信号与系统教学课件-§2.6 卷积及其性质和计算
信号与系统课件：第二章 LTI系统
2.1 离散时间LTI系统: 卷积和
（1)用移位单位抽样信号表示离散时间信号 （2)卷积和在离散时间信号LTI系统中的表征 （3)卷积和的计算 （4) 离散时间信号LTI系统的性质
（1）用单位抽样信号表示离散时间信号
x[n] ... x[1] n 1 x[0] n x[1] n 1... x[n][0] x[n 1][1]
（１）初始条件为n<0时，y(n)=0，求其单位抽样响应；
（２）初始条件为n≥0时，y(n)=0，求其单位抽样响应。
解：（１）设x(n) (n)，且 y(1) h(1) 0 ，必有
y(n) h(n) 0, n 0
依次迭代
y(0) h(0) (0) 1 y(1) 1 0 1
2
当系统的初始状态为零，单位抽样响应h(n)就 能完全代表系统，那么对于线性时不变系统，任意 输入下的系统输出就可以利用卷积和求得。
差分方程在给定输入和边界条件下，可用迭代 的方法求系统的响应，当输入为δ（n）时，输出 （响应）就是单位抽样响应h(n)。
例：常系数差分方程
y(n) x(n) 1 y(n 1) 2
x[n]u[n] x[k]u[n k] x[k]
k
k
（ii）交换律:
yn xnhn hn xn
例子： 线性时不变系统中的阶跃响应 sn
sn unhn hnun
阶跃输入
输 单位抽样信号 入 响应的累加
n
sn hk
k
(iii)分配律:
xnh1n h2 n xnh1n xnh2 n
y(1) h(1) (1) 1 y(0) 0 1 1
2
22
y(2) h(2) (2) 1 y(1) 0 1 1 (1)2
信号与系统卷积定理
j
e
j
4 Sa 2 2 Sa
解：（ 2）法
利用傅里叶变换线性性
质求
f (t ) g 2 (t ) g 4 (t )
Eg ( t ) E Sa 2 即 g 2 ( t ) 2 Sa ， g 4 ( t ) 4 Sa 2
(t (t
2
f (t )
) )
E
0
2
2
2
t
利用卷积定理求其的频谱。
解法一 ：利用频域卷积定理
f ( t ) G ( t ) cos(
t
)
解法二：利用频移性质
解法三：用时域微分性质
（本题不是分段线性信号）
解法一 ：
2
时域
1
t cos
2
F ( j )
f (t ) e
j t
j t
dt
j t
e
2
1
dt
j t
2e
1
1
dt
j t 1
e
1
2
j t
dt
j t 2 1
e j
1
1
1 2
e j
e
2
1
1 j
e
e j
j 2
e
j 2
第八节 卷积定理
一、卷积定理
给定两个时间函数
f1 ( t ) 和 f 2 ( t )
f 1( t ) 揪 畐 F1( ) , f 2( t ) 揪 畐 F2( )
信号与系统-卷积与卷积定理
第二章连续时间系统的时域分析§2.5冲激响应与阶跃响应§2.5冲激响应与阶跃响应天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering, Tianjin Medical University §2.5冲激响应与阶跃响应天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering, Tianjin Medical University§2.5冲激响应与阶跃响应天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering, Tianjin Medical University§2.5冲激响应与阶跃响应天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering, Tianjin Medical University §2.5冲激响应与阶跃响应天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering, Tianjin Medical University§2.5冲激响应与阶跃响应天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering, Tianjin Medical University§2.5冲激响应与阶跃响应天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering, Tianjin Medical University §2.5冲激响应与阶跃响应天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering, Tianjin Medical University§2.5冲激响应与阶跃响应天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering, Tianjin Medical