卷积积分的运算
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卷积积分基础
f
(i 2
j
)
(t
)
f (t)
f1(1) (t)
f (1) 2
(t
)
d dt
f1(t)
t
f2 ()d
常数信号(直流信号) f (t) E ( t ) 经微分后为零,需特殊考虑, 不能用微分性质
15
三、与冲激函数或阶跃函数的卷积
f (t) (t) f (t)
f (t) (t) ( ) f (t )d f (t)
1 1
2
1
1 2
(t
)d
3t 3 4 16
7
r(t) e(t) h(t) e( )h(t )d
h(t )
e( )
t
(3) 1 t 3 2
e(t) h(t) 3 t 3 4 16
(4) 3 t 3
e( )
2
h(t )
t
e(t) h(t) 1 1 1 (t )d
t2
4
t 4
1 16
( 1 t 1) 2
r(t) e(t) h(t)
r(t)
43
t
3 16
(1 t 3) 2
t2
t
3
( 3 t 3)
4 2 4 2
0
其它
t
卷积结果所占的时宽等于两个函数各自时宽的总和
10
P842 14(1) f (t) u(t) u(t 1),求s(t) f (t) f (t)
(1) t 0时, s(t) 0
(2)
0 t 1时,
s(t)
t
d t
0
(3)
1 t 2时,
s(t)
1
圆周卷积的积分算法
由于yi（n）的长度为N，而xi（n）的长度为N2，因此相邻两yi（n）序列必然有N-N2=N1-1点发生重叠，这个重叠部分应该相加起来才能构成最后的输出序列。
计算步骤：
a.事先准备好滤波器参数H（k）=DFT[h（n）]，N点
b.用N点FFT计算Xi（k）=DFT[xi(n)]
c.Yi(k)=Xi(k)H(k)
程序：
function y = overlap_add(x1,x2,N)
%重叠相加法实现
%将高点数DFT转化为低点数DFT
M = length(x2);%获得x2(n)的长度
if N<M
N = M+1;
end
L = M+N-1;
Lx = length(x1);
T = ceil(Lx/N);%确定分段数
其次，我要感谢帮助过我的同学，同时也感谢学院为我提供良好的做课程设计的环境。
最后再一次感谢所有在设计中曾经帮助过我的良师益友和同学！
参考文献
[1]刘泉,阙大顺,郭志强.数字信号处理.北京：电子工业出版社，2009
[2]唐昌建.Matlab编程基础与应用.四川：四川大学网络教育学院，2003
[3]陈怀琛.数字信号处理教程-Matlab释疑与实现.北京：电子工业出版社，2004
2.2圆周卷积计算过程
具体步骤如下：
（1）在二元坐标上做出 与 ；
（2）把 沿着纵坐标翻转，得到 ；
（3）对 做圆周移位，得到 ;
（4） 与 对应相同的m的值进行相乘，并把结果相加，得到对应于自变量n的一个 ;
（5）换另一个n,重复以上两步，直到n取遍0到N-1所有的值，得到完整的 。
3重叠相加法原理
这次课程设计主要用到了matlab软件，这款软件在对数字信号处理的建模、编程、分析、实现等方面功能非常强大，由于之前在实验课中我们曾经接触过matlab，因此这次做起来相对轻松一些。我选做的题目是基于重叠相加法的圆周卷积，在开始进行程序设计之前，我先对理论知识进行了回顾，在熟悉了圆周卷积以及重叠相加法的原理以及matlab的应用环境后，我开始了软件的设计，虽说之前对matlab有所了解，但对软件里面的程序包并不了解，所以编程的过程中也遇到过很多问题，比如找不到需要用的函数，但通过查看软件自带的帮助信息我很快能够找到自己想要的东西，在熟悉了原理后，程序设计并不复杂，但程序的调试却花了很长时间，其中也遇到了一些莫名其妙的问题，调试成功后第二次再打开就不行了，经过了长时间的调试，并且在老师和Leabharlann 学的帮助下，我换了个软件终于解决了。
计算步骤：
a.事先准备好滤波器参数H（k）=DFT[h（n）]，N点
b.用N点FFT计算Xi（k）=DFT[xi(n)]
c.Yi(k)=Xi(k)H(k)
程序：
function y = overlap_add(x1,x2,N)
%重叠相加法实现
