公务员数量关系笔记整理
公务员数量关系核心公式笔记
一、拆数求积问题
拆数求积问题核心法则：将一个正整数(≥2)拆成若干自然数之和，要使这些自然数的乘积尽可能的大，那么我们应该这样来拆数：全部拆成若干个3和少量2(1个2或者2个2)之和即可。
二、货物集中问题
在非闭合的路径上(包括线形、树形等，不包括环形)有多个“点”，每个点之间通过“路”来连通，每个“点”上有一定的货物，需要用优化的方法把货物集中到一个“点”上的时候，通过以下方式判断货物流通的方向：判断每条“路”的两侧的货物总重量，在这条“路”上一定是从轻的一侧流向重的一侧。
特别提示
1. 本法则必须适用于“非闭合”的路径问题中；
2. 本法则的应用，与各条路径的长短没有关系；
3. 实际操作中，我们应该从中间开始分析，这样可以更快得到答案。
三、货物装卸问题
如果有M辆车和N(N>M)个工厂，所需装卸工的总数就是需要装卸工人数最多的M个工厂所需的装卸工人数之和。
(若M≥N，则把各个点上需要的人加起来即答案)
四、行程问题。
公务员考试之数量关系
数量关系一．数字推理一．题型特点（一）数列填空推理（简单数列+多重数列）——注意考虑变式：常数和项数类型特点解题要点质、合数数列(1)质数数列：由只能被1和它本身整除的正整数(质数)组成的数列。
(2)合数数列：由除了1和它本身外还有其他约数的正整数(合数)组成的数列。
其中，1既不是质数，也不是合数；2是最小的质数，4是最小的合数。
(3)非质数数列：由1和合数组成的数列。
(4)非合数数列：由1和质数组成的数列。
1)质数数列：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29,312)合数数列：4，6，8，9，10，12，14，15，16，3)非质数数列1，4，6，8，9，10，12，4)非合数数列1，2，3，5，7，11，13，间接考察：25，49，121，169，289，361（质数5，7，11，13，17，19的平方）二次做差后2 3 5 7 接下来注意是11，不是9，注意区分质数和奇数列：奇数列没有2等差数列相邻两项之差相等，等于一个常数逐差法（得到新数列）。
适用情况：多级等差数列及其变式。
整体变化幅度较小（有单调性）等比数列相邻两项之比相等，等于一个常数逐商法。
适用情况：数列满足等比数列特点，且无其他明显规律。
整体变化幅度较大（公比为正数时有单调性，公比为负数时，无单调性，呈现一正一负）注意：公比分数化，公比负数化。
多次方数列数列各项均为某项的多次方。
平方立方是特殊的多次方数列。
适用情况：有明显的平方项或立方项及变式。
整体变化幅度很大（有单调性）递推数列（递推和，递推差，递推积，递推平方，立方）递推考虑常数和项数某一项都是它的前两项或三项通过一定的运算法则得到的（一般是圈三法）观察趋势，尝试：1.整体递增：考虑和，倍，积，乘方增长较慢：先和，后倍，再积增长较快：积增长很快：乘方2整体递减：差，倍，商，开方减少较慢：先差，后倍，再商减少较块：商减少很快：开方根式数列数列中含根式的数列1根次之间存在关系2根次相同时，可以把根号外面的数化到根号里面去（或把根号里面的数化到外面去），看底数关系3根式的底数存在关系4.根次，底数分别存在一定的关系。
公考数量关系笔记
