[套卷]山东省德州市中学2014届高三上学期期中考试文科数学试题

山东省德州市中学2014届高三上学期期中考试文科数学试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟 第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合P={3，4，5}，Q={6，7}，定义},|),{(*Q b P a b a Q P ∈∈=，则Q P *的子集个数为A ．7B ．12C ．32D ．642．已知20<<a ，复数z 的实部为a ，虚部为1，则||z 的取值范围是 A ．(1，5) B ．(1，3) C ．)5,1( D ．)3,1( 3．若命题“p 或q ”与命题“非p ”都是真命题，则 A ．命题p 不一定是假命题 B ．命题q 一定是真命题 C ．命题q 不一定是真命题 D ．命题p 与命题q 同真同假4．已知数阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛333231232221131211aa aa a aa a a中，每行的3个数依次成等差数列，每列的3个数也依次成等差数列，若822=a ，则这9个数的和为A ．16B ．32C ．36D ．725．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是A ．6B ．8C ．10D ．126．执行如右图所示的程序框图，如果输入的n 是4，则输出的p 的值是 A ．8 B ．5 C ．3 D ．27．函数()cos(2)f x x x π=-的图象大致为8．连接球面上两点的线段称为球的弦，半径为4的球的两条弦AB、CD的长度分别为72、34，M、N分别为AB、CD的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题：①弦AB、CD可能相交于点M；②弦AB、CD可能相交于点N；③MN的最大值为5；④MN 的最小值为1．其中真命题的个数为A．1 B．2 C．3 D．49．若0≥a，0≥b，且当⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥1yxyx时，恒有≤+byax1，则以ba,为坐标的点),(baP所形成的平面区域的面积是A．21B．4πC．1 D．2π10．在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别是cba,,，Aba sin2=，33=a，5=c，则=bA．7 B．7 C．97 D．7或9711．过抛物线)0(22>=ppxy的焦点F，斜率为34的直线交抛物线于A，B两点，若)1(>=λλFBAF，则λ的值为A．5 B．4 C．34D．2512．对任意实数yx,，定义运算cxybyaxyx++=*，其中cba,,为常数，等号右边的运算是通常意义的加、乘运算．现已知1*2=4，2*3=6，且有一个非零实数m，使得对任意实数x，都有xmx=*，则=mA．2 B．3 C．4 D．5第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填写在答题纸的相应位置．13．若非零向量,满足||||=，0)2(=⋅+，则a与b的夹角为______．14．某学校对1 000名高三毕业学生的体育水平测试成绩进行统计，得到样本频率分布直方图如图所示，现规定不低于70分为合格，则合格人数是______．15．将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数ba、，则直线0=+byax与圆2)2(22=+-y x 有公共点的概率为_______．16．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的离心率2=e ，则一条渐近线与实轴所成锐角的值是_______．三、解答题：本大题共6个小题，共74分．解答应写文字说明、证明过程或演算步骤，把答案填写在答题纸的相应位置．17．(本小题满分12分)已知函数1)sin (cos cos 2)(+-=x x x x f ，R x ∈． (1)求函数)(x f 的最小正周期； (2)求函数)(x f 在区间]43,8[ππ上的最小值与最大值．18．(本小题满分12分)某企业新研制一种LED 节能灯管，为了测试其使用寿命，从中随机抽取50支灯管作为测试样本，分别在使用了12个月、24个月、36个月时进行3次测试，得到未损坏的灯管支数如下表：(1)请补充完整如图所示的频率分布直方图； (2)试估计这种节能灯管的平均使用寿命；(3)某校一间功能室一次性换上5支这种灯管，在使用了12个月时随机取其中3支，求取到已损坏灯管的概率．