3.7 卷积特性
卷积定理证明
卷积定理证明卷积定理是数字信号处理中的重要定理，它表明了时域卷积可以转换为频域乘积。
具体的定理表述如下：设x(n)、y(n)为有限长离散时间信号，它们的长度为N，Z为离散时间复频率单位周期，那么它们的离散卷积为：x(n)*y(n)=∑（k=0~N-1）x(k)y(n-k) (1)其离散傅里叶变换为：DFT[x(n)*y(n)]=X(k)Y(k)(2)其中X(k)和Y(k)分别为x(n)和y(n)的DFT系数。
证明：为了证明卷积定理，我们需要用到离散傅里叶变换（DFT）的性质：DFT[∑（n=0~N-1）x(n)y(n)]=X(k)Y(k)也就是说，如果我们将时域中的卷积转换为频域中的乘积，那么对于一个周期N 的离散序列，在频域中的DFT变换结果是两个序列的DFT系数的乘积。
这一性质是离散傅里叶变换的基本理论之一，在这里不再做深入的讨论。
我们现在考虑两个序列x(n)和y(n)的卷积，它的离散傅里叶变换为：DFT[x(n)*y(n)]=∑（k=0~N-1）DFT[x(k)y(n-k)]根据DFT的性质，我们可以将上面的式子改写为：DFT[x(n)*y(n)]=∑（k=0~N-1）X(k)Y(n-k)进行下面的变换：∑（k=0~n）X(k)Y(n-k)+∑（k=n+1~N-1）X(k)Y(n-k)根据卷积的定义，式子左侧的第一项实际上就是x(n)和y(n)的卷积，因此可以将它改写为：∑（k=0~n）x(k)y(n-k)同样，式子左侧的第二项可以改写为：∑（k=0~N-1）x(k)y(n-k)-∑（k=0~n）x(k)y(n-k)因此，前一项等式右侧就是DFT[x(n)*y(n)]，后一项可以继续变换为：∑（k=n+1~N-1）x(k)y(n-k)这样就得出了卷积定理的证明：∑（k=0~N-1）X(k)Y(n-k)=DFT[x(n)*y(n)]。
卷积的物理意义与最简单解释
卷积的物理意义与最简单解释卷积是一个在信号处理、图像处理、机器学习等领域广泛应用的数学概念。
它描述了两个函数在某个特定空间（如时间、频率等）上的相互作用。
下面从多个方面解释卷积的物理意义和最简单的理解。
1. 信号处理应用：在信号处理中，卷积常被用于描述一个信号通过一个线性时不变系统后的输出。
这个输出是输入信号与系统响应函数的卷积结果。
2. 线性时不变系统：对于线性时不变系统，其输出信号是输入信号与系统冲激响应的卷积。
卷积的交换性和分配性使系统具有“叠加性”，即多个信号输入或系统多个冲激响应输出的总和可表示为单一卷积操作。
3. 滤波与平滑操作：卷积可以用于实现滤波操作，例如，卷积一个图像与一个平均滤波器可以平滑图像中的噪声。
这里，滤波器函数描述了如何将邻近像素值结合来产生一个新的像素值。
4. 积分与加权求和：从离散角度理解，卷积操作可以看作是对输入序列与权重序列进行加权求和。
这些权重通常由系统冲激响应或滤波器函数定义，并通过平移与输入序列的对应元素相乘来实现。
5. 反转与平移操作：在进行卷积操作时，通常将其中一个函数反转并沿时间或空间轴平移，这与滑动平均的概念类似，但它是一个更加一般的操作。
6. 响应叠加效应：卷积可以理解为多个响应的叠加。
例如，在图像处理中，一个像素的输出值可能是其周围像素值的加权和，这种加权和是通过卷积操作实现的。
7. 关联与相似性：卷积也被用于测量两个信号之间的关联或相似性。
例如，在卷积神经网络中，卷积操作被用于提取输入数据的局部特征，这些特征通过训练过程与特定任务关联。
8. 简化理解为“叠加”：在最简单的理解下，卷积可以被看作是一种“叠加”操作。
它描述了如何将一个函数（如输入信号或图像）通过另一个函数（如系统冲激响应或滤波器）进行转换。
这个转换是通过将后者在前者的每一个位置上进行加权并求和来实现的。
总之，卷积的物理意义非常广泛，涉及到信号处理、图像处理、机器学习等多个领域。
信号与系统王明泉第三章习题解答
（4）频域分析法分析系统；
（5）系统的无失真传输；
（6）理想低通滤波器；
（7）系统的物理可实现性；
3.3本章的内容摘要
3.3.1信号的正交分解
两个矢量 和 正交的条件是这两个矢量的点乘为零，即：
