任意函数的输入响应
第二章测试装置的基本特性
输入输出(响应)系统第二章 测试装置的基本特性第一节 概述测试是具有试验性质的测量，是从客观事物取得有关信息的过程。
在此过程中须借助测试装置。
为实现某种量的测量而选择或设计测量装置时，就必须考虑这些测量装置能否准确获取被测量的量值及其变化，即实现准确测量，而能否实现准确测量，则取决于测量装置的特性。
这些特性包括动态特性、静态特性、负载特性、抗干扰性等。
测量装置的特性是统一的，各种特性之间是相互关联的。
1、测试装置的基本要求通常工程测试问题总是处理输入量)(t x 、装置（系统）的传输特性)(t h 和输出量)(t y 三者之间的关系。
图2-1系统、输入和输出1)当输入、输出是可测量的(已知)，可以通过它们推断系统的传输特性。
(系统辨识)。
2)当系统特性已知，输出可测量，可以通过它们推断导致该输出的输入量。
(反求)。
3)如果输入和系统特性已知，则可以推断和估计系统的输出量。
(预测) 。
测试装置的基本特性主要讨论测试装置及其输入、输出的关系。
理想的测试装置应该具有单值的、确定的输入——输出关系。
即对应于某一输入量，都只有单一的输出量与之对应 。
知道其中的一个量就可以确定另一个量。
以输出和输入成线性关系为最佳。
一般测量装置只能在较小工作范围内和在一定误差允许范围内满足这项要求。
2、测量装置的静态特性测试系统的静态特性就是在静态测量情况下，描述实际测试装置与理想定常线性系统的接近程度。
测量装置的静态特性是通过某种意义的静态标定过程确定的。
静态标定是一个实验过程，这一过程是在只改变测量装置的一个输入量，而其他所有的可能输入严格保持为不变的情况下，测量对应得输出量，由此得到测量装置的输入输出关系。
3、测量装置的动态特性测量装置的动态特性是当被测量即输入量随时间快速变化时，测量输入与响应输出之间的动态关系得数学描述。
研究测量装置动态特性时，认为系统参数不变，并忽略迟滞、游隙等非线性因素，可用常系数线性微分方程描述测量装置输入与输出间的关系。
脉冲响应原理
脉冲响应原理
脉冲响应原理是信号处理中一个重要的概念，用于描述系统对于输入信号脉冲的响应方式。
它是通过输入一个单位脉冲信号，观察系统输出的响应，从而推导出系统对任意输入信号的响应。
在信号处理中，系统可以是一个滤波器、一个电路、一个传感器或者其他任何能够对输入信号进行处理并产生输出信号的装置。
通过研究系统对单位脉冲信号的响应，我们可以得到系统的冲激响应函数，也称为脉冲响应函数。
系统的脉冲响应函数描述了系统对一个单位脉冲信号的处理过程。
当输入信号为一个单位脉冲信号时，系统的输出信号就是脉冲响应函数对应时刻的值。
通过对单位脉冲信号的不同延迟和幅度进行组合，我们可以得到系统对任意输入信号的响应。
脉冲响应函数通常用数学公式来表示。
在离散时间信号处理中，脉冲响应函数通常是一个离散序列。
而在连续时间信号处理中，脉冲响应函数通常是一个连续函数。
脉冲响应原理在实际应用中具有广泛的应用。
例如，通过研究音频系统的脉冲响应函数，我们可以了解不同频率的音乐信号对系统音质的影响；通过研究电路的脉冲响应函数，我们可以了解系统对输入电压的稳定性和响应速度；通过研究滤波器的脉冲响应函数，我们可以了解滤波器对输入信号的频率特性。
总之，脉冲响应原理是信号处理中的重要概念，它描述了系统对输入信号脉冲的响应方式。
通过对系统的脉冲响应函数的研究，我们可以了解系统对任意输入信号的响应方式。
脉冲响应原理在实际应用中具有广泛的应用，对于理解和设计各种信号处理系统都具有重要意义。
复频域求零输入响应
复频域求零输入响应一、概述复频域求零输入响应是一种求解线性时不变系统的响应的方法。
该方法利用了傅里叶变换的性质，将时域中的微分方程转换为复频域中的代数方程，从而得到系统的频率响应函数。
进而可以求出系统对任意输入信号的响应。
二、复频域1. 傅里叶变换傅里叶变换是一种将一个函数从时域转换到频域的方法。
它可以将一个周期函数表示为无限多个正弦和余弦函数的加权和，从而展示出这个函数在不同频率下的分布情况。
2. 复数在复频域中，我们使用复数来表示信号和系统。
一个复数可以表示为实部加上虚部乘以虚数单位i，即z=a+bi。
其中a和b都是实数，i 满足i²=-1。
