卷积和的性质
2-5 卷积的性质
f(t-t1)
f (t t1) (t t2) f (t t1 t2)
*
t1
δ(t-t0)
(1) =
t0 δ(t-t2)
=
t2
t0 t1X+t2
第
结论2：
12 页
如果：f (t) f1(t) f2 (t) 则： f1(t t1) f2 (t t2 ) f1(t t2 ) f2 (t t1) f (t t1 t2 )
m=n, 微分次数＝
f1(t)
f2 (t )
f1(t)
f (1)
2
(t)
积分次数
X
求系统零状态响应的另一方法
第 8
页
yzs (t) 结论y zs:(yt )zs(t
f (t) h(t)
f (t) h(1) (t) yzs (t) f (t) s(t
)是激励的导数与系统阶跃响应的卷积.
求： x(t) h(t)
3.已知：x(t)与h(t)波形，求： x(t) h(t)波形
X(t)
h(t)
2
1
01
t
0
2
第 16 页
t tX
第
例题2-5-4 求以下两信号的卷积，并画出波形
17 页
x1(t)
3
1
0 12
6
t
x2(t)
1
-2
t
方法一：图解法（麻烦） 方法二：用微积分性质（小心） 方法三：将无始信号变为有始信号表示（聪明）
f (t)
h(t )
g(t) ht h1t h2 t
结论：子系统并联时，总系统的冲激响应等于
卷积公式详解(二)
卷积公式详解(二)卷积公式详解什么是卷积？卷积是信号处理和图像处理中常用的一种数学操作，用于表示两个函数之间的关系。
在深度学习中，卷积是一种对输入数据进行特征提取的操作，常用于图像识别、语音识别等任务。
卷积的定义卷积定义为两个函数之间的积分平均，可以表示为以下形式：+∞(τ)g(t−τ)dτf∗g(t)=∫f−∞其中，f和g是两个函数，f∗g(t)表示函数f和g的卷积结果。
卷积的计算过程计算卷积的过程可以简化为以下几个步骤：1.反转函数g并平移：g(t−τ)；2.将反转后的g(t−τ)与函数f(τ)相乘；3.对乘积结果进行积分求和。
具体的计算过程可以用以下公式表示：(f∗g)(t)=∑f(τ)g(t−τ)τ卷积的应用卷积在信号处理和图像处理中有广泛的应用，其中包括：•图像滤波：通过卷积操作可以实现图像的平滑、锐化、边缘检测等处理；•特征提取：在深度学习中，卷积神经网络（CNN）通过卷积操作可以提取图像或文本中的特征；•语音处理：卷积可以用于语音信号的滤波、降噪等处理。
卷积的性质卷积具有以下几个重要的性质：1.结合律：(f∗g)∗ℎ=f∗(g∗ℎ)；2.分配律：(f+g)∗ℎ=f∗ℎ+g∗ℎ；3.对称律：f∗g=g∗f（交换卷积操作中的两个函数）。
这些性质使得卷积在许多应用中非常灵活，并且可以结合其他操作进行更复杂的处理。
总结卷积是一种重要的数学操作，用于信号处理和图像处理中的特征提取。
本文详细解释了卷积的定义、计算过程、应用和性质。
了解卷积的基本原理对于理解深度学习中的卷积神经网络非常重要。
希望本文能够帮助读者更好地理解卷积操作的概念和应用。
卷积和相关
证明：h( x) f ( x) g ( x) 证:
令 x- = x’
f ( x' )h( x x' )d ( x' ) f ( x' )h( x x' )dx'
1/3 0 4 6 h(x-t) 1/3 f(t) h(t)
0
f(t)
t
4 6
1/5 0
t
5 9 h(-t)
t
-9 -5 0
1/5
t
x-9
x-5 g(x)
x 0
4
6
t
2/15
x
0 9 11 13 15
四、计算方法--几何作图法
练习: 计算 rect(x) *rect(x)
1.用哑元t画出 二个 rect(t)
1
|x| >1; g(x) = 0
g(x)
x
1
-1< x <0; g(x) = 1[x+1/2-(-1/2)]=1+x
0 < x <1; g(x) = 1[1/2-( x-1/2)]= 1- x
-1
0
rect(x)*rect(x) = tri(x)
五、卷积的运算性质 1、线性性质 叠加性和均匀性
0 x2
2 x
故最后结果可表示成：