University§2.5冲激响应与阶跃响应天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering, Tianjin Medical University §2.5冲激响应与阶跃响应天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering, Tianjin Medical University§2.5冲激响应与阶跃响应天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering, Tianjin Medical University§2.5冲激响应与阶跃响应天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering, Tianjin Medical University §2.5冲激响应与阶跃响应天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering, Tianjin Medical University§2.5冲激响应与阶跃响应天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering, Tianjin Medical University§2.5冲激响应与阶跃响应2天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering, Tianjin Medical University §2.5冲激响应与阶跃响应天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering, Tianjin Medical University §2.5冲激响应与阶跃响应。
信号与系统中卷积的作用
信号与系统中卷积的作用大家好，今天咱们聊聊“卷积”，这个在信号与系统中很重要的概念。
别被它复杂的名字吓到了，卷积其实可以用简单的例子来解释清楚。
1. 卷积是什么1.1 卷积的简单定义首先，卷积就是一种数学运算，能够帮助我们理解一个信号在经过系统后会变成什么样。
想象一下，你有一个信号（比如一段音乐），还有一个系统（比如一个音响），卷积就是用来描述这个音响如何把音乐的每个细节都加进去的过程。
1.2 举个例子你可以把卷积想象成做菜时的调料加法。
比如，你做了一道红烧肉，肉本身的味道还不够丰富，你需要加盐、糖、生抽等调料。
每一种调料的量和种类都会影响最终的味道。
这就像卷积一样，把各种不同的“调料”混合到原始信号里，得到最终的效果。
2. 卷积在信号处理中的作用2.1 信号的滤波卷积的一个主要作用就是滤波。
说白了，就是清理信号的“杂质”。
比如你听到一首音乐，但背景有很多噪音，这时你需要一个滤波器来去掉这些噪音，让音乐变得更加清晰。
卷积在这里就像是一个聪明的清洁工，把噪音“擦干净”，留下干净的音乐。
2.2 特征提取另一个重要的作用是提取信号的特征。
想象你在看一张图片，卷积操作就像是用不同的滤镜来突出图片中的某些细节。
比如你可以用卷积滤镜来找到图片中的边缘，或者突出某些颜色的区域。
这对图像处理和计算机视觉特别重要，可以帮助我们更好地分析和理解图像。
3. 卷积的实际应用3.1 音频处理在音频处理领域，卷积有着不可替代的作用。
例如，在录音的时候，我们会用卷积来模拟不同的环境效果。
比如，你在一个大教堂里录音，卷积可以帮助你模拟教堂的回声效果，让录音听起来更有现场感。
这种效果在音乐制作和电影配乐中都很常见。
3.2 图像处理在图像处理中，卷积用于锐化、模糊等各种效果。
比如，你用照片编辑软件想让一张模糊的图片变得清晰，那就是用到了卷积技术。
你可以用它来调整图片的清晰度、对比度，甚至可以做一些酷炫的特效，让你的图片看起来更棒。
卷积和相关 ppt课件
平移量等于两者的平移量之和。
ppt课件
12
8、函数 f (x, y) 与 d 函数的卷积
根据 1. d-函数是偶函数, 2. d-函数的筛选性质,
有:
f (x) d (x) f ( )d (x )d f (x)
ppt课件
16
六.卷积运算举例(难点)
例1：设有二函数，分别为:
f
x
xstep x, h x
rect
x 1 2
求: g x f xhx
图1-3-3 例1中的二函数图形
ppt课件
17
图1-3-4 例1 一维卷积过程
ppt课件
18
分段计算结果：
(1)x≤0，
gx f xhx 0
(图a,b)
rect(t) 1
rect(t) 1
1.用哑元t画出 二个 rect(t)
t
-1/2 0 1/2
-1/2 0 1/2
2.将rect(t)折叠后不变;
1 rect(t)
3.将一个rect(-t)移位至给定的
x0, rect[-(t -x0)]= rect(x0 - t);
4.二者相乘;乘积曲线下
-1/2 0 1/2
f
x,
y
h
x,
y
f
,