如果 和 为相互正交的单位矢量，则 和 就构成了一个二维矢量集，而且是二维空间的完备正交矢量集。也就是说，再也找不到另一个矢量 能满足 。在二维矢量空间中的任一矢量 可以精确地用两个正交矢量 和 的线性组合来表示，有
条件1：在一周期内，如果有间断点存在，则间断点的数目应是有限个。
条件2：在一周期内，极大值和极小值的数目应是有限个。
条件3:在一周期内，信号绝对可积，即
（5）周期信号频谱的特点
第一：离散性，此频谱由不连续的谱线组成，每一条谱线代表一个正弦分量，所以此谱称为不连续谱或离散谱。
第二：谐波性，此频谱的每一条谱线只能出现在基波频率 的整数倍频率上。
(a)周期、连续频谱； (b)周期、离散频谱；
(c)连续、非周期频谱； (d)离散、非周期频谱。
答案：(d)
题7、 的傅里叶变换为
答案：
分析：该题为典型信号的调制形式
题8、 的傅里叶变换为
答案：
分析：根据时移和频移性质即可获得
题9、已知信号 如图所示，且其傅里叶变换为
试确定：
(1)
(2)
(3)
解：
(1)将 向左平移一个单位得到
对于奇谐函数，满足 ，当 为偶数时， ， ；当 为奇数时， ， ，即半波像对称函数的傅里叶级数展开式中只含奇次谐波而不含偶次谐波项。
（4）周期信号傅里叶级数的近似与傅里叶级数的收敛性
一般来说，任意周期函数表示为傅里叶级数时需要无限多项才能完全逼近原函数。但在实际应用中，经常采用有限项级数来代替无限项级数。无穷项与有限项误差平方的平均值定义为均方误差，即 。式中， ， 。研究表明， 越大， 越小，当 时， 。
卷积核的基本情况
卷积核的基本情况卷积核（Convolutional Kernel）是一种在卷积神经网络（CNN）中广泛使用的核心组件，它负责在输入数据上执行卷积操作，以提取特征。
卷积核的基本情况如下：1.形状：卷积核的形状通常为方形或矩形，其中边长为奇数。
卷积核的尺寸可以根据输入数据的分辨率进行调整。
例如，当处理图像时，卷积核的尺寸可以是3x3、5x5或7x7等。
2.参数：卷积核中包含一组可学习的参数，这些参数在训练过程中通过优化算法进行调整，以提高模型在验证集上的性能。
卷积核的参数数量等于卷积核的尺寸的平方。
例如，一个3x3的卷积核共有9个参数。
3.步长（Stride）：卷积核在执行卷积操作时，可以按照指定的步长进行滑动。
步长的大小决定了卷积核在每个位置上的采样率。
较小的步长可以提高模型的表达能力，但可能导致计算量增加。
4.零填充（Zero Padding）：为了保持输入数据和卷积核在维度上的匹配，可以在输入数据的边界上进行零填充。
零填充可以提高模型的对称性，有助于提取更复杂的特征。
5.权重初始化：卷积核的权重通常使用随机初始化方法进行设置，如高斯分布、均匀分布等。
较常见的权重初始化方法是使用均值为0、标准差为1的高斯分布。
6.激活函数（Activation Function）：卷积操作之后，可以使用激活函数对输出结果进行非线性变换，以增强模型的表达能力。
常见的激活函数有ReLU、sigmoid、tanh等。
7.批量归一化（Batch Normalization）：为了缓解梯度消失问题，可以在卷积层之后引入批量归一化层。
批量归一化可以将每个样本的输入数据标准化，使得不同样本之间的梯度更新更加稳定。
8.池化（Pooling）：卷积层之后通常会跟随池化层，用于降低特征图的分辨率，以减少计算量。
常见的池化方法有最大池化和平均池化。
9.输出尺寸：卷积核的输出尺寸取决于输入数据的尺寸以及卷积核的尺寸。
输出尺寸可以通过计算输入尺寸与卷积核尺寸的乘积再加上步长和零填充的参数得到。
卷积的概念和公式
卷积示例
示 例 1： f(t)与 1的 卷 积
f(t)∗1=∫t0f(u)du(4)
示 例 2： t2与 t的 卷 积
t2∗t=∫t0u2(t−u)du=[13u3t−14u4]|t0=11ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱt4(5) 此外，t2与t的拉式变换为： {F(s)=L(t2)=2!s3G(s)=L(t)=1!s2(6) 所以： {F(s)G(s)=2s5L−1(F(s)G(s))=112t4(7) 示例2验证了公式(3)的正确性。
