第四节任意激励的响应
振动力学-激励及响应的有关概念
振动力学-激励及响应的有关概念
一．激励及响应的有关概念
1、激励：直接作用于机械运动部件上的力，旋转机械（p21，例
2.2）或往复运动机械中不平衡量引起的惯性力，另一类是由于支承运动（p33，例2.8）而导致的位移激励、速度激励和加速度激励；
2、激励分类：按时间的变化规律分类：简谐激励、周期激励和任意激励；
3、系统响应：系统对周期激励的响应通常指稳态响应，可以借助周期激励的谐波分析来研究。
任意激励或者作用时间极短的脉冲激励下，系统通常没有稳态响应，只有瞬态响应，可以通过脉冲响应或阶跃响应来分析。
激励一旦去除，系统即按自身的固有频率做自由振动。
4、简谐激励下的受迫振动：虽然简单、存在场合较少，但掌握响应的规律，是理解系统对周期激励或更一般激励的响应的基础。
二．平衡位置的选择
对于有重力势能影响的弹性系统，如果以平衡位置为零势能位置，则重力势能与弹性势能之和相当于由平衡位置（不由自然位置）处计算变形的单独弹性力的势能。
三．瑞利（Rayleigh）法计算固有频率瑞利法计算固有频率ωn:先假设振型，与真实振型存在差异，相当于对系统附加了某些约束，增加了系统的刚度，因此固有频率ωn略高于精确值；
以静变形曲线作为振动形状，所得结果误差很小。
本例中，如果对梁的弹性曲线假设任一适当形状，可以期望得到接近振动真实周期的近似值，如果选得精确形状，就会得到精确的周期。
四．等效刚度、等效质量
使系统在选定的坐标上产生单位位移而需要在此坐标方向上施加的力，叫做系统在这个坐标上的等效刚度；使系统在选定的坐标上产生单位加速度而需要在此坐标方向上施加的力，叫做系统在这个坐标上的等效质量。
激励为任意波形的响应与卷积积分
§5.9 激励为任意波形的响应与卷积积分 5.9.1 卷积积分首先，设两个相同函数)(1t f 和)(2t f ，且0<t 时两函数的值均为零，则)(1t f 与)(2t f 的卷积通常用)()(21t f t f *来表示，并由下列积分形式来定义：ξξξd f t f t f t f t)()()()(20121⎰-=* （5-65）1.交换律如果令ξτ-=t ，则ξτd d -=，则有ττξd t f t f t f t ttf ⎰⎰--=-021201)()()()(τττd f t f t)()(102⎰-==)(*)(12t t f f即 )()()()(1221t f t f t f t f *=* （5-66） 2.分配律)()()()()]()([)(3121321t f t f t f t f t f t f t f *+*=+* （5-67）3.结合律)]()([)()()]()([321321t f t f t f t f t f t f **=** （5-68）4.卷积的微分 dtt df t f dtt df t f dtt f t f d )()()()()]()([122121*=*=* （5-69）卷积的积分ξξξξξξξξd f f d f t f d f f ttt ⎰⎰⎰∞-∞-∞-*=*=*)()()()()()(122121 （5-70）)()()(*)(2121t f t f d f dtt df t *=⎰∞-ξξ （5-71）5.9.2 任意输入的零状态响应如果电路的激励)(t e 的波形如图5-52所示，定义的时间区间是（0t ，t ），ξ表示从0t 到t 之间的任意时刻。
对于任意输入电路的激励作用，可以看成是一系列冲激强度不同的时间上依次延迟dt 的冲激激励波的叠加。
首先用一系列具有相同宽度的矩形脉冲来近似表示)(ξe 。
把时间区间(0t ，t )分成相等的几段，每段宽度为△，即∆==-==-=-+ k k t t t t t t 11201。
任意波形激励下的动态响应与卷积积分
任意波形激励下的动态响应与卷积积分湖北民族学院信息工程学院湖北恩施445000摘要：在一二阶电路分析中，卷积积分具有十分重要的意义，特别是在一些内部网络未知的电路结构中，由于给出描述电路系统的微分方程十分的困难，目前只能通过实验获得相应的数据和单位冲激响应的曲线，据此响应，利用卷积积分的方法即可求解出电路中对任意波形激励信号的响应。