h
x
,
y
d
d
h , f x , y d ppt课件 d h x, y f x, y 10
5、卷积符合结合律
f (x, y)h1(x, y)h2(x, y) f (x, y)h1(x, y)h2(x, y)
信号与系统 §2.07 卷积的性质
微分积分性质对于计算卷积很方便。 微分积分性质对于计算卷积很方便。
三.与冲激函数或阶跃函数的卷积
f (t ) ∗δ (t ) = ∫ f (τ )δ (t −τ ) dτ = ∫ f (t −τ ) δ (τ ) dτ = f (t )
∞ ∞
推广： 推广： f (t ) ∗δ (t − t 0) = f (t − t 0)
f (t ) ∗δ ′(t ) = f '(t )
f (t ) ∗ u(t ) =
−∞
−∞
f (t − t1) ∗δ (t − t 2) = f (t − t1 − t 2)
−∞
∫ f (λ)dλ
t
f (t ) ∗δ (k ) (t ) = f (k ) (t )
f (t ) ∗δ (k ) (t − t 0) = f (k ) (t − t 0)
f(t)的积分 的积分
微分性质积分性质联合实用
g(n−m) (t ) = f (n) (t ) ∗ h(−m) (t ) = f (−m) (t ) ∗ h(n) (t )
微分n次 微分 次， 积分m次 积分 次 m=n, 微分次数＝ 微分次数＝ 积分次数
g(t ) = f (n) (t ) ∗ h(−n) (t )
+
∑
h2 (t) +
y(t )
h1 (t )
h2 (t )
1
1 t
解：
(a)
O 1
h(t )
O 1 2 t
(b)
1
h(t ) = h1(t ) ∗[h1(t ) + h2 (t )]
如图（ ） 如图（c）所示
O 1 2 3t
X
信号与系统 卷积积分的性质
信号与系统
d x t dt
h d
t
2
1
1 0
2
c
1
t
0
4
t
d
dxt t h d 15 dt 8
t
9 8
2
dxt t h d dt
3
1 0
2
2
6
1 0
2 3
6
t
f
e
信号与系统
t t t
[ 1 d ]u (t 1) [ 1 d ]u (t 2)
1 2
t
t
(t 1)u (t 1) (t 2)u (t 2)
(t 1)[u (t 1) u (t 2)] 3u (t 2) 0 t 1 3
0 t a 1 e d 1 e at 0 a
f t
1
1 d ]u(t ) 1 e at u t a
t 0
f d
t 0
t
e at
1 a
0
a
t
0
b
t
信号与系统
作业 13-4-16
t
y( )d f (t ) h( )d h(t ) f ( )d
t
y(t)的一重积分
y ( 1) (t ) f (t ) h( 1) (t ) f ( 1) (t ) h(t )
推广：
y ( m) (t ) f (t ) h( m) (t ) f ( m) (t ) h(t )
《信号与系统教学课件》§2.6 卷积及其性质和计算
将卷积的微分性质和积分性质加以推广，可以得到
s
t
nm
f (n) 1
t
f (m) 2
t
f (m) 1
t
f (n) 2
t
X
二、卷积的性质
注意函数的积分和微分并不是一个严格的可逆关系， 因为函数加上任意常数后的微分与原函数的微分是相 同的。因此，对于等式
f1 t
f2 t
f1' t
k
d
k
f
3
t
d
令w k
f1
k
f2
w f3
t
k
w d w d k
令st f2t f3t
f1 k s t k d k
f1 t st
f1 t
f2 t
f3 t
f 1
t f2 t
f3 t
X
二、卷积的性质
一、代数性质 • 结合律
对于函数f1 t , f2 t , f3 t ,存在
h2 t
r(t)
h1 t
图2.6.2 卷积交换律的系统意义
X
二、卷积的性质
一、代数性质
• 结合律
对于函数f1 t , f2 t , f3 t ,存在
f1 t f2 t f3 t f1 t f2 t f3 t
根据卷积的定义
f1 t
f2
t
f3
t
f1
k
f2
X
三、卷积的计算
根据卷积的定义，卷积计算是由若干基本的信号运算组成的， 对于
s
t
f1
f2
t
d
第一步 反褶：将 f1 t 反褶运算，得到 f1
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r(t) e u h t u t d
0 t 0
0 t
rt0tehtd
X
二、卷积的性质
一、代数性质 • 分配律
对于函数f1t,f2t,f3t,存在 f 1 t f 2 t f 3 t f 1 t f 2 t f 1 t f 3 t
根据卷积的定义
推论
ft t ft d ftd
f t
1 . f( t) ( t t0 ) f( t t0 )
2 . f ( t t 1 ) ( t t 2 ) f ( t t 1 t 2 )
X
二、卷积的性质
三、δ(t)的卷积特性 • δ(t)的微分和积分特性
