利用系统函数求响应.ppt
已知系统函数求单位脉冲响应
已知系统函数求单位脉冲响应在信号与系统中，我们经常需要求解系统的单位脉冲响应。
单位脉冲响应是指，当输入信号为单位脉冲函数（即一个时间上的单位冲激）时，系统输出的响应函数。
单位脉冲函数可以表示为：$$\delta(t)=\begin{cases}0 & t<0 \\\infty & t=0 \\0 & t>0 \\\end{cases}$$$$x(t)=\delta(t)$$而对于一个线性时不变系统，其输出可以表示为输入信号和系统单位脉冲响应的卷积形式：因此，我们需要知道系统的单位脉冲响应$h(t)$才能求解输出信号$y(t)$。
现在，我们已知系统的传递函数，如何求解$h(t)$呢？有以下三种方法：1. 直接查表法对于某些常见的系统，如一阶低通滤波器、二阶带通滤波器等，其单位脉冲响应可以通过表格得到，因此使用直接查表法即可。
2. 法式求解法对于一般的系统，我们可以通过传递函数的拉普拉斯变换公式得到系统的单位脉冲响应。
具体来说，令传递函数为$H(s)$，则其拉普拉斯变换为：$$H(s)=\frac{Y(s)}{X(s)}$$此时，由于输入信号为单位脉冲函数$x(t)=\delta(t)$，因此有：$$X(s)=1$$因此，得到单位脉冲响应的拉普拉斯变换为：接着，我们可以通过拉普拉斯反变换得到$h(t)$：需要注意的是，这种方法只适用于系统传递函数存在的情况。
如果传递函数不存在，则需要使用第三种方法。
3. 时域响应求解法对于某些系统，其单位脉冲响应可以通过时域求解方法得到，例如一阶线性微分方程、RC电路等。
对于一般的系统，我们可以将系统分解为一些易于求解的子系统，例如串联的线性时不变系统可以分解为一系列一阶系统，从而利用时域方法求解每个子系统的单位脉冲响应，最终得到整个系统的单位脉冲响应。
总之，对于求解系统的单位脉冲响应，我们可以采用直接查表法、法式求解法和时域响应求解法等方法，根据具体情况选择相应的方法进行求解。
离散系统的系统函数,系统的频率响应.ppt
H (z)
3 z
1
z
3 1
24
根据Roc : z 1，查表2-1得 2
h(n)
10
3
1 2
n
7 3
1 4
n
u
n
3、系统的频率响应的意义
1）LSI系统对复指数序列的稳态响应：
x(n) e jn n
y(n) h(m)e j (nm) e jn h(m)e jm
m
k 1
令 cm e j cm me jm
dk e j dk lke jk
则频率响应的
M
m
幅度：
H (e j ) K
m1 N
lk
幅角：
k 1
M
N
arg[H (e j )] arg[K ] m k (N M )
m1
k 1
• 零点位置影响凹谷点的位置与深度
• 零点在单位圆上，谷点为零 • 零点趋向于单位圆，谷点趋向于零
H(z)须从单位圆到 的整个z域内收敛 即系统函数H(z)的全部极点必须在单位圆内
例：一系统的极点有：
0.2e j / 4 , 0.2e j / 4 , 0.4, 2e j /6 , 2e j /6 , 1.5 问什么情况下，系统为因果系统，
什么情况下，系统为稳定系统
解：因果系统： z 2
j Im[z]
1 2
z 1
1
1 4
z 1
z
1 2
z
1 4
H z
z
1 3
A1 A2
z
z
1 2
z
1 4
z1 2
z1 4
A1
H z
Res
z
第3章 系统的时间响应分析
第3章 系统的时间响应分析在建立系统的数学模型（微分方程或传递函数）之后，就可以采用不同的方法，通过系统的数学模型来分析系统的特性，时间响应分析是重要的方法之一。