在我们的学习过程中，最常见的就是由电阻、电容、电感组成的RC、RL一阶电路网络和RLC二阶电路网络，而这些网络结构在零状态下产生的响应的求解已非常清晰，但是对于复杂的冲激波形的响应，用现有的方法求解显得十分棘手，而本文将通过探究卷积积分的性质及计算方法，分别浅析一阶、二阶电路在此类输入状态下的响应。
关键词：卷积积分一阶电路二阶电路一、引言：由于至今我们分析的电路主要是线性电路，且线性电路满足齐次性、可加性和延时性，任意波形的时间函数)(t f可以被看成是一系列强度不同的、时间上依次延迟dt的冲击函数叠加。
在前面的学习中我们基本了解了用微分方程描述动态电路的基本方法，并对不同动态元件的初始条件进行了讨论，在分析一阶二阶电路的过程中，分别讨论了RC电路和LC电路的各种状态的响应，但是以前所分析的各种情形都是相对独立的，而卷积积分作为时域电路分析的一种基本工具在分析电路响应状态的过程中有着极其广泛的应用，卷积积分对于信号处理、控制理论和动态电路分析均具有重要意义，因此，本文将综合一、二阶电路的各种响应状态将卷积积分的方法做一个初步的探究。
二、卷积积分：2.1 先看卷积积分(Convolution)的定义：设有两个时间函数f1(t)和f2(t)（在t<0时均为零），则f1(t)和f2(t)的卷积通常用f1(t)*f2(t)表示，并定义ξξξd f t f t f t f t)()()(*)(20121-=⎰，称为)(1t f 与)(2t f 的卷积。
当)(t δ作用于电路时，其对应的冲激激励的响应设为)(t h ；当)(t A i δ作用于电路时，那么其对应的冲激响应应为)(t h A i ；如果)(t δ延迟i t 秒作用，那么其对应的延迟冲激响应为)(i t t h -；则)(i i t t A -δ作用于为)(i i t t h A -。
机械动力学——任意周期激励讲解
振幅放大因子
(s)
1
(1s 2 )2 (2 s)2
相位差 (s) tan 1 2 s
1s 2
3
任意周期激励的响应
•已知：
xc
xe
it
,x
H
(
)
F0
,H
(
)
1 k
e
i
•则可以得到：
xc
1 k
ei
F0 e it
F0 k
eit
F0 cost isint
bn
sin
nt )
任意周期激励的响应
系统的稳态响应为:
x(t) a0 an cos(nt n ) bn sin(nt n )
2k n1 k [1 (n / 0 )2 ]2 (2 n / 0 )2
其中
0
k c
周期函数F(t)可展开成Fourier级数，即可分解为无穷个谐波函 数之和。
F (t )
a0 2
(an
n1
cos nt
bn
sin nt)
其中
a0
2 T
T
F (t)dt
an
2 T
T
F (t)cos ntdt
bn
2 T
T
F (t)sin ntdt
2
2F0 T
T
2 sin ntdt
0
T
T sin ntdt
2
2F0 T
系统的激励与响应概念
系统的激励与响应概念系统的激励与响应是指在一个系统中，激励是引起系统变化的外部因素或内部动力，而响应是系统对激励所做出的调整和变化。
在一个系统中，激励和响应之间存在着复杂的关系。
激励可以分为内部因素和外部因素两种。
内部因素是指系统本身内部因素所产生的激励，如系统内部的力学、化学、生物、社会等因素。
例如，一个机械系统中，内部的摩擦力、惯性力等可以作为内部激励影响系统的变化。
外部因素是指系统外部环境对系统所产生的激励，如气候变化、市场需求、政策变化等。
例如，一个企业的经营活动受到市场需求、竞争对手等外部因素的影响，从而产生对产量、定价等策略的调整。
响应是系统对激励所做出的反应和调整。
系统的响应可以是稳定和周期性的，也可以是不稳定和不可预测的。
例如，一个化学反应系统中，当外部因素改变时，化学反应速率和产物浓度等会相应发生变化。
响应的方式可以是系统的增长、减少、转换、适应等。
例如，环境对一个物种的变化激励下，该物种可以凭借适应能力，改变行为、生理、形态等方面来应对环境变化。
激励和响应之间存在着正反馈和负反馈两种关系。
正反馈是指激励和响应之间的相互促进关系，即激励增加导致响应增加，响应增加又进一步促使激励增加。
例如，一个市场的需求增加引起企业产量增加，而企业产量的增加又刺激市场需求继续增加，形成正反馈循环。
