卷积与常用特殊信号
卷积信号处理的原理和应用
关于卷积的问题 2013-4-17上海交通大学机械系统与振动国家重点实验室 1/1卷积问题卷积公式：[][][]y n x n h n =*，它表明了一个LTI 系统对任意输入的相应可以用系统对单位脉冲的相应来表示，那么LTI 系统的单位脉冲相应就完全刻画了此系统的特性。
卷积性质将两个信号的卷积映射为它们傅立叶变换的乘积，其公式为：()()()()()y t h t x t H jw X jw =*←−→F，其变换推到如下：()()()()()y t h t x t x h t d τττ+∞-∞=*=-⎰要求的Y(jw)则是：{}()()()()jw t Y jw y t x h t d e dt τττ+∞+∞--∞-∞⎡⎤==-⎢⎥⎣⎦⎰⎰F交换积分次序，()x τ与t 无关，则有()()()jw tY jw x h t edt d τττ+∞+∞--∞-∞⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰即()()()()()jwtjwtY jw x eH jw d H jw x e d ττττ+∞+∞---∞-∞==⎰⎰上式右边积分就是x （t ）的傅立叶变换即()()()Y jw H jw X jw =对于离散系统而言，卷积公式则成为()[][]k y n x k h n k +∞=-∞=-∑，此式即为卷积和公式，他意味着一个LTI 系统对任意输入的响应可以用系统对单位脉冲的响应来表示，即可以用单位脉冲响应与系统输入的卷积和来表示系统对任意输入的响应结果，因此上述卷积又被称为是线性卷积，相对于线性卷积而言的是循环卷积，他比线性卷积在运算速度上又很大的优越性，可采用fft 技术，因此，若能利用循环卷积来计算线性卷积，将会大大提高计算效率。
那么在什么条件下才能用循环卷积代替线性卷积而不失真呢？循环卷积其实质就是将两组信号进行周期延拓，然后按卷积公式进行计算，可形象用“圆周卷积”来表示，因此，为利用循环卷积得到线性卷积结果，根据圆周卷积的特性，可对原卷积信号进行适当的补零操作后进行循环卷积，使其进行圆周卷积时的卷积过程与线性卷积相同，这样就达到了利用循环卷积计算线性卷积的目的。
信号与系统7-2卷积定理课件
一般的求法：f (t) f (t) y(t)，先求 y(t)的频谱Y ( j)
t y(t)dt Y ( j) Y (0) ()
j
其中：
Y (0)
y(t)dt f (t)dt f (t) f () f ()
t y(t)dt Y ( j) [ f () f ()] ()
3
时域微分和积分性质
时域微分性质
df (t) jF ( j)
dt
时域积分性质
f (n) (t) ( j)n F( j)
当 F(0) F( j) f (t)dt 0 时，
0
t f ( )d F( j)
j
f (n) (t) 1 F ( j ) ( j)n
4
时域微积分性质的公式
已知：
G
(t
)
Sa(
2
)
，根据对偶性：
Sa(
t
2
)
2
G
(
)
将
换成2c，得：
C
Sa(Ct)
G2c
( )
又已知： cos0t [ ( 0 ) (
Sa(Ct)
0 )]
C
G2c
( )
根据频域卷积定理：
f
(t)
1
2
ห้องสมุดไป่ตู้
C
G2C
() [ (
0 )
(
0 )]
f
(t)
2C
[G2C
(
0 )
G2C
(
0 )]
cos
2
t
[
(
2
)
(
2
)]
根据频域卷积定理：
1
cos
数字信号处理什么是卷积 卷积有什么用
什么是卷积卷积有什么用1.卷积的定义：在泛函分析中，卷积、旋积或摺积(英语：Convolution)是通过两个函数f 和g 生成第三个函数的一种数学算子，表征函数f 与g经过翻转和平移的重叠部分函数值乘积对重叠长度的积分。
简单定义：卷积是分析数学中一种重要的运算。
设:f(x),g(x)是R1上的两个可积函数，作积分：可以证明，关于几乎所有的实数x，上述积分是存在的。
这样，随着x的不同取值，这个积分就定义了一个新函数h(x)，称为函数f与g的卷积，记为h(x)=(f*g)(x)。
容易验证，(f * g)(x) = (g * f)(x)，并且(f * g)(x)仍为可积函数。
这就是说，把卷积代替乘法，L1（R1）空间是一个代数，甚至是巴拿赫代数。
卷积与傅里叶变换有着密切的关系。
利用一点性质，即两函数的傅里叶变换的乘积等于它们卷积后的傅里叶变换，能使傅里叶分析中许多问题的处理得到简化。
由卷积得到的函数f*g一般要比f和g都光滑。
特别当g为具有紧致集的光滑函数，f 为局部可积时，它们的卷积f * g也是光滑函数。
利用这一性质，对于任意的可积函数f，都可以简单地构造出一列逼近于f的光滑函数列fs，这种方法称为函数的光滑化或正则化。
卷积的概念还可以推广到数列、测度以及广义函数上去。
卷积是两个变量在某范围内相乘后求和的结果。