卷积的概念和公式 卷积公式
卷积概念
卷积(Convolution)是通过两个函数f(t)和g(t)生成第三个函数的一种数学算子，表征函数f(t)与g(t)经过翻转和平移的重叠部分的面积。 在卷积神经网络中会用卷积函数表示重叠部分，这个重叠部分的面积就是特征 f(t)与g(t)的卷积公式为： f(t)∗g(t)=∫t0f(u)g(t−u)du(1) f(t)与g(t)的拉普拉斯变换结果为： {F(s)=∫∞0e−stf(t)dtG(s)=∫∞0e−stg(t)dt(2) 卷积公式与拉普拉斯变换结果的关系为： F(s)G(s)=∫∞0e−st(f(t)∗g(t))dt(3) 公式(3)对卷积的傅里叶变换同样适用。
卷积公式
卷积公式卷积的物理意义是将输入信号用时移加权的单位冲激信号和（积分）表示，然后输出就是各个冲激信号作用系统后再求和，而时移量u（f(t-u)），再对u积分，就产生了反转。
卷积的物理意义(2009-11-30 09:25:54)卷积这个东东是“信号与系统”中论述系统对输入信号的响应而提出的。
因为是对模拟信号论述的，所以常常带有繁琐的算术推倒，很简单的问题的本质常常就被一大堆公式淹没了，那么卷积究竟物理意义怎么样呢？卷积表示为y(n) = x(n)*h(n)假设0时刻系统响应为y(0),若其在1时刻时，此种响应未改变，则1时刻的响应就变成了y(0)+y(1),叫序列的累加和（与序列的和不一样）。
但常常系统中不是这样的，因为0时刻的响应不太可能在1时刻仍旧未变化，那么怎么表述这种变化呢，就通过h(t)这个响应函数与x(0)相乘来表述，表述为x(m)×h(m-n)，具体表达式不用多管，只要记着有大概这种关系，引入这个函数h(t)就能够表述y(0)在1时刻究竟削弱了多少，然后削弱后的值才是y(0)在1时刻的真实值，再通过累加和运算，才得到真实的系统响应。
再拓展点，某时刻的系统响应往往不一定是由当前时刻和前一时刻这两个响应决定的，也可能是再加上前前时刻，前前前时刻，前前前前时刻，等等，那么怎么约束这个范围呢，就是通过对h(n)这个函数在表达式中变化后的h(m-n)中的m 的范围来约束的。
即说白了，就是当前时刻的系统响应与多少个之前时刻的响应的“残留影响”有关。
当考虑这些因素后，就可以描述成一个系统响应了，而这些因素通过一个表达式（卷积）即描述出来不得不说是数学的巧妙和迷人之处了。
对于非数学系学生来说，只要懂怎么用卷积就可以了，研究什么是卷积其实意义不大,它就是一种微元相乘累加的极限形式。
卷积本身不过就是一种数学运算而已。
就跟“蝶形运算”一样，怎么证明，这是数学系的人的工作。
在信号与系统里，f(t)的零状态响应y(t)可用f(t)与其单位冲激响应h(t) 的卷积积分求解得，即y(t)=f(t)*h(t)。
3.8 卷积特性(卷积定理)
一、时域抽样
FT [ f s (t )] = Fs (ω ) FT [ f (t )] = F (ω ) FT [ p (t )] = P(ω )
f s (t ) = f (t ) p ((ω ) P(ω ) 2π
P(ω) = 2π ∑Pδ (ω nωs ) n
π π πt FT [cos( )] = π [δ (ω + ) + δ (ω )] τ τ τ
2
2
1 πt F (ω ) = G (ω ) FT [cos( )] 2π τ
G (ω ) = Eτ Sa (
ωτ
2
)
πt π π FT [cos( )] = π [δ (ω + ) + δ (ω )] τ τ τ
1
ω1 ω 0
0 ω2 ω0
ω0
2ω 0 ω 0 + ω1 ω 0 + ω 2
ω
10
ω2 ω0
ω1
ω1
ω0
ω2
1 FT[ f (t) cosω1t] = [F(ω +ω1) + F(ω ω1)] 2
1 2
ω1 ω 2 2 ω 1 ω 1 ω1 ω 2
0
ω 2 ω1 ω 1
2 ω 1 ω1 + ω 2
6
∫
∞
∞
F (ω )
2 sin ω
ω
e
j 2ω
dω = ?