数列1、质数列：2，3，5，7，11，13，17……2、合数列：4，6，8，9，10，12，14……3、数字推理：逐差，逐和，逐商，逐乘后没规律的，应先和原数列对照4、如果数列中有两项式两项以上为质数，一般不考虑因式分解法5、中间出现“0”型①当数列中间带有一个“0”，且“0”前后的数值正负相反时，一般情况优先考虑因数分解或幂指数拆分法，并且拆分后的其中一个数列要经过由负值到正值转变②当数列中间带有两个“0”时，一般优先考虑采用因数分解或幂指数拆分法，并且拆分后的两个数列都要经过负值到正值的转变例：-2，0，0，4，18，〔48〕变-2×〔-1〕2，-1×02，0×12，1×22，2×32，3×42-54，8，0，0，-2，〔-24〕变-2×33，-1×23，0×13，1×03，2×〔-1〕3，3×〔-2〕36、开头出现“0”型对于“0”开头数列，一般先将原数列的各项加上“1”式或加上自身的项数，然后求规律7、个位数列：数列全为个位数或个别项外全为个位数的，一般从相加或相乘之后的尾数的首位数字进行考虑8、橄榄型数列：即中间大，两头小的数列，一般这类数列具有明显指数特征，优先考虑幂指数拆分法，且重点考虑指数与底数反方向变化例：1，1，9，5，1，〔1/9〕〔-1〕4，13，32，51，70，(9-1)9、整数＆分数型：即数列中同时出现整数和分数的数列①分数项的分子为1，优先进行幂指数分析例：1/25,1/3,1,-1,(9) 5-2,3-1,10,-11,(-32)②分数项的分子不为1，〔经四则运算后，找规律〕例：12,16,14,15,29/2,(59/4) a n =〔a n-1+a n-2〕/210、对于图像数列，三角形、正方形、圆形等其本质都是一样的，其运算法则：加、减、乘、除、倍数和乘方。
国家公务员考试 数量关系笔记
国家公务员考试数量关系笔记数量关系一、数学运算:1。
公务员数学题的难度两部分决定:题干和选项，不能太陷入题干而无视选项～善于从选项入手，提高速度答案的选项布局: 2+2布局——两个是明显的错误干扰项，有点难1+3布局——1个正确，3个明显错误，简单1+1+1+1布局——比较难的～2。
葵花宝典30条法则:(1)当题干和选项都是个位数的时候，往往都是取尾数列，一般有相加取尾和相乘取尾。
(2)对于不定方程，我们可以假设系数比较大的未知数为0，是不定方程变成定方程。
3。
“一个中心，四个基本点”:(一)以选项为中心(二)四大思想:(1)代入排除思想:现根据题干排除选项中的几个，然后就剩下的几个选项代入题干(注意代入好算的那个选项，从而算出结果)，尽量少列方程解。
年龄一定是整数，故可以使用凑整思想(2)特例思想:假设一个特殊的数字(公倍数、整数、100、浓度加水减水溶质不变等)进行运算浓度加水减水问题另外有个口诀结论:如果是加水，溶液浓度是减小的，且减小幅度是递减的;如果是蒸发水，溶液溶度是增加，且增加幅度是递增的。
(3)数字特性思想: 奇数加减奇数=偶数质数、和数、1偶数加减偶数=偶数质数中除开2为偶数外，其它都为奇数偶数加减奇数=奇数 2为偶质数奇数加减偶数=奇数合数里面既有奇数又有偶数整除判定法则:能够被2、5整除的数末尾一位数能被2、5整除能够被4、25整除的数末尾两位数能被4、25整除能够被8、125整除的数末尾三位数能被8、125整除一个数被2、5除的余数是其末尾一位数被2、5除的余数一个数被4、25除的余数是其末尾两位数被4、25除的余数一个数被8、125除的余数是其末尾三位数被8、125除的余数能够被3、9整除的数其各个数的和能被3、9整除一个数被3、9除的余数是其各个数的和被3、9除的余数有些条件根本没有用，只需要抓住某个条件利用数字特性思想即可求出来旋转木马，说在我前在我后的人，即是指除开我本身的所有人A=B*4/13:说明B是13的倍数;A是4的倍数;A+B是17的倍数;B-A是9的倍数(4)方程思想: 定方程和不定方程——对于不定方程，我们可以假设系数比较大的未知数为0，使不定方程变成定方程，则方程可解(如果求三个或四个数整体，则该题考察的是不定方程) ——对于定方程，整体运算，求出其中某个数(如果求其中某个数，则该题考察的是定方程)第一章计算问题模块1(裂项相加法:——公式1:1/n(n+1)=1/n-1/n+1——扩展公式2:裂项和 =(小分之一减去大分之一)乘以(分子除以差)Eg: 1/2*3 + 1/3*4 + 1/4*5 + …… + 1/99*100= (1/2 – 1/100) * (1/1)——注:这类前提应该是各项的分子相同，分母能拆成两个数相乘且两数之间差都相等2(乘方尾数问题:——0.1.5.6.