如果卷积的变量是序列x(n)和h(n)，则卷积的结果其中星号*表示卷积。
当时序n=0时，序列h(-i)是h(i)的时序i取反的结果；时序取反使得h(i)以纵轴为中心翻转180度，所以这种相乘后求和的计算法称为卷积和，简称卷积。
另外，n是使h(-i)位移的量，不同的n对应不同的卷积结果。
如果卷积的变量是函数x(t)和h(t)，则卷积的计算变为，其中p是积分变量，积分也是求和，t是使函数h(-p)位移的量，星号*表示卷积。
2.卷积在工程和数学上都有很多应用：统计学中，加权的滑动平均是一种卷积。
信号与系统 §2.07 卷积的性质
微分积分性质对于计算卷积很方便。 微分积分性质对于计算卷积很方便。
三.与冲激函数或阶跃函数的卷积
f (t ) ∗δ (t ) = ∫ f (τ )δ (t −τ ) dτ = ∫ f (t −τ ) δ (τ ) dτ = f (t )
∞ ∞
推广： 推广： f (t ) ∗δ (t − t 0) = f (t − t 0)
f (t ) ∗δ ′(t ) = f '(t )
f (t ) ∗ u(t ) =
−∞
−∞
f (t − t1) ∗δ (t − t 2) = f (t − t1 − t 2)
−∞
∫ f (λ)dλ
t
f (t ) ∗δ (k ) (t ) = f (k ) (t )
f (t ) ∗δ (k ) (t − t 0) = f (k ) (t − t 0)
f(t)的积分 的积分
微分性质积分性质联合实用
g(n−m) (t ) = f (n) (t ) ∗ h(−m) (t ) = f (−m) (t ) ∗ h(n) (t )
微分n次 微分 次， 积分m次 积分 次 m=n, 微分次数＝ 微分次数＝ 积分次数
g(t ) = f (n) (t ) ∗ h(−n) (t )
+
∑
h2 (t) +
y(t )
h1 (t )
h2 (t )
1
1 t
解：
(a)
O 1
h(t )
O 1 2 t
(b)
1
h(t ) = h1(t ) ∗[h1(t ) + h2 (t )]
如图（ ） 如图（c）所示
O 1 2 3t
X
卷积名词解释
卷积名词解释
卷积（Convolution）是一种特殊的数学运算，用来把两个函数之间的关系表达出来，而两个函数之间的关系就是卷积。
卷积常用于图像处理、信号处理及其他的数学运算中。
卷积的数学表达式通常为：
F(x)G(x)=∫∞∞F(t)G(x-t)dt
其中，F(x)和G(x)是需要卷积的两个函数，另外，t代表时间，dt代表时间间隔，x代表在时间t处的位置。
卷积的结果F(x)G(x)是另外一个函数，它具有一定的特性，可以用来描述F(x)和G(x)之间的关系。
在计算机视觉中，卷积是一种常见的任务类型，可以用来检测特征或者把输入信号转变为有意义的输出信号。
举例来说，卷积可以用来检测图像中的边缘或者线条，检测某个物体在图像中的位置和轮廓等，或者用来清洗信号中的噪音等。
卷积运算的结果可以用于接下来的处理，例如图像分类、识别等。
- 1 -。
信号与系统卷积和及几类常见题目
⏹卷积☐卷积的定义☐卷积的物理意义☐卷积的性质☐卷积的计算⏹信号的分解☐信号分解为基本信号之和☐…δ(t )是卷积的单位元δ(t-t 0)是卷积的延迟器u (t )是卷积的积分器δ’(t )是卷积的微分器温故知新，上讲回顾第二章信号的时域分析§2.1常用信号及其基本特性§2.2信号的时域运算Array§2.3信号的时域分解§2.4卷积积分§2.5卷积和信号分类；基本信号特性；信号分解与运算；卷积/卷积和周期/非周期判断；奇异函数运算；信号展缩平移；卷积/卷积和1. 掌握卷积和的定义/性质并进行计算（解析法、图解法、竖式法、性质求解）2. 习题课（信号时域分析几类常见题目）§2.5卷积和一、卷积和的定义及物理意义二、卷积和的性质三、卷积和的计算设x 1(n ) 和x 2(n )是两个序列，则1212()()()()k k k x n x n x x n ∞=−∞∗=−∑如果x 1(n ) 和x 2(n )都是因果序列，则11202()()()()nk x n x n x k x n k =∗=−∑1212()()()()d f t f t f f t τττ∞−∞∗=−⎰卷积和：卷积积分：1. 定义任意序列x (n ) 可以表示为单位样值信号δ(n ) 的移位加权和。
{}()=+(1)(1)+(0)()+(1)(1)+(2)(2)+()()()()k x n x n x n x n x n x k n k x k n k δδδδδδ∞=−∞−+−−+−+=− LTI 系统δ(n )h (n )x (n )?2. 物理意义输入δ(n-k )h (n-k )输出时不变x (k )δ(n-k )x (k )h (n-k )齐次性()=()()k x n x k n k δ∞=−∞−∑zs =()()()*(())k y n x k h n k h x n n ∞=−∞−∑ 可加性系统特性LTI 系统δ(n )h (n )卷积和卷积和的物理意义：揭示了LTI离散系统零状态响应与输入信号和系统单位样值响应之间的关系。
