第二章 卷积和和卷积积分
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信号与系统课件：第二章 LTI系统
第2章 线性时不变系统
2.1 离散时间LTI系统: 卷积和
（1)用移位单位抽样信号表示离散时间信号 （2)卷积和在离散时间信号LTI系统中的表征 （3)卷积和的计算 （4) 离散时间信号LTI系统的性质
（1）用单位抽样信号表示离散时间信号
x[n] ... x[1] n 1 x[0] n x[1] n 1... x[n][0] x[n 1][1]
（１）初始条件为n<0时，y(n)=0，求其单位抽样响应；
（２）初始条件为n≥0时，y(n)=0，求其单位抽样响应。
解：（１）设x(n) (n)，且 y(1) h(1) 0 ，必有
y(n) h(n) 0, n 0
依次迭代
y(0) h(0) (0) 1 y(1) 1 0 1
2
当系统的初始状态为零，单位抽样响应h(n)就 能完全代表系统，那么对于线性时不变系统，任意 输入下的系统输出就可以利用卷积和求得。
差分方程在给定输入和边界条件下，可用迭代 的方法求系统的响应，当输入为δ（n）时，输出 （响应）就是单位抽样响应h(n)。
例：常系数差分方程
y(n) x(n) 1 y(n 1) 2
x[n]u[n] x[k]u[n k] x[k]
k
k
（ii）交换律:
yn xnhn hn xn
例子： 线性时不变系统中的阶跃响应 sn
sn unhn hnun
阶跃输入
输 单位抽样信号 入 响应的累加
n
sn hk
k
(iii)分配律:
xnh1n h2 n xnh1n xnh2 n
y(1) h(1) (1) 1 y(0) 0 1 1
2
22
y(2) h(2) (2) 1 y(1) 0 1 1 (1)2
2.1 离散时间LTI系统: 卷积和
（1)用移位单位抽样信号表示离散时间信号 （2)卷积和在离散时间信号LTI系统中的表征 （3)卷积和的计算 （4) 离散时间信号LTI系统的性质
（1）用单位抽样信号表示离散时间信号
x[n] ... x[1] n 1 x[0] n x[1] n 1... x[n][0] x[n 1][1]
（１）初始条件为n<0时，y(n)=0，求其单位抽样响应；
（２）初始条件为n≥0时，y(n)=0，求其单位抽样响应。
解：（１）设x(n) (n)，且 y(1) h(1) 0 ，必有
y(n) h(n) 0, n 0
依次迭代
y(0) h(0) (0) 1 y(1) 1 0 1
2
当系统的初始状态为零，单位抽样响应h(n)就 能完全代表系统，那么对于线性时不变系统，任意 输入下的系统输出就可以利用卷积和求得。
差分方程在给定输入和边界条件下，可用迭代 的方法求系统的响应，当输入为δ（n）时，输出 （响应）就是单位抽样响应h(n)。
例：常系数差分方程
y(n) x(n) 1 y(n 1) 2
x[n]u[n] x[k]u[n k] x[k]
k
k
（ii）交换律:
yn xnhn hn xn
例子： 线性时不变系统中的阶跃响应 sn
sn unhn hnun
阶跃输入
输 单位抽样信号 入 响应的累加
n
sn hk
k
(iii)分配律:
xnh1n h2 n xnh1n xnh2 n
y(1) h(1) (1) 1 y(0) 0 1 1
2
22
y(2) h(2) (2) 1 y(1) 0 1 1 (1)2
包装测试第二章 线性时不变系统
三. 卷积积分的计算 卷积积分的计算与卷积和很类似，也有图解法、 卷积积分的计算与卷积和很类似，也有图解法、 解析法和数值解法。 解析法和数值解法。 运算过程的实质也是：参与卷积的两个信号中， 运算过程的实质也是：参与卷积的两个信号中， 一个不动， 移动。 一个不动，另一个反转后随参变量 t 移动。对每一 的值， 对应相乘， 个 t 的值，将 x(τ ) 和 h(t − τ ) 对应相乘，再计算相 乘后曲线所包围的面积。 乘后曲线所包围的面积。 通过图形帮助确定积分区间和积分上下限是很有 用的。 用的。
三. 卷积和的计算 计算方法： 有图解法、列表法、解析法（包括数值解法）。 有图解法、列表法、解析法（包括数值解法）。 运算过程： 将一个信号 x( k ) 不动，另一个信号经反转后成 移位。 为h(− k ) ,再随参变量 n 移位。在每个n 值的情况 对应点相乘， 下，将 x( k ) 与 h(n − k ) 对应点相乘，再把乘积的 各点值累加，即得到 n 时刻的 y ( n) 。 例1： x(n) = α n u (n) 0 < α < 1 ：
α n − 4 − α n +1 = 1−α
