§5.2 利用系统函数求响应
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利用系统函数求响应.ppt
s j jC
显然，二种方法结果不相等。因此,在求解电路 响应时需要针对具体问题考虑它的确切含义。
二、利H用(j) Fh(求t) 系统对非周期信号的响应
下图所示RC电路，在输入端1 1加入矩形脉冲v1t ， 利用傅里叶分析方法求2 2端电压v2 t 。
1
R
v1 (t )
C
2 分析：
v2(t) R j H j E j
§ 5.2 利用系统函数求响应
• 主要内容
•系统的频响特性与H(s)的关系
•利用 H(j) F求h(系t)统对非周期信号的响应
• 重点：利用H(j) F求h(系t)统对非周期信号的响
应
一、系统的频响特性与H(s)的关系
当H (s)在虚轴上及右半平面无极点,这时有：
Fht H j H s s j
1
vC 0 0
2
H j ht Fet
v1(t) E
H s
s j
O
t
rt F 1R j
解：
1
H
s
R
sC 1
1
RC s 1
令 1
RC
sj
H
j
j
sC
RC
激励信号v1 t 的傅里叶变换式为
V1
j
E
Sa
2
e
j 2
E
j
1 e j
响应v2 t的傅式变换
V2 j H j V1 j
j
E
Sa
e
j
2
2
V2 j e j2
求v2(t)
v2
j
j
E
j
1 e j
EБайду номын сангаас
显然，二种方法结果不相等。因此,在求解电路 响应时需要针对具体问题考虑它的确切含义。
二、利H用(j) Fh(求t) 系统对非周期信号的响应
下图所示RC电路，在输入端1 1加入矩形脉冲v1t ， 利用傅里叶分析方法求2 2端电压v2 t 。
1
R
v1 (t )
C
2 分析：
v2(t) R j H j E j
§ 5.2 利用系统函数求响应
• 主要内容
•系统的频响特性与H(s)的关系
•利用 H(j) F求h(系t)统对非周期信号的响应
• 重点：利用H(j) F求h(系t)统对非周期信号的响
应
一、系统的频响特性与H(s)的关系
当H (s)在虚轴上及右半平面无极点,这时有：
Fht H j H s s j
1
vC 0 0
2
H j ht Fet
v1(t) E
H s
s j
O
t
rt F 1R j
解：
1
H
s
R
sC 1
1
RC s 1
令 1
RC
sj
H
j
j
sC
RC
激励信号v1 t 的傅里叶变换式为
V1
j
E
Sa
2
e
j 2
E
j
1 e j
响应v2 t的傅式变换
V2 j H j V1 j
j
E
Sa
e
j
2
2
V2 j e j2
求v2(t)
v2
j
j
E
j
1 e j
EБайду номын сангаас
系统的频率响应函数
系统的频率响应函数
频率响应函数通常用H(ω)表示，其中ω为角频率。
频率响应函数
可以分为振幅响应和相位响应两个部分。
振幅响应函数H(ω)的模值，H(ω)，表示系统对不同频率的输入信
号的放大或衰减程度。
振幅响应函数通常使用分贝（dB）单位表示。
若，
H(ω)，为0dB，则表示系统对该频率的信号不进行放大或衰减；若，
H(ω)，为正值，则表示系统对该频率的信号进行放大；若，H(ω)，为负值，则表示系统对该频率的信号进行衰减。
相位响应函数H(ω)的角度表示系统对不同频率的输入信号的相位差。
相位响应函数通常使用角度（°）单位表示。
相位响应可以告诉我们系统
对不同频率信号的相位差，尤其对于时域信号的传输和滤波具有重要的意义。
系统的频率响应函数可以通过多种方法来得到，比如频率域采样、离
散傅里叶变换、Z变换等。
对于线性时不变系统，频率响应函数H(ω)可
以通过系统的冲激响应函数h(t)和冲激函数δ(t)之间的关系求得，即
H(ω) = ∫h(t)e^(-jωt)dt。
频率响应函数对于系统分析和设计具有重要的意义。
在系统控制和滤
波方面，我们可以通过频率响应函数对系统的频率特性进行评估和优化。
在通信系统中，频率响应函数可以帮助我们了解系统对不同频率的信号的
传输特性，从而对系统进行调整和改进。
