第09章阶跃响应冲激响应卷积积分
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阶跃响应冲击响应与卷积积分法
补充第一章 阶跃响应冲击响应与卷积积分法电路中除电阻元件外，还包括有电容和电感等动态元件，如此的电路称为动态电路。
在动态电路分析中，鼓励和响应都表示为时刻t 的函数，采纳微分方程求解电路和分析电路的方式，称为时域分析法。
本章要紧讨论一阶电路的阶跃响应、冲激响应、任意输入的零状态响应，和二阶电路在恒定输入下的零状态响应。
§1-1 阶跃响应和冲激响应电路的输入除恒定不变的常量（即恒定输入或直流输入）和按正弦规律变更的交流量（即正弦输入）之外，常见的还有另外两种奇异函数，即阶跃函数和冲激函数。
本节就来讨论这两种函数的概念、性质及作用于线性动态电路时所引发的响应。
单位阶跃函数（unit step function ）用()t ε来表示，它概念为 0(0)()1(0)t t t ε<⎧=⎨>⎩ 波形如图1-1（a ）所示，在0t =处，()t ε由0跃变至1。
若是单位阶跃函数的跃变点不是在0t =处，而是在0t t =处，波形如图1-1（b ）所示，那么称它为延迟的单位阶跃函数，用0()t t ε-表示，即0000()()1()t t t t t t ε<⎧-=⎨>⎩图1-1单位阶跃函数与任一常量K 的乘积()K t ε仍是一个阶跃函数，现在阶跃的幅度为K 。
单位阶跃函数与任一函数()f t 的乘积将只保留该函数在阶跃点以后的值，而使阶跃点以前的值变成零，即有0000(0)()()()(0)0()()()()()t f t t f t t t t f t t t f t t t εε<⎧=⎨>⎩<⎧-=⎨>⎩因此，单位阶跃函数能够用来“起始”一个任意函数()f t ，这给函数的表示带来了方便。
例如关于线性函数()(f t Kt K =为常数），由图1-2(a)、(b)、(c)能够清楚地看出()f t 、()()f t t ε及0()()f t t t ε-的不同。
冲激响应和阶跃响应
贯穿于本课程的始终。
X
一．冲激响应
第 3
页
1．定义
系统在单位冲激信号 (t)作用下产生的零状态响应，称为单位
冲激响应，简称冲激响应，一般用h(t)表示。
(t)
h(t)
H
说明: 在时域，对于不同系统，零状态情况下加同样的激励 (t)
看响应 h(t) ，h(t)不同，说明其系统特性不同，
冲激响应可以衡量系统的特性。
X
第 12
页
由两端平衡解得 a 1，b 1，
c 1，d 9
h(0 ) h(0 ) b h(0 ) 1
dh(0 ) dh(0 ) c dh(0 ) 1
dt
dt
dt
e e 将初始条件代入h(t) A1 2t A2 5t u(t)
d 2i(t) dt 2
7
di(t) dt
10 i(t )
d 2e(t) dt 2
6
de(t) dt
4e(t)
X
第
10
求系统的冲激响应h(t)
页
其满足上方程：
d
2h(t dt 2
)
7
dh(t dt
)
10h(t
)
"
(t
)
6
'
(t
)
4
(t
)
h(0 )
30
30
e e u(t) 2 2t 1 u(t) 1 5t 1 u(t)
3
15
e e 2 2t 1 5t 2 u(t)
X
一．冲激响应
第 3
页
1．定义
系统在单位冲激信号 (t)作用下产生的零状态响应，称为单位
冲激响应，简称冲激响应，一般用h(t)表示。
(t)
h(t)
H
说明: 在时域，对于不同系统，零状态情况下加同样的激励 (t)
看响应 h(t) ，h(t)不同，说明其系统特性不同，
冲激响应可以衡量系统的特性。
X
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页
由两端平衡解得 a 1，b 1，
c 1，d 9
h(0 ) h(0 ) b h(0 ) 1
dh(0 ) dh(0 ) c dh(0 ) 1
dt
dt
dt
e e 将初始条件代入h(t) A1 2t A2 5t u(t)
d 2i(t) dt 2
7
