卷积的物理意义
实验报告信号卷积实验
一、实验目的1. 理解卷积的概念及其物理意义。
2. 掌握卷积运算的原理和方法。
3. 通过实验加深对卷积运算在实际应用中的理解。
二、实验原理1. 卷积的定义：卷积是一种线性运算，它描述了两个信号在时域上的相互作用。
对于两个连续时间信号f(t)和g(t)，它们的卷积定义为：F(t) = ∫f(τ)g(t-τ)dτ其中，F(t)是卷积结果，f(τ)是信号f(t)的任意时刻的值，g(t-τ)是信号g(t)在时刻t-τ的值。
2. 卷积的性质：卷积具有交换律、结合律和分配律等性质。
其中，交换律是指f(t)和g(t)的卷积与g(t)和f(t)的卷积相等；结合律是指三个信号f(t)、g(t)和h(t)的卷积可以分别进行两两卷积后再进行一次卷积；分配律是指一个信号与两个信号的卷积等于该信号分别与两个信号卷积后的和。
三、实验内容1. 实验一：连续时间信号卷积实验（1）选用信号：选取两个连续时间信号f(t)和g(t)，其中f(t)为矩形脉冲信号，g(t)为指数衰减信号。
（2）卷积计算：根据卷积的定义，计算f(t)和g(t)的卷积F(t)。
（3）结果分析：观察F(t)的波形，分析卷积结果的物理意义。
2. 实验二：离散时间信号卷积实验（1）选用信号：选取两个离散时间信号f[n]和g[n]，其中f[n]为单位阶跃信号，g[n]为矩形脉冲信号。
（2）卷积计算：根据离散时间信号卷积的定义，计算f[n]和g[n]的卷积F[n]。
（3）结果分析：观察F[n]的波形，分析卷积结果的物理意义。
3. 实验三：MATLAB仿真实验（1）选用信号：选取两个连续时间信号f(t)和g(t)，其中f(t)为正弦信号，g(t)为余弦信号。
（2）MATLAB编程：利用MATLAB的信号处理工具箱，编写程序实现f(t)和g(t)的卷积运算。
（3）结果分析：观察MATLAB仿真得到的卷积结果，分析其物理意义。
四、实验结果与分析1. 实验一：连续时间信号卷积实验（1）实验结果：通过计算得到f(t)和g(t)的卷积F(t)的波形。
卷积实验报告
一、 实验目的：
1. 理解卷积的概念及物理意义； 2. 通过实验的方法加深对卷积运算的图解方法及结果的理解。
二、 实验内容：（请将实验的题目内容、实验及过程代码、实验结果（必要时可以进行拷屏）、 实验体会等填写到此处。页面空间不够，可另附页或另附文件。
f1( t ) 1
f2(t ) 1
t
t
01
01
(a)
(b)
f ( t ) f1( t )* f2( t )
0.5
t 12
(c)
图 10-2 矩形脉冲信号与锯齿脉冲信号的卷的实现方法 在本实验装置中采用了 DSP 数字信号处理芯片，因此在处理模拟信号的卷积积分运算时，是先通过 A/D 转换器 把模拟信号转换为数字信号，利用所编写的相应程序控制 DSP 芯片实现数字信号的卷积运算，再把运算结果通 过 D/A 转换为模拟信号输出。结果与模拟信号的直接运算结果是一致的。数字信号处理系统逐步和完全取代模 拟信号处理系统是科学技术发展的必然趋势。图 9-3 为信号卷积的流程图。
x( t ) 或 x( ) 1
h( t ) 或 h( ) 1
h( )
1 (a)
t或
t或
1 （b)
h( t ) x( )
h( t ) x( )
(c) h( t ) x( )
t (d) t 0
x( ) h( t )
t (e) 0 t 1
2 x( ) h( t )
f (t) f1(t) f2(t )d = f1( t )* f2( t ) = f2( t ) * f1( t )。
卷积的物理意义
卷积的物理意义
卷积的物理意义：卷积可代表某种系统对某个物理量或输入的调制或污染。
在泛函分析中，卷积、旋积或褶积(英语：Convolution)是
通过两个函数f和g生成第三个函数的一种数学算子，表征函数