总结起来，系统的频率响应函数是系统对不同频率信号的放大或衰减
程度以及相位差的表征。
通过频率响应函数，我们可以对系统的频率特性
进行评估和优化，从而在系统分析和设计中起到重要的作用。
第五章 傅里叶变换应用
1 1 2
频域卷积定理
2
( )则
F[cos 1 t] [ ( 1 ) ( 1 )] F[sin 1 t] j [ ( 1 ) ( 1 )] 1 j 0 t j 0 t cos 0t (e e ) 2 1 F [ f (t ) cos 0t ] [ F ( 0 ) F ( 0 )] 2 1 j 0t j 0t sin 0t (e e ) 2j 1 F [ f (t ) sin 0t ] [ F ( 0 ) F ( 0 )] 23 2j
思考： 图（a）所示系统，频率特性如图(b)所示，求响应y(t)。其中
即：f (t ) 2 4 cos5t 4 cos10t
【解】
H ( j0 ) 1
1 H ( j5) 2
(a)
H ( j1 0 ) 0
(b)
y(t ) 2 2 cos5t
调幅信号作用于线性系统
傅里叶变换应用 -5.2 利用系统函数(频率响应）求系统 响应
利用系统函数（频率响应）求系统响应
例：系统的h(t)=(e-2t-e-3t)u(t),
统零状态响应 r(t) 。
系统输入信号e(t)=e-tu(t), 求系
解：
1 1 H ( j ) 2 j 3 j
1 E ( j ) 1 j
例2：设某恒参信道可用图所示的线性系统来等效。试
求它的频率响应H(ω)，并说明信号通过该信道时会产生 哪些失真。 R j RC 解： H ( ) 1 1 j RC R jC RC H ( ) 1 ( RC ) 2 1 ( ) arctan RC
H ( j w 0 )e
频域卷积定理
2
( )则
F[cos 1 t] [ ( 1 ) ( 1 )] F[sin 1 t] j [ ( 1 ) ( 1 )] 1 j 0 t j 0 t cos 0t (e e ) 2 1 F [ f (t ) cos 0t ] [ F ( 0 ) F ( 0 )] 2 1 j 0t j 0t sin 0t (e e ) 2j 1 F [ f (t ) sin 0t ] [ F ( 0 ) F ( 0 )] 23 2j
思考： 图（a）所示系统，频率特性如图(b)所示，求响应y(t)。其中
即：f (t ) 2 4 cos5t 4 cos10t
【解】
H ( j0 ) 1
1 H ( j5) 2
(a)
H ( j1 0 ) 0
(b)
y(t ) 2 2 cos5t
调幅信号作用于线性系统
傅里叶变换应用 -5.2 利用系统函数(频率响应）求系统 响应
利用系统函数（频率响应）求系统响应
例：系统的h(t)=(e-2t-e-3t)u(t),
统零状态响应 r(t) 。
系统输入信号e(t)=e-tu(t), 求系
解：
1 1 H ( j ) 2 j 3 j
1 E ( j ) 1 j
例2：设某恒参信道可用图所示的线性系统来等效。试
求它的频率响应H(ω)，并说明信号通过该信道时会产生 哪些失真。 R j RC 解： H ( ) 1 1 j RC R jC RC H ( ) 1 ( RC ) 2 1 ( ) arctan RC
H ( j w 0 )e
信号与系统§5.2 利用系统函数求响应
§5.2 利用系统函数H(j)求响应
•系统的频响特性与H(s)的关系 •正弦信号激励下的稳态响的关系
当H ( s)在 虚 轴 上 及 右 半 平 面 无极 点 ：
Fht Hj Hs s j
当H ( s)在 虚 轴 上 有 极 点 不 同 。 例：
当输入为 t时，求出v(t)即h(t)
1t
1
i t
h(t) v(t) i(t)d t u(t)
C
C
H(s) Lh(t) 1
s
H(j ) Fh(t) 1
j
C vt
二．正弦信号激励下系统的稳态响应
设激励信号为sin0t,系统的频率响应为H() H() ej()，
总结
系统可以看作是一个信号处处理器：
H j 是一个加权函数对，信号各频率分量进行 加权。
， 信 号 的 幅 度 由 H (j ) 加 权 ，信号的相位由 修正。