di(t) dt
10 i(t )
d 2e(t) dt 2
6
de(t) dt
4e(t)
X
第
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求系统的冲激响应h(t)
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其满足上方程：
d
2h(t dt 2
)
7
dh(t dt
)
10h(t
)
"
(t
)
6
'
(t
)
4
(t
)
h(0 )
30
30
e e u(t) 2 2t 1 u(t) 1 5t 1 u(t)
3
15
e e 2 2t 1 5t 2 u(t)
一阶电路的冲激响应和卷积积分
t RC
( t )] e
t
t RC
t 1 RC (t ) e (t ) RC
1 RC (t ) e (t ) RC uC R 阶跃响应
0 冲激响应
iC
1
t 0 t
1 C
0
uC
iC
(1)
t
t
1 RC
二. 分二个时间段来考虑冲激响应
is R
iC C
+ uC -
uC(0-)=0
1. t 在 00 0
0+间
duc uc C (t ) dt R
uc 不可能是冲激函数
duc 0 uc 0 dt 0 dt 0 ( t )dt C dt R
C[uc (0 ) uc (0 )] 1
0 0
=0
电容中的冲激电流使电容电压发生跳变
diL Ri L L (t ) dt
0 0
0 di L Ri dt L iL (0 ) 0 0 L 0 dt dt 0 (t )dt 0 1 0 LdiL 1 iL (0 ) L 定性分析： uL ( t )
uLdt 1
当 k
激励 e( t ) lim
k
k
k 0
e( k ) p(t k )
脉冲
(t )
冲 激
响应 r (t ) lim e(k )hp (t k )
积分
k 0
脉冲响应
h(t )
冲激响应
当 k , d , k
(t )
h(t) 零状态
一. 由单位阶跃响应求单位冲激响应 单位阶跃 (t) 单位冲激 (t) 单位阶跃响应 s( t ) 单位冲激响应 h(t)
§2.2++冲激响应和阶跃响应及卷积(1)
第 4页
冲激响应求解举例1 冲激响应求解举例
d2 y(t)
求系统 dt 2 解：将f(t)→δ(t)， → ，
+4
d y(t) d f (t) + 3y(t) = + 2 f (t) dt dt
的冲激响应。 的冲激响应。
y(t)→h(t) →
d2 h(t ) d h(t ) dδ (t ) +4 + 3h(t ) = + 2δ (t ) 2 dt dt dt
∫0
−
第 13 页
§2.6 卷积积分
• 信号的时域分解与卷积积分 信号的时域分解与 • 卷积的图解法
第 14 页
一、信号的时域分解与卷积积分
1．信号的时域分解 信号的时域分解
• 预备知识
f1(t)
问 f1(t) = ? p(t) 直观看出
p(t)
1 ∆
A
t
−
f1 (t) = A ∆ p(t)
−
∆ 2
δ (tห้องสมุดไป่ตู้)
h(t )
T {0}
第 2页
2．系统冲激响应的求解
•冲激响应的数学模型
对于LTI系统,可以用一n阶微分方程 阶微分方程表示 对于LTI系统,可以用一 阶微分方程表示 LTI系统
dn y(t) dt n bm + an−1 dn−1 y(t) d t n−1 +L+ a1 d y(t) + a0 y(t) = dt d f (t) + b0 f (t) dt
h′ (t) = C1e−t + C2e−3t δ (t) + − C1e−t − 3C2e−3t ε (t)
−t −3t 1 2 1 2
冲激响应求解举例1 冲激响应求解举例
d2 y(t)
求系统 dt 2 解：将f(t)→δ(t)， → ，
+4
d y(t) d f (t) + 3y(t) = + 2 f (t) dt dt
的冲激响应。 的冲激响应。
y(t)→h(t) →
d2 h(t ) d h(t ) dδ (t ) +4 + 3h(t ) = + 2δ (t ) 2 dt dt dt
