卷积及其性质
卷积及其性质
f1()
f2(t
)d
iii) 若t 0, f1(t)0, f2(t)0,则
S(t) 0,
t
0
t
S(t) 0
f1() f2(t )d,
t
0
精选PPT
2
§2.7 卷积及其性质
2， 卷 积 及 分 的 求 取 方 法
（1） 函 数 计 算 法
例，已知
f1 (t )
1 [u (t 2
2 ) u (t 5)]
二，离散卷积和
1，定义
两个序列x1(n)，x2(n) 得卷积和定义为
x1(n)*x2(n) x1(m)x2(nm) m
如果两个序列都是因果的，即 x1(n) x1(n)u(n)，x2(n) x2(n)u(n) 则有
n
x1(n)*x2(n) x1(m)x2(nm) m0
精选PPT
13
§2.7 卷积及其性质
解 ： s(t) f1 (t)* f1 (t) d fd 1 ( tt)* t f2 ()d
f1(t)
f2(t)
2
1
0 123
t
1
2
01
t
精选PPT
11
§2.7 卷积及其性质
f1'(t) 2
1
0 12 3
t
f2'(t)
1
2
01
t
s(t) 2
45
1 23
t
-2
精选PPT
12
§2.7 卷积及其性质
f1( ) f2 (t )d
举例说明。
精选PPT
6
§2.7 卷积及其性质
（1）分配律：f1(t)[ f2(t) f3(t)] f1(t） f2(t) f1(t) f3(t) 物理意义：几个系统并联，可等效为一个冲激响应
课件：卷积及其性质和计算
f (1) 2
t
必须加上一个前提条件，就是
f1 t
t
df1
d
d
二、卷积的性质
三、δ(t)的卷积特性 • 任意信号f(t)与δ(t)的卷积等于该信号f(t) 。
推论
f
t
t
f
t
d
f
t
d
f t
1. f (t) (t t0) f (t t0) 2. f (t t1) (t t 2) f (t t1 t 2)
s' t f1 t f2' t
f1' t f2 t
由卷积定义，
st
f1
f2
t
d
两端对t微分，得到
s'
t
d dt
f1
f2
t
d
f1
d dt
f2 t d
二、卷积的性质
s'
t
d dt
f1
f2
t
d
f1
d dt
f2 t d
f1 t f2' t
利用卷积的交换律，可得
s'
t
d dt
f1
f2
t
d
d
dt
f1 t
f2
d
d dt
f1 t
f2 d
f1' t f2 t
二、卷积的性质
二、微积分性质
• 积分性质
两个函数卷积的积分，等于两个函数中任一函数的积 分与另一函数的卷积，即
s(1) t
f1 t
f (1) 2
t
f (1) 1
t
f2 t
r (t )
第二章 (4)卷积积分的性质
f 1 (t )
f 2 (t )
2
1
0
2
0 1
1
2 3
t
1
3
t
解法一: 解法一:图示法
f 1 (τ
t <1 ,
)
f (t ) = 0
2
0
1
2 3
τ
f 2 (t τ
t2
)
1
t 0
1
τ
解法一: 解法一:图示法
f 1 (τ
t <1 ,
)
t
f (t ) = 0
1< t < 2 ,
f (t ) = ∫ 2dτ = 2(t 1)
(2) e ε(t + 3) ε(t 5) 2t e ε (t + 3) ε (t 5) ∞ 2τ = ∫ e ε (τ + 3) ε (t τ 5)dτ ∞
2t
=∫t 53e2τ1 2(t 5) 6 e = e 2 6 1 2( t 2) = e 1 e 2
[
1 2τ dτ = e 2
' ∞ ∞
上式称为杜阿密尔积分. 上式称为杜阿密尔积分. 杜阿密尔积分 其物理含义为: 其物理含义为:LTI系统的零状态响应等于激励的 系统的零状态响应等于激励的
f ' (t )与系统的阶跃响应 g(t )的卷积积分. 的卷积积分. 导数
例2.4-4 求图示函数 f1(t ) 与 f2 (t ) 的卷积 f (t ) .
