3.7 卷积特性
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f(t) 2
-2
-1 0
1
2
t
解 （） ： 1 法 按 义 傅 叶 换 定 求 里 变 1 1< t < 2 f (t) = 2 −1< t <1 0 其它
F( jω) = ∫ f (t) e
−∞
∞
− jωt
dt
1
=∫
−1
−2
e
− jωt
dt + ∫
−1
e
− jωt
dt + ∫
2
1
e
f (t) = g2 (t) + g4 (t)
ωτ QEgτ (t) ↔ EτSa 2 即 g2 (t) ↔ 2Sa(ω)， g4 (t) ↔ 4Sa(2ω)
∴F(ω) = Γ[g2 (t)] + Γ[g2 (t)] = 4Sa(2ω) + 2Sa(ω)
用ＭＡＴＬＡＢ画出频谱图： ＭＡＴＬＡＢ画出频谱图： 画出频谱图 F (ω) = 4Sa( 2ω) + 2Sa(ω)
(t ≤ (t >
τ τ
f (t)
) 2 ) 2
−
E
τ 0
2
τ
2
t
解：把余弦脉冲信号看成是矩形脉冲信号Ｇ(t) 与周期余弦 把余弦脉冲信号看成是矩形脉冲信号Ｇ 信号相乘。 信号相乘。
1
−
πt cos τ
τ
2
τ
2
(π )
πt Fcos τ
0
t
思考题
• 1.时域卷积公式？ 1.时域卷积公式？ 时域卷积公式 • 2.频域卷积公式？ 2.频域卷积公式？ 频域卷积公式
2E
G(t)
2E
τ
G(t)
τ
E
等于
τ
2
f (t)
−
τ 0
4
τ
4
t
卷积
−
τ 0
4
τ
4
t
−
0
τ
2
t
时域卷积等于频域相乘。 时域卷积等于频域相乘。
Eτ 2
4π
G(w)
乘以
4π 8π
Eτ 2
4π
G(w)
−
τ
0
τ
τ
w
等于
−
τ
0
4π
τ
8π
τ
w
F(w)
2
π
Eτ
2E τ wτ G(w) = ⋅ Sa( ) 4 τ 2
共分二个定理： 共分二个定理： 时域卷积定理 频域卷积定理
一、时域卷积定理
给定两个时间函数 f1(t)、f 2 (t) 已知： 已知：
f1(t) →F1(w)
FT
f2(t) →F2(w)
FT
则：
f1(t)∗f2(t) →F1(w)⋅ F2(w)
FT
时域卷积 频域相乘。 频域相乘。
IFT
频域卷积
时域相乘。 时域相乘。
即：两个时间函数频谱的卷积等效于各个时间函数的乘积（乘 两个时间函数频谱的卷积等效于各个时间函数的乘积（ 1 以系数 ）。 2π
例 3-8
已知余弦脉冲信号
πt E cos( τ ) f (t) = 0
利用卷积定理求其的频谱。 利用卷积定理求其的频谱。
− jωt
dt
1 − jωt −1 1 − jωt 1 1 − jωt 2 =− e −2 − jω e −1 − jω e 1 jω 1 = jω
[e
j 2ω
−e
− j 2ω
+ e −e
jω
− jω
]
= 4Sa(2ω) + 2Sa(ω)
解 （） ： 2 法 利 傅 叶 换 性 质 用 里 变 线 性 求
−∞ ∞ − jwτ
+∞
∞
dτ dτ
= F2 (w)∫ f1(τ )e
−∞
∞
− jwτ
= F (w)F2 (w) 1
二、频域卷积定理 给定两个时间函数 f1(t)、f 2 (t)
已知： 已知：
f1(t) →F1(w)
FT
f2(t) →F2(w)
FT
1 则： (w) F (w) F1 ∗ 2 → f1(t) f2(t) ⋅ 2π
§ 3.7 卷积特性
• 主要内容
•时域卷积定理 时域卷积定理 •频域卷积定理 频域卷积定理 •卷积定理的应用 卷积定理的应用
• 重点：时域卷积定理和频域卷积定理 重点： • 难点：卷积定理的应用 难点：
卷积特性是傅里叶变换性质之一，由于它 卷积特性是傅里叶变换性质之一， 在通信系统和信号处理中的重要地位－－ －－应 在通信系统和信号处理中的重要地位－－应 用最广。所以单独以一节来讲。 用最广。所以单独以一节来讲。
F(w) = G2 (w)
5π
−
3 π
τ
0
3 π
τ
τ
w
即求出三角脉冲的频谱F(w). 即求出三角脉冲的频谱F(w).