x 1 x 1 x g x rect rect 2 2 2 2
其函数图形如图1-3-6所示
图1-3-6
例2卷积运算结果
练习
1-9. 利用梳函数与矩形函数的卷积表示线光栅的透过 率。假定缝宽为a，光栅常数为d，缝数为N. 1-10. 利用包含脉冲函数的卷积表示下图所示双圆孔 屏的透过率。若在其中任一圆孔上嵌入p位相板， 透过率怎样变化？
信号与系统笔记
信号与系统第一章1。
1 连续时间与离散时间信号确知信号可以表示成一个或几个自变量的函数连续时间信号在［t1，t2］区间的能量定义为：连续时间信号在［t1,t2］区间的平均功率定义为：离散时间信号在［n1,n2］区间的能量定义为离散时间信号在[n1，n2]区间的平均功率为在无限区间上也可以定义信号的总能量：连续时间情况下:离散时间情况下:在无限区间内的平均功率可定义为： 21lim 2()TTT P dtTx t ∞-→∞=⎰能量信号——信号具有有限的总能量，即：功率信号—-信号有无限的总能量,但平均功率有限。
即：信号的总能量和平均功率都是无限的。
即:如果信号是周期信号，则或这种信号也称为功率信号，通常用它的平均功率来表征或或如果信号是非周期的，且能量有限则称为能量信号。
1.2 自变量的变换1.时移变换当时，信号向右平移时，信号向左平移当时，信号向右平移 时，信号向左平移,0E P ∞∞<∞=,E P ∞∞=∞=∞2。
反转变换信号以t=0为轴呈镜像对称。
与连续时间的情况相同。
3. 尺度变换时，是将在时间上压缩a倍,时,是将在时间上扩展1/a倍。
由于离散时间信号的自变量只能取整数值，因而尺度变换只对连续时间信号而言。
周期信号与非周期信号：周期信号：满足此关系的正实数（正整数)中最小的一个，称为信号的基波周期（）。
可视为周期信号，但它的基波周期没有确定的定义。
可以视为周期信号,其基波周期。
奇信号与偶信号：对实信号而言：如果有和则称该信号是偶信号。
（镜像偶对称）如果有和则称该信号为奇信号。
(镜像奇对称）对复信号而言：如果有和则称该信号为共轭偶信号.如果有和则称为共轭奇信号。
任何信号都能分解成一个偶信号与一个奇信号之和。
对实信号有：其中其中对复信号有：其中：其中：1。
3 复指数信号与正弦信号一. 连续时间复指数信号与正弦信号其中C, a 为复数1. 实指数信号：C,a 为实数呈单调指数上升呈单调指数下降。
卷积和的概念
卷积和的概念卷积和的概念卷积和是一种在信号处理、图像处理、数值分析和控制理论等领域广泛应用的数学运算。
其主要用于处理具有周期性特征的数据，如正弦波、余弦波等。
一、卷积和的定义卷积和通常用符号"*" 表示，对于两个函数f(t) 和g(t)，其卷积和定义为：(f * g)(t) = ∫(-∞to ∞) f(τ) g(t - τ) dτ这表示将函数f(t) 向右平移，与函数g(t) 在每个位置上进行相乘，然后将所得的积分求和。
这个过程也被称为卷积积分。
二、卷积和的性质1. 交换律：f * g = g * f2. 结合律：f * (g * h) = (f * g) * h3. 单位元：e * f = f4. 反元素：f * (f^-1) = e三、卷积和的应用1. 在信号处理中，卷积和是描述信号的线性滤波和卷积的关键工具。
它能够揭示信号中的特定频率分量，对于提取信号中的关键信息具有不可替代的作用。
在数字信号处理中，通过将一个信号与一个滤波器函数进行卷积和，可以精确地调整信号的频率成分，从而提取出特定的频率分量。
这一过程不仅在通信、语音识别等领域有着广泛的应用，同时也是其他领域如图像处理、数值分析等的重要基础。
2. 在图像处理中，卷积和被用于实现图像的滤波和锐化，是图像处理的关键工具之一。
通过将图像与特定的滤波器函数进行卷积和，可以增强图像的特定特征，如边缘、纹理等。
这一技术在计算机视觉、图像分析等领域发挥着重要的作用，为机器视觉、人脸识别等复杂任务提供了可能。
3. 在数值分析中，卷积和是数值积分和微分方程求解的重要手段之一。
在科学研究和工程实践中，许多复杂的问题需要用数学模型进行描述和解决，而卷积和在这其中扮演着关键的角色。