∫0
−
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§2.6 卷积积分
• 信号的时域分解与卷积积分 信号的时域分解与 • 卷积的图解法
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一、信号的时域分解与卷积积分
1．信号的时域分解 信号的时域分解
• 预备知识
f1(t)
问 f1(t) = ? p(t) 直观看出
p(t)
1 ∆
A
t
−
f1 (t) = A ∆ p(t)
−
∆ 2
δ (tห้องสมุดไป่ตู้)
h(t )
T {0}
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2．系统冲激响应的求解
•冲激响应的数学模型
对于LTI系统,可以用一n阶微分方程 阶微分方程表示 对于LTI系统,可以用一 阶微分方程表示 LTI系统
dn y(t) dt n bm + an−1 dn−1 y(t) d t n−1 +L+ a1 d y(t) + a0 y(t) = dt d f (t) + b0 f (t) dt
h′ (t) = C1e−t + C2e−3t δ (t) + − C1e−t − 3C2e−3t ε (t)
−t −3t 1 2 1 2
2-3 冲激响应和阶跃响应09
求解
特征方程 RC 1 0
vC (t ) Ae
t RC
1 特征根 RC
(t )
t 0时的解
下面的问题是确定系数A：
直接解法：奇异函数项相平衡原理
已知方程
d vC ( t ) RC vC ( t ) ( t ) dt
冲激响应 求导
代入原方程
vC (t ) Ae (t ) 1 t d vC (t ) A RC A (t ) e (t ) dt RC 注意！
将e(t)→(t)，
r ( t) → h ( t)
d 2 h( t ) d h( t ) d (t ) 4 3h( t ) 2 ( t ) 2 dt dt dt
求特征根
2 4 3 0 1 1, 2 3
ht 中不包含冲激项
t 3 t
( n1) ( n2 ) 1 h (0 ) , h (0 ) h(0 ) h(0 ) h (0 ) 0 an
此方法比奇异函数系数平衡法简单。对于高阶系统更 有优越性。
定初始条件
an 0
0
方程两端在
0
0
积分
0 n 1 0 0 n ˆ ˆ ˆ t d t a0 0 h(t ) d t 0 (t ) d t h t d t an1 0 h
2)将通解利用推到结论h
(n-1)
(0+ )=1/a n ,
, (n-2)
h(0+ )= h (0+ )= h
(0 + )=0带入求待定系数;
n 1, a n 1, h
冲激响应和阶跃响应
1
R2C
电容器的电流在 t =0 时有一冲激，这就是电容电压突变的原因
3．n 阶系统的冲激响应
(1)冲激响应的数学模型 对于线性时不变系统,可以用一高阶微分方程表示
C0
dn r(t) dtn
C1
dn1 r(t) d t n1
Cn1
d r(t ) dt
Cnr(t)
E0
dm d
e(t ) tm
E1
dm1 e(t) d t m1
R
iC (t)
(t)
C
vC (t)
解答
列系统微分方程：
RC
d
vC (t dt
)
vC
(t
)
(t
)
t 0, t 0
RC
d
vC (t) dt
vC
(t)
0
冲激 t在 t 时0 转为系统的储能（由
体vC现(0）， )
t >0 时，在非零初始条件下齐次方程的解，即为原系统
的冲激响应。
求解 特征方程
RC 1 0
2．阶跃响应与冲激响应的关系 线性时不变系统满足微、积分特性
t
t
u(t) (t)d t g(t) h(t) d t
阶跃响应是冲激响应的积分，注意积分限：
t , 对因果系统：t
－
0
三．齐次解法求冲激响应（补充） 令方程左端系数为 1，右端只有一项 (t)时，冲激响应为
dn d
hˆ(t tn
将h(t), h(t), h(t)代入原方程
A1 A2 (t) 3A1 A2 (t) 0u(t) (t) 2 (t)