的多次方尾数不变，仍为0.1.5.6——4.9的多次方尾数是以2个为一个循环，4/6和9/1的循环——2.3.7.8的多次方尾数是以4个为一个循环，2/4/8/6等3(整体消去法:—— (a+1)*b – a*(b+1) = b – a第二章初等数学模块1(多位数问题:——尽量避免用方程做，而应该用代入方法做。
公务员行测数量关系知识点整理
公务员行测数量关系知识点整理公务员考试中，行测的数量关系部分一直是众多考生的难点和重点。
数量关系涉及的知识点繁多，题型复杂，需要我们系统地学习和掌握。
下面就为大家整理一下常见的数量关系知识点。
一、数学运算1、整数特性整数特性是数量关系中的基础知识点。
包括整除特性、奇偶性、质数与合数等。
整除特性：若整数 a 除以非零整数 b，商为整数，且余数为零，我们就说 a 能被 b 整除。
比如，能被 2 整除的数的特征是个位是偶数；能被 3 整除的数，其各位数字之和能被 3 整除。
奇偶性：奇数±奇数=偶数，偶数±偶数=偶数，奇数±偶数=奇数。
质数与合数：质数是指在大于 1 的自然数中，除了 1 和它本身以外不再有其他因数的自然数。
合数是指自然数中除了能被 1 和本身整除外，还能被其他数（0 除外）整除的数。
2、方程与不等式方程是解决数量关系问题的常用工具。
通过设未知数，根据题目中的等量关系列出方程，然后求解。
一元一次方程：形如 ax ＋ b ＝ 0（a≠0）的方程。
二元一次方程组：由两个未知数，且未知数的次数都是 1 的方程组成。
不等式：用不等号（大于>、小于<、大于等于≥、小于等于≤）连接两个代数式的式子。
3、比例问题比例是指两个比相等的式子。
常见的有工程问题中的效率比、行程问题中的速度比等。
若 a:b ＝ c:d，则 ad ＝ bc。
4、行程问题行程问题是数量关系中的重点和难点。
基本公式：路程=速度×时间。
相遇问题：路程和＝速度和×相遇时间。
追及问题：路程差＝速度差×追及时间。
5、工程问题工程问题的核心是工作总量=工作效率×工作时间。
经常通过设工作总量为 1 或工作总量的最小公倍数来解题。
6、利润问题涉及成本、售价、利润、利润率等概念。
利润＝售价成本，利润率＝利润÷成本×100% 。
7、几何问题包括平面几何和立体几何。
公共基础知识之数量关系笔记
流水问题
船速=(顺速+逆速)/2,水速=(顺速—逆速)/2
火车问题
(1)过桥：S-桥长+车长
(2)错车：S-L1+L2-(v1+v2)t
(3)相对运动：相对运动距离-车长，相对速度-速度和或速度差。
5、工程问题
工程问题
(1)比例：工作量与效率、时间成正比，效率与时间成反比。
(2)轮流：效率和乘以时间。工作总量可以设为每个人单独完成用时的最小公倍数。
数量关系
1算数知识
奇偶
(1)整数：正整数、0和负整数。
(2)自然数：0和正整数。
(3)偶数和奇数：能够被2整除的为偶数，2n；否则为奇数，2n+1(n为整数)。又称单数和双数。
(4)0:0是特殊的偶数。
(5)加减：同奇同偶则为偶，一奇一偶则为奇。
(6)乘法：乘数有偶则为偶，乘数无偶则为奇。
质合
(1)质数：自然数中除了1和本身外，无法被其他自然数整除称为质数，又称素数。最小质数为2。