④ 6 ≤ n ≤ 10 时， y (n) = ⑤ n > 10
k =n −6
∑
4
α n−k
α n−4 − α 7 = 1−α
时， y ( n ) = 0
通过图形帮助确定反转移位信号的区间表示， 通过图形帮助确定反转移位信号的区间表示，对 于确定卷积和计算的区段及各区段求和的上下限是 很有用的。 很有用的。 例3. 列表法 分析卷积和的过程，可以发现有如下特点： 分析卷积和的过程，可以发现有如下特点： 所有各点都要遍乘一次； ① x ( n) 与 h( n) 的所有各点都要遍乘一次； 在遍乘后，各点相加时， ② 在遍乘后，各点相加时，根据 的特点。 和为 n 的特点。 参与相加的各点都具有 x( k ) 与 h( n − k ) 的宗量之
第二章 (4)卷积积分的性质
f 1 (t )
f 2 (t )
2
1
0
2
0 1
1
2 3
t
1
3
t
解法一: 解法一:图示法
f 1 (τ
t <1 ,
)
f (t ) = 0
2
0
1
2 3
τ
f 2 (t τ
t2
)
1
t 0
1
τ
解法一: 解法一:图示法
f 1 (τ
t <1 ,
)
t
f (t ) = 0
1< t < 2 ,
f (t ) = ∫ 2dτ = 2(t 1)
(2) e ε(t + 3) ε(t 5) 2t e ε (t + 3) ε (t 5) ∞ 2τ = ∫ e ε (τ + 3) ε (t τ 5)dτ ∞
2t
=∫t 53e2τ1 2(t 5) 6 e = e 2 6 1 2( t 2) = e 1 e 2
[
1 2τ dτ = e 2
' ∞ ∞
上式称为杜阿密尔积分. 上式称为杜阿密尔积分. 杜阿密尔积分 其物理含义为: 其物理含义为:LTI系统的零状态响应等于激励的 系统的零状态响应等于激励的
f ' (t )与系统的阶跃响应 g(t )的卷积积分. 的卷积积分. 导数
例2.4-4 求图示函数 f1(t ) 与 f2 (t ) 的卷积 f (t ) .
若f (t ) = f1(t ) f2(t ),则 f1(t t1 ) f2(t t2 ) = f1(t t2 ) f2 (t t1 ) = f (t t1 t2 )
推广4 推广
信号与系统卷积和及几类常见题目
⏹卷积☐卷积的定义☐卷积的物理意义☐卷积的性质☐卷积的计算⏹信号的分解☐信号分解为基本信号之和☐…δ(t )是卷积的单位元δ(t-t 0)是卷积的延迟器u (t )是卷积的积分器δ’(t )是卷积的微分器温故知新，上讲回顾第二章信号的时域分析§2.1常用信号及其基本特性§2.2信号的时域运算Array§2.3信号的时域分解§2.4卷积积分§2.5卷积和信号分类；基本信号特性；信号分解与运算；卷积/卷积和周期/非周期判断；奇异函数运算；信号展缩平移；卷积/卷积和1. 掌握卷积和的定义/性质并进行计算（解析法、图解法、竖式法、性质求解）2. 习题课（信号时域分析几类常见题目）§2.5卷积和一、卷积和的定义及物理意义二、卷积和的性质三、卷积和的计算设x 1(n ) 和x 2(n )是两个序列，则1212()()()()k k k x n x n x x n ∞=−∞∗=−∑如果x 1(n ) 和x 2(n )都是因果序列，则11202()()()()nk x n x n x k x n k =∗=−∑1212()()()()d f t f t f f t τττ∞−∞∗=−⎰卷积和：卷积积分：1. 定义任意序列x (n ) 可以表示为单位样值信号δ(n ) 的移位加权和。
{}()=+(1)(1)+(0)()+(1)(1)+(2)(2)+()()()()k x n x n x n x n x n x k n k x k n k δδδδδδ∞=−∞−+−−+−+=− LTI 系统δ(n )h (n )x (n )?2. 物理意义输入δ(n-k )h (n-k )输出时不变x (k )δ(n-k )x (k )h (n-k )齐次性()=()()k x n x k n k δ∞=−∞−∑zs =()()()*(())k y n x k h n k h x n n ∞=−∞−∑ 可加性系统特性LTI 系统δ(n )h (n )卷积和卷积和的物理意义：揭示了LTI离散系统零状态响应与输入信号和系统单位样值响应之间的关系。
第二章第3讲 卷积
[ f () * f ()]d f (t) * f ()d f (t) * f ()d
1 2 1 2 2 1
t
t
t
证明：
[ f ( ) * f
1 t 1
t
2
( )]d [ f1 ( ) f 2 ( )d ]d