3. 复频域中的微分方程在复频域中，微分方程可以表示为代数方程。
我们可以通过对时域微分方程进行傅里叶变换，并将导数转化为虚数单位i乘以角频率ω，从而得到复频域下的表达式。
三、零输入响应1. 定义零输入响应指当系统没有外部输入信号时，系统的响应。
这个响应是由系统的初始状态决定的。
2. 复频域下的零输入响应在复频域中，零输入响应可以表示为系统对初始条件的响应。
我们可以通过将时域中的初始条件转换为复频域下的表达式，并与系统的频率响应函数相乘，从而得到复频域下的零输入响应。
四、求解方法1. 求解过程首先，我们需要将时域中的微分方程转换为复频域下的代数方程。
然后，我们需要求出系统的频率响应函数。
接着，我们将初始条件转换为复频域下的表达式，并与系统的频率响应函数相乘，从而得到复频域下的零输入响应。
2. 实例以二阶低通滤波器为例，其微分方程为：y''(t) + 2ξω0y'(t) + ω02y(t) = x(t)其中ω0和ξ分别表示滤波器自然角频率和阻尼比。
将该微分方程进行傅里叶变换，并假设初始条件y(0)=0和y'(0)=0，则可得到复频域下的代数方程：H(jω) = Y(jω)/X(jω) = 1/(jω)² + 2ξω0/(jω) + ω02其中H(jω)表示系统的频率响应函数。
控制系统数字仿真与cad第5章控制系统的计算机辅助分析
【例5－6】假设系统的开环传递函数为 试求该系统在单位负反馈下的阶跃响应曲线和最大超调量。 解：MATLAB程序为： %ex5_6.m num0=20;den0=[1 8 36 40 0];[num,den]=cloop(num0,den0); t=0:0.1:10;[y,x,t]=step(num,den,t);plot(t,y) M=((max(y)-1)/1)*100;disp([‘最大超调量M=‘ num2str(M) ‘%’]) 执行结果为：最大超调量M＝2.5546%，单位阶跃响应曲线如图5－3中曲线所示。
图5-3 例5－6的单位阶跃响应曲线
例5-7 对于典型二阶系统 试绘制出无阻尼自然振荡频率ωn=6，阻尼比ζ分别为0.2,0.4,…,1.0,2.0时系统的单位阶跃响应曲线。
解 MATLAB程序为 %Example5_7.m wn=6;zeta=[0.2:0.2:1.0:2.0]; figure(1);hold on for k=zeta; num=wn.^2; den=[1,2*k*wn,wn.^2]; step(num,den);end title('Step Response');hold off 执行后可得如图5-5所示的单位阶跃响应曲线。 从图中可以看出，在过阻尼( ) 和临界阻尼( ) 响应曲线中，临界阻尼响应应具有最短的上升时间，响应速度最快；在欠阻尼（ ） 响应曲线中，阻尼系数越小，超调量越大，上升时间越短，通常取
数字信号处理 实验作业：离散LSI系统的时域分析
实验2 离散LSI 系统的时域分析一、.实验目的：1、加深对离散系统的差分方程、单位脉冲响应、单位阶跃响应和卷积分析方法的理解。
2、初步了解用MA TLAB 语言进行离散时间系统时域分析的基本方法。
3、掌握求解离散时间系统的单位脉冲响应、单位阶跃响应、线性卷积以及差分方程的程序的编写方法，了解常用子函数的调用格式。
二、实验原理：1、离散LSI 系统的响应与激励由离散时间系统的时域分析方法可知，一个离散LSI 系统的响应与激励可以用如下框图表示：其输入、输出关系可用以下差分方程描述：[][]NMkk k k ay n k b x n m ==-=-∑∑2、用函数impz 和dstep 求解离散系统的单位脉冲响应和单位阶跃响应。
例2-1 已知描述某因果系统的差分方程为6y(n)+2y(n-2)=x(n)+3x(n-1)+3x(n-2)+x(n-3) 满足初始条件y(-1)=0，x(-1)=0，求系统的单位脉冲响应和单位阶跃响应。