f与g经过翻转和平移的重叠部分函数值乘积对重叠长度的积分。
如果将参加卷积的一个函数看作区间的指示函数，卷积还可以被看作是“滑动平均”的推广。
卷积定理
卷积定理指出，函数卷积的傅里叶变换是函数傅里叶变换的乘积。
即，一个域中的卷积相当于另一个域中的乘积，例如时域中的卷积就对应于频域中的乘积。
这一定理对拉普拉斯变换、双边拉普拉斯变换、Z变换、Mellin变换和Hartley变换（参见Mellin inversion theorem）等各种傅里叶变换的变体同样成立。
在调和分析中还可以推广到在局部紧致的阿贝尔群上定义的傅里叶变换。
利用卷积定理可以简化卷积的运算量。
对于长度为n的序列，按照卷积的定义进行计算，需要做(2n- 1)组对位乘法，其计算
复杂度为；而利用傅里叶变换将序列变换到频域上后，只需要一组对位乘法，利用傅里叶变换的快速算法之后，总的计算复杂度为。
这一结果可以在快速乘法计算中得到应用。
卷积的物理意义
卷积的物理意义卷积是“信号与系统”中论述系统对输入信号的响应而提出的。
因为是对模拟信号论述的,所以常常带有繁琐的算术推倒,很简单的问题的本质常常就被一大堆公式淹没了,那么卷积究竟物理意义怎么样呢?卷积表示为y(n) = x(n)*h(n)使用离散数列来理解卷积会更形象一点,我们把y(n)的序列表示成y(0),y(1),y(2) and so on; 这是系统响应出来的信号。
同理,x(n)的对应时刻的序列为x(0),x(1),x(2)...and so on;其实我们如果没有学过信号与系统,就常识来讲,系统的响应不仅与当前时刻系统的输入有关,也跟之前若干时刻的输入有关,因为我们可以理解为这是之前时刻的输入信号经过一种过程(这种过程可以是递减,削弱,或其他)对现在时刻系统输出的影响,那么显然,我们计算系统输出时就必须考虑现在时刻的信号输入的响应以及之前若干时刻信号输入的响应之“残留”影响的一个叠加效果。
假设0时刻系统响应为y(0),若其在1时刻时,此种响应未改变,则1时刻的响应就变成了y(0)+y(1),叫序列的累加和(与序列的和不一样)。
但常常系统中不是这样的,因为0时刻的响应不太可能在1时刻仍旧未变化,那么怎么表述这种变化呢,就通过h(t)这个响应函数与x(0)相乘来表述,表述为x(m)×h(m-n),具体表达式不用多管,只要记着有大概这种关系,引入这个函数就能够表述y(0)在1时刻究竟削弱了多少,然后削弱后的值才是y(0)在1时刻的真实值,再通过累加和运算,才得到真实的系统响应。
再拓展点,某时刻的系统响应往往不一定是由当前时刻和前一时刻这两个响应决定的,也可能是再加上前前时刻,前前前时刻,前前前前时刻,等等,那么怎么约束这个范围呢,就是通过对h(n)这个函数在表达式中变化后的h(m-n)中的m的范围来约束的。
即说白了,就是当前时刻的系统响应与多少个之前时刻的响应的ﻪ“残留影响”有关。
卷积拉普拉斯——意义
卷积拉普拉斯——意义数学定义：函数f与g的卷积记作f*g，它是其中⼀个函数翻转并平移后与另⼀个函数的乘积的积分，是⼀个对平移量的函数f(t)*g(t) = (f*g)(t) = ∫f(τ)g(t-τ)dτ积分区间取决于f与g的定义域对于离散域的函数，卷积的定义：(f*g)[m] = ∑n f[n]g[m-n]1.卷积是求累积值，就是某⼀时刻的反应，是多个反应的叠加值。
2.既然如⼀，就有2.1任何信号可微分成脉冲信号的组合，依次通过系统。
2.1，系统是线性的，某时的响应是可以看成是响应的叠加。
注：关于线性系统，可以理解为：如果⼀系统，输⼊为1时，输出为1；那么输⼊为2时，输出也为2.⽽不是1.⼏。
3.y(t)=∫T(τ)H(t-τ)，这是卷积的公式，要理解这个，⾸先要有时间的概念，τ，t这两个参数的真正意义，是时间。
t是某时，⽽τ表⽰从零到某时的这个时间段的某时刻。
