2015-2016高中数学 1.4.2导数应用(二)学案 新人教A版选修2-2
高中数学 第一章导数的计算 第2课时 导数的运算法则学案 新人教A版选修2-2
亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……学 习 资 料 专 题第2课时 导数的运算法则学习目标 1.理解函数的和、差、积、商的求导法则.2.理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．知识点一 和、差的导数已知f (x )＝x ，g (x )＝1x.Q (x )＝f (x )＋g (x )，H (x )＝f (x )－g (x )思考1 f (x )，g (x )的导数分别是什么？ 答案 f ′(x )＝1，g ′(x )＝－1x2.思考2 试求y ＝Q (x )，y ＝H (x )的导数．并观察Q ′(x )，H ′(x )与f ′(x )，g ′(x )的关系． 答案 ∵Δy ＝(x ＋Δx )＋1x ＋Δx －⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝Δx ＋－Δxx (x ＋Δx )，∴Δy Δx ＝1－1x (x ＋Δx ). ∴Q ′(x )＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1x (x ＋Δx )＝1－1x 2. 同理，H ′(x )＝1＋1x2.Q (x )的导数等于f (x )，g (x )的导数的和．H (x )的导数等于f (x )，g (x )的导数的差．梳理 和、差的导数[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )． 知识点二 积、商的导数 (1)积的导数①[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )．②[cf (x )]′＝cf ′(x )． (2)商的导数⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)． (3)注意[f (x )g (x )]′≠f ′(x )g ′(x )，⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′≠f ′(x )g ′(x ).1．若f ′(x )＝2x ，则f (x )＝x 2.( × )2．函数f (x )＝x e x的导数是f ′(x )＝e x(x ＋1)．( √ ) 3．当g (x )≠0时，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1g (x )′＝－g ′(x )g 2(x ).( √ )类型一 利用导数的运算法则求导 例1 求下列函数的导数． (1)y ＝3x 2＋x cos x ； (2)y ＝lg x －1x2；(3)y ＝(x 2＋3)(e x＋ln x )； (4)y ＝x 2＋tan x ； (5)y ＝exx ＋1.考点 导数的运算法则 题点 导数的运算法则解 (1)y ′＝6x ＋cos x ＋x (cos x )′ ＝6x ＋cos x －x sin x . (2)y ′＝(lg x )′－(x －2)′＝1x ln 10＋2x3. (3)y ′＝(x 2＋3)′(e x ＋ln x )＋(x 2＋3)(e x＋ln x )′＝2x (e x ＋ln x )＋(x 2＋3)⎝⎛⎭⎪⎫e x ＋1x＝e x (x 2＋2x ＋3)＋2x ln x ＋x ＋3x.(4)因为y ＝x 2＋sin x cos x ，所以y ′＝(x 2)′＋⎝⎛⎭⎪⎫sin x cos x ′＝2x ＋cos 2x －sin x (－sin x )cos 2x ＝2x ＋1cos 2x.(5)y ′＝(e x)′(x ＋1)－(x ＋1)′ex(x ＋1)2＝e x(x ＋1)－e x (x ＋1)2＝x e x(x ＋1)2.反思与感悟 (1)先区分函数的运算特点，即函数的和、差、积、商，再根据导数的运算法则求导数．(2)对于三个以上函数的积、商的导数，依次转化为“两个”函数的积、商的导数计算． 跟踪训练1 求下列函数的导数． (1)y ＝2x 3－3x ＋x ＋1x x；(2)y ＝x 2＋1x 2＋3；(3)y ＝(x ＋1)(x ＋3)(x ＋5)． 考点 导数的运算法则 题点 导数的运算法则 解 (1)∵y ＝232x －312x-＋x －1＋32x-，∴y ′＝312x ＋3232x -－x －2－3252x -.(2)方法一 y ′＝(x 2＋1)′(x 2＋3)－(x 2＋1)(x 2＋3)′(x 2＋3)2＝2x (x 2＋3)－2x (x 2＋1)(x 2＋3)2＝4x (x 2＋3)2.方法二 ∵y ＝x 2＋1x 2＋3＝x 2＋3－2x 2＋3＝1－2x 2＋3，∴y ′＝⎝⎛⎭⎪⎫1－2x 2＋3′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 2＋3′＝(－2)′(x 2＋3)－(－2)(x 2＋3)′(x 2＋3)2＝4x(x 2＋3)2. (3)方法一 y ′＝[(x ＋1)(x ＋3)]′(x ＋5)＋(x ＋1)(x ＋3)(x ＋5)′＝[(x ＋1)′(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋3)′](x ＋5)＋(x ＋1)(x ＋3)＝(2x ＋4)(x ＋5)＋(x ＋1)(x ＋3)＝3x 2＋18x ＋23. 方法二 ∵y ＝(x ＋1)(x ＋3)(x ＋5)＝(x 2＋4x ＋3)(x ＋5) ＝x 3＋9x 2＋23x ＋15，∴y ′＝(x 3＋9x 2＋23x ＋15)′＝3x 2＋18x ＋23. 类型二 导数公式及运算法则的综合应用 命题角度1 利用导数求函数解析式例2 (1)已知函数f (x )＝ln xx＋2xf ′(1)，试比较f (e)与f (1)的大小关系；(2)设f (x )＝(ax ＋b )sin x ＋(cx ＋d )cos x ，试确定常数a ，b ，c ，d ，使得f ′(x )＝x cos x . 考点 导数的运算法则 题点 导数运算法则的综合应用 解 (1)由题意得f ′(x )＝1－ln xx2＋2f ′(1)， 令x ＝1，得f ′(1)＝1－ln 11＋2f ′(1)，即f ′(1)＝－1.∴f (x )＝ln xx－2x .∴f (e)＝ln e e －2e ＝1e －2e ，f (1)＝－2，由f (e)－f (1)＝1e－2e ＋2<0，得f (e)<f (1)．(2)由已知得f ′(x )＝[(ax ＋b )sin x ＋(cx ＋d )cos x ]′ ＝[(ax ＋b )sin x ]′＋[(cx ＋d )cos x ]′＝(ax ＋b )′sin x ＋(ax ＋b )(sin x )′＋(cx ＋d )′cos x ＋(cx ＋d )(cos x )′ ＝a sin x ＋(ax ＋b )cos x ＋c cos x －(cx ＋d )sin x ＝(a －cx －d )sin x ＋(ax ＋b ＋c )cos x . 又∵f ′(x )＝x cos x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －d －cx ＝0，ax ＋b ＋c ＝x ，即⎩⎪⎨⎪⎧a －d ＝0，－c ＝0，a ＝1，b ＋c ＝0，解得a ＝d ＝1，b ＝c ＝0.反思与感悟 (1)中确定函数f (x )的解析式，需要求出f ′(1)，注意f ′(1)是常数． (2)中利用待定系数法可确定a ，b ，c ，d 的值． 完成(1)(2)问的前提是熟练应用导数的运算法则． 跟踪训练2 函数f (x )＝x2x －1＋2f ′(1)x ，则f ′(0)＝________. 考点 导数的运算法则 题点 导数运算法则的综合应用 答案 1解析 对f (x )求导，得f ′(x )＝2x －1－2x (2x －1)2＋2f ′(1)＝－1(2x －1)2＋2f ′(1)，令x ＝1，得f ′(1)＝1，∴f ′(0)＝1.命题角度2 与切线有关的问题例3 已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3(a ≠0)，其导函数为f ′(x )＝2x －8. (1)求a ，b 的值；(2)设函数g (x )＝e xsin x ＋f (x )，求曲线g (x )在x ＝0处的切线方程． 考点 导数的运算法则 题点 导数运算法则的综合应用 解 (1)因为f (x )＝ax 2＋bx ＋3(a ≠0)， 所以f ′(x )＝2ax ＋b ，又f ′(x )＝2x －8，所以a ＝1，b ＝－8. (2)由(1)可知g (x )＝e x sin x ＋x 2－8x ＋3， 所以g ′(x )＝e x sin x ＋e xcos x ＋2x －8， 所以g ′(0)＝e 0sin 0＋e 0cos 0＋2×0－8＝－7. 又g (0)＝3，所以g (x )在x ＝0处的切线方程为y －3＝－7(x －0)， 即7x ＋y －3＝0.反思与感悟 (1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素．其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系．(2)准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确． (3)分清已知点是否在曲线上，若不在曲线上，则要设出切点，这是解题时的易错点． 跟踪训练3 (1)设曲线y ＝2－cos x sin x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，2处的切线与直线x ＋ay ＋1＝0垂直，则a ＝________.(2)设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为________．考点 导数的运算法则 题点 导数运算法则的综合应用 答案 (1)1 (2)4解析 (1)∵y ′＝sin 2x －(2－cos x )cos x sin 2x ＝1－2cos xsin 2x ， 当x ＝π2时，y ′＝1－2cosπ2sin2π2＝1.又直线x ＋ay ＋1＝0的斜率是－1a，∴－1a＝－1，即a ＝1.(2)∵曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，由导数的几何意义知g ′(1)＝2.又∵f (x )＝g (x )＋x 2，∴f ′(x )＝g ′(x )＋2x ，即f ′(1)＝g ′(1)＋2＝4， ∴y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为4.1．设函数y ＝－2e xsin x ，则y ′等于( ) A ．－2e xcos x B ．－2e xsin xC ．2e xsin x D ．－2e x(sin x ＋cos x )考点 导数的运算法则 题点 导数的运算法则 答案 D解析 y ′＝－2(e xsin x ＋e xcos x )＝－2e x(sin x ＋cos x )． 2．曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0处的切线的斜率为( ) A ．－12B.12 C ．－22D.22考点 导数的运算法则题点 导数运算法则的综合应用 答案 B解析 y ′＝cos x (sin x ＋cos x )－sin x (cos x －sin x )(sin x ＋cos x )2＝1(sin x ＋cos x )2，故π=4|x y'＝12， ∴曲线在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0处的切线的斜率为12.3．若函数f (x )＝12 f ′(－1)x 2－2x ＋3，则f ′(－1)的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2考点 导数的运算法则 题点 导数运算法则的综合应用 答案 A解析 因为f (x )＝12 f ′(－1)x 2－2x ＋3，所以f ′(x )＝f ′(－1)x －2.所以f ′(－1)＝f ′(－1)×(－1)－2， 所以f ′(－1)＝－1.4．已知f (x )＝exx，若f ′(x 0)＋f (x 0)＝0，则x 0＝________.考点 导数的运算法则 题点 导数的运算法则 答案 12解析 因为f ′(x )＝(e x)′x －e x·x ′x2＝e x(x －1)x2(x ≠0)． 所以由f ′(x 0)＋f (x 0)＝0，得0e x (x 0－1)x 20＋e x x 0＝0.解得x 0＝12.5．在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ax 2＋bx(a ，b 为常数)过点P (2，－5)，且该曲线在点P 处的切线与直线7x ＋2y ＋3＝0平行，则a ＋b 的值是______． 考点 导数的运算法则 题点 导数运算法则的综合应用答案 －3解析 y ＝ax 2＋b x 的导数为y ′＝2ax －b x2， 直线7x ＋2y ＋3＝0的斜率为－72.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋b2＝－5，4a －b 4＝－72，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，则a ＋b ＝－3.1．导数的求法对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用．首先，在化简时，要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误；其次，利用导数公式求函数的导数时，一定要将函数化为基本初等函数中的某一个，再套用公式求导数． 2．和与差的运算法则可以推广[f (x 1)±f (x 2)±…±f (x n )]′＝f ′(x 1)±f ′(x 2)±…±f ′(x n )． 3．积、商的求导法则(1)若c 为常数，则[cf (x )]′＝cf ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )，⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)；(3)当f (x )＝1时，有⎣⎢⎡⎦⎥⎤1g (x )′＝－g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)．一、选择题1．下列运算中正确的是( ) A ．(ax 2＋bx ＋c )′＝a (x 2)′＋b (x )′ B ．(sin x －2x 2)′＝(sin x )′－2′(x 2)′ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x x 2′＝(sin x )′－(x 2)′x 2D ．