对于不同的频率 ，有不同的加权作用，这也是信
号分解，求响应再叠加的过程。
则系统的稳态响应为
H(0 ) sin0t (0 )
正 弦 信 号sin0t作 为 激 励 的 稳 态 响 应 为与 激 励 同
频 率 的 信 号 ， 幅 度 由H j0 加 权 ， 相 移 0 。 H j 代 表 了 系 统 对 信 号 的 处理 效 果 。
三．非周期信号的响应
• 傅氏分析从频谱改变的观点说明激励与响应波形的差 异，系统对信号的加权作用改变了信号的频谱，物理 概念清楚； •用傅里叶分析法求解过程烦琐，不如拉氏变换容易； •引出H(jω)重要意义在于研究信号传输的基本特性， 简历滤波器的基本概念，并理解频响特性的物理意义， 这些理论内容在信号传输和滤波器设计等实际问题中 具有十分重要的指导意义。
•系统的频响特性与H(s)的关系 •正弦信号激励下的稳态响的关系
当H ( s)在 虚 轴 上 及 右 半 平 面 无极 点 ：
Fht Hj Hs s j
当H ( s)在 虚 轴 上 有 极 点 不 同 。 例：
当输入为 t时，求出v(t)即h(t)
1t
1
i t
h(t) v(t) i(t)d t u(t)
C
C
H(s) Lh(t) 1
s
H(j ) Fh(t) 1
j
C vt
二．正弦信号激励下系统的稳态响应
设激励信号为sin0t,系统的频率响应为H() H() ej()，
总结
系统可以看作是一个信号处处理器：
H j 是一个加权函数对，信号各频率分量进行 加权。
， 信 号 的 幅 度 由 H (j ) 加 权 ，信号的相位由 修正。
对于不同的频率 ，有不同的加权作用，这也是信
号分解，求响应再叠加的过程。
则系统的稳态响应为
H(0 ) sin0t (0 )
正 弦 信 号sin0t作 为 激 励 的 稳 态 响 应 为与 激 励 同
频 率 的 信 号 ， 幅 度 由H j0 加 权 ， 相 移 0 。 H j 代 表 了 系 统 对 信 号 的 处理 效 果 。
三．非周期信号的响应
• 傅氏分析从频谱改变的观点说明激励与响应波形的差 异，系统对信号的加权作用改变了信号的频谱，物理 概念清楚； •用傅里叶分析法求解过程烦琐，不如拉氏变换容易； •引出H(jω)重要意义在于研究信号传输的基本特性， 简历滤波器的基本概念，并理解频响特性的物理意义， 这些理论内容在信号传输和滤波器设计等实际问题中 具有十分重要的指导意义。
郑君里《信号与系统》(第3版)【教材精讲+考研真题解析】讲义 第5章 傅里叶变换应用于通信系统——
3 2
c
j)2 (
3 2
c
)
2
| H ( j) | e
j ( )
| H ( j) |
1
[1
(
c
)
2
]2
(
c
)
2
(
)
arctan[
1
c
(c
)
2
]
h(t) F 1[H ( j)]
2 c 3
ct
e 2 sin(
3 2
ct
)
波形及频谱图：
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衰减不能过于迅速；佩利-维纳准则是系统物理可实现的必要条件，而不是充分条件。
五、希尔伯特变换研究系统函数的约束条件
7 / 26
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希尔伯特变换对
R()
1
X
()
d
X
(
)
1
R( )
d
该变换对说明具有因果性的系统函数 H ( j) 的实部 R() 被已知的虚部 X () 唯一
轴上的相对位置产生变化；
（3）线性失真：幅度、相位变化，不产生新的频率成分；
（4）非线性失真：产生新的频率成分。
2．无失真传输条件
（1）无失真传输
系统的无失真传输是指响应信号与激励信号相比，只是大小与出现的时间不同，而无波
形 上 的 变 化 。 设 激 励 信 号 为 e(t) ， 响 应 信 号 为 r(t) ， 则 无 失 真 传 输 的 条 件 是 r(t) Ke(t t0) ，K 为常数， t0 为滞后时间，如图 5-1 所示。
第五章拉氏变换
第五章 傅里叶变换应用于通信系统 -滤波、调制与抽样
第五章 傅里叶变换的应用
-滤波、调制与抽样