例如，通过将一个函数与一个基函数（例如正弦函数或余弦函数）进行卷积和，可以获得该函数的离散化数值表示，为解决复杂的数学问题提供了有效的途径。
4. 在控制理论中，卷积和是描述系统的稳定性和响应特性的重要工具。
信号与系统
x(n) ∗ h1 (n) ∗ h2 (n) = x(n) ∗ h2 (n) ∗ h1 (n) x(t ) ∗ h1 (t ) ∗ h2 (t ) = x(t ) ∗ h2 (t ) ∗ h1 (t )
x[ n ] h1[ n ] x (t ) h1 (t ) y[ n ] h2 [ n ] y (t ) h2 (t )
x(t )
x(t )
例如：延时器是可逆的LTI系统，h(t ) = δ (t − t0 ) ，其逆系 例如：延时器是可逆的 系统， 系统 显然有： 统是 g (t ) = δ (t + t0 ) ，显然有：
1
2.分配律 2.分配律(the distributive property) 分配律
x[n] ∗ [h1[n] + h2 [n]] = x[n] ∗ h1[n] + x[n] ∗ h2 [n] x(t ) ∗ [h1 (t ) + h2 (t )] = x(t ) ∗ h1 (t ) + x(t ) ∗ h2 (t )
∞
t −ι
t
6
微分性质： ② 微分性质：若y(t)=x(t)*h(t)，则 ，
y′(t ) = x(t ) * h′(t ) = x′(t ) * h(t )
两函数相卷积后的导数等于两函数之一的导数与另一函数相卷积。 两函数相卷积后的导数等于两函数之一的导数与另一函数相卷积。
d Proof: y ′(t ) = dt
h2 (t )
y(t ) = [ x(t ) ∗ h1 (t )] ∗ h2 (t )
y[n] = ( x[n] ∗ h1[n]) ∗ h2[n]
⇒
结论： 结论： 两个LTI系统级联时，系统总的单位冲激(脉冲 响应等于各 系统级联时， 脉冲)响应等于各 ①两个 系统级联时 系统总的单位冲激 脉冲 子系统单位冲激(脉冲 响应的卷积。 脉冲)响应的卷积 子系统单位冲激 脉冲 响应的卷积。
信号与系统 卷积积分的性质
信号与系统
d x t dt
h d
t
2
1
1 0
2
c
1
t
0
4
t
d
dxt t h d 15 dt 8
t
9 8
2
dxt t h d dt
3
1 0
2
2
6
1 0
2 3
6
t
f
e
信号与系统
t t t
[ 1 d ]u (t 1) [ 1 d ]u (t 2)
1 2
t
t
(t 1)u (t 1) (t 2)u (t 2)
(t 1)[u (t 1) u (t 2)] 3u (t 2) 0 t 1 3
0 t a 1 e d 1 e at 0 a
f t
1
1 d ]u(t ) 1 e at u t a
t 0
f d
t 0
t
e at
1 a
0
a
t
0
b
t
信号与系统
作业 13-4-16
t
y( )d f (t ) h( )d h(t ) f ( )d
t
y(t)的一重积分
y ( 1) (t ) f (t ) h( 1) (t ) f ( 1) (t ) h(t )
推广：
y ( m) (t ) f (t ) h( m) (t ) f ( m) (t ) h(t )
《信号与系统教学课件》§2.6 卷积及其性质和计算
将卷积的微分性质和积分性质加以推广，可以得到
s
t
nm
f (n) 1
t
f (m) 2
t
f (m) 1
t
f (n) 2
t
X
二、卷积的性质
注意函数的积分和微分并不是一个严格的可逆关系， 因为函数加上任意常数后的微分与原函数的微分是相 同的。因此，对于等式
f1 t
f2 t
f1' t
k
d
k
f
3
t
d
令w k
f1
k
f2
w f3
t
k
w d w d k
令st f2t f3t
f1 k s t k d k
f1 t st
f1 t
f2 t
f3 t
f 1
t f2 t
f3 t
X
二、卷积的性质
一、代数性质 • 结合律
对于函数f1 t , f2 t , f3 t ,存在