(cos x ·sin x )′＝(sin x )′cos x ＋(cos x )′cos x考点 导数的运算法则 题点 导数的运算法则 答案 A解析 A 项中，(ax 2＋bx ＋c )′＝a (x 2)′＋b (x )′正确； B 项中，(sin x －2x 2)′＝(sin x )′－2(x 2)′错误； C 项中，⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x x 2′＝(sin x )′x 2－sin x (x 2)′(x 2)2错误； D 项中，(cos x ·sin x )′＝(cos x )′sin x ＋cos x (sin x )′错误．2．若函数y ＝x 2＋a 2x(a >0)在x ＝x 0处的导数为0，那么x 0等于( )A ．aB ．±aC ．－aD ．a 2考点 导数的运算法则 题点 导数的运算法则 答案 B解析 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋a 2x ′＝2x ·x －(x 2＋a 2)x 2＝x 2－a 2x 2，由x 20－a 2＝0，得x 0＝±a .3．若函数f (x )＝e xsin x ，则此函数图象在点(4，f (4))处的切线的倾斜角为( ) A.π2 B ．0 C ．钝角 D ．锐角 考点 导数的运算法则 题点 导数运算法则的综合应用 答案 C解析 ∵f ′(x )＝e x sin x ＋e xcos x ， ∴f ′(4)＝e 4(sin 4＋cos 4)．∵π<4<32π，∴sin 4<0，cos 4<0，∴f ′(4)<0.由导数的几何意义得，切线的倾斜角为钝角．4．若f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )>0的解集为( ) A ．(0，＋∞) B ．(－1,0)∪(2，＋∞) C ．(2，＋∞) D ．(－1,0)考点 导数的运算法则 题点 导数的运算法则 答案 C解析 ∵f (x )＝x 2－2x －4ln x ， ∴f ′(x )＝2x －2－4x>0，整理得(x ＋1)(x －2)x>0，解得－1<x <0或x >2. 又x >0，∴x >2.5．函数f (x )＝x cos x －sin x 的导函数是( ) A ．奇函数 B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数，又不是偶函数 考点 导数的运算法则 题点 导数运算法则的综合应用 答案 B解析 f ′(x )＝(x cos x )′－(sin x )′ ＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x .令F (x )＝－x sin x ，x ∈R ，则F (－x )＝x sin(－x )＝－x sin x ＝F (x )， ∴f ′(x )是偶函数． 6．设曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a 等于( ) A ．2 B.12 C ．－12 D ．－2考点 导数的运算法则 题点 导数运算法则的综合应用 答案 D 解析 ∵y ＝x ＋1x －1＝1＋2x －1， ∴y ′＝－2(x －1)2，∴=3|x y'＝－12.∴－a ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1，即a ＝－2. 7．在下面的四个图象中，其中一个图象是函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋(a 2－1)x ＋1(a ∈R )的导函数y ＝f ′(x )的图象，则f (－1)等于( )A.13B ．－13 C.73D ．－13或53 考点 导数的运算法则题点 导数运算法则的综合应用答案 B解析 ∵f ′(x )＝x 2＋2ax ＋(a 2－1)，∴导函数f ′(x )的图象开口向上，故其图象必为③.由图象特征知f ′(0)＝0，且对称轴－a >0，∴a ＝－1，则f (－1)＝－13－1＋1＝－13，故选B. 二、填空题8．设f (5)＝5，f ′(5)＝3，g (5)＝4，g ′(5)＝1，若h (x )＝f (x )＋2g (x )，则h ′(5)＝________. 考点 导数的运算法则题点 导数的运算法则答案 516 解析 由题意知f (5)＝5，f ′(5)＝3，g (5)＝4，g ′(5)＝1，∵h ′(x )＝f ′(x )g (x )－[f (x )＋2]g ′(x )[g (x )]2， ∴h ′(5)＝f ′(5)g (5)－[f (5)＋2]g ′(5)[g (5)]2 ＝3×4－(5＋2)×142＝516.9．已知某运动着的物体的运动方程为s (t )＝t －1t 2＋2t 2(位移单位：m ，时间单位：s)，则t ＝1 s 时物体的瞬时速度为________ m/s.考点 导数的运算法则题点 导数运算法则的综合应用答案 5解析 因为s (t )＝t －1t 2＋2t 2＝t t 2－1t 2＋2t 2 ＝1t －1t 2＋2t 2， 所以s ′(t )＝－1t 2＋2·1t 3＋4t ， 所以s ′(1)＝－1＋2＋4＝5，即物体在t ＝1 s 时的瞬时速度为5 m/s.10．已知函数f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4cos x ＋sin x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值为________． 考点 导数的运算法则题点 导数运算法则的综合应用答案 1 解析 ∵f ′(x )＝－f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4sin x ＋cos x ， ∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4×22＋22， 得f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2－1. ∴f (x )＝(2－1)cos x ＋sin x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1. 11．已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为______________．考点 导数的运算法则题点 导数运算法则的综合应用答案 x －y －1＝0解析 ∵点(0，－1)不在曲线f (x )＝x ln x 上，∴设切点坐标为(x 0，y 0)．又∵f ′(x )＝1＋ln x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ y 0＝x 0ln x 0，y 0＋1＝(1＋ln x 0)x 0，解得x 0＝1，y 0＝0.∴切点坐标为(1,0)，∴f ′(1)＝1＋ln 1＝1.∴直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0.12．已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝________.考点 导数的运算法则题点 导数运算法则的综合应用答案 8解析 由y ＝x ＋ln x ，得y ′＝1＋1x， 得曲线在点(1,1)处的切线的斜率为k ＝=1|x y'＝2，所以切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.此切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，消去y ，得ax 2＋ax ＋2＝0，所以a ≠0且Δ＝a 2－8a ＝0，解得a ＝8.三、解答题13．偶函数f (x )＝ax 4＋bx 3＋cx 2＋dx ＋e 的图象过点P (0,1)，且在x ＝1处的切线方程为y ＝x －2，求f (x )的解析式．考点 导数的运算法则题点 导数运算法则的综合应用解 ∵f (x )的图象过点P (0,1)，∴e ＝1.又∵f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )．故ax 4＋bx 3＋cx 2＋dx ＋e ＝ax 4－bx 3＋cx 2－dx ＋e .∴b ＝0，d ＝0.∴f (x )＝ax 4＋cx 2＋1.∵函数f (x )在x ＝1处的切线方程为y ＝x －2，∴切点坐标为(1，－1)．∴a ＋c ＋1＝－1.∵f ′(x )|x ＝1＝4a ＋2c ，∴4a ＋2c ＝1.∴a ＝52，c ＝－92. ∴函数f (x )的解析式为f (x )＝52x 4－92x 2＋1. 四、探究与拓展14．在等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)·(x －a 2)…(x －a 8)，则f ′(0)等于( )A ．26B ．29C ．215D ．212 考点 导数的运算法则题点 导数运算法则的综合应用答案 D解析 ∵f ′(x )＝x ′(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)＋x (x －a 1)′(x －a 2)…(x －a 8)＋…＋x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)′＝(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)＋x (x －a 2)…(x －a 8)＋…＋x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 7)， ∴f ′(0)＝a 1·a 2·…·a 8＝(a 1a 8)4＝84＝212.15．设函数f (x )＝ax －b x，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．考点 导数的运算法则题点 导数运算法则的综合应用解 (1)由7x －4y －12＝0，得y ＝74x －3. 当x ＝2时，y ＝12，∴f (2)＝12，① 又f ′(x )＝a ＋b x 2，∴f ′(2)＝74，② 由①②得⎩⎪⎨⎪⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝3. 故f (x )＝x －3x . (2)设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2知，曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为 y －y 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)， 即y －⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－3x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)．令x ＝0，得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－6x 0. 令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，从而切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6x 0|2x 0|＝6. 故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.。
高中新课程数学(新课标人教A版)选修2-2《第一章 导数及其应用》知识点、考点、及其例题
第一章导数及其应用知识点及练习题知识点1：导数概念的引入1. 导数的物理意义：瞬时速率。
一般的，函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是000()()limx f x x f x x∆→+∆-∆，我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0|x x y ='， 即0()f x '=000()()limx f x x f x x∆→+∆-∆2. 导数的几何意义：曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点n P 趋近于P 时，直线PT 与曲线相切。
容易知道，割线n PP 的斜率是00()()n n n f x f x k x x -=-，当点n P 趋近于P 时，函数()y f x =在0x x =处的导数就是切线PT 的斜率k ，即000()()lim ()n x n f x f x k f x x x ∆→-'==-3. 导函数：当x 变化时，()f x '便是x 的一个函数，我们称它为()f x 的导函数. ()y f x =的导函数有时也记作y ',即0()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆考点：导数的几何意义及其应用[例题] 已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求曲线在点P (2，4)处的切线方程；(2)求曲线过点P (2，4)的切线方程； (3)求斜率为4的曲线的切线方程．[变式训练] 已知函数f(x)＝x3＋x －16.(1)求曲线y ＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l 为曲线y ＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标．知识点2：导数的计算1）基本初等函数的导数公式:1若()f x c =(c 为常数)，则()0f x '=； 2 若()f x x α=,则1()f x xαα-'=;3 若()sin f x x =,则()cos f x x '=4 若()cos f x x =,则()sin f x x '=-;5 若()xf x a =,则()ln x f x a a '=6 若()x f x e =,则()xf x e '=7 若()log xa f x =,则1()ln f x x a '=8 若()ln f x x =,则1()f x x'=2）导数的运算法则1. [()()]()()f x g x f x g x '''±=±2. [()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''•=•+•3. 2()()()()()[]()[()]f x f xg x f x g x g x g x ''•-•'= 3）复合函数求导()y f u =和()u g x =,称则y 可以表示成为x 的函数,即(())y f g x =为一个复合函数 (())()y f g x g x '''=•考点：导数的求导及运算1、已知()22sin f x x x π=+-，则()'0f =2、若()sin x f x e x =，则()'f x =3.)(x f =ax 3+3x 2+2 ，4)1(=-'f ，则a=（ ）319.316.313.310.D C B A 4.过抛物线y=x 2上的点M )41,21(的切线的倾斜角是（） A.30° B.45° C.60° D.90° 5.如果曲线2932y x =+与32y x =-在0x x =处的切线互相垂直，则0x =知识点3：导数在研究函数中的应用1.