19．（本小题满分12分）如图1所示，在Rt △ABC 中，AC =6，BC =3，∠ABC= ︒90，CD 为∠ACB 的角平分线，点E 在线段AC 上，且CE=4．如图2所示，将△BCD 沿CD 折起，使得平面BCD ⊥平面ACD ，连接AB ，设点F 是AB 的中点．(1)求证：DE⊥平面BCD ；(2)若EF∥平面BDG ，其中G 为直线AC 与平面BDG的交点，求三棱锥DEG B -的体积．20．(本小题满分12分)已知常数0>p 且1=/p ，数列}{n a 的前n 项和)1(1n n a ppS --=，数列}{n b 满足121log -+=-n p n n a b b 且11=b ．(1)求证：数列}{n a 是等比数列；(2)若对于在区间[0，1]上的任意实数λ，总存在不小于2的自然数k ，当k n ≥时，图1 图2)23)(1(--≥n b n λ恒成立，求k 的最小值．21．（本小题满分13分）已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a b y a x 的长轴长为4，离心率22=e(1)求椭圆的方程；(2)设椭圆C 的左顶点为A ，右顶点为B ，点S 是椭圆C 上位于x 轴上方的动点，直线AS ，BS 与直线l ：3=x 分别交于M ，N 两点，求线段MN 的长度的最小值． 22．（本小题满分13分）已知函数xe xf =)(，若函数)(xg 满足)()(x g x f ≥恒成立，则称)(x g 为函数)(x f 的下界函数．(1)若函数kx x g =)(是)(x f 的下界函数，求实数k 的取值范围； (2)证明：对任意的2≤m ，函数x m x h ln )(+=都是)(x f 的下界函数．一、1．D 【解析】集合Q P *中的元素为(3，6)，(3，7)，(4，6)，(4，7)，(5，6)，(5，7)共6个，故Q P *的子集个数为6426=．2．C 【解析】由于复数z 的实部为a ，虚部为1，且20<<a ，故由21||a z +=得5||1<<z ．3．B 【解析】由题可知“非p ”是真命题，所以p 是假命题，又因为“p 或q ”是真命题，所以q 是真命题．故选B ．4．D 【解析】依题意得+++++++31232221131211a a a a a a a 3332a a +72933322322212==++=a a a a ．5．D 【解析】该几何体是一个长方体在左边挖去一个三棱柱再拼接到右边而得到的，它的体积就是长方体的体积，体积为12)11(2)6.04.2(=+⨯⨯+=V ．6．C 【解析】由题知，第一次进入循环，满足1<4，循环后1=p ，1=s ，1=t ，2=k ；第二次进入循环，满足2<4，循环后2=p ，=s 1，2=t ，3=k ；第三次进入循环，满足3<4，循环后3=p ，2=s ，3=t ，4=k ，因为4=4，不满足题意，所以循环结束．输出p 的值为3，选C ．7．A 【解析】因为()cos(2)cos f x x x x x π=-=，)(cos )cos()()(x f x x x x x f -=-=--=-，所以函数x x x f cos )(=为奇函数，排除B ，C ；又因为当20π<<x 时，=)(x f 0cos >x x ，故选择A ．8．C 【解析】设球的球心O 到直线AB 、CD 的距离分别为d d 、'，利用勾股定理可求出3='d ，2=d ，所以CD 可以经过M ，而AB 不会经过N ，所以①正确，②不正确；又5='+d d ，1=-'d d ，所以③④正确．故选C ．9．C 【解析】由题意可得，当0=x 时，1≤by 恒成立，0=b 时，1≤by 显然恒成立；0=/b 时，可得by 1≤恒成立，解得10≤<b ，所以10≤≤b ；同理可得10≤≤a ．所以点),(b a P 确定的平面区域是一个边长为1的正方形，故面积为1．10．B 【解析】因为A b a sin 2=，所以由正弦定理得A B A sin sin 2sin =，角A 为三角形的内角，则0sin =/A ，所以21sin =B ，由△ABC 为锐角三角形得6π=B ．根据余弦定理得=-+=B ac c a b cos 22227452527=-+．所以7=b ．11．B 【解析】 根据题意设),(11y x A ，),(22y x B ．由FB AF λ=得),2(),2(2211y px y x p -=--λ，故21y y λ=-，即=λ21y y -．设直线AB 的方程为)2(34p x y -=，联立直线与抛物线方程，消元得02322=--p py y ．