卷积的性质
2-5 卷积的性质
f(t-t1)
f (t t1) (t t2) f (t t1 t2)
*
t1
δ(t-t0)
(1) =
t0 δ(t-t2)
=
t2
t0 t1X+t2
第
结论2：
12 页
如果：f (t) f1(t) f2 (t) 则： f1(t t1) f2 (t t2 ) f1(t t2 ) f2 (t t1) f (t t1 t2 )
m=n, 微分次数＝
f1(t)
f2 (t )
f1(t)
f (1)
2
(t)
积分次数
X
求系统零状态响应的另一方法
第 8
页
yzs (t) 结论y zs:(yt )zs(t
f (t) h(t)
f (t) h(1) (t) yzs (t) f (t) s(t
)是激励的导数与系统阶跃响应的卷积.
求： x(t) h(t)
3.已知：x(t)与h(t)波形，求： x(t) h(t)波形
X(t)
h(t)
2
1
01
t
0
2
第 16 页
t tX
第
例题2-5-4 求以下两信号的卷积，并画出波形
17 页
x1(t)
3
1
0 12
6
t
x2(t)
1
-2
t
方法一：图解法（麻烦） 方法二：用微积分性质（小心） 方法三：将无始信号变为有始信号表示（聪明）
f (t)
h(t )
g(t) ht h1t h2 t
结论：子系统并联时，总系统的冲激响应等于
卷积公式详解(二)
卷积公式详解(二)卷积公式详解什么是卷积？卷积是信号处理和图像处理中常用的一种数学操作，用于表示两个函数之间的关系。
在深度学习中，卷积是一种对输入数据进行特征提取的操作，常用于图像识别、语音识别等任务。
卷积的定义卷积定义为两个函数之间的积分平均，可以表示为以下形式：+∞(τ)g(t−τ)dτf∗g(t)=∫f−∞其中，f和g是两个函数，f∗g(t)表示函数f和g的卷积结果。
卷积的计算过程计算卷积的过程可以简化为以下几个步骤：1.反转函数g并平移：g(t−τ)；2.将反转后的g(t−τ)与函数f(τ)相乘；3.对乘积结果进行积分求和。
具体的计算过程可以用以下公式表示：(f∗g)(t)=∑f(τ)g(t−τ)τ卷积的应用卷积在信号处理和图像处理中有广泛的应用，其中包括：•图像滤波：通过卷积操作可以实现图像的平滑、锐化、边缘检测等处理；•特征提取：在深度学习中，卷积神经网络（CNN）通过卷积操作可以提取图像或文本中的特征；•语音处理：卷积可以用于语音信号的滤波、降噪等处理。
卷积的性质卷积具有以下几个重要的性质：1.结合律：(f∗g)∗ℎ=f∗(g∗ℎ)；2.分配律：(f+g)∗ℎ=f∗ℎ+g∗ℎ；3.对称律：f∗g=g∗f（交换卷积操作中的两个函数）。
这些性质使得卷积在许多应用中非常灵活，并且可以结合其他操作进行更复杂的处理。
总结卷积是一种重要的数学操作，用于信号处理和图像处理中的特征提取。
本文详细解释了卷积的定义、计算过程、应用和性质。
了解卷积的基本原理对于理解深度学习中的卷积神经网络非常重要。
希望本文能够帮助读者更好地理解卷积操作的概念和应用。
tut利用卷积求傅里叶变换
tut利用卷积求傅里叶变换
一、卷积的概念和性质
卷积是信号处理中的基本概念，主要用于描述两个信号的相互作用。
在离散情况下，卷积是指将两个序列的对应元素相乘并求和的操作。
在连续情况下，卷积则是指将两个函数的对应点相乘并求积分的过程。
卷积的性质包括交换律、结合律和分配律，这些性质使得卷积成为解决实际问题的有效工具。
二、傅里叶变换的原理和性质
傅里叶变换是信号处理中非常重要的工具，它可以将时间域的信号转换为频域的表示。
在一维情况下，傅里叶变换将一个函数分解为一系列的正弦波和余弦波。
在多维情况下，傅里叶变换则将一个函数分解为一系列的多项式。
傅里叶变换的性质包括线性性、平移性、共轭对称性和周期性。
三、利用卷积求解傅里叶变换
利用卷积求解傅里叶变换的方法基于卷积的性质和傅里叶变换的定义。