函数的单调性与导数:一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间(,)a b 内，如果()0f x '>，那么函数()y f x =在这个区间单调递增； 如果()0f x '<，那么函数()y f x =在这个区间单调递减. 2.函数的极值与导数极值反映的是函数在某一点附近的大小情况. 求函数()y f x =的极值的方法是:(1) 如果在0x 附近的左侧()0f x '>,右侧()0f x '<,那么0()f x 是极大值;(2) 如果在0x 附近的左侧()0f x '<,右侧()0f x '>,那么0()f x 是极小值; 4.函数的最大(小)值与导数函数极大值与最大值之间的关系.求函数()y f x =在[,]a b 上的最大值与最小值的步骤 （1） 求函数()y f x =在(,)a b 内的极值；（2） 将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值.考点：1.导数在研究函数单调性中的应用2.导数在求函数极值与最值中的应用题型一：导数在研究函数单调性中的应用[例题] 设函数f (x )＝x e a －x ＋bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y＝(e －1)x ＋4.(1)求a ，b 的值； (2)求f (x )的单调区间．[变式训练] 设函数f(x)＝xekx(k ≠0)．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若函数f(x)在区间(－1，1)内单调递增，求k 的取值范围．题型二：导数在求函数极值与最值中的应用[例题]已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋bx在区间(－2，1)内，当x＝－1时取极小值，当x＝23时取极大值．(1)求函数y＝f(x)在x＝－2时的对应点的切线方程；(2)求函数y＝f(x)在[－2，1]上的最大值与最小值．[变式训练] 设函数f(x)＝[ax2－(4a＋1)x＋4a＋3]e x.(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程与x轴平行，求a；(2)若f(x)在x＝2处取得极小值，求a的取值范围．知识点4：解决实际问题利用导数的知识,,求函数的最大(小)值,从而解决实际问题考点：1、导数在切线方程中的应用2、导数在单调性中的应用3、导数在极值、最值中的应用4、导数在恒成立问题中的应用题型一：导数在切线方程中的运用1.曲线3x y =在P 点处的切线斜率为k,若k=3，则P 点为（ ） A.（－2，－8） B.（－1，－1）或（1，1）C.（2，8）D.（－21，－81）2.曲线53123+-=x x y ，过其上横坐标为1的点作曲线的切线，则切线的倾斜角为（ ） A.6π B.4π C.3π D.π43题型二：导数在单调性中的运用1.函数32()31f x x x =-+是减函数的区间为( ) A.(2,)+∞ B.(,2)-∞ C.(,0)-∞ D.(0,2)2．关于函数762)(23+-=x x x f ，下列说法不正确的是（ ） A ．在区间（∞-，0）内，)(x f 为增函数 B ．在区间（0，2）内，)(x f 为减函数 C ．在区间（2，∞+）内，)(x f 为增函数 D ．在区间（∞-，0）),2(+∞⋃内,)(x f 为增函数3．已知函数()y xf x '=的图象如右图所示(其中'()f x 是函数()f x 的导函数)，下面四个图象中()y f x =的图象大致是（ ）4、（2010年山东21）（本小题满分12分）已知函数).(111)(R a xaax nx x f ∈--+-= （Ⅰ）当处的切线方程；在点时，求曲线))2(,2()(1f x f y a=-=（Ⅱ）当12a ≤时，讨论()f x 的单调性．题型三：导数在最值、极值中的运用1.函数93)(23-++=x ax x x f ，已知)(x f 在3-=x 时取得极值，则a =（ ） A ．2B. 3C. 4D.52．函数5123223+--=x x x y 在[0,3]上的最大值与最小值分别是（ ） A.5 , - 15 B.5 , 4 C.- 4 , - 15 D.5 , - 163.已知函数)0()(3≠++=adcxaxxf是R上的奇函数，当1=x时)(xf取得极值－2.（1）试求a、c、d的值；（2）求)(xf的单调区间和极大值；4.设函数2312)(bxaxexxf x++=-，已知12=-=xx和为)(xf的极值点。
《导数在研究函数中的应用》学案4(新人教A版选修2-2).doc
1.1.3导数的几何意义【学习目标】1.了解平均变化率与割线斜率之间的关系；2.理解曲线的切线的概念；3.通过函数的图像直观地理解导数的几何意义，并会用导数的几何意义解题；【学习重难点】重点：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义；难点：导数的几何意义.【学习过程】一、学前准备1：曲线上P（s）恥 +山，Ji + 3）的连线称为曲线的割线，斜率k =乞= _________________Ar2：设函数y = f（x）在观附近有定义，当自变量在x = 附近改变心时，函数值也相应地改变△）= _______________________ ,如果当山_____________ 时，平均变化率趋近于一个常'数/,则数/称为函数/任）在点兀的瞬吋变化率.记作:当2 _________ 时，_____________ T /二、合作探究：探究1.曲线的切线及切线的斜率：参见课本图1.1-2,当亿（£,/（£））（“ 1,2,3,4）沿着曲线/（兀）趋近于点卩（兀,/（兀））时，割线卩出的变化趋势是什么？我们发现,当点人沿着曲线无限接近点P即Ax->0时，割线P税趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为曲线在点P处的切线.问题：（1）割线比的斜率心与切线M的斜率£有什么关系？（2）切线PF的斜率R为多少？容易知道，割线的斜率是_____________________ ,当点鬥沿着曲线无限接近点无限趋近于切线PT的斜率4 B|j k = lim /^o-*-Ax)-/(x o) 山TOP 时，k lt=fwAr点拨：（1）设切线的倾斜角为a,那么当Ax-o时，割线PQ的斜率，称为曲线在点P处的切线的斜率.这个概念：①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法；②切线斜率的本质一函数在”=兀处的导数.（2）曲线在某点处的切线:1）与该点的位置有关;2）要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限，则在此点有切线，且切线是唯一的;如不存在，则在此点处无切线;3）曲线的切线，并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以无穷多个•多个.探究2.导数的几何意义：函数円（兀）在尸兀。
高中数学人教A版选修2-2(课时训练)：第一章 导数及其应用 章末复习 Word版含答案
章末复习1．对于导数的定义，必须明确定义中包含的基本内容和Δx→0的方式，导数是函数的增量Δy与自变量的增量Δx的比ΔyΔx的极限，即limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx.函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．2．曲线的切线方程利用导数求曲线过点P的切线方程时应注意：(1)判断P点是否在曲线上；(2)如果曲线y＝f(x)在P(x0，f(x0))处的切线平行于y轴(此时导数不存在)，可得方程为x＝x0；P点坐标适合切线方程，P点处的切线斜率为f′(x0)．3．利用基本初等函数的求导公式和四则运算法则求导数，熟记基本求导公式，熟练运用法则是关键，有时先化简再求导，会给解题带来方便．因此观察式子的特点，对式子进行适当的变形是优化解题过程的关键．4．判断函数的单调性(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程中，只能在函数的定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间；(2)注意在某一区间内f ′(x )＞0(或f ′(x )＜0)是函数f (x )在该区间上为增(或减)函数的充分条件．5．利用导数研究函数的极值要注意(1)极值是一个局部概念，是仅对某一点的左右两侧领域而言的．(2)连续函数f (x )在其定义域上的极值点可能不止一个，也可能没有极值点，函数的极大值与极小值没有必然的大小联系，函数的一个极小值也不一定比它的一个极大值小．(3)可导函数的极值点一定是导数为零的点，但函数的导数为零的点，不一定是该函数的极值点．因此导数为零的点仅是该点为极值点的必要条件，其充要条件是加上这点两侧的导数异号．6．求函数的最大值与最小值(1)函数的最大值与最小值：在闭区间[a ，b ]上连续的函数f (x )，在[a ，b ]上必有最大值与最小值；但在开区间(a ，b )内连续的函数f (x )不一定有最大值与最小值，例如：f (x )＝x 3，x ∈(－1,1)．(2)求函数最值的步骤一般地，求函数y ＝f (x )在[a ，b ]上最大值与最小值的步骤如下： ①求函数y ＝f (x )在(a ，b )内的极值；②将函数y ＝f (x )的各极值与端点处的函数值f (a )，f (b )比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．7．应用导数解决实际问题，关键在于建立恰当的数学模型(函数关系)，如果函数在区间内只有一个点x 0，使f ′(x 0)＝0，则f (x 0)是函数的最值.题型一 应用导数解决与切线相关的问题根据导数的几何意义，导数就是相应切线的斜率，从而就可以应用导数解决一些与切线相关的问题．例1 (2013·福建)已知函数f (x )＝x －a ln x (a ∈R )．(1)当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程； (2)求函数f (x )的极值．解 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1－a x .(1)当a ＝2时，f (x )＝x －2ln x ，f ′(x )＝1－2x (x ＞0)，∴f (1)＝1，f ′(1)＝－1，∴y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0.(2)由f ′(x )＝1－a x ＝x －ax，x ＞0.①当a ≤0时，f ′(x )＞0，函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，函数f (x )无极值； ②当a ＞0时，由f ′(x )＝0，解得x ＝a ；∵x ∈(0，a )时，f ′(x )＜0，x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )＞0∴f (x )在x ＝a 处取得极小值，且极小值为f (a )＝a －a ln a ，无极大值．综上当a ≤0时，函数f (x )无极值；当a ＞0时，函数f (x )在x ＝a 处取得极小值a －a ln a ，无极大值．跟踪演练1 已知曲线C 的方程是y ＝x 3－3x 2＋2x . (1)求曲线在x ＝1处的切线方程；(2)若l 2：y ＝kx ，且直线l 2与曲线C 相切于点(x 0，y 0)(x 0≠0)，求直线l 2的方程及切点坐标． 解 (1)∵y ′＝3x 2－6x ＋2， ∴y ′|x ＝1＝3×1－6×1＋2＝－1. ∴l 1的斜率为－1，且过点(1,0)． ∴直线l 1的方程为y ＝－(x －1)， 即l 1的方程为x ＋y －1＝0.(2)直线l 2过原点，则k ＝y 0x 0(x 0≠0)，由点(x 0，y 0)在曲线C 上，得y 0＝x 30－3x 20＋2x 0，∴y 0x 0＝x 20－3x 0＋2. ∵y ′＝3x 2－6x ＋2，∴k ＝3x 20－6x 0＋2.又k ＝y 0x 0，∴3x 20－6x 0＋2＝y 0x 0＝x 20－3x 0＋2， 整理得2x 20－3x 0＝0.∵x 0≠0，∴x 0＝32， 此时y 0＝－38，k ＝－14，因此直线l 2的方程为y ＝－14x ，切点坐标为⎝⎛⎭⎫32，－38. 题型二 利用导数求函数的单调区间在区间(a ，b )内，如果f ′(x )>0，那么函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内单调递增；在区间(a ，b )内，如果f ′(x )<0，那么函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内单调递减． 例2 已知函数f (x )＝x －2x ＋a (2－ln x )，a ＞0.讨论f (x )的单调性．解 由题知，f (x )的定义域是(0，＋∞)，f ′(x )＝1＋2x 2－a x ＝x 2－ax ＋2x 2.设g (x )＝x 2－ax ＋2，二次方程g (x )＝0的判别式Δ＝a 2－8.①当Δ＜0即0＜a ＜22时，对一切x ＞0都有f ′(x )＞0.此时f (x )是(0，＋∞)上的单调递增函数．②当Δ＝0即a ＝22时，仅对x ＝2，有f ′(x )＝0，对其余的x ＞0都有f ′(x )＞0.此时f (x )也是(0，＋∞)上的单调递增函数．③当Δ＞0即a ＞22时，方程g (x )＝0有两个不同的实根x 1＝a －a 2－82，x 2＝a ＋a 2－82，0＜x 1＜x 2.当x 变化时，f ′(x )、f (x )的变化情况如下表：在⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 2－82，a ＋a 2－82上单调递减， 在⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2－82，＋∞上单调递增．跟踪演练2 求下列函数的单调区间： (1)f (x )＝(x －3)e x ，x ∈(0，＋∞)； (2)f (x )＝x (x －a )2.解 (1)f ′(x )＝(x －3)′e x ＋(x －3)(e x )′＝(x －2)e x ，令f ′(x )＞0，解得x ＞2，又x ∈(0，＋∞)，所以函数的单调增区间(2，＋∞)，函数的单调减区间(0,2)． (2)函数f (x )＝x (x －a )2＝x 3－2ax 2＋a 2x 的定义域为R ， 由f ′(x )＝3x 2－4ax ＋a 2＝0，得x 1＝a3，x 2＝a .①当a >0时，x 1<x 2.∴函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－∞，a 3，(a ，＋∞)，单调递减区间为⎝⎛⎭⎫a 3，a . ②当a <0时，x 1>x 2，∴函数f (x )的单调递增区间为(－∞，a )，⎝⎛⎭⎫a 3，＋∞， 单调递减区间为⎝⎛⎭⎫a ，a3. ③当a ＝0时，f ′(x )＝3x 2≥0，∴函数f (x )的单调区间为(－∞，＋∞)，即f (x )在R 上是递增的．