第3.1节 时间响应及其组成一、时间响应的概念所谓时间响应指系统在外加激励作用下，其输出量随时间变化的函数关系。
或者说 在输入作用下，系统的输出（响应）在时域的表现形式；在数学上，就是系统的动力学方程在一定初始条件下的解。
自变量为时间t ，因变量为输出()[()]o x t y t二、时间响应的组成分析：第一、二项是由微分方程的初始条件（即系统的初始状态）引起的自由振动，即自由响应。
ω。
应该说第三项的自第三项是由作用力引起的自由振动即自由响应，其振动频率均为nω与作用力频率ω无关，由响应并不完全自由。
因为它的幅值受到F的影响，当然，它的频率n自由即在此。
第四项是由作用力引起的强迫振动即强迫响应，其振动频率即为作用力频率ω。
因此系统的时间响应可从两方面分类：按振动性质可分为自由响应与强迫响应，按振动来源可分为零输入响应（即由“无输入时系统的初态”引起的自由响应）与零状态响应（即在“无输入时的系统初态”为零而仅由输入引起的响应）Array所以我们的研究对象是：零状态响应。
另外还有两个需了解的概念：瞬态响应和稳态响应。
瞬态响应：系统在外加激励作用后，从初始状态到最终状态的响应过程称为瞬态响应。
反映了系统的快、稳特性。
稳态响应：时间趋于无穷大时，系统的输出状态为稳态响应。
反映系统的准确性。
三、系统方程的特征根影响系统自由响应的收敛性和振荡第3.2节 典型的输入信号由于系统的输入具有多样性，所以在分析和设计系统时，需要规定一些典型的输入信号，然后比较各系统对典型信号的时间响应。
不同系统或参数不同的同一系统对同一典型信号的时间响应不同，反映出各种系统动态特性的差异，从而可以定出相应的性能指标，对系统的性能予以评定。
尽管在实际中，输入信号很少是典型信号，但由于系统对典型信号的时间响应和对任意信号的时间响应之间存在一定的关系统，所以知道系统对典型信号的响应就可求出对任意输入的响应。
信号与系统讲义第五章1引言及无失真传输条件
无失真：时域波形传输不变
e(t )
e(t)
线性网络
t
H ( j)
R( j) KE( j)e jt0 R( j) E( j)H ( j)
r (t )
t t0
r(t) K e(t t0 )
H ( j) R( j) Ke jt0 E( j)
频域无失真条件： H ( j) Ke jt0
H( j) K () t0
r(t) e(t)*h(t)
R( j) E( j)H( j) H ( j) LT[h(t)] H ( j) R( j)
E( j)
对稳定系统
H (s)
H ( j) H (s) s j
系统函数还可以通过对微分方程取傅氏变换而得到
求矩形脉冲通过低通滤波器的响应
v1 (t )
E
t
0
输入信号波形
R
傅里叶变换在现代通信系统中的应用非常多，典 型的应用就是——滤波、调制与解调、抽样
频域系统函数——系统的频率响应函数H(jw)
稳定系统：s域系统函数→频域系统函数
频域系统函数H(jw)描述了系统对信号的各频率
成份的加权
傅氏变换将信号分解为无穷多项ejwt信号的叠加
S域系统函数H(s)描述系统对复指数信号est的加
5.3 无失真传输
信号通过系统传输，由于系统对信号中各频率分 量幅度产生不同程度的衰减，使得响应中各频率 分量的相对幅度产生变化，引起幅度失真。
同样地，由于系统对输入信号各频率分量产生的 相移，信号也会出现失真，称为相位失真
频域由相于移系→统时对域信延号时各频率分量产生的相移不与频
输 输