首先，我们将待处理的信号分解为一系列简单的冲激函数，然后通过计算这些冲激函数的卷积来求解信号的傅里叶变换。
这种方法的关键在于选择合适的冲激函数，以便在计算过程中尽可能减小误差。
四、结论
本文通过介绍卷积和傅里叶变换的基本概念和性质，以及如何利用卷积来求解傅里叶变换的方法，深化了我们对这两个概念的理解。
在实际应用中，我们应灵活运用这些工具来解决信号处理中的问题，以提高信号处理的效果和质量。
第二章 (4)卷积积分的性质
f 1 (t )
f 2 (t )
2
1
0
2
0 1
1
2 3
t
1
3
t
解法一: 解法一:图示法
f 1 (τ
t <1 ,
)
f (t ) = 0
2
0
1
2 3
τ
f 2 (t τ
t2
)
1
t 0
1
τ
解法一: 解法一:图示法
f 1 (τ
t <1 ,
)
t
f (t ) = 0
1< t < 2 ,
f (t ) = ∫ 2dτ = 2(t 1)
(2) e ε(t + 3) ε(t 5) 2t e ε (t + 3) ε (t 5) ∞ 2τ = ∫ e ε (τ + 3) ε (t τ 5)dτ ∞
2t
=∫t 53e2τ1 2(t 5) 6 e = e 2 6 1 2( t 2) = e 1 e 2
[
1 2τ dτ = e 2
' ∞ ∞
上式称为杜阿密尔积分. 上式称为杜阿密尔积分. 杜阿密尔积分 其物理含义为: 其物理含义为:LTI系统的零状态响应等于激励的 系统的零状态响应等于激励的
f ' (t )与系统的阶跃响应 g(t )的卷积积分. 的卷积积分. 导数
例2.4-4 求图示函数 f1(t ) 与 f2 (t ) 的卷积 f (t ) .
若f (t ) = f1(t ) f2(t ),则 f1(t t1 ) f2(t t2 ) = f1(t t2 ) f2 (t t1 ) = f (t t1 t2 )
推广4 推广
卷积积分的性质
信号与系统信号与系统一．代数性质1．交换律2．分配律3．结合律系统并联运算系统级联运算1221()()()()f t f t f t f t*=*1231213()[()()]()()()()f t f t f t f t f t f t f t*+=*+*[]1212()()()()[()()]f t f t f t f t f t f t**=**12()()()h t h t h t =+1231213()[()()]()()()()f t f t f t f t f t f t f t *+=*+*系统并联，框图表示：)()(1t h t f *)()(2t h t f *12()()()()()()f t h t f t h t f t h t *+*=*结论：子系统并联时，总系统的冲激响应等于各子系统冲激响应之和。
1212()()()()[()()]f t h t h t f t h t h t **=**()()f t h t =*12()()()h t h t h t =*系统级联，框图表示：()g t ()f t ()h t 结论：时域中，子系统级联时，总的冲激响应等于 子系统冲激响应的卷积。
信号与系统二．时移性质设则)()()()()(t xt ht ht xt g*=*=)()()()()(tt htt xt ht xt g+*-=*=)()()()()(tt ht xt htt xtt g-*=*-=-()()()()()g t f t h t f t h t '''=*=*()()()()()()()()n n n g t f t h t f t h t =*=*(1)(1)(1)()()()()()g t f t h t f t h t ---=*=*g(t )的积分⎰⎰⎰∞-∞-∞-*=*=t t td x t h d h t x d g λλλλλλ)()()()()(积分性质微分性质：推广：()()()()()()()()()()n m n m m n gt f t h t f t h t ---=*=*()()()()()n n g t f t h t -=*微分性质积分性质联合使用对于卷积很方便，特别是下面这个公式。