这个公式包括两个部份，前⾯的表⽰脉冲强度，τ时刻的脉冲强度；是后⾯的是单位脉冲响应函数，或者说是响应的衰减函数，因为响应随着时间的推移⽽减弱，就像疼痛会减弱⼀样这样更好理解，⽽个体表⽰的是t时刻时，τ时刻的脉冲响应的值。
那么整个式⼦就表⽰，强度*衰减系数。
叠加到⼀块⼉，就是t时刻的响应了。
最幽默的解释卷积的物理意义谈起卷积分当然要先说说冲击函数—-这个倒⽴的⼩蝌蚪，卷积其实就是为它诞⽣的。
”冲击函数”是狄拉克为了解决⼀些瞬间作⽤的物理现象⽽提出的符号。
古⼈⽈：”说⼀堆⼤道理不如举⼀个好例⼦”，冲量这⼀物理现象很能说明”冲击函数”。
在t时间内对⼀物体作⽤F的⼒，我们可以让作⽤时间t 很⼩，作⽤⼒F很⼤，但让Ft的乘积不变，即冲量不变。
于是在⽤t做横坐标、F做纵坐标的坐标系中，就如同⼀个⾯积不变的长⽅形，底边被挤的窄窄的，⾼度被挤的⾼⾼的，在数学中它可以被挤到⽆限⾼，但即使它⽆限瘦、⽆限⾼、但它仍然保持⾯积不变（它没有被挤没！），为了证实它的存在，可以对它进⾏积分，积分就是求⾯积嘛！于是”卷积” 这个数学怪物就这样诞⽣了。
卷积物理意义
卷积的物理意义进入到大学之后，学习的第一门课就是微积分，这门课对于理工科学生来说应该是整个大学学习最大的基石，因为读大学的首要目的就是对某一方面的事物有更加具体详细的认识，从而大大增强我们对这方面的事物改造与创造的能力，提升我们个人的生产力。
而对于学工科的我们来说，我们在大学里所要研究与认识的东西是某一具体的物质，这些物质由于具体，所以必然可以被分解为无数非常小的微粒，由于这些微粒各自之间的作用的累积，形成了我们所需研究的物质的种种特性，于是要能够对这些物质具体详细的认识就必须从非常小的微粒开始研究，而微积分本质就是对许多无穷小量的微元在一定范围内进行加减乘除也就是微分与积分的运算，这正好契合了我们工科专业的研究物理性东西的需求。
因此，在这样的背景下，我们在大学中就会学到一系列具有物理意义的数学公式与概念，这些公式十分抽象，但却包罗万象，本文就是试图对卷积这一数学概念做一个深入的分析。
首先，先列出卷积的定义式：()()()r t e h t d τττ+∞−∞=−∫。
从直观上理解这个公式就是r 在t 时刻的取值等于e 在τ时刻的取值乘以它持续的时间d τ再乘以一个大小与t-τ这段时间间隔有关的系数h(t-τ)最后在整个时间域上相加（积分）所得的值，这是最本质的解释。
在物理上e(t)看成一个外界对某一系统的作用（激励）r(t)看成这个作用对该系统的某个状态量的作用效果（响应）h(t)看成一个反映系统性质的函数(冲击响应)如果从这个角度再来理解这一公式的话，那就是：对于一个已有的系统在某一时刻τ外界对它产生了一个作用（激励）e(τ)，它的持续时间是d τ，所以它的作用量（作用值乘以作用时间）等于e(τ)d τ，再乘以一个系数h(t-τ)（表示τ时刻激励对t 时刻系统状态量r(t)的影响程度，这个系数的取值是t 与τ的时间间隔t-τ的函数），也就是相当于将这个激励量通过h （t ）传递过去（所以h （t ）也称为传递函数），系统最终得到τ时刻激励e(τ)对状态量r(t)在t 时刻的取值的影响量e(τ)h(t-τ)d τ，将各时刻的影响量累加起来（积分），就得到了卷积的这个公式了。
幽默讲卷积
最幽默的解释卷积的物理意义谈起卷积分当然要先说说冲击函数—-这个倒立的小蝌蚪，卷积其实就是为它诞生的。
‖冲击函数‖是狄拉克为了解决一些瞬间作用的物理现象而提出的符号。
古人曰：‖说一堆大道理不如举一个好例子‖，冲量这一物理现象很能说明‖冲击函数‖。
在t时间内对一物体作用F的力，我们可以让作用时间t很小，作用力F很大，但让Ft的乘积不变，即冲量不变。
于是在用t 做横坐标、F做纵坐标的坐标系中，就如同一个面积不变的长方形，底边被挤的窄窄的，高度被挤的高高的，在数学中它可以被挤到无限高，但即使它无限瘦、无限高、但它仍然保持面积不变（它没有被挤没！），为了证实它的存在，可以对它进行积分，积分就是求面积嘛！于是‖卷积‖ 这个数学怪物就这样诞生了。