综上，a >0时，函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－∞，a 3，(a ，＋∞)，单调递减区间为⎝⎛⎭⎫a3，a . a <0时，函数f (x )的单调递增区间为(－∞，a )，⎝⎛⎭⎫a 3，＋∞，单调递减区间为⎝⎛⎭⎫a ，a3. a ＝0时，函数f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)． 题型三 利用导数求函数的极值和最值 1．利用导数求函数极值的一般步骤 (1)确定函数f (x )的定义域； (2)解方程f ′(x )＝0的根；(3)检验f ′(x )＝0的根的两侧f ′(x )的符号． 若左正右负，则f (x )在此根处取得极大值； 若左负右正，则f (x )在此根处取得极小值； 否则，此根不是f (x )的极值点．2．求函数f (x )在闭区间[a ，b ]上的最大值、最小值的方法与步骤 (1)求f (x )在(a ，b )内的极值；(2)将(1)求得的极值与f (a )、f (b )相比较，其中最大的一个值为最大值，最小的一个值为最小值．特别地，①当f (x )在[a ，b ]上单调时，其最小值、最大值在区间端点取得；②当f (x )在(a ，b )内只有一个极值点时，若在这一点处f (x )有极大(或极小)值，则可以断定f (x )在该点处取得最大(最小)值， 这里(a ，b )也可以是(－∞，＋∞)． 例3 已知函数f (x )＝12x 2－a ln x (a ∈R ),(1)若f (x )在x ＝2时取得极值，求a 的值； (2)求f (x )的单调区间；(3)求证：当x ＞1时，12x 2＋ln x ＜23x 3.(1)解 f ′(x )＝x －a x ，因为x ＝2是一个极值点，所以2－a 2＝0，则a ＝4.此时f ′(x )＝x －4x ＝(x ＋2)(x －2)x ，因为f (x )的定义域是(0，＋∞)，所以当x ∈(0,2)时，f ′(x )＜0；当x ∈(2，＋∞)，f ′(x )＞0，所以当a ＝4时，x ＝2是一个极小值点，故a ＝4.(2)解 因为f ′(x )＝x －a x ＝x 2－ax ，所以当a ≤0时，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)．当a ＞0时，f ′(x )＝x －a x ＝x 2－a x ＝(x ＋a )(x －a )x，所以函数f (x )的单调递增区间(a ，＋∞)；递减区间为(0，a )．(3)证明 设g (x )＝23x 3－12x 2－ln x ，则g ′(x )＝2x 2－x －1x，因为当x ＞1时，g ′(x )＝(x －1)(2x 2＋x ＋1)x ＞0，所以g (x )在x ∈(1，＋∞)上是增函数，所以g (x )＞g (1)＝16＞0，所以当x ＞1时，12x 2＋ln x ＜23x 3.跟踪演练3 已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋b 的图象上一点P (1,0)，且在点P 处的切线与直线3x ＋y ＝0平行．(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数f (x )在区间[0，t ](0<t <3)上的最大值和最小值；(3)在(1)的结论下，关于x 的方程f (x )＝c 在区间[1,3]上恰有两个相异的实根，求实数c 的取值范围．解 (1)因为f ′(x )＝3x 2＋2ax ，曲线在P (1,0)处的切线斜率为：f ′(1)＝3＋2a ，即3＋2a ＝－3，a ＝－3.又函数过(1,0)点，即－2＋b ＝0，b ＝2.所以a ＝－3，b ＝2，f (x )＝x 3－3x 2＋2. (2)由f (x )＝x 3－3x 2＋2得，f ′(x )＝3x 2－6x . 由f ′(x )＝0得，x ＝0或x ＝2.①当0<t ≤2时，在区间(0，t )上f ′(x )<0，f (x )在[0，t ]上是减函数，所以f (x )max ＝f (0)＝2， f (x )min ＝f (t )＝t 3－3t 2＋2.②当2<t <3时，当x 变化时，f ′(x )、f (x )的变化情况如下表：min max f (t )－f (0)＝t 3－3t 2＝t 2(t －3)<0. 所以f (x )max ＝f (0)＝2.(3)令g (x )＝f (x )－c ＝x 3－3x 2＋2－c ， g ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)．在x ∈[1,2)上，g ′(x )<0；在x ∈(2,3]上，g ′(x )>0.要使g (x )＝0在[1,3]上恰有两个相异的实根，则⎩⎪⎨⎪⎧g (1)≥0，g (2)<0，g (3)≥0，解得－2<c ≤0.题型四 导数与函数、不等式的综合应用利用导数研究函数是高考的必考内容，也是高考的重点、热点．考题利用导数作为工具，考查求函数的单调区间、函数的极值与最值，参数的取值范围等问题，若以选择题、填空题出现，以中低档题为主；若以解答题形式出现，则难度以中档以上为主，有时也以压轴题的形式出现．考查中常渗透函数、不等式等有关知识，综合性较强．例4 设函数f (x )＝－13x 3＋2ax 2－3a 2x ＋b (0<a <1)．(1)求函数f (x )的单调区间和极值；(2)若当x ∈[a ＋1，a ＋2]时，恒有|f ′(x )|≤a ，试确定a 的取值范围；(3)当a ＝23时，关于x 的方程f (x )＝0在区间[1,3]上恒有两个相异的实根，求实数b 的取值范围．解 (1)f ′(x )＝－x 2＋4ax －3a 2＝－(x －a )(x －3a )． 令f ′(x )＝0，得x ＝a 或x ＝3a .当x 变化时，f ′(x )、f (x )的变化情况如下表：值，f (x )极小值＝f (a )＝b －43a 3；当x ＝3a 时，f (x )取得极大值，f (x )极大值＝f (3a )＝b .(2)f ′(x )＝－x 2＋4ax －3a 2，其对称轴为x ＝2a . 因为0<a <1，所以2a <a ＋1.所以f ′(x )在区间[a ＋1，a ＋2]上是减函数．当x ＝a ＋1时，f ′(x )取得最大值，f ′(a ＋1)＝2a －1； 当x ＝a ＋2时，f ′(x )取得最小值，f ′(a ＋2)＝4a －4.于是有⎩⎪⎨⎪⎧2a －1≤a ，4a －4≥－a ，即45≤a ≤1.又因为0<a <1，所以45≤a <1.(3)当a ＝23时，f (x )＝－13x 3＋43x 2－43x ＋b .f ′(x )＝－x 2＋83x －43，由f ′(x )＝0，即－x 2＋83x －43＝0，解得x 1＝23，x 2＝2，即f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，23上是减函数， 在⎝⎛⎭⎫23，2上是增函数，在(2，＋∞)上是减函数． 要使f (x )＝0在[1,3]上恒有两个相异实根， 即f (x )在(1,2)，(2,3)上各有一个实根，于是有⎩⎪⎨⎪⎧f (1)≤0，f (2)>0，f (3)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧－13＋b ≤0，b >0，－1＋b ≤0，解得0<b ≤13.跟踪演练4 证明：当x ∈[－2,1]时，－113≤13x 3－4x ≤163.证明 令f (x )＝13x 3－4x ，x ∈[－2,1]，则f ′(x )＝x 2－4.因为x ∈[－2,1]，所以f ′(x )≤0， 即函数f (x )在区间[－2,1]上单调递减．故函数f (x )在区间[－2,1]上的最大值为f (－2)＝163，最小值为f (1)＝－113.所以，当x ∈[－2,1]时，－113≤f (x )≤163，即－113≤13x 3－4x ≤163成立．题型五 定积分及其应用定积分的几何意义表示曲边梯形的面积，它的物理意义表示做变速直线运动物体的位移或变力所做的功，所以利用定积分可求平面图形的面积以及变速运动的路程和变力做功等问题．利用定积分解决问题时要注意确定被积函数和积分上下限． 例5 求曲线y ＝sin x 与直线x ＝－π2，x ＝54π，y ＝0所围成图形的面积．解所求面积S ＝∫54π－π2||sin x d x＝－⎠⎛0－π2sin x d x ＋⎠⎛0πsin x d x －∫54ππsin x d x ＝1＋2＋⎝⎛⎭⎫1－22＝4－22. 跟踪演练5 求由曲线y ＝e x ，y ＝e －x及x ＝1所围成的图形面积．解如图，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝e x，y ＝e －x，解得交点为(0,1)．所求面积为S ＝⎠⎛01(e x －e －x )d x ＝(e x＋e －x)⎪⎪10＝e ＋1e－2.1．求函数中参数的取值范围问题，可以有两种类型：一是已知函数单调性(或极值)，求参数范围；二是已知函数最值(或恒成立)等性质，求参数范围．这两种类型从实质上讲，可以统一为：已知函数值的变化规律，探求其参数变化范围．2．在解决问题的过程中主要处理好下面的问题：(1)注意定义域；(2)函数在某区间上递增(或递减)的充要条件是：f ′(x)≥0(或f ′(x)≤0)，且f ′(x)不恒为零；(3)与函数最值有关问题要注意最值能否取得的情况，一般我们可以研究临界值取舍即可．高中数学学习技巧：在学习的过程中逐步做到：提出问题，实验探究，展开讨论，形成新知，应用反思。
高中数学复习课(一)导数及其应用教学案新人教A版选修2-2
复习课(一) 导数及其应用导数的概念及几何意义的应用(1)近几年的高考中，导数的几何意义和切线问题是常考内容，各种题型均有可能出现．(2)利用导数的几何意义求切线方程时关键是搞清所给的点是不是切点．[考点精要]；)0x ′(f ＝k ，即求该点处的导数值：k 求斜率))0x (f ，0x (A 已知切点(1) ；k ＝)1x ′(f ，即解方程))1x (f ，1x (A ，求切点k 已知斜率(2) ，0x (A 时，常需设出切点k 的切线斜率为)不是切点))(1x (f ，1x (M 已知过某点(3)求解．f(x1)－f(x0)x1－x0＝k ，利用))0x (f ＝y ，则曲线x －1－x －e＝)x (f 时，≤0x 为偶函数，当)x (f 已知Ⅱ)全国卷( ]典例[f (x )在点(1,2)处的切线方程是________．.x ＋1－x e＝)x －(f ，0＜x ，则－0＞x 设 ]解析[ ∵f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )，.x ＋1－x e＝)x (f ∴ ，1＋1－x e ＝)x ′(f 时，0＞x 当∵ 2.＝1＋1＝1＋1－1e＝′(1)f ∴ ∴曲线y ＝f (x )在点(1,2)处的切线方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0.[答案] 2x －y ＝0[类题通法](1)利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况①若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数．②如果已知点不是切点，则应先出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解． ＝y 与l 处的切线(1,1)在3x ＝y 曲线与直线相切并不一定只有一个公共点，例如，(2)．8)，－2－(的图象还有一个交点3x [题组训练])(处的切线方程为1)，－1－(在点xx ＋2＝y ．曲线1 A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x －1C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x －2，2(x ＋2)2＝x′(x ＋2)－x(x ＋2)′(x ＋2)2＝′y ∵ A 解析：选 ，2＝2(－1＋2)2＝1＝－x ′|y ＝k ∴ ∴切线方程为：y ＋1＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋1.＝a 相切，则1＋x 2)＋a (＋2ax ＝y 处的切线与曲线(1,1)在点x ln ＋x ＝y ．已知曲线2________.，1x＋1＝′y ∴，x ln ＋x ＝y ∵解析： 2.＝|x ＝1′y ∴曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.相切，1＋x 2)＋a (＋2ax ＝y 与曲线1－x 2＝y ∵法一： ∴a ≠0(当a ＝0时曲线变为y ＝2x ＋1与已知直线平行)．⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，y ＝ax2＋(a ＋2)x ＋1，由 0.＝2＋ax ＋2ax ，得y 消去 8.＝a ，解得0＝a 8－2a ＝Δ由 ．1)＋0x 2)＋a (＋20ax ，0x (相切于点1＋x 2)＋a (＋2ax ＝y 与曲线1－x 2＝y 法二：设 ∵y ′＝2ax ＋(a ＋2)，．2)＋a (＋0ax 2＝|x ＝x0′y ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧x0＝－12，a ＝8.解得⎩⎪⎨⎪⎧2ax0＋(a ＋2)＝2，ax20＋(a ＋2)x0＋1＝2x0－1，由 答案：8导数与函数的单调性(1)题型既有选择题、填空题也有解答题，若以选择题、填空题的形式出现，则难度以中、低档为主，若以解答题形式出现，难度则以中等偏上为主，主要考查求函数的单调区间、证明或判断函数的单调性等问题。
高中数学 一 导数及其应用学案 新人教A版选修2-2-新人教A版高二选修2-2数学学案