卷积和滤波器的关系
卷积和滤波器的关系引言在数字信号处理领域，卷积和滤波器是两个常常被提及的概念。
卷积是一种数学运算，而滤波器是一种常用的信号处理工具。
本文将深入探讨卷积和滤波器之间的关系，从理论和实践两个方面进行分析。
理论基础卷积的定义卷积是一种数学运算，用于描述两个函数之间的关系。
在信号处理中，卷积经常用来描述输入信号通过系统的响应产生输出信号的过程。
卷积运算的表示如下所示：∞(u)g(t−u)duf(t)∗g(t)=∫f−∞其中，f(t)和g(t)为两个函数，∗表示卷积运算符，u是积分变量。
滤波器的定义滤波器是一种信号处理工具，用于对输入信号进行频域或时域的调整。
滤波器能够改变信号的频率特性或幅度，达到滤波、增强或抑制某些频段的效果。
滤波器可以是线性的，也可以是非线性的。
根据其频率特性，滤波器可以分为低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器等。
卷积与滤波器卷积作为滤波器卷积运算本身可以看作是一种滤波器，通过对输入信号进行卷积运算，可以实现滤波的效果。
在时域上，卷积运算将输入信号的每个采样点与滤波器的响应进行加权求和；在频域上，卷积运算等同于信号与滤波器的傅里叶变换之积。
因此，通过选择合适的滤波器，可以实现对信号的频率特性进行调整。
滤波器的实现滤波器可以通过不同的实现方式来实现。
常见的滤波器实现方式包括时域滤波和频域滤波。
时域滤波时域滤波是直接在时域上对信号进行操作的方法。
常见的时域滤波方法包括移动平均、中值滤波、高斯滤波等。
这些滤波器通过对输入信号的每个采样点进行运算，得到输出信号，从而实现滤波的效果。
频域滤波频域滤波是将信号从时域转换到频域进行滤波的方法。
常见的频域滤波方法包括快速傅里叶变换（FFT）、低通滤波、高通滤波等。
这些滤波器将信号转换到频域后，对频谱进行操作，并将其转换回时域，得到输出信号。
滤波器设计滤波器设计是指确定滤波器的频率特性和响应。
滤波器设计的主要目标是根据应用需求，选择合适的频率特性和滤波器类型。
《信号与系统教学课件》§2.6 卷积及其性质和计算
将卷积的微分性质和积分性质加以推广，可以得到
s
t
nm
f (n) 1
t
f (m) 2
t
f (m) 1
t
f (n) 2
t
X
二、卷积的性质
注意函数的积分和微分并不是一个严格的可逆关系， 因为函数加上任意常数后的微分与原函数的微分是相 同的。因此，对于等式
f1 t
f2 t
f1' t
k
d
k
f
3
t
d
令w k
f1
k
f2
w f3
t
k
w d w d k
令st f2t f3t
f1 k s t k d k
f1 t st
f1 t
f2 t
f3 t
f 1
t f2 t
f3 t
X
二、卷积的性质
一、代数性质 • 结合律
对于函数f1 t , f2 t , f3 t ,存在
h2 t
r(t)
h1 t
图2.6.2 卷积交换律的系统意义
X
二、卷积的性质
一、代数性质
• 结合律
对于函数f1 t , f2 t , f3 t ,存在
f1 t f2 t f3 t f1 t f2 t f3 t
根据卷积的定义
f1 t
f2
t
f3
t
f1
k
f2
X
三、卷积的计算
根据卷积的定义，卷积计算是由若干基本的信号运算组成的， 对于
s
t
f1
f2
t
d
第一步 反褶：将 f1 t 反褶运算，得到 f1
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, t 0 (t ) 0, t 0
(t ) lim S (t )
0
(t )dt 1
S(t)
S(t)
S(t)
1/
t
信号处理部分
t
t
7
2016年1月14日星期四
测控技术
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函数特性
1）乘积特性（抽样）
f (t ) (t ) f (0) (t ), f (t ) (t t 0 ) f (t 0 ) (t t 0 )
• 则
时域卷积定理：时间函数卷积的频谱等于各个时间函数频谱的乘积，既在 时间域中两信号的卷积，等效于在频域中频谱中相乘。
2016年1月14日星期四
信号处理部分
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4 频域卷积定理
• 如果
F [h(t )} H ( ); F [ x(t )] X ( );
• 则
F [h(t ) x(t )]
x(t)
x(n t ) t
x(nt) t h(t- nt)
nt
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t
0
信号处理部分
nt
t
3