[ f1 (t )u(t t1 )] [ f 2 (t )u(t t2 )]
信号与系统 同济大学汽车学院 魏学哲 weixzh@
g (t ) f1 ( )u( t1 ) f 2 (t )u(t t2 )d
结合律应用于系统分析,相当于串联系统的冲激响 应,等于串联的各子系统冲激响应的卷积
信号与系统 同济大学汽车学院 魏学哲 weixzh@
卷积的微分与积分
df2 (t ) df1 (t ) d [ f1 (t ) * f 2 (t )] f1 (t ) * f 2 (t ) * dt dt dt
t t2
t1
f1 ( ) f 2 (t )d
t1 t t2
t
积分限是： 例：
f1(t ) 2e u(t )
g (t )
f 2 (t ) u(t ) u(t 2)
求
f1 ( ) f 2 (t )d
信号与系统 同济大学汽车学院 魏学哲 weixzh@
f1( ) 1 f2(1-) 2
f1( ) 1 f2(2-) 2
f1( )
f2(3-)
2
c
c
c
c
-1
0
f1() f2(-)
信号第二章3卷积
若将此信号作用到冲激信号为h(t)的线性时不 变系统，则系统的响应为
r (t ) H [e(t )] H [ e( ) (t )d ]
e( ) H [ (t )]d
e( )h(t )d
零状态响应：rzs (t ) e( )h(t )d h(t ) e(t )
def
2.算子符号基本规则
(1)算子多项式可以进行因式分解 ( p 2)( p 3) p 2 5 p 6 例如： (2)等式两端的算子符合因式不能相消 ( p 2) r (t ) ( p 1) e(t ) ( p 2)( p 3) r (t ) ( p 2 4 p 3) e(t ) 不能简化为： (3)算子的乘除顺序不能随意颠倒
（3）结合律： f1(t) f2 (t) f3 (t) f1(t) f2 (t) f3 (t)
e(t)
h1(t)
h2(t)
r(t)
串联系统 r (t ) e(t ) h1 (t ) h2 (t )
2.卷积的微分与积分
d f1 (t ) f 2 (t ) df 2 (t ) （4）微分性： f1 (t ) dt dt df1 (t ) (适于高阶微分） f 2 (t ) dt
r (t ) e( )h(t )d
1 (a) t 2
e(t ) * h(t ) 0
h(t )
e( )
1
1 2
t 2
(b)
0
1 t 1 2
相乘
t
1
1 t 1 2 t 1 e(t ) * h(t ) 1 1 (t )d 2 2 t2 t 1 4 4 16 (b)
线性时不变系统--习题
dt
dt
dt
et t et t
t t t
t
方法二没有注意利用冲激函数的性质，求解过
程较繁。另外，对冲激偶信号的性质
f t t f 0 t f 0 t
往往被错误写成
f t t f 0 t
从而得出错误结论。
(2) f t t e3 δτ d τ
1 O t 3 1
t
t 3 1
t
3
1
即2 t 4
g(t) 1 1(t )d t 2 t 2
t3 2
42
T4
1 f1
f2 t
t
1 O
1 t3
t-31
即t 4
gt 0
卷积结果
f1t
1
1 O 1 t
f2 t
3
2
O
3t
t2 t 1
g(t
)
4 t
t
2
2
4
x(t t0 ) h(t) x(t) h(t t0 ) y(t t0 )
例1 粗略绘出下列各函数式的波形图
(1) f1t u t2 1
(2)
f2 t
d dt
et cos tut
描绘信号波形是本课程的一项基本训练，在绘 图时应注意信号的基本特征，对所绘出的波形，应标 出信号的初值、终值及一些关键的值，如极大值和极 小值等，同时应注意阶跃、冲激信号的特点。
设x3(t) ax1 t bx2 t x3 t y3 t x32 t ax1 t bx2 t 2 a2 x12 t b2 x22 t 2abx1 t x2 t
a2 y1 t b2 y2 t 2abx1 t x2 t ay1 t by2 t
卷积
1, 0 k N 1 RN (k ) , 计算y[k ] RN (k ) RN (k ) 0, otherwise
h[n] RN [n]
1
x[n] RN [n]
1
…
0
n
…
( N 1)
0
n
N 1
y[k ] x[k ] h[k ]
n
1
0
x( )h(t )d
1.d 2T t
t T
t
1
当 t 2T 时，
y(t ) 0
注意:卷积结果y(t)的时间
T
x( )
T 0 h(t )
1
0
起点等于原两个信号的起点
之和;卷积结果y(t)的时间 终点等于原两个信号的时间 终点之和.