线性规划
(1)目 标函数：M=c1x+c2y
(2)约束条件：a1x+a2y<a3,b1x+b2y<b3
13、其他题型
浓度问题
(1)溶液=溶质+溶剂
溶质
(2)浓度=溶质溶剂X100%
(3)饱和度：溶质溶解于溶剂的上限为饱和浓度。
时钟问题
(1)钟面问题：角度差=时间(分钟)X5.5°
60m
(2)坏钟冋题：坏钟每小时比标准钟快n分钟，当坏钟走过m分钟时，标准钟走过60n分钟。
7、容斥原理
二集容斥
AUB=A+B—AAB
【花生十三】25年公务员考试数量关系随堂笔记
小数点后尾数是0.6，x 可以是8、18、28……想买的笔总数尽量多，那需要多买便宜的，因此要x 尽量大，选项最大到22，x ≤22，x 最大取到18。
1.7x=1.7×18=30.6，代入方程3y+4z=10，4z 和10都是2的倍数，因此3y 也是2的倍数，3不是2的倍数，所以y 是2的倍数。
y=2时，z=1，总数为18+2+1=21.例题9（2020浙江）某会务组租了20多辆车将2220名参会者从酒店接到活动现场。
大车每次能送50人，小车每次能送36人，所有车辆送2趟，且所有车辆均满员，正好送完，则大车比小车？A ．多5辆B ．多2辆C ．少2辆D ．少5辆【答案】A【解析】设大车x 辆，小车y 辆。
所有车辆送2趟，则送1趟是：50x+36y=1110，整理得：25x+18y=555.25x 和555是5的倍数，18y 也得是5的倍数，18不是5的倍数，y 是5的倍数。
当y=5，不符合；当y=10，x=15，符合题目要求。
例题10（2022江苏）某企业年终评选了30名优秀员工，分三个等级，分别按每人10万元、5万元、1万元给与奖励。
若共发放奖金89万元，则获得1万元奖金的员工有多少？A ．14人B ．19人C ．20人D ．21人 【答案】B【解析】设获得3个奖项的优秀员工分别有x 、y 、z 人，根据题意，可列方程：⎩⎨⎧=++=++3089510z y x z y x 联立，整理可得：4z=61+5x ，61是奇数，4z 是偶数，奇数+奇数=偶数，所以5x 也是奇数，x=1、3、5……分别试解，当x=3时，z=19，y=18，符合题意，选B 。
例题11（2024联考）商店销售甲、乙、丙、丁四种商品，每件分别盈利15元、9元、4元和1元。
某日销售这四种商品共40件，共盈利201元。
四种商品每种至少销售1件，且甲、丁商品销量相同。
设甲效率为3，天，故选D。
例题9（2024联考）包粽子3小时，比李师傅多包14A．224C．320【答案】A5A+5B=6A+2B，解得A=3B方法二：假设工作总量为A=1.5份，B=0.5份，1.5份-0.5例题10（2019国考）有甲、乙、丙三个工作组，A工程如由甲、乙组共同工作3完成，需要整7天。
公务员数量关系笔记整理
核心方法1•代入排除法特定题型：年龄，余数，不定方程，多位数，和差倍比，复杂方程适用范围：选项信息充分（分别/各），选项为一组数，选项可转化为一组数，剩二代先排除（奇偶，倍数，尾数）再代入（最值，好算）2是唯一质偶数，0和1既不是质数也不是合数代入时，或者1个选项满足所有条件，或者1个条件排除其他选项2. 奇偶特性适用范围：和差倍比常用题型：不定方程问题，平均数问题，和差倍比问题，余数问题基础知识：奇+奇=偶奇-奇=偶偶+偶=偶偶-偶=偶奇+偶=奇奇-偶=奇偶+奇=奇偶-奇=奇奇X奇=奇奇X偶禺=偶偶X奇=偶偶X偶=偶3•倍数特性常用题型：不定方程，平均数，和差倍比，余数①整除型如果A=B X C （B,C均为整数）那么A能被B整除，且A能被C整除②余数型如果答案=ax± b （a和x均为整数）那么答案？ b能被a整除③比例型如果A:B=m:n那么A是m的倍数B是n的倍数A+B是m+n的倍数A-B是m-n的倍数常见形式：分数，百分数，比例，倍数先考虑倍数特性再考虑赋值法出现具体数考虑方程，设比例份数4.方程式逢质必2①普通方程方法：找等量关系，设未知数，列方程，解方程常用题型：和差倍比，浓度问题，牛吃草问题，利润问题，行程问题，工程问题设未知数技巧：1.设小不设大减少分数计算2.设中间量方便列式3.同等条件下，求谁设谁避免陷阱4.出现比例设份数解方程组时，常用加减消元和代入消元未知数属于整数集合时，利用奇偶特性和倍数特性先排除一些选项②不定方程适用范围：未知数个数多于方程个数ax+by=M常用题型：和差倍比，利润问题方法：分析奇偶性，倍数，尾数等数字特性，尝试代入排除先排除，再代入③不定方程组未知数一定是整数的不定方程组先消元转化成不定方程，再按不定方程求解未知数不一定是整数的不定方程组赋值法（一般赋值0，设其中一个未知数为0），配系数咼频考点1. 工程问题三量关系：总量=效率X时间①给完工时间型完工时间是指完成同一项工程的多个时间给总量赋值完工时间的公倍数好算优先，不一定要最小公倍数算效率=总量*时间根据工作过程列方程一组数据的题目，可以考虑代入排除②给效率比例型直接给效率比例/间接给效率比例/给具体人数或机器数(默认每人效率为1)给效率赋值满足比例即可尽量赋值为整数，减少计算量算总量=效率X时间根据工作过程列方程③给具体单位型题干有效率，时间，总量三个量中的至少两个量的具体值设未知数，找等量关系列方程两个有差值的量设未知数时，一般设小不设大④其他工程同时开始同时结束整体分析，总工作时间=总工作量*总工作效率再单独分析某一个工程2. 行程问题三量关系：路程=速度X时间①基础行程路程=速度X时间火车过桥：路程二车长+桥长-2v i V2等距离平均速度V「适用于等距离两端，直线往返，上下坡往返②相对行程直线相遇s (V V2)t两人同时相向而行环形相遇s (w V2)t同点出发1次，S和=1圈，N次，S w=N圈直线追及s (V1 V2)t两人同时同向而行S为追及开始时的相差的距离环形追及s (V1 V2)t 1次，S差=1圈，N次，S差=“圈线形两端出发第n次相遇（2n 1）s （w v2）t线形一端出发第n次相遇2ns （V i V2）t 环形第n次相遇n圈v和t遇环形第n次追及n圈v差t追顺水s （v船v水）t逆水s （v船-v水）t静水速度漂流速度③比例行程S一定，v和t成反比v 一定，S和t成正比t 一定，S和v成正比3. 经济利润问题①基础经济公式：利润=售价-进价利润率=利润十进价折扣=折后价*折前价售价=进价x（1+利润率）总价=单价X个数总利润=单个利润X数量方法：方程法已知具体价格，求具体价格（利润，成本，售价）赋值法已知比例，求比例（利润率，折扣）②分段计费题型判断：生活中水电费，出租车计费，税费等，每段计费不同计算方法：①按标准分开②计算后汇总③函数最值题型判断：单价和销量此消彼长，问何时总价/总利润最高计算方法：两点式设提价次数为x，①令总收入/总利润为0，求得X1,X2②当X宁时，取得最值4. 最值问题①最值思维特征：至多/少 ...方法：和定，此消彼长，考虑最极端情况②构造数列特征：最最，排名第x 最方法 1.构造一个名次，求谁设谁2. 反向推其他3. 加和求解计算结果非整数时，问至多向下取整，问至少向上取整③最不利构造特征：至少……保证方法 1.分类2.每类离成功差1，不够全取3. 再加1④多集合反向构造特征：这些条件都满足的至少有的多少方法：反向，求和，作差5. 