%将高点数DFT转化为低点数DFT
M = length(x2);%获得x2(n)的长度
if N<M
N = M+1;
end
L = M+N-1;
Lx = length(x1);
T = ceil(Lx/N);%确定分段数
其次，我要感谢帮助过我的同学，同时也感谢学院为我提供良好的做课程设计的环境。
最后再一次感谢所有在设计中曾经帮助过我的良师益友和同学！
参考文献
[1]刘泉,阙大顺,郭志强.数字信号处理.北京：电子工业出版社，2009
[2]唐昌建.Matlab编程基础与应用.四川：四川大学网络教育学院，2003
[3]陈怀琛.数字信号处理教程-Matlab释疑与实现.北京：电子工业出版社，2004
2.2圆周卷积计算过程
具体步骤如下：
（1）在二元坐标上做出 与 ；
（2）把 沿着纵坐标翻转，得到 ；
（3）对 做圆周移位，得到 ;
（4） 与 对应相同的m的值进行相乘，并把结果相加，得到对应于自变量n的一个 ;
（5）换另一个n,重复以上两步，直到n取遍0到N-1所有的值，得到完整的 。
3重叠相加法原理
这次课程设计主要用到了matlab软件，这款软件在对数字信号处理的建模、编程、分析、实现等方面功能非常强大，由于之前在实验课中我们曾经接触过matlab，因此这次做起来相对轻松一些。我选做的题目是基于重叠相加法的圆周卷积，在开始进行程序设计之前，我先对理论知识进行了回顾，在熟悉了圆周卷积以及重叠相加法的原理以及matlab的应用环境后，我开始了软件的设计，虽说之前对matlab有所了解，但对软件里面的程序包并不了解，所以编程的过程中也遇到过很多问题，比如找不到需要用的函数，但通过查看软件自带的帮助信息我很快能够找到自己想要的东西，在熟悉了原理后，程序设计并不复杂，但程序的调试却花了很长时间，其中也遇到了一些莫名其妙的问题，调试成功后第二次再打开就不行了，经过了长时间的调试，并且在老师和Leabharlann 学的帮助下，我换了个软件终于解决了。
卷积的数学符号
卷积的数学符号
卷积是一种数学运算，通常用符号“*”表示。
它是两个函数之间的一种操作，可以用于信号处理、图像处理、神经网络等领域。
假设有两个函数f(x)和g(x)，那么它们的卷积函数h(x)可以表示为：
h(x) = (f * g)(x) = ∫f(t)g(x-t)dt
其中，“∫”表示积分符号，t为积分变量。
也就是说，卷积运算是将f(x)与g(x)在x轴方向滑动并相乘之后再求和的过程。
在数字信号处理中，卷积可以用来实现滤波器，例如低通滤波器、高通滤波器等。
在神经网络中，卷积可以用来提取图像特征，例如边缘、角等。
除了“*”符号，卷积还可以用“”符号表示，以及一些特殊的函数表示方式，例如fg、fg等。
在不同的领域和文献中，可能会使用不同的符号表示卷积运算。
- 1 -。
卷积的数学性质
卷积的数学性质
卷积是一种数学操作，可以用来将两个函数的值连接在一起，以及在号处理和图像处理领域中实现息提取和特征提取的有效技术。
卷积可以被认为是离散滤波器和泛函分析的基础。
卷积运算可以被定义为两个函数f（x）和g（x）的积分运算，其中f（x）是输入函数，g（x）是卷积核。
卷积的计算过程
可以分为两步：第一步，把f（x）乘以g（x）；第二步，对
乘积结果进行积分计算。
卷积操作具有许多有用的性质，尤其是在处理号和图像时。
其中最重要的性质之一是卷积的平移不变性，即卷积结果不受输入函数的位移影响。
卷积运算也具有反卷积性质，即可以通过反卷积操作将输出函数变为输入函数。
此外，卷积运算也具有旋转不变性，即卷积结果不受输入函数的旋转影响。
此外，卷积操作还有一些其他性质，例如可以用于检测图像中的特定形状，可以用于提取图像中的特定特征，可以用于探测图像中的边缘等。
卷积操作在现代号处理和图像处理中起着重要作用，例如在计算机视觉领域，可以用卷积操作提取视觉特征，以实现更好的识别和分类效果；在语音处理领域，可以用卷积操作提取语音特征，以实现更好的识别效果；在机器研究领域，可以用卷积操作提取特征，以实现更好的研究效果。
因此，卷积操作在处理号和图像时起着重要作用，具有许多有用的数学性质，可以有效地提取息和特征，并在多个领域实现有效的应用。
连续卷积公式
连续卷积公式
连续卷积公式是一种数学运算，用于描述两个函数之间的卷积关系。