根据系数平衡，得
h(t) 1 et e3t u(t) 2
4卷积积分的性质2冲激响应和阶跃响应.pdf
信号与系统 电子教案
第二章 连续系统的时域分析
2.1 LTI连续系统的响应
一、微分方程的经典解 二、关于0-和0+初始值 三、零输入响应和零状态响应
2.2 冲激响应和阶跃响应
一、冲激响应 二、阶跃响应
2.3 卷积积分
一、信号时域分解与卷积 二、卷积的图解
2.4 卷积积分的性质
一、卷积代数 二、奇异函数的卷积特性 三、卷积的微积分性质 四、卷积的时移特性
yt
dt
3yt
d
f t
dt
f
t
如果已知：1 f t t2; 2 f t et , 分别求两种情况下此方
程的特解。
解: (1)由于f(t)=t2，故特解函数式为
yp t P2t 2 P1t P0
这里P2， P1， P0，是常数。将此式代入方程得到
et[Ar1 cos( t r1) Ar2 cos( t r2) ... A0 cos( t 0)]
第2-3页
■
©西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 电子教案
2.1 LTI连续系统的响应
例1 齐次解举例
求
d3 dt3
y
t
7
d2 dt2
y t 16 d
信号与系统 电子教案
2.1 LTI连续系统的响应
二、关于0-和0+值 (系数匹配法求0+初始值)
例：描述某系统的微分方程为
y”(t) + 3y’(t) + 2y(t) = 2f’(t) + 6f(t) 已知y(0-)=2，y’(0-)= 0，f(t)=ε(t)，求y(0+)和y’(0+)。
第二章 连续系统的时域分析
2.1 LTI连续系统的响应
一、微分方程的经典解 二、关于0-和0+初始值 三、零输入响应和零状态响应
2.2 冲激响应和阶跃响应
一、冲激响应 二、阶跃响应
2.3 卷积积分
一、信号时域分解与卷积 二、卷积的图解
2.4 卷积积分的性质
一、卷积代数 二、奇异函数的卷积特性 三、卷积的微积分性质 四、卷积的时移特性
yt
dt
3yt
d
f t
dt
f
t
如果已知：1 f t t2; 2 f t et , 分别求两种情况下此方
程的特解。
解: (1)由于f(t)=t2，故特解函数式为
yp t P2t 2 P1t P0
这里P2， P1， P0，是常数。将此式代入方程得到
et[Ar1 cos( t r1) Ar2 cos( t r2) ... A0 cos( t 0)]
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■
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信号与系统 电子教案
2.1 LTI连续系统的响应
例1 齐次解举例
求
d3 dt3
y
t
7
d2 dt2
y t 16 d
信号与系统 电子教案
2.1 LTI连续系统的响应
二、关于0-和0+值 (系数匹配法求0+初始值)
例：描述某系统的微分方程为
y”(t) + 3y’(t) + 2y(t) = 2f’(t) + 6f(t) 已知y(0-)=2，y’(0-)= 0，f(t)=ε(t)，求y(0+)和y’(0+)。
课件：第09章阶跃响应冲激响应卷积积分
R + iL uL L -
iL (0
)
1 L
L
R
iL
1
e
t
L
uL
iLR
R L
t
e
冲激响应为
iL
1 e
L
t
(t)
uL
(t)
R L
e
t
(t)
1 iL L
0
uL δ(t )
t
0
R
t
L
例3 已知：uC (0 ) 0
求： uS 为单位冲激时电路响应 iC(t)和uC(t)。
解（1） t 在 0- ~ 0+间
)]
iC
CU(t)
iCdt q CU
0
t
特例
US
S
i
+
t = 0时合S
uC
–
C
则
i= CUS(t)
uC (0 ) 0
uC (0 ) uC (0 )
uC
(0
)
uC
(0
)
1 C
0
i( )d
0
= US
3. 延迟单位冲激函数 (t-t0)