若f (t ) = f1(t ) f2(t ),则 f1(t t1 ) f2(t t2 ) = f1(t t2 ) f2 (t t1 ) = f (t t1 t2 )
推广4 推广
卷积公式概率论
卷积公式概率论
卷积在概率论中是一种常用的技术，常用来处理两个概率分布的乘积。
具体来说，如果有两个概率分布p和q，那么它们的卷积就是另一个概率分布(p*q)(x)，定义为：
(p*q)(x)=∫p(y)q(x-y)dy
这个公式中，x是一个连续变量，y是一个辅助变量。
这个公式表明，在计算(p*q)(x)时，要将p(y)和q(x-y)的值相乘，并将结果累加起来。
卷积在概率论中有很多应用，例如用来解决生成函数问题、计算多元随机变量的联合分布、以及求解高斯过程等。
卷积的性质
卷积具有若干性质，这些性质使得卷积在数学和工程中得到广泛应用。
其中一些常见的性质包括：
卷积的结果是连续的：如果两个函数p和q都是连续的，那么它们的卷积(p*q)(x)也是连续的。
卷积满足交换律：即(pq)(x)=(qp)(x)，这意味着对两个函数进行卷积的顺序并不
重要。
卷积满足结合律：即(pq)r=p(qr)，这意味着对多个函数进行卷积的顺序并不重要。
卷积的逆运算是卷积的逆：即(p*q)^(-1)=p^(-1)*q^(-1)，这意味着对两个函数进行卷积的逆运算就是将它们的逆运算做卷积。
这些性质使得卷积具有很好的算术性质，并且它可以被用于解决许多数学问题。
函数的卷积
函数的卷积什么是卷积卷积是一种数学运算，常用于信号处理、图像处理和深度学习等领域。
在函数的卷积中，我们将两个函数进行卷积运算，得到一个新的函数。
卷积的定义给定两个函数f(t)和g(t)，它们的卷积定义为： *g(t)=_{-}^{}f(t-u)g(u)du)卷积的性质卷积具有如下性质：1.交换律：f(t)*g(t) = g(t)*f(t)2.分配律：f(t)*[g1(t)+g2(t)] = f(t)*g1(t) + f(t)*g2(t)3.结合律：f(t)*[g1(t)*g2(t)] = [f(t)*g1(t)]*g2(t)卷积的计算方法在实际计算中，可以使用离散形式的卷积来对函数进行计算。
离散形式的卷积可以表示为： [n]=_{k=-}^{}f[k]g[n-k])一维离散卷积的例子例如，给定两个离散函数f = [1, 2, 1]和g = [2, 1, 2]，它们的卷积可以通过如下方式计算：f = [1, 2, 1]g = [2, 1, 2]f*g = [1*2 + 2*1 + 1*2, 1*2 + 2*1, 1*2] = [6, 4, 2]二维卷积除了一维函数的卷积，卷积还可以应用于二维函数（如图像）。
二维函数的卷积可以通过将两个函数的权重矩阵进行对应元素相乘，再求和得到。
举个例子，假设我们有一个3x3的图像矩阵A和一个2x2的卷积核矩阵B，它们的卷积计算如下：A = [[1, 2, 3],[4, 5, 6],[7, 8, 9]]B = [[2, 0],[1, 2]]我们可以将卷积核B在图像矩阵A上滑动，将对应的元素相乘，然后求和，得到新的矩阵C：C = [[1*2 + 2*0 + 3*1, 2*2 + 0*1 + 3*2],[4*2 + 5*0 + 6*1, 5*2 + 6*1 + 9*2]]C = [[7, 10],[16, 23]]我们可以看到，经过卷积运算后，原始图像矩阵被卷积核影响，生成了一个新的矩阵。
卷积运算的性质
卷积运算的性质
卷积运算是数学和工程领域中一个非常重要的概念，它是一种图像处理技术，也是一种概念上的运算，用于处理和分析信号（信号可以是图像、音频或文本信息等）的属性。
卷积运算是一种基于共卷积定理的数学方法，它的本质是基于一组所谓的卷积核，它是由一组数字组成的矩阵，通过应用这个卷积核来卷积数学表达式和输入信号。
卷积运算有很多有用的性质，可以用来处理图像数据，也可以用来处理文本和声音信号。
目标是通过它来提取信号的特征，从而使我们能够做出更好的决策。
其中最重要的性质有：
1.享性：卷积运算的最大优点就是共享性。
总的来说，卷积运算的某些元素（比如卷积核）可以被用来提取局部信息，这使得不用重复计算，大大减少了计算量。
2.视化：卷积运算得到的结果是可视化的，从而使得我们可以更好地理解和分析信号的特征。
3.效性：卷积运算在计算资源非常有限的环境中也可以取得优秀的表现，这使得它在实时系统中大量使用，比如计算机视觉、自动驾驶汽车等。
4.义卷积运算：在许多情况下，在原来的卷积运算中加入广义卷积可以提升性能，其中一些常见的广义卷积包括“带权重”、“特征融合”和“去噪”等。
卷积运算不仅在计算机视觉和机器学习等领域应用广泛，而且在更多的领域，如图像增强、语音识别和自动驾驶等也有着重要的应用。