h2 t
r(t)
h1 t
图2.6.2 卷积交换律的系统意义
X
二、卷积的性质
一、代数性质
• 结合律
对于函数f1 t , f2 t , f3 t ,存在
f1 t f2 t f3 t f1 t f2 t f3 t
根据卷积的定义
f1 t
f2
t
f3
t
f1
k
f2
X
三、卷积的计算
根据卷积的定义，卷积计算是由若干基本的信号运算组成的， 对于
s
t
f1
f2
t
d
第一步 反褶：将 f1 t 反褶运算，得到 f1
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n
1 y[n] y[n 1] x[n] 2 x[n 1] 3 x[n 2] 5 1 1
9 1 n h( n) 1 66( 5 ) 5 n 2 n 0
稳定系统
第3章 离散时间系统的时域分析
3.8 反卷积及其应用(自学)
h1[n]
h[n]
h[n] k [n]
可逆性：由y[n]可确定x[n].
条件
x[n]
h[n] h1[n] [n]
y[n]
h1[n]
x[n]
第3章 离散时间系统的时域分析
•LTI离散系统的互联
对于级联系统：
x[n] h1[n] h2 [n] y[n]
h[n] h1[n] h2 [n]
1 x1[k ] n[n 1]u[n] 2 k
n
x2 (n) [u(n 6) u(n 1)] (n 6) (n 1)
y( n) x1[n] x2 [n]
k
x [k ] x [n]
1 2
n
1 n( n 1)u[n] { [n 6] [n 1]} 2
三.卷积和的性质
2.分配律:
第3章 离散时间系统的时域分析
1.交换律： x1[n]* x2 [n] x2 [n]* x1[n]
x1[n] x2[n]* x[n] x1[n] x[n] x2[n]* x[n]
3.结合 律： { x1[n] * x2 [n]}* x3 [n] x1[n] * { x2 [n] * x3 [n]}
第3章 离散时间系统的时域分析
例：试用系统模拟图来表示下列方程所描述的LTI系统
y[n] 5 y[n 1] 4 y[n 2] 1 3 x[n 1] x[n 2]
q[n] 5q[n 1] 4q[n 2] x[n] q[n] x[n] 5q[n 1] 4q[n 2] 1 y[n] q[n 1] q[n 2] 3
n
n
例3 - 12：已知 x1[n] nu[n], x2 [n] u[n 6] u[n 1], 试求： y[n] x1[n] x2 [n]
解： x1[n] x2 [n]
k
x时域分析
x1[n] nu[n]
h[k ] x[n k ]
k 0
•稳定性：输入有界则输出必定有界 条件
k
h[k ]
第3章 离散时间系统的时域分析
证明：
x[n] B
y[n]
y[n]
k
h[k ]x[n k ]
y[n] B h[k ]
k
k
第3章 离散时间系统的时域分析
7.位移序列的卷积： y[n k ] x[n] * h[n k ] x[n k ] * h[n]
4.利用卷积和的性质来求卷积
x1[n] x2 [n]
k
x [k ] x [n] x [n] x [k ]
1 2 1 k 2
作业：P101－P104
3. 5(d) 3.15 (a) (b) 3.20 3.23(选作)
n
4、h[n] u[3 n]
n0
5、h(n) a u(n)
n
u(n) 0 h(n) a u(n) 0
是因果系统 有界稳定
1 a 1 n 1 a h ( n ) a u ( n ) n 1 1 a n n a 1 1 a
4.卷积和的差分 y[n] x1 [n] * x 2 [n] y[n] x1 [n] * x 2 [n] x1 [n] * x 2 [n] y[n] x1 [n] * x 2 [n] x1 [n] * x 2 [n]
第3章 离散时间系统的时域分析
5.卷积和的求和
k
x[n] b0 D
b1
a0 y[n] a1 y[n 1] a2 y[n 2] b0 x[n] b1 x[n] b2 x[n]
1