(t t0 ) 0 (t t0 )
(t-t0)
iC1 e2t (t ) mA
10k
+ 10ε(t 0.5)
-
iC
10k
100F
uC(0-)=0 由线性、齐次和时不变性质，得 iC 2 e2(t 0.5) (t 0.5) mA
iC e2t (t ) e 2(t0.5) (t 0.5) mA
也可用时间分段形式表示
iC e2t (t ) e2(t 0.5) (t 0.5) mA iC e2t [ (t ) (t 0.5)] [e2t e2(t0.5) ] (t 0.5)
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duC iC C dt
uC
当
，q不变
当 0， q不变。
U
0
CU
uC U(t)
iC
t U 0
uC t
0
CU
t
iC
[ ( t ) ( t )]
iC CU(t) iC
CU(t) 0 t
iC dt q CU
特例 US
i
S
+
t = 0时合S C 则 i= CUS(t)
第9章 阶跃响应、冲激响应 和卷积积分的应用
本章重点 9.1 阶跃函数和冲激函数 9.2 阶跃响应 9.3 冲激响应 9.4 电路在任意激励作用下的零状态 响应——卷积积分 9.5 电容电压和电感电流的跃变
本章重点
阶跃函数和冲激函数
阶跃响应和冲激响应 卷积积分 电容电压和电感电流的跃变
返回目录
9.1
阶跃函数和冲激函数
(t)
一、单位阶跃函数（unit step function） 1. 定义
0 (t ) 1
def
(t 0) (t 0)
1 0 t
用 ( t )可描述开关的动作。 R + uC – R
US
S
C
US(t)
def
+ uC –
C
开关在t =0 时闭合
t
0
0
0 /2
1
面积不变
令 lim p( t ) ( t )
2. 单位冲激函数的定义
符号
(t)
0 (t ) 0
(t 0) (t 0)
0
t
0
(t )dt 1
0
k(t)
k(t)
δ(t )dt 1
脉冲强度为k的冲激函数
(t )
零状态
(t )
h(t)
0
t
(t ) 0 (t 0) (t )dt 1
分析冲激响应时，时间范围为 0 到 t 。
方法一 ： 分两个时间段来考虑
（1） t 在 0- ～ 0+；（2） t > 0+。
例1
已知：uC (0 ) 0。 求： iS(t)为单位冲激时电路的响应uC(t)和 iC (t)。
uS/V 10 0
0.5
t/s
uS [10 (t ) 10 (t 0.5)] V
10k
由叠加定理有 10k i C1 + 10k 10 ( t )V uC(0-)=0
10 ( t 0.5)V 100F -
+
10k uC(0-)=0
i C2 100F
10k + 10 ( t ) 10k i C1 100F 等效
三、 (t) 和(t)的关系
(t)
(1) 0 (t) 1 0 t t
0 (t 0) = (t) (t )dt 1 (t 0)
t
d ( t ) (t ) dt
返回目录
9.2
阶跃响应
阶跃响应（step response）：阶跃函数激励下电路中产生的 零状态响应。 单位阶跃响应（unit step response）：单位阶跃函数激励下 电路中产生的零状态响应。 阶跃响应的求解：阶跃激励在某一特定时刻（例如作用于 零初始储能的电路，相当于从这一时刻开始，有一直
uC [1 Aet sin(t )] (t ) ( p1,2 j )
uC (0 ) 由起始值 duC dt t 0 可确定二个待定系数。
返回目录
9.3
冲激响应
冲激响应（impulse response）：电路在冲激激励作用 下的的零状态响应。
duC uC C (t ) dt R
C[uC (0 ) uC (0 )] 1
1 1 uC (0 ) uC (0 ) C C
0
0
0 u 0 duC C C dt dt ( t )dt 0 0 dt R
=0
=1
uC不是冲激，仅是有限的跳变。 （2） t > 0+ RC放电 iC C
uC
–
uC (0 ) 0
uC (0 ) uC (0 )