如果两个函数f(t)和g(t)都是连续函数，则它们的连续卷积表示为：
(f * g)(t) = ∫[a,b] f(t - τ)g(τ) dτ
其中，*表示卷积运算符，t表示自变量，[a, b]表示积分区间，a和b是合适的实数值。
在上述公式中，连续卷积的结果是一个新的函数，它描述的是函数f(t)与g(t)之间的卷积效果。
具体计算过程是：对于给定的t值，在积分区间内，将函数f(t - τ)与g(τ)的对应部分相乘，并在整个积分区间上进行积分求和。
连续卷积公式在信号处理、图像处理、物理学等领域中广泛应用，用于描述两个信号或函数之间的交互作用、滤波效果等问题。
积分变换第4讲卷积定理与相关函数
解 ：F（si n w 0 t
• u(t )） F（e iw0t
e iw0t 2i
• u(t)）
1 {F（e iw0t • u(t )） F (e iw0t • u(t )）}
2i
1{1 2i iw
d（w）} |www0
1{1 2i iw
d（w）} |www0
例4 利用傅氏变换的性质, 求d(tt0),
ejw0t ,以及tu(t )的傅氏变换 解：因F (d (t)) 1,由位移性质得
F (d (t t0)) e jt0w F (d (t)) e jt0w 由 F (1) 2d (w),得
F (ejw0t ) 2d (w w0)
w0t
•
e t u(t )）
F
（ eiw0t
eiw0t 2
•
e t u(t )）
1 {F （eiw0t • e tu(t)） F (eiw0t • u(t)）}
2
1 2
{ iw
1
}
|w
w
w0
1 2
{ iw
1
}
|w
w
w0
1 2
{ i
w
1 w0
2n
t
Dt
n
则g(t)
f
(t
)
1
Dt
e
j
2n
t
Dt
n
G(w)
1
Dt
F (w nDw)
n
(Dw
2 Dt
)
33
卷积的几种计算方法以及程序实现FFT算法
e ( t 1) )u(t 2)
Made by 霏烟似雨
数字信号处理
ht 1
e
t 2
u (t ) u (t 2)
e t 1
e t u (t )
O
t
波形
O
2
t
2. 今有一输油管道，长 12 米，请用数字信号处理的方法探测管道内部的损伤，管道的损伤可能为焊 缝，腐蚀。叙述你的探测原理，方法与结果。 （不是很清楚） 探测原理：因为输油管道不是很长，可以考虑设计滤波器器通过信号测量来测试管道的损伤，当有 焊缝时，所接受的信号会有所损失，当管道式腐蚀时，由于管壁变得不再是平滑的时候，信号的频率 就会有所改变。
rk r ( k N / 2)
，则后半段的 DFT 值表达式：
X 1[
N N / 2 1 N / 2 1 r ( k ) N N rk k ] x1[r ]WN / 22 x1[r ]WN ， k ] X 2 [k ] （ k=0,1, … ,N/2-1 ） / 2 X 1[ k ] ，同样， X 2 [ 2 2 r 0 r 0
d it L Ri t et dt
t
t 2
u(t ) u(
i(t )
L 1H
2) 冲激响应为 h(t ) e u(t ) 3)
i(t ) e( ) h(t ) d
程序： function test x = rand(1 , 2 .^ 13) ; tic X1 = fft(x) ; toc tic X2 = dit2(x) ; toc tic X3 = dif2(x) ; toc tic X4 = real_fft(x) ; toc max(abs(X1 - X2)) max(abs(X1 - X3)) max(abs(X1 - X4)) return ; function X = dit2(x) N = length(x) ; if N == 1 X=x; else X1 = dit2(x(1:2:(N-1))) ; X2 = dit2(x(2:2:N)) ; W = exp(-1i * 2 * pi / N * (0:(N/2-1))) ; X = [X1 + W .* X2 , X1 - W .* X2] ; end return ;
《信号与系统教学课件》§2.6 卷积及其性质和计算
将卷积的微分性质和积分性质加以推广，可以得到
s
t
nm
f (n) 1
t