微分特性
f(t) (t) f'(t) (t)
f 1 t f 2 t f 3 t f 1 f 2 t f 3 t d
f 1 f 2 t d f 1 f 3 t d
f 1 t f 2 t f 1 t f 3 t
X
二、卷积的性质
一、代数性质 • 分配律
对于函数f1t,f2t,f3t,存在
信号与系统
§2.6 卷积及其性质和计算
北京航空航天大学电子信息学院 2020/4/19
一、卷积的定义
卷积运算的定义为，对于函数x(t)和y(t) ，则
st xytd
称为函数 x(t)和y(t)的卷积积分，简称卷积。
通常表示为
stxtyt
或
stxtyt
X
一、利用卷积计算系统零状态响应
对于激励信号e(t)，根据信号的时间轴分解，可得
f 1 t f 2 t f 3 t f 1 t f 2 t f 1 t f 3 t
h1 t
e(t )
h2 t
r(t) 等效于
e(t )
r (t )
h3 t
h3 t h1 t h2 t
图2.6.1 卷积分配律的系统意义
X
二、卷积的性质
t
X
二、卷积的性质
注意函数的积分和微分并不是一个严格的可逆关系， 因为函数加上任意常数后的微分与原函数的微分是相 同的。因此，对于等式
f 1 t f 2 t f 1 't f 2 ( 1 )t
必须加上一个前提条件，就是
f1t
t df1d
d
X
二、卷积的性质
三、δ(t)的卷积特性 • 任意信号f(t)与δ(t)的卷积等于该信号f(t) 。
由卷积定义，
st f1f2td
两端对t微分，得到
s'
t
d dt
f1
f2
t
d
f1
d dt
f2 t d
X
二、卷积的性质
s'
t
d dt
f1
f2td源自f1d dtf2 t d
f1tf2't
利用卷积的交换律，可得
s' t
d dt
f1
f2
t
d
d
dt
f1 t
f2
d
d dt
f1 t
f2 d
f1'tf2t
e(t)
h1 t
h2 t
r(t)
e(t)
等效于
h2 t
r (t )
h1 t
图2.6.2 卷积交换律的系统意义
X
二、卷积的性质
一、代数性质
• 结合律
对于函数f1t,f2t,f3t,存在
f 1 t f 2 t f 3 t f 1 t f 2 t f 3 t
f'(t)
积分特性
f(t)1(t)f1(t)(t)
f1(t)
t
f ( )d
Q1(t)ut
t
f(t)u(t)
f()d
X
三、卷积的计算
根据卷积的定义，卷积计算是由若干基本的信号运算组成的， 对于
st f1f2td
第一步 反褶：将 f1 t 反褶运算，得到 f1
第二步 时移：对 f2 作时移运算，时移量为t，得到 f2 t
根据卷积的定义
f 1 t f 2 t f 3 t f 1 k f 2 k d k f 3 t d
令 w k f1 k f2 w f3 t k w d w d k
令 stf2t f3t f1kstkdk
f1tst
f 1 t f 2 t f 3 t f 1 t f 2 t f 3 t
X
二、卷积的性质
一、代数性质 • 结合律
对于函数f1t,f2t,f3t,存在
f 1 t f 2 t f 3 t f 1 t f 2 t f 3 t
一、代数性质
• 交换律
对于函数 f1t, f2t, 存在
f1 t f2 t f2 t f1 t
根据卷积的定义
f1t f2t f1f2t d
令 kt
f1
tkf2
kdk
f2kf1tkdk
f2tf1t
X
二、卷积的性质
一、代数性质 • 交换律
对于函数 f1t, f2t, 存在
f1 t f2 t f2 t f1 t
e(t)
h1 t
h2 t
r(t)
e(t )
h3 t
等效于
r (t )
h3 t h1 t h2 t
图2.6.3 卷积结合律的系统意义
X
二、卷积的性质
二、微积分性质
• 微分性质
两个函数卷积的微分，等于两个函数中任一函数的微 分与另一函数的卷积，即
s't f1tf2't
f1'tf2t
e(t) e()(t)d
将其激励一个线性时不变系统，则所得系统零状态响应为
r(t)Het
H e t 表示 激励系统的零状态响应
H etd eHtd
ehtd
卷积的物理意义！
X
一、利用卷积计算系统零状态响应
实际应用中，系统多为因果系统，且将激励作用于系统 的时间作为0时刻，即
etetut
hthtut
X
二、卷积的性质
二、微积分性质
• 积分性质
两个函数卷积的积分，等于两个函数中任一函数的积 分与另一函数的卷积，即
s(1)t f1 t f2(1)t
f (1) 1
tf2 t
将卷积的微分性质和积分性质加以推广，可以得到
s
t
nm
f (n) 1
t
f2(m)
t
f (m) 1
t
f2(n)
第三步 相乘：将 f1 与 f2 t 相乘，得到 f1f2t 第四步 积分：对f1f2t进行积分运算，得到t时刻卷积。
X
三、卷积的计算
对于两个存在区间分别[x1, x2]为和 [y1, y2] 的函数进行卷 积运算，所得结果的存在区间为 [x1+y1, x2+ y2] 。