5.1 频域系统函数 5.2 利用频域系统函数求响应 5.3 无失真传输 5.4 理想低通滤波器 5.5 系统的物理可实现性、佩利-维纳准
则 5.7 调制与解调 5.9 从抽样信号恢复连续时间信号
2
滤波
3.信号无失真传输条件（对系统的要求） 1、从频域看系统无失真传输条件
r(t) Ke(t t0)
两边取傅里叶变换 R( j ) KE( j )e j t0
R( j) H( j)E( j)
H ( j ) Ke j t0
H( j) K
( ) t0
即要求系统的幅频响应特性为常数K；相频响应为一通过原点的直线(t0 )。
V2
j
2
E
sin
w
2
2 2
2
w
2
arctg
w a
w
2
arctg
w a
m
n 0, 1, 2,L
4n w 2(2n 1)
2(2n 1) w 2(2n 2)
V1( j)
V2( j)
0
w
0
w
V1( j)
E Sa( )
2
2E sin
V2 ( j) RC
2
1 R2C 2
1t
1 (t )
E 1 e RC u(t) E 1 e RC u(t )
u2 (t) E
u1 (t )
E
0
t
输出信号的失真波形
0
t
输入信号波形
输出信号的波形与输入信号相比产生了失真， 输出波形上升和下降特性：
第五章 傅里叶变换的应用
-滤波、调制与抽样
5.1 频域系统函数 5.2 利用频域系统函数求响应 5.3 无失真传输 5.4 理想低通滤波器 5.5 系统的物理可实现性、佩利-维纳准
则 5.7 调制与解调 5.9 从抽样信号恢复连续时间信号
2
滤波
3.信号无失真传输条件（对系统的要求） 1、从频域看系统无失真传输条件
r(t) Ke(t t0)
两边取傅里叶变换 R( j ) KE( j )e j t0
R( j) H( j)E( j)
H ( j ) Ke j t0
H( j) K
( ) t0
即要求系统的幅频响应特性为常数K；相频响应为一通过原点的直线(t0 )。
V2
j
2
E
sin
w
2
2 2
2
w
2
arctg
w a
w
2
arctg
w a
m
n 0, 1, 2,L
4n w 2(2n 1)
2(2n 1) w 2(2n 2)
V1( j)
V2( j)
0
w
0
w
V1( j)
E Sa( )
2
2E sin
V2 ( j) RC
2
1 R2C 2
1t
1 (t )
E 1 e RC u(t) E 1 e RC u(t )
u2 (t) E
u1 (t )
E
0
t
输出信号的失真波形
0
t
输入信号波形
输出信号的波形与输入信号相比产生了失真， 输出波形上升和下降特性：
系统函数与频率响应特性
=
−
s2 s2
+ 2s +1 + 5s + 2
例 5 – 3 图 5 – 3（a）是常用的分压电路（也称为衰减器），若以电容 C2 上的电压为输 出，试求其冲激响应。
解
画出图 5 – 3（a）的 s 域模型（零状态）如图 5 – 3（b）所示。如令
C1
1 sC1
+
x(t)
-
R1
+
R2 C2 y(t)
条件下，对于任何输入信号 x(t) ，图 5 – 3（a）电路的零状态响应为
y(t) = h(t) * x(t) = R2 δ (t) ∗ x(t) = R2 x(t)
R1 + R2
R1 + R2
即该网络的输出信号 y(t) 与输入信号 x(t) 波形相同，而为输入信号的 R2 倍，不产生失真。 R1 + R2
其系统函数为
1
H (s)
=
I (s) X (s)
=
R
1 + sL
=
s
L +R
L
（5-5）
在网络分析中，由于激励与响应既可以是电压，也可能是电流，因此网络函数可以是阻抗
204
（电压比电流），或为导纳（电流比电压），也可以是数值比（电流比或电压比）。此外，若激
励与响应是同一端口，则网络函数叫做“策动点函数(driving function)”或“驱动点函数”，如 图 5 – l（a）中的 Vi (s) 与 Ii (s) ；若激励与响应不在同一端口，就叫做“转移函数(transfer function)”或“传输函数”，如图 5 – 1（b）中的Vi (s) [或 Ii (s) ]与Vj (s) [或 I j (s) ]。显然，策动