F (ω) = F(ω) 1
2sin ω
ω
e j 2ω
f1(t) = f (t) FT 1[2Sa(ω)e j 2ω ]
∫
∞
∞
F(ω)
1
2sin ω
卷积和的性质
n
1 y[n] y[n 1] x[n] 2 x[n 1] 3 x[n 2] 5 1 1
9 1 n h( n) 1 66( 5 ) 5 n 2 n 0
稳定系统
第3章 离散时间系统的时域分析
3.8 反卷积及其应用(自学)
h1[n]
h[n]
h[n] k [n]
可逆性：由y[n]可确定x[n].
条件
x[n]
h[n] h1[n] [n]
y[n]
h1[n]
x[n]
第3章 离散时间系统的时域分析
•LTI离散系统的互联
对于级联系统：
x[n] h1[n] h2 [n] y[n]
h[n] h1[n] h2 [n]
1 x1[k ] n[n 1]u[n] 2 k
n
x2 (n) [u(n 6) u(n 1)] (n 6) (n 1)
y( n) x1[n] x2 [n]
k
x [k ] x [n]
1 2
n
1 n( n 1)u[n] { [n 6] [n 1]} 2
三.卷积和的性质
2.分配律:
第3章 离散时间系统的时域分析
1.交换律： x1[n]* x2 [n] x2 [n]* x1[n]
x1[n] x2[n]* x[n] x1[n] x[n] x2[n]* x[n]
3.结合 律： { x1[n] * x2 [n]}* x3 [n] x1[n] * { x2 [n] * x3 [n]}
第3章 离散时间系统的时域分析
例：试用系统模拟图来表示下列方程所描述的LTI系统
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共分二个定理： 共分二个定理： 时域卷积定理 频域卷积定理
一、时域卷积定理
给定两个时间函数 f1(t)、f 2 (t) 已知： 已知：
f1(t) →F1(w)
FT
f2(t) →F2(w)
FT
则：
f1(t)∗f2(t) →F1(w)⋅ F2(w)
FT
时域卷积 频域相乘。 频域相乘。
即：两个时间函数卷积的频谱等于各个时间函数频谱的乘积。 两个时间函数卷积的频谱等于各个时间函数频谱的乘积。
证明： 证明：
根据卷积定义 f1(t) * f2 (t) = ∫−∞ f1(τ )* f2 (t −τ )dτ 则：f (t) * f (t) → 1 2
FT
∞
f (τ ) * f (t −τ )dτ e− jwt dt ∫−∞ ∫−∞ 1 2 ∞ ∞ f (t −τ )e− jwt dtdτ = ∫ f1(τ ) ∫ 2 −∞ −∞ = ∫ f1(τ )F2 (w)e
§ 3.7 卷积特性
• 主要内容
•时域卷积定理 时域卷积定理 •频域卷积定理 频域卷积定理 •卷积定理的应用 卷积定理的应用
• 重点：时域卷积定理和频域卷积定理 重点： • 难点：卷积定理的应用 难点：
卷积特性是傅里叶变换性质之一，由于它 卷积特性是傅里叶变换性质之一， 在通信系统和信号处理中的重要地位－－ －－应 在通信系统和信号处理中的重要地位－－应 用最广。所以单独以一节来讲。 用最广。所以单独以一节来讲。
(t ≤ (t >
τ τ
f (t)
) 2 ) 2
−
E
τ 0
2
τ
2
t
解：把余弦脉冲信号看成是矩形脉冲信号Ｇ(t) 与周期余弦 把余弦脉冲信号看成是矩形脉冲信号Ｇ 信号相乘。 信号相乘。
1
−
πt cos τ
τ
2
τ
2
(π )
πt Fcos τ
0
t
思考题
• 1.时域卷积公式？ 1.时域卷积公式？ 时域卷积公式 • 2.频域卷积公式？ 2.频域卷积公式？ 频域卷积公式
IFT
频域卷积
时域相乘。 时域相乘。
即：两个时间函数频谱的卷积等效于各个时间函数的乘积（乘 两个时间函数频谱的卷积等效于各个时间函数的乘积（ 1 以系数 ）。 2π
例 3-8