说它是数学怪物是因为追求完美的数学家始终在头脑中转不过来弯，一个能瘦到无限小的家伙，竟能在积分中占有一席之地，必须将这个细高挑清除数学界。
但物理学家、工程师们确非常喜欢它，因为它解决了很多当时数学家解决不了的实际问题。
最终追求完美的数学家终于想通了，数学是来源于实际的，并最终服务于实际才是真。
于是，他们为它量身定做了一套运作规律。
于是，妈呀！你我都感觉眩晕的卷积分产生了。
例子：有一个七品县令，喜欢用打板子来惩戒那些市井无赖，而且有个惯例：如果没犯大罪，只打一板，释放回家，以示爱民如子。
有一个无赖，想出人头地却没啥指望，心想：既然扬不了善名，出恶名也成啊。
怎么出恶名？炒作呗！怎么炒作？找名人呀！他自然想到了他的行政长官——县令。
无赖于是光天化日之下，站在县衙门前撒了一泡尿，后果是可想而知地，自然被请进大堂挨了一板子，然后昂首挺胸回家，躺了一天，嘿！身上啥事也没有！第二天如法炮制，全然不顾行政长管的仁慈和衙门的体面，第三天、第四天……每天去县衙门领一个板子回来，还喜气洋洋地，坚持一个月之久！这无赖的名气已经和衙门口的臭气一样，传遍八方了！县令大人噤着鼻子，呆呆地盯着案子上的惊堂木，拧着眉头思考一个问题：这三十个大板子怎么不好使捏？……想当初，本老爷金榜题名时，数学可是得了满分，今天好歹要解决这个问题：——人（系统！）挨板子（脉冲！）以后，会有什么表现（输出！）？——费话，疼呗！——我问的是：会有什么表现？——看疼到啥程度。
1卷积和褶积的物理意义
1卷积和褶积的物理意义卷积的物理意义进入到大学之后，学习的第一门课就是微积分，这门课对于理工科学生来说应该是整个大学学习最大的基石，因为读大学的首要目的就是对某一方面的事物有更加具体详细的认识，从而大大增强我们对这方面的事物改造与创造的能力，提升我们个人的生产力。
而对于学工科的我们来说，我们在大学里所要研究与认识的东西是某一具体的物质，这些物质由于具体，所以必然可以被分解为无数非常小的微粒，由于这些微粒各自之间的作用的累积，形成了我们所需研究的物质的种种特性，于是要能够对这些物质具体详细的认识就必须从非常小的微粒开始研究，而微积分本质就是对许多无穷小量的微元在一定范围内进行加减乘除也就是微分与积分的运算，这正好契合了我们工科专业的研究物理性东西的需求。
因此，在这样的背景下，我们在大学中就会学到一系列具有物理意义的数学公式与概念，这些公式十分抽象，但却包罗万象，本文就是试图对卷积这一数学概念做一个深入的分析。
首先，先列出卷积的定义式：r(t)=∫e(τ)h(t τ)dτ。
从直观上理解∞+∞这个公式就是r在t时刻的取值等于e在τ时刻的取值乘以它持续的时间dτ再乘以一个大小与t-τ这段时间间隔有关的系数h(t-τ)最后在整个时间域上相加（积分）所得的值，这是最本质的解释。
在物理上e(t)看成一个外界对某一系统的作用（激励）r(t)看成这个作用对该系统的某个状态量的作用效果（响应）h(t)看成一个反映系统性质的函数(冲击响应)如果从这个角度再来理解这一公式的话，那就是：对于一个已有的系统在某一时刻τ外界对它产生了一个作用（激励）e(τ)，它的持续时间是dτ，所以它的作用量（作用值乘以作用时间）等于e(τ)dτ，再乘以一个系数h(t-τ)（表示τ时刻激励对t时刻系统状态量r(t)的影响程度，这个系数的取值是t与τ的时间间隔t-τ的函数），也就是相当于将这个激励量通过h（t）传递过去（所以h（t）也称为传递函数），τττ，将，就得到了卷积的这个公式了。
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卷积的物理意义
谈起卷积分当然要先说说冲击函数----这个倒立的小蝌蚪，卷积其实就是为它诞生的。
