9-系统对任意激励的响应-卷积积分
(完整版)信号与系统复习题
信号与系统试题库一、填空题绪论：1。
离散系统的激励与响应都是____离散信号 __。
2.请写出“LTI ”的英文全称___线性非时变系统 ____。
3.单位冲激函数是__阶跃函数_____的导数. 4.题3图所示波形可用单位阶跃函数表示为()(1)(2)3(3)t t t t εεεε+-+---。
5．如果一线性时不变系统的输入为f(t ），零状态响应为y f (t )=2f (t —t 0），则该系统的单位冲激响应h （t ）为____02()t t δ-_________。
6。
线性性质包含两个内容:__齐次性和叠加性___。
7。
积分⎰∞∞-ω--δ-δdt )]t t ()t ([e 0t j =___01j t e ω--_______。
8。
已知一线性时不变系统，当激励信号为f （t)时，其完全响应为（3sint-2cost ）ε(t ）;当激励信号为2f （t ）时，其完全响应为(5sint+cost ）ε(t),则当激励信号为3f(t ）时，其完全响应为___7sint+4cost _____。
9。
根据线性时不变系统的微分特性，若：f （t)−−→−系统y f (t)则有：f ′（t)−−→−系统_____ y ′f （t ）_______。
10。
信号f （n ）=ε（n ）·(δ（n)+δ（n-2）)可_____δ(n)+δ(n —2）_______信号。
11、图1所示信号的时域表达式()f t =()(1)(1)tu t t u t --- 。
12、图2所示信号的时域表达式()f t =()(5)[(2)(5)]u t t u t u t +----。
13、已知()()()2f t t t t εε=--⎡⎤⎣⎦，则()f t '=()(2)2(2)u t u t t δ----.14、[]2cos32t d ττδτ-∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰=8()u t 。
阶跃响应、冲激响应和卷积积分
清华大学电机系电路原理教学组第9章阶跃响应、冲激响应和卷积积分的应用9.1 阶跃函数和冲激函数本章重点9.4 电路在任意激励作用下的零状态响应——卷积积分9.5 电容电压和电感电流的跃变9.2 阶跃响应9.3 冲激响应清华大学电机系电路原理教学组•阶跃响应和冲激响应 本章重点•阶跃函数和冲激函数•卷积积分返回目录•电容电压和电感电流的跃变清华大学电机系电路原理教学组9.1 阶跃函数和冲激函数一、单位阶跃函数（unit step function ）1. 定义tε(t )10()t ε用可描述开关的动作。
+–u C U S ε(t )RCdef0 (0)() 1 (0)t t t ε<⎧=⎨>⎩def S S 0 (0)() (0)t U t U t ε<⎧=⎨>⎩U SS+–u C R C开关在t =0 时闭合清华大学电机系电路原理教学组2. 延迟的单位阶跃函数tε(t-t 0)t 0def0000 ()() 1 ()t t t t t t ε<⎧−=⎨>⎩3. 由单位阶跃函数可组成复杂的信号U SS+–u C RC开关在t =t 0时闭合清华大学电机系电路原理教学组0()()()f t t t t εε=−−t 0t-ε(t -t 0)ε(t )0f (t )1解所示矩形脉冲可分解为阶跃函数和延迟阶跃函数相加。
例1⎩⎨⎧><<<=), 0( 0)0( 1)(00t t t t t t f 1t 0tf (t )0试用阶跃函数表示上图所示的矩形脉冲。
清华大学电机系电路原理教学组()[()(1)](1)f t t t t t εεε=−−+−11t1t1f (t )例2试用阶跃函数表示图示的波形。
解f (t ) 分成两段表示。
1t101t1+(0< t <1)()[()(1)]f t t t t εε=−−(1< t )()(1)f t t ε=−则清华大学电机系电路原理教学组二、单位冲激函数（unit pulse function ）1. 单位脉冲函数1()[()()]p t t t εεΔΔ=−−0lim ()()p t t Δδ→=令1ΔΔ→→∞面积不变Δ1/Δtp (t )0Δ减小，脉冲变窄，面积不变。