0 1 uC (0 ) uC (0 ) i ( )d = US C 0
3. 延迟单位冲激函数 (t-t0)
(t t0 ) 0 (t t0 ) (t t0 )dt 1
e 2 t mA (0 t 0.5 s) i(t ) - 2( t - 0.5) mA ( t 0.5 s) - 0.632e
0.5
t/s
-0.632
二、二阶电路的阶跃响应
以RLC串联电路为例讨论。 L i R + (t ) C + uC 已知 uC(0-)=0 ， i (0-)=0 以uC为变量微分方程为
R t uL (t ) e ( t ) L
iL L
L R
1 iL e L
t
t
R uL i L R e L
1 L
iL
uL
δ( t )
0
t
0
R L
t
例3
已知：uC (0 ) 0
求： uS 为单位冲激时电路响应 iC(t)和uC(t)。 R uS
e 2 t [ ( t ) ( t 0.5)] (e 1 1)e 2( t 0.5) ( t 0.5)
e 2 t [ ( t ) ( t 0.5)] 0.632e 2( t 0.5) ( t 0.5) mA
波形 1 0.368 0 i/mA 分段表示为
例1 1 0
f(t)
(0 t t 0 ) 1 f (t ) 0 (t 0 , t t0 )
t
t0
试用阶跃函数表示上图所示的矩形脉冲。
解 所示矩形脉冲可分解为阶跃函数和延迟阶跃函数相加。 1 f(t) ( t) t0 t
f (t ) (t ) (t t0 )
d 2 uC duC LC RC uC (t ) dt dt 二阶常系数非齐次微分方程。
上述微分方程等价于：
d 2 uC duC LC RC uC 1 (t 0) dt dt
特征根为 p1,2
R R 2 1 2 ( ) 2 0 2L 2L LC
流电压源（或电流源）作用于该电路。求解该电路相
当于求直流激励作用下的零状态响应。
一、一阶电路的阶跃响应 以下图RC电路为例。t>0时，可用三要素法得到其解。 R i C
t RC
ε( t )
uC (0-)=0
+ uC –
1 0
uC
t
uC (t ) (1 e
1 i (t ) e R
t RC
) (t )
1 R
i
t
t RC
(t )
0
注意
ie
t RC
(t ) 和 i e
(t 0)的区别。
R
(t -t0 )
C
t- t0 RC
+ uC –
若激励在 t = t0 时加入， 则响应从 t = t0开始。 f(t ) (t)
f (t )
1 iC e R
按特征根的不同情况，通解（自由分量）有三种不 同形式，uC解答可表示为 过阻尼情况
uC (1 A1e p1t A2e p2t ) (t ) (p1 p2 )
临界阻尼情况
uC (1 A1e t A2te t ) (t ) ( p1 p2 )
欠阻尼情况
5k
5 ( t )
+
i C2 100F
-
uC(0-)=0 uC(0-)=0 RC 100 106 5 103 0.5s
iC1 e2t (t ) mA
10k + 10ε( t 0.5) 10k iC 100F
uC(0-)=0
由线性、齐次和时不变性质，得 iC 2 e2( t 0.5) (t 0.5) mA
iC e 2 t ( t ) e 2( t 0.5) ( t 0.5) mA
也可用时间分段形式表示
iC e 2 t ( t ) e 2( t 0.5) ( t 0.5) mA
iC e 2 t [ ( t ) ( t 0.5)] [e 2 t e 2( t 0.5) ] ( t 0.5)
=0
Ldi 1
0
0
=1
1 1 L L
i L (0 ) i L (0 )
定性分析
uL (t )
Δ uLd 1
0
0
Δ 1 i L (0 ) i L (0 ) L L
（2） t > 0+ RL放电 R
+ uL 1 iL ( 0 ) L 冲激响应为 1 t iL e ( t ) L
二、单位冲激函数（unit pulse function）
1. 单位脉冲函数
2/
1/
p(t)
1 p( t ) 0
def
(0 t ) (t 0 , t )
p( t )