故p y y 2321=+，=21y y 2p -，492)(122121221-=++=+y y y y y y y y ，即=+--21λλ49-．又1>λ，故4=λ． 12．D 【解析】由定义可知，⎩⎨⎧=++==++=66323*24222*1c b a c b a ，解得⎩⎨⎧+=-=226c b c a ，又对任意实数x ，都有x m x =*，即++-=+++-=c x c cm cxm m c cx m x 2()6()22(6*x m =)2恒成立，则⎩⎨⎧=+=-0)22(16m c c cm ，解得⎩⎨⎧=-=51m c 或⎪⎩⎪⎨⎧=-=061m c （舍）． 二、13．︒120【解析】由题意得⋅=+⋅=⋅+22||22)2(a b b a b b a 0,cos 2=+><a b a ，所以21,cos ->=<b a ，所以b a ,的夹角为︒120． 14．600【解析】不低于70分的人数的频率为⨯++)01.0015.0035.0(6.010=，故合格的人数是6006.01000=⨯．15．127【解析】依题意，将一颗骰子先后投掷两次得到的点数所形成的数组),(b a 有(1,1)， (1,2)，(1,3)，…，(6,6)，共 36种，其中满足直线0=+by ax 与圆2)2(22=+-y x 有公共点，即2222≤+ba a ，b a ≤的数组),(b a 有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，……，(6,6)，共21654321=+++++种，因此所求的概率等于1273621=． 16．4π【解析】因为2=e ，所以22=e ，即222=ac ，又222b a c +=，所以122=a b ，即1=a b ，所以一条渐近线与实轴所成锐角的值是4π． 三、17．【解析】(1)1)sin (cos cos 2)(+-=x x x x f 1sin cos 2cos 22+-=x x x)432sin(2222sin 2cos π++=+-=x x x ．（4分） 因此，函数)(x f 的最小正周期为π．（6分） (2)由题易知)432sin(22)(π++=x x f 在区间]83,8[ππ上是减函数， 在区间]43,83(ππ上是增函数，（8分） 又2)8(=πf ，22)83(-=πf ，3)43(=πf ，（10分）所以，函数)(x f 在区间]43,8[ππ上的最大值为3，最小值为22-．（12分） 18．【解析】(1)由题意知这种节能灯管的使用寿命在[0，12]上的有=-405010支，在]24,12(上的有=-104030支，在]36,24(上的有10支，易知使用寿命在[0，12]上与使用寿命在]36,24(上的频数相等，（2分）故补充完整的频率分布直方图如图所示，（4分） (2)取每组的组中值计算灯管的平均使用寿命得185010303018106=⨯+⨯+⨯，即这种节能灯管的平均使用寿命为18个月．（6分）(3)由题易知，S 支灯管在使用了12个月时未损坏的有⨯545040=支，记作4321,,,A A A A ，已损坏的有1支，记作B ．从中随机取3支的所有可能结果有：),,(321A A A ，,,(21A A)4A ，),,(21B A A ，),,(431A A A ，),,(31B A A ，),,(41B A A ，,(2A ),43A A ，),,(32B A A ，),,(42B A A ，),,(43B A A ，共10个．（8分）取到已损坏灯管的事件有：),,(21B A A ，),,(31B A A ，,,(41A A )B ，),,(32B A A ，),,(42B A A ，),,(43B A A ，共6个，（10分） 所以取到已损坏灯管的概率6.0106==P ．（12分） 19．【解析】(1)在图1中，因为AC=6，BC=3，所以︒=∠90ABC ，︒=∠60ACB ．因为CD 为∠ACB 的角平分线，所以︒=∠=∠30ACD BCD ，32=CD ．（2分）因为CE=4，︒=∠30DCE ，由余弦定理可得CDCE DE CD CE ⋅-+=︒230cos 222，即3242)32(423222⨯⨯-+=DE ，解得DE=2． 则222EC DE CD =+，所以︒=∠90CDE ，DE⊥DC．（4分）在图2中，因为平面BCD⊥平面ACD ，平面BCD 平面ACD= CD ，DE ⊂平面ACD ．且DE⊥DC，所以DE⊥平面BCD ．（6分）(2)在图2中，因为EF∥平面BDG ，EF ⊂平面ABC ，平面ABC 平面BDG= BG ，所以EF//BG ．因为点E 在线段AC 上，CE=4，点F 是AB 的中点， 所以AE=EG=CG=2．