单自由度振动系统对任意激励响应的仿真分析
（４） 则系统对 ｔ＝０ 时作用的脉冲力的响应可表示为 ｘ（ｔ）＝Ｆｈ（ｔ） 如果单位脉冲在 ｔ＝ τ时刻施加，则 （５）
用， 可以把它分割成无限多个在时间区间 ｄ τ上作用的脉冲 力 Ｆ（τ）。根据式（５） ，对在 ｔ＝ τ作用的单个冲量 Ｆ＝Ｆ（τ） ｄ τ，系统的响应为： ｄｘ＝Ｆ（τ）ｄｔｈ（ｔ－ τ） （７）
单 自 由 度 振 动 系 统 对 任 意 激 励 响 应 的 仿 真 分 析
图三 ４ 图二 任意激励时间函数 ｆ（ｔ） 对于线性系统， 在时间ｔ，系统的响应就是在这一时间内 所有单个冲量 Ｆ（τ）ｄ τ的总和，即： （８） 结束语
系统对任意激励 ｆ（ｔ）的响应
对于不同的系统或不同的激励力， 只要直接在程序中改 变系统参数以及激励力的时间函数表达式， 就可以迅速得出 系统的响应，而不需要进行烦琐的计算。 由图三可以看出， 利用Ｍａｔｌａｂ对振动系统对任意激励的 响应进行仿真， 简单直观， 是理论研究及工程实践工作中有 力的工具。 参考文献
Ａｂｓｔｒａｃｔ： Ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｈｅ ｒｅｓｐｏｎｓｅ ｔｏ ｔｈｅ ｕｎｉｔ ｉｍｐｕｌｓｅ ｅｘｃｉｔａｔｉｏｎ ｏｆ ｓｉｎｇｌｅ－ｆｒｅｅｄｏｍ ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ｓｙｓｔｅｍ， ｔｈｅ ｒｅｓｐｏｎｓｅ ｔｏ ａｒｂｉｔｒａｒｙ ｅｘｃｉｔａｔｉｏｎ ｃａｎ ｂｅ ｏｂｔａｉｎｅｄ ｂｙ ｕｓｉｎｇ Ｄｕｈａｍｅｌ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｆｏｒｍｕｌａ． Ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔ ｉｓ ｖｅｒｙ ｉｎｔｕｉｔｉｏｎａｌ ｂｙ ｅｍｕｌａｔｉｎｇ ａｎａｌｙｓｉｓ， ｗｈｉｃｈ ｃａｎ ｂｅ ｃｏｎｓｉｄｅｒｅｄ ａ ｅｆｆｅｃｔｉｖｅ ｔｏｏｌ． Ｋｅｙｗｏｒｄｓ： Ｖｉｂｒａｔｉｏｎ； Ａｒｂｉｔｒａｒｙ Ｅｘｃｉｔａｔｉｏｎ； Ｒｅｓｐｏｎｓｅ； Ｅｍｕｌａｔｅ ０ 引言 从线性系统振动理论可知， 当机械系统受到简谐激励作 系统的等效集中质量为 ｍ， 刚度为 ｋ，粘性阻尼系数为 ｃ，振动位移 ｘ，受外力 ｆ（ｔ）作用。 其运动微分方程为： （１） ２ 系统对激励响应的求解 当系统受到任意激励ｆ（ｔ）时， 可以把它分割成无限多个
郑君里版《信号系统》复习要点
《信号与系统》复习提要1．确定性信号与随机信号的不同点是什么？各举一例并说明。
2．连续信号、离散信号的特征是什么？3．模拟信号、采样信号、数字信号的联系和区别是什么？4．对周期信号、非周期信号、两个周期信号之和而成为非周期信号的三种情况各举一例并作图说明。
5．能量信号、功率信号的定义是什么？各举一例。
6．信号的时间特性（变化快慢）包含周期大小及该周期里波形形状两个方面，画图说明它们的含义？7．周期信号的（频谱函数）及非周期信号的频率特性（频谱密度函数）的定义，信号的频带概念与定义是说明什么？8．系统的因果性、线性系统的比例性（齐次性）和叠加性定义和判别。
9．系统的非时变性定义，举一个时变系统的例子。
10．有始信号，因果信号，激励，零状态响应，零输入响应的含义。
11．系统的起始状态与时域解的初始条件的区别。
12．L TI系统的输入输出微分方程时域一般表达式。
何谓自然（由）响应与受（强）迫响应？何谓稳态响应（包括直流或等幅振荡）与瞬态响应？（零状态响应包括了一部分的自然响应和全部的受迫响应。
(零输入响应分量是自然响应的另一部分)）。
例2－8。
13．分析线性系统时，指数信号e at是个非常有用的典型的激励信号，对a的所有可能取值情况，一一画出其波形图，标注数值。