解： 将y(n)项的系数a 0进行归一化，得到y(n)+1/3y(n-2)=1/6x(n)+1/2x(n-1)+1/2x(n-2)+1/6x(n-3)分析上式可知，这是一个3阶系统，列出其b k 和a k 系数： a 0=1， a ,1=0， a ,2=1/3， a ,3=0 b 0=1/6，b ,1=1/2， b ,2=1/2， b ,3=1/6程序清单如下： a=[1,0,1/3,0]; b=[1/6,1/2,1/2,1/6]; N=32; n=0:N-1; hn=impz(b,a,n); gn=dstep(b,a,n);subplot(1,2,1);stem(n,hn,'k');课程名称 数字信号处理 实验成绩 指导教师 ***实 验 报 告院系 班级学号 姓名 日期title('系统的单位序列响应'); ylabel('h(n)');xlabel('n');axis([0,N,1.1*min(hn),1.1*max(hn)]); subplot(1,2,2);stem(n,gn,'k'); title('系统的单位阶跃响应'); ylabel('g(n)');xlabel('n');axis([0,N,1.1*min(gn),1.1*max(gn)]); 程序运行结果如图2-1所示：102030系统的单位序列响应h (n )n1020300.20.30.40.50.60.70.80.911.11.2系统的单位阶跃响应g (n )n图2-13、用函数filtic 和filter 求解离散系统的单位序列响应和单位阶跃响应。
控制系统的分析方法-MATLAB技术应用
ii=find(条件式)
用来求取满足条件的向量的下标向量，以列向量表示。
例如
条件式real(p>0)，其含义就是找出极点向量p中满足实 部的值大于0的所有元素下标，并将结果返回到ii向量中去。这 样如果找到了实部大于0的极点，则会将该极点的序号返回到ii 下。如果最终的结果里ii的元素个数大于0，则认为找到了不稳 定极点，因而给出系统不稳定的提示，若产生的ii向量的元素 个数为0，则认为没有找到不稳定的极点，因而得出系统稳定 的结论。 pzmap(p,z)
系统稳定及最小相位系统的判别 方法
1、间接判别（工程方法） 劳斯判据：劳斯表中第一列各值严格为正，则系统 稳定，如果劳斯表第一列中出现小于零的数值，系 统不稳定。 胡尔维茨判据：当且仅当由系统分母多项式构成的 胡尔维茨矩阵为正定矩阵时，系统稳定。 2、直接判别 MATLAB提供了直接求取系统所有零极点的函数， 因此可以直接根据零极点的分布情况对系统的稳定 性及是否为最小相位系统进行判断。
margin()函数
margin函数可以从频率响应数据中计算出幅值裕度、相角裕度以 及对应的频率。幅值裕度和相角裕度是针对开环SISO系统而言，它 指示出系统闭环时的相对稳定性。当不带输出变量引用时，margin 可在当前图形窗口中绘制出带有裕量及相应频率显示的Bode图，其 中幅值裕度以分贝为单位。 幅值裕度是在相角为-180度处使开环增益为1的增益量，如在-180 度相频处的开环增益为g，则幅值裕度为1/g；若用分贝值表示幅值 裕度，则等于：-20*log10(g)。类似地，相角裕度是当开环增益为1.0 时，相应的相角与180度角的和。
控制系统的稳定性分析
系统稳定及最小相位系统判据
对于连续时间系统，如果闭环极点全部在S平面左 半平面，则系统是稳定的。 对于离散时间系统，如果系统全部极点都位于Z 平面的单位圆内，则系统是稳定的。
初始值的计算,零输入响应,零状态响应,全响应及三要素公式的推导(2)
法：先用三要素求出iL(t)的全响应，iL(t) = iL(0+)e-t/τ+ iL(∞)（1- e-t/τ）， 其中iLzi(t) = iL(0+)e-t/τ，iLzs(t) = iL(∞)（1- e-t/τ），
即若所求响应为iL(t)或uC(t)时，可直接从全响应的三要
素公式中把其零输入响应和零状态响应分离出。 利用
应用阶跃函数表示其他信号
电路分析基础
3.15 阶跃函数
2
1. 单位阶跃函数定义
单位阶跃函数用ε(t)表示，其定义为：
(t
def
)
1
0
,t 0 ,t 0
该函数在t = 0处发生单位跃变，波形如图(a)。
f
(t )
def
K (t)
K
0
,t 0 ,t 0
电路分析基础
3.15 阶跃函数
τC=RCC=2×1=2s，τL=L/RL =2/(2//2+1) =1s
电路分析基础
3.14 一阶电路三要素计算
7
iL(0+) =iL(0-)=4(A) uC (0+)= uC(0-)=4(V) τC==2s， τL=1s 画出换路后的0+等效电路如图 (d)所示。 i1(0+) =2A，i2(0+) =1A。