a0 D
y[n]
x[n]
1
a0 D
b0
y[n]
a1
a1
b1 D
D
b2
D
a2
a2
b2
直接I型
直接II型
第3章 离散时间系统的时域分析
y(k ) [ x [k ]] * x [n] x [n] *[ x [k ]]
k 1 2 1 k 2
n
n
n
x1[n] x2 [n]
k
x [k ] x [n] x [n] x [k ]
1 2 1 k 2
n
n
6.与单位序列的卷积： x[n] * [n] x[n] x[n] * [n k ] x[n k ] x[n k1 ] * [n k 2 ] x[n k1 k 2 ]
5
D
q[n-1]
D 3
1 q[n-2]
q[n] x[n] 5q[n 1] 3q[n 2] y[n] 3q[n 1] q[n 2] q[n] 5q[n 1] 3q[n 2] x[n]
y[n] 5 y[n 1] 3 y[n 2] 3 x[n 1] x[n 2]
y[n]
b2
x[n]
1
b0
a0 a1 D
b1
D a2
正准型
例：根据系统的模拟图写出其微分方程模型
3
y[ n ]
x[ n ]
1 q[n]
5
D
q[n-1]
D 3
1 q[n-2]
第3章 离散时间系统的时域分析
例：根据系统的模拟图写出其微分方程模型
3
y[ n ]
x[ n ]
1 q[n]
对于并联系统：
h1[n] x[n] h[n]
y[n]
h[n] h1[n] h2 [n]
第3章 离散时间系统的时域分析
例3-13 判断下列系统的因果性和稳定性 1、h[n] [n] 因果，稳定
2、h[n] [n 4] 3、h[n] 2u[n]
非因果，稳定 因果，不稳定 非因果，不稳定
3.9 离散时间系统的模拟
一、基本单元
x 1 [ n]
x[n]
x1[ n] x2 [n]
a
ax[n] ax[n]
x 2 [n]
x[n]
a 倍乘器
加法器
x[n]
D
x[n 1]
延迟器
第3章 离散时间系统的时域分析
二、离散LTI系统的模拟 例：试用系统模拟图来表示下列方程所描述的LTI系统
1 y[n] {b0 x[n] b1 x[n 1] b2 x[n 2] a1 y[n 1] a2 y[n 2]} a0 根据该试，可直接画出系统模拟图
x[n]
q ( n)
q(n 1)
1
3 D
4
q(n 2)
5
D
y[n]
P101
3.5系统模拟图
第3章 离散时间系统的时域分析
x[n]
q ( n)
q(n 1)
q(n 2)
1/2
D
D
1/4
y[n]
x[n]
1 2
q[n]
D
1 4
y[ n]
q[n-1]
D
q[n-2]
第3章 离散时间系统的时域分析
1 1 (n 6)( n 7)u[n 6] n(n 1)u[n 1] 2 2
第3章 离散时间系统的时域分析
3.7 用单位抽样响应表示系统的性质
• 因果性：输出变化不领先于输入变化
条件 证明：
n 0 h[n] 0
k
y( n)
k
x[k ]h[n k ] h[k ]x[n k ]
发散 不稳定
第3章 离散时间系统的时域分析
例3-14 判断下列系统的记忆性
y( n) 解：
k
x[k ]h[n k ] h[k ]x[n k ]
k
h[n] u[n]
h[n] k [n]
是记忆系统
k -
u[k ]x[n k ] x[n k ]
k 0
例3-15 判断下列系统的可逆性
h[n] u[n]
解：
h[n] h1[n] [n] u[n] u[n 1]
h1[n] [n] [n 1]
是可逆系统
第3章 离散时间系统的时域分析
例3－15判断下列系统的稳定性
h[n] C ( ) 5 5 1 n x[n]的响应： h[0] 1, c 1 h1[n] ( 5 ) u[n] n－ 1 1 n 2 x[n－ 1]的响应： h2[n] 2( 1 ) 10 ( 5 5 ) u[n 1] 1 n－2 1 n 3 x[n－2]的响应： h3[n] 3( 5 ) 75( 5 ) u[n 2] n 9 1 h(n) (n) (n 1) 66 u(n 2) 5 5
h[k ] x[n k ]