卷积和公式
卷积和公式
卷积和公式是信号处理中重要的数学工具，用于描述两个函数之间的关系。
它在图像处理、音频处理、通信系统等领域有着广泛的应用。
卷积可以理解为两个函数之间的重叠程度。
具体而言，对于两个函数f(x)和g(x)，它们的卷积h(x)定义为：
h(x) = ∫f(t)g(x-t)dt
其中t是积分变量，h(x)表示两个函数f(x)和g(x)的卷积结果。
此外，卷积操作还可以表示为星号（*）符号，即：
h(x) = f(x) * g(x)
卷积有许多重要的性质。
例如，卷积是可交换的，即f(x) * g(x) = g(x) * f(x)。
此外，卷积还满足结合律，即(f(x) * g(x)) * h(x) = f(x) * (g(x) * h(x))。
卷积操作也可以应用于离散函数。
对于两个离散函数f(n)和
g(n)，它们的卷积h(n)定义为：
h(n) = ∑f(k)g(n-k)
其中k是求和变量，h(n)表示两个函数f(n)和g(n)的卷积结果。
卷积在信号处理中有着广泛的应用。
例如，在图像处理中，卷积可用于边缘检测、模糊处理等操作。
在音频处理中，卷积可用于混响效果的模拟。
在通信系统中，卷积可用于信道等效建模。
- 1 -。
《信号与系统教学课件》§2.6 卷积及其性质和计算
将卷积的微分性质和积分性质加以推广，可以得到
s
t
nm
f (n) 1
t
f (m) 2
t
f (m) 1
t
f (n) 2
t
X
二、卷积的性质
注意函数的积分和微分并不是一个严格的可逆关系， 因为函数加上任意常数后的微分与原函数的微分是相 同的。因此，对于等式
f1 t
f2 t
f1' t
k
d
k
f
3
t
d
令w k
f1
k
f2
w f3
t
k
w d w d k
令st f2t f3t
f1 k s t k d k
f1 t st
f1 t
f2 t
f3 t
f 1
t f2 t
f3 t
X
二、卷积的性质
一、代数性质 • 结合律
对于函数f1 t , f2 t , f3 t ,存在
h2 t
r(t)
h1 t
图2.6.2 卷积交换律的系统意义
X
二、卷积的性质
一、代数性质
• 结合律
对于函数f1 t , f2 t , f3 t ,存在
f1 t f2 t f3 t f1 t f2 t f3 t
根据卷积的定义
f1 t
f2
t
f3
t
f1
k
f2
X
三、卷积的计算
根据卷积的定义，卷积计算是由若干基本的信号运算组成的， 对于
s
t
f1
f2
t
d
第一步 反褶：将 f1 t 反褶运算，得到 f1
信号与系统的卷积运算
信号与系统的卷积运算信号与系统是电子工程和通信工程等领域中的重要学科，它研究信号在系统中的传输和处理过程。
其中，卷积运算是信号与系统中的一种重要数学运算，它在信号处理和系统分析中得到广泛应用。
一、卷积运算的定义卷积运算是一种基于积分的数学运算，用于描述两个函数之间的相互作用。
在信号与系统中，卷积运算可以理解为将两个信号进行线性加权叠加的过程。
在时域中，给定两个函数f(t)和g(t)，它们的卷积运算表示为h(t) = f(t)*g(t)，其中"*"代表卷积运算符号。
卷积运算的公式为：h(t) = ∫f(τ)g(t-τ)dτ其中，τ代表一个积分变量，它与t无关。
卷积运算的结果h(t)是一个新的函数，描述了信号f(t)和g(t)之间的相互作用。
二、卷积运算的性质卷积运算具有多种性质，使其成为信号处理和系统分析中的重要工具。