卷积运算可以在各个维度上把信号进行特征提取，提取出信号有效的特征，从而使我们的系统更加高效、更加强大。
卷积运算的优点使它在计算机视觉、机器学习和智能设备等技术领域越来越受到重视，它的应用前景非常广阔。
信号与系统 卷积积分的性质
信号与系统
d x t dt
h d
t
2
1
1 0
2
c
1
t
0
4
t
d
dxt t h d 15 dt 8
t
9 8
2
dxt t h d dt
3
1 0
2
2
6
1 0
2 3
6
t
f
e
信号与系统
t t t
[ 1 d ]u (t 1) [ 1 d ]u (t 2)
1 2
t
t
(t 1)u (t 1) (t 2)u (t 2)
(t 1)[u (t 1) u (t 2)] 3u (t 2) 0 t 1 3
0 t a 1 e d 1 e at 0 a
f t
1
1 d ]u(t ) 1 e at u t a
t 0
f d
t 0
t
e at
1 a
0
a
t
0
b
t
信号与系统
作业 13-4-16
t
y( )d f (t ) h( )d h(t ) f ( )d
t
y(t)的一重积分
y ( 1) (t ) f (t ) h( 1) (t ) f ( 1) (t ) h(t )
推广：
y ( m) (t ) f (t ) h( m) (t ) f ( m) (t ) h(t )
任意函数卷积政正弦函数
任意函数卷积政正弦函数一、函数卷积定义函数卷积是指将两个函数在某个区间内进行重叠部分的求和运算。
具体定义为：对于函数f(x)和g(x)，定义f(x)与g(x)的卷积为[f(x) * g(x)] = (f(x)与g(x)的函数图像重叠部分的面积)/dx。
二、卷积运算性质1.线性性质：对于任意常数a和b，有[a f(x)+b g(x)]h(x) = a[f(x)h(x)]+b[g(x)* h(x)]。
2.结合律性质：对于任意函数f(x)，g(x)和h(x)，有[f(x)(g(x)h(x))] =[f(x)g(x)]h(x)。
3.交换律性质：对于任意函数f(x)和g(x)，有[f(x)g(x)] = [g(x)f(x)]。
4.分配律性质：对于任意函数f(x)，g(x)和h(x)，有[f(x)(g(x)+h(x))] =[f(x)g(x)]+[f(x) * h(x)]。
三、函数卷积应用函数卷积在信号处理、图像处理、统计学等领域有着广泛的应用。
例如，在信号处理中，卷积运算可以用来对信号进行滤波、去噪等操作；在图像处理中，卷积运算可以用来对图像进行模糊、锐化等操作；在统计学中，卷积运算可以用来对概率密度函数进行积分、求期望等操作。
四、正弦函数定义正弦函数是指三角函数中的正弦函数部分，一般用sin(x)表示。
正弦函数的定义域为全体实数，值域为[-1,1]。
五、正弦函数性质1.周期性：正弦函数是周期函数，其周期为2π。
2.奇偶性：正弦函数是奇函数，满足sin(-x)=-sin(x)。
3.有界性：正弦函数的值域为[-1,1]，在定义域内函数的取值范围有限。
4.振幅特性：正弦函数的振幅随着频率的变化而变化，频率越高振幅越小。
5.波形特性：正弦函数的波形是一条周期性的曲线，每个周期内的形状相同且对称。
六、正弦函数图像正弦函数的图像是一条周期性的曲线，每个周期的长度为2π。
图像呈“波峰”和“波谷”交替出现的形式，且在每个周期内，函数的取值范围从-1变化到1，再从1变化到-1。
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一，卷积积分
1， 定 义
设 f1 (t )和 f 2 (t )是 定 义 在 ( , )区 间 上 的 两 个 函 数 ，
则 积 分
S (t ) f1 ( ) f 2 (t ) d
称 为 f1 (t )和 f 2 (t )的 卷 积 ， 记 为 f1 (t ) f 2 (t )
对 d
i) 若 t 0, f1 (t ) 0， 即
S (t ) 0
f1 ( ) f 2 (t ) d
1
§2.7 卷积及其性质
ii) 若t 0, f2(t)＝0，那么对于f2(t),t 0, f2(t)0
S(t)
t
f1()
f2(t
0,
t3,3,
12t, 0,
t 3 3t 6 6t 9 9t 12
t 12
由 此 可 见 ， 函 数 式 积 分 应 特 别 注 意 积 分 结 果 存 在 的 区 间 ， 稍 不
留 意 就 会 出 错 。
5
§2.7 卷积及其性质
（2） 卷积积分的图解法
观察
S(t)
f1( ) f2 (t )d
解 ： s(t) f1 (t)* f1 (t) d fd 1 ( tt)* t f2 ()d