14．系统的传递函数H(s)及系统阶次的定义，系统的零、极点定义与零极点绘图表达，举例。
15．L TI系统的特征方程与特征根、自然频率定义。
方程的“自由项”是指什么？特解以及通解的待定常数如何设置？16．阶跃函数、单位阶跃函数、冲激函数、单位冲激函数各自的物理含义。
17．阶跃函数的“截断性质”、冲激函数的“抽样性质”和冲激偶是如何用式子表达的？18．任意（矩形、锯齿、三角、或其他函数）的周期脉冲信号用（奇异）函数u(t)或δ(t)的和的表达式。
19．任意形状的信号分解为冲激函数δ(t)的叠加。
20．信号的直流分量与交流分量，偶分量与奇分量定义及求解。
《信号与系统》题集
《信号与系统》题集一、选择题（每题2分，共20分）1.信号按照其数学描述方式可以分为两大类，即连续时间信号和（ ）。
A. 模拟信号B. 离散时间信号C. 数字信号D. 随机信号2.在时域中，两个信号相乘等价于在频域中它们的（ ）进行卷积。
A. 幅度谱B. 相位谱C. 频谱D. 功率谱3.系统的冲激响应完全描述了（ ）系统的动态特性。
A. 因果B. 线性时不变C. 稳定D. 非线性4.若系统对任意输入信号的输出均为零，则该系统被称为（ ）。
A. 零状态系统B. 零输入系统C. 零输出系统D. 零初始条件系统5.在傅里叶级数中，正弦和余弦分量分别对应于频谱中的（ ）。
A. 实部和虚部B. 奇次项和偶次项C. 正频率和负频率D. 直流分量和交流分量6.卷积积分是描述（ ）系统输入输出关系的重要工具。
A. 线性时变B. 线性时不变C. 非线性时不变D. 非线性时变7.信号的能量谱密度与（ ）成正比。
A. 信号的幅度B. 信号的频率C. 信号的功率谱密度D. 信号的自相关函数8.在Z域分析中，若系统的传递函数H(z)的极点全部位于单位圆内，则该系统是（ ）。
A. 因果且稳定的B. 非因果且稳定的C. 因果且不稳定的D. 非因果且不稳定的9.下列哪个性质是线性系统所不具备的？（ ）A. 叠加原理B. 齐次性C. 时不变性D. 输出与输入的非线性关系10.在连续时间傅里叶变换中，时间信号的平移对应于频谱的（ ）。
A. 幅度变化B. 相位变化C. 频率平移D. 形状变化二、填空题（每题2分，共20分）1.一个信号如果满足______条件，则称其为周期信号。
2.在离散时间信号处理中，序列的Z变换与连续时间信号的______变换类似。
3.系统的状态变量方程通常由______方程和输出方程两部分组成。
4.对于线性时不变系统，其冲激响应h(t)与系统的传递函数H(s)之间存在______关系。
5.在频域分析中，信号的带宽是指信号能量主要集中的______范围。
系统的时域分析 连续系统的冲击响应 卷积积分及其性质
5) 展缩特性 已知 f1(t) * f2(t) = y(t) 1 则 f1` (at ) f 2 (at ) y (at ) a
17
二、卷积的性质
6) 微分特性 已知 则 7) 积分特性 已知 则 8) 等效特性 已知 则
c) 0 < t £ 1
y(t )
d) t >1
0.5
0.5+t
d 1 t
1 0.5 + t 0.5 + t
y ( t) = 0
14
[例] 计算 y(t) = p1(t) * p1(t)。 a) t £ 1 b) 1 < t £ 0 y ( t) = 0
p1 (t ) 1
p1 ( )
-0.5 0.5
0.5+t 0.5
t
y(t )
c) 0 < t £ 1
dt 1 + t
p1 (t ) p1 (t ) 1
y(t )
d) t >1
0.5 0.5+t
dt 1 t
y ( t) = 0
t -1 1
15
练习1：u(t) u(t) = r(t) 练习2：计算 y (t) = f (t) h(t)。 f (t ) h(t )
证明：
f1 (t t1 ) f 2 (t t2 )
f1 ( t1 ) f 2 (t t2 )d
t1 x
f1 ( x) f 2 (t t1 t2 x)dx
电路系统对任意激励的零状态响应