下面介绍几个常用的卷积运算性质：1. 交换律：f(t)*g(t) = g(t)*f(t)2. 结合律：f(t)*(g(t)*h(t)) = (f(t)*g(t))*h(t)3. 分配律：f(t)*(g(t)+h(t)) = f(t)*g(t) + f(t)*h(t)这些性质使得卷积运算可以方便地应用于信号处理和系统建模中。
三、卷积运算的应用卷积运算在信号与系统领域有着广泛的应用，下面介绍几个典型的应用场景：1. 系统响应计算：在系统分析中，可以使用卷积运算来计算系统对输入信号的响应。
假设系统的冲激响应为h(t)，输入信号为x(t)，那么系统的输出可以表示为y(t) = h(t)*x(t)。
通过卷积运算，可以方便地计算系统的输出。
2. 信号滤波:在信号处理中，卷积运算可以实现信号的滤波功能。
通过选择合适的滤波器函数，可以对信号进行频率域的加权叠加，实现滤波的效果。
例如，可以使用低通滤波器对信号进行平滑处理，去除高频噪声。
3. 信号复原与恢复：在通信领域中，卷积运算可以用于信号的复原与恢复。
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f (t) h2 (t ) f (t ) ∗ h2 (t )
f (t) h(t )
g(t) h(t ) = h1 (t ) + h2 (t )
结论：子系统并联时，总系统的冲激响应等于各子系
统冲激响应之和。
BUPT 尹霄丽
第
3. 卷积的结合律与系统串联
4页
f (t ) ∗ h1(t ) ∗ h2 (t ) = f (t ) ∗[h1(t ) ∗ h2 (t )] = f (t ) ∗ h(t) 系统级联，框图表示：
微分器
∫ f (t) ∗ u(t) = t f (λ )d λ −∞ f (t)∗δ (k)(t) = f (k)(t) f (t)∗δ (k)(t − t0) = f (k)(t − t0)
积分器
k个微分器
微分和时移
BUPT 尹霄丽
三．微分积分性质
设 g(t) = f (t) ∗ h(t)
则 g′(t) = f (t) ∗ h′(t) = f ′(t) ∗ h(t)
§2.8 卷积的性质
•卷积的性质 •代数性质 •与冲激函数或阶跃函数的卷积 •微分积分性质
北京邮电大学电子工程学院 尹霄丽
第
一．代数性质
2页
1．交换律 f1(t ) ∗ f2 (t ) = f2 (t ) ∗ f1(t )
∫ 证明：
f1(t )∗ f2 (t ) =
∞ −∞
f1(τ ) ⋅
f2(t
f (t)∗δ (t) =
∞
∫−∞
f (τ )δ (t
−τ )dτ
=
∞
∫−∞
f (t −τ )δ (τ )dτ
=
f (t)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
推广：
f (t)∗δ (t − t0) = f (t − t0)
移位器(时移)
f (t − t1)∗δ (t − t2) = f (t − t1 − t2)
f (t) ∗δ ′(t) = f '(t)
证明： 两端对t 求导
即
∞
∫ g(t) = f (τ )h(t − τ )dτ −∞
∫ d g(t) = ∞ f (τ ) d h(t − τ ) dτ
dt
−∞
dt
∫= ∞ f (τ )h′(t − τ )dτ −∞
g′(t) = f (t) ∗ h′(t)
第 9页
BUPT 尹霄丽
第
推广
10页
g(−1) (t ) = f (t ) ∗ h(−1) (t ) = f (−1) (t ) ∗ h(t ) g(n) (t ) = f (t ) ∗ h(n) (t ) = f (n) (t ) ∗ h(t ) g(n−m) (t ) = f (n) (t ) ∗ h(−m) (t ) = f (−m) (t ) ∗ h(n) (t )
−τ )dτ
令t − τ = λ，则τ =t − λ