“冲击函数”是狄拉克为了解决一些瞬间作用的物理现象而提出的符号。
古人曰：“说一堆大道理不如举一个好例子”，冲量这一物理现象很能说明“冲击函数”。
在t 时间内对一物体作用F的力，我们可以让作用时间t很小，作用力F很大，但让Ft的乘积不变，即冲量不变。
于是在用t做横坐标、F做纵坐标的坐标系中，就如同一个面积不变的长方形，底边被挤的窄窄的，高度被挤的高高的，在数学中它可以被挤到无限高，但即使它无限瘦、无限高、但它仍然保持面积不变（它没有被挤没！），为了证实它的存在，可以对它进行积分，积分就是求面积嘛！于是“卷积” 这个数学怪物就这样诞生了。
说它是数学怪物是因为追求完美的数学家始终在头脑中转不过来弯，一个能瘦到无限小的家伙，竟能在积分中占有一席之地，必须将这个细高挑清除数学界。
但物理学家、工程师们确非常喜欢它，因为它解决了很多当时数学家解决不了的实际问题。
最终追求完美的数学家终于想通了，数学是来源于实际的，并最终服务于实际才是真。
于是，他们为它量身定做了一套运作规律。
于是，妈呀！你我都感觉眩晕的卷积分产生了。
卷积这个东东是“信号与系统”中论述系统对输入信号的响应而提出的。
因为是对模拟信号论述的，所以常常带有繁琐的算术推导，很简单的问题的本质常常就被一大堆公式淹没了，那么卷积究竟物理意义怎么样呢？
卷积表示为
y(n) = x(n)*h(n)
使用离散数列来理解卷积会更形象一点，我们把y(n)的序列表示成
y(0),y(1),y(2) and so on;
这是系统响应出来的信号。
同理，x(n)的对应时刻的序列为x(0),x(1),x(2)...and so on;
其实我们如果没有学过信号与系统，就常识来讲，系统的响应不仅与当前时刻系统的输入有关，也跟之前若干时刻的输入有关，因为我们可以理解为这是之前时刻的输入信号经过一种过程（这种过程可以是递减，削弱，或其他）对现在时刻系统输出的影响，那么显然，我们计算系统输出时就必须考虑现在时刻的信号输入的响应以及之前若干时刻信号输入的响应之“残留”影响的一个叠加效果。
假设0时刻系统响应为y(0),若其在1时刻时，此种响应未改变，则1时刻的响应就变成了y(0)+y(1),叫序列的累加和（与序列的和不一样）。
但常常系统中不是这样的，因为0时刻的响应不太可能在1时刻仍旧未变化，那么怎么表述这种变化呢，就通过h(t)这个响应函数与x(0)相乘来表述，表述为
x(m)×h(m-n)，具体表达式不用多管，只要记着有大概这种关系，引入这个函数就能够表述y(0)在1时刻究竟削弱了多少，然后削弱后的值才是y(0)在1时刻的真实值，再通过累加和运算，才得到真实的系统响应。
再拓展点，某时刻的系统响应往往不一定是由当前时刻t和前一时刻t-1这两个响应决定的，也可能是再加上t-2时刻，t-3时刻，t-4时刻，等等，那么怎么约束这个范围呢，就是通过对h(n)这个函数在表达式中变化后的h(m-n)中的m的范围来约束的。
即说白了，就是当前时刻的系统响应与多少个之前时刻的响应的“残留影响”有关。
当考虑这些因素后，就可以描述成一个系统响应了，而这些因素通过一个表达式（卷积）即描述出来不得不说是数学的巧妙和迷人之处了。
对于非数学系学生来说，只要懂怎么用卷积就可以了，研究什么是卷积其实意义不大,它就是一种微元相乘累加的极限形式。
卷积本身不过就是一种数学运算而已。
就跟“蝶形运算”一样，怎么证明，这是数学系的人的工作。
在信号与系统里，f(t)的零状态响应y(t)可用f(t)与其单位冲激响应h(t) 的卷积积分求解得，即y(t)=f(t)*h(t)。
学过信号与系统的都应该知道，时域的卷积等于频域的乘积，即有Y(s)=F(s)×H(s)。
（s=jw，拉氏变换后等到的函数其实就是信号的频域表达式）有一点你必须明白，在通信系统里，我们关心的以及要研究的是信号的频域，不是时域，原因是因为信号的频率是携带有信息的量。