一 导数及其应用1.导数的运算及几何意义（1）函数f （x ）在x ＝x 0处的导数f ′（x 0）＝ lim Δx →0f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx ，f ′（x ）＝lim Δx →0f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx .（2）导数的几何意义：曲线y ＝f （x ）在点（x 0，f （x 0））处的切线斜率等于f ′（x 0），其切线方程为y －f （x 0）＝f ′（x 0）（x －x 0）.（3）函数的求导公式：（C ）′＝0，（x n）′＝nxn －1，（sin x ）′＝cos x ，（cos x ）′＝－sin x ，（a x）′＝a xln a ，（e x）′＝e x ，（log a x ）′＝1x ln a ，（ln x ）′＝1x. （4）导数的四则运算法则：[f （x ）±g （x ）]′＝f ′（x ）±g ′（x ），[f （x ）g （x ）]′＝f ′（x ）g （x ）＋f （x ）g ′（x ），⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）]2（g（x ）≠0）.2.函数的单调性、极值与导数 （1）函数的单调性与导数在某个区间（a ，b ）内，如果f ′（x ）>0，那么函数y ＝f （x ）在这个区间内单调递增，如果f ′（x ）<0，那么函数y ＝f （x ）在这个区间内单调递减.（2）函数的极值与导数①极大值：在点x ＝a 附近，满足f （a ）≥f （x ），当x <a 时，f ′（x ）>0，当x >a 时，f ′（x ）<0，则点a 叫做函数的极大值点，f （a ）叫做函数的极大值；②极小值：在点x ＝a 附近，满足f （a ）≤f （x ），当x <a 时，f ′（x ）<0，当x >a 时，f ′（x ）>0，则点a 叫做函数的极小值点，f （a ）叫做函数的极小值.3.定积分（1）微积分基本定理一般地，如果f （x ）是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′（x ）＝f （x ），那么⎠⎛ab f （x ）d x ＝F （b ）－F （a ）.（2）定积分的性质①⎠⎛a b kf （x ）d x ＝k ⎠⎛ab f （x ）d x （k 为常数）；②⎠⎛a b [f 1（x ）±f 2（x ）]d x ＝⎠⎛a b f 1（x ）d x ±⎠⎛ab f 2（x ）d x ；③⎠⎛ab f （x ）d x ＝⎠⎛ac f （x ）d x ＋⎠⎛cb f （x ）d x （其中a <c <b ）.1.注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线.曲线y ＝f （x ）在点P （x 0，f （x 0））处的切线方程是y －f （x 0）＝f ′（x 0）（x －x 0）；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解.2.（1）在函数定义域内的某区间（a ，b ）上f ′（x ）>0（f ′（x ）<0）是f （x ）在（a ，b ）上单调递增（单调递减）的充分条件.（2）如果一个函数单调性相同的区间不止一个，这些区间之间不能用“∪”连结，只能用逗号或“和”字隔开，如把增区间写为（－∞，－2）∪（1，＋∞）是不正确的，因为（－∞，－2）∪（1，＋∞）不是一个全区间，该函数在（－∞，－2）∪（1，＋∞）上不一定是单调递增的.3.极值与最值的区别（1）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的.（2）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能一个都没有，且极大值并不一定比极小值大.（3）极值只能在定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得；有极值未必有最值，有最值未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点处必定是极值.主题1 导数的概念与几何意义（1）设曲线y ＝ax －ln （x ＋1）在点（0，0）处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝（ ）A.0B.1C.2D.3（2）求垂直于直线2x －6y ＋1＝0并且与曲线y ＝x 3＋3x 2－5相切的直线方程. 【解】 （1）选D.y ′＝a －1x ＋1，当x ＝0时，y ′＝a －1＝2，所以a ＝3. （2）设切点为P （a ，b ），函数y ＝x 3＋3x 2－5的导数为y ′＝3x 2＋6x ，切线的斜率k ＝y ′|x ＝a ＝3a 2＋6a ＝－3，得a ＝－1，将（－1，b ）代入到曲线方程中，得b ＝－3，即P（－1，－3），所以切线方程为y ＋3＝－3（x ＋1），即3x ＋y ＋6＝0.若将本例（2）中的“2x －6y ＋1＝0”改为“x ＋9y －1＝0”，结论如何？ 解：直线x ＋9y －1＝0的斜率为－19，因为y ′＝3x 2＋6x ，由题意得3x 2＋6x ＝9， 即x 2＋2x －3＝0，解得x ＝1或x ＝－3， 当x ＝1时，切线方程为y ＋1＝9（x －1）， 即9x －y －10＝0，当x ＝－3时，切线方程为y ＋5＝9（x ＋3）， 即9x －y ＋22＝0.综上得，切线方程为9x －y －10＝0或9x －y ＋22＝0.利用导数求切线方程时关键是找到切点，若切点未知需设出.常见的类型有两种，一类是求“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，易求斜率进而写出直线方程即可得；另一类是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q （x 1，y 1），由y 0－y 1x 0－x 1＝f ′（x 1）和y 1＝f （x 1）求出x 1，y 1的值，转化为第一种类型求解.1.曲线y ＝xx ＋2在点（－1，－1）处的切线方程为（ ）A.y ＝2x ＋1B.y ＝2x －1C.y ＝－2x －3D.y ＝－2x －2解析：选A.因为y ′＝x ′（x ＋2）－x （x ＋2）′（x ＋2）2＝2（x ＋2）2，所以k ＝y ′|x ＝－1＝2（－1＋2）2＝2，所以切线方程为：y ＋1＝2（x ＋1），即y ＝2x ＋1. 2.已知f （x ）为偶函数，当x ≤0时，f （x ）＝e －x －1－x ，则曲线y ＝f （x ）在点（1，2）处的切线方程是 .解析：当x ＞0时，－x ＜0，则f （－x ）＝ex －1＋x .又f （x ）为偶函数，所以f （x ）＝f （－x ）＝exe＋x ，所以当x ＞0时，f ′（x ）＝e x －1＋1，则曲线y ＝f （x ）在点（1，2）处的切线的斜率为f ′（1）＝2，所以切线方程为y －2＝2（x －1），即y ＝2x .答案：y ＝2x主题2 利用导数研究函数的单调性已知函数f （x ）＝3x a－2x 2＋ln x ，其中a 为常数且a ≠0.（1）若a ＝1，求函数f （x ）的单调区间；（2）若函数f （x ）在区间[1，2]上为单调函数，求a 的取值范围.【解】 （1）当a ＝1时，f （x ）＝3x －2x 2＋ln x ，其定义域为（0，＋∞），则f ′（x ）＝1x －4x ＋3＝－4x 2＋3x ＋1x ＝－（4x ＋1）（x －1）x（x >0），当x ∈（0，1）时，f ′（x ）>0，故函数f （x ）在区间（0，1）上单调递增； 当x ∈（1，＋∞）时，f ′（x ）<0，故函数f （x ）在区间（1，＋∞）上单调递减. 所以f （x ）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，＋∞）. （2）由题易得f ′（x ）＝3a －4x ＋1x（x >0），因为函数f （x ）在区间[1，2]上为单调函数，所以在区间[1，2]上，f ′（x ）≥0或f ′（x ）≤0恒成立， 即3a －4x ＋1x ≥0或3a －4x ＋1x≤0在x ∈[1，2]时恒成立，即3a≥4x －1x 或3a ≤4x －1x（1≤x ≤2），即3a ≥⎝⎛⎭⎪⎫4x －1x max 或3a ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －1x min， 其中1≤x ≤2.令h （x ）＝4x －1x（1≤x ≤2），易知函数h （x ）在[1，2]上单调递增，故h （1）≤h （x ）≤h （2）. 所以3a ≥h （2）或3a≤h （1），即3a ≥4×2－12＝152或3a ≤4×1－11＝3， 解得a <0或0<a ≤25或a ≥1.故a 的取值范围为（－∞，0）∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，25∪[1，＋∞）.函数的单调性与导数的关注点（1）关注函数的定义域，单调区间应为定义域的子区间. （2）已知函数在某个区间上的单调性时转化要等价. （3）分类讨论求函数的单调区间实质是讨论不等式的解集. （4）求参数的范围时常用到分离参数法.1.若函数f （x ）＝x 2＋ax ＋1x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上是增函数，则a 的取值范围是（ ）A.[－1，0]B.[－1，＋∞）C.[0，3]D.[3，＋∞）解析：选D.f ′（x ）＝2x ＋a －1x 2.因为函数在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上是增函数，所以f ′（x ）≥0在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上恒成立，即a ≥1x 2－2x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上恒成立.设g （x ）＝1x 2－2x ，则g ′（x ）＝－2x 3－2.令g ′（x ）＝－2x 3－2＝0，得x ＝－1.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞时，g ′（x ）<0，故g （x ）<g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝4－1＝3，所以a ≥3. 2.已知函数y ＝13x 3＋x 2＋ax －5，若该函数的单调递减区间是（－3，1），则a 的值是Ｗ.解析：y ′＝x 2＋2x ＋a .因为函数的单调递减区间是（－3，1），所以－3，1是方程x 2＋2x ＋a ＝0的两个实数根.由根与系数的关系可知，（－3）×1＝a ，即a ＝－3.答案：－3主题3 利用导数研究函数的极值与最值已知函数f （x ）＝ln x ＋a （1－x ）. （1）讨论f （x ）的单调性；（2）当f （x ）有最大值，且最大值大于2a －2时，求a 的取值范围. 【解】 （1）f （x ）的定义域为（0，＋∞），f ′（x ）＝1x－a .若a ≤0，则f ′（x ）＞0，所以f （x ）在（0，＋∞）上单调递增.若a ＞0，则当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′（x ）＞0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞时，f ′（x ）＜0.所以f（x ）在⎝⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减.（2）由（1）知，当a ≤0时，f （x ）在（0，＋∞）上无最大值； 当a ＞0时，f （x ）在x ＝1a处取得最大值，最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a ＝－ln a ＋a －1. 因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＞2a －2等价于ln a ＋a －1＜0.令g （a ）＝ln a ＋a －1，则g （a ）在（0，＋∞）上单调递增，g （1）＝0.于是，当0＜a ＜1时，g （a ）＜0；当a ＞1时，g （a ）＞0. 因此，a 的取值范围是（0，1）.对于含参数的函数，在讨论其单调性以及求其极值与最值时，应对参数进行分类讨论，在做题时，应确保分类要全面，从而作出正确解答.1.若函数f （x ）＝2x 3－9x 2＋12x －a 恰好有两个不同的零点，则a 的值可能为（ ）A.4B.6C.7D.8解析：选A.f ′（x ）＝6x 2－18x ＋12＝6（x －1）（x －2）.由f ′（x ）>0，得x <1或x >2，由f ′（x ）<0，得1<x <2，所以函数f （x ）在区间（－∞，1），（2，＋∞）上单调递增，在区间（1，2）上单调递减，从而可知f （x ）的极大值和极小值分别为f （1），f （2）.若函数f （x ）恰好有两个不同的零点，则f （1）＝0或f （2）＝0，解得a ＝5或a ＝4.2.已知函数f （x ）＝ax 2＋1（a >0），g （x ）＝x 3＋bx .（1）若曲线y ＝f （x ）与曲线y ＝g （x ）在它们的交点（1，c ）处具有公共切线，求a ，b 的值；（2）当a ＝3，b ＝－9时，若函数f （x ）＋g （x ）在区间[k ，2]上的最大值为28，求k 的取值范围.解：（1）因为f （x ）＝ax 2＋1，所以f ′（x ）＝2ax ，所以f ′（1）＝2a .又f （1）＝c ＝a ＋1，所以f （x ）在点（1，c ）处的切线方程为y －c ＝2a （x －1）， 即y －2ax ＋a －1＝0.因为g （x ）＝x 3＋bx ，所以g ′（x ）＝3x 2＋b ， 所以g ′（1）＝3＋b . 又g （1）＝1＋b ＝c ，所以g （x ）在点（1，c ）处的切线方程为y －（1＋b ）＝（3＋b ）（x －1）， 即y －（3＋b ）x ＋2＝0.依题意知3＋b ＝2a ，且a ＋1＝1＋b ，即a ＝3，b ＝3. （2）记h （x ）＝f （x ）＋g （x ）.当a ＝3，b ＝－9时，h （x ）＝x 3＋3x 2－9x ＋1，h ′（x ）＝3x 2＋6x －9.令h ′（x ）＝0，得x 1＝－3，x 2＝1.h （x ）与h ′（x ）在（－∞，2]上的变化情况如下：x （－∞，－3）－3 （－3，1）1 （1，2）2 h ′（x ） ＋ 0 － 0 ＋ h （x ）28－43由此可知：当k ≤－3时，函数h （x ）在区间[k ，2]上的最大值为h （－3）＝28； 当－3<k <2时，函数h （x ）在区间[k ，2]上的最大值小于28. 因此，k 的取值范围是（－∞，－3]. 主题4 利用导数研究不等式恒成立问题已知函数f （x ）＝13x 3＋ax ＋b （a ，b ∈R ）在x ＝2处取得极小值－43.（1）求函数f （x ）的增区间；（2）若f （x ）≤m 2＋m ＋103对x ∈[－4，3]恒成立，求实数m 的取值范围.【解】 （1）由已知得f （2）＝－43，f ′（2）＝0，又f ′（x ）＝x 2＋a ，所以83＋2a＋b ＝－43，4＋a ＝0，解得a ＝－4，b ＝4，则f （x ）＝13x 3－4x ＋4.令f ′（x ）＝x 2－4>0，得x <－2或x >2，所以函数f （x ）的增区间为（－∞，－2），（2，＋∞）.（2）f （－4）＝－43，f （－2）＝283，f （2）＝－43，f （3）＝1，则当x ∈[－4，3]时，f （x ）的最大值为283，故要使f （x ）≤m 2＋m ＋103对x ∈[－4，3]恒成立，只要283≤m 2＋m ＋103，解得m ≥2或m ≤－3.所以实数m 的取值范围是（－∞，－3]∪[2，＋∞）.一些求参数取值范围的问题，常转化为恒成立问题，利用f （x ）<a 恒成立⇔f （x ）max <a 和f （x ）>a 恒成立⇔f （x ）min >a 的思想解题.存在或有解问题，如f （x ）<a 有解⇔a >f （x ）min和f （x ）>a 有解⇔a <f （x ）max 成立.设函数f （x ）＝2ax －b x ＋ln x ，若f （x ）在x ＝1，x ＝12处取得极值.（1）求a ，b 的值；（2）在⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1上存在x 0使得不等式f （x 0）－c ≤0成立，求c 的取值范围.解：（1）因为f （x ）＝2ax －bx＋ln x ，所以f ′（x ）＝2a ＋b x2＋1x.因为f （x ）在x ＝1，x ＝12处取得极值，所以f ′（1）＝0，f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0. 即⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＋1＝0，2a ＋4b ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－13，b ＝－13， 所以所求a ，b 的值分别为－13，－13.（2）在⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1上存在x 0使得不等式f （x 0）－c ≤0成立，只需c ≥f （x ）min ，由f ′（x ）＝－23－13x 2＋1x＝－2x 2－3x ＋13x 2＝－（2x －1）（x －1）3x2. 所以当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12时，f ′（x ）<0，f （x ）是减函数； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1时，f ′（x ）>0，f （x ）是增函数；所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12是f （x ）在⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1上的最小值. 而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝13＋ln 12＝13－ln 2，所以c ≥13－ln 2.所以c 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫13－ln 2，＋∞. 主题5 定积分及其应用（1）⎠⎛－22e |x |d x 的值等于（ ）A.e 2－e －2B.2e 2C.2e 2－2D.e 2＋e －2－2（2）由曲线xy ＝1，直线y ＝x ，x ＝3所围成的封闭图形的面积为（ ） A.12＋ln 3 B.4－ln 3 C.92D.116【解析】 （1）⎠⎛－22e |x |d x ＝2⎠⎛02e xd x ＝2e x |20＝2e 2－2.（2）由曲线xy ＝1，直线y ＝x ，解得x ＝±1.由xy ＝1，x ＝3可得交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3，13. 由曲线xy ＝1，直线y ＝x ，x ＝3所围成的封闭图形的面积S ＝⎠⎛13⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－ln x |31＝4－ln 3.【答案】 （1）C （2）B由定积分求曲边梯形面积的方法步骤（1）画出函数的图象，明确平面图形的形状. （2）通过解方程组，求出曲线交点的坐标. （3）确定积分区间与被积函数，转化为定积分计算.（4）对于复杂的平面图形，常常通过“割补法”来求各部分的面积之和.1.⎠⎛01|x 2－1|d x ＝（ ）A.23B.4C.133D.143解析：选A.⎠⎛01|x 2－1|d x ＝⎠⎛01（1－x 2）d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13x 3⎪⎪⎪10＝1－13＝23. 2.直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为（ ） A.2 2 B.4 2 C.2D.4解析：选D.直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限所围成的封闭图形如图所示.由4x ＝x 3解得x ＝0或x ＝2（x ＝－2舍去）.故S ＝⎠⎛02（4x －x 3）d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－x 44⎪⎪⎪20＝8－4＝4. [A 基础达标]1.若曲线f （x ）＝x 4－2x 在点P 处的切线垂直于直线x ＋2y ＋1＝0，则点P 的坐标为（ ）A.（1，1）B.（1，－1）C.（－1，1）D.（－1，－1）解析：选B.因为f ′（x ）＝4x 3－2，设P （x 0，y 0）， 由题意得f ′（x 0）＝4x 30－2＝2， 所以x 0＝1，y 0＝－1. 故P 点坐标为（1，－1）.2.（2017·高考浙江卷）函数y ＝f （x ）的导函数y ＝f ′（x ）的图象如图所示，则函数y ＝f （x ）的图象可能是（ ）解析：选D.原函数先减再增，再减再增，且x ＝0位于增区间内，故选D.3.对任意的x ∈R ，函数f （x ）＝x 3＋ax 2＋7ax 不存在极值点的充要条件是（ ） A.0≤a ≤21 B.a ＝0或a ＝7 C.a ＜0或a ＞21D.a ＝0或a ＝21解析：选A.f ′（x ）＝3x 2＋2ax ＋7a ，当Δ＝4a 2－84a ≤0，即0≤a ≤21时，f ′（x ）≥0恒成立，函数f （x ）不存在极值点.4.若函数f （x ）＝kx －ln x 在区间（1，＋∞）上单调递增，则k 的取值范围是（ ） A.（－∞，－2] B.（－∞，－1] C.[2，＋∞）D.[1，＋∞）解析：选D.由于f ′（x ）＝k －1x，f （x ）＝kx －ln x 在区间（1，＋∞）上单调递增⇔f ′（x ）＝k －1x ≥0在（1，＋∞）上恒成立.由于k ≥1x ，而0<1x<1，所以k ≥1.即k 的取值范围为[1，＋∞）.5.对于R 上可导的任意函数f （x ），若满足x ≠1时（x －1）·f ′（x ）>0，则必有（ ） A.f （0）＋f （2）>2f （1） B.f （0）＋f （2）<2f （1） C.f （0）＋f （2）≥2f （1） D.f （0）＋f （2）≤2f （1）解析：选A.当x >1时，f ′（x ）>0，函数f （x ）在（1，＋∞）上是增函数；当x <1时，f ′（x ）<0，f （x ）在（－∞，1）上是减函数，故f （x ）在x ＝1处取得最小值，即有f （0）>f （1），f （2）>f （1），得f （0）＋f （2）>2f （1）.6.已知函数f （x ）＝ln （ax ＋1）＋1－x 1＋x ，x ≥0，其中a >0，若f ′（1）＝0，则a 的值是 .解析：f ′（x ）＝[ln （ax ＋1）]′＋⎝⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ′＝a ax ＋1＋－2（1＋x ）2，所以f ′（1）＝a a ＋1－12＝0.所以a ＝1. 答案：17.已知直线y ＝kx 是曲线y ＝ln x 的切线，则k 的值为 . 解析：设切点为（x 0，y 0），因为y ′＝（ln x ）′＝1x ，所以1x 0＝k ，即x 0＝1k ，y 0＝kx 0＝1，所以1＝ln 1k ，所以k ＝1e .答案：1e8.如图所示的是一个做直线运动的质点的v t 图象，则质点在前 6 s 内的位移为 米.解析：v （t ）＝⎩⎪⎨⎪⎧34t ，0≤t ≤4，9－32t ，4<t ≤6，所以所求位移s ＝⎠⎛06v （t ）d t ＝⎠⎛0434t d t ＋⎠⎛46⎝ ⎛⎭⎪⎫9－32t d t ＝38t 2⎪⎪⎪40＋⎝ ⎛⎭⎪⎫9t －34t 2⎪⎪⎪64＝6＋3＝9（m ）.答案：99.已知函数f （x ）＝axx 2＋b，且f （x ）的图象在x ＝1处与直线y ＝2相切.（1）求函数f （x ）的解析式；（2）若P （x 0，y 0）为f （x ）图象上的任意一点，直线l 与f （x ）的图象相切于P 点，求直线l 的斜率k 的取值范围.解：（1）对函数f （x ）求导，得f ′（x ）＝a （x 2＋b ）－ax （2x ）（x 2＋b ）2＝ab －ax 2（x 2＋b ）2.因为f （x ）的图象在x ＝1处与直线y ＝2相切.所以⎩⎪⎨⎪⎧f ′（1）＝0，f （1）＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧ab －a ＝0，1＋b ≠0，a1＋b ＝2，所以a ＝4，b ＝1， 所以f （x ）＝4x x 2＋1. （2）因为f ′（x ）＝4－4x2（x 2＋1）2，所以直线l 的斜率k ＝f ′（x 0）＝4－4x 2（x 20＋1）2＝4[2（x 20＋1）2－1x 20＋1]， 令t ＝1x 20＋1，t ∈（0，1]， 则k ＝4（2t 2－t ）＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫t －142－12，所以k ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，4. 10.设函数f （x ）＝ln x ＋ln （2－x ）＋ax （a >0）. （1）当a ＝1时，求f （x ）的单调区间；（2）若f （x ）在（0，1]上的最大值为12，求a 的值.解：函数f （x ）的定义域为（0，2），f ′（x ）＝1x －12－x＋a .（1）当a ＝1时，f ′（x ）＝－x 2＋2x （2－x ），所以当x ∈（0，2）时，f ′（x ）>0， 当x ∈（2，2）时，f ′（x ）<0.所以f （x ）的单调递增区间为（0，2），单调递减区间为（2，2）. （2）当x ∈（0，1]时，f ′（x ）＝2－2xx （2－x ）＋a >0，即f （x ）在（0，1]上单调递增.故f （x ）在（0，1]上的最大值为f （1）＝a ，因此a＝12. [B 能力提升]11.若f （x ）＝x 2＋2⎠⎛01f （x ）d x ，则⎠⎛01f （x ）d x ＝（ ）A.－1B.－13C.13D.1解析：选B.因为f （x ）＝x 2＋2⎠⎛01f （x ）d x ，所以⎠⎛01f （x ）d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋2x ⎠⎛01f （x ）d x |1＝13＋2⎠⎛01f （x ）d x ，所以⎠⎛01f （x ）d x ＝－13. 12.定义在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上的函数f （x ），其导函数为f ′（x ），若恒有f （x ）<f ′（x ）tanx ，则（ ）A.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6>3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3B.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6<3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3C.3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3 D.3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3 解析：选D.因为x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin x >0，cos x >0.由f （x ）<f ′（x ）tan x ，得f ′（x ）sin x －f （x ）cos x >0.不妨设g （x ）＝f （x ）sin x ，则g ′（x ）＝f ′（x ）sin x －f （x ）cos x sin 2x>0，所以函数g （x ）在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增，所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6<g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6sin π6<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3sinπ3， 即3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，故选D. 13.已知函数f （x ）＝x 2－m ln x ，h （x ）＝x 2－x ＋a .（1）当a ＝0时，f （x ）≥h （x ）在（1，＋∞）上恒成立，求实数m 的取值范围； （2）当m ＝2时，若函数k （x ）＝f （x ）－h （x ）在区间[1，3]上恰有两个不同的零点，求实数a 的取值范围.解：（1）由f （x ）≥h （x ）在（1，＋∞）上恒成立， 得m ≤xln x在（1，＋∞）上恒成立，令g （x ）＝x ln x ，则g ′（x ）＝ln x －1（ln x ）2，故g ′（e ）＝0.易得，当x ∈（1，e ）时，g ′（x ）<0； 当x ∈（e ，＋∞）时，g ′（x ）>0.故g （x ）在（1，e ）上单调递减，在（e ，＋∞）上单调递增. 所以当x ＝e 时，g （x ）取得最小值，为g （e ）＝e ， 所以m ≤e.故实数m 的取值范围为（－∞，e].（2）由已知，可得k （x ）＝x －2ln x －a ，函数k （x ）在[1，3]上恰有两个不同的零点，等价于曲线φ（x ）＝x －2ln x ，x ∈[1，3]与直线y ＝a 有两个不同的交点.易得φ′（x ）＝1－2x ＝x －2x，故φ′（2）＝0，所以当x ∈[1，2）时，φ′（x ）<0， 所以φ（x ）在[1，2）上单调递减，当x ∈（2，3]时，φ′（x ）>0，所以φ（x ）在（2，3]上单调递增.又φ（1）＝1，φ（3）＝3－2ln 3，φ（2）＝2－2ln 2，且φ（1）>φ（3）>φ（2）>0， 所以2－2ln 2<a ≤3－2ln 3，所以实数a 的取值范围为（2－2ln 2，3－2ln 3]. 14.（选做题）设函数f （x ）＝x e a －x＋bx ，曲线y ＝f （x ）在点（2，f （2））处的切线方程为y ＝（e －1）x ＋4.（1）求a ，b 的值； （2）求f （x ）的单调区间. 解：（1）因为f （x ）＝x ea －x＋bx ， 所以f ′（x ）＝（1－x ）ea －x＋b .依题设，⎩⎪⎨⎪⎧f （2）＝2e ＋2，f ′（2）＝e －1，即⎩⎪⎨⎪⎧2e a －2＋2b ＝2e ＋2，－e a －2＋b ＝e －1， 解得a ＝2，b ＝e. （2）由（1）知f （x ）＝x e2－x＋e x .由f′（x）＝e2－x（1－x＋e x－1）及e2－x＞0知，f′（x）与1－x＋e x－1同号.令g（x）＝1－x＋e x－1，则g′（x）＝－1＋e x－1.所以当x∈（－∞，1）时，g′（x）＜0，g（x）在区间（－∞，1）上单调递减；当x∈（1，＋∞）时，g′（x）＞0，g（x）在区间（1，＋∞）上单调递增.故g（1）＝1是g（x）在区间（－∞，＋∞）上的最小值，从而g（x）＞0，x∈（－∞，＋∞）.综上可知，f′（x）＞0，x∈（－∞，＋∞）.故f（x）的单调递增区间为（－∞，＋∞）.。
第一章导数及其应用归纳整合学案(人教A版选修2-2).docx
WANOLUOGOUJIAN—、导数1. 对于导数的定义，必须明白定义中包含的基本内容和Ax-0的方式，导数是函数的 增量Ay 与自变量的增量Ax 的比鲁的极限,函数y=Rx ）在点X 。
处的导数的几何意义，就是曲线y=j[x ）在点P （x 。