τ2= (R2//R3)C =1s
uC(t) = 4 - 2.53e-(t-2) (V) ，t ≥2s
电路分析基础
3.13 一阶电路三要素计算
7
例3 如图 (a)所示电路，在t < 0时开关S位于b点，
电路已处于稳态。t = 0时开关S由b点切换至a点。
求t≥0时的电压uC(t)和电流i(t)。
第七章 系统频率响应及其仿真
【说明】
MATLAB中频率范围w除可直接用冒号生成法生成外，还可由两 个函数给定：linspace (w1, w2, N) 产生频率在w1和w2之间N个线 性分布频率点；logspace (w1, w2, N) 产生频率在w1和w2之间N个 对数分布频率点；N可以省略。 调用 nyquist() 指令若指定 w ，则 w 仍然必须是正实数组 ,MATLAB 将自动绘制与-w对应的Nyquist轨迹。 所绘Nyquist图的横坐标为系统频率响应的实部,纵坐标为虚部.
ω=0
−
Gk ( s ) = G ( s ) H ( s )
G( s) Φ( s) = 1 + G( s) H ( s)
频率特性的一般概念
Nyquist稳定性判据
绘制ω从0→+∞变化时GK(jω)的Nyquist轨迹，求出其
包围(-1,j0)点的次数N， 顺时针为正，逆时针为负； 由给定的开环传递函数确定开环右极点的个数P， 右 零点数Z； 若Z=P+N则闭环系统稳定，否则不稳定。如果GK(jω) 的Nyquist曲线刚好通过(-1,j0)点，表明有闭环极点位 于虚轴上，系统仍然不稳定。
s −α
线 性 系i 统 -t / T o j ωt ) k e r ( t ) ∴ xo（ (t或元件） )= ki e c(t+ 0
∑
i =1
K
x (t)
+ k 0 e − j ωt
*
G ( jω ) = G ( jω ) e j∠G ( jω )
A 其中：k
0
=−
0
e jθ = cos(θ ) + i sin( θ )
指定频率向量
不指定频率向量
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num G ( s) den
例 反馈系统如图 (a)所示，系统输入信号为 图 (b)所示的三角波，求a [rad]')； grid 其响应曲线如图 所示
。
图 系统响应曲线
1. 生成特定的激励信号的函数gensig( ) 格式：[u,t] = gensig(type,tau)
功能：按指定的类型type和周期tau生成特定类型的激励信
号u。其中变元type可取字符为：‘sin’(正弦)、‘square’(方 波)、‘pulse’(脉冲)。
plot(t,u,'--');hold on; sys=tf([1,1],[1,2,5]); lsim(sys,u,t,'k'); 该程序运行所得 结果如图所示。
%绘制激励信号 %生成传递函数模型 %系统对方波激励信号的响应
图 方波响应曲线
5 Simulink中的时域响应举例
例 图的Simulink的仿真框图可演示系统对典型信号的时间 响应曲线，图中给出阶跃响应曲线。
s 1 G( s ) 2 [例] 求系统： s 2s 5 的方波响应，其中方波周期为6秒，持续时间12秒，采样 周期为0.1秒。 MATLAB程序为： [u,t]=gensig(‘square’,6,12,0.1); %生成方波信号（按指定的
类型type和周期tau生成特定类型的激励信号u。其中变元type可取字符为： ‘sin’(正弦)、‘square’(方波)、‘pulse’(脉冲)。）
R(s) 10S 20 S 2 10S C(s)
r(t) 2 2 -2 4 6 8
（a）
图 反馈系统及输入信号
（b）
MATLAB实现指令 numg=[10,20];deng=[1,10,0]; [num,den]=cloop(numg,deng,-1); v1=[0:0.1:2]; v2=[1.9:-0.1:-2]; v3=[-1.9:0.1:0]; t=[0:0.1:8]; u=[v1,v2,v3]; [y,x]=lsim(num,den,u,t); plot(t,y,t,u); xlabel('Time [sec]');