘f2(τ) （5）积分，得f(2) = 0（面积为0）
第2-10页
■
f 1(2-τ ) f 2(τ ) 2 2 τ
-2
©西安电子科技大学电路与系统教研中心
第2-7页
■
©西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 电子教案
2.3
卷积积分
二、卷积的图解法
f1 (t ) * f 2 (t ) f1 ( ) f 2 (t )d
用图解法计算卷积积分步骤：
（1）换元： t换为τ→得 f1(τ)， f2(τ) （2）反转平移： 由f2(τ)反转→ f2(–τ)，然后右移t → f2(t-τ) （3）乘积： f1(τ) f2(t-τ) （4）积分： τ从 –∞到∞对乘积项积分。 注意：t为参变量。
第2-8页
■
©西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 电子教案
解：采用图解法卷积。 f(t)函数形式复杂 换元为f(τ)。 h(t)换元 h ( τ)
h (-τ)平移t ① t < 0时 , h ( t -τ)向左移 h( t -τ) f(τ) = 0，故 yzs(t) = 0 ② 0≤t ≤1 时, h ( t -τ)向右移 ③ 1≤t ≤2时 h(τ)反折 h ( t -τ)
信号与系统 电子教案
2.3
卷积积分
3 .卷积积分的定义
已知定义在区间（ – ∞，∞）上的两个函数f1(t)和f2(t)， 则定义积分
f (t ) f1 ( ) f 2 (t )d
为f1(t)与f2(t)的卷积积分，简称卷积；记为 f(t)= f1(t)*f2(t) 注意：积分是在虚设的变量τ下进行的，τ为积分变量， t为参变量。结果仍为t 的函数。
f ( t ) h1 ( t )
f (t ) h( t )
y (t )
f ( t ) h1 ( t ) h2 ( t )
ht h1 ( t ) h2 ( t )
结论：子系统级联时，总的冲激响应等于 子系统冲激响应的卷积。
第2-14页
■
©西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 电子教案
1
A
f1 (t ) A p (t )
2
2
0 (a)
t
2
0 (b)
■
2
t
第2-2页
©西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 电子教案 (2) 任意信号分解 “0”号脉冲高度f(0) ,宽度为△， 用p(t)表示为：f(0) △ p(t) “1”号脉冲高度f(△) ,宽度为 △，用p(t - △)表示为： f(△ ) △ p(t - △ )
…
2.3
卷积积分
f (t )
f ()
f ()
fˆ (t )
…
f(0)
-1
2
0 1
2
3 2
0
2
t
“-1”号脉冲高度f(-△) 、宽度为△，用p(t +△)表示为：
ˆ (t ) f
lim 0
第2-3页
ˆ (t ) f ( t ) f
■
n
f ( - △) △ p(t + △)
∑
y (t )
h2 ( t )
h( t )
f (t ) * h1 (t ) + f (t ) * h2 (t ) = f (t ) * h (t ) f (t ) * h2 (t )
y (t )
f (t )
ht h1 t h2 t
结论：子系统并联时，总系统的冲激响应等于 各子系统冲激响应之和。
f1(-τ) 图解法一般比较繁琐，但 若只求某一时刻卷积值时 还是比较方便的。确定积 分的上下限是关键。 例：f1(t)、 f2(t)如图所示，已知 f(t) = f2(t)* f1(t)，求f(2) =？ 解： f (2) f 2 ( ) f1 (2 ) d
f1(2-τ)
h ( t -τ) f(τ) = 0，故
第2-9页
ò
t 0
1 1 2 t ? dt t 12 1 4 1
f(τ)h(t－τ)
3 4 1 4
0
t t-11 t t-1 2 yzs (t )
0
3τ
yzs(t) = 0
■
1
2
3
t
©西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 电子教案
2.3
卷积积分
2 f 1( τt )
t
t ?
(6 e e - e ) d t
- 2 t 3t
t
e e
第2-6页
(6 e ) d e d
3
2e
3 t
e
■
t
2e
2t
e e e
3t t
t
©西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 电子教案
2.3
卷积积分
用定义法计算卷积积分步骤：
信号与系统 电子教案
§2.3 卷积积分
• 信号的时域分解与卷积积分 • 卷积的图解法
第2-1页
■
©西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 电子教案
2.3
卷积积分
2.3
1 .信号的时域分解
(1) 预备知识
卷积积分
问 f1(t) = ? p(t)
f1(t)
一、信号的时域分解与卷积积分
直观看出
p (t )
(t )是奇函数 [ ( x t )] f ( x) d x [ f (t )] f (t )
第2-15页
■
©西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 电子教案
2.4
卷积积分的性质
t
3. f(t)*ε(t)
f ( ) (t ) d f ( ) d
f ( ) (t ) d
(t )为偶函数 f ( ) ( t ) d f (t )
2. f(t)*δ’(t) = f’(t)
f(t)*δ(n)(t) = f (n)(t)
证： 令t-＝x (t )* f (t ) ( ) f (t ) d (t x) f ( x) d x d dx
f1 (t ) * f 2 (t ) f1 ( ) f 2 (t )d
（1）换元： f1(t) → f1(τ)， f2(t) → f2(t－τ) （2）视情况变积分限： f1(τ) f2(t-τ) 中是否含有 ε(τ ) 或ε (t－τ)，如果有ε(τ ) ，则将积分下限换 为0，如果有ε (t－τ)，则将积分上限换为t(注意： t为参变量，τ为自变量) 。 （3）积分： 与普通函数积分一致。
卷积积分的性质
下面讨论均设卷积积分是收敛的（或存在的）。
一、卷积代数
满足乘法的三律： 1. 交换律： f 1 ( t ) f 2 ( t ) f 2 ( t ) f 1 ( t ) 证明： f1 (t ) * f 2 (t ) =
令t-τ=λ，
f1 (t ) * f 2 (t ) =
则 : :
(t t0 ) f (t ) d t f (t0 )
第2-16页
■
©西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 电子教案
2.4
卷积积分的性质
三、卷积的微积分性质
d n f 1 (t ) d n f 2 (t ) dn * f 2 (t ) f 1 (t ) * 1. n f1 (t ) * f 2 (t ) n dt dt dtn 证：上式= δ(n)(t) *[f1(t)* f2(t)] = [δ(n)(t) *f1(t)] * f2(t) = f1(n)(t) * f2(t)
y zs (t ) =
第2-5页
ò
¥ - ?
f (t )h (t - t ) d t = f (t ) * h (t )
■
©西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 电子教案
2.3
卷积积分
例：f (t) = e t,（-∞<t<∞)，h(t) = (6e-2t – 1)ε(t)，求yzs(t)。
2.3
卷积积分
1 2
例：f (t) ,h(t) 如图，求yzs(t)= f (t) * h(t) 。 h(－τ)
0
h (τt )
h(t－τ)
t-1 t
t-1
0
1 f ( tτ )
t τ 2
t t-1
t 2
tτ
y zs (t ) =
y zs (t ) =