,几切））处的切线的斜 率.2. 曲线的切线方程利用导数求曲线过点P 的切线方程时应注意： （1） 判断P 点是否在曲线上；（2） 如果曲线尹=/«在P （x°,畑）处的切线平行于y 轴（此时导数不存在），可得方程为x =x 0；尸点坐标适合切线方程，P 点处的切线斜率为广（xo ）.3. 利用基本初等函数的求导公式和四则运算法则求导数，熟记基本求导公式，熟练运用 法则是关键，有时先化简再求导，会给解题带来方便.因此观察式子的特点，对式子进行适 当的变形是优化解题过程的关键.4. 判断函数的单调性（1） 在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程屮， 只能在函数的定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间；（2） 注意在某一区问内/⑴＞0（或/ （x ）＜0）是函数.心）在该区间上为增（或减）函数的充 分条件.本章归纳整合•定积分的概念-L 变速直线运动的路程L 定积分--微积分基本定理- -/：/(x)dx=F(6)-F(a)r 定积分在几何中的应用-定积分的应用-______________ H 曲边梯形的面积[定积分在物理中的应用J 耍点归纳四步曲：分割、 近似代替、求 和、取极限网络构系统盘点i 提炼主线-变化率问题平均变化率鸽取极限-导数的概念:瞬时变化率免L 导数的几何意义、切线的斜率k=f （xA导数及其应用知识网络导数的概①求极值；②极值与端点 处函数值比校①求导数f （%）；②解方程 If 3）=0；③痴商两侧符号J 若厂何＞0,则y=flx ）递增； 若广何＜0,则5）递减；5.利用导数研究函数的极值要注意(1) 极值是一个局部概念，是仅对某一点的左右两侧领域而言的.(2) 连续函数/(x)在其定义域上的极值点可能不止一个，也可能没有极值点，函数的极大 值与极小值没有必然的大小联系，函数的一个极小值也不一定比它的一个极大值小.(3) 可导函数的极值点一定是导数为零的点，但函数的导数为零的点，不一定是该函数的 极值点.因此导数为零的点仅是该点为极值点的必要条件，其充要条件是加上这点两侧的导 数异号.6. 求函数的最大值与最小值⑴函数的最大值与最小值：在闭区I'可［a, b ］上连续的函数心)，在［a, b ］上必有最大值与 最小值；但在开区间(a, b)内连续的函数./(X )不一定有最大值与最小值，例如：x 丘(一 1,1).(2)求函数最值的步骤一般地，求函数y=J{x)在［a, b ］上最大值与最小值的步骤如下： ① 求函数y=f(x)在(a, b)内的极值；② 将函数y=f{x)的各极值与端点处的函数值/(a), /(b)比较，其中最大的一个是最大值， 最小的一个是最小值.7. 应用导数解决实际问题，关键在于建立恰当的数学模型(函数关系)，如果函数在区间 内只有一个点xo ，使.广(xo) = O,则./(xo)是函数的最值.二、定积分I ■ 定积分白勺概念定积分0J 思想贏无限分割、以直代曲、求和、取极限：IMF)00立简)心，而f b af(x)Jx 只是这种极限的一种记号. /=!2.定积分的性质由定积分的定义，对以得到定积分的如下性质: ⑴f kf(x)dx=kf f(x)〃x(k 为常数);aa⑵ f ［fi(x)士f2(x)］dx=f fi(x)dx 土 f f 、2(x)dx ；J a"a"Q(33. 微积分基本定理用微积分基本定理求定积分，关键是求一个未知函数，使它的导函数恰好是已知的被积 函数.4. 定积分的几何意义由于定积分的值可正、可负还可能是0,所以如果在区间［a, b ］上函数f(x)连续且恒有f(x)30,面积的相反数.i 般情况下如下图，定积分ff(x)〃x 的几何意义是：介于X 轴，曲线y=f(x)以及直线X =a,x=b 之间各部分曲边梯形面詁的代数和，在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的而 积取负号.即ff(x)Jx = Si-S 2+S 3.如图曲边扌话形的面积.设F‘ (x)=f(x),且f(x)在a b ］上连续,则?=F(b) —F(a).x)dx 的值等于曲边梯形的面积；如果f(x)<0,则 a<c<b).dx= F(x) “X 的值等于曲边梯形5. 定积分的应用主要有两个问题：一是能利用定积分求曲边梯形的面积；二是能利用定 积分求变速直线运动的路程及变力做功问题.其屮，应特别注意求定积分的运算与利用定积 分计算曲边梯形面积的区别.专题一应用导数解决与切线相关的问题根据导数的儿何意义，导数就是相应切线的斜率，从而就可以应用导数解决一些与切线 相关的问题.【例1】设函数f(x)=4x 2 —Zn x+2,求曲线y=f(x)在点(1, f(l))处的切线方程.解 f' (x) = 8x —7.ZY所以在点(1, f(l))处切线的斜率k = f‘ (1)=7, 又 f(l)=4+2 = 6,所以切点的坐标为(1,6),所以切线的方程为y —6 = 7(x —1),即y=7x —1.【例2］点P(2,0)是函数f(x) = x? + ax 与g(x)=bx 2+c 的图彖的一个公共点，且两条曲 线在点P 处有相同的切线，求a, b, c 的值.解 因为点P(2,0)是函数f(x)=x 3 + ax 与g(x)=bx 2 + c 的图象的一个公共点， 所以23 + 2a=0① 4b+c=0 ②由①得a=—4.所以 f(x) = x 3—4x.又因为两条曲线在点P 处有相同的切线， 所以 f‘ (2)=g‘ (2),而由 f‘ (x)=3x 2-4 得到 f‘ (2)=8, 由 g' (x)=2bx 得到『(2)=4b,所以8=4b,即b=2,代入②得到c= 一& 综上所述，a=—4, b=2, c= —& 专题二应用导数求函数的单调区间在区间(a, b)内,如果f' (x)>0,那么函数y=f(x)在区间(a, b)内单调递增;在区间(a, b)内，如果f' (x)<0,那么函数y=f(x)在区间(a, b)内单调递减.2【例3】 已知函数f(x)=x —~+ a(2 — In x), a>0.讨论f(x)的单调性.X解由题知，f(x)的定义域是(0, +8),2 a x 2—ax+2 ~2——= 2 .X X X设 g(x)=x 2-ax + 2,二次方程 g(x)=O 的判别式△ = &?一&① 当△<()即0VaV2迄吋，对一切x>0都有f' (x)>0.此吋f(x)是(0,十呵上的单调递 增函数.② 当△ = ()即a = 2迈时，仅对x=y/2,有f ，(x) = O,对其余的x>0都有f ，(x)>0.此时 f(x)也是(0, +8)上的.車调递增函数.02ZHUANTIGUINA .........................» 专题归纳整合专题i 典例掲秘③当△>()即a>2迈时，方程g(x) = O有两个不同的实根a—pa'—8 a+Qa'—8 小X] = c , X?= c , 0<X[<X2・当X变化时，f‘(x)、f(x)的变化情况如下表:a—呼芳上单调递增,此时f(x)在(o,在件爭+8)上单调递增.专题三利用导数求函数的极值和最值1.利用导数求函数极值的一般步骤(1)确定函数f(x)的定义域；(2)解方程f‘ (x)=0的根；(3)检验f‘(x) = 0的根的两侧f‘(x)的符号.若左正右负，则f(x)在此根处収得极大值；若左负右正，则f(x)在此根处取得极小值；否则，此根不是f(x)的极值点.2.求函数f(x)在闭区间［a, b］上的最大值、最小值的方法与步骤⑴求f(x)在(a, b)内的极值;(2)将(1)求得的极值与f(a). f(b)相比较，其中最大的一个值为最大值，最小的一个值为最小值.特别地，①当f(x)在［a, b］上单调时，其最小值、最大值在区间端点取得；②当f(x)在(a, b)内只有一个极值点时，若在这一点处f(x)有极大(或极小)值，则可以断定f(x)在该点处取得最大(最小)值，这里(a, b)也可以是(一°°, +°°).【例4】己知函数f(x)=x'+ax2 + b的图象上一点P(l,0),且在点P处的切线与直线3x +y=0平行.(1)求函数f(x)的解析式;(2)求函数f(x)在区间［0, t］(0<t<3)±的最大值和最小值;(3)在⑴的结论下，关于x的方程f(x)=c在区间［13上恰有两个相异的实根，求实数c 的取值范围.解⑴因为f' (x)=3x2+2ax,曲线在P(l,0)处的切线斜率为：F (l)=3+2a,即3+2a =—3, a=—3.又函数过(1,0)点，即一2+b=0, b=2.所以a=—3, b = 2, f(x) = x3—3x2+2.(2)rtl f(x)=x3—3X2+2得，f' (x)=3x2—6x.由F (x) = 0 得，x = 0 或x=2.①当0<tW2 时，在区间(0, t)± f (x)<0, f(x)在［0, t］上是减函数,所以f(x),”“x=f(0)=2,f(X),wn = f(t) = t3— 312 + 2.②当f(xU=f(2)=-2, f(x)哑为f(0)与f(t)中较大的一个.f(t)—f(0)=F — 3t2=t2(t -3)<0.所以f(x)加心=f(0)=2.(3)令g(x) = f(x)—c=x3—3x2+2 —c, g' (x) = 3x2—6x=3x(x—2).在xe[l,2)上，g' (x)<0；在xw(2,3]上，g‘(x)>0.要使g(x)=0 在[1,3]上恰有两个相异g(l)>0,的实根，d g(2)<0,、g⑶ 20，解得一2<cW0.专题四导数与函数、不等式利用导数知识解决不等式问题是我们常见的一个热点问题，其实质就是利用导数研究函数的单调性，通过单调性证明不等式，这类问题在考查综合能力的同时，又充分体现了导数的工具性和导数的灵活性.【例5】证明：当xe［—2,1］时，一辛冬霁一4xW#证明令他)=占？一4*, ［―2,1］,则f‘ (X)=X2-4.因为xU［—2,1］,所以f‘(x)W0,即函数f(x)在区间［—2,1］上单调递减.故函数f(x)在区间［—2,1］上的最大值为f(-2)=y,最小值为f(l)=-y.所以，当xe［—2,1］时，一¥wf(x)w¥，即一¥冬$'—4xW学成立.专题五导数与函数、不等式的综合应用利用导数研究函数是高考的必考内容，也是高考的重点、热点.考题利用导数作为工具, 考查求函数的单调区间、函数的极值与最值，参数的収值范围等问题，若以选择题、填空题出现，以中低档题为主；若以解答题形式出现，则难度以中档以上为主，有时也以压轴题的形式出现.考查中常渗透函数、不等式等有关知识，综合性较强.【例6］设函数f(x)=—、'+2ax2 —3a2x+b(0<a<l).(1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)若当xe［a + l, a + 2］吋，恒有|f‘(x)|Wa,试确定a的取值范围；(3)当&=彳时，关于x的方程f(x)=0在区间［1,3］上恒有两个相异的实根，求实数b的取值范围.解(l)f' (x)=-x2+4ax-3a2=—(x—a)(x —3a). 令f，(x) = 0,得x = a 或x = 3a.当xf(x)当x=a吋，f(x)取得极小值，f(x)极小=f(a)=b—扌J；当x=3a时，f(x)取得极大值，f(x)极大=f(3a)=b. (2)f z (x)=-x2+4ax-3a2,其对称轴为x=2a. 因为0<a<l,所以2a<a+l.所以f‘ (x)在区间［a + 1, a + 2］上是减函数.当x=a+1 时，f7 (x)取得最大值，f z (a+l) = 2a—1；当x=a+2 时,f r (x)取得最小值，f f (a+2)=4a—4.2a —lWa,4于是有仁宀 即4a —4±—a,34又因为0<a<l,所以§Wa<l.(3)当 a=f 时,f(x)= —|x 3+jx 1 2 3—yx+b. f' (x)=—x 2+|x —由 f' (x) = 0,即一x?+|x —扌=0,2解得 X]=T ，X2 = 2,即f(x)在(一 8,寻上是减函数， 在伶2)上是增函数，在(2, +8)上是减函数. 要使f(x) = 0在[13上恒有两个相异实根， 即f(x)在(1,2), (2,3)上各有一个实根，解得0<b 吕.专题六定积分及其应用1. 定积分是解决求平面图形，特别是不规则图形的面积、变速直线运动的路程及变力做 功等问题的方便而且强有力的工具.2. 不规则图形的面积可用定积分求，关键是确定积分上、下限及被积函数，积分的上、 下限一般是两曲线交点的横坐标.【例7】设两抛物线y= — x?+2x, y=x 2所围成的图形为M,求M 的面积.解函数y= —x?+2x, y = x 2在同一平面直角坐标系屮的图象如图所示. 由图可知，图形M 的面积S= f '0(-x 2 + 2x-x 2)t/x=f b(—2x?+2x)dx=(—討+ x?)=g.“ JIEDUGAOKAO .....................................03》解读高考命题趋势2 导数是研究函数的重要工具，自从导数进入教材之后，给函数问题注入了生机和活力, 开辟了许多解题新途径，拓展了高考对•函数问题的命题空间，其中导数的概念和运算是导数 的基础内容，在高考题中一般以容易题出现，并且在高考中所占的份量不大.3 由近三年的高考试题统计分析可以看出，导数的应用已经成为高考炙手可热的热点问 题.每年全国及各省市的自主命题中都有导数应用的解答题出现，因此搞好导数应用的复习f(l)W0,于是有\f(2)>0,、f(3)W0,—*+bW0, b>0,、一1 +bW0,感知考悄i 体验真题非常有必要.常见的考查角度如下：(1)对导数与函数的单调性的考查，求导确定函数的单调区间，已知函数的某一单调区间探求参数的范围等.(2)对导数与函数的极(最)值的考查，女口：求函数的极值及闭区间上的最值，以极值或最值为载体考查参数的范围；解题关键在于准确理解极值(最值)的定义，善于利用分类讨论思想，等价转化思想去解题.(3)对导数的综合应用的考查，与函数、方程、不等式、数列等联系进行综合考查，主耍考查函数的最值或求参数的值或范围.解题时要善于把复杂的、生疏的、非规范化的问题转化为简单的、熟悉的、规范化的问题来解决.高考真题(2012-湖北高考)已知二次函数y=f(x)的图象如图所示，贝9它与x轴所围图形的面积为()•解析根据f(x)的图象可设f(x)=a(x+l)(x-l)(a<0). 因为f(x)的图象过(0,1)点，所以一a=l,即a= —1. 所以f(x)= —(x4- l)(x—1)= 1 —x2.所以S= I L](l —x?)dx = 2 f '0(1 — x2)i/x = 2( x—jx答案B2.(2011-山东高考)曲线y=x3+ll在点P(l,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是( ).A.-9B. -3C. 9D. 15解析Vy=x3+ll, :.y1 =3x2, ・・・『k=i = 3,・•・曲线y=x3+11在点戸亿⑵处的切线方程为y —12 = 3(x—l)・令x=0,得y=9.答案C3.(2012-陕西高考)设函数f(x)=xe x,贝％).A.x=l为f(x)的极大值点B.x=l为f(x)的极小值点C.x= —1为f(x)的极大值点D.x= —1为f(x)的极小值点解析*.*f(x)=xe x, /. f f (x) = e x 4- xe x=e x( 1 + x)・・••当F (x)2 0时,即e x(l+x)>0,即xM — l, ・・・xM — 1时函数y=f(x)为增函数.同理可求，X< —1时函数f(x)为减函数..*.X= — 1时，函数f(x)取得极小值.答案D4.