2E τ wτ = τ ⋅ 2 Sa( 4 ) Eτ 2 wτ Sa ( ) = 2 4
2
补充例子： 补充例子：
求 示 号f (t)的 ω) 图 信 F(
τ wτ G(w) = EτSa( ) 2
例 3-９
已知三角脉冲信号
τ 2 E(1− τ t ) ( t < 2) f (t) = τ 0 (t > ) 2
利用卷积定理求其频谱F(w). 利用卷积定理求其频谱F(w). 解：两个同样矩形脉冲的卷积即为三角脉冲。如下： 两个同样矩形脉冲的卷积即为三角脉冲。如下：
−
(π )
π 0 τ
π τ
w
卷 积
乘 以
时域： 时域：
−
E G(t)
τ 0
2
频域： 频域：
t
−
Eτ
2π
G(w)
τ
2
τ
0
2π
τ
4π
τ
w
等 于
等 于
f (t)
F(w)
2
E
τ 0
2
π
Eτ
−
τ
2
t
−
3 π
τ
0
3 π
τ
5π
τ
w
已知： 已知： f (t) = G(t) cos(πt )
ห้องสมุดไป่ตู้
πt π π FT cos( ) →πδ(w+ ) + πδ(w− ) τ τ τ πt FT 1 π π G(t) cos( ) → G(w) *π[δ (w+ ) + δ (w− )] τ 2π τ τ Eτ π τ Eτ π τ Sa(w+ ) + Sa(w− ) = τ 2 2 τ 2 2 wτ cos( ) 2Eτ 2 化简得： 化简得： F(w) = π wτ 2 1− ( π )
即：两个时间函数卷积的频谱等于各个时间函数频谱的乘积。 两个时间函数卷积的频谱等于各个时间函数频谱的乘积。
证明： 证明：
根据卷积定义 f1(t) * f2 (t) = ∫−∞ f1(τ )* f2 (t −τ )dτ 则：f (t) * f (t) → 1 2
FT
∞
f (τ ) * f (t −τ )dτ e− jwt dt ∫−∞ ∫−∞ 1 2 ∞ ∞ f (t −τ )e− jwt dtdτ = ∫ f1(τ ) ∫ 2 −∞ −∞ = ∫ f1(τ )F2 (w)e
-2
-1 0
1
2
t
解 （） ： 1 法 按 义 傅 叶 换 定 求 里 变 1 1< t < 2 f (t) = 2 −1< t <1 0 其它
F( jω) = ∫ f (t) e
−∞
∞
− jωt
dt
1
=∫
−1
−2
e
− jωt
dt + ∫
−1
e
− jωt
dt + ∫
2
1
e
f (t) = g2 (t) + g4 (t)
ωτ QEgτ (t) ↔ EτSa 2 即 g2 (t) ↔ 2Sa(ω)， g4 (t) ↔ 4Sa(2ω)
∴F(ω) = Γ[g2 (t)] + Γ[g2 (t)] = 4Sa(2ω) + 2Sa(ω)
用ＭＡＴＬＡＢ画出频谱图： ＭＡＴＬＡＢ画出频谱图： 画出频谱图 F (ω) = 4Sa( 2ω) + 2Sa(ω)
(t ≤ (t >
τ τ
f (t)
) 2 ) 2
−
E
τ 0
2
τ
2
t
解：把余弦脉冲信号看成是矩形脉冲信号Ｇ(t) 与周期余弦 把余弦脉冲信号看成是矩形脉冲信号Ｇ 信号相乘。 信号相乘。
1
−
πt cos τ
τ
2
τ
2
(π )
πt Fcos τ
0
t
思考题
• 1.时域卷积公式？ 1.时域卷积公式？ 时域卷积公式 • 2.频域卷积公式？ 2.频域卷积公式？ 频域卷积公式
2E
G(t)
2E
τ
G(t)
τ
E
等于
τ
2
f (t)
−
τ 0
4
τ
4
t
卷积
−
τ 0
4
τ
4
t
−
0
τ
2
t
时域卷积等于频域相乘。 时域卷积等于频域相乘。
Eτ 2
4π
G(w)
乘以
4π 8π
Eτ 2
4π
G(w)
−
τ
0
τ
τ
w
等于
−
τ
0
4π
τ
8π
τ
w
F(w)
2
π
Eτ
2E τ wτ G(w) = ⋅ Sa( ) 4 τ 2
共分二个定理： 共分二个定理： 时域卷积定理 频域卷积定理
一、时域卷积定理
给定两个时间函数 f1(t)、f 2 (t) 已知： 已知：
f1(t) →F1(w)