f (m) 2
t
f (m) 1
t
f (n) 2
t
X
二、卷积的性质
注意函数的积分和微分并不是一个严格的可逆关系， 因为函数加上任意常数后的微分与原函数的微分是相 同的。因此，对于等式
f1 t
f2 t
f1' t
k
d
k
f
3
t
d
令w k
f1
k
f2
w f3
t
k
w d w d k
令st f2t f3t
f1 k s t k d k
f1 t st
f1 t
f2 t
f3 t
f 1
t f2 t
f3 t
X
二、卷积的性质
一、代数性质 • 结合律
对于函数f1 t , f2 t , f3 t ,存在
h2 t
r(t)
h1 t
图2.6.2 卷积交换律的系统意义
X
二、卷积的性质
一、代数性质
• 结合律
对于函数f1 t , f2 t , f3 t ,存在
f1 t f2 t f3 t f1 t f2 t f3 t
根据卷积的定义
f1 t
f2
t
f3
t
f1
k
f2
X
三、卷积的计算
根据卷积的定义，卷积计算是由若干基本的信号运算组成的， 对于
s
t
f1
f2
t
d
第一步 反褶：将 f1 t 反褶运算，得到 f1
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§2.5 卷积积分的运算和图解
y(t) x(t) h(t) x( )h(t )d
1）将x(t)和h(t)中的自变量由t改为，成为函数的自 变量； 2）把其中一个信号翻转、平移；
h( ) 翻转h( ) 平移th(( t)) h(t )
3）将x() 与h(t )相乘；对乘积后的图形积分。
例11：画出下列系统的模拟图
y(t) 5 y(t) 3 y(t) 3x(t) x(t)
例：引入辅助函数q(t)
q(t) 5q(t) 3q(t) x(t) 利用微分特性法 y(t) 3q(t) q(t)
q(t) x(t) 5q(t) 3q(t)
例12：根据系统的模拟图写出其微分方程模型
et
d
r t
d
et
rt
et
rt
et
T rt
rt de(t)
dt
t
r(t) e(t)dt
rt et rt et T
例10：试用系统模拟图来表示下列方程所描述的LTI系统
a2 y(t) a1 y(t) a0 y(t) b2 x(t) b1 x(t) b0 x(t) a2 y(t) b2 x(t) b1 x(t) b0 x(t) a1 y(t) a0 y(t)
y(t )
1 a2
[b2 x(t )
b1 x(t )
b0 x(t )
a1
y(t)
a0
y(t )]
y(t )
1 a2
[b2 x(t )
b1 x(1) (t )
b0 x(2) (t ) a1 y(1) (t ) a0 y(2) (t )]
根据该式，可直接画出系统模拟图
y(t)
x(t)
1 a2 [b2 x(t )
1.图解法：
x1 (t )
1
x2 (t )
1
0
1
t
0
1 2t
x1 ( )
1
-1 0
x1(t) x2 (t)
1 x1(t )
t
d
0
1 2
t 2 0
t
1
0 t 1
0
1 2
1
d
t
(
2)d
t 2
3t
2
1
t
2
t1
1
3
2
(
2)d
1 t 2 3t 9 2 t 3
t1
q(t) x(t) 5q(t) 4q(t) q(t) 5q(t) 4q(t) x(t)
y(t) 1 q(t) q(t) 3
y(t) 5 y(t) 4 y(t) 1 x(t) x(t) 3
练习：写出下列系统的方程
y(t) 4y(t) 5y(t) 4x(t) 3x(t) x(t)
4、经验公式：
x1(t t0 ) x2 (t t1) x1(t) x2 (t) ttt0 t1
*计算卷积的方法
1.用图解法计算卷积
2.利用性质计算卷积
分段时限
3.用函数式计算卷积
4.数值解法
卷积积分限
例8：已知 x1(t) 和 x2 (t) 的波形如图所示，试求 x1(t) x2 (t)
m
0
t
x0(t m T)
m
x(t) x0 (t mT ) m
x(t)
x(t)
0
T
t
T
0
t
x(t)
0
T
t
思考：下列卷积，选用什么方法最好？
1. tu(t) u(t)
2. eatu(t) eatu(t)
3. sintu(t) [u(t) u(t 4)]