(2010-大纲全国高考)曲线丫=0卞+1在点(0,2)处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为().解析 Vy , =( — 2x)‘ e ・・・切线方程为y —2=—2仪一0),即丫= -2x + 2. 如图，Ty=—2x+2与y=x 的交点坐标为 S =^ X 1 乂3=亍.答案A5. (2012-辽宁)己知P, Q 为抛物线x 2=2y ±两点，点P, Q 的横坐标分别为4, 一2, 过P, Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A,则点A 的纵坐标为 _____________________ ・解析 因为y=|x',所以y‘ =x,易知P(4,8), Q(—2,2),所以在P 、Q 两点的切线的斜率的值为4或一2.所以这两条切线方程为h ： 4x —y —8=0, 12： 2x+y+2 = 0,将这两个方程联立方程组求 得 y=—4.答案一46. (2012-安徽高考)设函数 f(x)=ae x +^+b(a>0). ⑴求f(x)在［0, +8)内的最小值；3(2)设曲线y=f(x)在点(2, f(2))处的切线方程为y 求a, b 的值.解(l)f' (x)=ae x —当 f‘ (x)>0,即 x>~ln a 时，f(x)在(—In a, +°°)上递增； 当 f‘ (x)<0,即 xV —加 a 时，f(x)在(一 8, fa)上递减.① 当0 <a< 1时，一/舁a>0, f(x)在(0, -In a)上递减，在(fa, +8)上递增，从而f(x) 在［0, +8)上的最小值为f (一加a)=2+b ；② 当aMl 吋，一f(x)在［0, +呵上递增，从而f(x)在［0, +呵上的最小值为f(0) =a+丄+b. a12i7⑵依题意f ，(2)=ae 2—解得a ，=2或a/=—/(舍去)，所以a=尹 代入原函数 可得 2+*+b =3,即 b=£,故 a_孑,b 一2«7. (2011•北京高考)已知函数f(x)=(x-k)e x .⑴求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间［0,1］上的最小值. 解(l)f' (x)=(x — k+l)/ 令 f‘ (x)=0,得 x = k-l.f(x)与的变化情况如下：X ( — 8, k — 1)k-1 (k —1, +°°)F (X )—+ f(x)k-1 "e/所以，f(x)的单调递减区I 、可是(一I k-1)；单调递增区间是(k-1, +<-).(2)当 k —lW0,即 kWl 吋， 函数f(x)在［0」］上单调递增，,y=—2x+2与x 轴的交点坐标为(1,0),-2x所以f(x)在区间［0丄］上的最小值为f (o )=-k ； 当 0<k-l<l, EP l<k<2 时，由⑴知f(x)在［0, k-1)上单调递减， 在(k-l,l ］±单调递增，所以f(x)在区间［0,1］上的最小值为f(k —l)=—F 】； 当 k —121,即 k$2 时，函数f(x)在［0,1］上单调递减，所以f(x)在区间［0」］上的最小值为f(l)=(l-k)e.8. (2011-江西高考)设 f(x) = —|x 3 +^x 2 + 2ax.(1)若f(x)在(彳，+s)上存在单调递增区间，求a 的取值范围；⑵当0<a<2时，f(x)在［1,4］上的最小值为一乎，求f(x)在该区间上的最大值. 解(1)由 f'(x)=-x 2+x+2a当 x e J, 时，f z (x)的最大值为F 6)=#+2a ； 2 1令^+2a>0,得 a>—所以，当a>—g 时,f(X )在住，+->)上存在单调递增区间. (2)令 f' (x)=0,得两根 X!-1\1+8a所以f(x)在(一8, Xi),(X2，+8)上单调递减，在(X1，X2)上单调递增. 当 0<a<2 时，有 X )<1<X 2<4, 所以f(x)在［1,4］上的最大值为f(X2)・27又 f(4)-f(l)=-y+6a<0,得a=l, X2=2,从而f(x)在［1,4］上的最大值为f(2)=y.9. (2011-福建高考)某商场销售某种商品的经验表明，该商场每日的销售量y (单位：千 克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y=^+10(x-6)2,其屮3<x<6, a 为常数.已 知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克.(1) 求a 的值；(2) 若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商品每H 销售该商品所获得 的利润最大.解(1)因为x=5吋，y=ll,所以号+10=11, a=2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量y=—^+10(x-6)2.所以商场每日销售该商品所获得的利润 f(x)=(x_3)|j±+ 10(X _6)2=2+ 10(X -3)(X -6)23<X <6.从而,l+pl+8a即 f(4)<f(l),所以f(x)在［1,4］上的最小值为f' (X)=10[(X-6)2+2(X-3)(X-6)]=30(X-4)(X-6).于是，当X变化时，f' (x), f(x)的变化情况如下表:由上表可得，*=4是函数俭)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点. 所以，当x=4时，函数f(x)収得最大值，且最大值等于42.所以当销售价格为4元/千克时，商场每FI销售该商品所获得的利润最大.。
新人教A版高中数学(选修2-2)1.2《导数的计算》word教案4篇
§1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则教学目标：1．熟练掌握基本初等函数的导数公式； 2．掌握导数的四则运算法则；3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数。
教学重点：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则教学难点： 基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用 教学过程： 一．创设情景四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x=的导数公式及应用二．新课讲授（一）基本初等函数的导数公式表)（2）推论：[]''()()cf x cf x =（常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）三．典例分析例1．假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%，物价p （单位：元）与时间t （单位：年）有如下函数关系0()(15%)tp t p =+，其中0p 为0t =时的物价．假定某种商品的01p =，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01）？解：根据基本初等函数导数公式表，有'() 1.05ln1.05tp t =所以'10(10) 1.05ln1.050.08p =≈（元/年）因此，在第10个年头，这种商品的价格约为0.08元/年的速度上涨． 例2．根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数． （1）323y x x =-+ （2）y ＝xx --+1111；（3）y ＝x · sin x · ln x ；（4）y ＝xx 4； （5）y ＝xxln 1ln 1+-．（6）y ＝（2 x 2－5 x ＋1）e x（7） y ＝xx x xx x sin cos cos sin +-【点评】① 求导数是在定义域内实行的．② 求较复杂的函数积、商的导数，必须细心、耐心． 例3日常生活中的饮水通常是经过净化的．随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知将1吨水净化到纯净度为%x 时所需费用（单位：元）为5284()(80100)100c x x x=<<-求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：（1）90% （2）98% 解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数．''''252845284(100)5284(100)()()100(100)x x c x x x ⨯--⨯-==--20(100)5284(1)(100)x x ⨯--⨯-=-25284(100)x =-（1）因为'25284(90)52.84(10090)c ==-，所以，纯净度为90%时，费用的瞬时变化率是52.84元/吨．（2）因为'25284(98)1321(10090)c ==-，所以，纯净度为98%时，费用的瞬时变化率是1321元/吨．函数()f x 在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢．由上述计算可知，''(98)25(90)c c =．它表示纯净度为98%左右时净化费用的瞬时变化率，大约是纯净度为90%左右时净化费用的瞬时变化率的25倍．这说明，水的纯净度越高，需要的净化费用就越多，而且净化费用增加的速度也越快．四．课堂练习 1．课本P 92练习2．已知曲线C ：y ＝3 x 4－2 x 3－9 x 2＋4，求曲线C 上横坐标为1的点的切线方程；（y ＝－12 x ＋8）五．回顾总结（1）基本初等函数的导数公式表 （2）导数的运算法则六．布置作业§1.1.2 导数的概念学习目标1.掌握用极限给瞬时速度下的精确的定义；2.会运用瞬时速度的定义，求物体在某一时刻的瞬时速度． 一、预习与反馈（预习教材P 4~ P 6，找出疑惑之处）探究任务一：瞬时速度问题1：在高台跳水运动中，运动员有不同时刻的速度是 新知：1． 瞬时速度定义：物体在某一时刻(某一位置)的速度，叫做瞬时速度.探究任务二：导数问题2： 瞬时速度是平均速度ts∆∆当t ∆趋近于0时的 导数的定义：函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是0000()()limlimx x f x x f x fxx ∆→∆→+∆-∆=∆∆，我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或 即000()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆注意：(1)。
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1．4.2 导数应用(二)
一预习案
1．优化问题．
生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．2．利用导数求优化问题的步骤．
(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f(x)；
(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；
(3)比较函数在区间端点和使f′(x)＝0的点的函数值的大小．最大(小)者为最大(小)值．
想一想：(1)求函数最值的常用方法有哪些？
(2)要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm，要使其体积最大，则高为________．
(1)解析：
(2)解析：
二探究案
1．在抛物线y＝x2上依次取两点，它们的横坐标分别为x1＝1，x2＝3，若抛物线上过点P的切线与过这两点的割线平行，则点P的坐标为-----------
2．将正数a分成两部分，使其立方和为最小，这两部分应分成----和----．
3．某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入客运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y(万元)与营运年数x(x∈N*)的关系为y＝－x2＋12x－25，则每辆客车营运________年可使其营运年平均利润最大()
A．2 B．4 C．5 D．6
三 巩固案
1．圆的面积S 关于半径r 的函数是S ＝πr 2，那么在r ＝3时面积的变化率是( )
A ．6
B ．9
C ．9π
D ．6π
解析：
2．把长度为8的线段分成四段，围成一个矩形，矩形面积的最大值为( )
A ．2
B ．4
C ．8
D ．以上都不对
3．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x 小时，原油
温度(单位：℃)为f (x )＝13
x 3－x 2＋8(0≤x ≤5)，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是( )
A ．8 B.203
C ．－1
D ．－8 解析：
4．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L 1＝5.06x －0.15x 2和L 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)，若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为________．
解析：
5．有一边长分别为8与5的长方形，各角剪去相同的小正方形，把四边折起做成一个无盖小盒，则小盒的最大容积是( )
A ．20
B ．18
C ．16
D ．14
解析：
6．要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20，要使其体积最大，则高为( )
A.
3
3
B.
103
3
C.163
3
D.
203
3
7．有长为16 m的篱笆，要围成一个矩形场地，则矩形场地面积最大值为__________．解析：
8．某银行准备设一种新的定期存款业务，经预测，存款额与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k＞0)，贷款的利率为4.8%，假设银行吸收的存款能全部放贷出去．若存款利率为x(x∈(0，4.8%))，则使银行获得最大收益的存款利率为________．
解析：
9．如下图所示，用铁丝弯成一个上面是半圆、下面是矩形的图形，其面积为100, 为使所用材料最省，矩形底宽应为多少？
解析：
10．某集团为了获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销，经调查，每年投入广告费t (百万元)，可增加销售额约为－t 2
＋5t (百万元)(0≤t ≤3)．
(1)若该公司将当年的广告费控制在3百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此获得的收益最大？
(2)现该公司准备共投入3百万元，分别用于广告促销和技术改造，经预测，每投入技
术改造费x 百万元，可增加的销售额约为－13
x 3＋x 2＋3x (百万元)．请设计一个资金分配方案，使该公司由此获得的收益最大．(收益＝销售额－投入)
解析：。