卷积和的主要性质[参考资料]
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离散卷积卷积和
n
x1(n)*i x2
i =
x1(n)*
x2(n)
n
i
si
=
n i
x1
i
*x2(n)=
x1(n)*
n i
x2
i
返回
三.卷积计算
yn xn* hn xmhn m
m
m的范围由x(n)、h(n)的范围共同决定。
1.y(n)的序列元素个数?
若x(n)的序列长度为n1、 h(n)的序列长度为n2，
对于零状态的离散线性时不变系统，若
x(n)
y(n)
(n)
h(n)
h(n)
就必有：时不变 n m hn m 均匀性 xm n m xmhn m
可加性 x(n) xm n m m
则输出 yn xmhn m xn hn m
系统对x(n)的响应y(n)=每一样值产生的响应之和， 在各处由x(m)加权。 卷积和的公式表明： h(n)将输入输出联系起来，即零状态响应=x(n)*h(n) 那么，对于任意两个序列的卷积和我们可以定义为：
1 n1 1
un
当n 时
yn 1 un
1
返回
波形
x(n)
hn
o 123
n
1
o 123 n
hn m
hn m
a m um
a m um
o 123
m
n0
o 123
m
n 1
y(n) u(n) n αm 1 αn1 un 1 yn
m0
1α
11
当n
时，yn
1
1
α
un
o 1234
n
返回
例7-6-2 已知离散信号 x1(n)=n[u(n)-u(n-6)]
§3.08 卷积特性(卷积定理)
f C (t ) f (t ) cos C t 1 FC ( ) F ( C ) F ( C ) 2 f t cos t
C
O
t
C
O
C
FC ( )
A 2
A 2
O
t
C
O C m C C m
退出
分析
用频移性质
收信端：带通滤波器，分开各路信号，解调。
带通
g t
cos a t
cos b t
cos c t
g a t
低通
f a t
带通
低通
f b t f c t
带通
低通
G ( )
c b a
0
a
b
c
退出
频分复用解调分析
, 先利用一个带通滤波器（ 带宽 m 2 a m） 滤出2 a 附近的分量 g a t f a t cos 2 a t
退出
3.频分复用
复用：在一个信道上传输多路信号。
频分复用
时分复用 波分复用 实现多路通信的传输体制。 (frequency division multiply)
（FDM）
（TDM） （WDM）
码分复用（码分多址） （CDMA）
频分复用：就是以频段分割的方法在一个信道内
退出
复用发信端
调制，将各信号搬移到不 同的频率范围。
由频移性质
1 e
j 0 t
1 e j 0 t 2 0
2 0
1 cos 0 t 2 0 2 0 0 0 2
卷积和相关
h( x) f ( x) h( ) f ( x )d f ( x )h( )d
证明：h( x) f ( x) g ( x) 证:
令 x- = x’
f ( x' )h( x x' )d ( x' ) f ( x' )h( x x' )dx'
1/3 0 4 6 h(x-t) 1/3 f(t) h(t)
0
f(t)
t
4 6
1/5 0
t
5 9 h(-t)
t
-9 -5 0
1/5
t
x-9
x-5 g(x)
x 0
4
6
t
2/15
x
0 9 11 13 15
四、计算方法--几何作图法
练习: 计算 rect(x) *rect(x)
1.用哑元t画出 二个 rect(t)
1
|x| >1; g(x) = 0
g(x)
x
1
-1< x <0; g(x) = 1[x+1/2-(-1/2)]=1+x
0 < x <1; g(x) = 1[1/2-( x-1/2)]= 1- x
-1
0
rect(x)*rect(x) = tri(x)
五、卷积的运算性质 1、线性性质 叠加性和均匀性
0 x2
2 x
故最后结果可表示成：
x 1 x 1 x g x rect rect 2 2 2 2
其函数图形如图1-3-6所示
图1-3-6
例2卷积运算结果
练习
1-9. 利用梳函数与矩形函数的卷积表示线光栅的透过 率。假定缝宽为a，光栅常数为d，缝数为N. 1-10. 利用包含脉冲函数的卷积表示下图所示双圆孔 屏的透过率。若在其中任一圆孔上嵌入p位相板， 透过率怎样变化？
证明：h( x) f ( x) g ( x) 证:
令 x- = x’
f ( x' )h( x x' )d ( x' ) f ( x' )h( x x' )dx'
1/3 0 4 6 h(x-t) 1/3 f(t) h(t)
0
f(t)
t
4 6
1/5 0
t
5 9 h(-t)
t
-9 -5 0
1/5
t
x-9
x-5 g(x)
x 0
4
6
t