正反馈往往会导致系统变化趋势的加速和不稳定。
负反馈是指激励和响应之间的相互抑制关系，即激励增加导致响应减少，响应减少又抑制激励增加。
例如，一个温度控制系统中，当温度升高时，系统会通过控制机制减少加热，使温度下降，从而保持在一个稳定的范围内。
负反馈往往会导致系统的稳定和调节能力。
在系统中，激励和响应之间的关系是相互作用的，同时也受到其他因素的制约和影响。
例如，在生态系统中，不同种类的生物之间存在竞争和互惠关系，它们的相互作用会影响到激励和响应的变化。
此外，系统的结构和特性也会对激励和响应产生重要影响。
例如，一个机械系统的结构和材料特性决定了它对外力的响应和变形程度。
电路系统对任意激励的零状态响应
f( )
t-2 0 h(t )
-1/2 1 t
t
(c) 1 t 3
f( ) h( )
15/16
9/16
-1/2 0 1 3/2 2 3 t (f)
(a)
f(t)h(t)0
(b)
f(t)h(t) t1 211 2(t)dt4 24 t1 16
(c)
f(t)h(t) 11 211 2(t)d3 4 t1 3 6
B B e- t
0
t
（ b）
f(t)
A
0a
(C )
0
（
at d）
（2）计算卷积积分：
y(t)f(t)*h(t)
ⅰ.t<0， f()和h(t)无重叠。
ⅱ.0≤t≤a，tl1=0, tl2=-∞,选tr1=a, tr2=t
界中的最小者。
f()
h(t )
t
t-2
-1/20 1
t
(a) t 1 2
f( )
-1/2 0 t-2 1
h(t )
t t
(d) 1 t 3 2
h(t )
f( )
t-2 -1/20 t 1
t
(b) 1 t 1 2
f( )
h(t )
0 t-2
-1/2 1 t
t
(e) 3 t
(d)
f(t)h (t)11 1(t )d t2t3
t 2 2
4 24
(e)
f(t)h(t)0
例：求如图（a）（b）所说函数f(t)和h(t)的卷积积分。 解： （1）写出表达式：
A f (t) {
0
0
h
(t)
{ B
课件：激励与响应的谱关系
所以
帕塞瓦尔方程 或能量守恒方程
这是能量守恒定律在信号的时域和频域关系中的体现。
令 ε(ω)=|F(ω)|2，将其称为信号 的能量谱密度函数，简 称能量频谱或能量谱。
能量谱函数与自相关函数是一对傅里叶变换对，即
一、能量谱与功率谱
ε(ω)是ω的偶函数，它只决定于频谱函数的模，而与相 位无关，其单位是焦耳•秒。
一、能量谱与功率谱
依据能量谱分析的方法，可以得到功率信号功率谱的定义。 对于功率有限信号 f(t)，截取一段fT(t)
根据式(4.7.5)， fT(t)的能量可以表示为 f(t)的平均功率为
一、能量谱与功率谱
当T→∞ 时， |FT(ω)| 2→∞ ，但|FT(ω)| 2/T可能趋于某一有 限值。 若该有限值存在，则定义它为功率信号 的功率谱密度函 数，记为p系
从自相关函数的角度来看，系统的输入输出为
系统激励与响应的自相关函数关系
二、 LTI系统激励与响应的谱关系
现在我们进一步讨论作为能量谱和功率谱傅里叶逆变 换的激励和响应的自相关函数之间的关系，具体分析 方法就是在谱关系的基础上进行傅里叶逆变换。
两边进行傅里叶逆变换，并根据自相关函数与能量谱为 傅里叶变换对的关系，得到
其中 Rh(τ)=h(t) h*(-t)，为系统单位冲激响应的自相关函 数。
信号与系统
§4.7 激励与响应的谱关系
北京航空航天大学电子信息学院 2021/7/9
一、能量谱与功率谱
相关定理不仅是相关与卷积关系的频域体现，它同时 引出一个重要关系，信号 的自相关函数 R(τ)与 |F(ω)|2 分别构成傅里叶变换对，即
当τ=0时，由上式可得 根据自相关函数定义
，可知
一、能量谱与功率谱
振动力学-激励及响应的有关概念
一．激励及响应的有关概念
1、激励：直接作用于机械运动部件上的力，旋转机械（p21，例 2.2）或往复运动机械中不平衡量引起的惯性力，另一类是由于支承运动（p33，例2.8）而导致的位移激励、速度激励和加速度激励；
2、激励分类：按时间的变化规律分类：简谐激励、周期激励和任意激励；
3、系统响应：系统对周期激励的响应通常指稳态响应，可以借助周期激励的谐波分析来研究。