FT
f2(t) →F2(w)
FT
则：
f1(t)∗f2(t) →F1(w)⋅ F2(w)
FT
时域卷积 频域相乘。 频域相乘。
IFT
频域卷积
时域相乘。 时域相乘。
即：两个时间函数频谱的卷积等效于各个时间函数的乘积（乘 两个时间函数频谱的卷积等效于各个时间函数的乘积（ 1 以系数 ）。 2π
例 3-8
已知余弦脉冲信号
πt E cos( τ ) f (t) = 0
利用卷积定理求其的频谱。 利用卷积定理求其的频谱。
− jωt
dt
1 − jωt −1 1 − jωt 1 1 − jωt 2 =− e −2 − jω e −1 − jω e 1 jω 1 = jω
[e
j 2ω
−e
− j 2ω
+ e −e
jω
− jω
]
= 4Sa(2ω) + 2Sa(ω)
解 （） ： 2 法 利 傅 叶 换 性 质 用 里 变 线 性 求
−∞ ∞ − jwτ
+∞
∞
dτ dτ
= F2 (w)∫ f1(τ )e
−∞
∞
− jwτ
= F (w)F2 (w) 1
二、频域卷积定理 给定两个时间函数 f1(t)、f 2 (t)
已知： 已知：
f1(t) →F1(w)
FT
f2(t) →F2(w)
FT
1 则： (w) F (w) F1 ∗ 2 → f1(t) f2(t) ⋅ 2π
§ 3.7 卷积特性
• 主要内容
•时域卷积定理 时域卷积定理 •频域卷积定理 频域卷积定理 •卷积定理的应用 卷积定理的应用
• 重点：时域卷积定理和频域卷积定理 重点： • 难点：卷积定理的应用 难点：
卷积特性是傅里叶变换性质之一，由于它 卷积特性是傅里叶变换性质之一， 在通信系统和信号处理中的重要地位－－ －－应 在通信系统和信号处理中的重要地位－－应 用最广。所以单独以一节来讲。 用最广。所以单独以一节来讲。
F(w) = G2 (w)
5π
−
3 π
τ
0
3 π
τ
τ
w
即求出三角脉冲的频谱F(w). 即求出三角脉冲的频谱F(w).
2E τ wτ = τ ⋅ 2 Sa( 4 ) Eτ 2 wτ Sa ( ) = 2 4
2
补充例子： 补充例子：
求 示 号f (t)的 ω) 图 信 F(
τ wτ G(w) = EτSa( ) 2
例 3-９
已知三角脉冲信号
τ 2 E(1− τ t ) ( t < 2) f (t) = τ 0 (t > ) 2
利用卷积定理求其频谱F(w). 利用卷积定理求其频谱F(w). 解：两个同样矩形脉冲的卷积即为三角脉冲。如下： 两个同样矩形脉冲的卷积即为三角脉冲。如下：
−
(π )
π 0 τ
π τ
w
卷 积
乘 以
时域： 时域：
−
E G(t)
τ 0
2
频域： 频域：
t
−
Eτ
2π
G(w)
τ
2
τ
0
2π
τ
4π
τ
w
等 于
等 于
f (t)
F(w)
2
E
τ 0
2
π
Eτ
−
τ
2
t
−
3 π
τ
0
3 π
τ
5π
τ
w
已知： 已知： f (t) = G(t) cos(πt )
ห้องสมุดไป่ตู้
πt π π FT cos( ) →πδ(w+ ) + πδ(w− ) τ τ τ πt FT 1 π π G(t) cos( ) → G(w) *π[δ (w+ ) + δ (w− )] τ 2π τ τ Eτ π τ Eτ π τ Sa(w+ ) + Sa(w− ) = τ 2 2 τ 2 2 wτ cos( ) 2Eτ 2 化简得： 化简得： F(w) = π wτ 2 1− ( π )
即：两个时间函数卷积的频谱等于各个时间函数频谱的乘积。 两个时间函数卷积的频谱等于各个时间函数频谱的乘积。
证明： 证明：
根据卷积定义 f1(t) * f2 (t) = ∫−∞ f1(τ )* f2 (t −τ )dτ 则：f (t) * f (t) → 1 2
FT
∞
f (τ ) * f (t −τ )dτ e− jwt dt ∫−∞ ∫−∞ 1 2 ∞ ∞ f (t −τ )e− jwt dtdτ = ∫ f1(τ ) ∫ 2 −∞ −∞ = ∫ f1(τ )F2 (w)e