2/15
x
0 9 11 13 15
四、计算方法--几何作图法
练习: 计算 rect(x) *rect(x)
1.用哑元t画出 二个 rect(t)
1
|x| >1; g(x) = 0
g(x)
x
1
-1< x <0; g(x) = 1[x+1/2-(-1/2)]=1+x
0 < x <1; g(x) = 1[1/2-( x-1/2)]= 1- x
-1
0
rect(x)*rect(x) = tri(x)
五、卷积的运算性质 1、线性性质 叠加性和均匀性
0 x2
2 x
故最后结果可表示成：
x 1 x 1 x g x rect rect 2 2 2 2
其函数图形如图1-3-6所示
图1-3-6
例2卷积运算结果
练习
1-9. 利用梳函数与矩形函数的卷积表示线光栅的透过 率。假定缝宽为a，光栅常数为d，缝数为N. 1-10. 利用包含脉冲函数的卷积表示下图所示双圆孔 屏的透过率。若在其中任一圆孔上嵌入p位相板， 透过率怎样变化？
卷积及其性质
§2.7 卷积及其性质
一，卷积积分
1， 定 义
设 f1 (t )和 f 2 (t )是 定 义 在 ( , )区 间 上 的 两 个 函 数 ，
则 积 分
S (t ) f1 ( ) f 2 (t ) d
称 为 f1 (t )和 f 2 (t )的 卷 积 ， 记 为 f1 (t ) f 2 (t )
对 d
i) 若 t 0, f1 (t ) 0， 即
S (t ) 0
f1 ( ) f 2 (t ) d
1
§2.7 卷积及其性质
ii) 若t 0, f2(t)＝0，那么对于f2(t),t 0, f2(t)0
S(t)
t
f1()
f2(t
0,
t3,3,
12t, 0,
t 3 3t 6 6t 9 9t 12
t 12
由 此 可 见 ， 函 数 式 积 分 应 特 别 注 意 积 分 结 果 存 在 的 区 间 ， 稍 不
留 意 就 会 出 错 。
5
§2.7 卷积及其性质
（2） 卷积积分的图解法
观察
S(t)
f1( ) f2 (t )d
解 ： s(t) f1 (t)* f1 (t) d fd 1 ( tt)* t f2 ()d
f1(t)
f2(t)
2
1
0 123
t
1
2
01
t
11
§2.7 卷积及其性质
f1'(t) 2
1
0 12 3
t
f2'(t)
1
2
01
t
s(t) 2
45
1 23
t
-2
12
一，卷积积分
1， 定 义
设 f1 (t )和 f 2 (t )是 定 义 在 ( , )区 间 上 的 两 个 函 数 ，
则 积 分
S (t ) f1 ( ) f 2 (t ) d
称 为 f1 (t )和 f 2 (t )的 卷 积 ， 记 为 f1 (t ) f 2 (t )
对 d
i) 若 t 0, f1 (t ) 0， 即
S (t ) 0
f1 ( ) f 2 (t ) d
1
§2.7 卷积及其性质
ii) 若t 0, f2(t)＝0，那么对于f2(t),t 0, f2(t)0
S(t)
t
f1()
f2(t
0,
t3,3,
12t, 0,
t 3 3t 6 6t 9 9t 12
t 12
由 此 可 见 ， 函 数 式 积 分 应 特 别 注 意 积 分 结 果 存 在 的 区 间 ， 稍 不
留 意 就 会 出 错 。
5
§2.7 卷积及其性质
（2） 卷积积分的图解法
观察
S(t)
f1( ) f2 (t )d
解 ： s(t) f1 (t)* f1 (t) d fd 1 ( tt)* t f2 ()d
f1(t)
f2(t)
2
1
0 123
t
1
2
01
t
11
§2.7 卷积及其性质
f1'(t) 2
1
0 12 3
t
f2'(t)
1
2
01
t
s(t) 2
45
1 23
t
-2
12
第三章3卷积和
f (4) f10 f24 f11 f23 f12 f22 f13 f21 f14 f20 5
f (5) f12 f2(3) 3
f1 i
f k 0 k 6
3
f k
2
66
1
5
1 0 1 2 3
i
3
3
f2k i
1
k 1 0 1 2 3 4 5 6
1
0k
i
**一个M点序列与一个N点序列卷积，其卷积的长 度为M+N-1。
f1 (k )
f2(k )
f1 (0 )
f1 (1 )
f1 (2 )
f1 (3 )
f2 (0) f2 (1)
f1 (0) f2 (0) f1 (1) f2 (0) f1 (2) f2 (0) f1 (3) f2 (0) f1 (0) f2 (1) f1 (1) f2 (1) f1 (2) f2 (1) f1 (3) f2 (1)
0
0 f1(k)* f2(k)=
0 0
图3.3-4
0，k<0 1，k=0 3，k=1 6，k=2 6，k=3 5，k=4 3，k=5 0，k>5
三、卷积和的性质