f1(t)
f2(t)
2
1
0 123
t
1
2
01
t
11
§2.7 卷积及其性质
f1'(t) 2
1
0 12 3
t
f2'(t)
1
2
01
t
s(t) 2
45
1 23
t
-2
12
§2.7 卷积及其性质
二，离散卷积和 1，定义
)d
iii) 若t 0, f1(t)0, f2(t)0,则
S(t) 0,
t
0
t
S(t) 0
f1() f2(t )d,
t
0
2
§2.7 卷积及其性质
2， 卷 积 及 分 的 求 取 方 法
（1） 函 数 计 算 法
例，已知
f1 (t )
1 [u (t 2
2 ) u (t 5)]
f2 (t) 2 u (t 1) u (t 7 )
求 S (t ) f1 (t ) f2 (t )
解：
S (t ) f1 (t ) f2 (t )
f 1 ( ) f 2 ( t ) d
1 [ u ( 2 ) u ( 5 )
2
2 u (t 1) u (t 7 ) d
3
§2.7 卷积及其性质
对于 同理
u(t 1)u( 2)d u(t 1)u( 5)d
u(t 7)u( 2)d u(t 7)u( 5)d
S1
u(t 1)u( 2)d，通过积分限判断得
t 1
S1 2 11d (t 3) u(t 3)
t 1
S2
u(t 1)u( 5)d
卷积和的性质与卷积积分完全对应。特别地，有
（1） 卷 积 和 的 差 分
x1 (n ) * x2 (n ) x1 (n ) * x2 (n ) [ x1 (n ) * x2 (n )] x1 (n ) * x2 (n ) x1 (n ) * x2 (n ) [ x1 (n ) * x2 (n )] （2） 卷 积 和 的 累 加
（2）结合律： [ f1(t) f2(t)] f3(t) f1(t)[ f2(t) f3(t)] 物理意义：若冲击响应为h1(t)，h2(t)的两个系统相串联， 此两系统的组合可等效唯一个冲击响应 h(t) h1(t)h2(t)的系统。
7
§2.7 卷积及其性质
(3) 交换律： f1(t) f2(t) f2(t) f1(t) 物理意义：串联的子系统可以任意交换位置。
实现卷积积分有四个步骤：
第一步，改变积分变量, f1(t) f1( )， f2 (t) f2 ( )
第二步, f2 ( )反转 f2 ( )
第三步，f2 ( )平移 f2 (t )
第四步，相承与积分
f1( ) f2 (t )d
举例说明。
6
§2.7 卷积及其性质
（1）分配律：f1(t)[ f2(t) f3(t)] f1(t） f2(t) f1(t) f3(t) 物理意义：几个系统并联，可等效为一个冲激响应 h(t) h1(t)h2(t)
两个序列x1(n)，x2(n) 得卷积和定义为
x1(n)*x2(n) x1(m)x2(nm) m
如果两个序列都是因果的，即 x1(n) x1(n)u(n)，x2(n) x2(n)u(n) 则有
n
x1(n)*x2(n) x1(m)x2(nm) m0
13
§2.7 卷积及其性质
2， 卷 积 和 的 性 质
（4）卷积的微分：
d dt
f1(t)
f2(t)
f1(t)
df2(t) dt
f2(t)
df1(t) dt
（5 ）卷积的积分
t
t
t
f1() f2()d f1(t) f2()d f2(t) f1()d
8
§2.7 卷积及其性质
推论
f1(t) f2(t) (i) f1(t)(j) f2(t)(ij)
t
f ( t ) u ( t ) f ( ) d
10
§2.7 卷积及其性质
例 ： 求 卷 积 s ( t) f1 ( t)* f2 ( t) ， 其 中 f1 ( t) 2 [ u ( t 1 ) u ( t 3 ) ]
f2 ( t) u ( t) 2 u ( t 1 ) u ( t 2 )
5
11d (t 6) u(t 6)
t7
S3
u(t 7)u( 2)d
2
11d (t 9) u(t 9)
t7
S4
u(t 7)u( 5)d
5
11d (t 12) u(t 12)
4
§2.7 卷积及其性质
于是
S(t) (t 3)u(t 3)(t 6)u(t 6)(t 9)u(t 9)(t 12)u(t 12)
i 和（i j）为00整 整数 数
表示微分 表示积分
9
§2.7 卷积及其性质
（ 6） 与 奇 异 函 数 的 卷 积 f (t) (t) f (t) f (t) (t t0 ) f (t t0 ) (t t1 ) (t t2 ) (t t1 t2 ) f (t ) '(t ) f '(t ) f (t) (k)(t) f (k)(t) f (t) (k)(t t0 ) f (k)(t t0 )