f( )
t-2 0 h(t )
-1/2 1 t
t
(c) 1 t 3
f( ) h( )
15/16
9/16
-1/2 0 1 3/2 2 3 t (f)
(a)
f(t)h(t)0
(b)
f(t)h(t) t1 211 2(t)dt4 24 t1 16
(c)
f(t)h(t) 11 211 2(t)d3 4 t1 3 6
B B e- t
0
t
（ b）
f(t)
A
0a
(C )
0
（
at d）
（2）计算卷积积分：
y(t)f(t)*h(t)
ⅰ.t<0， f()和h(t)无重叠。
ⅱ.0≤t≤a，tl1=0, tl2=-∞,选tr1=a, tr2=t
界中的最小者。
f()
h(t )
t
t-2
-1/20 1
t
(a) t 1 2
f( )
-1/2 0 t-2 1
h(t )
t t
(d) 1 t 3 2
h(t )
f( )
t-2 -1/20 t 1
t
(b) 1 t 1 2
f( )
h(t )
0 t-2
-1/2 1 t
t
(e) 3 t
(d)
f(t)h (t)11 1(t )d t2t3
t 2 2
4 24
(e)
f(t)h(t)0
例：求如图（a）（b）所说函数f(t)和h(t)的卷积积分。 解： （1）写出表达式：
A f (t) {
0
0
h
(t)
{ B
信号与系统试验----信号卷积
一、 实验目的1. 理解卷积的概念及物理意义；2. 通过实验的方法加深对卷积运算的图解方法及结果的理解。
二、实验设备1.信号与系统实验箱 1台2.双踪示波器1台三、实验原理卷积积分的物理意义是将信号分解为冲激信号之和，借助系统的冲激响应，求解系统对任意激励信号的零状态响应。
设系统的激励信号为)t (x ，冲激响应为)t (h ，则系统的零状态响应为)(*)()(t h t x t y =⎰∞∞--=ττd t h t x )()(。
对于任意两个信号)t (f 1和)t (f 2，两者做卷积运算定义为：⎰∞∞--=ττd t f t f t f )(2)(1)(=)t (f 1*)t (f 2=)t (f 2*)t (f 1。
1. 两个矩形脉冲信号的卷积过程两信号)t (x 与)t (h 都为矩形脉冲信号，如图9-1所示。
下面由图解的方法（图9-1）给出两个信号的卷积过程和结果，以便与实验结果进行比较。
0≤<∞-t210≤≤t 1≤≤t 41≤≤t ∞<≤t 2124τ（b)(a)(c)(d)(e)(f)(g)(h)(i)2卷积结果2. 矩形脉冲信号与锯齿波信号的卷积信号)t (f 1为矩形脉冲信号，)t (f 2为锯齿波信号，如图9-2所示。
根据卷积积分的运算方法得到)t (f 1和)t (f 2的卷积积分结果)t (f ，如图9-2(c)所示。
图9-2 矩形脉冲信号与锯齿脉冲信号的卷积积分的结果3. 本实验进行的卷积运算的实现方法在本实验装置中采用了DSP 数字信号处理芯片，因此在处理模拟信号的卷积积分运算时，是先通过A/D 转换器把模拟信号转换为数字信号，利用所编写的相应程序控制DSP 芯片实现数字信号的卷积运算，再把运算结果通过D/A 转换为模拟信号输出。
结果与模拟信号的直接运算结果是一致的。
数字信号处理系统逐步和完全取代模拟信号处理系统是科学技术发展的必然趋势。
图9-3为信号卷积的流程图。
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单位阶跃函数u(t-a)与脉冲函数δ(t-a)之间存在 着密切的关系，即
反过来，则δ(t-a)可以视为u(t-a)对时间的导数，即
当初始条件为零时，系统对在t=0处所作用的单位
阶跃函数u(t)的响应，称为系统的单位阶跃响应，
用g(t)表示。
将F(τ)=u(τ)代入卷积积分，可得单位阶跃响应
考虑到
因而积分可以改写成
相应的力的数学表达为F(τ)△τδ(t-τ)。因为在
t=τ 处 对 脉 冲 的 响 应 为 h(t-τ) ， 所 以 脉 冲
F(τ)△τδ(t-τ)的响应为其单位脉冲响应和脉冲