4. e3tu(t) u(t 1)
u(t
2)
x(2) 2
(t
)
(t
)
2
(t
1)
(t
2)
x1(t)
x2
(t)
x(2)
1
(t)
x(2) 2
(t
)
[1 t2u(t) 1 (t 1)2u(t 1)][ (t) 2 (t 1) (t 2)]
22
1 t2u(t) 3 (t 1)2u(t 1) 3 (t 2)2u(t 2) 1 (t 3)2u(t 3)
22
2
2
3.利用函数式计算卷积, 常见四种形式的积分限：
y(t) x( )h(t )d[一般的x(t)和h(t)]
u(t)
y(t) x( )h(t )d[有始的x(t)和一般的h(t)]
0
t
y(t) x( )h(t )d[一般的x(t)和有始的h(t)]
t
u(t)
y(t) x( )h(t )d[有始的x(t)和h(t)]
x ( 1) 2
(t)
推广到一般：x(t)
x(m) 1
(t)
x(m) 2
(t)
x(m) 1
(t)
x(m) 2
(t)
运用卷积的微积分性质，可以使卷积的运算大大简化 3、任意函数与冲激函数的卷积：
x(t) (t) x(t)
x(t) (t t0 ) x(t t0 )
x(t t0 ) (t t1) x(t t0 t1)
b2
b1 x(1) (t ) b0 x(2) (t ) a1
1
x(t)
a2 y(t)
y(1) (t )
1 a2
a0 y(2) (t )]
b2
y(t )
b1
a1
b0
a0
直接I型
a1
b1
a0 b0
直接II型 y(t)
b2
1
x(t) a2
a1
b1
a
b0 正准型
比较 x(t) (t) x(0) (t) x(0) (t)
x(t) u(t) t x( )d 相当于积分运算
x(t) (k) (t) x(k) (t) 相当于k个微分器级联
x(t) (k) (t) x(k) (t) 相当于k个积分器级联
x(t) (t) (t) (t) y(t) x(k) (t)
作业：P70－P73
2.5(a),(d),(f),(g)； 2.12；2.21
经验公式：
x1(t t0 ) x2 (t t1) x1(t) x2 (t) ttt0 t1
思考：
u(t 1) u(t 1) ?
u(t 1) u(t 1) (t 2)u(t 2)
2.7 奇异函数的卷积
单位冲激函数： (t) 单位冲激偶： (t) x(t) (t) x(t) 比较 x(t) (t) x(0) (t) x(t) (t) x(t) 相当于微分运算
x(1) (t)
x1(1) (t)
x2 (t)
x1(t)
x ( 1) 2
(t
)
推广到一般：x(n) (t)
x(n) 1
(t
)
x2 (t)
x1(t)
x2(n) (t)
C、微积分性质：若 x(t) x1(t) x2 (t)
x(t)
x ( 1) 1
(t)
x (1) 2
(t)
x (1) 1
(t)
x(t) [h1(t) h2 (t)]
x(t) h(t)
结论:并联系统的单位冲激响应等于各子系统单位 冲激响应的和 2、卷积的微积分性质
对于任意函数x(t)，用 x(1) (t)表示其一阶导数，用 x(n) (t) 表示其n阶导数，用x(1) (t)表示其一次积分，用x(m) (t)
例6 计算系统的零状态响应y(t) f (t) h(t)，
已知：f (t) u(t),h(t) etu(t)
f (t) f ( )
h(t) h( )
t
h( )
t
f ( )h(t )
t
f (t) * h(t) t e(t )d 1 et 0
t0
例7 : 计算f1 f2 f1( ) f2 (t )d
结论:(1）级联系统的单位冲激响应等于各子系统单位 冲激响应的卷积 （2）级联系统的单位冲激响应与子系统的联接顺序无关。
C、分配律：
x1(t) [x2 (t) x3(t)] x1(t) x2 (t) x1(t) x3(t)
对于并联系统：
h1(t)
x(t)
y(t)
h2 (t)
y(t) x(t) h1(t) x(t) h2 (t)
表示其m次积分
A、微分性质：若 x(t) x1(t) x2 (t)
x(1) (t)
x(1) 1
(t
)
x2 (t)
x1(t)
x(1) 2
(t
)