容斥原理本质：去重补漏考察类型：两集合容斥原理A+B-AB= 总数-都不三集合容斥原理A+B+C-AB-AC-BC+ABC= 总数-都不分别给出两两集合的交集A+B+C-只满足两项-2X满足三项二总数-都不统一给出或求解指满足两项只一+只二+三满=总数-都不解题方法：公式法优选画图法题目中所给或所求公式里没有，公式法不好用往往是出现只满足一个条件6. 排列组合与概率两个原理：加法原理分类用加法①一步完成②要么……要么③或乘法原理分步用乘法①多步完成②既……又③且两个概念：排列与顺序有关组合与顺序无关方法：捆绑法先捆把相邻的元素捆绑起来，注意内部有无顺序再排将捆绑后的看成一个元素，进行后续排列插空法先排先安排可以相邻的元素，形成若干空位再插将不相邻的元素插入到空位中插板法先分先分m-1 个(每个主体比要求的少分1个)再隔剩下的再至少分一个C主体个数-1全错位排列D1=0；D2=1；D3=2 ；D4=9；D5=44D n= ( D n-1 + D n-2)X( n-1 )概率问题：①给情况求概率满足要求的情况数十所有情况数②给概率求概率分类用加法，分步用乘法正向求解复杂时，用逆向思维。
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一核心方法
1.代入排除法
特定题型：年龄，余数，不定方程，多位数，和差倍比，复杂方程
适用范围：选项信息充分（分别/各），选项为一组数，选项可转化为一组数，剩二代一先排除（奇偶，倍数，尾数）再代入（最值，好算）
2是唯一质偶数，0和1既不是质数也不是合数
代入时，或者1个选项满足所有条件，或者1个条件排除其他选项
2.奇偶特性
适用范围：和差倍比
常用题型：不定方程问题，平均数问题，和差倍比问题，余数问题
基础知识：奇+奇=偶奇-奇=偶偶+偶=偶偶-偶=偶
奇+偶=奇奇-偶=奇偶+奇=奇偶-奇=奇
奇×奇=奇奇×偶=偶偶×奇=偶偶×偶=偶
3.倍数特性
常用题型：不定方程，平均数，和差倍比，余数
①整除型如果A=B×C（B,C均为整数）
那么A能被B整除，且A能被C整除
②余数型如果答案=ax±b（a和x均为整数）
那么答案∓b能被a整除
③比例型如果A:B=m:n
那么A是m的倍数
B是n的倍数
A+B是m+n的倍数
A-B是m-n的倍数
常见形式：分数，百分数，比例，倍数
先考虑倍数特性
再考虑赋值法
出现具体数考虑方程，设比例份数
4.方程式逢质必2
1
①普通方程
方法：找等量关系，设未知数，列方程，解方程
常用题型：和差倍比，浓度问题，牛吃草问题，利润问题，行程问题，工程问题设未知数技巧：1.设小不设大减少分数计算
2.设中间量方便列式
3.同等条件下，求谁设谁避免陷阱
4.出现比例设份数
解方程组时，常用加减消元和代入消元
未知数属于整数集合时，利用奇偶特性和倍数特性先排除一些选项
②不定方程
适用范围：未知数个数多于方程个数ax+by=M
常用题型：和差倍比，利润问题
方法：分析奇偶性，倍数，尾数等数字特性，尝试代入排除
先排除，再代入
③不定方程组
未知数一定是整数的不定方程组先消元转化成不定方程，再按不定方程求解
未知数不一定是整数的不定方程组赋值法（一般赋值0，设其中一个未知数为0），配系数
2
3
21212v v v v v +=
二 高频考点
1. 工程问题
三量关系：总量=效率×时间
①给完工时间型 完工时间是指完成同一项工程的多个时间
给总量赋值 完工时间的公倍数 好算优先，不一定要最小公倍数
算效率=总量÷时间
根据工作过程列方程
一组数据的题目，可以考虑代入排除
②给效率比例型 直接给效率比例/间接给效率比例/给具体人数或机器数（默认每人效率为1） 给效率赋值 满足比例即可 尽量赋值为整数，减少计算量
算总量=效率×时间
根据工作过程列方程
③给具体单位型 题干有效率，时间，总量三个量中的至少两个量的具体值