入 出率成yx正((t相t))比对，ss位iinn使((置响11t产t )应生的s1变)in各(化s频i2，nt率()而分2t引量起在2的) 时失间真轴上的
信号与系统§6.4 由系统函数求频率响应
m
s
z
j
m
j
ω
z
j
H jω H s sjω K
j 1 n
sjω K
j 1 n
s Pi
jω pi
i 1
i 1
可见H jω的特性与零极点的位置 有关。
令分子中每一项 jω z j N j ejψj 分母中每一项 jω Pi Mi ejθi
ω ψ1 ψ2 ψm θ1 θ2 θn
当沿虚轴移动时，各复数因子(矢量)的模和
辐角都随之改变，于是得出幅频特性曲线和相 频特性曲线。
s jω
Hjω ——幅频特性
ω ——相频特性（相移特性）
几种常见的滤波器
H ( j) 低通滤波器
H ( j) 高通滤波器
0
c
(a)
H ( j) 带通滤波器
0
c
H ( j)
(b)
带阻滤波器
0
c1
c 2
0
c1
c 2
(c)
(d)
图4-15 滤波网络频响特性示例
根据H(s)零极图绘制系统的频响特性曲线
H
jω
K
N1 e jψ1 M1 e jθ1
N2 e jψ2 M 2 e jθ2
Nm e jψm M n e jθn
K
N1N2
N e jψ1ψ2 ψm m
M1M2
M e jθ1θ2 θn n
H jω K N1N2 Nm
M1M 2 M n
将 jω z j、jω - pi都看作两矢量之差，将矢量图画于复 平面内。
系统函数及冲激响应
6W
和电感两端电压uL (t ) 。
1H uL(t ) 2W
1W
-
2
2 +
UL(s)
Li
L
(0
-
-)
-
+
+ uC (t )
iL(0- )
s
uC (0- ) + s-
+
(1) iL (0- ) = 0.5 A ，uC (0- ) = 2V
5 s
UC (s)
2
IL(s)
=
uC
(0s
)
+
LiL (0-
)
2+2+2+ 5+s
§4.5 系统函数与冲激响应
主要内容 系统函数 LTI互联的系统函数
并联 级联 反馈连接
重点 系统函数
《信号与系统》 BUPT EE
难点 反馈连接
结束 开始
课前练习
2W 2W t = 0
+
图示电路，开关动作前已进入稳态， 2W 试求开关打开后电感支路电流iL (t )
uC (t ) -
+
1F + 5 4V -
3.系统函数的求法
(1) h(t) H(s)
(2)零状态下，由s域电路模型，列s域方程，
H(s)
=
R(s) E(s)
(3)设输入为(t)，零状态下微分方程两端 取拉氏变换
H(s)
=
R(s) E(s)
退出
4.例题
给定系统微分方程：
d
2r(t dt 2
)
+
5
dr(t dt
)
+
各种响应的解法
uS
解:系统转移算子为: 系统转移算子为: u2 1 p +1 1 1 1 H( p) = = = = + p us 2 p +1 2 4 p + 1 2 1+ 1+ p 电路的微分方程为: 电路的微分方程为: 2u′ (t) + u2 (t) = u′ (t) + us (t) 2 s 冲激响应为: 冲激响应为:
16
2.4
卷 积 积 分
卷积积分的意义 卷积积分的图解计算 卷积积分的性质
17
卷积积分的意义
用δ(t)表示任意信号 t)表示 表示任意信号
f (t) = ∫
∞ ∞
f (τ )δ (t τ )dτ
即任意信号 f (t)可以分解为无穷多个不同强度的冲激函数之和. (t)可以分解为无穷多个不同强度的冲激函数之和 可以分解为无穷多个不同强度的冲激函数之和. 来表示. 也就是任意信号可以用函数 δ(t) 来表示.