推广到一般：x(n) (t) x1(n) (t) x2 (t) x1(t) x2(n) (t)
B、积分性质：若 x(t) x1(t) x2 (t)
f2(t)
f1(t)
b
a
*
a
t
01
t 0
2
t-2
0
f1(t) a 0 t 1
f2
(t)
b 2
t 0
t
2
1. t 0
重合面积为零: f1(t) f2 (t) 0
2. if 0 t 1
f1 f 2 f1 ( ) f 2 (t )d
1
a t-2 0 t 1
t-2 0 1 t
x ( 1) 1
(t
)
tu(t
)
(t
1)u
(t
1)
x(2) 1
(t)
1 2
t 2u(t)
1 2
(t
y(t) x(t) h(t) x( )h(t )d
1）将x(t)和h(t)中的自变量由t改为，成为函数的自 变量； 2）把其中一个信号翻转、平移；
h( ) 翻转h( ) 平移th(( t)) h(t )
3）将x() 与h(t )相乘；对乘积后的图形积分。
例11：画出下列系统的模拟图
y(t) 5 y(t) 3 y(t) 3x(t) x(t)
例：引入辅助函数q(t)
q(t) 5q(t) 3q(t) x(t) 利用微分特性法 y(t) 3q(t) q(t)
q(t) x(t) 5q(t) 3q(t)
例12：根据系统的模拟图写出其微分方程模型
et
d
r t
d
et
rt
et
rt
et
T rt
rt de(t)
dt
t
r(t) e(t)dt
rt et rt et T
例10：试用系统模拟图来表示下列方程所描述的LTI系统
a2 y(t) a1 y(t) a0 y(t) b2 x(t) b1 x(t) b0 x(t) a2 y(t) b2 x(t) b1 x(t) b0 x(t) a1 y(t) a0 y(t)
y(t )
1 a2
[b2 x(t )
b1 x(t )
b0 x(t )
a1
y(t)
a0
y(t )]
y(t )
1 a2
[b2 x(t )
b1 x(1) (t )
b0 x(2) (t ) a1 y(1) (t ) a0 y(2) (t )]
根据该式，可直接画出系统模拟图
y(t)
x(t)
1 a2 [b2 x(t )
1.图解法：
x1 (t )
1
x2 (t )
1
0
1
t
0
1 2t
x1 ( )
1
-1 0
x1(t) x2 (t)
1 x1(t )
t
d
0
1 2
t 2 0
t
1
0 t 1
0
1 2
1
d
t
(
2)d
t 2
3t
2
1
t
2
t1
1
3
2
(
2)d
1 t 2 3t 9 2 t 3
t1
q(t) x(t) 5q(t) 4q(t) q(t) 5q(t) 4q(t) x(t)
y(t) 1 q(t) q(t) 3
y(t) 5 y(t) 4 y(t) 1 x(t) x(t) 3
练习：写出下列系统的方程
y(t) 4y(t) 5y(t) 4x(t) 3x(t) x(t)
4、经验公式：
x1(t t0 ) x2 (t t1) x1(t) x2 (t) ttt0 t1
*计算卷积的方法
1.用图解法计算卷积
2.利用性质计算卷积
分段时限
3.用函数式计算卷积
4.数值解法
卷积积分限
例8：已知 x1(t) 和 x2 (t) 的波形如图所示，试求 x1(t) x2 (t)
m
0
t
x0(t m T)
m
x(t) x0 (t mT ) m
x(t)
x(t)
0
T
t
T
0
t
x(t)
0
T
t
思考：下列卷积，选用什么方法最好？
1. tu(t) u(t)
2. eatu(t) eatu(t)
3. sintu(t) [u(t) u(t 4)]
4. e3tu(t) u(t 1)
u(t
2)
x(2) 2
(t
)
(t
)
2
(t
1)
(t
2)
x1(t)
x2
(t)
x(2)
1
(t)
x(2) 2
(t
)
[1 t2u(t) 1 (t 1)2u(t 1)][ (t) 2 (t 1) (t 2)]
22
1 t2u(t) 3 (t 1)2u(t 1) 3 (t 2)2u(t 2) 1 (t 3)2u(t 3)
22
2
2
3.利用函数式计算卷积, 常见四种形式的积分限：
y(t) x( )h(t )d[一般的x(t)和h(t)]
u(t)