性质1 卷积和运算服从交换律、结合律和分配律， 即
f1(k) f2(k) f2 (k) f1(k)
f1(k) [ f2 (k) f3(k)] [ f1(k) f2 (k)] f3(k)
作图法求卷积和的步骤：
（1）将序列 f1k, f2k 的自变量用 i 代替，然后 将序列 f2i 以纵坐标为轴反转，成为 f2 i。 （2）将序列 f2 i 平移 k 个单位，成为 f2k i。
当 k 0 时，右移 k 个单位。 当 k 0 时，左移 k 个单位。 总之，原点处的序列值移到 i k 点。
《信号与系统教学课件》§2.6 卷积及其性质和计算
将卷积的微分性质和积分性质加以推广，可以得到
s
t
nm
f (n) 1
t
f (m) 2
t
f (m) 1
t
f (n) 2
t
X
二、卷积的性质
注意函数的积分和微分并不是一个严格的可逆关系， 因为函数加上任意常数后的微分与原函数的微分是相 同的。因此，对于等式
f1 t
f2 t
f1' t
k
d
k
f
3
t
d
令w k
f1
k
f2
w f3
t
k
w d w d k
令st f2t f3t
f1 k s t k d k
f1 t st
f1 t
f2 t
f3 t
f 1
t f2 t
f3 t
X
二、卷积的性质
一、代数性质 • 结合律
对于函数f1 t , f2 t , f3 t ,存在
h2 t
r(t)
h1 t
图2.6.2 卷积交换律的系统意义
X
二、卷积的性质
一、代数性质
• 结合律
对于函数f1 t , f2 t , f3 t ,存在
f1 t f2 t f3 t f1 t f2 t f3 t
根据卷积的定义
f1 t
f2
t
f3
t
f1
k
f2
X
三、卷积的计算
根据卷积的定义，卷积计算是由若干基本的信号运算组成的， 对于
s
t
f1
f2
t
d
第一步 反褶：将 f1 t 反褶运算，得到 f1
卷积积分及其性质 ppt课件
d dx
(t)是奇函数 [ (x t)] f (x) d x [ f (t)] f (t)
第2-15页
PPT课件
15
■
©西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 电子教案
2.4 卷积积分的性质
3. f(t)*ε(t)
t
f ( ) (t ) d f ( ) d
¥
ò yzs (t) =f (t) * h(t) =
et [6 e- 2(t- t )- 1]e(t - t ) d t
-?
当t <τ，即τ> t时，ε(t -τ) = 0
蝌t
yzs (t) =
et [6 e- 2(t- t )- 1]d t =
-?
t
(6 e- e2t 3t - et ) d t
?
(t)
t0
)
f
(
t
)
d
t
f (t0)
'(t) f (t) d t f '(0)
PPT课件
(t
t0 )
f
(t) d t
f
(t0 )
16
第2-16页
■
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2.4 卷积积分的性质
三、卷积的微积分性质
1.
dn dtn
第2-11页
PPT课件
11
■
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2.4 卷积积分的性质
下面讨论均设卷积积分是收敛的（或存在的）。
卷积的性质全面.ppt
t
t
[ f1 f 2 ]dt f1 * f 2 ( )d
3.推广
f1
f2Biblioteka df1 dttf
2
(
)d
演示课件
d 2 f1 dt 2
tt
f2 ( )d
.若: f1 f2 s(t)
则:
f1(m) (t )
f (n) 2
(t )
s (mn) (t )
三.奇异信号的卷积特性 ( (t)及其各阶导数卷积)
22
2 演示0 课件
12
ab t 2 0 t 1 4
f1 f2
3ab
4
= ab t ab
24
1t 2
ab 4
1
23
ab (3 t 2 2t) 2 t 3
4
3.计算下列函数的卷积结果,并化出波形.
p85.2 19( f )
f1
f2 sin tu(t)
...
23 5 t
t
演示课件
解: f1 [u(t 3n) u(t 3n 2)] n0
f (t) f (t) '' (t) tu(t) f '' (t) tu(t)
四.例题： 1.P85.2-19(a)
f1(t)
1
12
t 3
f2(t)
-2演示课件
t 2
解：
f1 f2 f1( )[ (t 2) (t 2)]d
f1(t 2) f1(t 2) f1*f2
f (t)
1
s (t ) 1
12
12
23 4
若f1(t) f2 (t) s(t)
则f1(t t1) f2 (t t2 ) s(t t1 t2 ) 0 t 2 t 4