t T
t
x(0) h(0) x[0]h[0] h(1) x[0]h[1]
h(2) x[0]h[2]
x(1) x[1]h[0]
x[1]h[1] x[1]h[2] x[1]h[3]
x(2) x(3) x[2]h[0] x[3]h[0]
x[2]h[1] x[2]h[2] x[2]h[3] x[3]h[1] x[3]h[2] x[3]h[3]
例3:计算 u(t ) u(t )
y1 (t ) u (t ) * u (t ) u ( )u (t )d
t 0 1d , t 0 r (t ) u (t ) ,t 0 0
Note : u(t ) u(t ) tu(t )
h( )
1
h(t )
1
T
0
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矩形信号：
x(t) 1
x(t ) u(t t1 ) u(t tn )
0 t1 tn t
分为一系列宽度相等 的窄矩形脉冲之和
x(t ) u(t t1 ) u(t t2 ) u(t tn1 ) u(t tn )
x(t) 1
若：
0
0
t1
n 1 i 1
注意：单位冲击响应为系统的零状态响应。
2.3 卷积积分
对于线性系统，可以将输入信号分解为许多简单 信号之和。如果求得简单信号作用于系统的响应， 那么，所有这些响应叠加起来就是该输入作用于系 统的响应。 一个任意的输入信号可以分解为：指数函数、冲激 函数、阶跃函数等等。这里讨论将信号分解为冲激 函数之和的情况。
则系统对输入x(t)的总响应为所有冲激响应之和：
y f (t )
当：
k
x(k ). .h(t k )
求和符号改为积分符号
d , k
x(t ) x( ) (t )d
y f (t ) x( )h(t )d
x(t ) (t ) x(t )
证明：
x(t ) (t ) x( ) (t )d
x( ) ( t )d
( (t ) (t ))
x(t ) ( t )d
x(t )
(2)
(3)
证明：
例：设x(t)与h(t)如图所示，求y(t)=x(t)*h(t)
x(t) 1
h(t) 1
1 2
0
1
t
0
h ( )
2
t
反折：
1
时移
1
h (t )
-2
0
-2+t t 0
（1）
h (t )
1
x ( )
1 t 时， y (t ) 0 2
-2+t
t
1 2
0
1
h (t )
2、将h(-τ）沿τ轴时延t秒，得得h(t－τ）
3、将x(τ）与 h(t－τ）相乘 ，得x(τ） h(t－τ） 4、沿τ轴对x (τ） h(t－τ）积分
h(t) 1 1 t
x(t) 2 1 2 4 t
h(t-)
x()
t=0 t-1 t t<1
1<t<2
2<t<3
3<t<4
4<t<5
上述积分是x(t)与h(t)之间的一种二元运算，用 y(t)=x(t)*h(t)表示。即
y(t ) x(t ) * h(t ) x( )h(t )d
卷积积分的图解法 卷积的图解法有助于我们理解卷积的物理意义以及求 解步骤，以x(t)*h(t)为例：
1、将h(τ）反折，得h(-τ）
ai y (i ) (t ) 0
i 0
n
的解
若n个特征值各不相同： yh (t )
ci eit
i 0
n
若特征值中有λ 1是r重根，而其余的根都为单数，则
yh (t ) ci t e
r i 1t i 0
r
j r 1
c je
n
jt
ci、cj的值由初始条件确定。 特解 特解的函数形式与激励函数形式有关。
1
x ( )
（2）
-2+t
1 2
0
t 1
1 t 1时， 2 t 1 t2 t 1 y(t ) 1 (t )d 2 4 4 16 2
h (t ) 1
x ( )
（3）
-2+t 2 1
0 1 t
3 1 t 时 2 1 1 3 3 y (t ) 1 (t )d t 2 4 16 2
例
h(t)
1 已知： h(t ) 0
t 2 t 2
-2 2 t
x(t ) 3 (t ) (t 3)
解：将h(t)写成与阶跃函数乘积的形式：
h(t ) u(t 2) u(t 2)