任意激励或者作用时间极短的脉冲激励下，系统通常没有稳态响应，只有瞬态响应，可以通过脉冲响应或阶跃响应来分析。
激励一旦去除，系统即按自身的固有频率做自由振动。
4、简谐激励下的受迫振动：虽然简单、存在场合较少，但掌握响应的规律，是理解系统对周期激励或更一般激励的响应的基础。
二．平衡位置的选择
对于有重力势能影响的弹性系统，如果以平衡位置为零势能位置，则重力势能与弹性势能之和相当于由平衡位置（不由自然位置）处计算变形的单独弹性力的势能。
三．瑞利（Rayleigh）法计算固有频率瑞利法计算固有频率ωn:先假设振型，与真实振型存在差异，相当于对系统附加了某些约束，增加了系统的刚度，因此固有频率ωn略高于精确值；
以静变形曲线作为振动形状，所得结果误差很小。
本例中，如果对梁的弹性曲线假设任一适当形状，可以期望得到接近振动真实周期的近似值，如果选得精确形状，就会得到精确的周期。
四．等效刚度、等效质量
使系统在选定的坐标上产生单位位移而需要在此坐标方向上施加的力，叫做系统在这个坐标上的等效刚度；使系统在选定的坐标上产生单位加速度而需要在此坐标方向上施加的力，叫做系统在这个坐标上的等效质量。
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第四节 任意激励的响应
受有任意激励()F t 作用的单自由度系统，其振动微分方程
()mx cx kx F t ++=
若在0t
= 时有初位移0x 和初速度0x ，则系统的总响应为
00
0()
()[cos sin ]
1()sin ()n n t
n d d d
t t a d d
x x x t e
x t t F a e
t a dt
m ζωζωζωωωωωω---+=+
+-⎰
（4-2）
上式称为杜哈美（Duhamel ）积分。
注：（1）由杜哈美（Duhamel ）积分所得到的响应包含了强
迫振动的稳态响应和瞬态响应两部分。
（2）对于无阻尼系统，杜哈美（Duhamel ）积分为
00
()cos sin 1
()sin ()n n n
t n n
x x t x t t
F a t a dt
m ωωωωω=+
+-⎰
例题：确定弹簧质量系统在0t = 时受到突加常力
0()F t F = 作用下的响应。
t
)
t F
解：系统振动微分方程为
()
mx kx F t +=
其中 n ω=，周期 2n T πω=
由式（4-2），得系统的响应
002sin ()(1cos )(1cos )t n n
n n n F x t a da
m F F t t m k
ωωωωω=
-=-=-⎰
系统响应曲线如下图：
2
可见，当2n
T t πω== 时，弹簧的最大变形为
02F k ，它是静变形的2倍。
例题：确定上例系统从0t =到1t t = 时受到突加矩形脉冲
作用下的响应。
(F t 0
F
解：1. 在10t
t ≤≤ 阶段，其响应与上例相同，为
(1cos )n F x t k
ω=- ， 10t t ≤≤ （a ）
2. 在1t
t ≥ 阶段，振动系统的响应就是除去激振力后的剩
余振动。
此时，系统按固有频率做自由振动，且以在瞬时
1t t =的位移1()x t 和速度1()x t 作为初始条件。
则系统剩余
振动的响应为
1111()
()()cos ()sin ()n n n
x t x t x t t t t t ωωω=-+
-（b ）
其中初始位移1()x t 和初始速度1()x t 可由式（a ）求出，为
11()(1cos )n F x t t k ω=-
011()sin n
n F x t t k
ωω=
代入式（b ），得
11()[cos ()cos ],n n F x t t t t t t k
ωω=-+≥ （c ）
系统剩余振动的振幅为
010122sin sin 2n X F k F t F t k k T ωπ==== （d ） 式中2n
T π
ω=为系统自由振动的周期。
由此可见，在除去常
力()F t 后，质量m 的振幅X 随比值1
t T
而改变。
设 12T
t =，则 02F X k
=
设
1t T =，则 0X =，系统在除去激励()F t 后就停
止不动。