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（3）根据线性系统的叠加原理，各脉冲引起的响应之和即为输出y(t)
y( t)
n 0
( x(nt)tht
nt)
y(t )
0
t
x t t t0
x t t
0
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t
信号处理部分
t0
0
t0
t
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函数傅立叶变换
t 1
1 t
t t0 e
e
j 2 f 0 t
j 2 ft0
f f0
2）积分特性（筛选）
f (t ) (t ) f (0),
f (t ) (t t 0 ) f (t 0 )
3）卷积特性
f (t ) * (t )
f ( ) (t )d f (t )
f (t ) * (t t0 )
x t Ae
Wf A e
0
at
a 0, t 0
dt
0
x t e
j 2 ft
Ae at e j 2 ft dt
a j 2 f t
A dt e a j 2 f t a j 2 f
测控技术
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卷积运算与特殊函数
测控技术
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一、卷积分
1 卷积概念与定义 卷积积分是一种数学方法，在信号与系统的理论研究中占有重要的地 位。特别是关于信号的时间域与变换域分析，它是沟通时域－频域的一个 桥梁。 在系统分析中，系统输入／输出和系统特性的作用关系在时间域就体 现为卷积积分的关系
x(t)
h(t)
y(t)
y(t ) x( )h(t )d x(t ) h(t )
2016年1月14日星期四 信号处理部分 2
测控技术 2 卷积的物理意义
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对于线性移不变因果系统，系统的输出y(t)是任意输入x(t)与系统脉冲响 应函数h(t)的卷积。 （1）将信号x(t)分解为许多宽度为 t 的窄条面积之和，t= n t 时的第n 个窄条的高度为x(n t )，在 t 趋近于零的情况下，窄条可以看作是强度 等于窄条面积的脉冲。 （2）根据线性系统特性，在t=nt时刻，窄条脉冲引起的 响应为: x(nt) t h(t- nt) y(t)
0
A a j 2 f 其幅值频谱 W f
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A a 2 4 2 f 2
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信号处理部分
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信号处理部分
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三、阶跃函数u(t)与符号函数sgn(t)
u t t dt
t
1
0
t
sgn t 2u t 1
1
0 -1
t
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信号处理部分
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测控技术
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四、指数函数
x( )h(t )d
y(t) x(t)
x月14日星期四
t
0
信号处理部分
nt
t
4
测控技术 3 时域卷积定理
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• 如果
h(t ) H ( );
FT FT x(t ) X ( ); FT h(t ) * x(t ) H ( ) X ( ); FT h(t ) * x(t ) H( f )X ( f )
2016年1月14日星期四
f ( ) (t t0 )d f (t t0 )
信号处理部分 8
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函数的卷积
t
t t0
t t0
t t0
0
t
t0
0
t0
t
x t
x t
0
t
x t t t0
1 2
H ( ) * X ( );
F [h(t ) x(t )] H ( f ) * X ( f )
频域卷积定理：两时间函数的频谱的卷积等效于时域中两时间函数的乘积。
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二、函数 a) 函数: 是一个理想函数，是物理不可实现 信号。