系统函数与频率响应特性
图 5 – 4 H (s) 的零、极点分布图示例
208
⎧ ⎪ ⎨
p1 p2
= =
−1 −2
+
j1
⎪ ⎩
p3
=
−2
−
j1
(一阶) (一阶) (一阶)
该系统函数的零、极点如图 5 - 4 所示。
由式（5 - 9）或式（5-10）可以看出，系统函数一般有 n 个有限的极点和 m 个有限的零点。
如果 n > m ，则当 s
jω
例如某系统的系统函数为
H (s) =
s2 (s + 3)
=
s2 (s + 3)
j
(s +1)(s2 + 4s + 5) (s +1)(s + 2 + j1)(s + 2 − j1)
那么，它的零点位于
⎧ ⎨ ⎩
z1 = z2 = z3 = −3
0
(二阶) (一阶 )
-3 -2 -1
σ
-j
而其极点位于
得。下面分别举例说明。
例 5 – 1 已知系统的微分方程为：
d2 y(t) + 3 dy(t) + 2 y(t) = x(t)
dt 2
dt
求系统函数 H (s) 。
解
1）将给定系统的微分方程在零状态下两边取拉氏变换，得
(s2 + 3s + 2)Y (s) = X (s)
则
H (s)
=
Y (s) X (s)
Y21 ( s)
=
I2 V1
(s) (s)
设各回路电流 I1(s) 、 I2 (s) 和 I3 (s) 如
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4）. r z s ( t ) F 1 [ R ( j )]
二．正弦信号激励下系统的稳态响应
设 激 励 信 号 为 s in 0 t ,系 统 的 频 率 响 应 为 H ( ) H ( ) e j ( )， 则系统的稳态响应为
H ( 0 ) s in 0 t ( 0 )
信号与系统
Signals and Systems
§5.2 利用系统函数H(j)求响应
一. LTI系统的频域分析方法
根据卷积特性,可以对LTI系统进行频域分析,
其过程为:
1） . 由 e ( t ) E ( j ) 2）. 根据系统的描述，求出 H ( j ) 3） . R ( j ) E ( j ) H ( j )
正弦信号 sin 0 t 作为激励的稳态响应为与激励同 频率的信号，幅度由 H j 0 加权，相移 0 。 H j 代表了系统对信号的处理效果。
三．非周期信号的响应
•非周期信号一般可以通过有始函数e(t)u(t)来表示； •它所含有的频率分量与周期信号的频率分量不同，因 此其响应也与周期信号作用产生的响应不同； •一般说来，这时的响应除了与周期信号产生的响应相 同的分量外，还会出现因t=0时信号接入所产生的按指 数规律衰减的暂态响应分量。 • 因此，从激励信号接入到系统进入稳态之间存在 暂态过程。 •激励为非周期信号，系统零状态响应的求取仍基于 LTI系统的叠加特性，分析步骤如下：
（ 1）e(t ) E (t ), 即将激励分解为一系列正弦（谐波） E ( ) 分量，频率为的某一分量复振频是 d; (2)求系统函数H ( j ) R ( ) ; E ( )
(3)求出各次谐波产生的响应，并叠加全部谐波分量 产生的响应，获得系统的零状态响应： R ( ) d H ( j ) E ( ) d
R ( ) H ( j ) E ( )
r (t ) F －1[ R ( )]
(4)由傅立叶反变换求得响应的时域形式 显然，这种频域求响应的方法是以两次变换说明激励与响应波形的差 异， 系统对信号的加权作用改变了信号的频谱，物理概念清楚； （2）用傅里叶分析法求解过程烦琐，不如拉氏变换容易；
（3）引出H(jω)重要意义在于研究信号传输的基本特性，建立 滤波器的基本概念，并理解频响特性的物理意义，这些理 论内容在信号传输和滤波器设计等实际问题中具有十分重 要的指导意义。
总结
系统可以看作是一个信号处理器：
H j 是 一 个 加 权 函 数 ， 对信号各频率分量进行 加权。
，
信 号 的 幅 度 由 H (j ) 加 权 ， 信 号 的 相 位 由 修 正 。
对于不同的频率 ，有不同的加权作用，这也是信 号分解，求响应再叠加的过程。