（8分）作BH⊥CD 于点H ．因为平面BCD⊥平面ACD ， 所以BH⊥平面ACD ． 由已知可得=⋅=DC BC BD BH 233233=⨯．（10分） ACD DEG S S ∆∆=31330sin 2131=︒⨯⨯⨯⨯=CD AC ，所以三棱锥DEG B -的体积BH S V DEG ⋅=∆312323331=⨯⨯=．（12分） 20．【解析】(1)当2≥n 时，-----=-=-1(1)1(11ppa p p S S a n n n n )1-n a ，整理得1-=n n pa a ．（3分）由)1(1111a p p S a --==，得=1a 0>p ，则恒有0>=n n p a ，从而p a an n =-1．所以数列}{n a 为等比数列．（6分）(2)由(1)知nn p a =，则12log 121-==--+n a b b n P n n ，所以=+-++-+-=---112211)()()(b b b b b b b b n n n n n 222+-n n ，（8分）所以)23)(1(222--≥+-n n n λ，则+-+-n n n 5)23(2λ04≥在]1,0[∈λ时恒成立．记45)23()(2+-+-=n n n f λλ，由题意知，⎩⎨⎧≥≥0)1(0)0(f f ，解得4≥n 或1≤n ．（11分）又2≥n ，所以4≥n ．综上可知，k 的最小值为4．（12分） 21．【解析】(1)由题意得42=a ，故2=a ，（1分）因为22==a c e ，所以2=c ，2)2(2222=-=b ，（3分） 所以所求的椭圆方程为12422=+y x ．（4分） (2)依题意，直线AS 的斜率k 存在，且0>k ， 故可设直线AS 的方程为)2(+=x k y ，从而)5,3(k M ，由⎪⎩⎪⎨⎧=++=124)2(22y x x k y 得+1(0488)22222=-++k x k x k ．（6分）设),(11y x S ，则2212148)2(k k x +-=⨯-，得2212142k k x +-=，从而21214k ky +=， 即)214,2142(222kkk k S ++-，（8分） 又由B(2，0)可得直线SB 的方程为22142202140222-+--=-+-kk x k ky ， 化简得)2(21--=x ky ， 由⎪⎩⎪⎨⎧=--=3)2(21x x k y 得⎪⎩⎪⎨⎧-==k y x 213，所以)21,3(k N -，故|215|||kk MN +=，（11分） 又因为0>k ，所以102152215||=∙≥+=kk k k MN ， 当且仅当k k 215=，即1010=k 时等号成立， 所以1010=k 时，线段MN 的长度取最小值10．（13分） 22．【解析】(1)若kx x g =)(为xe xf =)(的下界函数，易知0<k 不成立，而0=k 必然成立．当0>k 时，若kx x g =)(为xe xf =)(的下界函数，则)()(xg x f ≥恒成立，即0≥-kx e x 恒成立．（2分）令kx e x x-=)(ϕ，则k e x x-=')(ϕ．易知函数)(x ϕ在)ln ,(k -∞单调递减，在),(ln +∞k 上单调递增．（4分）由0)(≥x ϕ恒成立得0ln )(ln )(min ≥-==k k k k x ϕϕ，解得e k ≤<0． 综上知e k ≤≤0．（6分）(2)解法一 由(1)知函数ex x G =)(是xe xf =)(的下界函数，即)()(x G x f ≥恒成立， 若2≤m ，构造函数)0(ln )(>--=x m x ex x F ，（8分） 则x ex x e x F 11)(-=-=，易知02)1()(min ≥-==m eF x F ， 即x m x h ln )(+=是ex xG =)(的下界函数，即)()(x h x G ≥恒成立．（11分） 所以)()()(x h x G x f ≥≥恒成立，即2≤m 时，x m x h ln )(+=是=)(x f xe 的下界函数．（13分）解法二 构造函数m x e x h x f x H x--=-=ln )()()(，)2(≤m ，xe x H x 1)(-='． 易知必有00>x 满足0)(0='x H ，即010x ex =．（8分） 又因为)(x H 在),0(0x 上单调递减，在),(0+∞x 上单调递增，故m x ex H x H x --==00min ln )()(0-+=--=-0001ln 10x x m e x x 02≥-≥m m ，所以)()(x h x f ≥恒成立．（11分）即对任意的2≤m ，x m x h ln )(+=是xe xf =)(的下界函数．（13分）。