y(t) x( )h(t )d[有始的x(t)和一般的h(t)]
0
t
y(t) x( )h(t )d[一般的x(t)和有始的h(t)]
t
u(t)
y(t) x( )h(t )d[有始的x(t)和h(t)]
x ( 1) 2
(t)
推广到一般：x(t)
x(m) 1
(t)
x(m) 2
(t)
x(m) 1
(t)
x(m) 2
(t)
运用卷积的微积分性质，可以使卷积的运算大大简化 3、任意函数与冲激函数的卷积：
x(t) (t) x(t)
x(t) (t t0 ) x(t t0 )
x(t t0 ) (t t1) x(t t0 t1)
b2
b1 x(1) (t ) b0 x(2) (t ) a1
1
x(t)
a2 y(t)
y(1) (t )
1 a2
a0 y(2) (t )]
b2
y(t )
b1
a1
b0
a0
直接I型
a1
b1
a0 b0
直接II型 y(t)
b2
1
x(t) a2
a1
b1
a
b0 正准型
比较 x(t) (t) x(0) (t) x(0) (t)
x(t) u(t) t x( )d 相当于积分运算
x(t) (k) (t) x(k) (t) 相当于k个微分器级联
x(t) (k) (t) x(k) (t) 相当于k个积分器级联
x(t) (t) (t) (t) y(t) x(k) (t)
作业：P70－P73
2.5(a),(d),(f),(g)； 2.12；2.21
经验公式：
x1(t t0 ) x2 (t t1) x1(t) x2 (t) ttt0 t1
思考：
u(t 1) u(t 1) ?
u(t 1) u(t 1) (t 2)u(t 2)
2.7 奇异函数的卷积
单位冲激函数： (t) 单位冲激偶： (t) x(t) (t) x(t) 比较 x(t) (t) x(0) (t) x(t) (t) x(t) 相当于微分运算
x(1) (t)
x1(1) (t)
x2 (t)
x1(t)
x ( 1) 2
(t
)
推广到一般：x(n) (t)
x(n) 1
(t
)
x2 (t)
x1(t)
x2(n) (t)
C、微积分性质：若 x(t) x1(t) x2 (t)
x(t)
x ( 1) 1
(t)
x (1) 2
(t)
x (1) 1
(t)
x(t) [h1(t) h2 (t)]
x(t) h(t)
结论:并联系统的单位冲激响应等于各子系统单位 冲激响应的和 2、卷积的微积分性质
对于任意函数x(t)，用 x(1) (t)表示其一阶导数，用 x(n) (t) 表示其n阶导数，用x(1) (t)表示其一次积分，用x(m) (t)
例6 计算系统的零状态响应y(t) f (t) h(t)，
已知：f (t) u(t),h(t) etu(t)
f (t) f ( )
h(t) h( )
t
h( )
t
f ( )h(t )
t
f (t) * h(t) t e(t )d 1 et 0
t0
例7 : 计算f1 f2 f1( ) f2 (t )d
结论:(1）级联系统的单位冲激响应等于各子系统单位 冲激响应的卷积 （2）级联系统的单位冲激响应与子系统的联接顺序无关。
C、分配律：
x1(t) [x2 (t) x3(t)] x1(t) x2 (t) x1(t) x3(t)
对于并联系统：
h1(t)
x(t)
y(t)
h2 (t)
y(t) x(t) h1(t) x(t) h2 (t)
表示其m次积分
A、微分性质：若 x(t) x1(t) x2 (t)
x(1) (t)
x(1) 1
(t
)
x2 (t)
x1(t)
x(1) 2
(t
)
推广到一般：x(n) (t) x1(n) (t) x2 (t) x1(t) x2(n) (t)
B、积分性质：若 x(t) x1(t) x2 (t)
f2(t)
f1(t)
b
a
*
a
t
01
t 0
2
t-2
0
f1(t) a 0 t 1
f2
(t)
b 2
t 0
t
2
1. t 0
重合面积为零: f1(t) f2 (t) 0
2. if 0 t 1
f1 f 2 f1 ( ) f 2 (t )d
1
a t-2 0 t 1
t-2 0 1 t
x ( 1) 1
(t
)
tu(t
)
(t
1)u
(t
1)
x(2) 1
(t)
1 2
t 2u(t)
1 2
(t