强度的乘积，即F(τ)△τh(t-τ)。通过叠加，求出 序列中每一脉冲引起的响应的总和为
令△τ→0，并取极限，上式表示为积分形式
就在瞬时t1之前，质量m的相对位移和相对速度为
同时箱子的速度为 由于箱子着地后即静止在地面上，不回跳。在箱子
着地的瞬间，质量m相对箱子的位移与速度分别为
改取瞬时t1 为初始瞬时，则箱子着地后质量m相
对箱子作自由振动，其相对运动方程为
式中
通过弹簧传递到质量m上的最大力等于kA，即
3．单位阶跃响应 作为卷积积分的一种应用，现在来计算单
自由度阻尼系统对单位阶跃函数的响应。
如图所示的单位阶跃函数在数学上可以定义为
显然，函数在t=a处有一突变，其值从O跳到1。如
果突变发生于t=0处，那么这一函数可以简单地写
成u(t)。单位阶跃函数是无量纲的函数。于是当
一个任意函数F(t)与单位阶跃函数u(t-a)相乘时，
F(t)u(t-a)相对于t<a的部分等于零，而其余t>a 的部分则不受影响，即
令t-τ=a，dτ=-da，并互换积分的限界后，积分成为
作一些代数运算后，并注意到 方程简化为
式中单位阶跃函数u(t)表明t<0时g(t)=0。g(t)对t的
曲线如图所示。上式也可以变换为
式中
这说明突加单位力不仅使弹簧产生静变形1/k，同时 使系统发生振幅为的 衰减运动。若忽略阻尼 不计，即ζ=0，ωd=ωn，则单位阶跃响应为
有多种方法可以确定系统对任意激励的响应，
这取决于描述激励函数的方式。一种方法是用傅
里叶积分来表示激励，它是由傅里叶级数通过令
周期趋近于无穷大的极限过程来得到的。所以，
实质上激励不再是周期的。另一种方法是将激励 视为持续时间非常短的脉冲的叠加，引用卷积积 分的方法，对具有任何非齐次项的微分方程，都 用统一的数学形式把解表示出来，而且所得到的
上次内容回顾：等效粘性阻尼、系统对
周期激励的响应
讲述的内容
第三章 强迫振动
3.8 系统对任意激励的响应· 卷积积分
3．8系统对任意激励的响应· 卷积积分
3．7节讨论了周期激励作用下系统的响应。 在不考虑初始阶段的瞬态振动时，它是稳态的周
期振动。但在许多实际问题中，激励并非是周期
函数，而是任意的时间函数，或者是在极短时间 间隔内的冲击作用。例如，列车在启动时各车厢 挂钩之间的冲击力；火炮在发射时作用于支承结 构的反作用力；地震波以及强烈爆炸形成的冲击
在自由下落过程中，质量m的运动微分方程为
以z=x-y代表质量m相对于箱子的相对位移，有
式中 假定箱子的质量远大于质量m，因而可以认为
质量m的运动不影响箱子的自由下落。由于箱子是
由高h处自由下落，故有
由卷积积分
有
因而
这就是在箱子着地前质量m相对于箱子的位移与速度。 设箱子着地的瞬时为t1，由自由落体知
上式为卷积积分的另一种表达形式。式中的τ和式 中的u只是积分变量，可见卷积积分对于激励F(t)
和脉冲响应h(t)是对称的，即
卷积积分在线性系统研究中是一个有力的工具。 虽然式
不便于笔算，但是用计算机可以容易地进行计算。
例3．8-1设一单自由度无阻尼系统受到的简谐激励如下：
试用卷积积分计算其响应。 解：在方程
中用t+T代替t后就可得到。同样，对u(t-T)的响应
表示为g(t-T)。因而系统对F(t)的响应就成为
x(t)对t的曲线如图所示。
可见弹簧最大变形为2/k，等于静变形的两倍。
例3.8—4 试用单位阶跃函数的概念计算单自由度
无阻尼系统对图所示的矩形脉冲的响应x(t)。 解：图所描述的函数F(t)可 以方便地用单位阶跃函数来 表示：
根据单自由度无阻尼系统对在t=O处所作用的单
位阶跃函数的响应式
可以把u(t+T)的响应表示为g(t+T)，这只要在方程
发生在t=a处，则它可由下式定义
注意，δ(t-a)是一个沿着时间轴正向移动了a时间 的单位脉冲。
具有上述特性的任何函数(并不一定是矩形
脉冲)，都可用来作为一个脉冲，称为δ函数。
数学上，单位脉冲必须具有零脉冲宽度、单位面
积和无限的高度。这样的脉冲模型不可能在现实
应用中实现，然而在具体系统的脉冲试验中，若 激励的持续时间同系统的固有周期(T=1／f)相比 非常的短，则激励就可以考虑为一个脉冲。δ函 数的单位为s-1，在其他方面的情况，δ函数将有