所以，我们需要的是Y(s)这个表达式，但是实际上，我们往往不能很容易的得到F(s)和H(s)这两个表达式，但是能直接的很容易的得到f(t)和h(t)，所以为了找到Y(s)和y(t)的对应关系，就要用到卷积运算。
复频域。
s=jw，当中的j是复数单位，所以使用的是复频域。
通俗的解释方法是，因为系统中有电感X=jwL、电容X=1/jwC，物理意义是，系统H(s)对不同的频率分量有不同的衰减，即这种衰减是发生在频域的，所以为了与时域区别，引入复数的运算。
但是在复频域计算的形式仍然满足欧姆定理、KCL、KVL、叠加法。
负的频率。
之所以会出现负的频率，这只是数学运算的结果，只存在于数学运算中，实际中不会有负的频率。
卷积的过程就是相当于把信号分解为无穷多的冲击信号，然后进行冲击响应的叠加。
有一个七品县令，喜欢用打板子来惩戒那些市井无赖，而且有个惯例：如果没犯大罪，只打一板，释放回家，以示爱民如子。
有一个无赖，想出人头地却没啥指望，心想：既然扬不了善名，出恶名也成啊。
怎么出恶名？炒作呗！怎么炒作？找名人呀！他自然想到了他的行政长官——县令。
无赖于是光天化日之下，站在县衙门前撒了一泡尿，后果是可想而知地，自然被请进大堂挨了一板子，然后昂首挺胸回家，躺了一天，嘿！身上啥事也没有！第二天如法炮制，全然不顾行政长管的仁慈和衙门的体面，第三天、第四天......每天去县衙门领一个板子回来，还喜气洋洋地，坚持一个月之久！这无赖的名气已经和衙门口的臭气一样，传遍八方了！
县令大人噤着鼻子，呆呆地盯着案子上的惊堂木，拧着眉头思考一个问题：这三十个大板子怎么不好使捏？......想当初，本老爷金榜题名时，数学可是得了满分，今天好歹要解决这个问题：
——人（系统！）挨板子（脉冲！）以后，会有什么表现（输出！）？
——费话，疼呗！
——我问的是：会有什么表现？
——看疼到啥程度。
像这无赖的体格，每天挨一个板子啥事都不会有，连哼一下都不可能，你也看到他那得意洋洋的嘴脸了（输出0）；如果一次连揍他十个板子，他可能会皱皱眉头，咬咬牙，硬挺着不哼
（输出1）；揍到二十个板子，他会疼得脸部扭曲，象猪似地哼哼（输出3）；揍到三十个板子，他可能会象驴似地嚎叫，一把鼻涕一把泪地求你饶他一命（输出5）；揍到四十个板子，他会大小便失禁，勉
强哼出声来（输出1）；揍到五十个板子，他连哼一下都不可能（输出0）——死啦！
县令铺开坐标纸，以打板子的个数作为X轴，以哼哼的程度（输出）为Y轴，绘制了一条曲线：
——呜呼呀！这曲线象一座高山，弄不懂弄不懂。
为啥那个无赖连挨了三十天大板却不喊绕命呀？
——呵呵，你打一次的时间间隔（Δτ=24小时）太长了，所以那个无赖承受的痛苦程度一天一利索，没有叠加，始终是一个常数；如果缩短打板子的时间间隔（建议Δτ=0.5秒），那他的痛苦程度可就迅速叠加了；等到这无赖挨三十个大板（t=30）时，痛苦程度达到了他能喊叫的极限，会收到最好的惩戒效果，再多打就显示不出您的仁慈了。
——还是不太明白，时间间隔小，为什么痛苦程度会叠加呢？
——这与人（线性时不变系统）对板子（脉冲、输入、激励）的响应有关。
什么是响应？人挨一个板子后，疼痛的感觉会在一天（假设的，因人而异）内慢慢消失（衰减），而不可能突然消失。
这样一来，只要打板子的时间间隔很小，每一个板子引起的疼痛都来不及完全衰减，都会对最终的痛苦程度有不同的贡献：
t个大板子造成的痛苦程度=Σ(第τ个大板子引起的痛苦*衰减系数)
[衰减系数是（t-τ）的函数，仔细品味]
数学表达为：y(t)=∫T(τ)H(t-τ)
——拿人的痛苦来说卷积的事，太残忍了。
除了人以外，其他事物也符合这条规律吗？——呵呵，县令大人毕竟仁慈。
其实除人之外，很多事情也遵循此道。
好好想一想，铁丝为什么弯曲一次不折，快速弯曲多次却会轻易折掉呢？
——恩，一时还弄不清，容本官慢慢想来——但有一点是明确地——来人啊，将撒尿的那个无赖抓来，狠打40大板！。