信号与系统教学课件-§2.6 卷积及其性质和计算

e(t)
h1 t
h2 t
r(t)
e(t)
等效于
h2 t
r (t )
h1 t
图2.6.2 卷积交换律的系统意义
X
二、卷积的性质
一、代数性质
• 结合律
对于函数f1t,f2t,f3t,存在
f 1 t f 2 t f 3 t f 1 t f 2 t f 3 t
推论
ft t ft d ftd
f t
1 . f( t) ( t t0 ) f( t t0 )
2 . f ( t t 1 ) ( t t 2 ) f ( t t 1 t 2 )
X
二、卷积的性质
三、δ(t)的卷积特性 • δ(t)的微分和积分特性
微分特性
f(t) (t) f'(t) (t)
t
X
二、卷积的性质
注意函数的积分和微分并不是一个严格的可逆关系， 因为函数加上任意常数后的微分与原函数的微分是相 同的。因此，对于等式
f 1 t f 2 t f 1 't f 2 ( 1 )t
必须加上一个前提条件，就是
f1t
t df1d
d
X
二、卷积的性质
三、δ(t)的卷积特性 • 任意信号f(t)与δ(t)的卷积等于该信号f(t) 。
第三步 相乘：将 f1 与 f2 t 相乘，得到 f1f2t 第四步 积分：对f1f2t进行积分运算，得到t时刻卷积。
X
三、卷积的计算
对于两个存在区间分别[x1, x2]为和 [y1, y2] 的函数进行卷 积运算，所得结果的存在区间为 [x1+y1, x2+ y2] 。
e(t)
h1 t
h2 t
r(t)
e(t )
h3 t
等效于
r (t )
h3 t h1 t h2 t
图2.6.3 卷积结合律的系统意义
X
二、卷积的性质
二、微积分性质
• 微分性质
两个函数卷积的微分，等于两个函数中任一函数的微 分与另一函数的卷积，即
s't f1tf2't
f1'tf2t
X
二、卷积的性质
二、微积分性质
• 积分性质
两个函数卷积的积分，等于两个函数中任一函数的积 分与另一函数的卷积，即
s(1)t f1 t f2(1)t
f (1) 1
tf2 t
将卷积的微分性质和积分性质加以推广，可以得到
s
t
nm
f (n) 1
t
f2(m)
t
f (m) 1
t
f2(n)
f 1 t f 2 t f 3 t f 1 t f 2 t f 3 t
X
二、Baidu Nhomakorabea积的性质
一、代数性质 • 结合律
对于函数f1t,f2t,f3t,存在
f 1 t f 2 t f 3 t f 1 t f 2 t f 3 t
f 1 t f 2 t f 3 t f 1 f 2 t f 3 t d
f 1 f 2 t d f 1 f 3 t d
f 1 t f 2 t f 1 t f 3 t
X
二、卷积的性质
一、代数性质 • 分配律
对于函数f1t,f2t,f3t,存在
根据卷积的定义
f 1 t f 2 t f 3 t f 1 k f 2 k d k f 3 t d
令 w k f1 k f2 w f3 t k w d w d k
令 stf2t f3t f1kstkdk
f1tst
信号与系统
§2.6 卷积及其性质和计算
北京航空航天大学电子信息学院 2020/4/19
一、卷积的定义
卷积运算的定义为，对于函数x(t)和y(t) ，则
st xytd
称为函数 x(t)和y(t)的卷积积分，简称卷积。
通常表示为
stxtyt
或
stxtyt
X
一、利用卷积计算系统零状态响应
对于激励信号e(t)，根据信号的时间轴分解，可得
一、代数性质
• 交换律
对于函数 f1t, f2t, 存在
f1 t f2 t f2 t f1 t
根据卷积的定义
f1t f2t f1f2t d
令 kt
f1
tkf2
kdk
f2kf1tkdk
f2tf1t
X
二、卷积的性质
一、代数性质 • 交换律
对于函数 f1t, f2t, 存在
f1 t f2 t f2 t f1 t
e(t) e()(t)d
将其激励一个线性时不变系统，则所得系统零状态响应为
r(t)Het
H e t 表示 激励系统的零状态响应
H etd eHtd
ehtd
卷积的物理意义！
X
一、利用卷积计算系统零状态响应
实际应用中，系统多为因果系统，且将激励作用于系统 的时间作为0时刻，即
etetut
hthtut
f'(t)
积分特性
f(t)1(t)f1(t)(t)
f1(t)
t
f ( )d
Q1(t)ut
t
f(t)u(t)
f()d
X
三、卷积的计算
根据卷积的定义，卷积计算是由若干基本的信号运算组成的， 对于
st f1f2td
第一步 反褶：将 f1 t 反褶运算，得到 f1
第二步 时移：对 f2 作时移运算，时移量为t，得到 f2 t
r(t) e u h t u t d
0 t 0
0 t
rt0tehtd
X
二、卷积的性质
一、代数性质 • 分配律
对于函数f1t,f2t,f3t,存在 f 1 t f 2 t f 3 t f 1 t f 2 t f 1 t f 3 t
根据卷积的定义
f 1 t f 2 t f 3 t f 1 t f 2 t f 1 t f 3 t
h1 t
e(t )
h2 t
r(t) 等效于
e(t )
r (t )
h3 t
h3 t h1 t h2 t
图2.6.1 卷积分配律的系统意义
X
二、卷积的性质
由卷积定义，
st f1f2td
两端对t微分，得到
s'
t
d dt
f1
f2
t
d
f1
d dt
f2 t d
X
二、卷积的性质
s'
t
d dt
f1
f2
t
d
f1
d dt
f2 t d
f1tf2't
利用卷积的交换律，可得
s' t
d dt
f1
f2
t
d
d
dt
f1 t
f2
d
d dt
f1 t
f2 d
f1'tf2t