起的自由振动。 为了找出t=0+时的初始条件，对方程 在区间0-≤t≤O+上积分两次，有
因为
则方程
的右端积分两次为无限小量，可以略去不计。又因
为位移x为有限值，所以方程左端第二项和第三项
的积分值是无限小量或高一阶的无限小量，同样近
似取为零。考虑到x(O-)=0，则有
也就是说，在脉冲力 量m还来不及发生位移。 作用的极短时间内，质
在t=0时，任意激励F(t)作用的瞬时，系统的初始 位移和初始速度为 则系统的响应是由激励和初始条件引起的响应的叠加，即
式
积分式中的脉冲响应被推迟或移动了时间t-τ，
也可以移动激励函数F(t)来代替脉冲响应的移动
而导出一个相似的式子。令t-τ=u则-dr=du，此 外考虑式中的积分限界，当τ=0时，u=t，当τ=t 时，u=0，将其代入式中，得到
中，令ζ=0，ωd=ωn，则
为当t<O时没有激励，所以其响应应该写成下面的形式
上式右端第一项代表强迫振动，它是按激励频率ω 进行的稳态运动，即使振动系统有阻尼也并不衰减； 第二项是按固有频率ωn进行的自由振动，只要振
动有极微小的阻尼就会迅速衰减，所以是瞬态振动。
应用建筑的作用；精密仪表在运输过程中包
装箱速度(大小与方向)的突变等。
在这种激励情况下，系统通常没有稳态振动，而 只有瞬态振动。在激励停止作用后，振动系统将
按固有频率进行自由振动。但只要激励持续，即
使存在阻尼，由激励产生的响应也将会无限地持 续下去。系统在任意激励作用下的振动状态，包 括激励作用停止后的自由振动，称为任意激励的 响应，周期激励是任意激励的一种特例。
其解为
令
，则系统受单位脉冲力F(t)=δ(t)作用，
其响应称为脉冲响应，即
2．卷积积分
利用脉冲响应，可以计算振动系统对任意激励函
数F(t)的响应，把F(t)视为一系列幅值不等的脉冲， 用脉冲序列近似地代替激励F(t)，如图所示，脉冲的 强度由脉冲的面积确定，在任意时刻t=τ处，相应的 时间增量为△τ，有一个大小为F(τ)△τ的脉冲，
不同的量纲。
如果在t=0与t=a处分别作用有瞬时冲量
，则对
应的脉冲力可方便地写成
式中
的单位为N· s。 现在来研究单自由度阻尼系统对脉冲力
的响应，系统振动微分方程为 假定系统在脉冲力 作用之前处于静止，即
由于
作用在t=0处，对于t≥0+，系统不再受
脉冲力的作用，但其影响依然存在。另外，系统对
于零初始条件的响应，将变成t=O+时的初始条件引
上式称为卷积积分，又称为杜哈梅(Duhamel)积分，
它将响应表示成脉冲响应的叠加。这里h(t-τ)是
将方程中h（t）的t用t-τ代替后得到的。因而， 将方程中h（t）的t换成t-τ后代入上面方程，得 到
上式表示单自由度有阻尼的质量—弹簧系统对任意
激励F(t)的响应。要注意的是，上面方程是在零初
始条件下，对于输入F(t)得到的系统输出x(t)。若
现在，只对方程
在区间0-≤t≤O+上积分一次，有
同理，上面方程的右端为 零，而第三项可以忽略不计，得 ，左端的第二项为
可见，若系统在脉冲力作用之前静止，脉冲力 使速度产生瞬时变化，则可以认为在t=0时作用的脉 冲力等效于初始位移x(0)=0和初始速度 的
初始干扰作用，
所以方程
等价于初始条件引起的自由振动，即
解除代表强迫振动外，还包括伴随发生的自由振
动。
1．脉冲响应
一单位脉冲输入，具有零初始条件的系统
响应，称为系统的脉冲响应。
宽度T0、高度l／T0的矩形脉冲，如图所示。
这个矩形脉冲的面积为1，为了得到单位脉冲， 使脉冲宽度T0接近于零，而保持面积为1，在极 限情况下，单位脉冲的数学定义为
这个脉冲发生在t=O处，如图所示。如果单位脉冲
例3.8—2
试确定单自由度
无阻尼系统在零初始条件下
对图中激励函数的响应。
解：由图可得激励函数为
由方程
得到
例 3.8—3
如图所示为一质
量—弹簧系统，箱子由高h处静
止自由下落，当箱子触到地面
时，试求传递到质量m上的最大 力是多少?假定质量m和箱子之
间有足够的间隙，不会碰撞。 解：设x与y分别代表质量m与箱子的绝对位移，