y(t ) x(t ) h(t ) (3 (t ) (t 3)) [u (t 2) u (t 2)] 3 (t ) u (t 2) 3 (t ) u (t 2) (t 3) u (t 2) (t 3) u (t 2) 3u (t 2) 3u (t 2) u (t 1) u (t 5)
第二章 线性时不变系统 （LTI：Linear Time Invarient)
重点：
理解并掌握卷积积分与卷积和的概念与相关性质；
掌握LTI系统的性质；
难点：
深刻理解卷积积分与卷积和的概念；
2.1
线性时不变连续系统的时域解法
连续时间系统处理连续时间信号，通常用微分 方程来描述系统。
微分方程的经典解。 微分方程
A0+A1t A0+A1t+A2t2+……APtp
系统的零输入响应与零状态响应
一个线性系统可以将系统的响应分解为零输入响应和零 状态响应。即：
y(t ) y x (t ) y f (t )
零输入响应 零状态响应 而： y x (t ) c xi e
i 0 n
yx (t ) T[( y(t0 )， }] {0
（4）
h (t ) 1
x ( )
3 t3 2
t
1 -2+t 2 0
1
1 t2 t 3 y (t ) (t )d t 2 2 4 2 4
1
x ( )
h (t )
(5)
1 2
1
t 3时，y(t ) 0
0 1 -2+t
t
y(t)
(令 t t 2 ' )
x(t t1 t 2 )
(4)
若：x(t ) x1 (t ) * x2 (t ) 则 : x1 (t t1 ) x2 (t t2 ) x(t t1 t2 )
x(t ) ' (t ) x' (t )
(5)
微分方程的特解形式：
输入信号x(t) 常数C
eat
e
at
特解yp(t) 常数A
Aeat
j 0 L
a i
a i
Ck t k
k 0 L
i为 i重根
Aj t j e at
i
Aj t j
j 0
t tp
cos(t )
B1 cos(t ) B2 sin(t )
例：已知
x(t ) e u(t )
at
a0
h(t ) u (t )
求：
y(t ) x(t ) * h(t )
x（τ ）
1
h（τ ）
1
t
t
例：已知
x(t ) e u (t )
2t
h(t ) u (t 3)
y(t ) x(t ) * h(t )
2
求：
x( ) e u ( )
例：已知
x1 (t ) e u (t ) x2 (t ) u (t 3) u (t 5)
y(t ) x1 (t ) * x2 (t )
x(t ) (t t0 ) x(t t0 )
x(t t1 ) (t t2 ) x(t t1 t2 )
x(t t1 ) (t t 2 ) x( t1 ) (t t 2 )d
x(t t1 t 2 ' ) ( ' )d '
分析如下电路：已知：uc(0-)=0，求uc(t)。
2Ω ＋ 1.5δ (t) ＋ 0.25F －
解：建立系统的微分方程：
uc(t)
－
duc RC u c 1.5 (t ) dt duc 即： 2u c 3 (t ) dt
由于冲激函数是在t=0时给系统注入了一定的能量，而在t>0 时，系统的激励为0。相当于在0－到0＋时刻，使系统具有了一 定的初始能量。因此，系统的冲激响应与系统的零输入响应具 有相同的形式。这里，用h(t)表示系统的冲激响应。即：
时的输出y(t)。
解：
y1 (t ) (e
2t
e )u(t )
2t
t
y2 (t ) (3e
பைடு நூலகம்
5e )u(t )
t
2.2 单位冲激响应
单位冲激响应：线性时不变系统在单位冲激信 号 (t ) 的激励下产生的零状态响应。用h(t)表示。 即：
h(t ) T [{0}, (t )]
（3）卷积的结合律：
( x(t ) h1 (t )) * h2 (t ) x(t ) (h1 (t ) h2 (t ))
x(t) h1(t) h2(t) y(t)
（4）卷积的微分： 两个函数卷积后的导数等于其中一函数导数 与另一函数之卷积。即：
( x(t ) h(t ))' x' (t ) h(t ) x(t ) h' (t )
设x(t)为无时限的信号，将它分解为一系列宽度为 的 窄脉冲之和。
x(t ) x(k )
0
k