已知余弦脉冲信号
πt E cos( τ ) f (t) = 0
利用卷积定理求其的频谱。 利用卷积定理求其的频谱。
2E
G(t)
2E
τ
G(t)
τ
E
等于
τ
2
f (t)
−
τ 0
4
τ
4
t
卷积
−
τ 0
4
τ
4
t
−
0
τ
2
t
时域卷积等于频域相乘。 时域卷积等于频域相乘。
Eτ 2
4π
G(w)
乘以
4π 8π
Eτ 2
4π
G(w)
−
τ
0
τ
τ
w
等于
−
τ
0
4π
τ
8π
τ
w
F(w)
2
π
Eτ
2E τ wτ G(w) = ⋅ Sa( ) 4 τ 2
τ wτ G(w) = EτSa( ) 2
例 3-９
已知三角脉冲信号
τ 2 E(1− τ t ) ( t < 2) f (t) = τ 0 (t > ) 2
利用卷积定理求其频谱F(w). 利用卷积定理求其频谱F(w). 解：两个同样矩形脉冲的卷积即为三角脉冲。如下： 两个同样矩形脉冲的卷积即为三角脉冲。如下：
F(w) = G2 (w)
5π
−
3 π
τ
0
3 π
τ
τ
w
即求出三角脉冲的频谱F(w). 即求出三角脉冲的频谱F(w).
2E τ wτ = τ ⋅ 2 Sa( 4 ) Eτ 2 wτ Sa ( ) = 2 4
2
补充例子： 补充例子：
求 示 号f (t)的 ω) 图 信 F(
f(t) 2
-2
-1 0
1
2
t
解 （） ： 1 法 按 义 傅 叶 换 定 求 里 变 1 1< t < 2 f (t) = 2 −1< t <1 0 其它
F( jω) = ∫ f (t) e
−∞
∞
− jωt
dt
1
=∫
−1
−2
e
− jωt
dt + ∫
−1
e
− jωt
dt + ∫
2
1
e
−∞ ∞ − jwτ
+∞
∞
dτ dτ= F2 (w)∫ f1来自τ )e−∞∞
− jwτ
= F (w)F2 (w) 1
二、频域卷积定理 给定两个时间函数 f1(t)、f 2 (t)
已知： 已知：
f1(t) →F1(w)
FT
f2(t) →F2(w)
FT
1 则： (w) F (w) F1 ∗ 2 → f1(t) f2(t) ⋅ 2π
−
(π )
π 0 τ
π τ
w
卷 积
乘 以
时域： 时域：
−
E G(t)
τ 0
2
频域： 频域：
t
−
Eτ
2π
G(w)
τ
2
τ
0
2π
τ
4π
τ
w
等 于
等 于
f (t)
F(w)
2
E
τ 0
2
π
Eτ
−
τ
2
t
−
3 π
τ
0
3 π
τ
5π
τ
w
已知： 已知： f (t) = G(t) cos(πt )
πt π π FT cos( ) →πδ(w+ ) + πδ(w− ) τ τ τ πt FT 1 π π G(t) cos( ) → G(w) *π[δ (w+ ) + δ (w− )] τ 2π τ τ Eτ π τ Eτ π τ Sa(w+ ) + Sa(w− ) = τ 2 2 τ 2 2 wτ cos( ) 2Eτ 2 化简得： 化简得： F(w) = π wτ 2 1− ( π )
f (t) = g2 (t) + g4 (t)
ωτ QEgτ (t) ↔ EτSa 2 即 g2 (t) ↔ 2Sa(ω)， g4 (t) ↔ 4Sa(2ω)
∴F(ω) = Γ[g2 (t)] + Γ[g2 (t)] = 4Sa(2ω) + 2Sa(ω)
用ＭＡＴＬＡＢ画出频谱图： ＭＡＴＬＡＢ画出频谱图： 画出频谱图 F (ω) = 4Sa( 2ω) + 2Sa(ω)
− jωt
dt
1 − jωt −1 1 − jωt 1 1 − jωt 2 =− e −2 − jω e −1 − jω e 1 jω 1 = jω
[e
j 2ω
−e
− j 2ω
+ e −e
jω
− jω
]
= 4Sa(2ω) + 2Sa(ω)
解 （） ： 2 法 利 傅 叶 换 性 质 用 里 变 线 性 求