+ (C1 2C2 )δ (t)+ (C1et + 4C2e2 t )ε (t)
10
例 2.8
方法一:用直接求解法 方法一:
将上述三个等式及f (t) = δ (t) 代入原微分方程,经整理 代入原微分方程,
此例说明了用直接法的步骤: 此例说明了用直接法的步骤: 比较方程两边系数,解得: 比较方程两边系数,解得: 确定冲激响应的形式; 确定冲激响应的形式; 将冲激响应代入原方程, 3 将冲激响应代入原方程, B1 = 1 B0 = 1 C1 = 2 C2 = 用待定系数法确定其系数. 用待定系数法确定其系数. 系统的冲激响应为: 故,系统的冲激响应为:
对于任意信号为输入信号的零状态响应: 对于任意信号为输入信号的零状态响应:
信号与系统§4.06-系统函数(网络函数)H(S)
R(s) H(s) r(t) h(t) 则L[h(t)] H(s)
2.H(s)的几种情况
策动点函数：激励与响应在同一端口时
1 I1s V1 s
1
单端口 网络
策动点导纳
转移函数：激励和响应不在同一端口
1 I1s
2 I2s
V1 s
双端口 网络
1
H(s) I2(s) V1 (s)
转移导纳
2
H(s) V2 (s) I1(s)
转移阻抗Biblioteka V2 s H (s) V2(s) V1 ( s )
电压比
H(s) V1 (s) I1(s)
策动点阻抗
H(s) I2(s) I1(s)
电流比
3．求H(s)的方法
ht Hs
微分方程两端取拉氏变换→
H s
H1(s)E(s) H1(s)E2(s)
所以
H1(s)E(s) H1(s)H2 (s) R(s)
H (s) R(s)
H1(s)
E(s) 1 H1(s)H2(s)
4．结论
在s域可进行代数运算：
已知子系统的hi (t)或Hi (s)，可以求出整个系统的Hs。
已知总的H(s)及部分系统的H i (s)，也可以求出另一个 子系统的H j (s)。
Es
H1s
H 2 s
Rs
时域 : h(t) h1(t) h2(t) 频域: H(s) H1(s) H2(s)
3．LTI系统的反馈连接
Es E1s H1s
Rs
E2s
H 2 s
E1(s) E(s) E2 (s)
E2 (s) R(s) H2 (s)
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显然，二种方法结果不相等。因此,在求解电路 响应时需要针对具体问题考虑它的确切含义。
二、利H用(j) Fh(求t) 系统对非周期信号的响应
下图所示RC电路，在输入端1 1加入矩形脉冲v1t ， 利用傅里叶分析方法求2 2端电压v2 t 。
1
R
v1 (t )
C
2 分析：
v2(t) R j H j E j
§ 5.2 利用系统函数求响应
• 主要内容
•系统的频响特性与H(s)的关系
•利用 H(j) F求h(系t)统对非周期信号的响应
• 重点：利用H(j) F求h(系t)统对非周期信号的响
应
一、系统的频响特性与H(s)的关系
当H (s)在虚轴上及右半平面无极点,这时有：
Fht H j H s s j
1
vC 0 0
2
H j ht Fet
v1(t) E
H s
s j
O
t
rt F 1R j
解：
1
H
s
R
sC 1
1
RC s 1
令 1
RC
sj
H
j
j
sC
RC
激励信号v1 t 的傅里叶变换式为
V1
j
E
Sa
2
e
j 2
E
j
1 e j
响应v2 t的傅式变换
V2 j H j V1 j
j
E
Sa
e
j
2
2
V2 j e j2
求v2(t)
v2
j
j
E
j
1 e j
EБайду номын сангаас
1
j
1
j
1 e j
E 1 e j E 1 e j
j
j
v2 t Eut ut E et ut et ut
E 1 et ut E 1 et ut
RC 增加，允许更高的频率分量通过，响应波形的上升， 下降时间就要缩短.
从以上分析可以看出，利用 H从 j频 谱改变的观
点解释激励与响应波形的差异，物理概念比较清楚，
但求傅立叶逆变换得过程比较烦琐，因此，在求解
一般非周期信号作用用于具体电路的响应时，用
更方便，H很S少 利用 。
H j
这章引出 H的 j重要意义在于研究信号传输的基
本特性、建立滤波器的基本概念并理解频响特性的
物理意义。
思考题
• 1. Fht H j相 H等s吗sj？
波形及频谱图
波形及频谱图
1
R
v1 (t )
C
1
v1(t)
E
2
v2(t)
2
Hj
1
22
O
V1j
E
O
t
v 2(t )
E
O
V2 j
O
t
O
说明
•系统具有低通特性，半功率带宽为；
• 输入信号在t 0急剧上升，t 急剧下降，蕴含着
高频成分.经低通后,以指数规律上升和下降,波形变圆滑。
• 1 ， RC称为时间常数，RC ，即带宽
当H (s)在虚轴上有极点上式不等。
例：
当输入为 t时，求出v(t)即h(t)
h(t) v(t) 1 t i(t)d t 1 u(t)
C
C
i t
H (s) Lh(t) 1
sc
H (j) Fh(t) 1 1
C j
C vt
如果利用H(s)求正弦稳态频响，则有
H j H s 1