设未知数，找等量关系列方程
两个有差值的量设未知数时，一般设小不设大
④其他工程 同时开始同时结束
整体分析，总工作时间=总工作量÷总工作效率
再单独分析某一个工程
2. 行程问题
三量关系：路程=速度×时间
①基础行程
路程=速度×时间
火车过桥：路程=车长+桥长
等距离平均速度 适用于等距离两端，直线往返，上下坡往返 ②相对行程
直线相遇 t v v s )(21+= 两人同时相向而行
环形相遇 t v v s )(21+= 同点出发 1次，S 和=1圈，N 次，S 和=N 圈
直线追及 t v v s )(21-= 两人同时同向而行 S 为追及开始时的相差的距离
环形追及 t v v s )(21-= 1次，S 差=1圈，N 次，S 差=N 圈
4
2逆顺船v
v v +=2
逆顺水v v v -=221x x x +=线形两端出发第n 次相遇 t v v s n )()12(21+=-
线形一端出发第n 次相遇 t v v ns )(221+=
环形第n 次相遇 遇和圈t v n =
环形第n 次追及 追差圈t v n =
顺水 t v v s )(水船+=
逆水 t v v s )-(水船=
静水速度 漂流速度 ③比例行程
S 一定，v 和t 成反比
v 一定，S 和t 成正比
t 一定，S 和v 成正比
3. 经济利润问题
①基础经济
公式：利润=售价-进价
利润率=利润÷进价
折扣=折后价÷折前价
售价=进价×（1+利润率）
总价=单价×个数
总利润=单个利润×数量
方法：方程法 已知具体价格，求具体价格（利润，成本，售价）
赋值法 已知比例，求比例（利润率，折扣）
②分段计费
题型判断：生活中水电费，出租车计费，税费等，每段计费不同
计算方法：①按标准分开②计算后汇总
③函数最值
题型判断：单价和销量此消彼长，问何时总价/总利润最高
计算方法：两点式 设提价次数为x ，①令总收入/总利润为0，求得x 1,x 2
②当 时，取得最值
4.最值问题
①最值思维
特征：至多/少……
方法：和定，此消彼长，考虑最极端情况
②构造数列
特征：最……最……，排名第x……最……
方法1.构造一个名次，求谁设谁
2.反向推其他
3.加和求解
计算结果非整数时，问至多向下取整，问至少向上取整
③最不利构造
特征：至少……保证
方法1.分类
2.每类离成功差1，不够全取
3.再加1
④多集合反向构造
特征：这些条件都满足的至少有的多少
方法：反向，求和，作差
5.容斥原理
本质：去重补漏
考察类型：两集合容斥原理A+B-AB=总数-都不
三集合容斥原理A+B+C-AB-AC-BC+ABC=总数-都不分别给出两两集合的交集
A+B+C-只满足两项-2×满足三项=总数-都不统一给出或求解指满足两项
只一+只二+三满=总数-都不
解题方法：公式法优选
画图法题目中所给或所求公式里没有，公式法不好用往往是出现只满足一个条件6.排列组合与概率
两个原理：加法原理分类用加法①一步完成②要么……要么③或
乘法原理分步用乘法①多步完成②既……又③且
5
6 两个概念：排列 与顺序有关
组合 与顺序无关
方法：捆绑法 先捆 把相邻的元素捆绑起来，注意内部有无顺序 再排 将捆绑后的看成一个元素，进行后续排列 插空法 先排 先安排可以相邻的元素，形成若干空位 再插 将不相邻的元素插入到空位中
插板法 先分 先分m-1个（每个主体比要求的少分1个）
再隔 剩下的再至少分一个1-1
主体个数 n C 全错位排列 D 1=0；D 2=1；D 3=2；D 4=9；D 5=44 D n =（D n-1+D n-2）×（n-1）
概率问题：①给情况求概率 满足要求的情况数÷所有情况数
②给概率求概率 分类用加法，分步用乘法
正向求解复杂时，用逆向思维。