dτ = −dλ
∫ ∫ τ : ∞ →λ : −∞
−∞
∞
∫ 上式 =
−∞ ∞
f2(λ ) ⋅
f1(t
− λ)(−dλ)
∞
∫= −∞ f2(λ ) ⋅ f1(t − λ )d λ
= f2(t) ∗ f1(t)
BUPT 尹霄丽
第
2. 卷积的分配律与系统并联
g(t ) = f ′(t ) ∗ h(−1)(t )
说明：有的函数微分后出现冲激信号，可以利用冲激 信号卷积的性质简化运算。
BUPT 尹霄丽
第
例2-8-2 已知f (t ) ,h(t )，求g (t ) = f (t ) ⊗ h(t )。
11页
f (t) 1
h(t ) 1
O
12 t
−1
f (−1)(t ) 1
BUPT 尹霄丽
第
注意:
12页
若被微分的信号可以分 解为一个直流信号和一 个有起始点的信号,
则直流成分应在微分前 减去,直流成分单独和另一个 信号卷积。
∫ 即被微分的信号微分后 再积分等于原信号：t −∞
df (τ
dτ
)dτ
=
f
(t )
f1 (t )
f 2 (t )
2
( ) e−(t+1)u t + 1
e(t )
h1 (t )
e(t ) h2 (t )
h2 (t )
r(t) h(t) = h1 (t ) ∗ h2 (t)
h1 (t )
r(t) h(t ) = h2 (t ) ∗ h1 (t )
BUPT 尹霄丽
第
代数性质小结
6页
1．交换律
f1(t)∗ f2(t) = f2(t)∗ f1(t)
2．分配律
f1(t ) ∗[ f2 (t ) + f3 (t )] = f1(t ) ∗ f2 (t ) + f1(t ) ∗ f3 (t )
系统并联：h(t ) = h1 (t ) + h2 (t )
3．结合律
[ f (t) ∗ f1(t)]∗ f2(t ) = f (t) ∗[ f1(t) ∗ f2(t )]
O
12
t
g(t) 1
O
1
−1
3 2
O 1t
h′(t )
∞
(1) 1
O
(−1)
∞
g(t ) = f (−1) (t ) ∗ h(1) (t )
= f (−1)(t) ∗[δ (t)− δ (t − 1)]
t
= f (−1) (t ) − f (−1) (t − 1)
与δ函数卷积
看做一个整体
t
加权，移位
1
O1
t
O
t
f1(t ) = 1 + f11(t )
f11(t )
f1′1(t )
1
(1)
O1
t
O1
t
f1 (t )∗
f2 (t)
=
1∗
f2 (t)+
∫ df11(t ) ∗ t
dt
−∞
f2 (t)dt
BUPT 尹霄丽
f (t) h1 (t )
g(t) h2 (t )
f (t ) ∗ h1(t )
f (t ) ∗ h1(t ) ∗ h2 (t )
f (t)
h(t )
g(t)
h(t ) = h1(t) ∗ h2(t)
结论：时域中，子系统串联时，总的冲激响应等 于子系统冲激响应的卷积。
BUPT 尹霄丽
第
线性系统的子系统可以交换次序 5页
系统级联：h(t ) = h1(t) ∗ h2(t)
BUPT 尹霄丽
第
例2-8-1
7页
系统由三个子系统构成，求复合系统的 h(t) 。
f (t)
解：
h1(t )
h1(t )
+
∑
y(t )
h2 (t)
+
h(t) = h1(t)∗[h1(t)+ h2(t)]
BUPT 尹霄丽
第
二.与冲激函数或阶跃函数的卷积 8页
3页
f1(t ) ∗[ f2 (t ) + f3 (t )] = f1(t ) ∗ f2 (t ) + f1(t ) ∗ f3 (t )
h(t )
f (t ) ∗ h1(t ) + f (t ) ∗ h2(t )
f (t)
f (t)
h1 (t )
f (t ) ∗ h1(t )
= f (t ) ∗ ⎡⎣h1(t ) + h2(t )⎤⎦ = f (t ) ∗ h(t ) g(t)